Разберете основната функция на решенията за отчитане. Функция за сгъване. Функция за лесно сгъване. Защо да се шегувате в други сайтове?

След напреднала артилерийска подготовка ще има по-малко ужасни приклади с 3-4-5 вградени функции. Възможно е следващите два задника да станат доста сгъваеми, но ако ги разберат (дори и да страдат), тогава може би всичко останало в диференциалното изчисление ще изглежда като детска жега.

Дупе 2

Познайте скритите функции

Както беше планирано, в часа на похода функция за сгъване, първо за всичко, необходимо вярноВЪРНЕТЕ ИНВЕСТИЦИИТЕ СИ. В тези ситуации, ако имате някакви съмнения, ще ви предложа бърз трик: вземаме последната стойност на „x“ например и се опитваме (мислено или в черно) да заменим тази стойност в „ужасния вирус“.

1) На първо място, трябва да изчислим размера на парите, сумата, най-големия принос.

2) След това трябва да изчислите логаритъма:

4) След това умножете косинуса на куба:

5) На петата стъпка има разлика:

6) И, да речем, самата външна функция е корен квадратен:

Формула за диференциране на сгъваема функция да стагнират в обратен ред, от най-външните функции към вътрешните. Виришуемо:

Начебто без пардон:

1) Извадете корен квадратен.

2) Нека да разгледаме разликата, следвайте правилото

3) Тройките са равни на нула. От друга доданка вземаме походната стъпка (куб).

4) Нека вземем стойността по косинус.

6) И, добре, ще вземем парите от най-голямата инвестиция.

Може да си много важен, но това все още не е най-бруталния задник. Вземете например колекцията на Кузнецов и ще оцените цялата красота и простота на колекцията. Отбелязах, че ще искам да дам нещо на теста, за да проверя какво разбира ученикът, тъй като той знае подобни функции на сгъване и не разбира.

Офанзивата на независимото решение.

Дупе 3

Познайте скритите функции

Съвет: Правилата за линейност и правилото за диференциация на творението са в застой

Преди всичко има решение и заключение на урока.

Дойде време да преминем към нещо по-компактно и сладко.
Това не е рядкост, тъй като дупето има не две, а три функции. Как да разберем подхода към създаването на три множителя?

Дупе 4

Познайте скритите функции

Отначало се чудя защо не е възможно да конвертирате три функции в две? Например, ако имаме две стави, тогава ръцете могат да бъдат отворени. Но в приложението всички функции са различни: стъпка, експонента и логаритъм.

В такива случаи е необходимо последователноустановете правилото за диференциране на творчеството два пъти

Акцентът е върху факта, че зад “y” се обозначават две функции: , а зад “ve” - логаритъма: . Защо можете да спечелите толкова много? И хиба - Защо нямате две кратни и правилото не важи? Няма нищо сгъваемо:

Сега правилото внезапно е в застой към лъка:

Можете също така да се изгубите и да го носите на ръце, но в този случай е по-добре да загубите доказателствата по този начин - по-лесно е да се провери.

Изгледаното дупе може да се покаже и по друг начин:

Двата метода са абсолютно равностойни.

Дупе 5

Познайте скритите функции

Това е пример за независимо вземане на решения, по първия начин.

Нека да разгледаме подобни приклади, използващи пушки.

Дупе 6

Познайте скритите функции

Тук можете да следвате няколко маршрута:

Или така:

Але реши да запише по-компактно, тъй като на първо място правилото за разграничаване на частните , След като прие за цялата номерна книга:

По принцип дупето е превъзходно и ако го лишиш от такъв вид, тогава няма да има милост. Но по очевидни причини е необходимо да ги проверите отново черно на бяло и какво не може да бъде простено?

Нека приведем числото на числото до крайния знак и елиминираме фракцията с три повърхности:

Недостатъкът на тези допълнителни мерки е, че има риск да се направят съгласувания не в случай на известно училище, а в случай на банални промени в училище. От друга страна, вложителите често отхвърлят заданията и ги молят „да ги доведат“ до изхода.

