Grafovi funkcija i njihove formule i nazivi. Osnovne osnovne funkcije: njihova snaga i grafika. Funkcija stopala s muškim pozitivnim zaslonom

Zannanya osnovne elementarne funkcije, njihove ovlasti i rasporedi Ništa manje važno je znati tablicu množenja. Oni smrde kao temelj, sve je na njima utemeljeno, sve će se na njima graditi, i sve će se svesti na njih.

U ovom članku preispitujemo sve osnovne elementarne funkcije, crtamo njihove grafikone i to bez ikakvih dokaza moć osnovnih elementarnih funkcija iza dijagrama:

• ponašanje funkcije na granicama područja vrijednosti, vertikalna asimptota (po potrebi, vidi klasifikaciju tačke funkcije);
• uparivanje i rasparivanje;
• intervali konveksnosti (konveksnost uzbrdo) i konveksnosti (konveksnost prema dole), tačke ispupčenja (ako je potrebno, posmatrati funkciju ispupčenja, pravog ispupčenja, tačke ispupčenja, cervikalnog ispupčenja i ispupčenja);
• eliminirane i horizontalne asimptote;
• posebne tačke funkcija;
• posebna snaga aktivnih funkcija (na primjer, najmanje pozitivan period trigonometrijskih funkcija).

Ako želite, možete prijeći na nekoliko dijelova teorije.

Osnovne elementarne funkcijeê: stabilna funkcija (konstanta), korijen n-te faze, statička funkcija, prikaz, logaritamska funkcija, trigonometrijska i povratna trigonometrijske funkcije.

Navigacija na stranici.

Stacionarna funkcija.

Konstantna funkcija je specificirana na višestrukost svih realnih brojeva formulom , gdje je C realan broj. Konstantna funkcija je uskladiti vrijednost akcije kože nezavisne varijable x sa istom vrijednošću trajne varijable y – vrijednošću C. Konstantna funkcija se zove konstanta.

Grafikon stacionarne funkcije je prava linija paralelna sa osi apscise i kroz tačku sa koordinatama (0,C). Na primjer, pokažimo grafike stacionarnih funkcija y=5, y=-2 i, koje mali dolje prikazuje crno, crveno i plavo u pravoj liniji.

Snaga stacionarne funkcije.

• Značajno područje: sve višestrukosti realnih brojeva.
• Konstantna funkcija je uparena.
• Područje značenja: besmisleno, koje se sastoji od istog S.
• Stacionarna funkcija je neprekidna i ne raste (za sada je stacionarna).
• Besmisleno je govoriti o ispupčenosti i savijanju tijela.
• Nema asimptota.
• Funkcija je proći kroz tačku koordinatne ravni (0,C).

Koren n-tog stepena.

Pogledajmo osnovnu elementarnu funkciju, koja je data formulom gdje je n prirodni broj veći od jedan.

Koren n-tog stepena, n je broj.

Koristimo sada funkciju n-tog korijena za jednake vrijednosti indikatora n-tog korijena.

Za zadnjicu, pogledajmo mališane sa slika grafova funkcija A predstavljeni su crnim, crvenim i plavim linijama.

Grafikoni funkcija korijena uparenog koraka za druge vrijednosti indikatora pokazuju sličan izgled.

Moć funkcije je korijen n-tog stepena sa tipovima n.

Koren n-tog stepena, n je neparan broj.

Funkcija n-tog korijena s neuparenim indeksom n-tog korijena dodjeljuje se cijelom broju realnih brojeva. Za zadnjicu napravimo grafove funkcija I podsjećaju na crne, crvene i plave obline.

Za druge neuparene vrijednosti korijenskog indikatora, graf funkcije će imati sličan izgled.

Moć funkcije je korijen n-tog stepena za nespareno n.

Step funkcija.

Step funkcija je data formulom.

Pogledajmo graf statičke funkcije i snage statičke funkcije ovisno o vrijednosti indikatora koraka.

Potpuno statične funkcije s cijelim indikatorom a. U ovom slučaju, tip grafova statičkih funkcija i funkcija snage leži u uparivanje i rasparivanje indikatora pozornice, kao i predznaka. Stoga, pogledajmo prvo statičke funkcije za neuparene pozitivne vrijednosti indikatora a, zatim za iste pozitivne vrijednosti, zatim za neuparene negativne indikatore faze, i, zatim za iste negativne a.

Snaga statičkih funkcija sa udarnim i iracionalnim indikatorima (kao i vrsta grafova takvih statičkih funkcija) leži u vrijednosti indikatora a. One se vide, prvo, kada a ide od nule do jedan, na drugi način, kada je veća, na treći, kada a ide od minus jedan do nule, u četvrtom, sa manjim minus jedan.

Konačno, da upotpunimo sliku, opišimo statičku funkciju sa nultim eksponentom.

Funkcija koraka sa neuparenim pozitivnim displejom.

Pogledajmo statičku funkciju sa neuparenim pozitivnim indikatorom koraka, zatim za a = 1,3,5, ....

