Как да интегрираме рационални дроби. Интегриране на функцията shot-rational. Метод на незначимите коефициенти. Тема: интегриране на рационални дроби

Дробта се нарича правилно, тъй като старшото ниво на номератора е по-ниско от старшото ниво на подписващия. Интегралът на обикновена рационална дроб изглежда така:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Формула за интеграция рационални дробилежи в основата на богатия член на знамето. Тъй като богатият член $ ax^2+bx+c $ е:

1. Ако корените са комплексни, тогава е необходимо да видите крайния квадрат: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Ако коренът $ x_1 $ i $ x_2 $ е ефективен, тогава трябва да изчислите разширения интеграл и да намерите неизвестен коефициент$ A $ i $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B )(x-x_2) dx $$
3. Един кратен корен $ x_1 $, след което интегралът се разширява и се установява, че коефициентът $ A $ и $ B $ нямат стойност за следната формула: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+ bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Как е възможно грешно, тогава старшото ниво на номератора е по-голямо от старшото ниво на подписващия, необходимо е да го доведете до правилноНачинът за разделяне на полинома от числовия член на богатия член от знаменателя. В този случай формулата за интегриране на рационална дроб изглежда така:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Приложете решението си

Разгледани са приложенията за интегриране на рационални функции (дроби) от отчетни решения.

див. също: Корен квадратен

Тук се ориентираме решения за докладванетри приложения за интегриране на усъвършенстван рационален изстрел:
, , .

Дупе 1

Изчислете интеграла:
.

Тук под знака на интеграла има рационална функция, а фрагментите от интегралния израз са разделени на фракции от богати членове. Стъпка на богатия член на банера ( 3 ) по-малко от степента на числовия член ( 4 ). Този малък трябва да види цялата част от кадъра.

1. Виждаме цяла част от кадъра. Дилимо х 4 от x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Звидси
.

2. Разделяме банера на части. Защо трябва да развържете кубичното подравняване:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Заместимо x = 1 :
.

1 . Dilimo от x - 1 :

Звидси
.
Изглежда, че е квадратна.
.
Корен Rivnyanya: , .
Тоди
.

3. Нека разбием нещата с най-прости думи.

.

Е, ние знаем:
.
Интегриран.

Дупе 2

Изчислете интеграла:
.

Тук машината за обработка на числа има дроб - богат член от нулева степен ( 1 = х 0). Знаменосецът има богат член от трета степен. Осколки 0 < 3 , тогава дрибът е правилен. Нека го разделим на най-простите дроби.

1. Разделяме банера на части. За кого е необходимо да се определи нивото на третия етап:
.
Допустимо е някой да иска само целия корен. Това е и датата на номера 3 (Член без x). Тогава целият корен може да бъде едно от числата:
1, 3, -1, -3 .
Заместимо x = 1 :
.

Е, знаехме един корен x = 1 . Дилимо х 3 + 2 х - 3на х - 1 :

Отже,
.

Изглежда, че е квадратно равно:
х 2+x+3=0.
Известен дискриминант: D = 1 2 - 4 3 = -11. Осколки Д< 0 , тогава ревенът няма активни корени. По този начин разпределихме банера в умножители:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Заместимо x = 1 . Тоди х - 1 = 0 ,
.

Заменим в (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Равна на (2.1) коефициенти при х 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Интегриран.
(2.2) .
За да изчислим друг интеграл, очевидно в цифровия калкулатор преместваме знака на сумата от квадрати.

;
;
.

Изчислим I 2 .


.
Останки от Ривняня х 2+x+3=0няма активни корени, тогава x 2 + x + 3 > 0. Следователно знакът на модула може да бъде пропуснат.

Доставено в (2.2) :
.

Дупе 3

Изчислете интеграла:
.

Тук под знака на интеграла има няколко различни термина. Следователно интегралният израз има рационална функция. Нивото на полинома в числата е древно 3 . Етапът на полинома на сигнификатора е подобен на фракцията 4 . Осколки 3 < 4 , тогава дрибът е правилен. Следователно те могат да бъдат разделени на прости дроби. За целта е необходимо банера да се раздели на множители.

1. Разделяме банера на части. За кого е необходимо да се определи нивото на четвъртия етап:
.
Допустимо е някой да иска само целия корен. Това е и датата на номера 2 (Член без x). Тогава целият корен може да бъде едно от числата:
1, 2, -1, -2 .
Заместимо x = -1 :
.

