Интеграл от неправилна дроб. Интегриране на най-простите дроби. Интегриране на правилната рационална функция

За да интегрирате рационалната функция \(\large\frac((P\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize,\) de \((P\left(x \ right ) ))\) и \((Q\left(x \right))\) − полиноми, се определя последователността от стъпки:

Ако дрибът е неправилен (стъпката \((P\left(x \right))\) е по-голяма от стъпката \((Q\left(x \right))\)), променете я на правилната, виждане целта на израза;

Разстелете банера \((Q\left(x \right))\) в повече мономи и/или бавни квадратни изрази;

Разбийте рационалната дроб на най-простите дроби, vikoryst ;

Изчислете интеграли, като използвате най-простите дроби.

Нека да разгледаме доклада по-долу.

Крок 1. Повторно преобразуване на неправилна рационална дроб

Тъй като членът е неправилен (тогава числовата стъпка \((P\left(x \right))\) е по-голяма от знаковата стъпка \((Q\left(x \right))\)), богатият член \ ((P\) ляво е разделимо (x \right))\) на \((Q\left(x \right)).\) Офанзивният вираз може да бъде отхвърлен: \[\frac((P\left(x) \right))))((Q\left (x \right))) = F\left(x \right) + \frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \ дясно)))),\] de \( \large\frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize\) е правилната рационална дроб.

Минзухар 2. Оформяне на банера с помощта на най-простите дроби

Нека запишем богатия член на знаменника \((Q\left(x \right))\) във формата \[ (Q\left(x \right) ) = ((\left((x - a) \ дясно)^\alpha ) \ cdots (\left((x - b) \right)^\beta )(\left(((x^2) + px + q) \right)^\mu ) \cdots (\ left(((x^2 ) ) + rx + s) \right)^\nu ),) \] де квадратичните функции не са бързи, така че няма активни корени.

Урок 3. Разпределяне на рационални дроби от сбор на най-простите дроби.

Нека запишем рационалната функция в съвременна форма: \[(\frac((R\left(x \right))))((Q\left(x \right))) = \frac(A)((((( \left (( x - a) \right))^\alpha ))) + \frac(((A_1))))((((\left((x - a) \right))^(\alpha - 1) )))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((A_(\alpha - 1)))))((x - a)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(B) (( (((\left( (x - b) \right))^\beta ))) + \frac(((B_1))))((((\left((x - b) \right)) ^( \beta - 1)))) ) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((B_(\beta - 1)))))((x - b)) )\kern0pt (+ \frac( (Kx + L)))((((\ ляво(((x^2) + px + q) \дясно))^\mu ))) + \frac(((K_1)x + (L_1))) )( (((\left(((x^2) ) + px + q) \right))^(\mu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((K_(\ mu - 1)))x + (L_(\mu - 1) ))))(((x^2) + px + q)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac((Mx + N)) (( ((\left(((x^2) + rx +) s) \right))^\nu ))) + \frac(((M_1)x + (N_1))))((((\ ляво( ((x^2) + rx + s) \дясно))^ (\nu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((M_(\nu - 1))x + (N_ (\nu - 1)))))(((x^2) + rx + s)).) \] Броят на незначителните коефициенти е незаконен \((A_i),\) \((B_i), \) \(( K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \((N_i), \ldots\) може да добави към нивото на банера \((Q\left (x \вдясно)).\)

След това умножаваме нарушителните части на оттегленото, равно на банера \((Q\left(x \right))\) и изравняваме коефициентите за добавки със същите стъпки \(x.\) В резултат на това изтегляме система от линейни равенства без домашни коефициенти \((A_i ),\) \((B_i),\) \((K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \(( N_i), \ldots\) Тази система винаги ще бъде едно решение. Описания на алгоритъма метод на незначимите коефициенти .

Урок 4. Интегриране на най-простите рационални дроби.