Na bebi ispod se nalaze grafikoni statičkih funkcija - crna linija, - plava linija, - crvena linija, - zelena linija. Kada je a=1 maêmo linearna funkcija y=x.

Snaga statičke funkcije s neuparenim pozitivnim zaslonom.

Funkcija koraka s pozitivnim prikazom muškarca.

Pogledajmo statičku funkciju sa malim pozitivnim indikatorom koraka, zatim na a = 2,4,6,….

Kao primjer, nacrtajmo grafikone statičkih funkcija – crna linija, – plava linija, – crvena linija. Kada je a = 2 možemo koristiti kvadratnu funkciju čiji je graf kvadratna parabola.

Snaga statičke funkcije s pozitivnim prikazom muškarca.

Korak funkcija s neuparenim negativnim prikazom.

Začudite se grafovima statičke funkcije za neuparene negativne vrijednosti indikatora koraka, zatim za a = -1, -3, -5,….

Mali pokazuje grafikone statičkih funkcija – crna linija, – plava linija, – crvena linija, – zelena linija. Kada je a=-1 maêmo proporcionalnost kapije, čiji je raspored hiperbola.

Snaga statičke funkcije s neuparenim negativnim zaslonom.

Funkcija koraka s muškim negativnim prikazom.

Pređimo na statičku funkciju sa a = -2, -4, -6,….

Slika prikazuje grafikone statičkih funkcija – crna linija, – plava linija, – crvena linija.

Snaga statičke funkcije s negativnim prikazom tipa.

Koračna funkcija s racionalnim ili iracionalnim indikatorom čija je vrijednost veća od nule i manja od jedan.

Povećajte svoje poštovanje! Budući da je a pozitivan prijatelj sa nesparenim predznakom, autori poštuju područje značaja intervala statičke funkcije. Čije shvatanje da je indikator faze a kratak pogodak. Istovremeno, autori bogatih udžbenika o algebri i kob analizi NE VREDNUJU statičke funkcije indikatorom u obliku razlomka sa nesparenim predznakom za negativne vrijednosti argumenta. I sami ćemo nastojati da postignemo ovo gledište, jer smo značajni u područjima važnosti statičkih funkcija sa sačmarskim pozitivnim pokazateljima bezlične faze. Preporučuje se da studenti ispitaju fokus vašeg ulaganja na ovu suptilnu tačku kako bi eliminisali neslaganja.

Pogledajmo statičku funkciju sa racionalnim i iracionalnim indikatorima.

Nacrtajmo grafove funkcija slaganja za a=11/12 (crna linija), a=5/7 (crvena linija), (plava linija), a=2/5 (zelena linija).

Koračna funkcija s neracionalnim i iracionalnim indikatorom većim od jedan.

Pogledajmo statičku funkciju sa nenametljivim racionalnim i iracionalnim indikatorima.

Nacrtajmo grafove statičkih funkcija specificiranih formulama (crne, crvene, plave i zelene linije su konzistentne).

>

S drugim vrijednostima indikatora, korak a grafova funkcija će imati sličan izgled.

Snaga statičke funkcije na .

Funkcija koraka s aktivnim indikatorom, koji je veći za minus jedan i manji za nulu.

Povećajte svoje poštovanje! Budući da je a negativna riječ sa nesparenim predznakom, autori poštuju područje značaja intervala statičke funkcije . Čije shvatanje da je indikator faze a kratak pogodak. Istovremeno, autori bogatih udžbenika o algebri i kob analizi NE VREDNUJU statičke funkcije indikatorom u obliku razlomka sa nesparenim predznakom za negativne vrijednosti argumenta. Smatramo da je to najvažnije u oblastima važnosti statičkih funkcija od sačmarica negativnih indikatora faze neutralnosti. Preporučuje se da studenti ispitaju fokus vašeg ulaganja na ovu suptilnu tačku kako bi eliminisali neslaganja.

Pređimo na statičnu funkciju, na sudbinu.

Da bismo bolje zamislili vrstu grafova statičkih funkcija prilikom primjene grafova funkcija (crno, crveno, plavo i zeleno krivo).

Snaga statičke funkcije s indikatorom a, .

Funkcija stopala s nepotpunim aktivnim indikatorom, koji je manji od jedan.

Pogledajmo primjenu grafova statičkih funkcija kada , prikazani su crnim, crvenim, plavim i zelenim linijama.

Snaga statičke funkcije s negativnim indikatorom manjim od minus jedan.

Kada je a = 0, možemo koristiti funkciju - direktno jer je tačka (0;1) isključena (izrazu 0 0 nije data ista vrijednost).

Funkcija prikaza.

Jedna od glavnih osnovnih funkcija je funkcija prikaza.

Raspored funkcije prikaza gdje to traje drugačiji izgled umjesto značenja osnove a. Hajdemo u nevolje.

Pogledajmo prvo, ako osnova funkcije prikaza akumulira vrijednosti od nule do jedan, onda .