Просто дупе за независимо изпълнение:

Дупе 7

Познайте скритите функции

Нека продължим да овладяваме методите за намиране на същото и сега ще разгледаме типичния резултат, ако "ужасният" логаритъм се използва за диференциране

Реконструкция на формулата за подобна статична функция (x на стъпка a). Разглежда се произходът на корените от x. Формула за подвижна статична функция в страхотен ред. Приложете изчислението на жертвите.

Змист

див. също: Стъпкова функция и коренна функция, формули и графика
Графики на статична функция

Основни формули

Подобно е на x на етап a в сравнение с a, умножено по x на етап a минус едно:
(1) .

Преминете от основната стъпка n от x към стъпка m нагоре:
(2) .

Реконструкция на формула за подобна статична функция

Пуснете x > 0

Нека да разгледаме статична функциятип промяна x с индикатор етап a:
(3) .
Тук a е допълнителен активен номер. Нека първо да го разгледаме набързо.

За да знаем текущата функция (3), можем бързо да изчислим статичната функция и да я трансформираме в настоящата форма:
.

Сега знаем, че ще си тръгнем, stastosovuchi:
;
.
Тук.

Формула (1) е завършена.

Реконструкция на формулата, подобна на коренната стъпка n от x до стъпка m

Сега нека да разгледаме функцията, която се корени така:
(4) .

За да разберем разликата, можем да трансформираме корена в статична функция:
.
Сравнявайки с формула (3) бачимо, какво
.
Тоди
.

Формула (1) е последвана от:
(1) ;
;
(2) .

Наистина няма нужда да запомняте формула (2). Много по-лесно е да трансформирате корена към статичните функции от самото начало и след това да намерите тяхната подобна, статична формула (1) (извънредни приложения отстрани).

Видак х = 0

Така статичната функция се определя при стойността на променливата x = 0 . Познаваме функцията (3) при x = 0 . За които бързите стойности на марша са:
.

Заместимо x = 0 :
.
В този случай разбираме дясната граница, за която .

Е, ние знаем:
.
От звездата можете да видите, че s, .
В , .
В , .
Този резултат следва формула (1):
(1) .
Следователно формула (1) е валидна за x = 0 .

Випадок х< 0

Нека да разгледаме отново функция (3):
(3) .
За определени стойности на константата a победата е равна на і за отрицателни стойности на променливата x. И нека си рационално число. След това можете да го дадете на привидно бавна фракция:
,
където m и n са цели числа, които не означават сериозен длъжник.

Ако n не е сдвоено, тогава статичната функция се определя за отрицателни стойности на променливата x. Например с n = 3 ta m = 1 Можем да използваме кубичен корен от x:
.
Vín i за отрицателни стойности на променливата x.

Знаем постоянната константна функция (3) за и за рационални стойности на константата a, за която е присвоена. За което можем да представим x y на следващото око:
.
Тоди,
.
Знаем, че правилата за разграничаване на сгъваема функция са:

.
Тук. ейл
.
Осколки, тогава
.
Тоди
.
Тогава формула (1) е валидна, когато:
(1) .

Последни събития от най-висок ранг

Сега знаем подобни по-високи порядки в статичната функция
(3) .
Първо, вече знаехме:
.

Вината се леят като знак за марш, ние познаваме марш от различен ред:
.
Подобен ред се използва за маршовете от трети и четвърти ред:
;

.

Звездите могат да видят това подобно на n-тия редизглежда така:
.

Скъпи scho ако a е естествено число, тогава n-тото марширане е неподвижно:
.
Тогава всички предстоящи дни ще достигнат нула:
,
при .

Приложете изчислението на разходите

дупето

Намерете подобни функции:
.

Преобразуваме корена в стъпки:
;
.
Така че изходната функция изглежда така:
.

Известни са следните стъпки:
;
.
Връща се към нула:
.

Функциите на устройството за сгъване винаги ще бъдат в съответствие със значението на функцията за сгъване. Тъй като е функция на формата y = sin x - (2 - 3) · r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, тогава тя не може да бъде сгъната във формата y = sin 2 x.