Най-простите дроби, отделени от разгръщането на достатъчно правилна рационална дроб, се интегрират с помощта на следните шест формули: \ \ За дроби с квадратен знак първоначално е необходимо да се види външният квадрат: \[\int (\frac( (Ax + B)))(((( (\left(((x^2) + px + q) \right))^k)))dx) = \int (\frac((At + B") ))((((\left((( t^2) ) + (m^2)) \right))^k)))dt) ,\] de \(t = x + \large\frac(p )(2)\normalsize,\) \( (m^2 ) = \large\frac((4q - (p^2)))(4)\normalsize,\) \(B" = B - \large\ frac((Ap))(2)\normalsize .\) Тогава следните формули се забиват: \[(4.\;\;\int (\frac((tdt)))((((\left((( t^2) + (m^2)) \right ))^k )))) ) = (\frac(1)((2\left((1 - k) \right)((\left((( t^2) + (m^2)) \right ))^( k - 1)))) ) \] \ Integral \(\large\int\normalsize (\large\frac((dt)))(( ((\left(((t^2) + ( m^2))) \right))^k)))\normalsize) \) можете да платите за \(k\) kroki за допълнителна помощ формули за намаляване\[ (6.\;\;\int (\frac((dt)))((((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^k)))) ) = (\frac(t)((2(m^2)\left((k - 1) \right)((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^ ( k - 1)))) ) (+ \frac((2k - 3))((2(m^2)\left((k - 1) \right)))\int (\frac((dt) ) ((((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^(k - 1))))) ) \]

„Математикът, както и художникът, пее и създава артистични творения. И понеже възгледите на математика са по-стабилни, особено защото са съставени от идеи... Възгледите на математика, точно както възгледите на един художник или поет, трябва да бъдат красиви; Идеите са същите като цветовете и думите на вина се споделят една по една. Красотата е на първо място: в света няма място за грозна математика».

Г. Х. Харди

В първия раздел беше прието, че основната цел ще бъде постигането на прости функции, които вече не могат да бъдат изразени чрез елементарни функции. Във връзка с това голямо практическо значение имат тези класове функции, за които можем да кажем точно, че техните първични функции са елементарни функции. Функциите достигат до този клас рационални функции, които са връзките на два алгебрични богати члена Преди да интегрирате рационални дроби, направете богато изявление. Ето защо е много важно да се интегрират такива функции.

2.1.1. Дробни рационални функции

Рационална дроб(или shot-рационална функция) се нарича връзка на два алгебрични богати члена:

където i – богати членове.

Познай какво богат член (полином, цяла рационална функция) нти етапсе нарича функция

де – активни номера. Например,

- богат член на първия етап;

- богат член на четвъртия етап и др.

Извиква се рационалният аргумент (2.1.1). правилноАко нивото е по-ниско от нивото, тогава. н<м, в друг случай се извиква дрибът грешно.

Всяка неправилна дроб може да бъде поднесена под формата на голяма част (цяла част) и правилна дроб (дробна част).Виждането на цялото и заснетите части на неправилен изстрел може да се извърши съгласно правилото на раздела „изрязване“.

Дупе 2.1.1.Вижте цялата дроб на следните неправилни рационални дроби:

а) , б) .

Решение . а) Алгоритъмът на Vikorist е разделен на „бумп“ и може да бъде елиминиран

По този начин ние отхвърляме

.

б) Ето и алгоритъм на викори в „удар“:

В резултат на това можем да отхвърлим

.

Да донесем торбичките. Незначителният интеграл на рационалната дроб в буквалния израз може да бъде открит чрез сумата от интегралите на богатия член и правилната рационална дроб. Намирането на първите видове полиноми не става трудно. Следователно е важно да се вземат предвид правилните рационални дроби.

2.1.2. Най-простите рационални дроби и тяхното интегриране

Сред правилните рационални дроби има четири вида, които се отнасят до до най-простите (елементарни) рационални дроби:

3) ,

4) ,

de - цяло число, , тогава. квадратен тричлен няма активни корени.

Интегрирането на най-простите дроби от 1-ви и 2-ри тип не създава големи трудности:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Сега ще разгледаме интегрирането на най-простите дроби от 3-ти тип, но няма да разглеждаме дробите от 4-ти тип.

Нека завършим с интегралите в ума

.

Този интеграл се извиква да бъде изчислен чрез виждане на пълен квадрат в банера. Резултатът е табличен интеграл със следната форма:

или друго .

Дупе 2.1.2.Намерете интеграли:

а) , б) .

