Интегриране на рационални дроби - метод на незначимите коефициенти. Интегриране на рационални функции и метод на незначимите коефициенти. Интегриране на функцията shot-rational. Метод на незначимите коефициенти

Като начало, нека да разгледаме теорията, тогава вероятно има няколко задници за осигуряване на материала от разпределението на ударно-рационални функции за сумата от най-простите дроби. Нека да разгледаме подробностите методи второстепенни коефициенти і методи на частните ценности, както и техните комбинации.

Най-простите дроби често се наричат елементарни дроби.

Те са разделени видове най-прости дроби:

където A, M, N, a, p, q са числа, а дискриминантът на знака в дроби е 3) и 4) по-малък от нула.

Те се наричат ​​дроби от първи, втори, трети и четвърти тип.

Искали ли сте някога да го представите с най-прости думи?

Нека направим една математическа аналогия. Често трябва да правите прости неща като това, за да можете да правите неща с него. Така че оста, проявлението на шот-рационалните функции под формата на сума от най-простите дроби, е приблизително една и съща. Използва се за разширяване на функции в статични серии, серии на Лоран и, разбира се, за намиране на интеграли.

Например, важно е да вземете интеграл на дробно рационална функция. След разширяване на интегралната функция върху най-простите дроби, всичко се свежда до редица прости интеграли

Те също са интегрирани в друг раздел.

дупето.

Разстелете капката с най-прости думи.

Решение.

Тогава съотношенията на богатите членове се разбиват на най-простите дроби, тъй като нивото на богатия член в числото е по-малко от нивото на богатия член в знака. В противен случай първо разделете полинома на числото на полинома на знаменателя и след това извършете разлагането на правилната дробна рационална функция.

Vikonaemo под stovpchik (kut):

Е, ще видя последния виц:

По този начин в най-простите дроби ще изложим

Алгоритъм за метода на незначимите коефициенти.

Според Перше, Поставяме банера в кратни.

За дупето ни всичко е просто - носим ги на ръце.


По различен начин, когато дробта е изложена, тя изглежда като сбор от най-простите дроби с незначителни фактори.

Тук можете да разгледате видовете изрази, които може да имате на вашето място.

Въпреки теорията, на практика всичко е по-разумно.

Когато му дойде времето, обърнете се към дупето. Дробта се разлага на сбор от най-простите дроби от първи и трети тип с маловажни коефициенти A, B и C.


На трето, ще премахнем сумата от най-простите дроби с маловажни коефициенти до крайния знак и ще групираме събиранията в числовата система на същите нива на x.



Тогава започна ревността:


Когато x се промени от нула, това равенство се свежда до равенството на два богати члена


И два полинома са равни или различни, ако коефициентите при едни и същи стъпки са равни.

На една четвърт, Коефициентът е равен при същите нива на x.

В този случай елиминираме системата от линейни уравнения на алгебрата с незначителни коефициенти, сякаш са неизвестни:


Пет, Вероятно системата на равни ще бъде елиминирана по всякакъв начин (ако е необходимо, погледнете статията), който ви подхожда, разбира се, коефициентът е неизвестен.


По-Шоста, записваме репортажа.

Бъдете любезни, не бъдете мързеливи, проверете доказателствата, носейки разопаковането в леглото.

Метод на незначимите коефициентиПо универсален начин, в момента на поставяне на изстрела по най-простия начин.

Лесно е да използвате метода на частните стойности, тъй като банерът е солиден линеен множител, така че изглежда подобно на

Нека да разгледаме дупето, за да покажем неговите предимства.

дупето.

Разстелете капката с най-прости думи.

Решение.

Така че, тъй като нивото на богат член в номер работник е по-малко от нивото на богат член в знаменник, тогава няма да имаме възможност да работим на полето. Преминаваме към поставяне на банера в мултипликатори.

За кочана ги носим на ръце.

Знаем корена на квадратния трином (например според теоремата на Виет):

Добре, квадратен трином може да бъде записан като

Мога да видя банера в бъдеще

С този стандарт крайната фракция се разлага на сумата от три прости дроби от първи тип с маловажни коефициенти:

Сумата се редуцира до краен знак, но в броя, в който рамената не са отворени и аналогично за A, B и C (на който етап има разлика от метода на незначимите коефициенти):

По този начин усърдието продължи:

И сега, за да намерим маловажни коефициенти, започваме да въвеждаме „частни стойности“ в уравнението, когато стойността отива до нула, тогава x = 0, x = 2 и x = 3 за нашия пример.

При x=0 имаме:

При x=2 имаме:

При x=3 имаме:

Предмет:

Както можете да видите, значението на метода на неизвестните коефициенти и метода на частните коефициенти е по-малко важно от метода за намиране на неизвестни. Тези методи могат да се използват за опростяване на изчисленията.

Нека да разгледаме дупето.

дупето.

Разгърнете рационалния възглед до най-простите дроби.

Решение.

И така, тъй като степента на обогатения член на числото е по-малка от степента на обогатения член на знаменателя и знаменателя на факторизациите, тогава изходът може да бъде представен от сумата на най-простите дроби от тази форма:

Посочваме последния банер:

Ние сме равни на трошачи на числа.

Можете да видите, че нулите на знака са стойностите x=1, x=-1 и x=3. Методът на частните ценности на Використ.

При x=1 маемо:

При x=-1 маемо:

При x=3 имаме:

Загубен да знам неизвестното

За което заместваме намерените стойности в равенството на числата:

След отваряне на рамената и въвеждане на подобни добавки на същите стъпки x, стигаме до равенството на два богати члена:

Има еднакви коефициенти на едни и същи нива, като по този начин се създава система от сравнения за намиране на неизвестни. Нека премахнем системата от пет нива от две неизвестни:

От първо ниво веднага се познава, от друго ниво

Резултатът може да бъде разделен на най-прости дроби:

Забележка.

Ако веднага решим да използваме метода на незначимите коефициенти, ще трябва да създадем система от пет линейни нива на алгебра с пет неизвестни. Използването на метода на частните стойности направи възможно лесното познаване на стойностите на три неизвестни, което значително премахна решението.

Обичам ви всички, скъпи приятели!

Е, аз летя! Успешно получихме основния материал в интегрираните рационални дроби. метод на незначимите коефициенти. Велик и могъщ.) Какъв е източникът на неговото величие и сила? И точно тук се крие неговата гъвкавост. Много е забавно да се знае, нали? Предварително ще има няколко урока от това. Темата е много дълга, а материалът е много важен.)

