Най-големият спящ

Вицения 2

Когато естествено число a се дели на естествено число $b$, $b$ се нарича делител на числото $a$, а числото $a$ се нарича кратно на числото $b$.

Нека $a$ и $b$ са естествени числа. Числото $c$ се нарича спящо число i за $a$ и $b$.

Няма числа на $a$ и $b$, само числата от тези числа не могат да бъдат по-големи от $a$. Е, сред тези инвеститори има най-големият, който се нарича най-големият брой инвеститори от числата $a$ и $b$ и за тази цел vikory записи:

$gcd\(a;b)\или\D\(a;b)$

За да разберете най-голямото разделение между две числа, трябва:

Научете повече за номерата, открити на crotz 2. Намерете номера и той ще бъде най-търсеният спален.

Дупе 1

Намерете gcd на числата $121$ и $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Изберете числата, които трябва да въведете, докато числата бъдат изложени

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Научете повече за номерата, открити на crotz 2. Намерете номера и той ще бъде най-търсеният спален.

$GCD=2\cdot 11=22$

Дупе 2

Намерете НОД на мономите $63$ и $81$.

Ще знаем всичко за представения алгоритъм. За кого:

Нека разложим числата на прости множители

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Изберете числата, които да въведете, преди числата да бъдат изложени

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Нека открием куп числа, намерени на кръст 2. Намерете числото и то ще бъде най-търсеният спящ.

$GCD=3\cdot 3=9$

Можете да намерите gcd на две числа по различен начин, vikoristically, без никакво обяснение на числата.

Дупе 3

Намерете НОД на числата $48$ и $60$.

решение:

Знаем числото $48$: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Сега знаем числата $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$$

Знаем разликата между тези кратности: $ \ ляво \ (( \ rm 1,2,3,4,6,12) \ дясно \) $ - това ще означава броят на различните числа $ 48 $ и $ 60 $. Най-големият елемент от тази множественост ще бъде числото $12$. Това означава, че най-голямата комбинация от числата $48$ и $60$ ще бъде $12$.

Vaznachennaya NOC

Виченца 3

Zagalnym кратно на естествени числа$a$ и $b$ е естествено число, което е кратно на $a$ и $b$.

Паралелни кратни на числа са числа, които се делят на почивни дни без излишък.

Най-малкото от халал кратните ще се нарича най-малкото халал кратно и ще бъде обозначено като LOC$(a;b)$ или K$(a;b).$

За да знаете LCM на две числа, трябва:

Разбийте числата на прости множители
Запишете си множителите, които трябва да въведете преди склада на първия ден и добавете към тях множители, които трябва да въведете преди склада на първия ден и не отивайте в склада на първия ден

Дупе 4

Познайте LCM на числата $99$ и $77$.

Ще знаем всичко за представения алгоритъм. За кого

Разбийте числата на прости множители

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Випишете множители, какво първо да въведете преди склада

добавете кратни към тях, като например да влезете в склада на друг и да не отидете в склада на първия

Намерете още числа, намерени на картата 2. Намерете числото i ще бъде най-малкото кратно на числото

$NOK=3cdot 3cdot 11cdot 7=693$

Организирането на списъци с числа често е много трудна задача. Има метод за намиране на НОД, който се нарича Евклидов алгоритъм.

Твърдо, на какви основания е алгоритъмът на Евклид:

Тъй като $a$ и $b$ са естествени числа и $a\vdots b$, тогава $D(a;b)=b$

Тъй като $a$ и $b$ са естествени числа, $b също е естествено

Чрез изчисляване на $D(a;b)= D(a-b;b)$ можете последователно да променяте тези числа, докато достигнете двойка числа, така че едното от тях да се дели на другото. Най-малкото от тези числа ще бъде най-голямото съвпадение за числата $a$ и $b$.

Силата на NOD и NOC

Ако всяко кратно на числата $a$ и $b$ се дели на K$(a;b)$
Ако $a\vdots b$ , тогава $(a;b)=a$

Ако K$(a;b)=k$ и $m$ е естествено число, тогава K$(am;bm)=km$

Ако $d$ е последният дилатор за $a$ и $b$, тогава K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ако $a\vdots c$ i $b\vdots c$ , тогава $\frac(ab)(c)$ е кратно на числата $a$ и $b$

За всякакви естествени числа $a$ и $b$ се изчислява равенство

$D(a;b)\cdot Преди(a;b)=ab$

Дали относителното на числата $a$ и $b$ е двойник на числото $D(a;b)$

1.1 Дефиниция на Евклидовия алгоритъм

Веднага след като роботът е добре конструиран, Евклидовият алгоритъм дава много повече, но изглежда, че началото може да бъде премахнато. От това изследване става ясно например, че съвкупността от длъжници i b е подобна на съвкупността от длъжници (a, b). Има и практичен начин за намиране на числата u и v от Z (или, съгласно теоремата в точка 2), така че

r n = au + bv = (a, b).