Na primjer, nacrtajmo graf funkcije prikaza za a = 1/2 – plava linija, a = 5/6 – crvena linija. Grafikoni funkcije prikaza za druge vrijednosti na bazi intervala imaju sličan izgled.

Snaga funkcije prikaza zasniva se na najmanjoj jedinici.

Nastavljamo sa zaključkom, ako je osnova funkcije prikaza veća od jedan, onda .

Kao ilustraciju crtamo grafikone funkcija prikaza - plava linija i crvena linija. Uz druge vrijednosti baze, visoke jedinice, grafovi funkcije prikaza imaju sličan izgled.

Snaga funkcije prikaza zasnovana je na odličnoj jedinici.

Logaritamska funkcija.

Sljedeća osnovna elementarna funkcija je logaritamska funkcija de, . Logaritamska funkcija se dodjeljuje pozitivnim vrijednostima argumenta, tada, kada .

Raspored logaritamska funkcija poprima drugačiji izgled ovisno o vrijednosti baze.

U redu je ako ne.

Na primjer, nacrtajmo grafikone logaritamske funkcije sa a = 1/2 – plavom linijom, a = 5/6 – crvenom linijom. Za ostale vrijednosti indeksa, bez prekoračenja jedinica, grafovi logaritamske funkcije imaju sličan izgled.

Moć logaritamske funkcije iz baze najmanje jedinice.

Prijeđimo na pad ako je osnova logaritamske funkcije veća od jedan ().

Pokažimo grafikone logaritamskih funkcija - plava linija - crvena linija. Za ostale vrijednosti baze, visoke jedinice, grafovi logaritamske funkcije imaju sličan izgled.

Moć logaritamske funkcije zasnovane na velikoj jedinici.

Trigonometrijske funkcije, njihove moći i grafovi.

Sve trigonometrijske funkcije (sinus, kosinus, tangenta i kotangens) svode se na osnovne elementarne funkcije. Pogledajmo sada njihove grafikone i pregledajmo karakteristike.

Trigonometrijske funkcije su razumljive frekvencija(ponavljanje vrijednosti funkcije s različitim vrijednostima argumenta, zamjenom jedne vrste za vrijednost perioda de T - tačka), na listu potencija trigonometrijskih funkcija dodati stavku "najmanje pozitivnog perioda". Također, za svaku trigonometrijsku funkciju označavamo vrijednost argumenta za koji odgovarajuća funkcija ide na nulu.

Pogledajmo sada sve trigonometrijske funkcije po redu.

Sinusna funkcija y = sin (x).

Zamisliv je graf sinusne funkcije, koji se naziva sinusoida.

Snaga sinusne funkcije je y = sinx.

Kosinusna funkcija y = cos(x).

Grafikon kosinusne funkcije (nazvan "kosinus") izgleda ovako:

Funkcija snage kosinus y = cosx.

Tangentna funkcija y = tan (x).

Grafikon tangentne funkcije (nazvan "tangenta") izgleda ovako:

Potencija funkcije je tangenta y = tgx.

Kotangens funkcija y = ctg (x).

Grafikon kotangens funkcije (nazvan "kotangentoid") je zamisliv:

Kotangens funkcije snage y = ctgx.

Vratiti trigonometrijske funkcije, njihove potencije i grafove.

Reverzne trigonometrijske funkcije (arksinus, arkosinus, arktangens i arkotangens) su osnovne elementarne funkcije. Često se preko prefiksa "luk" obrnute trigonometrijske funkcije nazivaju lučne funkcije. Pogledajmo sada njihove grafikone i pregledajmo karakteristike.

Arksinus funkcija y = arcsin(x).

Grafikon funkcije arcsinusa je zamisliv:

Funkcija snage arckotangens y = arcctg(x).

Spisak literature.

• Kolmogorov A.M., Abramov A.M., Dudnicin Yu.P. i Algebra i početak analize: Poč. za 10-11 razred. instalacije pozadinskog osvetljenja.
• Vigodsky M.Ya. Savjetnik za osnovnu matematiku.
• Novosyolov S.I. Algebra i elementarne funkcije.
• Tumanov S.I. Elementarna algebra. Priručnik za samoosvjetljenje.

Koristite funkciju

Vašem poštovanju predstavljamo uslugu sa trostrukim grafičkim funkcijama online, sva prava zadržava kompanija Desmos. Za unos funkcije koristite lijevu kolonu. Možete ga unijeti ručno ili koristiti virtuelnu tastaturu na dnu prozora. Da biste poboljšali prikaz pomoću grafikona, možete dodati i lijevu kolonu i virtuelnu tastaturu.