Веднага ще кажа, че в днешния урок (и в бъдеще) няма да се занимаваме толкова с интеграцията, колкото... разкриване на системите от линейни рангове!Горе-долу! Така че за тези, които имат проблеми със системите, повторете матриците, променливите и метода на Крамър. А за тези другари, които се затрудняват с матриците, ви съветвам най-малкото да опресните паметта си за „училищните” методи на висшите системи - метода на заместването и метода на почленното събиране/ отстраняване.

За да започнем нашето запознанство, нека се върнем малко назад. Нека бързо да се върнем към предишните ни уроци и да анализираме всички дроби, които преди сме интегрирали. Без никакъв среден път, без никакъв метод на незначителни коефициенти! Оста на вонята са дроби. Сортирах ги в три групи.

Група 1

На банера - линейна функцияили самостоятелно или на стъпалото. С една дума, знаменосецът стои твърдо обаче нито един от тяхлък ум (ха).

Например:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10) (x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5)(2x+5)(2x+5)

И така нататък. Преди да говорите, моля, спрете да се биете с ръце (4x+5)или друго (2x+5) 3с коеф кпо средата. Това е все едно, за своята същност, ръцете на ума (ха). Bo tse същото кОт такива арки можете да направите име в бъдеще.

Оста е така:

Оста е всичко.) И няма значение с какво число стои човек – това е просто dxили богат член. Първо поставихме номерната книга зад стъпалата на арката (х-а), преобразува много в сбор от малки, донесе (според изискванията) дръжката под диференциала и интегрира.

Група 2

Какво им е хубавото на тези пушки?

А най-високите са тези, които стоят на всички банери квадратен тричленбрадва 2 + bx+ ° С. Ейлът не е просто, а сам по себе си в един екземпляр. Тук няма значение дали нечий дискриминант е положителен или отрицателен.

Такива дроби винаги са били интегрирани по един от двата начина - или чрез поставяне на числото зад стъпките на банера, или чрез виждане на нов квадрат в банера с последваща замяна на променливата. Всичко се крие под определена интегрална функция.

Група 3

Те са най-подходящи за интегриране на кадъра. Знаменосецът има несгъваем квадратен тричлен, също на стъпалото н. Здравей, ще ти се обадя пак, в един екземпляр. Бо, освен тричлена, знакът няма други множители. Такива дроби бяха интегрирани за . Или без среда, или са били доведени до нея, след като са видели ново квадратче в банера и предстоящата смяна на сменяемото.

Но, за съжаление, цялото богато разнообразие от рационални дроби не се ограничава само до тези три групи.

Защо трябва да стоя до банера? касапницахрамове? Например нещо като:

(x-1)(x+1)(x+2)

Или в същото време лъка (ха)и квадратичен трином, така че тип (x-10) (x 2 -2x +17)? А в други подобни ситуации? Оси себе си в такива ситуации и се притече на помощ метод на незначимите коефициенти!

Ще ви кажа веднага: ще продължим, докато не сме правилнодроби. Тими, на някои етапи от номератора има строго по-ниско ниво от етапа на банера. Як бути с неправилни дроби, докладвани за дроби. Необходимо е да се види цялата част (цялата част). Поставете малка купчина от пазителя на номера върху банера или изложете плановете на пазителя на номера - както желаете. И дупето се маха. И изглежда вече интегрирате богатия термин по този начин. Не бъди малък, тръгвай сега.) Алена неправилни дробиПросто вижте задника си!

И сега започваме да се опознаваме. Освен повечето ни приятели от великата математика, нашите познания са все още не сухата, но важна теория за основната теорема на алгебрата, теоремата на Безу, за разлагането на рационална дроб на сбора от най-простите (за тези дроби по-горе ) и други досадни неща, и да приключим с неудобния задник.

Например, трябва да знаем оста на не-стойностите на интеграла:

Първо погледнете интегралната част. Знаменосецът има три ръце:

(x-1)(x+3)(x+5)

Освен това всички оръжия касапница. Ето защо старата ни технология за разполагане на номератора зад стъпалата на банера никога няма да работи: как номераторът може да види лъка? (X-1)? (X +3)? Не е изненадващо... Виждането на пълен квадрат в банера също не е в касата: има богат член третистъпка (чрез умножаване на всички ръце). Какво е плахо?

Когато погледнете нашата храна, можете да видите, че това е напълно естествена диета... Наистина е прекалено! От страхотния ни удар, който не ръчноинтегрирайте, за да създадете три малки. Бих искал да е така:

Защо имате нужда от този вид шукати? И всичко заради факта, че в този външен вид нашият излизащ приятел вече е удобенза интеграция! Нека обобщим знака на кожата малка фракция i – напред.)

Как можете да се отървете от такава бъркотия? Новият е добър! Една проста теорема от математиката изглежда е - това е възможно! Това оформление се събира като едно.

Има само един проблем: коефициентите А, Uі Змили Бувайние не знаем И сега основните ни задачи ще бъдат тяхното означаване. Разберете защо нашите писатели са равни А, Uі З. Знаци и имена – метод маловажнокоефициенти. Да оскъпим нашата Казкова!

Е, имаме ревност, така че започваме да танцуваме:

Нека приведем и трите дроби с дясната ръка към последния знак и да ги съберем заедно:

Сега можете любезно да хвърлите банерите (защото смърдят) и да приравните числата. Всичко е както обикновено

Да настъпим крокодила отваряме всички ръце(коефициенти А, Uі З БувайПо-добре е да отмените обаждането):

И сега (което е важно!) цялата ни конструкция е дясна според старшинството на стъпките: от началото събираме всички членове от x 2, след това - само от x и, вие решавате, ние избираме всички членове. Всъщност ние просто въвеждаме подобни и групови допълнения зад стъпките на X.

Оста е така:

А сега нека да оценим резултата. Zliva е нашият най-богат член. Друг свят. Числото на нашата интегрална дроб. Дясна ръка – теж активен член на друго ниво.Але з неизвестни коефициенти.Тази ревност може да е справедлива, когато всички валидни стойности на x. Дробите с лява и дясна ръка бяха еднакви (зад ума ни)! Tse означава, че техните числаи (тогава нашите богати членове) също са същите. Е, коефициенти на същите нива ixТези богати членове са отговорни за задължителното Бъди ревнив!