Всъщност, от ремъка на ревността можем да кажем:

r n = r n -2 - r n -1 q n = r n -2 - (r n -3 - r n -2 q n -1) q n =...

(Нека вървим по пътя отдолу нагоре, като определяме от кожата излишъка на излишъка и го представяме във вируса, който е най-висок до този момент)

Au + bv = (a, b).

Несъмнено процедурата, описана от Евклид за идентифициране на скрития свят на две величини от стотното число (и скрития свят на две естествени числа, очевидно, е техният най-голям двойник), е открита много преди Евклид. Ето как GCD и древните китайски математици са го знаели. И само тези, които тази процедура стана известна в епохата на Ренесанса от „Ухото на кочана“, което й даде името на алгоритъма на Евклид.

Най-вече за това са обвинявани търговските практики на древните търговци, когато е било необходимо да се следят различни числа от цели числа. Как например да подредим числата 3703700 и 1234567 и числата 22962965 и 7654321? Напълно естествено беше да се опитаме да разберем колко пъти по-малко пари се инвестират в повече. Лесно е да се преведе, Shcho 3703700 = 2 · 1234567 + 1234566 и 22962965 = 3 · 7654321 + 2. Zrozumilo сега, puskhnnya 3703700 до 1234567 мъже, NIZH VISHENNYA 22965.

2,99999919 <= 3, 000000261,

Древните изчисления бяха обяснени в дълга фраза.

Ако имахте възможност да изравните близки таблици с числа, например i, тогава изчисленията ще бъдат сгънати:

71755875 = 61735500 + 10020375;

61735500 = 6 10020375 + 1613250;

10020375 = 6 1613250 + 340875;

1613250 = 4 340875 + 249750;

340875 = 249750 + 91125;

249750 = 2 91125 + 67500;

91125 = 67500 + 23625;

67500 = 2 23625 + 20250;

23625 = 20250 + 3375;

20250 = 63375.

Евклидовият алгоритъм тук ви позволява да изчислите GCD на числата 71755875 и 61735500, равни на 3375, и показва разпределението на съотношението от 71755875 към 61735500 фракции на Ланс:

Алгоритъмът на Евклид изглежда е еквивалентен на ежедневната процедура за разлагане на число в дроб на Ланцуг или повече, което ви позволява да „закръглите“ редовете с числа. заменете приятел от страхотен банер с много близък приятел от по-слаб банер. Вярно, вираз

равна на дроб, в съвременната математика се нарича „подчинена дроб“, разширената връзка b = в дроб на Lanczugian (или непрекъсната).

осъзнах че

b = 1 +< 1 + и б=1 + > 1+ = ,

фрагменти

Обновяването е извършено през 3 век. пр.н.е Аристарх Самоски в трактата „За възхода и изгрева на месеца и слънцето“.

Ясно е, че относителните дроби на което и да е (рационално или ирационално) число в дроб на Ланцуг са най-близките рационални приближения на това число.

Алгоритми с богати термини

Алгоритъмът на Евклид е метод за намиране на най-големия член за две цели числа, както и два множествени члена от една променлива...

Един от най-новите математически алгоритми е алгоритъмът на Евклид за намиране на най-голямото допълнение на две положителни числа. Його ос в най-простата си форма. Дайте две цели числа. Каква воня...

Анализ на Евклидовия алгоритъм в Евклидови пръстени

Първо, преди да анализираме Евклидовия алгоритъм, ще разгледаме числата на Фибоначи. Същността на редицата на Фибоначи е, че като се започне от 1.1, следващото число излиза от предишните две. 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 ……

История на формирането на понятието "алгоритъм". Най-популярните алгоритми в историята на математиката

Алгоритъм на Евклид по универсален начинкоето ви позволява да изчислите най-големия дилатор от две положителни цели числа. Описание на алгоритъма за намиране на НОД чрез деление: 1. По-голямо число се дели на по-малко 2. Как да разделим без излишък...

Пръстен от цели числа на Гаус

Съобразени сме с важността на най-големия спящ длъжник. НОД на две гаусови числа е едно такова семейство, което се дели на всяко друго семейство. Както в много цели числа...