Тази статия ще покаже разбирането на функцията на сгъване и нейното проявление. Нека използваме формулите, за да намерим подобна от задниците, за да решим задачата. Създаването на таблицата на приликите и правилата за разграничаване ясно ще променят часа за намиране на приликите.

Главна цел

Определение 1

Сгъваема функция е функция, чийто аргумент също е функция.

Означава се, както следва: f (g (x)). Възможно е функцията g(x) да е представена от аргумента f(g(x)).

Вицения 2

Тъй като f е функция на котангенс, g(x) = ln x не е функция на натурален логаритъм. Ясно е, че сгъваемата функция f(g(x)) може да бъде записана като arctg(lnx). Или функцията f е функция, намалена до 4-ти етап, където g (x) = x 2 + 2 x - 3 се взема предвид като цяло рационална функция, Може да се заключи, че f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Очевидно g(x) може да бъде сгъваем. От примера y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 можете да видите, че стойността на g е корен кубичен от дробта. Датският израз може да бъде записан като y = f (f 1 (f 2 (x))). Ясно е, че f е синусова функция и f 1 е функция, която расте под корен квадратен, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 – 5 е рационална функция на удар.

Виченца 3

Нивото на принос се обозначава с произволно естествено число и се записва като y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . . (f n (x)))))))).

Вичення 4

Концепцията за състава на функциите се дължи на броя на функциите, включени в умствената задача. За да бъдем по-точни, във формуляра е разработена формула за намиране на подобна функция на сгъване

(f(g(x))) "=f"(g(x)) g"(x)

Приложете го

Дупе 1

Намерете проста функция за сгъване като y = (2 x + 1) 2.

Решение

Зад ума можете да видите, че f е квадратна функция, а g (x) = 2 x + 1 е линейна функция.

Нека съставим формула, подобна на функцията за сгъване, и я запишем:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2)" = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) "= f "(g (x)) g "(x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Необходимо е да се знае структурата на функцията по опростен начин. Незабележимо:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Да видим какво

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Резултатите се подобриха.

При дадена задача от този тип е важно да се разбере, че ще има функция от формата f и g (x).

Дупе 2

Можете да намерите следните функции на сгъване във формата y = sin 2 x и y = sin x 2.

Решение

Първият запис на функцията показва, че f е квадратна функция, а g (x) е синусова функция. Тогава ние отричаме това

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Друг запис показва, че f е синусова функция, а g(x) = x 2 е статична функция. Звездата показва, че можем да запишем добавянето на функцията за сгъване като

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Формулата за y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))))) ще бъде написана като y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . .) f n (x))))) · f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n ( х))) )) · . . . · f n "(x)

Дупе 3

Намерете функцията y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Решение

Този пример показва сложността на записа и значителното разширение на функцията. Тогава y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) е значимо, където f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) е синусовата функция, редукционна функция в 3-ти етап, функция с логаритъм и основа e, арктангенс и линейна функция.

От формулата за стойността на функцията за сгъване е възможно това

y " = f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 2 " ( f 3 ( f 4 (x)) f 3 "(f 4 (x)) f 4 " (x)

Нека да разберем какво да знаем

f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) като синусоидална крива според таблицата на приликите, след това f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)) )))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)).
f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) като подобна статична функция, така че f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
f 2 "(f 3 (f 4 (x))) е логаритмично, така че f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
f 3 "(f 4 (x)) е еквивалентът на арктангенса, така че f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
Ако намерите подобна функция f 4 (x) = 2 x, вземете 2 за знак на подобна функция от формулата на подобна статична функция с индикатор, който е по-голям от 1, тогава f 4 "(x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 x 1 - 1 = 2.

