Saznajte osnovnu funkciju izvještajnih rješenja. Funkcija preklapanja. Lagana funkcija sklapanja. Zašto se šaliti na drugim stranicama?

Nakon napredne artiljerijske pripreme, biće manje strašnih kundaka sa ugrađenim funkcijama 3-4-5. Moguće je da će sljedeća dva guza postati prilično sklopiva, ali ako ih razumiju (čak i ako pate), onda će možda sve ostalo u diferencijalnoj računici izgledati kao djetinjasta vrućina.

zadnjica 2

Upoznajte skrivene funkcije

Kao što je i planirano, u času marša funkcija preklapanja, prvo za sve, neophodno U redu POVRATITE VAŠA ULAGANJA. U ovakvim situacijama, ako sumnjate, predlažem brzi trik: uzmemo zadnju vrijednost "x", na primjer, i pokušamo (mislim ili crno) zamijeniti ovu vrijednost u "strašni virus".

1) Prije svega, trebamo izračunati iznos novca, sumu, najveći doprinos.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim pomnožite kosinus na kocku:

5) Na petom koraku postoji razlika:

6) I, recimo, sama vanjska funkcija je kvadratni korijen:

Formula za diferencijaciju funkcije savijanja da stagnira obrnutim redom, od najspoljašnjijih funkcija ka unutrašnjim. Virishuemo:

Nachebto bez pardona:

1) Uzmi kvadratni korijen.

2) Pogledajmo razliku, slijedimo pravilo

3) Trojke su jednake nuli. Od druge dodanke idemo korakom (kockom).

4) Uzmimo kosinusnu vrijednost.

6) I, u redu, uzet ćemo novac od najveće investicije.

Možete biti veoma važni, ali to ipak nije najbrutalnija guza. Uzmite, na primjer, kolekciju Kuznjecova i cijenit ćete svu ljepotu i jednostavnost kolekcije. Napomenuo sam da ću rado dati nešto na testu, kako bih provjerio šta učenik razumije, jer poznaje slične funkcije savijanja, a ne razumije.

Uvredljiv kraj samostalne odluke.

zadnjica 3

Upoznajte skrivene funkcije

Savjet: Pravila linearnosti i pravilo diferencijacije stvaranja su u zastoju

Iznad svega, postoji rješenje i zaključak lekcije.

Došlo je vrijeme da prijeđemo na nešto kompaktnije i slađe.
Nije rijetka situacija, jer guza ima ne dvije, već tri funkcije. Kako znati pristup kreiranju tri množitelja?

zadnjica 4

Upoznajte skrivene funkcije

U početku se pitam zašto nije moguće pretvoriti tri funkcije u dvije? Na primjer, ako bismo imali dvije artikulacije, onda bi se ruke mogle otvoriti. Ali u aplikaciji su sve funkcije različite: korak, eksponent i logaritam.

U takvim slučajevima je neophodno dosljedno uspostaviti pravilo diferencijacije do kreativnosti dva puta

Fokus je na činjenici da smo iza "y" označeni sa dvije funkcije: , a iza "ve" - ​​logaritam: . Zašto možete zaraditi toliko? I hiba - Zašto nemate dva višekratnika i pravilo ne važi? Ne postoji ništa sklopivo:

Sada je pravilo odjednom stagniralo na pramac:

Možete se i izgubiti i nositi ga za ruke, ali u ovom slučaju je bolje da izgubite dokaze na ovaj način - lakše je provjeriti.

Pogledana guza se može prikazati na drugi način:

Ove dvije metode su apsolutno jednake.

zadnjica 5

Upoznajte skrivene funkcije

Ovo je primjer samostalnog donošenja odluka, na prvi način.

Pogledajmo slične kundake koristeći sačmarice.

zadnjica 6

Upoznajte skrivene funkcije

Ovdje možete pratiti nekoliko ruta:

ili ovako:

Ale je odlučio zapisati kompaktnije, budući da je na prvom mjestu pravilo razlikovanja privatnog , Prihvativši za cijelu knjigu brojeva:

U principu, zadnjica je superiorna, a ako mu oduzmete takav izgled, onda neće biti milosti. Ali iz očiglednih razloga, potrebno ih je ponovo verifikovati crno-belo, a šta se ne može oprostiti?