Е, знаехме един корен x = -1 . Dilimo от x - (-1) = x + 1:


Отже,
.

Сега трябва да определите нивото на третия етап:
.
Нека приемем, че целият корен е коренът и коренът на числото 2 (Член без x). Тогава целият корен може да бъде едно от числата:
1, 2, -1, -2 .
Заместимо x = -1 :
.

Боже, намерихме друг корен x = -1 . Би било възможно, както в първата стъпка, да разделите термина на и след това да групирате термините:
.

Останки от Ривняня х 2 + 2 = 0 няма активни корени, тогава премахнахме оформлението на банера в умножители:
.

2. Нека разбием нещата с най-прости думи. Изглежда, че е изложено пред вас:
.
Към банера се добавя дроб, умножена по (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Заместимо x = -1 . Тоди х + 1 = 0 ,
.

Диференциация (3.1) :

;

.
Заместимо x = -1 Силно се надявам, че x + 1 = 0 :
;
; .

Заменим в (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Равна на (3.1) коефициенти при х 3 :
;
1 = B + C;
.

Е, знаехме как да разделим най-простите дроби:
.

3. Интегриран.


.

„Математикът, както и художникът, пее и създава артистични творения. И понеже възгледите на математика са по-стабилни, особено защото са съставени от идеи... Възгледите на математика, точно както възгледите на един художник или поет, трябва да бъдат красиви; Идеите са същите като цветовете и думите на вина се споделят една по една. Красотата е на първо място: в света няма място за грозна математика».

Г. Х. Харди

В първия раздел беше прието, че основната цел ще бъде постигането на прости функции, които вече не могат да бъдат изразени чрез елементарни функции. Във връзка с това голямо практическо значение имат тези класове функции, за които можем да кажем точно, че техните първични функции са елементарни функции. Функциите достигат до този клас рационални функции, които са връзките на два алгебрични богати члена Преди да интегрирате рационални дроби, дайте богат ред. Ето защо е много важно да се интегрират такива функции.

2.1.1. Дробни рационални функции

Рационална дроб(или shot-рационална функция) се нарича връзка на два алгебрични богати члена:

където i – богати членове.

Познай какво богат член (полином, цяла рационална функция) нти етапсе нарича функция

де – активни номера. Например,

- богат член на първия етап;

- богат член на четвъртия етап и др.

Извиква се рационалният аргумент (2.1.1). правилноАко нивото е по-ниско от нивото, тогава. н<м, в друг случай се извиква дрибът грешно.

Всяка неправилна дроб може да бъде поднесена под формата на голяма част (цяла част) и правилна дроб (дробна част).Виждането на цялата и заснетите части на неправилен изстрел може да се извърши съгласно правилото на „изрязаната“ част.

Дупе 2.1.1.Вижте цялата дроб на следните неправилни рационални дроби:

а) , б) .

Решение . а) Алгоритъмът на Vikorist е разделен на „бумп“ и може да бъде елиминиран

По този начин ние отхвърляме

.

б) Ето и алгоритъм на викори в „удар“:

В резултат на това можем да отхвърлим

.

Да донесем торбичките. Незначителният интеграл на рационалната дроб в буквалния израз може да бъде открит чрез сумата от интегралите на богатия член и правилната рационална дроб. Намирането на първите видове полиноми не става трудно. Следователно е важно да се вземат предвид правилните рационални дроби.

2.1.2. Най-простите рационални дроби и тяхното интегриране

Сред правилните рационални дроби има четири вида, които се отнасят до до най-простите (елементарни) рационални дроби:

de - цяло число, , тогава. квадратен тричлен няма активни корени.

Интегрирането на най-простите дроби от 1-ви и 2-ри тип не създава големи трудности:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Сега ще разгледаме интегрирането на най-простите дроби от 3-ти тип, но няма да разглеждаме дробите от 4-ти тип.

Нека завършим с интегралите в ума

.

Този интеграл се извиква да бъде изчислен чрез виждане на пълен квадрат в банера. Резултатът е табличен интеграл със следната форма:

или друго .

Дупе 2.1.2.Намерете интеграли:

а) , б) .

Решение . а) Виден от квадратния трином, новият квадрат е:

Познаваме звездите

б) След като видим новия квадрат от квадратния тричлен, можем да премахнем:

По такъв начин

.

За намиране на интеграла

може да се види в цифровия калкулатор според знака и делението на интеграла за сумата от два интеграла: първият чрез тяхното заместване ускори се

,

а другият - към огледаното.