Решение . а) Виден от квадратния трином, новият квадрат е:

Познаваме звездите

б) След като видим новия квадрат от квадратния тричлен, можем да премахнем:

По такъв начин

.

За намиране на интеграла

може да се види в цифровия калкулатор според знака и делението на интеграла за сумата от два интеграла: първият чрез тяхното заместване ускори се

,

а другият - към огледаното.

Дупе 2.1.3.Намерете интеграли:

.

Решение . Скъпи scho . Вижда се в номера на банера:

Първият интеграл се изчислява чрез допълнително заместване :

Другият интеграл очевидно има допълнителен квадрат в знака

Останалото, можем да го премахнем

2.1.3. Поставяне на правилната рационална дроб
за сумата от най-простите дроби

Бъдете правилният рационален аргумент може да се види в един ред, като се погледне сумата от най-простите дроби. За тази цел банерът трябва да бъде разделен на множители. От много алгебра става ясно, че кожата е богата на активни коефициенти

Прегледани приложения за интегриране рационални функции(Дробив) с докладни решения.

Змист

див. също: Корен квадратен

Тук докладваме за три приложения на интегриране на напреднали рационални дроби:
, , .

Дупе 1

Изчислете интеграла:
.

Тук под знака на интеграла има рационална функция, а фрагментите от интегралния израз са разделени на дроби от богати членове. Стъпка на богатия член на банера ( 3 ) по-малко от степента на числовия член ( 4 ). Този малък трябва да види цялата част от кадъра.

1. Виждаме цяла част от кадъра. Дилимо х 4 от x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Звидси
.

2. Разделяме банера на части. Защо трябва да развържете кубичното подравняване:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Заместимо x = 1 :
.

1 . Dilimo от x - 1 :

Звидси
.
Изглежда, че е квадратна.
.
Корен Rivnyanya: , .
Тоди
.

3. Нека разбием нещата с най-прости думи.

.

Е, ние знаем:
.
Интегриран.

Дупе 2

Изчислете интеграла:
.

Тук машината за обработка на числа има дроб - богат член от нулева степен ( 1 = х 0). Знаменосецът има богат член от трета степен. Осколки 0 < 3 , тогава дрибът е правилен. Нека го разделим на най-простите дроби.

1. Разделяме банера на части. За кого е необходимо да се определи нивото на третия етап:
.
Допустимо е някой да иска само целия корен. Това е и датата на номера 3 (Член без x). Тогава целият корен може да бъде едно от числата:
1, 3, -1, -3 .
Заместимо x = 1 :
.

Е, знаехме един корен x = 1 . Дилимо х 3 + 2 х - 3на х - 1 :

Отже,
.

Изглежда, че е квадратно равно:
х 2+x+3=0.
Известен дискриминант: D = 1 2 - 4 3 = -11. Осколки Д< 0 , тогава ревенът няма активни корени. По този начин разпределихме банера в умножители:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Заместимо x = 1 . Тоди х - 1 = 0 ,
.

Заменим в (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Равна на (2.1) коефициенти при х 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Интегриран.
(2.2) .
За да изчислим друг интеграл, очевидно в цифровия калкулатор преместваме знака на сумата от квадрати.

;
;
.

Изчислим I 2 .


.
Останки от Ривняня х 2+x+3=0няма активни корени, тогава x 2 + x + 3 > 0. Следователно знакът на модула може да бъде пропуснат.

Доставено в (2.2) :
.

Дупе 3

Изчислете интеграла:
.

Тук под знака на интеграла има няколко различни термина. Следователно интегралният израз има рационална функция. Нивото на полинома в числата е древно 3 . Етапът на полинома на сигнификатора е подобен на фракцията 4 . Осколки 3 < 4 , тогава дрибът е правилен. Следователно те могат да бъдат разделени на прости дроби. За целта е необходимо банера да се раздели на множители.

1. Разделяме банера на части. За кого е необходимо да се определи нивото на четвъртия етап:
.
Допустимо е някой да иска само целия корен. Това е и датата на номера 2 (Член без x). Тогава целият корен може да бъде едно от числата:
1, 2, -1, -2 .
Заместимо x = -1 :
.