Dovedemo broj broja do konačnog predznaka i eliminiramo razlomak s tri površine:

Nedostatak ovih dodatnih mjera je što postoji rizik da se usaglašavaju ne u slučaju poznate škole, već u slučaju banalnih promjena škola. S druge strane, deponenti često odbijaju zadatke i traže od njih da ih „donesu na putu“ do izlaza.

Jednostavna guza za samostalan nastup:

Guza 7

Upoznajte skrivene funkcije

Nastavimo da savladavamo metode pronalaženja istog, a sada ćemo pogledati tipične ispade, ako se za diferencijaciju koristi "strašan" logaritam

Rekonstrukcija formule za sličnu statičku funkciju (x u koraku a). Ispituje se porijeklo korijena iz x. Formula za pokretnu statičku funkciju u odličnom redu. Primijeniti proračun žrtava.

Zmist

Div. također: Koračna funkcija i korijenska funkcija, formule i graf
Grafovi statičke funkcije

Osnovne formule

Slično je x u fazi a u poređenju sa a, pomnoženo sa x u fazi a minus jedan:
(1) .

Idite od korijenskog koraka n od x do koraka m gore:
(2) .

Rekonstrukcija formule za sličnu statičku funkciju

Ispustite x > 0

Hajde da pogledamo statička funkcija vrsta promjene x sa stepenom indikatora a:
(3) .
Ovdje a je dodatni aktivni broj. Pogledajmo prvo na brzinu.

Da bismo znali trenutnu funkciju (3), možemo brzo izračunati statičku funkciju i transformirati je u sadašnji oblik:
.

Sada znamo da ćemo otići, stastosovuči:
;
.
Evo.

Formula (1) je završena.

Rekonstrukcija formule slična korijenskom koraku n od x do koraka m

Pogledajmo sada funkciju koja je ukorijenjena ovako:
(4) .

Da bismo otkrili razliku, možemo transformirati korijen u statičku funkciju:
.
Poređenje sa formulom (3) bachimo, šta
.
Todi
.

Nakon formule (1) slijedi:
(1) ;
;
(2) .

Zaista nema potrebe za pamćenjem formule (2). Mnogo je lakše transformirati korijen u statičke funkcije od početka, a zatim pronaći njihovu sličnu, statičku formulu (1) (izvanredne primjene sa strane).

Vidak x = 0

Dakle, statička funkcija je određena na vrijednosti varijable x = 0 . Znamo funkciju (3) na x = 0 . Za koje su brze vrijednosti marša:
.

Zamjenjivo x = 0 :
.
U ovom slučaju, razumijemo desnu granicu, za koju .

Pa, znamo:
.
Sa zvijezde možete vidjeti da s, .
U , .
U , .
Ovaj rezultat slijedi formulu (1):
(1) .
Dakle, formula (1) vrijedi za x = 0 .

Vipadok x< 0

Pogledajmo ponovo funkciju (3):
(3) .
Za određene vrijednosti konstante a, dobit je jednaka í za negativne vrijednosti varijable x. I dozvolite sebi da budete racionalan broj. Tada ga možete dati naizgled sporom razlomku:
,
gdje su m i n cijeli brojevi, koji ne impliciraju ozbiljnog dužnika.

Ako n nije upareno, tada se statička funkcija određuje za negativne vrijednosti varijable x. Na primjer, sa n = 3 ta m = 1 Možemo koristiti kubni korijen od x:
.
Vín i za negativne vrijednosti varijable x.

Znamo konstantnu konstantnu funkciju (3) za i za racionalne vrijednosti konstante a za koju je dodijeljena. Za koje možemo predstaviti x y sljedećem oku:
.
Todi,
.
Znamo da su pravila za razlikovanje funkcije preklapanja:

.
Evo. Ale
.
Onda Oskolki
.
Todi
.
Tada je formula (1) važeća kada:
(1) .