Започваме от най-високо ниво. 3 квадратни. Удивително е какви коефициенти трябва да поддържаме х 2 лява и дясна ръка. Нашият десничар струва сумата от коефициентите A+B+C, а лявата ръка е двойка. Освен това сред нас хората предпочитат ревността.

Записано:

A+B+C = 2

д. Първото нещо е готово.)

След това следваме траектория, която намалява - в сравнение с условията с X в първия етап. С дясната ръка с X стоим 8A+4B+2C. Добре. Защо имаме лява ръка на X? Хм... Zlіva vzagalі níyakogo dodanku z іksom no! Има само 2x2 – 3. Как са? Наистина просто! Това означава, че имаме коефициент за X-evil Като нула!Можем да напишем нашата лява част така:

Какво? Ние сме прави.) Тук друга връзка изглежда така:

8 А+4 б+2 ° С = 0

Е, на практика това е всичко. Загубени равноправни членове:

15A-5B-3C = -3

С една дума, класирането на коефициентите на същите нива на ix следва следната схема:

И трите ни ревности може да свършат през нощта.Затова ние избираме от нашата записана система:

Системата не е най-важното нещо за прилежния ученик - три нива и три неизвестни. Вярвай си както искаш. Можете да използвате метода на Крамер чрез матрици с ковариати, можете да използвате метода на Гаус, можете да използвате оригиналната училищна настройка.

Първо, вярвам в тази система по същия начин, по който студентите по култура очакват да съществуват такива системи. И по метода на Крамер.

Решението започва със сгънатата матрица на системата. Нека позная, че тази матрица е просто таблет, сгънат коефициенти за неизвестното.

ос:

Ще го изчислим предварително първична матрица на системата.Або, накратко, системен началникИмето се обозначава с гръцката буква ∆ („делта“):

Разбира се, системният източник не е равен на нула (-48≠0) . В теорията на линейните системи този факт означава, че нашата система е кохерентна и Има само едно решение.

Нека разчитаме на следващата стъпка произход на неизвестното ∆A, ∆B, ∆C. Предполагам, че от тези три члена ще излезем от основния източник на системата, като заменим членовете с коефициенти за определени неизвестни със сто члена.

Оста се състои от символите и е важна:

Тук няма да обяснявам техниката за изчисляване на деноминации от трети ред. аз не питам. Това е същото по отношение на тези.) Който е в темата, това е разбирането на случващото се. И може би вече бях предположил как ще изчисля тези три основни числа.

Оста е готова.)

Така че нека културните студенти управляват системата. Але... Не всички студенти са приятели със своите възпитаници. Жалко. За всеки простото разбиране на висшата математика отново ще бъде лишено от китайската грамотност и скритото чудовище в мъглата.

Е, специално за такива некултурни ученици, ще преподавам основния метод на добродетелността - метод за последователно изключване на невидимите.Всъщност това е „училищният“ метод на заместване. Ще има повече трохи.) Но същността е същата. Ще изключа радиото преди това З. За кого ще мотая? ЗОт първия ще заменя третия:

Нека го кажем просто, ще въведем прилики и ще премахнем новата система, която вече е с двеневидим:

Сега ти нова система, можете също да идентифицирате една от промените чрез другата. Всички най-важни ученици може да пожелаят да уважат коефициентите преди промяната б – рани от залежаване. Две е минус две. Татко, ще ти бъде много лесно да сгънеш ревността си между себе си, за да ти е трудно да се промениш Uи премахнете само буквата А.

Сглобяваме лява и дясна част, мисли бързо 2Bі -2Би сигурно ревността е повече от щедра А:

д. Първи открит коефициент: А = -1/24.

Явно друг коефициент U. Например от горния регион:

Звездите са ясни:

Чудотворен. Намерен е и друг коефициент: б = -15/8 . Друга буква липсва З. За целта най-важна е ревността, която се изразява чрез Аі U:

Отже:

Е, това е всичко. Намерен е неизвестен коефициент! Няма значение, чрез Крамър или чрез заместване. Головне, вярнонамерен.)

Е, нашето разпределение на голямата фракция в торбата с малките изглежда така:

И моля, не се навивайте да премахвате коефициентите на удара: тази процедура (методи с незначителни коефициенти) има първичен ефект. :)

И сега е наистина важно да проверим дали нашите коефициенти са правилни. А, бі З. Така че веднага вземаме черното и предполагаме осмия клас - събираме обратно и трите ни малки дроби.

Щом отхвърлим великото благословение, което излиза, всичко е наред. Не - това означава, бийте ме и молете за милост.

Общият банер очевидно ще бъде 24(x-1)(x+3)(x+5).

Да тръгваме:

да Резултатът беше отнет. Какво трябваше да се провери. Всичко е наред. Така че, моля, не ме удряйте.)

А сега нека се обърнем към нашия изходен интеграл. Не съм станал най-лекият в този час, така че. Но сега, ако парите ни се разпределят между малките, тази интеграция се превърна в голямо удовлетворение!

Чудете се на себе си! Вмъкваме нашето разширение в изходния интеграл.

Незабележимо:

Покварен от властите на линейността, нашият голям интеграл се разбива на сбор от малки, всички константи се прехвърлят в знаците на интеграла.

Незабележимо:

И след като премахнах трите малки интеграла, те вече са лесни за вземане. .

Продължаваща интеграция:

Оста е всичко.) И няма нужда да ме храните в този урок, резултатите от вида са взети в логаритми! Който помни всичко разбира. А който не помни, напразно обикаля. Не ги поставям толкова лесно.

Остатъчни доказателства:

Оста е толкова красива в тройки: три логаритъма - фалшив, буй и глупак. :) Опитайте и разберете този хитър трик в движение! Използва се само методът на маловажните коефициенти, така че.) Следователно с този метод разбираме. Ами звездите?

В якости надясно, насърчавам ви да практикувате метода и да интегрирате следното:

Практикувайте да намирате интеграла, не се притеснявайте за това! Трябва да се вземе следното твърдение:

Методът на незначителните коефициенти е мощно нещо. Вероятно ще доведе до безнадеждна ситуация, ако промените нещата по този начин и т.н. И основният момент тук е, че някои уважавани читатели имат много ниска диета:

- Защо да се страхуваме, след като знаменосецът има много пениси и не иска да се размножава?

- Как трябва да разберете как да разпределите голям рационален елемент на малки суми? Как изглеждаш? Защо това, а не онова?