Е, знаехме един корен x = -1 . Dilimo от x - (-1) = x + 1:


Отже,
.

Сега трябва да определите нивото на третия етап:
.
Нека приемем, че целият корен е коренът и коренът на числото 2 (Член без x). Тогава целият корен може да бъде едно от числата:
1, 2, -1, -2 .
Заместимо x = -1 :
.

Боже, намерихме друг корен x = -1 . Би било възможно, както в първата стъпка, да разделите термина на и след това да групирате термините:
.

Останки от Ривняня х 2 + 2 = 0 няма активни корени, тогава премахнахме оформлението на банера в умножители:
.

2. Нека разбием нещата с най-прости думи. Изглежда, че е изложено пред вас:
.
Към банера се добавя дроб, умножена по (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Заместимо x = -1 . Тоди х + 1 = 0 ,
.

Диференциация (3.1) :

;

.
Заместимо x = -1 Силно се надявам, че x + 1 = 0 :
;
; .

Заменим в (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Равна на (3.1) коефициенти при х 3 :
;
1 = B + C;
.

Е, знаехме как да разделим най-простите дроби:
.

3. Интегриран.


.

див. също:

Всички горни точки ни позволяват да формулираме основните правила за интегриране на рационална дроб.

1. Ако рационалната дроб е неправилна, тогава тя се сервира под формата на богат член и правилната рационална дроб (деление 2).

Тук самото интегриране на неправилната рационална дроб води до интегриране на богатия член и правилната рационална дроб.

2. Поставете банера с обикновена дроб в умножителите.

3. Правилната рационална дроб се разделя на сбор от най-простите дроби. Тук самото интегриране на правилната рационална дроб се свежда до интегрирането на най-простите дроби.

Нека да разгледаме.

Пример 1. Знайте.

Решение. Под интеграла има неправилна рационална дроб. Виждайки цялата част, ние я отнемаме

Отже,

Моля, имайте предвид, че правилният рационален аргумент може да бъде изложен

за най-простите дроби:

(Div. формула (18)). Том

По този начин все още е възможно

Дупе 2. Знайте

Решение. Под интеграла има правилен рационален аргумент.

Развивайки ги в най-простите дроби (прекрасна формула (16)), можем да елиминираме

Материалът, съдържащ се в тази тема, се съдържа в електронната таблица, представена в темата "Рационални дроби. Разлагане на рационални дроби на елементарни (най-прости) дроби". Наистина бих искал бързо да прегледам тази тема, преди да премина към четенето на този материал. Освен това ще ни е необходима таблица с неценни интеграли.

Мога да се сетя за куп термини. Имаше дискусия за тях в отделна тема, така че ще споделя кратко изложение тук.

Връзката на два члена $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ се нарича рационална функция или рационална дроб. Рационален аргумент се нарича правилно yakscho $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется грешно.

Елементарните (най-простите) рационални дроби са рационални дроби от четири вида:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Забележка (за по-добро разбиране на текста): покажи

Необходима е мозъчна сила $p^2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Например, за ротацията $x^2+5x+10$ можем да елиминираме: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Парчета $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Преди да говоря, за целите на проверката не е никак трудно, така че шансовете преди $x^2$ да добавят 1. Например за $5x^2+7x-3=0$ се отхвърля: $D= 7^2-4\cdot 5 \cdot (-3) = $109. Ако $D > 0$, тогава изразът $5x^2+7x-3$ може да се разложи на множители.

Използването на рационални дроби (редовни и неправилни), както и използването на рационални дроби може да се научи с елементарни термини. Тук сме лишени от храната на тяхната интеграция. Нека приключим с интегрирането на елементарни дроби. Освен това е трудно да се интегрират значенията на елементарни фракции от няколко вида кожи, використични формули, показани по-долу. Нека позная, че от интегрирани дроби от тип (2) и (4) се прехвърлят $n=2,3,4,ldots$. Формули (3) и (4) vimagayut vikonannya umovi $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(уравнение) \begin(уравнение) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(уравнение)

За $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$, заменете $t=x+\frac(p)(2)$, след изтриване интервалът се разделя на две . Първият се изчислява за допълнителния вход под диференциалния знак, а другият изглежда като $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Този интеграл се приема с помощта на рекурентна връзка

\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\край (уравнение)

Изчисляването на такъв интеграл е показано в Приложение № 7 (разделение трето).