Nedavni događaji najvišeg reda

Sada znamo slične više redove u statičkoj funkciji
(3) .
Pre svega, već smo znali:
.

Vina se toče u znak marša, znamo marš drugog reda:
.
Sličan red se koristi za marševe trećeg i četvrtog reda:
;

.

Zvezde to vide slično n-tom redu izgleda ovako:
.

Dragi scho ako je a prirodan broj, tada n-ti marš miruje:
.
Tada će svi naredni dani dostići nulu:
,
u .

Primijeniti obračun troškova

guza

Pronađite slične funkcije:
.

Preobražavamo korijen u korake:
;
.
Dakle, izlazna funkcija izgleda ovako:
.

Poznati su sljedeći koraci:
;
.
Vraća se na nulu:
.

Funkcije uređaja za preklapanje uvijek će biti u skladu sa značajem funkcije preklapanja. Pošto je to funkcija oblika y = sin x - (2 - 3) · r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, onda se ne može saviti u oblik y = sin 2 x.

Ovaj članak će pokazati razumijevanje funkcije preklapanja i njene manifestacije. Koristimo formule da pronađemo sličnu iz guzica da riješimo problem. Uspostavljanje tabele sličnosti i pravila diferencijacije jasno će promijeniti sat za pronalaženje sličnosti.

Glavna svrha

Viznachennya 1

Funkcija preklapanja je funkcija takva da je njen argument također funkcija.

Označava se na sljedeći način: f (g (x)). Moguće je da je funkcija g(x) predstavljena argumentom f(g(x)).

Vicennia 2

Pošto je f funkcija kotangensa, g(x) = ln x nije funkcija prirodnog logaritma. Jasno je da se sklopiva funkcija f(g(x)) može napisati kao arctg(lnx). Ili je funkcija f funkcija svedena na 4. stupanj, gdje se u cjelini uzima u obzir g (x) = x 2 + 2 x - 3 racionalna funkcija, Može se zaključiti da je f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Očigledno, g(x) može biti sklopiv. Iz primjera y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 možete vidjeti da je vrijednost g kubni korijen razlomka. Danski izraz se može napisati kao y = f (f 1 (f 2 (x))). Jasno je da je f sinusna funkcija, a f 1 je funkcija koja raste ispod kvadratnog korijena, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 – 5 je racionalna funkcija pucanja.

Vicenzennya 3

Nivo doprinosa je označen bilo kojim prirodnim brojem i zapisuje se kao y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))))).

Vicenchennya 4

Koncept sastava funkcija nastaje zbog broja funkcija uključenih u mentalni zadatak. Da budemo precizniji, formula za pronalaženje slične funkcije savijanja razvijena je u obliku

(f(g(x))) "=f"(g(x)) g"(x)

Primijenite

zadnjica 1

Pronađite jednostavnu funkciju savijanja kao što je y = (2 x + 1) 2.

Odluka

Iza uma možete vidjeti da je f kvadratna funkcija, a g (x) = 2 x + 1 je linearna funkcija.

Sastavimo formulu sličnu funkciji preklapanja i zapišemo je:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2)" = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) "= f "(g (x)) g "(x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Potrebno je poznavati strukturu funkcije na pojednostavljen način. Ignorable:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Da vidimo šta

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Rezultati su se poboljšali.

Kod datog zadatka ovog tipa, važno je razumjeti da će postojati funkcija oblika f i g (x).

zadnjica 2

Možete saznati sljedeće funkcije savijanja u obliku y = sin 2 x i y = sin x 2.

Odluka

Prvi unos funkcije pokazuje da je f kvadratna funkcija, a g (x) sinusna funkcija. Onda to poričemo

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Drugi unos pokazuje da je f sinusna funkcija, a g(x) = x 2 statička funkcija. Zvijezda pokazuje da sabiranje funkcije preklapanja možemo napisati kao

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Formula za y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . (f n (x))))))) biće napisana kao y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . .) f n (x))))) · f 1 "(f 2 (f 3 (. . (f n (x))))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n ( x))) )) · . . . · f n "(x)

zadnjica 3

Pronađite funkciju y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Odluka

Ovaj primjer pokazuje složenost zapisa i značajno proširenje funkcije. Tada je y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) je značajan, gdje je f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) sinusna funkcija, funkcija redukcije u 3. stupnju, funkcija s logaritmom i bazom e, arktangens i linearna funkcija.