Математически засади на класовата система на Залишков

Нека да разгледаме дупето. Нека r = 6. Тогава има шест класа за деление на кратността на целите числа по модул 6: r = 0; r = 1; r = 2; r = 3; r = 4; r = 5; където r означава излишъка от деленето на цяло число на 6...

Методика за обучение на богати крайници в извънкласни дейности в гимназиален етап училище зад светлината

Нека пръстенът на богатите членове премине. Значение 1: Ако има богат член, тогава излишъкът е равен на нула, тогава той се нарича производна на богатия член и се обозначава: ()...

Основните етапи на развитие и структура на ежедневната математика

През 3 век пр. н. е. в Александрия се появява книга на Евклид със същото заглавие в превод „Кочан“. Латинското наименование "Cob" е подобно на термина "елементарна геометрия". Не ти пука за тези...

На територията на всяко място има фабрики и магазини, които доставят продукти от тези фабрики. В резултат на разследването бяха идентифицирани възможни пътища за комуникация и беше оценена силата на тяхното създаване за кожния път.

Създаване на методи на дискретната математика на икономиката.

Фирма, занимаваща се с транспорт на потребителски стоки, трябва да достави стоки от Suifenhe до Хабаровск и маршрути, които могат да се използват за доставка на стоките. Маршрутът между Suifenhe и място 2 е 15 км.

Развитие на понятието "Космос" и неевклидова геометрия

Специални методи за интегриране на рационални вируси

Необходимо е да се знае GCD на много членове. Без да се намесва в силата, важно е една стъпка да не отделя една стъпка от друга. Богатият член може да бъде представен от следното: de - излишък от дъното. Тогава стъпката е по-малка от стъпката на работника. далеч...

Теорията на излишъка

Визначення. Числото d Z, което дели едновременно числата a, b, c, ..., k Z, се нарича двойник на тези числа. Този с такава власт се нарича най-големият длъжник. Обозначение: d = (a, b, c, ..., k). Теорема. Yakscho (a, b) = d...

Теорията на излишъка

Моля, не забравяйте да създадете линейно диофантиново уравнение: ax + by = c, de a, b, c Z; a и b не са нули. Нека се опитаме да избледнеем, удивлявайки се на центъра. Нека (a, b) = d. Todi a = a 1 d; b = b 1 d и уравнението изглежда така: a 1 d x + b 1 d y y = c, тогава. d·(a 1 x + b 1 y) = c...

Qia статия за Намиране на най-големия спален запас (NDD)две или повече числа. Нека първо да разгледаме Евклидовия алгоритъм; той ви позволява да намерите НОД на две числа. И накрая, ние се фокусираме върху метод, който ни позволява да изчислим gcd на числа като добавки към техните първични множители. След това ще разгледаме констатациите за най-голямата буквална част от три и голям брой числа, както и приложението за изчисляване на gcd на отрицателни числа.

Навигация в страницата.

Евклидов алгоритъм за намиране на НОД

Важно е, че ако току-що се бяхме върнали към таблицата на простите числа, щяхме да разберем, че числата 661 и 113 са прости, така че веднага бихме могли да кажем, че най-големият брой хора в света е равен на 1.

Предмет:

НОД (661, 113) = 1 .

Познаване на GCD за допълнително разлагане на числа в прости множители

Нека да разгледаме друг начин за намиране на GCD. Най-голямото прозрение може да се намери в разлагането на числата на прости множители. Нека формулираме правилото: Gcd на две цели положителни числа a и b е същата като събирането на всички прости прости множители, които се намират при разлагането на числата a и b на прости множители.

Нека да дадем обяснение на правилата за промяна на GCD. Кажете ни как да разложим числата 220 и 600 на прости множители, те изглеждат като 220 = 2 · 2 · 5 · 11 · 600 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5 . Това са прости прости множители, които участват в разлагането на числата 220 и 600 и 2, 2 и 5. Otzhe, gcd (220, 600) = 2 2 5 = 20.

По този начин, ако разделите числата a и b на прости множители и намерите събирането на всички кратни множители, тогава ще намерите най-голямото кратно на числата a и b.

Нека да разгледаме основата на GCD знанието зад посоченото правило.

дупето.

Намерете най-големия брой числа 72 и 96.

Решение.

Нека разделим числата 72 и 96 на прости множители:

Тоест, 72 = 2 2 2 3 3 и 96 = 2 2 2 2 2 3. Най-простите множители са 2, 2, 2 и 3. Следователно НОД(72, 96)=2·2·2·3=24.

Предмет:

НОД (72, 96) = 24 .