Prednosti dnevnih rasporeda online

• Vizuelno predstavljanje funkcija koje se uvode
• Pobudova čak i savijanje grafova
• Pobudova rasporedi, zadaci implicitno (na primjer, el_ps x^2/9+y^2/16=1)
• Mogućnost spremanja grafike i postavljanja poruka na njih, čineći ih dostupnim svima na Internetu.
• Kontrola skale i boje linije
• Mogućnost sedmičnih grafova zaostatka bodova, vikor konstante
• Pozovite više grafičkih funkcija istovremeno
• Pobudova grafova u polarnom koordinatnom sistemu (Vikorist r i θ(\theta))

Lako vam možemo pružiti grafike različite složenosti na mreži. Pobudova se izgubi u Mitevu. Zatražite servis za pronalaženje tačke prenosa funkcija, slike grafova za njihovo dalje kretanje u Word dokumentu kao ilustraciju trenutnog zadatka, za analizu karakteristika ponašanja funkcijskih grafova. Optimalni pretraživač za rad sa grafovima na ovoj stranici google chrome. U slučaju drugih pretraživača, ispravnost robota nije zagarantovana.

Osnovne elementarne funkcije, njihove pridružene komponente i povezani grafovi su jedna od osnova matematičkog znanja, po važnosti slična tablici množenja. Elementarne funkcije su osnova i potpora za razvoj cjelokupne teorijske ishrane.

Članak u nastavku pruža ključni materijal na temu osnovnih elementarnih funkcija. Uveli smo pojmove, dali smo im značenje; Jasno možemo vidjeti osnovne funkcije kože, pogledajmo njihovu moć.

Vidljive su sljedeće vrste osnovnih elementarnih funkcija:

Viznachennya 1

• konstantna funkcija (konstanta);
• korijen n-tog stepena;
• statička funkcija;
• funkcija prikaza;
• logaritamska funkcija;
• trigonometrijske funkcije;
• brat trigonometrijske funkcije.

Konstantna funkcija se izražava formulom: y = C (C je realan broj) i može se nazvati i konstantom. Ova funkcija znači sličnost bilo koje efektivne vrijednosti nezavisne varijable x na istu vrijednost varijable y vrijednosti C.

Grafikon konstante je prava linija koja je paralelna sa apscisnom osom i prolazi kroz tačku koja ima koordinate (0, C). Radi preciznosti, nacrtajmo grafove stacionarnih funkcija y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (na stolici su općenito označeni crnom, crvenom i plavom bojom).

Vicennia 2

Ova elementarna funkcija je izražena formulom y = x n (n je prirodni broj veći od jedan).

Pogledajmo dvije varijacije funkcije.

1. Koren n-tog stepena, n – broj

Radi jasnoće, recimo stolicu, koja prikazuje grafiku sljedećih funkcija: y = x, y = x 4 i y = x8. Ove funkcije su označene bojom: crna, crvena i plava.

Grafikoni funkcije uparenog koraka za druge vrijednosti indikatora imaju sličan izgled.

Vicenzennya 3

Funkcija stepena je korijen n-tog stepena, n je broj

• područje značaja je odsustvo svih nepoznatih operativnih brojeva [0, + ∞);
• ako je x = 0, funkcija y = x n ima vrijednost jednaku nuli;
• data funkcija- funkcija radujem se tome(ni upareno ni neupareno);
• raspon vrijednosti: [0, + ∞);
• s obzirom na funkciju y = x n sa uparenim predznacima korijen raste kroz cijelo područje značaja;
• funkcija može biti konveksna i ravna prema gore kroz cijelo područje razlikovanja;
• dnevne tačke peregine;
• dnevne asimptote;
• Graf funkcije za parove od n prolazi kroz tačke (0; 0) i (1; 1).

1. Koren n-tog stepena, n – neparni broj

Ova funkcija se primjenjuje na cijeli skup realnih brojeva. Radi jasnoće, pogledajmo grafikone funkcija y = x 3 , y = x 5 i x 9. Na fotelji su označene boje: crna, crvena i plava, boje krivina su konzistentne.

Druge nesparene vrijednosti indikatora korijena funkcije y = xn dat će graf sličnog izgleda.

Vicenchennya 4

Funkcija stepena je korijen n-tog stepena, n je nespareni broj

• područje značaja je značenje svih aktivnih brojeva;
• data funkcija - neupareno;
• područje vrijednosti – bez aktivnih brojeva;
• funkcija y = x n s nesparenim indikacijama korijena raste kroz cijelo područje značaja;
• Funkcija može biti nagnuta na prostor (- ∞ ; 0 ) ili konveksna na prostor [ 0 , + ∞);
• tačka savijanja je u koordinatama (0; 0);
• dnevne asimptote;
• Graf funkcije za nespareno n prolazi kroz tačke (-1; - 1), (0; 0) i (1; 1).

Step funkcija

Viznachennya 5

Funkcija koraka je izražena formulom y = x a.

Izgled grafova i snaga funkcije leži u vrijednosti indikatora pozornice.