Iz formule za vrijednost funkcije preklapanja moguće je da

y " = f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 2 " ( f 3 (f 4 (x)) f 3 "(f 4 (x)) f 4 " (x)

Hajde da shvatimo šta treba da znamo

1. f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) kao sinusna kriva prema tabeli sličnosti, onda f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) )))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)).
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) kao slična statička funkcija, pa je f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) je logaritamski, tako da je f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) je ekvivalent arktangenta, pa je f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Ako pronađete sličnu funkciju f 4 (x) = 2 x, dobijete 2 za predznak slične funkcije iz formule slične statičke funkcije sa indikatorom koji je veći od 1 tada je f 4 "(x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 x 1 - 1 = 2.

Procjenjuju se srednji rezultati i to je jasno

y " = f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 2 " ( f 3 ( f 4 (x)) f 3 "(f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) · 1 a r c t g (2 x) · 1 1 + 4 x 2 · 2 = = 6 · cos (ln 3 a r c t g (2 x)) · ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) · (1 + 4 x 2 )

Analizu takvih funkcija majke mogu naslutiti. Pravila diferencijacije možda nisu uvijek jasna iz druge tabele. Najčešće je potrebno formulirati formulu za pronalaženje sličnih funkcija preklapanja.

Postoji nekoliko funkcija sistema preklapanja. Kada postoji očigledna razlika, posebno je lako pronaći slične.

zadnjica 4

Potrebno je pogledati uperenost takvog kundaka. Pošto je to funkcija oblika y = t g 2 x + 3 t g x + 1, onda se može posmatrati kao presavijeni oblik g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1. Očigledno je potrebno formulirati formulu za sklopivo vozilo:

f "(g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)" = (g 2 (x)) "+ (3 g (x))" + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3; g "(x) = (t g x)" = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x)))" = f "(g (x)) g "(x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Funkcija oblika y = t g x 2 + 3 t g x + 1 nije sklopiva, jer je zbir t g x 2 3 t g x i 1. Međutim, t g x 2 je određen funkcijom preklapanja, tada je statička funkcija oblika g (x) = x 2 i f je tangentna funkcija. Za koga da razlikujemo sumu? Recimo to

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Idemo dalje na pronalaženje funkcije preklapanja (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) "= f "(g (x)) g "(x) = 2 x cos 2 (x 2)

Može se zaključiti da je y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funkcije preklapanja mogu biti uključene u skladište funkcija preklapanja, a same funkcije preklapanja mogu biti funkcije skladištenja.

zadnjica 5

Na primjer, pogledajmo funkciju preklapanja kao što je y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Ova funkcija se može predstaviti u obliku y = f (g (x)), gdje je vrijednost f funkcija logaritma na postolju 3, a g (x) se smatra zbirom dvije funkcije u obliku h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 i k(x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Očigledno, y = f(h(x) + k(x)).

Pogledajmo funkciju h(x) . Vrijednost l(x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 do m (x) = e x 2 + 3 3

Moguće je da je l(x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n(x) + p(x) zbir dvije funkcije n(x) = x 2 + 7 i p (x) = 3 cos 3 (2 x + 1), gdje je p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) je funkcija preklapanja s numeričkim koeficijentom 3, a p 1 je kocka funkcija, p 2 kosinusna funkcija, p 3 (x) = 2 x + 1 – linearna funkcija.

Oduzeli smo da je m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) zbir dvije funkcije q (x) = e x 2 i r (x) = 3 3 de q (x) = q 1 (q 2 (x)) je sklopiva funkcija, q 1 je funkcija s eksponencijalom, q 2 (x) = x 2 je statička funkcija.