Междинните резултати се оценяват и това е ясно

y " = f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 2 " ( f 3 ( f 4 (x)) f 3 "(f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) · 1 a r c t g (2 x) · 1 1 + 4 x 2 · 2 = = 6 · cos (ln 3 a r c t g (2 x)) · ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) · (1 + 4 x 2 )

Анализът на такива функции може да се досети от майките. Правилата за разграничаване не винаги могат да бъдат ясни от другата таблица. Най-често е необходимо да се формулира формула за намиране на подобни функции на сгъване.

Има няколко функции на системата за сгъване. Когато има очевидна разлика, е особено лесно да се намерят подобни.

Дупе 4

Необходимо е да се гледа насочеността на такъв приклад. Тъй като е функция на формата y = t g 2 x + 3 t g x + 1, тогава може да се разглежда като сгъната форма g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1. Очевидно е необходимо да се формулира формула за сгъваемо превозно средство:

f "(g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)" = (g 2 (x)) "+ (3 g (x))" + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3; g "(x) = (t g x)" = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x)))" = f "(g (x)) g "(x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Функция от вида y = t g x 2 + 3 t g x + 1 не е сгъваема, тъй като сумата е t g x 2 3 t g x i 1. Обаче t g x 2 се определя от функция на сгъване, след това статична функция от формата g (x) = x 2 и f е допирателна функция. За кого да разграничим сумата? Да кажем това

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Нека да преминем към намирането на функцията на сгъване (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) "= f "(g (x)) g "(x) = 2 x cos 2 (x 2)

Може да се заключи, че y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Функциите за сгъване могат да бъдат включени в склада от функции за сгъване, а самите функции за сгъване могат да бъдат функции за сгъване на склада.

Дупе 5

Например, нека разгледаме функция за сгъване като y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Тази функция може да бъде представена във формата y = f (g (x)), където стойността на f е функцията на логаритъма на стойка 3, а g (x) се разглежда като сумата от две функции във формата h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 i k(x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Очевидно y = f(h(x) + k(x)).

Нека да разгледаме функцията h(x) . Стойност l(x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 до m (x) = e x 2 + 3 3

Възможно е l(x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n(x) + p(x) да е сумата от две функции n(x) = x 2 + 7 и p (x) = 3 cos 3 (2 x + 1), където p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) е сгъваема функция с числов коефициент 3 и p 1 е кубична функция функция, p 2 косинус функция, p 3 (x) = 2 x + 1 – линейна функция.

Отнехме, че m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) е сумата от две функции q (x) = e x 2 и r (x) = 3 3 de q (x) = q 1 (q 2 (x)) е сгъваема функция, q 1 е функция с експоненциална функция, q 2 (x) = x 2 е статична функция.

Може да се види, че h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Когато се премине към формата k(x) = ln 2 x (x 2 + 1) = s (x) t (x), е ясно, че функцията е представена в сгъната форма s(x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) с рационалното цяло число t (x) = x 2 + 1, където s 1 е функцията на квадрат, а s 2 (x) = ln x - логаритмична с основа e.

Звездата свети, както можете да видите k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) .

Тогава ние отричаме това

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Зад структурите на функцията стана ясно как и какви формули трябва да бъдат консолидирани, за да се опрости изразяването на тяхната диференциация. За да се запознаете с такива задачи и да разберете тяхното значение, е необходимо да се върнете към точката на диференциране на функциите, за да намерите подобни.

Ако сте отбелязали услуга в текста, моля вижте я и натиснете Ctrl+Enter

Ако следваме горното, тогава подобна функция в точката е между увеличените функции на Δ гза увеличаване на аргумента Δ х:

Най-накрая всичко стана по-ясно. Или се опитайте да разберете тази формула, да кажем, подобна функция f(х) = х 2 + (2х+ 3) · д хгрях х. Ако продължите да работите върху задачите си, след няколко стъпки на изчисление просто ще заспите. Има по-прости и по-ефективни начини за това.

Важно е, че поради това разнообразие от функции можем да ги наречем елементарни функции. Това са очевидно прости изрази, които отдавна са изчислени и въведени в таблицата. Лесно е да запомните такива функции – едновременно с тях.

