Kako integrirati racionalne razlomke. Integracija shot-racionalne funkcije. Metoda beznačajnih koeficijenata. Tema: integracija racionalnih razlomaka

Razlomak se zove ispravan, budući da je viši nivo brojača manji od višeg nivoa potpisnika. Integral pravilnog racionalnog razlomka izgleda ovako:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Formula za integraciju racionalne razlomke leži u korenu bogatog člana na zastavu. Pošto je bogati termin $ ax^2+bx+c $:

1. Ako su korijeni složeni, onda je potrebno vidjeti konačni kvadrat: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Ako je korijen $ x_1 $ i $ x_2 $ efikasan, tada morate izračunati prošireni integral i pronaći nepoznati koeficijent$ A $ i $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B )(x-x_2) dx $$
3. Jedan višestruki korijen $ x_1 $, tada se integral proširuje i koeficijent $ A $ i $ B $ nisu vrijedni za sljedeću formulu: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+ bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Kako je to moguće pogrešno, tada je viši nivo brojača veći od višeg nivoa potpisnika, potrebno ga je dovesti do ispravan Način dijeljenja polinoma iz brojčanog člana na bogati član iz nazivnika. U ovom slučaju, formula za integraciju racionalnog razlomka izgleda ovako:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Primijenite svoju odluku

Pregledane su primjene integracije racionalnih funkcija (razlomaka) iz izvještajnih rješenja.

Div. također: Kvadratni korijen

Ovdje smo vođeni odluke o izvještavanju tri aplikacije za integraciju naprednog racionalnog snimanja:
, , .

zadnjica 1

Izračunaj integral:
.

Ovdje se pod znakom integrala nalazi racionalna funkcija, a fragmenti integralnog izraza podijeljeni su na razlomke iz bogatih pojmova. Korak bogatog člana zastave ( 3 ) manji od stepena numeričkog člana ( 4 ). Taj mali treba da vidi cijeli dio kadra.

1. Vidimo cijeli dio kadra. Dilimo x 4 od x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Zvidsi
.

2. Podijelili smo baner na višestruke. Zašto trebate odvezati kubično poravnanje:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Zamjenjivo x = 1 :
.

1 . Dilimo by x - 1 :

Zvidsi
.
Čini se da je kvadrat.
.
Root Rivnyanya: , .
Todi
.

3. Razložimo stvari najjednostavnijim riječima.

.

Pa, znamo:
.
Integrisano.

zadnjica 2

Izračunaj integral:
.

Ovdje brojčanik ima razlomak - bogati član nultog stepena ( 1 = x 0). Barjaktar ima bogatog člana trećeg stepena. Oskolki 0 < 3 , onda je dribling ispravan. Podijelimo ga na najjednostavnije razlomke.

1. Podijelili smo baner na višestruke. Za koga je potrebno odrediti nivo treće faze:
.
Prihvatljivo je da postoji neko ko želi samo cijeli korijen. Ovo je ujedno i datum broja 3 (Član bez x). Tada cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 3, -1, -3 .
Zamjenjivo x = 1 :
.

Pa, znali smo jedan korijen x = 1 . Dilimo x 3 + 2 x - 3 na x - 1 :

otje,
.

Čini se da je potpuno jednako:
x 2+x+3=0.
Poznati diskriminant: D = 1 2 - 4 3 = -11. Oskolki D< 0 , tada rabarbara nema aktivnih korijena. Na ovaj način smo baner rasporedili u množitelje:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Zamjenjivo x = 1 . Todi x - 1 = 0 ,
.

Zamjenjiv u (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Jednak (2.1) koeficijenti na x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Integrisano.
(2.2) .
Da bismo izračunali još jedan integral, očigledno u numeričkom kalkulatoru pomeramo znak na zbir kvadrata.

;
;
.

Izračunljivo I 2 .