В края на тази точка е важно да се отбележи, че валидността на установеното правило за намиране на GCD се основава на силата на най-големия общ длъжник, което потвърждава, че НОД(m a 1, m b 1)=m НОД(a 1, b 1), където m е цяло допълнително число.

Стойността на gcd от три или повече числа

Намирането на най-голямата част от три или повече числа може да се сведе до последователно намиране на gcd на две числа. Чудехме се за това под влиянието на властите на NOD. Там формулирахме и завършихме теоремата: най-голямата скрита стойност на редица числа a 1 , a 2 , ..., ak подобно на числото d k , което се намира при последователното изчисление на НОД(a 1 , a 2) = d 2, НОД(d 2, a 3) = d 3, НОД (d 3, a 4) = d 4, ..., НОД (d k-1, a k) = d k.

Нека видим как изглежда процесът на намиране на НОД на редица числа, като разгледаме решението в примера.

дупето.

Намерете най-големия брой числа 78, 294, 570 и 36.

Решение.

В този случай a 1 = 78, a 2 = 294, a 3 = 570, a 4 = 36.

Въз основа на алгоритъма на Евклид, най-голямата комбинация от d 2 от първите две числа 78 и 294 е значима. При деление се определя равенството 294 = 78 3 +60; 78 = 60 1 +18; 60 = 18 · 3 +6 і 18 = 6 · 3. Така d 2 = gcd (78, 294) = 6.

Сега е количествено измеримо d 3 = НОД (d 2 , a 3) = НОД (6, 570). Още веднъж, Евклидовият алгоритъм е в застой: 570 = 6 95, тогава d 3 = gcd (6, 570) = 6.

Твърде много за броене d 4 = НОД (d 3, a 4) = НОД (6, 36). Фрагментите от 36 се делят на 6, тогава d 4 = gcd (6, 36) = 6.

Е, най-голямата скрита стойност на няколко от тези числа е по-стара от d 4 =6, тогава НОД(78, 294, 570, 36)=6.

Предмет:

НОД (78, 294, 570, 36) = 6.

Разлагането на числа в прости множители също ви позволява да изчислите gcd на три или повече числа. И тук най-големият инвеститор работи като източник на всички скрити прости множители на тези числа.

дупето.

Изчислете gcd на числа от първия пример, vikorista и тяхното разлагане на прости множители.

Решение.

Разлагаме числата 78, 294, 570 и 36 на прости множители, като изваждаме 78 = 2 3 13, 294 = 2 3 7 7, 570 = 2 3 5 19, 36 = 2 2 3 3. Общите прости множители на четирите числа са числата 2 и 3. Отже, НОД (78, 294, 570, 36) = 2 3 = 6.

Алгоритъм на Евклид- това е метод за намиране на най-голямата дихотомия (NDD) на две цели числа. Оригиналната версия на алгоритъма, ако GCD работи за в бъдеще, е открита от Евклид (III век сл. Хр.). Най-често при изчисляване на GCD с помощта на евклидовия алгоритъм се използва подразделение, тъй като този метод е ефективен.

Изчисляване на GCD наполовина

Най-големият брой залагащи в двойка числа е най-голямото число, което е общото деление на числото на залога. Трябва да изчислите gcd за числата 108 и 72. Алгоритъмът за изчисляване наполовина ще бъде така:

Разделете повече (делител) на по-малко (делител): 108 / 72 = 1, излишък 36.
Изрезките на излишъка не достигат нула, тогава разделяме излишъка на длъжник, а излишъка на длъжник: 72 / 36 = 2, излишък 0.
Ако излишъкът е равен на нула, инвеститорът търси GCD за двойка дадени числа. Тогава НОД(108, 72) = 36. Вярно, 108/36 = 3 и 72/36 = 2.

Чий алгоритъм? Делението се повтаря, докато излишъкът стане нула. Ако останеш така, GODOM е акционер на останалото подполе. Например, трябва да знаете GCD(106, 16):

106/16 = 6, излишък 10
16/10 = 1, излишък 6
10/6 = 1, излишък 4
6/4 = 1, излишък 2
4/2 = 2, излишък 0
gcd(106, 16) = 2

Изчисляване на НИД за заплати

Когато се намери GCD, изходните стойности също трябва да достигнат нула. Алгоритъмът е подобен на метода на подразделяне, само че тук на кожния етап се появява и променя външния вид и разликата от предишния етап. В този случай при по-голямо количество втасва по-малко. Този тип алгоритъм е подходящ само за положителни цели числа.