Подобни елементарни функции

Елементарните функции са всичко, което е изброено по-долу. Тези функции трябва да се знаят и запомнят. Освен това е доста трудно да ги научиш - толкова са елементарни.

Е, ето някои основни функции:

Име	функция	Похидна
Константа	f(х) = ° С, ° С ∈ Р	0 (да, нула!)
Крачка от рационалния дисплей	f(х) = х н	н · х н − 1
синус	f(х) = грях х	cos х
Косинус	f(х) = cos х	− грях х(минус синус)
Допирателна	f(х) = tg х	1/cos 2 х
Котангенс	f(х) = ctg х	− 1/грех 2 х
Натурален логаритъм	f(х) = дневник х	1/х
Допълнителен логаритъм	f(х) = дневник а х	1/(хвътре а)
Функция на дисплея	f(х) = д х	д х(нищо не се е променило)

Ако една елементарна функция се умножи по сравнително постоянна функция, тогава подобна нова функция също може лесно да бъде внедрена:

(° С · f)’ = ° С · f ’.

Загаломът на константата може да се приеме като знак за смърт. Например:

(2х 3)' = 2 · ( х 3)' = 2 3 х 2 = 6х 2 .

Очевидно елементарните функции могат да се добавят една след друга, да се умножават, разделят и много повече. Така се появяват нови функции, не особено елементарни, но и диференцирани по старите правила. Тези правила са обсъдени по-долу.

Pokhіdna сума и rіznitsi

Пуснете тази функция f(х) че ж(х), колкото знаем. Например можете да вземете елементарните функции, разгледани по-горе. Тогава можете да знаете разликата между тези функции:

(f + ж)’ = f ’ + ж ’
(f − ж)’ = f ’ − ж ’

Следователно сумата (разликите) на две функции е подобна на същите суми (разлики) на подобни. Може да има още добавки. Например, ( f + ж + ч)’ = f ’ + ж ’ + ч ’.

Строго погледнато, в алгебрата няма понятие „наблюдение“. Разбирам „отрицателен елемент“. Ето защо има разлика f − жможете да пренапишете сумата f+ (−1) жИ тогава ще загубите само една формула - сумата пари.

f(х) = х 2 + sin x; ж(х) = х 4 + 2х 2 − 3.

функция f(х) - това е сумата от две елементарни функции, следователно:

f ’(х) = (х 2 + грях х)’ = (х 2)' + (грех х)’ = 2х+ cos x;

По подобен начин се измерва за функция ж(х). Там вече има три добавки (от гледна точка на алгебрата):

ж ’(х) = (х 4 + 2х 2 − 3)’ = (х 4 + 2х 2 + (−3))’ = (х 4)’ + (2х 2)’ + (−3)’ = 4х 3 + 4х + 0 = 4х · ( х 2 + 1).

Предмет:
f ’(х) = 2х+ cos x;
ж ’(х) = 4х · ( х 2 + 1).

Похиден робот

Математиката е логическа наука, толкова много хора се интересуват, че ако сумите са подобни на сумите на подобни, тогава е подобно да се създаде стачка"> е по-уважително към делото на потомците. И оста на света не ви е от полза! Последователното творение се уважава по съвсем друга формула. И самото:

(f · ж) ’ = f ’ · ж + f · ж ’

Формулата е проста, но често се забравя. И не само ученици, но и студенти. Резултатът е неправилни предположения.

Завданя. Разберете следните функции: f(х) = х 3 cos x; ж(х) = (х 2 + 7х− 7) · д х .

функция f(х) Има две елементарни функции, така че всичко е просто:

f ’(х) = (х 3 cos х)’ = (х 3)' cos х + х 3 (cos х)’ = 3х 2 cos х + х 3 (− грях х) = х 2 (3 cos х − хгрях х)

На функцията ж(х) първият множител е малко по-сгънат, но скритата схема не се променя. Очевидно първият множител на функцията ж(х) е богат термин и сходството му е подобно. Маемо:

ж ’(х) = ((х 2 + 7х− 7) · д х)’ = (х 2 + 7х− 7)' · д х + (х 2 + 7х− 7) · ( д х)’ = (2х+ 7) · д х + (х 2 + 7х− 7) · д х = д х· (2 х + 7 + х 2 + 7х −7) = (х 2 + 9х) · д х = х(х+ 9) · д х .