.
Ostaci Rivnjanje x 2+x+3=0 nema aktivne korijene, tada x 2 + x + 3 > 0. Stoga se znak modula može izostaviti.

Isporučeno (2.2) :
.

zadnjica 3

Izračunaj integral:
.

Ovdje se pod znakom integrala nalazi nekoliko različitih pojmova. Dakle, integralni izraz ima racionalnu funkciju. Nivo polinoma u brojevima je prastar 3 . Stadij polinoma označitelja sličan je razlomku 4 . Oskolki 3 < 4 , onda je dribling ispravan. Stoga se mogu podijeliti na jednostavne razlomke. U tu svrhu potrebno je baner podijeliti na množitelje.

1. Podijelili smo baner na višestruke. Za koga je potrebno odrediti nivo četvrte faze:
.
Prihvatljivo je da postoji neko ko želi samo cijeli korijen. Ovo je ujedno i datum broja 2 (Član bez x). Tada cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 2, -1, -2 .
Zamjenjivo x = -1 :
.

Pa, znali smo jedan korijen x = -1 . Dilimo by x - (-1) = x + 1:


otje,
.

Sada morate odrediti nivo treće faze:
.
Pretpostavimo da je cijeli korijen korijen i korijen broja 2 (Član bez x). Tada cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 2, -1, -2 .
Zamjenjivo x = -1 :
.

O dragi, našli smo još jedan korijen x = -1 . Bilo bi moguće, kao u prvom koraku, podijeliti pojam na , a zatim grupirati pojmove:
.

Ostaci Rivnjanje x 2 + 2 = 0 nema aktivnih korijena, tada smo raspored banera oduzeli u množitelje:
.

2. Razložimo stvari najjednostavnijim riječima. Izgleda kao da je postavljeno ispred vas:
.
Na baner se dodaje razlomak, pomnožen sa (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Zamjenjivo x = -1 . Todi x + 1 = 0 ,
.

Diferencijacija (3.1) :

;

.
Zamjenjivo x = -1 Zaista se nadam da je x + 1 = 0 :
;
; .

Zamjenjiv u (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Jednak (3.1) koeficijenti na x 3 :
;
1 = B + C;
.

Pa, znali smo kako raščlaniti najjednostavnije razlomke:
.

3. Integrisano.


.

„Matematičar, baš kao i umjetnik, pjeva i stvara umjetničke kreacije. I zato što su pogledi matematičara stabilniji, posebno zato što su sastavljeni od ideja... Pogledi matematičara, baš kao i pogledi umetnika ili pesnika, moraju biti lepi; Ideje su iste kao što se boje i riječi krivice dijele jedna po jedna. Ljepota je na prvom mjestu: u svijetu nema mjesta za ružnu matematiku».

G.H.Hardy

U prvom dijelu pretpostavljalo se da će primarni cilj biti postizanje jednostavnih funkcija koje se više ne mogu izraziti elementarne funkcije. S tim u vezi, od velike su praktične važnosti one klase funkcija za koje se može precizno reći da su njihove primarne funkcije elementarne funkcije. Funkcije dostižu ovu klasu racionalne funkcije, koji su odnosi dva algebarska bogata člana Prije integriranja racionalnih razlomaka, dajte bogatu izjavu. Stoga je vrlo važno integrirati takve funkcije.

2.1.1. Frakcionalne racionalne funkcije

Racionalni razlomak(ili shot-racionalna funkcija) naziva se odnos dva algebarska bogata pojma:

gdje sam – bogati članovi.

Pogodi šta bogati član (polinom, čitava racionalna funkcija) nth stage naziva se funkcija

de – aktivni brojevi. Na primjer,

- bogati član prve etape;

- bogati član četvrte etape itd.

Poziva se racionalni argument (2.1.1). ispravan Ako je nivo niži od nivoa, onda. n<m, u drugom slučaju se zove drib pogrešno.