- Защо да се притеснявате, след като поставеният банер има кратни? Или ръцете са на стъпки като (x-1) 2? Какъв е редът на подреждане?

- Какво трябва да направим, ако в допълнение към простите арки на ума (x-a) знамето може да бъде заменено едновременно с несгъваемия квадратен тричлен? Да кажем x 2+4x+5? Какъв е редът на подреждане?

Е, дойде време да разберете земята, оставете краката си да растат. Предстоят уроци.)

МИНИСТЕРСТВО НА НАУКАТА И РАЗСЛЕДВАНЕТО НА РЕПУБЛИКА БАШКОРТА СТАН

Държавна автономна образователна институция Башкирски архитектурно-строителен колеж

Халиулин Асхат Аделзянович,

Математическата библиотека на Башкирски

Колеж по архитектура и архитектура

м.УФА

2014 г

Въведение ____________________________________________________3

Глава аз Теоретични аспекти Vykoristana към метода на незначителните коефициенти_________________________________________________4

Глава II. Търси проблеми за разплитане от богати членове, използвайки метода на незначителните коефициенти ________________________________7

2.1 Разлагане на полином на множители_____________________ 7

2.2. Настройки с параметри_________________________________ 10

2.3. Разплитане на редиците_________________________________________________14

2.4. Функционално ниво_______________________________________19

Заключение________________________________________________23

Списък на литературата на Wikorista__________________________________________24

добавка ________________________________________________25

Вход

Тази работа е посветена на теоретичните и практическите аспекти на въвеждането на метода на незначимите коефициенти в училищния курс по математика. Уместността на това се показва от тези обстоятелства.

Никой няма да се съгласи с факта, че математиката като наука не стои на едно място, тя непрекъснато се развива, появяват се нови задачи разширено сгъванеТова, което често вика, е песента на трудностите, чиито фрагменти обикновено се свързват с разследвания. Такива задачи винаги са били демонстрирани на училищни, областни и републикански олимпиади по математика, а също и в EDI опции. Затова се нуждаете от специален метод, който ви позволява да премахнете някои от тях възможно най-бързо, ефективно и лесно. Тази работа може да се използва вместо метода на маловажните коефициенти, който се използва широко в най-важните клонове на математиката, като се започне от храната, която е включена в курса на чуждестранно училище, и до повечето й части. Zocrem, базиран на метода на незначителните коефициенти в най-висок ред с параметри, кадрово-рационални и функционални нива са особено ефективни и ефективни; Те лесно могат да притеснят всеки, който се интересува от математика. Основната цел на метапредложената работа и изпълнение на задачата е да предостави широк спектър от възможности за изясняване и развитие на знанията за кратки и нестандартни решения.

Това е работа и две глави. Първият разглежда теоретичните аспекти на використан

методът на незначимите коефициенти, докато другият има практическите и методологически аспекти на такова изследване.

В допълнение, работата е напомнила за специфичните задачи на самостоятелно решение.

Глава аз . Теоретични аспекти на изследванетометод на незначимите коефициенти

„Людина... е родена бути пан,

владетел, цар на природата, известен още като мъдрост,

Поради каква причина съм длъжен да управлявам, не ви е дадено

„Видовете на хората: ще спечелят череши“

М.И.Лобачевски

Има различни начини и методи от най-висок клас, но един от най-простите, най-ефективните, оригинални, изтънчени и в същото време прости и разумни във всичко е методът на незначителните коефициенти. Методът на незначимите коефициенти е метод за използване на математика за намиране на коефициентите на изрази, чийто вид е известен предварително.

Първо, нека да разгледаме приложението на метода на маловажните коефициенти до отприщването на различните задачи и ще представим редица факти от теоретичен характер.

Отдайте почит,

А н (х) = а 0 х н + а 1 х n-1 + а 2 х n-2 + ··· + а n-1 х + а н

б м (х ) = b 0 х м + b 1 х м -1 + b 2 х м -2 + ··· + b m-1 х + b м ,

богати на артикулации хс всякакви коефициенти.

Теорема. Два богати члена, които лежат под един и същият аргумент, те също са равни по този и само по онзи начин, катон = м и подобните им коефициентиа 0 = b 0 , а 1 = b 1 , а 2 = b 2 ,··· , а н -1 = b м -1 , а н = b м і T. д.

Очевидно равни членове се приемат за всички значения хзначението обаче е друго. И всъщност значенията на двата богати термина остават еднакви за всички ценности х, тогава има много членове равни, тогава техните коефициенти на същите нивахизбягал.

Въпреки това, идеята за използване на метода на незначимите коефициенти вече е в пълна сила.

Нека знаем, че в резултат на тези трансформации възниква нов вид и има неизвестна липса на коефициент в този израз. Тези коефициенти се считат за писатели и се разглеждат като неизвестни. След това на базата на тези неизвестни се формира система от класации.

Например, в случай на богати членове, равенството се формира от умовете на равенството на коефициентите на едни и същи нива. хдва равни члена имат богати стави.

Да покажем какво се е говорило в офанзива специфични задниции нека започнем с най-простото нещо.

Така, например, въз основа на теоретични различия

може да се сервира на vyglyadí sumi

, де а , b і ° С - коефициенти, които повишават значимостта. За да ги познаем, нека приравним друг израз с първия:

=

и издигане от знамето и събиране на зли членове от същите стъпки х, пропускайки:

(а + b + ° С )х 2 + ( b - ° С )х - а = 2х 2 – 5 х– 1

Остатъците от ревност могат да загубят всякакъв смисъл х, след това коефициентите на същите стъпкихдясната и лявата ръка са еднакви. По този начин има три ранга за определяне на три неизвестни коефициента:

a+b+c = 2

b - ° С = - 5

А= 1 , звезди а = 1 , b = - 2 , ° С = 3

Отже,

=
,

справедливостта на това равенство е лесно да се претълкува.

Не забравяйте отново да разберете за приятелите си

в очите а + b
+ ° С
+ д
, де а , b , ° С і д- Неизвестни рационални фактори. Нека приравним друг израз с първия:

а + b
+ ° С
+ д
=
или друго издигайки се от знака, изграждайки, възможно е, рационални множители под знаците на корена и подсказващи подобни термини от лявата страна, очевидно:

(а- 2 b + 3 ° С ) + (- a+b +3 д )
+ (a+c - 2 д )
+

+ (b - c + д )
= 1 +
-
.