Дупе 2.1.3.Намерете интеграли:

.

Решение . Скъпи scho . Вижда се в номера на банера:

Първият интеграл се изчислява чрез допълнително заместване :

Другият интеграл очевидно има допълнителен квадрат в знака

Останалото, можем да го премахнем

2.1.3. Поставяне на правилната рационална дроб
за сумата от най-простите дроби

Бъдете правилният рационален аргумент може да се види в един ред, като се погледне сумата от най-простите дроби. За тази цел банерът трябва да бъде разделен на множители. От много алгебра става ясно, че кожата е богата на активни коефициенти

Въведете функция, която изисква познаване на интеграла

След като изчислите неоценения интеграл, можете да извлечете безплатното ПОДРОБНО решение на въведения от вас интеграл.

Знаем решението на неоценения интеграл на функцията f(x) (подобна функция).

Приложете го

От етапа на застой
(квадрат и куб) и дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Корен квадратен

Sqrt(x)/(x + 1)

Кубичен корен

Cbrt(x)/(3*x + 2)

От изчисления на синус и косинус

2*sin(x)*cos(x)

арксинус

X*arcsin(x)

Аркосинус

X*arccos(x)

Използване на логаритъм

X*log(x, 10)

Натурален логаритъм

експонент

Tg(x)*sin(x)

Котангенс

Ctg(x)*cos(x)

Ирационални дроби

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

X*arctg(x)

Аркотангенс

X*arcctg(x)

Хиперболичен синус и косинус

2*sh(x)*ch(x)

Хиперболичен тангенс и котангенс

Ctgh(x)/tgh(x)

Хиперболичен арксинус и аркосинус

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Хиперболичен арктангенс и арккотангенс

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Правила за въвеждане на изрази и функции

Изразите могат да се комбинират с функции (значенията са подредени по азбучен ред): абсолютен(x)Абсолютно незначително х
(модул хили друго |x|) arccos(x)Функция - арккосинус х arccosh(x)Арк косинус хиперболичен изглед х arcsin(x)Арксинусов изглед х arcsinh(x)Арксинус хиперболичен изглед х арктан (x)Функция - арктангенс х arctgh(x)Арктангенсен хиперболичен изглед х д дчисло, което е приблизително по-старо от 2,7 exp(x)Функция - показател х(какво аз д^х) log(x)или ln(x)Натурален логаритъм х
(Свалете го log7(x), трябва да въведете log(x)/log(7) (или, например, for log10(x)=log(x)/log(10)) пиЧислото е „Пи“, което е приблизително по-старо от 3,14 грях(х)Функция - Синусоида х cos(x)Функция - Косинус х sinh(x)Функция - Синусен хиперболичен изглед х cosh(x)Функция - Косинус хиперболичен тип х sqrt(x)Функция - корен квадратен от s х sqr(x)или друго x^2Функция - Квадрат х тен(x)Функция - Допирателен изглед х tgh(x)Функция - Тангенс хиперболичен х cbrt(x)Функция - кубичен корен х

Вирусите могат да извършват следните операции: Референтни номеравлезте с един поглед 7.5 , Не 7,5 2*x- умножение 3/x- разделяне x^3- повдигнат на крачка х+7- добави х - 6- vidnіmannya
Други функции: етаж(x)Функция - закръгляване хот страната на menshu (под на дупето(4.5)==4.0) таван(x)Функция - закръгляване хот голямата страна (заден таван(4,5)==5,0) знак (x)Функция - Знак х erf(x)Млечна функция (или цялостен интеграл) Лаплас (x)Функция на Лаплас

За да интегрирате рационалната функция \(\large\frac((P\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize,\) de \((P\left(x \ right ) ))\) и \((Q\left(x \right))\) − полиноми, се определя последователността от стъпки:

Ако дрибът е неправилен (стъпката \((P\left(x \right))\) е по-голяма от стъпката \((Q\left(x \right))\)), променете я на правилната, виждане целта на израза;

Разстелете банера \((Q\left(x \right))\) в повече мономи и/или бавни квадратни изрази;

Разбийте рационалната дроб на най-простите дроби, vikoryst ;

Изчислете интеграли, като използвате най-простите дроби.