Предмет:
f ’(х) = х 2 (3 cos х − хгрях х);
ж ’(х) = х(х+ 9) · д х .

Моля, имайте предвид, че на оставащия етап е вероятно да бъде разложен на множители. Формално не се изисква работа, тъй като повечето от дейностите не се изчисляват по мощност, а за да се проследи функцията. Това означава, че е време да се приравни към нула, знаците стават ясни и т.н. За тази цел е по-добре да използвате умножители.

Има две функции f(х) че ж(х), и ж(х) ≠ 0 въз основа на безличността за нас можем да изчислим нова функция ч(х) = f(х)/ж(х). За такава функция можете също да знаете следното:

Не е слаб, нали? Звездите минус ли са? Chomu ж 2? И това е! Това е една от най-сложните формули - няма да я разберете без танци. Така че е по-добре да го навиете специфични задници.

Завданя. Разберете следните функции:

Числото и знакът на фракцията на кожата имат елементарни функции, така че всичко, от което се нуждаем, е формулата на маршируващата част:

Следвайки традицията, нека разделим числото на множители, което означава, че е лесно за разбиране:

Функция за сгъване - това не е сложна формула за увеличаване на пробега. Например, достатъчно е да вземете функцията f(х) = грях хи замени промяната х, да речем, на х 2 + ин х. Viide f(х) = грях ( х 2 + ин х) - това е сложна функция. Тя все още е в движение, но няма да можете да разберете за правилата, обсъдени по-горе.

Як бути? В такива ситуации е полезно да замените променливата и формулата за подобна сгъваема функция:

f ’(х) = f ’(T) · T', якщо хбъде заменен от T(х).

Като правило, от разбирането на формулата вдясно, тя е още по-объркваща, по-малко лична. Това също може да се обясни по-добре с конкретни примери, с подробно описание на модела на кожата.

Завданя. Разберете следните функции: f(х) = д 2х + 3 ; ж(х) = грях ( х 2 + ин х)

Уважаеми, каква е функцията f(х) замени вирус 2 х+ 3 ще бъде просто х, тогава функцията става елементарна f(х) = д х. Поради тази причина ще се поколебаем да го заменим: пуснете го 2 х + 3 = T, f(х) = f(T) = д T. Търсим подобна функция за сгъване зад формулата:

f ’(х) = f ’(T) · T ’ = (д T)’ · T ’ = д T · T ’

А сега – уау! Извършваме обратна замяна: T = 2х+ 3. Отменено:

f ’(х) = д T · T ’ = д 2х+ 3 (2 х + 3)’ = д 2х+ 3 2 = 2 д 2х + 3

Сега нека да разгледаме функцията ж(х). Очевидно трябва да се смени х 2 + ин х = T. Маемо:

ж ’(х) = ж ’(T) · T' = (грех T)’ · T' = cos T · T ’

Замяна при връщане: T = х 2 + ин х. Тоди:

ж ’(х) = cos ( х 2 + ин х) · ( х 2 + ин х)’ = cos ( х 2 + ин х) · (2 х + 1/х).

Това е всичко! Тъй като беше очевидно, че всичко е планирано, цялата работа беше извършена до изчисляване на крайната сума.

Предмет:
f ’(х) = 2 · д 2х + 3 ;
ж ’(х) = (2х + 1/х) защото ( х 2 + ин х).

Доста често в уроците си заменям термина „скрит“ с думата „удар“. Например един удар в сума е равен на сбор от удари. Толкова лудо? Е, това е добре.

По този начин изчисляването на марша се свежда до изваждането на тези удари според правилата, разгледани по-горе. Като останал задник, нека се обърнем към маршируващия етап с рационален дисплей:

(х н)’ = н · х н − 1

Малко хора знаят какво има в ролята нПо принцип може да се използва дробно число. Например, корен - tse х 0,5. Ами ако стоим под корените и всичко е изискано? Отново има функция за сгъване - такива дизайни обичат да се поддават управляващи роботио, да, ще го преживея.