Подобна ревност обаче е възможна само понякога, ако равните помежду си са рационални и осигуряват и на двете части еднакви коефициенти при наличието на нови радикали. По този начин изглежда, че търсенето на неизвестни коефициенти а , b , ° С і д :

а- 2b+ 3° С = 1

- a+b +3 д = 1

a+c - 2 д = - 1

b - ° С + д= 0, звезди а = 0 ; b = - ; ° С = 0 ; д= , тогава
= -
+
.

Глава II. Търсете решения на проблеми с богати термини метод на незначимите коефициенти.

„Нищо не крие придобиването на такива предмети.

как да се справим с него в различни ситуации"

Академик Б. В. Гнеденко

2. 1. Разлагане на полинома на множители.

Методи за разделяне на множество термини на множества:

1) винесеня на загалния множител за ръцете; 2) метод на групиране; 3) застой на основните формули за умножение; 4) въвеждане на допълнителни членове; 5) преобразуване напред на този богат член с помощта на тези и други формули; 6) подреждане с помощта на намиране на корените на този полином; 7) метод за получаване на параметър; 8) метод на незначимите коефициенти.

Задача 1. Разделете полинома на множители на действие х 4 + х 2 + 1 .

Решение. Няма корен сред членовете на свободния член на чийто богат член. Невъзможно е да се знае коренът на богатия член с други елементарни методи. Следователно е необходимо да се анализират корените на този полином с помощта на предварително търсене на корените на този полином. Невъзможно е да се реши проблемът нито чрез метода на прехвърляне на допълнителни членове, нито чрез метода на маловажните коефициенти. очевидно х 4 + х 2 + 1 = х 4 + х 3 + х 2 - х 3 - х 2 - х + х 2 + х + 1 =

= х 2 (х 2 + х + 1) - х (х 2 + х + 1) + х 2 + х + 1 =

= (х 2 + х + 1)(х 2 - х + 1).

Квадратните триноми нямат корени, така че те не могат да бъдат разделени на функционални линейни множители.

Методът на приложение е технически прост, но важен поради своята уникалност. Наистина е много важно да се измислят необходимите допълнителни членове. Единственото нещо, което ни помага да знаем, е оформлението. ейл

Да открие най-надеждните начини за постигане на такива задачи.

Бихте могли да действате така: приемете, че този богат член се разгръща в тялото ви

(х 2 + А х + b )(х 2 + ° С х + д )

два квадратни тричлена с цели коефициенти.

По такъв начин, matimemo, scho

х 4 + х 2 + 1 = (х 2 + А х + b )(х 2 + ° С х + д )

Коефициент на загуба на значимоста , b , ° С і д .

След като умножим многото членове, които стоят от дясната страна на оставащото равенство, можем да елиминираме:х 4 + х 2 + 1 = х 4 +

+ (a + c ) х 3 + (b + А ° С + д ) х 2 + (реклама + пр.н.е ) x + бд .

Ние обаче се нуждаем от дясната част от това усърдие, за да се трансформираме в такъв богат член, какъвто стои с лявата част, което най-вероятно е завоюването напредващи умове:

a + c = 0

b + А ° С + д = 1

реклама + пр.н.е = 0

бд = 1 .

Система от четири нива се появи от много неизвестниа , b , ° С і д . Лесно е да се знае цената на коефициентната системаа = 1 , b = 1 , ° С = -1 і д = 1.

Сега мистерията е в разгара си. Бяхме отведени:

х 4 + х 2 + 1 = (х 2 + х + 1)(х 2 - х + 1).

Задача 2. Разложете полинома на множители на действие х 3 – 6 х 2 + 14 х – 15 .

Решение. Нека си представим този богат термин в очите

х 3 – 6 х 2 + 14 х – 15 = (х + А )(х 2 + bx + ° С), де а , b і ч - коефициентите все още не са определени. Така че, тъй като два богати члена също са равни и равни само ако имат коефициенти на едни и същи нивах равни, тогава равните коефициенти са в съответствие сх 2 , х и свободни членове, ние отхвърляме системата от три равни от три неизвестни:

a+b= - 6

ab + c = 14

ак = - 15 .

При решаването на тази система е важно да се каже, че числото 3 (делителят на десния член) е коренът това съперничество, и добре,а = - 3 ,

b = - 3 і ч = 5 .

Тоди х 3 – 6 х 2 + 14 х – 15 = (х – 3)(х 2 – 3 х + 5).

Стагнацията на метода на незначимите коефициенти се изравнява с добавянето на метода за въвеждане на допълнителни членове, за да не се поставя нещо изкуствено, но се дължи на стагнацията на много теоретични позиции и е придружено от големи таблици. За богатите членове на по-високо ниво този метод на маловажни коефициенти води до тромави системи за класиране.

2.2.Задачи с параметри.

Останалите съдби на епизодите на EDI трябва да демонстрират познаването на параметрите. Техните решения често извикват песента на трудностите. Ако параметрите са посочени в същия ред като другите методи, методът на незначимите коефициенти може да се използва ефективно. Самият метод ви позволява значително да опростите техните идеи и бързо да премахнете доказателствата.

Настройка 3. Определете стойността на параметъра Аниво 2 х 3 – 3 х 2 – 36 х + А - 3 = 0 има точно два корена.

Решение. 1 начин Отидете за помощ.

Нека си представим една церемония по отношение на две функции

2x 3 – 3 х 2 – 36 х – 3 = – А .

f (х) = 2x 3 – 3 х 2 – 36 х– 3 ta φ( х ) = – А .

Следвайте функциятаf (х) = 2x 3 – 3 х 2 – 36 х – 3 За допълнителна помощ, нека разгледаме диаграмата схематично (фиг. 1).

е( – х )f (х ) , f (– х ) – f (х ). Функцията не е нито сдвоена, нито несдвоена.

3. Знаем критичните точки на функцията, интервалите на растеж и спад и екстремуми. f / (х ) = 6 х 2 – 6 х – 36. д (f / ) = Р Следователно всички критични точки на функцията могат да бъдат намерени чрез сравняване f / (х ) = 0 .

6(х 2 – х– 6) = 0 ,

х 2 – х– 6 = 0 ,

х 1 = 3 , х 2 = - 2 за теоремата, гейт теоремаВиета.

f / (х ) = 6(х – 3)(х + 2).

+ макс - мин +

2 3 х

f / (х) > 0 за всички х< – 2 та х > 3 и функцията е непрекъсната в точкиx =– 2 та х = 3, тогава кожата расте между интервалите (- ; - 2] и [3; ).

f / (х ) < 0 при - 2 < х< 3, тогава ще се промени на интервала [- 2; 3 ].