Može se vidjeti da je h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Kada se pređe na oblik k(x) = ln 2 x (x 2 + 1) = s (x) t (x), jasno je da je funkcija predstavljena u presavijenom obliku s(x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) sa racionalnim cijelim brojem t (x) = x 2 + 1, gdje je s 1 funkcija kvadriranja, a s 2 (x) = ln x - logaritamska sa bazom e.

Zvijezda sija, kao što možete vidjeti k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) .

Onda to poričemo

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Iza struktura funkcije postalo je jasno kako i koje formule treba konsolidirati da bi se pojednostavilo izražavanje njihove diferencijacije. Da bismo se upoznali sa ovakvim zadacima i razumjeli njihov značaj, potrebno je vratiti se na tačku diferencijacije funkcija kako bismo pronašli slične.

Ako ste označili uslugu u tekstu, pogledajte je i pritisnite Ctrl+Enter

Ako slijedimo gore navedeno, onda je slična funkcija u tački između povećane funkcije Δ y da se poveća argument Δ x:

Sve je konačno postalo jasnije. Ili pokušajte da shvatite ovu formulu, recimo, sličnu funkciju f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grijeh x. Ako nastavite da radite na svojim zadacima, onda ćete nakon nekoliko koraka računanja jednostavno zaspati. Postoje jednostavniji i efikasniji načini za to.

Važno je da ih zbog ove raznolikosti funkcija možemo nazvati elementarnim funkcijama. Ovo su jasno jednostavni izrazi koji su odavno izračunati i uneseni u tabelu. Lako je zapamtiti takve funkcije – u isto vrijeme kada jesu.

Slične elementarne funkcije

Elementarne funkcije su sve što je navedeno u nastavku. Ove funkcije treba znati i zapamtiti. Štaviše, prilično ih je teško naučiti - tako su elementarni.

Pa, evo nekih osnovnih funkcija:

Ime	Funkcija	Pokhidna
Konstantno	f(x) = C, C ∈ R	0 (da, nula!)
Korak od racionalnog prikaza	f(x) = x n	n · x n − 1
Sine	f(x) = grijeh x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	−sin x(minus sinus)
Tangenta	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/grijeh 2 x
Prirodni logaritam	f(x) = log x	1/x
Dodatni logaritam	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Funkcija prikaza	f(x) = e x	e x(ništa se nije promijenilo)

Ako se elementarna funkcija pomnoži sa prilično konstantnom funkcijom, tada se slična nova funkcija također može lako implementirati:

(C · f)’ = C · f ’.

Zagalom konstante može se uzeti kao znak smrti. Na primjer:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očigledno, elementarne funkcije se mogu dodavati jedna za drugom, množiti, dijeliti i još mnogo toga. Tako se pojavljuju nove funkcije, ne naročito elementarne, ali i diferencirane po starim pravilima. Ova pravila su razmotrena u nastavku.

Pokhídna sum i ríznitsi

Pustite ovu funkciju f(x) to g(x), koliko znamo. Na primjer, možete uzeti elementarne funkcije razmatrane gore. Tada možete znati razliku između ovih funkcija:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Dakle, zbir (razlike) dvije funkcije je sličan istim zbirovima (razlikama) sličnih. Možda će biti još Dodankova. Na primjer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo govoreći, u algebri ne postoji koncept "posmatranja". Razumijem "negativni element". Zato postoji razlika f − g možete prepisati sumu f+ (−1) g I tada ćete izgubiti samo jednu formulu - sumu novca.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) - ovo je zbir dvije elementarne funkcije, dakle:

f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2)' + (grijeh x)’ = 2x+ cos x;

Slično mjereno za funkciju g(x). Tu su već tri dodanke (iz izgleda algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Predmet:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Pokhidna robot

Matematika je logička nauka, toliko ljudi brine da ako su zbrojevi slični zbirovima sličnih, onda je slično stvarati štrajk"> više poštuje rad potomaka. A os svijeta vam ne koristi! Sukcesivno stvaranje se poštuje potpuno drugačijom formulom. I sama:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je jednostavna, ali se često zaboravlja. I ne samo školarci, već i studenti. Rezultat su netačne pretpostavke.