• Ako statička funkcija ima cijeli indikator a, tada tip grafa statičke funkcije i njena snaga zavise od toga da li statička funkcija ima jedan ili neupareni indikator, kao i koji predznak indikator ima. Pogledajmo sve u nastavku;
• Indikator faze može biti frakcijski ili iracionalan - ovisno o tome koji tip grafova i snaga funkcije također variraju. Razvrstati ćemo posledice koje su postavile gomilu umova: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• Statička funkcija se može koristiti kao indikator nule, o čemu će također biti riječi u nastavku.

Pogledajmo statičku funkciju y = x a, ako je a neobično pozitivan broj, na primjer, a = 1, 3, 5...

Radi točnosti, prikazujemo grafove sljedećih statičkih funkcija: y = x (grafika u crnoj boji), y = x 3 (grafika plave boje), y = x 5 (grafika u crvenoj boji), y = x7 (grafika zelene boje). Ako je a = 1, možemo izračunati linearnu funkciju y = x.

Viznachennya 6

Snaga statičke funkcije, ako je indikator faze neuparen pozitivan

• funkcija raste za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• funkcija ima konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ) i konveksnost za x ∈ [ 0 ; + ∞) (uključujući linearnu funkciju);
• tačka pregiba su koordinate (0; 0) (uključujući linearnu funkciju);
• dnevne asimptote;
• prolazne tačke funkcije: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1).

Pogledajmo statičku funkciju y = x a, ako je a pozitivan broj, na primjer, a = 2, 4, 6...

Radi preciznosti, prikazujemo grafikone sljedećih statičkih funkcija: y = x 2 (grafika u crnoj boji), y = x 4 (grafika u plavoj boji), y = x 8 (grafika u crvenoj boji). Ako je a = 2 kvadratna funkcija, njen graf je kvadratna parabola.

Viznachennya 7

Snaga statičke funkcije, ako je indikator pozornice tip pozitivan:

• područje vrijednosti: x ∈ (- ∞ ; + ∞);
• raspada za x ∈ (- ∞; 0];
• funkcija se može savijati na x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• okulari peregina vídsutní;
• dnevne asimptote;
• prolazne tačke funkcije: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1).

Primjena grafova statičke funkcije usmjerena je na bebu ispod. y = x a , ako je a neuparen broj: y = x – 9 (grafika u crnoj boji); y = x – 5 (grafika u plavoj boji); y = x – 3 (grafika u crvenoj boji); y = x – 1 (grafika zelene boje). Ako je a = - 1, određena je proporcionalnost preokreta, graf je hiperbola.

Viznachennya 8

Snaga statičke funkcije, ako je indikator faze neuparen negativan:

Ako se x = 0 oduzme od drugog roda, fragmenti lim x → 0 - 0 x a = - ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ za a = - 1, - 3, - 5, …. Dakle, prava linija x = 0 je vertikalna asimptota;

• raspon vrijednosti: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkcija nije uparena, fragmenti y(-x) = -y(x);
• funkcija opada za x ∈ - ∞; 0 ∪ (0; + ∞);
• funkcija ima konveksnost na x ∈ (- ∞ ; 0) i konveksnost na x ∈ (0 ; + ∞);
• peregina bodovi svaki dan;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, ako je a = - 1, - 3, - 5,. . . .

• tačke prolaza funkcije: (- 1; - 1), (1; 1).

Primjena grafika statičke funkcije y = x a prikazana je na donjem malom, ako je a isti broj: y = x – 8 (grafika u crnoj boji); y = x – 4 (grafika u plavoj boji); y = x – 2 (grafika u crvenoj boji).

Viznachennya 9

Snaga statičke funkcije, ako je indikator bine negativan:

• područje vrijednosti: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Ako se x = 0 oduzme od drugog roda, fragmenti lim x → 0 - 0 x a = + ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ za a = - 2, - 4, - 6, …. Dakle, prava linija x = 0 je vertikalna asimptota;

• funkcija je uparena, fragmenti y(-x) = y(x);
• funkcija raste za x ∈ (- ∞ ; 0) i opada za x ∈ 0; +∞;
• funkcija se može savijati za x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• peregina bodovi svaki dan;
• horizontalna asimptota - prava linija y = 0, fragmenti:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, ako je a = - 2, - 4, - 6, . . . .

• prolazne tačke funkcije: (- 1; 1), (1; 1).

Od samog početka obratite pažnju na uvredljiv aspekt: ​​u isto vrijeme, ako je a pozitivan argument sa nesparenim predznakom, autori uzimaju interval - ∞ kao područje značaja statičke funkcije; + ∞ , imajući na umu da je indikator a sporo kretanje. Trenutno, autori mnogih početnih pogleda na algebru i cob analizu NE VREDNUJU statičke funkcije, gdje je indikator prijatelj s neuparenim predznakom za negativne vrijednosti argumenta. Dalje ćemo razmotriti ovu poziciju: hajde da uzmemo fazu bezličnosti [0; + ∞). Preporuka za studente: vodite računa o ovom trenutku kako biste izbjegli neslaganja.

Pa, pogledajmo statičku funkciju y = x a , ako je korak indikatora racionalan ili iracionalan broj na umu, što je 0< a < 1 .