Bilo koji nepravilan razlomak se može poslužiti u obliku velikog dijela (cijeli dio) i pravilnog razlomka (razlomački dio). Sagledavanje cjeline i pogođenih dijelova nepravilnog kadra može se izvesti po pravilu odsjeka.

Guza 2.1.1. Pogledajte cijeli razlomak sljedećih nepravilnih racionalnih razlomaka:

A) , b) .

Odluka . a) Vikoristov algoritam je podijeljen na "bump" i može se eliminirati

Na ovaj način odbacujemo

.

b) Ovdje je također vikory algoritam u "udaru":

Kao rezultat toga, možemo odbiti

.

Hajde da donesemo kese. Ne-beznačajan integral racionalnog razlomka u doslovnom izrazu može se otkriti zbirom integrala bogatog člana i ispravnog racionalnog razlomka. Pronalaženje prvih vrsta polinoma ne postaje teško. Stoga je važno uzeti u obzir ispravne racionalne razlomke.

2.1.2. Najjednostavniji racionalni razlomci i njihova integracija

Među regularnim racionalnim razlomcima postoje četiri tipa koji se odnose na na najjednostavnije (elementarne) racionalne razlomke:

de - cijeli broj, , onda. kvadratni trinom nema aktivnih korijena.

Integracija najjednostavnijih razlomaka 1. i 2. tipa ne predstavlja velike poteškoće:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Sada ćemo pogledati integraciju najjednostavnijih razlomaka 3. tipa, ali nećemo gledati razlomke 4. tipa.

Završimo s integralima na umu

.

Ovaj integral se poziva da se izračuna na način da se u baneru vidi potpuni kvadrat. Rezultat je tabelarni integral sljedećeg oblika:

ili drugo .

Guza 2.1.2. Pronađite integrale:

A) , b) .

Odluka . a) Vidljivo iz kvadratnog trinoma, novi kvadrat je:

Znamo zvezde

b) Nakon što smo vidjeli novi kvadrat iz kvadratnog trinoma, možemo ukloniti:

Na takav način

.

Da pronađemo integral

može se vidjeti u numeričkom kalkulatoru prema predznaku i podjeli integrala za zbir dvaju integrala: prvi njihovom zamjenom ubrzati

,

a drugi - na stvar koju je pogledao.

Guza 2.1.3. Pronađite integrale:

.

Odluka . Dragi scho . Vidljivo u broju banera:

Prvi integral se izračunava dodatnom zamjenom :

Drugi integral očigledno ima dodatni kvadrat na znaku

Ostatak možemo ukloniti

2.1.3. Postavljanje ispravnog racionalnog razlomka
za zbir najjednostavnijih razlomaka

Budite pravi racionalni argument može se vidjeti u jednom redu gledajući zbir najjednostavnijih razlomaka. U tu svrhu, baner treba podijeliti na množitelje. Iz puno algebre jasno je da je koža bogata aktivnim koeficijentima

Unesite funkciju koja zahtijeva poznavanje integrala

Nakon izračunavanja nevrijednog integrala, možete dobiti besplatno DETALJNO rješenje integrala koji ste unijeli.

Znamo rješenje nevrijednog integrala funkcije f(x) (slična funkcija).

Primijenite

Iz stagnirajuće faze
(kvadrat i kocka) i razlomci

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Kvadratni korijen

Sqrt(x)/(x + 1)

Kockasti korijen

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Iz izračuna sinusa i kosinusa

2*sin(x)*cos(x)

arcsine

X*arcsin(x)

Arc kosinus

X*arccos(x)

Zastosuvannya logaritam

X*log(x, 10)

Prirodni logaritam

eksponent

Tg(x)*sin(x)

Kotangens

Ctg(x)*cos(x)

Iracionalni razlomci

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arktangent

X*arctg(x)

Arkotangenta

X*arcctg(x)

Hiperbolički sinus i kosinus

2*sh(x)*ch(x)