Zavdannya. Saznajte sljedeće funkcije: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) Postoje dvije osnovne funkcije, tako da je sve jednostavno:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− sin x) = x 2 (3cos x − x grijeh x)

Na funkciji g(x) prvi množitelj je malo više presavijen, ali se skrivena shema ne mijenja. Očigledno, prvi množitelj funkcije g(x) je bogat pojam, a sličnost mu je slična. Maemo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Predmet:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x grijeh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Imajte na umu da će u preostaloj fazi vjerovatno biti razloženo na množitelje. Formalno, nije potreban nikakav rad, jer se većina aktivnosti ne računa na snagu, već da bi se pratila funkcija. To znači da je vrijeme da se izjednači sa nulom, znaci postaju jasni itd. U tu svrhu je bolje koristiti množitelje.

Postoje dvije funkcije f(x) to g(x), i g(x) ≠ 0 na osnovu impersonalnosti za nas možemo izračunati nova funkcija h(x) = f(x)/g(x). Za takvu funkciju možete znati i sljedeće:

Nije slabo, zar ne? Jesu li zvijezde u minusu? Chomu g 2? I to je to! Ovo je jedna od najsloženijih formula - nećete je shvatiti bez plesa. Zato je bolje da ga uvijete specifične zadnjice.

Zavdannya. Saznajte sljedeće funkcije:

Broj i znak frakcije kože imaju elementarne funkcije, tako da sve što nam treba je formula marširanja:

Slijedeći tradiciju, podijelimo broj na množitelje, što znači da je lako razumjeti:

Funkcija preklapanja - ovo nije komplicirana formula za povećanje kilometraže. Na primjer, dovoljno je uzeti funkciju f(x) = grijeh x i zamijenite promjenu x, recimo, na x 2 + ln x. Viide f(x) = grijeh ( x 2 + ln x) - ovo je složena funkcija. Ona je još uvijek u pokretu, ali nećete moći saznati o pravilima o kojima smo gore govorili.

Yak buti? U takvim situacijama, korisno je zamijeniti varijablu i formulu za sličnu funkciju preklapanja:

f ’(x) = f ’(t) · t', yakscho x biti zamijenjen sa t(x).

U pravilu, iz razumijevanja formule na desnoj strani, to je još više zbunjujuće, manje privatno. Ovo se također može bolje objasniti na konkretnim primjerima, uz detaljan opis uzorka kože.

Zavdannya. Saznajte sljedeće funkcije: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grijeh ( x 2 + ln x)

Poštovani, koja je funkcija f(x) zamijeniti virus 2 x+ 3 će biti jednostavno x, tada funkcija postaje elementarna f(x) = e x. Iz tog razloga ćemo oklijevati da ga zamijenimo: pustite ga 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Tražimo sličnu funkciju savijanja iza formule:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A sada - vau! Vršimo povratnu zamjenu: t = 2x+ 3. Otkazano:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Pogledajmo sada funkciju g(x). Očigledno treba zamijeniti x 2 + ln x = t. Maemo:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (grijeh t)’ · t' = cos t · t ’

Povratna zamjena: t = x 2 + ln x. Todi:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

To je sve! Kako je bilo očigledno da je sve isplanirano, sav posao je obavljen do konačne sume.

Predmet:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Često na svojim časovima termin „skriveno” zamenjujem rečju „moždani udar”. Na primjer, udarac u zbroju jednak je zbiru poteza. Tako ludo? Pa, to je dobro.

Na taj se način izračunavanje marša svodi na oduzimanje samih ovih poteza prema gore navedenim pravilima. Kao preostala guza, okrenimo se pozornici marširanja s racionalnim prikazom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo ljudi zna šta je u ulozi n U principu, može se koristiti razlomak. Na primjer, root - tse x 0.5. Šta ako stojimo ispod korijena i sve je fensi? Opet postoji funkcija preklapanja - takvi dizajni rado popuštaju kontrolne robote o da, doživeću to.