Ilustrovano grafikonima statičkih funkcija y = x a ako je a = 11 12 (grafika u crnoj boji); a = 5 7 (grafika u crvenoj boji); a = 13 (grafika u plavoj boji); a = 2 5 (grafika zelene boje).

Ostale prikazane vrijednosti faza a (za um 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Viznachennya 10

Snaga statičke funkcije na 0< a < 1:

• raspon vrijednosti: y ∈ [0; + ∞);
• funkcija raste za x ∈ [0; + ∞);
• funkcija je konveksna za x ∈ (0; + ∞);
• peregina bodovi svaki dan;
• dnevne asimptote;

Pogledajmo statičku funkciju y = x a, ako je korak indikatora neracionalan ili iracionalan broj na umu, pa je a > 1.

Statičku funkciju ilustrujemo grafovima y = x a dat misli na primjenu takvih funkcija: y = x 5 4, y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (crna, crvena, plava, zelena boja grafikona su konzistentna).

Ostale vrijednosti faze prikaza, a za um a > 1, daju sličan tip grafa.

Viznachennya 11

Snaga statičke funkcije za a > 1:

• područje vrijednosti: x ∈ [0; + ∞);
• raspon vrijednosti: y ∈ [0; + ∞);
• data je funkcija - funkcija zagalnog oblika (ni neparna ni uparena);
• funkcija raste za x ∈ [0; + ∞);
• funkcija se može savijati za x ∈ (0 ; + ∞) (ako je 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• peregina bodovi svaki dan;
• dnevne asimptote;
• tačke prolaza funkcije: (0; 0), (1; 1).

Cijenimo vaše poštovanje! Ako je a negativna riječ sa nesparenim predznakom, neki autori bliže pogledaju koja je oblast označena u ovom tipu - interval - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) zbog činjenice da je indikatorska faza a usporena. Trenutno, autori početnih materijala o algebri i kob analizi NE vrednuju statičke funkcije s indikatorom u obliku razlomka s nesparenim predznakom za negativne vrijednosti argumenta. Nadalje, slažemo se s ovim stavom: područje značaja statičkih funkcija uzimamo iz drugih negativnih pokazatelja bezličnosti (0; + ∞). Preporuka za studente: provjerite stanje vašeg depozita u ovom trenutku kako biste izbjegli bilo kakva odstupanja.

Nastavljamo temu i analiziramo statičku funkciju y = x a za um: - 1< a < 0 .

Sastavimo grafikone ofanzivnih funkcija: y = x - 5 6 y = x - 2 3 y = x - 1 2 2 y = x - 1 7 (crne, crvene, plave, zelene boje su konzistentne).

Viznachennya 12

Snaga statičke funkcije na -1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , ako je - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• raspon vrijednosti: y ∈ 0; +∞;
• data je funkcija - funkcija zagalnog oblika (ni neparna ni uparena);
• peregina bodovi svaki dan;

Na stolici ispod su grafikoni statičkih funkcija y = x - 54, y = x - 53, y = x - 6, y = x - 247 (crne, crvene, plave, zelene krivulje su identične).

Viznachennya 13

Snaga statičke funkcije na a< - 1:

• područje vrijednosti: x ∈ 0; +∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , ako je a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• raspon vrijednosti: y ∈ (0; + ∞);
• data je funkcija - funkcija zagalnog oblika (ni neparna ni uparena);
• funkcija opada za x ∈ 0; +∞;
• funkcija se može savijati na x ∈ 0; +∞;
• peregina bodovi svaki dan;
• horizontalna asimptota je ravna y = 0;
• točka prijelaza funkcije: (1; 1) .

Ako je a = 0 i x ≠ 0, funkcija y = x 0 = 1 se uklanja, što znači direktnu liniju na kojoj je tačka (0; 1) isključena (razumemo da izrazu 0 0 nije data nikakva vrijednost) .

Funkcija prikaza može se vidjeti y = a x , gdje je a > 0 i a ≠ 1 i grafik ove funkcije izgleda drugačije ovisno o vrijednosti zamjene a. Hajde da pogledamo okolo opadanja.

Pogledajmo prvo situaciju ako se osnova funkcije prikaza kreće od nule do jedan (0< a < 1) . Kao početnu tačku koristite grafove funkcija sa a = 1 2 (plava boja krive) i a = 5 6 (crvena boja krive).

Sličan izgled je zbog grafike funkcije prikaza iz drugih razloga na bazi 0< a < 1 .

Viznachennya 14

Snaga funkcije prikaza, ako je baza manja od jedan:

• raspon vrijednosti: y ∈ (0; + ∞);
• data je funkcija - funkcija zagalnog oblika (ni neparna ni uparena);
• funkcija prikaza, koja ima bazu manju od jedan, i koja se smanjuje u cijelom području vrijednosti;
• peregina bodovi svaki dan;
• horizontalna asimptota - prava linija y = 0 kada se x promijeni, pa pragne + ∞;

Pogledajmo sada razliku, ako je osnova funkcije prikaza veća od donje (a > 1).