х = - максимум 2 петна, т.к В този момент маршируващият знак се променя от"+" до "-".

f (-2) = 2 · (- 8) - 3 · 4 - 36 · (- 2) - 3 = - 16 - 12 + 72 - 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3-та точка е минимумът, така че в тази точка маршируващият знак се променя"-" до "+".

f (3) = 2 27 - 3 9 - 36 3 - 3 = 54 - 27 - 108 - 3 = - 138 + +54 = - 84.

Графика на функцията φ(х ) = – А е права линия, успоредна на абсцисната ос и през точката с координати (0; – А ). Графиките показват две ъглови точки при –А= 41, тогава. а =– 41 та – А= - 84, тогава. А = 84 .

при

41φ( х)

2 3 х

3 f ( х ) = 2x 3 – 3 х 2 – 36 х – 3

2 начина. по метода на незначимите коефициенти.

Фрагментите зад ума на растението и ревността са виновни за майката с по-малко от два корена, тогава очевидно краят на ревността:

2х 3 – 3 х 2 – 36 х + А – 3 = (x + b ) 2 (2 х + ° С ) ,

2х 3 – 3 х 2 – 36 х + А – 3 = 2 х 3 + (4 b + ° С ) х 2 + (2 b 2 + +2 пр.н.е ) х + b 2 ° С ,

Сега равни коефициенти за нови стъпки х, отменяме системата на нивата

4 b + c = - 3

2b 2 + 2bc = - 36

b 2 ° С = а – 3 .

От първите две нива на системата знаемb 2 + b – 6 = 0, звезди b 1 = - 3 или b 2 = 2. Вторични стойностич 1 та ч 2 лесно за познаване от първото ниво на системата:ч 1 = 9 или ч 2 = -11. Останалите необходими стойности на параметрите могат да бъдат изчислени от оставащия баланс на системата:

А = b 2 ° С + 3 , а 1 = - 41 или а 2 = 84.

Доказателство: това съвпадение е точно две различни

корен при А= - 41 та А= 84 .

Задача 4. Намерете най-голямата стойност на параметъраА , при ревностх 3 + 5 х 2 + о + b = 0

С всички коефициенти има три различни корена, единият от които е свързан с 2.

Решение. 1 начин Като замести х= - 2 от лявата страна е равно, може да се премахне

8 + 20 – 2 А + b= 0, тогава, b = 2 а – 12 .

Фрагментите на числото са 2 и коренът, можете да добавите множител х + 2:

х 3 + 5 х 2 + о + b = х 3 + 2 х 2 + 3 х 2 + о + (2 а – 12) =

= х 2 (х + 2) + 3 х (х + 2) – 6 х + о + (2 а – 12) =

= х 2 (х + 2) + 3 х (х + 2) + (а – 6)(х +2) - 2(а – 6)+ (2 а – 12) =

= (х + 2)(х 2 + 3 х + (а – 6) ) .

Зад банята има още два лозови корена. Е, дискриминантът на другия множител е положителен.

д =3 2 - 4 (а – 6) = 33 – 4 а > 0, тогава А < 8,25 .

Мислех, че ще потвърдя а = 8 . Освен това при заместване на числото 8 уравнението се премахва:

х 3 + 5 х 2 + о + b = х 3 + 5 х 2 + 8 х + 4 = (х + 2)(х 2 + 3 х + 2 ) =

= (х + 1) (х + 2) 2 ,

Тогава лозата има само два различни корена. И оста при а = 7 Лесно е да извадите три различни корена.

2 начина. Метод на незначимите коефициенти.

Ревност ли е? х 3 + 5 х 2 + о + b = 0 Майски корен х = - 2, след което можете да промените числата отново° С і д така, за всичких имаше истинска ревност

х 3 + 5 х 2 + о + b = (х + 2)(х 2 + ч х + д ).

За намиране на числа° С і д Отваряме ръцете от дясната страна, преместваме подобни членове и ги премахваме

х 3 + 5 х 2 + о + b = х 3 + (2 + ч ) х 2 +(2 z + д ) х + 2 д

Еквивалентни коефициенти на различни етапи хнека използваме системата

2 + ч = 5

2 ч + д = а

2 д = b , звезди z = 3 .

Отже, х 2 + 3 х + д = 0 , д = 9 – 4 д > 0 или

д < 2.25 , Отже д (- ; 2 ].

Умът е доволен от смисъла д = 1 . Оставаща стойност на параметъраА = 7.

Тема: кога а =На 7-ия ден има три разделения на корените.

2.3. Отприщване на редиците.

„Помнете, че най-малкото съкровище на света сте вие

подгответе се за най-голямото страхотно и практично

Превъзхождат ги числено."

Академик С. Л. Соболев

С най-високо ниво на активност е възможно и необходимо да се разкрие консистенцията и чувствителността на виното и да се установят специални техники. Използвайки различни техники за трансформиране и извършване на логически изчисления, математиката е от голямо значение. Един от тези трикове е да добавяте и премахвате действия въз основа на броя на селекциите. Разбира се, фактът е добре известен на всички - основната трудност се състои в това, че в конкретна конфигурация тези трансформации са лесни и напълно трудни.

Използвайки проста алгебра, ние илюстрираме един нестандартен метод за решаване на уравнения.

Задача 5. Освободете ревността

=
.

Решение. Умножете обидните части на това уравнение по 5 и го препишете така

= 0 ; х 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 или
= 0

Премахване на цената, предимно по метода на незначителните коефициенти

х 4 - х 3 –7 х – 3 = (х 2 + ах + b )(х 2 + cx + д ) = 0

х 4 - х 3 –7 х – 3 = х 4 + (a + c ) х 3 + (b + А ° С + д ) х 2 + (реклама + пр.н.е ) x+ + бд

Равни коефициенти за х 3 , х 2 , хи безплатни членове, ние отхвърляме системата

a + c = -1

b + А ° С + д = 0

реклама + пр.н.е = -7

бд = -3 , звездите са известни:А = -2 ; b = - 1 ;

ч = 1 ; д = 3 .

Отже х 4 - х 3 –7х– 3 = (х 2 – 2 х – 1)(х 2 + х + 3) = 0 ,

х 2 – 2 х- 1 = 0 или х 2 + х + 3 = 0

х 1,2 =
Няма корен.