Завданя. Разберете следните функции:

Като начало, нека пренапишем корена на визуалната стъпка с рационален израз:

f(х) = (х 2 + 8х − 7) 0,5 .

Сега се страхуваме да го заменим: оставете го х 2 + 8х − 7 = T. Знаем формулата:

f ’(х) = f ’(T) · T ’ = (T 0,5)' · T' = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Нека направим бърза замяна: T = х 2 + 8х− 7. Маемо:

f ’(х) = 0,5 · ( х 2 + 8х− 7) −0,5 · ( х 2 + 8х− 7)' = 0,5 · (2 х+ 8) ( х 2 + 8х − 7) −0,5 .

След като бъде решен, нека се обърнем към корена:

I теорема за подобна сгъваема функция, чиято формулировка е както следва:

Нека 1) функцията $u=\varphi (x)$ е в точката на пеене $x_0$ отива $u_(x)"=\varphi"(x_0)$; 2) функцията $y=f(u)$ се намира в крайната точка $u_0=\varphi (x_0)$ по $y_(u)"=f"(u)$. Освен това комплексната функция $y=f\left(\varphi (x) \right)$ за отгатване на точката също е подобна, равна на добавянето на подобни функции $f(u)$ и $\varphi (x)$ :

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

Или, за по-кратка нотация: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

В края на този раздел всички функции имат формата $y=f(x)$ (така че можем да видим само една функция като $x$). Очевидно всички задници харесват $y"$, за да поемат големия $x$. За да насърчите онези, които са склонни да поемат големия $x$, често пишете $y"_x$ вместо $y"$.

За приклади № 1, № 2 и № 3 има отчет за процеса на намиране на функциите на сгъване. Пример № 4 за значението на таблицата с подобни е по-изчерпателен и можете да се запознаете с него.

Необходимо е след смяна на материала на приклади № 1-3 да се премине към самостоятелно решение на приклади № 5, № 6 и № 7. Приложете № 5, № 6 и № 7, за да запазите решението кратко, така че читателят да може веднага да провери правилността на своя резултат.

Дупе #1

Намерете функцията $y=e^(\cos x)$.

Трябва да знаем скритата функция за сгъване $y"$. Ако $y=e^(\cos x)$, тогава $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Трябва да познайте скритата $ \ left(e^(\cos x)\right)"$ vikorista формула № 6 от таблицата на приликите. За да коригирате формула № 6, трябва да я добавите към нашето уравнение $u=\cos x$. Освен това решението е в баналното заместване на формула № 6 във формата $\cos x$ вместо $u$:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Сега трябва да знаем стойността на израза $(\cos x)"$. Връщаме се към таблицата на приликите, като избираме формула № 10 от нея. Замествайки $u=x$ във формула № 10, получаваме : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Сега можем да продължим уравнението (1.1), допълвайки го с резултата:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Фрагментите $x"=1$, след което ревността е продължена (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Следователно от равенството (1.3) можем: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Естествено е поясненията и междинните равенства да бъдат пропуснати, записвайки появата на подобни в едно ред, като в равенството ( 1.3) След като е намерена подобна функция за сгъване, вече не е възможно да се запише отговорът.

Vídpovid: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Дупе №2

Намерете началната функция $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Трябва да изчислим загубата $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Показателно е, че константата (числото 9) може да се приеме като знак на похода:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Сега полудявам към израза $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. За да улесня избирането на формулата от таблицата с подобни, ще представи израза, който може да се види в тази форма: $\ left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Сега е ясно, че трябва да се преразгледа формула № 2. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Можем да заместим формулата $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ и $\alpha=12$:

Допълнителна ревност (2.1) може да бъде елиминирана от резултата:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