Ova serija razvoja je ilustrovana grafikom funkcija prikaza y = 3 2 x (plava boja krive) i y = e x (crvena boja grafikona).

Druge vrijednosti osnove, velike, dat će sličan izgled grafu funkcije prikaza.

Viznachennya 15

Snaga funkcije prikaza, ako je baza veća od jedan:

• područje značaja su svi besmisleni brojevi;
• raspon vrijednosti: y ∈ (0; + ∞);
• data je funkcija - funkcija zagalnog oblika (ni neparna ni uparena);
• prikazuje funkciju čija je baza veća od jedan i raste kao x ∈ - ∞ ; +∞;
• funkcija se može savijati na x ∈ - ∞; +∞;
• peregina bodovi svaki dan;
• horizontalna asimptota - prava linija y = 0 kada se x promijeni, što je jednako - ∞;
• tačka prijelaza funkcije: (0; 1) .

Logaritamska funkcija izgleda kao y = log a (x), gdje je a > 0, a ≠ 1.

Ova funkcija je posebno određena za pozitivnu vrijednost argumenta: za x ∈ 0; + ∞.

Grafikon logaritamske funkcije ima drugačiji izgled na osnovu vrijednosti baze.

Pogledajmo prvo situaciju, ako je 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Druge vrijednosti, male jedinice, dat će sličan tip grafikona.

Viznachennya 16

Moć logaritamske funkcije ako je baza manja od jedan:

• područje vrijednosti: x ∈ 0; + ∞. Ako je x desna na nulu, vrijednost funkcije se povećava + ∞;
• raspon vrijednosti: y ∈ - ∞; +∞;
• data je funkcija - funkcija zagalnog oblika (ni neparna ni uparena);
• logaritamski
• funkcija se može savijati na x ∈ 0; +∞;
• peregina bodovi svaki dan;
• dnevne asimptote;

Pogledajmo sada razliku, ako je osnova logaritamske funkcije veća od jedan: a > 1 . Na stolici ispod su grafovi logaritamskih funkcija y = log 3 2 x i y = ln x (plava i crvena boja grafika su konzistentne).

Druge vrijednosti baze veće od jedan će dati sličan tip grafa.

Viznachennya 17

Moć logaritamske funkcije ako je baza veća od jedan:

• područje vrijednosti: x ∈ 0; + ∞. Ako x nije nula, desno, vrijednost funkcije se povećava na - ∞;
• raspon vrijednosti: y ∈ - ∞; + ∞ (svi anonimni brojevi);
• data je funkcija - funkcija zagalnog oblika (ni neparna ni uparena);
• logaritamska funkcija raste na x ∈ 0; +∞;
• funkcija je konveksna za x ∈ 0; +∞;
• peregina bodovi svaki dan;
• dnevne asimptote;
• tačka prolaska funkcije: (1; 0) .

Trigonometrijske funkcije su sinus, kosinus, tangenta i kotangens. Pogledajmo snagu kože i povezane grafove.

Dakle, suštinu svih trigonometrijskih funkcija karakteriše moć periodičnosti. ako se vrijednosti funkcije ponavljaju s različitim vrijednostima argumenta, tada se jedan tip dijeli s vrijednošću perioda f(x + T) = f(x) (T – period). Dakle, lista potencija trigonometrijskih funkcija dodaje najmanje pozitivan period. Osim toga, takve vrijednosti ćemo naznačiti argumentu za koji se podređena funkcija pretvara u nulu.

1. Sinusna funkcija: y = sin (x)

Graf ove funkcije naziva se sinusni val.

Viznachennya 18

Snaga sinusne funkcije:

• područje značaja: sve višestrukosti realnih brojeva x ∈ - ∞; +∞;
• funkcija se pretvara u nulu ako je x = π · k, gdje je k ∈ Z (Z je cijeli broj);
• funkcija raste za x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z i raspada za x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• sinusna funkcija proizvodi lokalne maksimume u tačkama π 2 + 2 π · k; 1 i lokalni minimumi u tačkama - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• sinusna funkcija je zakrivljena ako je x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k , k ∈ Z i je konveksan ako je x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k, k ∈ Z;
• dnevne asimptote.

1. kosinusna funkcija: y = cos(x)

Graf ove funkcije naziva se kosinus.

Viznachennya 19

Snaga kosinusne funkcije:

• područje vrijednosti: x ∈ - ∞; +∞;
• najmanji pozitivni period: T = 2 π;
• raspon vrijednosti: y ∈ - 1; 1;
• data funkcija - par, fragmenti y(-x) = y(x);
• funkcija raste za x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k , k ∈ Z i raspada za x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k, k ∈ Z;
• kosinusna funkcija proizvodi lokalne maksimume u tačkama 2 π · k; 1, k ∈ Z i lokalni minimumi u tačkama π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
• kosinusna funkcija je zakrivljena ako je x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z i je balon, ako je x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• tačke peregine nalaze se u koordinatama π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
• dnevne asimptote.