Уведомете ни GCD (108, 72):

108 - 72 = 36
72 - 36 = 36
36 - 36 = 0
gcd(108, 72) = 36

Известен GCD(44, 60):

60 - 44 = 16
44 - 16 = 28
28 - 16 = 12
16 - 12 = 4
12 - 4 = 8
8 - 4 = 4
4 - 4 = 0
gcd(44, 60) = 4

Този алгоритъм понякога се описва по различен начин. Важно е да завършите по-рано, от късата страна, ако едно число е напълно разделено на друго. Да комбинирате датата с проверката на старанието. Тогава повторното формиране на GCD за 44 и 60 ще изглежда така:

Защо да разделим 44 на 60? Не. 60 – 44 = 16.
Как да разделя 16, за да получим 44? Не. 44 – 16 = 28.
Как да разделя 16 на 28? Не. 28 – 16 = 12.
Как да разделя 12, за да получим 16? Не. 16 – 12 = 4.
Как да разделя 4, за да стане 12? Така. Otzhe, gcd(44, 60) = 4.

Върнете уважението GODOM не е частен, а частен. Ако разделим 12 на 4 в задната част, тогава изваждаме 3. Това не е НОД.

Доказателство на Евклидовия алгоритъм

Нека вземем предвид факта, че ако едно естествено число в залога се дели на друго, тогава техният gcd е сравним с най-малкото от тях. Можете да го напишете така:

ако a/b е пълен, тогава gcd(a, b) = b. Например gcd(15, 5) = 5.

По този начин, щом стигнем до двойка числа, едното от които дели другото, тогава по-малко ще бъде най-големият длъжник и за двете. Самата тази двойка числа се търси от Евклидовия алгоритъм: едно число трябва да бъде разделено на друго.

Още един факт. Необходимо е да се докаже, че ако едно число е по-голямо от друго, тогава неговият най-голям залог е равен на най-големия залог за по-ниското число на залога и разликата между по-голямото и по-малкото число. Може да се напише така:

yakscho a< b, то НОД(a, b) = НОД(a, b - a).

Възможно е да се докаже, че gcd(a, b) = gcd(a, b - a) по този начин. Нека b – a = c. Ако число x се раздели на a и b, то също ще бъде разделено на c. Дори ако a и b са различни, тогава длъжникът е инвестиран в тях повече или по-малко пъти. И ако трябва да се каже, то и длъжникът е длъжен да инвестира цял брой пъти и да изтегли разликата.

Ако последователно променяте a и b, тогава е твърде рано да стигнете до заключението, че по-малкото от тях е толкова важно, че всъщност е по-важно. Най-малката двойка от такива двойки ще има най-голямо съвпадение за изходната двойка естествени числа. Това се основава на Евклидовия алгоритъм.

Алгоритъм на Евклид- Това е алгоритъм за намиране на най-големия залог за двойка цели числа.

Най-големият спящ длъжник (NDD)- Това е число, което може да се раздели без излишък между две числа и да се раздели без излишък на всеки друг двойник на тези две числа. Изглежда по-просто от най-голямото число, така че можете лесно да разделите двете числа, за които се използва GCD.

Алгоритъм за намиране на GCD наполовина

Повече се дели на по-малко.
Ако разделите без излишък, тогава по-малко и е GCD (след излизане от цикъла).
Ако има излишък, тогава повече се заменя с излишък от дъното.
Да преминем към точка 1.

дупе:
Намерете gcd за 30 и 18.
30/18 = 1 (12 допълнителни)
18/12 = 1 (над 6)
12/6 = 2 (свръх 0)
Кинети: GCD – цеделник 6.
НОД(30, 18) = 6

a = 50 b = 130 докато a != 0 и b != 0 : ако a > b: a = a % b else : b = b % a печат (a + b)

В цикъла променете a или b и запишете излишъка в подраздела. Цикълът завършва, когато една от променливите стойности достигне нула. Това означава, че е различно да отмъстиш на GCD. Ние самите не знаем за това. Следователно за GCD знаем сумата от тези страхотни неща. Фрагментите в една от променливите са нула и не допринасят за резултата.

Алгоритъм за намиране на NID данни

При по-голям брой се вижда по-малко.
Ако изходът е 0, това означава, че числата са равни едно на друго и са НОД (след излизане от цикъла).
Ако резултатът не е равен на 0, тогава по-голямата част от стойността се заменя с резултата от същото.
Да преминем към точка 1.

дупе:
Намерете gcd за 30 и 18.
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
Краят: GCD - не се променя или се появява.
НОД(30, 18) = 6

a = 50 b = 130 while a != b: if a > b: a = a - b else : b = b - a print (a)