Схема за изчисляване на интеграли от рационални функции (рационални дроби):

1. Тъй като интегралният принцип е елементарен, тогава формулирайте формули (1)-(4).
2. Тъй като интегралната дроб не е елементарна, тогава я добавете към сумата от елементарни дроби и след това интегрирайте следните формули (1)-(4).

Като цяло алгоритъмът за интегриране на рационални дроби може да бъде с постоянна валидност – той е универсален. Tobto. с помощта на този алгоритъм е възможно да се интегрира бе-якурационален приятел. Също така е възможно всички замествания на промени в неоценен интеграл (замествания на Ойлер, Чебишев, универсално тригонометрично заместване) да се извършват с такава структура, така че след заместването рационална дроб да бъде премахната под интеграла. А преди това алгоритъмът вече е в застой. Ще анализираме този алгоритъм директно върху задниците, като първо направим малка бележка.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

По принцип този интеграл е трудно да се премахне без механично формулиране на формулата. Ако вмъкнем константата $7$ в знака за интеграл и напишем, че $dx=d(x+9)$, тогава можем да отменим:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

За подробна информация препоръчвам да гледате темата. Там ясно е обяснено как се изчисляват такива интеграли. Преди да говорим, формулата се превежда от самите трансформации, които са били събрани в този момент по време на завършването „на ръка“.

2) Знам, че има два начина: или замразете готовата формула, или се оставете без нея. След като формулирате формулата, разберете какъв ще бъде взет коефициентът преди $x$ (число 4). Поради тази причина четирите просто си струва да бъдат споменати по ръцете:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Дойде време да формулираме формулата:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Можете да се справите с формулата. И navіt без vineshenny постоянни $4$ за оръжията. Ако смятате, че $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, можем да отхвърлим:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Подробни обяснения за намирането на такива интеграли са дадени в темата „Интегриране чрез заместване (въведено под знака на диференциала)“.

3) Трябва да интегрираме дробта $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Тази дроб има структурата $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, където $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Въпреки това, за да разберете кой е най-ефективният елементарен триб от третия тип, трябва да проверите съзнанието на Викон $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Това е същото дупе, но без използването на готова формула. Нека се опитаме да видим знаменосеца в числото. Какво означава това? Знаем, че $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Трябва да формулираме израза $2x+10$ в числовия оператор. Засега числовият оператор може да отмъсти само за $4x+7$, в противен случай не е необходимо. Това е въпрос на пресъздаване, докато броячът на числата:

$$ 4x+7=2cdot 2x+7=2cdot (2x+10-10)+7=2cdot(2x+10)-2cdot 10+7=2cdot(2x+10) -13. $$

Сега машината за обработка на числа има ново изискване: $2x+10$. И нашият интеграл може да бъде пренаписан както следва:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2xcdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Разделяме интегранта на две. Е, очевидно самият той интегрира същото „по два начина“:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10)))(x^ 2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Тогава да поговорим за завършване на първия интеграл. около $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Фрагментите $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, тогава в численото уравнение на интегралната дроб диференциалът на банера е Накратко, очевидно заместването на viraza $( 2x +10)dx$ може да се запише като $d(x^2+10x+34)$.

Сега нека кажем няколко думи за друг интеграл. Можете да видите новия квадрат в банера: $ x 2 + 10 x + 34 = (x + 5) 2 + 9 $. Освен това стойността е $dx=d(x+5)$. Сега сумата от интегралите, които премахнахме по-рано, може да бъде пренаписана в напълно различна форма:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9) . $$

Ако в първия интеграл направим заместването $u=x^2+10x+34$, тогава ще видим $\int\frac(du)(u)$ и ще бъде лесно да използваме друга формула с . Що се отнася до другия интеграл, тогава за новия използваме замяната $u=x+5$, след което ще видим $\int\frac(du)(u^2+9)$. Това е чиста вода, единадесетата формула с таблицата на маловажните интеграли. И така, връщайки се към сумата на интегралите, да кажем:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2cdotln(x^2+10x+34)-frac(13)(3)arctgfrac(x+5)(3)+C. $$

Ние отхвърлихме същите доказателства, че дори и със застоялата формула, което в крайна сметка не е изненадващо. И така, формулата е разработена по същите начини, които използвахме, за да намерим интеграла. Уважавам, че уважаван читател може да получи едно хранене тук, така че ще формулирам това:

Ястие №1

Ако интегралът $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ постави друга формула в таблицата с неценни интеграли, можем да го премахнем по следния начин:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Защо решението има дневен модул?