1. Tangentna funkcija: y = tan(x)

Poziva se graf ove funkcije tangenta.

Viznachennya 20

Snaga tangentne funkcije:

• područje vrijednosti: x ∈ - π 2 + π · k; π 2 + π · k , gdje je k ∈ Z (Z je broj cijelih brojeva);
• Ponašanje tangentne funkcije na međuregiji je lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Dakle, prave x = π 2 + π · k k ∈ Z su vertikalne asimptote;
• funkcija se pretvara u nulu ako je x = π · k za k ∈ Z (Z je cijeli broj);
• raspon vrijednosti: y ∈ - ∞; +∞;
• data funkcija - nespareni, fragmenti y(-x) = -y(x);
• funkcija raste na - π 2 + π · k; π 2 + π k, k ∈ Z;
• tangentna funkcija je zakrivljena za x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ Z i konveksan za x ∈ (- π 2 + π · k; π · k], k ∈ Z;
• tačke peregine se nalaze u koordinatama π · k; 0, k ∈ Z;

1. Kotangens funkcija: y = krevetac(x)

Graf ove funkcije naziva se kotangentoid .

Viznachennya 21

Funkcija snage kotangensa:

• područje značaja: x ∈ (π · k; π + π · k), gdje je k ∈ Z (Z je bezbrojni broj);

Ponašanje kotangensne funkcije na međuregiji je lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Dakle, prave x = π · k k ∈ Z su vertikalne asimptote;

• najmanji pozitivni period: T = π;
• funkcija se pretvara u nulu ako je x = π 2 + π · k za k ∈ Z (Z je cijeli broj);
• raspon vrijednosti: y ∈ - ∞; +∞;
• data funkcija - nespareni, fragmenti y(-x) = -y(x);
• funkcija opada za x ∈ π · k; π + π k, k ∈ Z;
• kotangens funkcija je konkavna za x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z i konveksna za x ∈ [ - π 2 + π · k ;
• tačke peregine nalaze se u koordinatama π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
• ukradene i horizontalne asimptote dnevno.

Reverzne trigonometrijske funkcije su arksinus, arkosinus, arktangens i arkkotangens. Najčešće, zbog prisustva prefiksa "luk" u nazivu, obrnute trigonometrijske funkcije nazivaju se lučnim funkcijama. .

1. Funkcija arc sinusa: y = a r c sin (x)

Viznachennya 22

Snaga funkcije arcsinusa:

• data funkcija - nespareni, fragmenti y(-x) = -y(x);
• arcsinusna funkcija ima nagib na x ∈ 0; 1 í konveksnost na x ∈ - 1; 0;
• tačke duž perimetra su koordinate (0; 0), a tu je i nula funkcije;
• dnevne asimptote.

1. Arc kosinus funkcija: y = r c cos (x)

Viznachennya 23

Snaga funkcije arkosinusa:

• područje vrijednosti: x ∈ - 1; 1;
• raspon vrijednosti: y ∈ 0; π;
• data je funkcija - oblik zagal (ni uparen ni nesparen);
• funkcija se smanjuje u cijelom području značaja;
• arc kosinus funkcija ima nagib na x ∈ - 1; 0 = konveksnost na x ∈ 0; 1;
• tačke peregine se nalaze na koordinatama 0; π 2;
• dnevne asimptote.

1. Arktangentna funkcija: y = r c t g (x)

Viznachennya 24

Funkcije snage arktangensa:

• područje vrijednosti: x ∈ - ∞; +∞;
• raspon vrijednosti: y ∈ - π 2; π 2;
• data funkcija - nespareni, fragmenti y(-x) = -y(x);
• funkcija raste u cijelom području značaja;
• Funkcija arktangenta je konveksna za x ∈ (- ∞ ; 0 ) i konveksna za x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• tačka pregiba ima koordinate (0; 0), a tu je i nula funkcije;
• horizontalne asimptote – prave y = - π 2 za x → - ∞ i y = π 2 za x → + ∞ (za najmanju asimptotu – cela linija zelene boje).

1. Funkcija tangente luka: y = r c c t g (x)

Viznachennya 25

Funkcije snage arkkotangensa:

• područje vrijednosti: x ∈ - ∞; +∞;
• raspon vrijednosti: y ∈ (0; π);
• funkcija je data - u zagalnom obliku;
• funkcija se smanjuje u cijelom području značaja;
• arkotangentna funkcija ima zakrivljenost na x ∈ [0; + ∞) í konveksnost na x ∈ (- ∞; 0];
• tačka pregiba je na koordinati 0; π 2;
• horizontalne asimptote – prave y = π pri x → - ∞ (na stolici – linija zelene boje) i y = 0 pri x → + ∞.

Ako ste označili uslugu u tekstu, pogledajte je i pritisnite Ctrl+Enter