В тази ситуация често се допуска компромис, ако първата стъпка е да се избере формулата $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ вместо формулата $ \left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Вдясно е, че първата отговорност е подобна на външните функции. За да разберете как самата функция ще бъде външна за израза $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, разберете, че ви интересува значението на израза $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ за каквато и да е стойност $x$. Първоначално ще изчислите стойността на $5^x$, след което ще умножите резултата по 4, като извадите $4\cdot 5^x$. Сега от този резултат вземаме аркутангенса, като изваждаме $ arcctg (4 cdot 5 ^ x) $. След това намаляваме числото до дванадесетата стъпка, като изваждаме $ arctg (12) (4 cdot 5 x) $. Останалата част от действието, - tobto. повдигнат на стъпка 12, - и ще външна функция. И от това има следа от началото на войната, която е създадена от ревност (2.2).

Сега трябва да знаем $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Нека създадем формула № 19 в таблицата на приликите, като заместим $u=4\cdot \ln x$ в нея:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Trochi просто otrimaniy viraz, vrahovuychi $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Ревността (2.2) сега ще стане така:

Забравих $(4\cdot \ln x)"$. Приемаме константата (4) като знак за смърт: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. За да разберете $(\ln x)"$, като използвате формула № 8, замествайки $u=x$ в нея: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"$ . Фрагменти $x"=1$, след това $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Замествайки резултата във формула (2.3), можем да премахнем:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$

Предполагам, че подобни сгъваеми функции най-често се срещат в един ред - както е написано в останалата част от уравнението. Следователно, когато се съставят стандартни процедури или контролна работа, изобщо не е задължително да се описват толкова подробно решенията.

Vídpovid: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Запас № 3

Намерете функцията $y"$ $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

За кочана променяме функцията $y$, като сме определили радикала (корена) на видимата стъпка: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5 \cdot 9^x) \right)^(\frac(3)(7))$. А сега да преминем към погребението. Фрагменти $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, след това:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Нека разгледаме формулата № 2 на Викори от таблицата на приликите, замествайки пред нея $u=\sin(5\cdot 9^x)$ и $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Нека продължим ревността (3.1), vikorista и отхвърлим резултата:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Сега трябва да знаете $(\sin(5\cdot 9^x))"$. За целта формула № 9 от подобни таблици може да бъде получена чрез заместване на $u=5\cdot 9^x$ в нея:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Като добавим ревност (3.2), можем да получим следния резултат:

Забравих $(5\cdot 9^x)"$. За кочана константа (числото $5$) се присвоява като знак на смъртта, след което $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. За да намерим индекса $(9^x)"$, добавяме формула № 5 към таблицата с индекси, като заместваме преди нея $a=9$ и $u=x$: $ (9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"$. Фрагментите $x"=1$, след това $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Сега можете да продължите с ревността (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Можете отново да обърнете стъпките към радикали (тогава те са радикали), като напишете $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ във формата $ \frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5) \) cdot 9 ^x)))$. Това ще бъде написано в следната форма:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Vídpovid: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ ) cdot 9^x)))$.

Запас № 4

Покажете, че формули № 3 и № 4 от таблицата са сходни и следващото подразделение на формула № 2 от тази таблица.

Във формула № 2 на таблицата на коефициентите е записана функцията за преместване $u^\alpha$. Замествайки $\alpha=-1$ във формула № 2, можем да елиминираме:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Ако $u^(-1)=\frac(1)(u)$ и $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, тогава капиталът (4.1) може да бъде пренаписан както следва: $ \ ляво (\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Това е формула №3 от таблицата на приликите.

Пак полудявам по формула №2 от таблицата на жертвите. Нека заместим $\alpha=\frac(1)(2)$ преди него:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Фрагменти $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ и $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, тогава капиталът (4.2) може да бъде пренаписан в следната форма:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Ревността е премахната $(sqrt(u))"=\frac(1)(2sqrt(u))cdot u"$ и е формула №4 от таблицата на приликите. Както можете да видите, формули № 3 и № 4 от таблицата са получени от формула № 2 чрез заместване на подчинената стойност $ alfa $.