Обратна връзка №1

Диетата е напълно естествена. Модулът е по-голям от $x^2+10x+34$ за всеки $x\in R$, по-голям от нула. Не е никак трудно да се покаже колко пътеки има. Например фрагментите $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ и $(x+5)^2 ≥ 0$, тогава $(x+5)^2+9 > 0 $ . Можете да прецените различно, без да виждате пълен квадрат. Отломки $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ за всеки $x\in R$ (както вика този логичен малък човек, Раджа ще се възхити на графичния метод за разкриване на квадратни нередности). Ако кожата има фрагменти $x^2+10x+34 > 0$, тогава $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, тогава. Вместо модула могат да се сменят основните рамена.

Всички точки към приклад №1 са проверени и вече не мога да запиша потвърждение.

Vídpovid:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5) (3) + C $.

Дупе №2

Намерете интеграла $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Тогава на пръв поглед пединтегралният дриб $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ е много подобен на елементарен дриб от трети тип. от $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Оказва се, че същата разлика е коефициентът от $3$ преди $x^2$, а коефициентът е равен на недостатъка (за оръжията, заплащане). Все пак има прилика. За дробта $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ обов'язкова е умова $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Нашият коефициент преди $x^2$ не е равен на единица, така че проверете ума $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, тогава Viraz $3x^2-5x-2$ може да се раздели на множители. А това означава, че дробта $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ не е елементарна дроб от трети тип, а се свежда до интеграла $\int\frac(7x+12) Формулата (3x^2- 5x-2)dx$ не е възможна.

Е, тъй като проблемите на рационалните дроби не са елементарни, тогава е необходимо да ги представим като суми от елементарни дроби и след това да ги интегрираме. Накратко, привидно пистата е бърза. Ясно е написано как да разделим един рационален аргумент на елементарни. Нека да разгледаме факта, че банерът е разделен на множители:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-sqrt(49))(2cdot 3)=frac(5-7)(6)=frac(-2)(6)=-frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \\end(aligned)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3cdoleft(x+frac(1)(3)right)(x-2). $$

Подвътрешният дрибъл може да бъде представен в следната форма:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Сега нека разделим дробта $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ на елементарни:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ ) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\\frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1) ( 3)\вдясно). $$

За намиране на коефициентите $A$ и $B$ има два стандартни метода: методът на незначимите коефициенти и методът на заместването на частни стойности. Следното е прост метод за заместване на частни стойности чрез въвеждане на $x=2$ и след това $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Бяха намерени фрагменти от коефициента, вече не беше възможно да се запише готовото оформление:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+frac(1)(3))+frac(frac(26)(7))(x-2). $$

По принцип можете да изтриете такъв запис, но има по-изчистена опция за вашето сърце:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot frac(1)(x+frac(1)(3))+frac(26)(7)cdotfrac(1)(x-2). $$

Обръщайки се към изходния интеграл, представяме разширението до ново заключение. След това интегрираме интеграла по две и докато кожата застоя формулата. Веднага ще поставя константите зад интегралния знак:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Vídpovid: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| + frac (26) (7) cdot ln | x-2 | +C$.

Запас № 3

Намерете интеграла $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Трябва да интегрираме дробта $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Номерният управител на Розташования има богат член от друго ниво, а знаменникът има богат член от трето ниво. Фрагментите от стъпките на полинома в книгата с номера са по-малки от стъпките на полинома в книгата със знаци. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Вече няма да се налага да разделяме задачите на интеграла на три и напълно да стагнираме формулата. Веднага ще поставя константите зад интегралния знак:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \ int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9 |+C. $$

Vídpovid: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Продължаването на анализа на приложенията е очертано в друга част.