Zavdannya. Saznajte sljedeće funkcije:

Za početak, prepišimo korijen vizualnog koraka racionalnim izrazom:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sada smo sramežljivi kada je u pitanju zamjena: pustite ga x 2 + 8x − 7 = t. Znamo formulu:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Napravimo brzu zamjenu: t = x 2 + 8x− 7. Maemo:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Kada je riješeno, okrenimo se korijenu:

I teorema o sličnoj preklopnoj funkciji, čija je formulacija sljedeća:

Neka je 1) funkcija $u=\varphi (x)$ u tački pjevanja $x_0$ idi $u_(x)"=\varphi"(x_0)$; 2) funkcija $y=f(u)$ nalazi se u završnoj tački $u_0=\varphi (x_0)$ duž $y_(u)"=f"(u)$. Također, složena funkcija $y=f\left(\varphi (x) \right)$ za pogađanje tačke je također slična, jednaka sabiranju sličnih funkcija $f(u)$ i $\varphi (x)$ :

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

Ili, za kraću notaciju: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

U dnu ovog odjeljka, sve funkcije imaju oblik $y=f(x)$ (tako da možemo vidjeti samo jednu funkciju kao $x$). Očigledno, sve guzice vole $y"$ da preuzmu veliki $x$. Da ohrabrite one koji imaju tendenciju da preuzmu veliki $x$, često pišite $y"_x$ umjesto $y"$.

Za kundake br. 1, br. 2 i br. 3 postoji izvještaj o procesu pronalaženja funkcija preklapanja. Primjer br. 4 značenja tablice sličnih je sveobuhvatniji i možete ga upoznati.

Potrebno je, nakon izmjene materijala kundaka br. 1-3, preći na samostalno odlučivanje kundaka br. 5, br. 6 i br. Priložite br. 5, br. 6 i br. 7 kako bi rješenje bilo kratko kako bi čitalac mogao odmah provjeriti ispravnost svog rezultata.

Butt #1

Pronađite funkciju $y=e^(\cos x)$.

Moramo znati skrivenu funkciju savijanja $y"$. Ako je $y=e^(\cos x)$, onda je $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. znati skrivenu $ \ left(e^(\cos x)\right)"$ vikorista formulu br. 6 iz tabele sličnosti. Da biste ispravili formulu br. 6, potrebno je da je dodate u našu jednačinu $u=\cos x$. Nadalje, rješenje leži u banalnoj zamjeni formule br. 6 u obliku $\cos x$ umjesto $u$:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Sada moramo znati vrijednost izraza $(\cos x)"$. Vraćamo se na tabelu sličnosti, birajući iz nje formulu br. 10. Zamjenom $u=x$ u formulu br. 10, dobijamo : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Sada možemo nastaviti s jednačinom (1.1), dopunivši je rezultatom:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Fragmenti $x"=1$, zatim se nastavlja ljubomora (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Dakle, iz jednakosti (1.3) možemo: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Prirodno je da objašnjenja i međujednakosti treba preskočiti, bilježeći pojavljivanja sličnih u jednom red, kao u jednakosti (1.3) Sada kada je pronađena slična funkcija savijanja, više nije moguće zapisati odgovor.

Vídpovid: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Guzica br. 2

Pronađite početnu funkciju $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Moramo izračunati gubitak $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Značajno je da se konstanta (broj 9) može uzeti kao znak marša:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)" \tag (2.1) $$

Sada ću podivljati na izraz $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Da bih olakšao odabir formule iz tabele sličnih, ja ću predstaviti izraz koji se može vidjeti u ovom obliku: $\ left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Sada je jasno da je onda potrebno revidirati formulu br. 2. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Možemo zamijeniti formulu $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ i $\alpha=12$:

Dodatna ljubomora (2.1) može se eliminisati rezultatom:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

U ovoj situaciji, kompromis je često dozvoljen ako je prvi korak odabir formule $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ umjesto formule $ \left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Desno je da je prva odgovornost slična vanjskim funkcijama. Da biste razumjeli kako će sama funkcija biti vanjska u odnosu na izraz $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, shvatite da vam je stalo do značenja izraza $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ za bilo koju vrijednost $x$. Prvo ćete izračunati vrijednost $5^x$, a zatim pomnožiti rezultat sa 4, oduzimajući $4\cdot 5^x$. Sada, iz ovog rezultata, uzimamo arktangens oduzimanjem $ arcctg (4 cdot 5 ^ x) $. Zatim smanjujemo broj na dvanaesti korak oduzimanjem $ arctg (12) (4 cdot 5 x) $. Ostatak akcije, - tobto. podignut u koraku 12, - i hoće eksterna funkcija. I iz toga je trag početka rata koji je nastao ljubomorom (2.2).