Hiperbolički tangent i kotangens

Ctgh(x)/tgh(x)

Hiperbolički arcsin i arkosinus

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Hiperbolički arktangens i arkotangens

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Pravila za uvođenje izraza i funkcija

Izrazi se mogu kombinovati sa funkcijama (značenja su po abecednom redu): apsolutno (x) Apsolutno nije značajno x
(modul x ili drugo |x|) arccos(x) Funkcija - arc kosinus x arccosh(x) Arc kosinus hiperbolički pogled x arcsin(x) Arcsinus pogled x arcsinh(x) Arcsinus hiperbolički pogled x arktan(x) Funkcija - arktangent x arctgh(x) Arktangentni hiperbolički pogled x e e broj koji je otprilike stariji od 2,7 exp(x) Funkcija - eksponent x(šta ja e^x) log(x) ili ln(x) Prirodni logaritam x
(Skini to log7(x), trebate unijeti log(x)/log(7) (ili, na primjer, for log10(x)=log(x)/log(10)) pi Broj je „Pi“, koji je otprilike stariji od 3,14 sin(x) Funkcija - Sinusni val x cos(x) Funkcija - kosinus x sinh(x) Funkcija - Hiperbolički prikaz sinusa x cosh(x) Funkcija - kosinus hiperbolički tip x sqrt(x) Funkcija - kvadratni korijen od s x sqr(x) ili drugo x^2 Funkcija - kvadrat x preplanulost (x) Funkcija - Tangentni pogled x tgh(x) Funkcija - Tangenta hiperbolična x cbrt(x) Funkcija - kubni korijen x

Virusi mogu obavljati sljedeće operacije: Referentni brojevi uđite na prvi pogled 7.5 , ne 7,5 2*x- množenje 3/x- podijeliti x^3- podignut na stepen x+7- dodao je x - 6- vidnímannya
Ostale funkcije: sprat(x) Funkcija - zaokruživanje x na menshu strani (stražnji pod (4.5)==4.0) plafon(x) Funkcija - zaokruživanje x na velikoj strani (strop (4,5)==5,0) znak(x) Funkcija - Sign x erf(x) Funkcija mlijeka (ili integral integriteta) laplace(x) Laplaceova funkcija

Za integraciju racionalne funkcije \(\large\frac((P\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize,\) de \((P\left(x \ desno ) ))\) i \((Q\left(x \right))\) − polinomi, redoslijed koraka je određen:

Ako je drib netačan (korak \((P\left(x \right))\) je veći od koraka \((Q\left(x \right))\)), promijenite ga u ispravan, uvid u svrhu izraza;

Raširite baner \((Q\left(x \right))\) u više monoma i/ili sporih kvadratnih izraza;

Rastavite racionalni razlomak na najjednostavnije razlomke, vikorist ;

Izračunajte integrale koristeći najjednostavnije razlomke.

Krok 1. Ponovna konverzija nepravilnog racionalnog razlomka

Pošto je termin nepravilan (onda je brojčani korak \((P\left(x \right))\) veći od koraka predznaka \((Q\left(x \right))\)), bogati termin \ ((P\) lijevo je odvojivo (x \desno))\) na \((Q\left(x \right)).\) Ofanzivni viraz se može odbiti: \[\frac((P\left(x) \desno))))((Q\levo (x \desno))) = F\levo(x \desno) + \frac((R\levo(x \desno)))((Q\levo(x \ desno)))),\] de \( \large\frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize\) je tačan racionalni razlomak.

Crocus 2. Postavljanje banera pomoću najjednostavnijih razlomaka

Zapišimo bogati izraz znamennika \((Q\left(x \right))\) u obliku \[ (Q\left(x \right) ) = ((\left((x - a) \ desno)^\alpha ) \ cdots (\left((x - b) \desno)^\beta )(\left(((x^2) + px + q) \right)^\mu ) \cdots (\ left(((x^2 ) ) + rx + s) \right)^\nu ),) \] de kvadratne funkcije nisu brze, tako da nema aktivnih korijena.