Подобен на моя

х 4 – 12х – 5 = (х 2 – 2 х – 1)(х 2 + 2х + 5) = 0 ,

звезди х 2 + 2 х + 5 = 0 , д = - 16 < 0 , нет корней.

Предмет: х 1,2 =

Задача 6. Дайте воля на ревността

= 10.

Решение. За перфектно подравняване е необходимо да изберете числаАі b по такъв начин, че числата на двете фракции да са еднакви. Е, нека използваме системата:

= 0 , х 0; -1 ; -

= - 10

Така задачата е да изберете числатаАі b , за когото е заложено усърдие

(а + 6) х 2 + ах - 5 = х 2 + (5 + 2 b ) х + b

Сега, въз основа на теоремата за равенството на богатите членове, е необходимо дясната част на това равенство да се трансформира в същия богат член като лявата част.

В противен случай може да изглежда, че връзката приключва

а + 6 = 1

А = 5 + 2 b

– 5 = b Знаците имат известни значенияА = - 5 ;

b = - 5 .

При тези стойностиАі b ревност А + b = - 10 само чуваеми.

= 0 , х 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(х 2 – 5х– 5)(х 2 + 3х + 1) = 0 ,

х 2 – 5х- 5 = 0 или х 2 + 3х + 1 = 0 ,

х 1,2 =
, х 3,4 =

Предмет: х 1,2 =
, х 3,4 =

Задача 7. Дайте воля на ревността

= 4

Решение. Този ред е по-сгънат от предните и следователно е групиран по такъв начин, че х 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

От умовете на равенството на двама богати членове

о 2 + (а + 6) х + 12 = х 2 + (b + 11) х – 3 b ,

Елиминира се системата за партньорска проверка и почти неизвестни коефициентиАі b :

А = 1

а + 6 = b + 11

12 = – 3 b , звезди а = 1 , b = - 4 .

Богати артикулации - 3 - 6х + cx 2 + 8 cxі х 2 + 21 + 12 д – dx Едно е равно на едно и също, ако

ч = 1

8 с - 6 = - д

3 = 21 + 12 д , ч = 1 , д = - 2 .

При стойностиа = 1 , b = - 4 , ч = 1 , д = - 2

ревност
= - 4 е правилно.

В резултат на това тази ревност придобива обиден вид:

= 0 или
= 0 или
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

От горните примери става ясно, че вместо да се използва методът на незначимите коефициенти,

помага за опростяване на развързването на сгънато, непретенциозно въже.

2.4. Функционално ниво.

„По-голямото значение на математиката... се развива

за да познавате и нареждате процедурите

хаосът, който ни прогонва"

Н.Винер

Функционалните рангове са още по-нисък клас рангове, които имат специфична функция. Под функционални равенства думата с тясно значение разбира равенства, при които функциите са свързани с известни функции на една или няколко промени за допълнителна операция за овладяване функция за сгъване. Функционалната ревност може да се разглежда и като форма на власт, която характеризира друг клас функции

[например функционално ниво f ( х ) = f (- х ) характеризира класа от сдвоени функции, функционално нивоf (х + 1) = f (х ) - клас функции, които изпълняват период 1 и т.н.].

Едно от най-простите функционални нива е нивотоf (х + г ) = f (х ) + f (г ). Очертават се непрекъснати решения на това функционално ниво

f (х ) = ° Сх . Класът от различни функции обаче има различни решения. Нека да разгледаме функционалните нива, свързани с

f (х + г ) = f (х ) · f (г ), f (х г ) = f (х ) + f (г ), f (х г ) = f (х )· f (г ),

непрекъснати решения, които ясно се задават

д cx , Увътрех , х α (х > 0).

По този начин тези функционални уравнения могат да служат за изчисляване на дисплейните, логаритмични и статични функции.

Най-голямото разширение е възникнало при необходимите функции за сгъване външни функции. Теоретично практическо използване

Същите тези хора тласнаха видни математици на ръба на смъртта.

така например, приРивняня

f 2 (х) = f (х - г)· f (х + г)

М.И.Лобачевскиvikorystvovaya колко паралелизъм има в неговата геометрия.

В крайна сметка съдбата на задачата, свързана с отприщването на функционални нива, често се демонстрира на математически олимпиади. Тяхното решение не изисква знания, които да излизат извън рамките на математическите програми. тъмно осветени училища. Разплитането на функционалните нива обаче често създава трудности.

Един от начините за намиране на решение на функционалните нива е методът на незначимите коефициенти. Його може да бъде zastosovat тогава, ако за отвън, гледайки навътреревността може да бъде значителна Загални Вигляджеланата функция. Има много шум, първо за всичко, до такива изблици, ако ревността се отприщи след шеги в средата на всякакви рационални функции.

Нека видим същността на това приемане, което изглежда такова нещастие.

Задача 8. Функцияf (х ) се присъжда за всички активни членове и е доволен за всичких Р ум

3 f(х) - 2 f(1- х) = х 2 .

намирамf (х ).

Решение. Тъй като лявата страна на това уравнение има независима променлива функцияf Ако се добавят линейни операции и дясната част е квадратична функция, тогава е естествено да се приеме, че търсената функция също е квадратна:

f (х) = брадва 2 + bx + ° С , деа, b, ° С - Коефициентите, които повишават значимостта, са незначими коефициенти.

Въвеждайки функцията за изравняване, стигаме до равенството:

3(брадва 2 + bx+c) – 2(а(1 – х) 2 + b(1 – х) + ° С) = х 2 .

брадва 2 + (5 b + 4 а) х + (° С – 2 а – 2 b) = х 2 .

Двама богати членове ще бъдат равни като равни

коефициенти на същите етапи на промяна:

а = 1

5b + 4а = 0

° С– 2 а – 2 b = 0.

От цената на системата знаем коефициентите

а = 1 , b = - , ° С = , същоудовлетворяваревност

3 f (х ) - 2 f (1- х ) = х 2 на голям брой от всички активни числа. Защо звучи така?х 0 Задача 9. Функцияy =f(х) за всеки е значимо, непрекъснато и удовлетворяващо умаf (f (х)) – f(х) = 1 + 2 х . Намерете тези две функции.