Крок 1. Повторно преобразуване на неправилна рационална дроб

Тъй като членът е неправилен (тогава числовата стъпка \((P\left(x \right))\) е по-голяма от знаковата стъпка \((Q\left(x \right))\)), богатият член \ ((P\) ляво е разделимо (x \right))\) на \((Q\left(x \right)).\) Офанзивният вираз може да бъде отхвърлен: \[\frac((P\left(x) \right))))((Q\left (x \right))) = F\left(x \right) + \frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \ дясно)))),\] de \( \large\frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize\) е правилната рационална дроб.

Минзухар 2. Оформяне на банера с помощта на най-простите дроби

Нека запишем богатия член на знаменника \((Q\left(x \right))\) във формата \[ (Q\left(x \right) ) = ((\left((x - a) \ дясно)^\alpha ) \ cdots (\left((x - b) \right)^\beta )(\left(((x^2) + px + q) \right)^\mu ) \cdots (\ left(((x^2 ) ) + rx + s) \right)^\nu ),) \] де квадратичните функции не са бързи, така че няма активни корени.

Урок 3. Разпределяне на рационални дроби от сбор на най-простите дроби.

Нека запишем рационалната функция в съвременна форма: \[(\frac((R\left(x \right))))((Q\left(x \right))) = \frac(A)((((( \left (( x - a) \right))^\alpha ))) + \frac(((A_1))))((((\left((x - a) \right))^(\alpha - 1) )))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((A_(\alpha - 1)))))((x - a)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(B) (( (((\left( (x - b) \right))^\beta ))) + \frac(((B_1))))((((\left((x - b) \right)) ^( \beta - 1)))) ) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((B_(\beta - 1)))))((x - b)) )\kern0pt (+ \frac( (Kx + L)))((((\ ляво(((x^2) + px + q) \дясно))^\mu ))) + \frac(((K_1)x + (L_1))) )( (((\left(((x^2) ) + px + q) \right))^(\mu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((K_(\ mu - 1)))x + (L_(\mu - 1) ))))(((x^2) + px + q)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac((Mx + N)) (( ((\left(((x^2) + rx +) s) \right))^\nu ))) + \frac(((M_1)x + (N_1))))((((\ ляво( ((x^2) + rx + s) \дясно))^ (\nu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((M_(\nu - 1))x + (N_ (\nu - 1)))))(((x^2) + rx + s)).) \] Броят на незначителните коефициенти е незаконен \((A_i),\) \((B_i), \) \(( K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \((N_i), \ldots\) може да добави към нивото на банера \((Q\left (x \вдясно)).\)

След това умножаваме нарушителните части на оттегленото, равно на банера \((Q\left(x \right))\) и изравняваме коефициентите за добавяне със същите стъпки \(x.\) В резултат на това оттегляме система от линейни равенства без домашни коефициенти \((A_i ),\) \((B_i),\) \((K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \(( N_i), \ldots\) Тази система винаги ще бъде едно решение. Описания на алгоритъма метод на незначимите коефициенти .

Урок 4. Интегриране на най-простите рационални дроби.

Най-простите дроби, отделени от разгръщането на достатъчно правилна рационална дроб, се интегрират с помощта на следните шест формули: \ \ За дроби с квадратен знак първоначално е необходимо да се види външният квадрат: \[\int (\frac( (Ax + B)))(((( (\left(((x^2) + px + q) \right))^k)))dx) = \int (\frac((At + B") ))((((\left((( t^2) ) + (m^2)) \right))^k)))dt) ,\] de \(t = x + \large\frac(p )(2)\normalsize,\) \( (m^2 ) = \large\frac((4q - (p^2)))(4)\normalsize,\) \(B" = B - \large\ frac((Ap))(2)\normalsize .\) Тогава следните формули се забиват: \[(4.\;\;\int (\frac((tdt)))((((\left((( t^2) + (m^2)) \right ))^k )))) ) = (\frac(1)((2\left((1 - k) \right)((\left((( t^2) + (m^2)) \right ))^( k - 1)))) ) \] \ Integral \(\large\int\normalsize (\large\frac((dt)))(( ((\left(((t^2) + ( m^2))) \right))^k)))\normalsize) \) можете да платите за \(k\) kroki за допълнителна помощ формули за намаляване\[ (6.\;\;\int (\frac((dt)))((((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^k)))) ) = (\frac(t)((2(m^2)\left((k - 1) \right)((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^ ( k - 1)))) ) (+ \frac((2k - 3))((2(m^2)\left((k - 1) \right)))\int (\frac((dt) ) ((((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^(k - 1))))) ) \]