Lekcija 3. Distribucija racionalnih razlomaka iz zbira najjednostavnijih razlomaka.

Zapišimo racionalnu funkciju u modernom obliku: \[(\frac((R\left(x \right))))((Q\left(x \right))) = \frac(A)((((( \levo (( x - a) \desno))^\alpha ))) + \frac(((A_1))))((((\left((x - a) \right))^(\alpha - 1) )))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((A_(\alpha - 1)))))))((x - a)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(B) ((((\left( (x - b) \right))^\beta ))) + \frac(((B_1))))((((\left((x - b) \right)) ^( \beta - 1)))) ) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((B_(\beta - 1)))))((x - b)) )\kern0pt (+ \frac( (Kx + L)))((((\ lijevo(((x^2) + px + q) \desno))^\mu ))) + \frac(((K_1)x + (L_1))) )( (((\left(((x^2) ) + px + q) \desno))^(\mu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((K_(\ mu - 1)))x + (L_(\mu - 1) ))))(((x^2) + px + q)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac((Mx + N)) ((((\levo(((x^2) + rx +) s) \desno))^\nu ))) + \frac(((M_1)x + (N_1))))(((\ lijevo( ((x^2) + rx + s) \desno))^ (\nu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((M_(\nu - 1))x + (N_ (\nu - 1)))))(((x^2) + rx + s)).) \] Broj beznačajnih koeficijenata je nelegalan \((A_i),\) \((B_i), \) \(( K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \((N_i), \ldots\) može dodati na nivo banera \((Q\lijevo (x \desno)).\)

Zatim množimo uvredljive dijelove povučene jednake baneru \((Q\left(x \right))\) i izjednačavamo koeficijente za dodavanja sa istim koracima \(x.\) Kao rezultat, povlačimo sistem linearnih jednakosti bez početnih koeficijenata \((A_i ),\) \((B_i),\) \((K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \(( N_i), \ldots\) Ovaj sistem će uvijek biti Jedna odluka. Opisi algoritma metoda beznačajnih koeficijenata .

Lekcija 4. Integracija najjednostavnijih racionalnih razlomaka.

Najjednostavniji razlomci, odvojeni od proširenja dovoljno pravilnog racionalnog razlomka, integriraju se pomoću sljedećih šest formula: \ \ Za razlomke s kvadratnim predznakom u početku je potrebno vidjeti vanjski kvadrat: \[\int (\frac( (Ax + B)))(((((\levo(((x^2) + px + q) \desno))^k)))dx) = \int (\frac((At + B") ))(((\left((( t^2) ) + (m^2)) \desno))^k)))dt) ,\] de \(t = x + \large\frac(p )(2)\normalsize,\) \( (m^2 ) = \large\frac((4q - (p^2)))(4)\normalsize,\) \(B" = B - \large\ frac((Ap))(2)\normalsize .\) Tada se sljedeće formule zaglavljuju: \[(4.\;\;\int (\frac((tdt)))((((\left((( t^2) + (m^2)) \desno ))^k )))) ) = (\frac(1)((2\left((1 - k) \right)((\left((( t^2) + (m^2)) \desno ))^( k - 1)))) ) \] \ Integral \(\large\int\normalsize (\large\frac((dt)))(( ((\left(((t^2) + ( m^2))) \right))^k)))\normalsize) \) možete platiti \(k\) kroki za dodatnu pomoć formule redukcije\[ (6.\;\;\int (\frac((dt)))((((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^k)))) ) = (\frac(t)((2(m^2)\left((k - 1) \right)((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^ ( k - 1)))) ) (+ \frac((2k - 3))((2(m^2)\left((k - 1) \right)))\int (\frac((dt) ) (((\levo(((t^2) + (m^2)) \desno))^(k - 1))))) ) \]