Решение. Над функцията, която се търси, са свързани две действия - работата на сгъната сгъната функция и

vidnіmannya. Лекарите, тъй като дясната част е линейна функция, естествено приемат, че търсената функция също е линейна:f(х) = ах +b , деА іb - Неизвестен коефициент. След като замени тази функция вf (f ( (х ) = - х - 1 ;

f 2 (х ) = 2 х+ какви са решенията на функционално нивоf (f (х)) – f(х) = 1 + 2 х .

Висновок.

Необходимо е да се отбележи, че този робот е изключително податлив на по-нататъшно развитие на оригинала ефективен методсправяне с разнообразни математически задачи, които включват сложни задачи и изискват задълбочено познаване на училищния курс по математика и висока логическа култура.

В работата, в рамките на редовната училищна програма и във вид, достъпен за ефективно прилагане, е представен метод на незначими коефициенти, който намалява неяснотата на училищния курс по математика.

Разбира се, всички възможности на метода на незначимите коефициенти не могат да бъдат демонстрирани в една работа. Всъщност методът все още ще изисква по-нататъшно развитие и изследване.

Списък с литература в Wikilist.

Glazer G.I.. История на математиката в училище.-М.: Просветничество, 1983.

Гомонов С.А. Функционални нива в училищния курс по математика // Математика в училище. - 2000. -№10 .

Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х.. Наръчник по математика. - М.: Наука, 1972.

Курош А.Г. Алгебрично нивооще стъпки.-М.: Наука, 1983.

Likhtarnikov L.M.. Елементарно въведение във функционалните нива. - Санкт Петербург. : Lan, 1997.

Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Сорокин Ю.И., Федин Н.Г.. Тлумачен речник на математическите термини.-М.: Просветничество, 1971

Моденов В.П.. Ръководство по математика. Част 1.-М .: MDU, 1977.

Моденов V.P.. Управление с параметри.-M .: Ispit, 2006.

Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ на елементарни функции.- М.: Наука, 1980.

Khaliullin A.A.. Можете да го направите по-просто // Математика в училище. – 2003 . - №8 .

Халиулин.

4. Разстелете богатия член 2х 4 – 5х 3 + 9х 2 – 5х+ 3 на множители с всички коефициенти.

5. Когато е значимо А х 3 + 6х 2 + о+ 12 на х+ 4 ?

6. За всяка стойност на параметъраА Ривнянях 3 +5 х 2 + + о + b = 0 с всички коефициенти има два различни корена, единият от които е свързан с 1 ?

7. Средни корени на богатия член х 4 + х 3 – 18х 2 + о + b с цели коефициенти има три равни цели числа. Намерете смисъла b .

8. Намерете най-голямата стойност на параметъра а,в случай на ревност х 3 – 8х 2 + ах +b = 0 с всички коефициенти има три различни корена, единият от които е свързан с 2.

9. За всякакви значения Аі b пасва без излишен подгъв х 4 + 3х 3 – 2х 2 + о + b На х 2 – 3х + 2 ?

10. Разделете многото термини на множители:

а)х 4 + 2 х 2 – х + 2 V)х 4 – 4х 3 +9х 2 –8х + 5 д)х 4 + 12х – 5

б)х 4 + 3х 2 + 2х + 3 G)х 4 – 3х –2 д)х 4 – 7х 2 + 1 .

11. Освободете ревността:

а)
= 2 = 2 f (1 – х ) = х 2 .

намирам f (х) .

13. Функция при= f (х) пред всички хзначимо, непрекъснато и удовлетворяващо ума f ( f (х)) = f (х) + Х.Намерете тези две функции.

Ревността (аз) е равно на еднаквост. Присаждайки го към цяла форма, равенството на двата богати члена се елиминира. Такава ревност обаче винаги ще свърши в съзнанието на членовете на тези богати членове.

Равните коефициенти на едни и същи нива, които стоят от лявата и дясната страна на равенството, елиминират системата от линейни равни на неизвестни коефициенти, в резултат на разплитане.

Фрагментите от оформлението (I) винаги ще са необходими за всяка правилна рационална дроб, тогава системата ще бъде напълно разбита.

Този метод за намиране на коефициенти се нарича метод на незначителните коефициенти (метод на изравняване на коефициентите).

Нека да разгледаме приложението на рационалните функции на елементарните дроби.

Задник 6.6.27. Разпределете съставките върху елементарните.

Оставащата ревност е сравнима с друга

По такъв начин
.

х=2 ;

х=3 .

Пързалка; .

Методът на частните стойности води до по-ниски разходи и заслужава специално внимание при интегрирането на рационални дроби.

Ако коренът на знака вече не е ефективен, тогава идентифицирането на неизвестни коефициенти трябва да бъде напълно определено по този начин.

В други случаи можете да комбинирате два метода за идентифициране на неизвестни коефициенти.

уважение. p align = "justify"> Методът на частните стойности се откроява дори ако има други разлики, но тук се изисква еднаквост на диференциацията.

По този начин, за да се интегрират правилните рационални дроби, е достатъчно да се отбележи:

1) интегриране на елементарни дроби;

2) разширяване на рационални дроби в елементарни.

3. Интегриране на рационални дроби

Схема за интегриране на рационални дроби:

За интегриране на рационални дроби ;

Където P(x) и Q(x) са богати членове с активни коефициенти, така че три реда могат да бъдат съставени последователно.

Първият крокодил. Ако дробта е неправилна, тогава степента на числото P(x) е по-голяма или долната степен на знаменателя Q(x), вижда се цялата част на рационалната дроб, разделяйки цифрата на знаменателя според правилото от разделянето на богатия член на богатия член. След тази рационална дискусия можете да направите бележки според вашето мнение:

1) видимата цяла част - полиномът M(x);

2) правилен допълнителен удар :

Още един крокодил.

Правилно овъркил дрибъл разпадат се на такива фракции.

За да направите това, намерете корените на уравнението Q(x) = 0 и разложете знака Q(x) на множители на първия и втория етап с активни коефициенти:

В това оформление множителите от 1-ви етап съответстват на активни корени, а множителите от 2-ри етап съответстват на паралелния корен.

Коефициентът за по-голяма стъпка x в знака Q(x) е равен на 1, което се постига чрез разделяне на P(x) и Q(x).

След това правилният излишък се разбива на най-простия (елементарен).

Трети път. Намерете интегралите на наблюдаваните цели части и всички елементарни дроби (използвайки методите, обсъдени по-горе), които след това се добавят.

Дупе6.6.28.

Под знака на интеграла има неправилна рационална дроб, тъй като нивото на числителя е същото като нивото на означаващото, така че виждаме цялата част.