Sada moramo znati $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Kreirajmo formulu br. 19 u tabeli sličnosti, zamjenjujući u nju $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Trochi jednostavno otrimaniy viraz, vrahovuychi $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Ljubomora (2.2) će sada postati ovako:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Izgubili smo saznanje $(4\cdot \ln x)"$. Uzimamo konstantu (da bude 4) kao znak smrti: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Da biste saznali $(\ln x)"$ koristeći formulu br. 8, zamjenjujući $u=x$ u nju: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"$ . Fragmenti $x"=1$, zatim $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $. Zamjenom rezultata u formuli (2.3), možemo ukloniti:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$

Pretpostavljam da se slične funkcije savijanja najčešće nalaze u jednom redu - kako je napisano u ostatku jednadžbe. Stoga, prilikom izrade standardnih procedura ili kontrolnih radova, uopće nije obavezno tako detaljno opisivati ​​rješenja.

Vídpovid: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Zaliha br. 3

Pronađite funkciju $y"$ $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Za kob, mijenjamo funkciju $y$, odredivši radikal (korijen) na vidljivom koraku: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5) \cdot 9^x) \desno)^(\frac(3)(7))$. Hajdemo sada na sahranu. Fragmenti $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, zatim:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Pogledajmo Vikorijevu formulu br. 2 iz tabele sličnosti, zamjenjujući ispred nje $u=\sin(5\cdot 9^x)$ i $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Nastavimo ljubomoru (3.1), iskoristimo i odbacimo rezultat:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Sada morate znati $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Za ovo, formula br. 9 iz sličnih tabela se može dobiti zamjenom $u=5\cdot 9^x$ u nju:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Dodavanjem ljubomore (3.2) možemo dobiti sljedeći rezultat:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Izgubili smo saznanje $(5\cdot 9^x)"$. Za klip, konstanta (broj $5$) je dodijeljena kao znak smrti, zatim $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. Da bismo pronašli indeks $(9^x)"$, dodajemo formulu br. 5 u tabelu indeksa, zamjenjujući ispred nje $a=9$ i $u=x$: $ (9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"$. Fragmenti $x"=1$, zatim $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Sada možete nastaviti sa ljubomorom (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Možete ponovo okrenuti korake na radikale (onda su radikali) tako što ćete napisati $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ u obliku $ \frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5) \) cdot 9 ^x)))$. Ovo će biti napisano u sljedećem obliku:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Vídpovid: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) ) cdot 9^x)))$.

Zaliha br. 4

Pokazati da su formule br. 3 i br. 4 tabele slične i sljedeća podjela formule br. 2 ove tabele.

U formuli br. 2 tabele kvota upisana je funkcija kretanja $u^\alpha$. Zamjenom $\alpha=-1$ u formulu br. 2 možemo eliminirati:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Ako je $u^(-1)=\frac(1)(u)$ í $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, tada se kapital (4.1) može prepisati na sljedeći način: $ \ left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ovo je formula br. 3 tabele sličnosti.

Opet ću poludjeti na formulu broj 2 tabele žrtava. Zamijenimo $\alpha=\frac(1)(2)$ prije toga:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Fragmenti $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ í $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, tada se kapital (4.2) može prepisati u ovom obliku:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Ljubomora je uklonjena $(sqrt(u))"=\frac(1)(2sqrt(u))cdot u"$ i formula je br. 4 tabele sličnosti. Kao što vidite, formule br. 3 i br. 4 u tabeli su izvedene iz formule br. 2 zamjenom podređene vrijednosti $ alfa $.