Sve što trebate znati o logaritamskim nejednačinama. Složene logaritamske nejednakosti. Otklanjanje logaritamskih neravnina

Logaritamske neravnine

U prethodnim lekcijama smo učili o logaritamskim jednadžbama i sada znamo kako ih izračunati. A današnja lekcija će biti posvećena razvoju logaritamskih nejednakosti. Koji je razlog ovakvih nejednakosti i koja je razlika između rješenja logaritamske jednadžbe i nejednačina?

Logaritamske nejednakosti - to su nejednakosti koje se mogu mijenjati, a koje stoje pod znakom logaritma ili na njegovoj osnovi.

Ili, takođe možemo reći da je logaritamska nejednakost takva nejednakost, u kojoj postoji nepoznata veličina, kao u logaritamskoj nejednakosti, koja stoji pod znakom logaritma.

Najjednostavnije logaritamske nejednakosti izgledaju ovako:

gdje su f(x) i g(x) različiti izrazi koji leže ispod x.

Pogledajmo pobliže ovaj primjer: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Otklanjanje logaritamskih neravnina

Prije razotkrivanja logaritamskih nejednakosti, važno je napomenuti da smrad, na najvišem nivou, može biti sličan nejednakostima prikaza, a sam po sebi:

Prije svega, kada prelazimo s logaritma na izraze koji stoje pod znakom logaritma, također moramo izjednačiti osnovicu logaritma s jedinicom;

Drugim riječima, većinu logaritamskih nejednakosti, vikorističkih i zamjenskih promjenjivih, moramo riješiti nejednakosti prije zamjene do trenutka kada možemo odbaciti najjednostavniju nejednakost.

Takođe smo posmatrali slične trenutke raspleta logaritamskih nejednakosti. I istovremeno gajim žestoko poštovanje za postizanje istinskog dostojanstva. Svi znamo da logaritamska funkcija može biti ograničena rasponom vrijednosti, pa je pri prelasku sa logaritama na izraze koji stoje pod znakom logaritma potrebno uzeti u obzir raspon prihvatljivih vrijednosti (ADV).

Kako bismo osigurali da su kod vas najviše logaritamskih jednadžbi, prvo možemo pronaći korijensku jednadžbu, a zatim provjeriti rješenje. A osa logaritamske nejednakosti se ne vidi, fragmenti koji prelaze iz logaritma u izraze koji stoje pod znakom logaritma, potrebno je zapisati ODZ nejednakosti.

Također je važno zapamtiti da se teorija nejednakosti sastoji od realnih brojeva, kao što su pozitivni i negativni brojevi, kao i broj 0.

Na primjer, ako je broj “a” pozitivan, potrebno je koristiti sljedeći unos: a >0. I ovdje će, kao i zbir, prihod takvih brojeva također biti pozitivan.

Osnovni princip rješavanja problema je zamijeniti ga nečim jednostavnijim, zvanim smut, tako da bude ekvivalent datom. Dalje, napravili smo i neravnine i novine i zamijenili ga jednostavnijim izgledom itd.

Kod najvećih nejednakosti potrebno je tražiti sve svoje odluke. Ako dvije nejednakosti imaju istu razliku, onda su takve nejednakosti ekvivalentne, u čijem umu se njihove razlike izbjegavaju.

Da bi se riješile logaritamske nepreciznosti, potrebno je zapamtiti da ako je a > 1, onda se logaritamska funkcija povećava, a ako je 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metode rješavanja logaritamskih neravnina

Pogledajmo sada različite metode koje se mogu koristiti kada se radi o logaritamskim nejednačinama. Za bolje razumijevanje i savladavanje, pokušajmo učiti od njih na određenim dionicama.

Ti i ja znamo da najjednostavnija logaritamska nejednakost izgleda ovako:

Ova nejednakost ima jedan od sljedećih znakova nejednakosti:<,>, ≤ ili ≥.

Ako je temelj patuljastog logaritma veći od Odinitni (a> 1), zdravi stanovnici Relkhíd vid Logarithmiv do Virav, da stoje pod znakom logaritma, onda u tsoma wai, nervoznom nervnom znaku, ja sam nervozan za Matima Takye Vighmia:

Šta je ekvivalentno ovoj osi sistema:

Ponekad, ako je osnova logaritma veća od nule i manja od jedan (0

Prema sistemskim podacima:

Iznenađujuće, primjena najjednostavnijih logaritamskih nejednakosti usmjerena je na bebu u nastavku:

Rešenja za zadnjicu

Zavdannya. Pokušajmo shvatiti ovu osu neravnine:

Najveći raspon prihvatljivih vrijednosti.

Pokušajmo sada pomnožiti ovaj pravi dio sa:

Čudimo se onome što vidimo:

Pređimo sada na transformaciju sublogaritamskih izraza. Veza je u tome da je osnova logaritma 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x – 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

I iz ovoga je vidljivo da je interval koji smo oduzeli u potpunosti zaslužan za ODZ i najviše razine takve nejednakosti.

Osa koju smo smislili je:

Šta je potrebno za rast logaritamskih neravnina?

Pokušajmo sada analizirati šta nam je potrebno da bismo uspješno savladali logaritamske nejednakosti?

Prije svega, pokažite svo poštovanje i pokušajte ne praviti kompromise u konačnoj transformaciji, što je dato u ovoj nejednakosti. Također je vrijedno zapamtiti da kada takve nepreciznosti prevladavaju, potrebno je spriječiti širenje i zvučanje ODZ nejednakosti, što može dovesti do rasipanja ili dodavanja rješenja trećih strana.

Drugim riječima, kada se radi o logaritamskoj neujednačenosti, potrebno je naučiti logično razmišljati i razumjeti razliku između pojmova kao što su sistem neravnina i skup neravnina, kako biste lakše mogli birati između 'jezičkih nejednakosti, u koje boluju od ODZ-a.

Treće, za uspješno liječenje ovakvih kožnih poremećaja morate biti dobro svjesni svih moći elementarnih funkcija i jasno razumjeti njihov smisao. Takve funkcije ne uključuju samo logaritamske, već i racionalne, statističke, trigonometrijske itd., jednom riječju, sve one koje ste naučili kroz školsku algebru.

Kao što znate, nakon što ste naučili temu o logaritamskim nejednakostima, većina ovih nejednakosti nema na umu ništa što ćete poštovati i nastojati da postignete svoje ciljeve. Kako nepreciznosti na visokom nivou ne bi stvarale svakodnevne probleme, potrebno je što više vježbati, naučiti razne stvari i zapamtiti glavne načine na koje takve nejednakosti nastaju u njihovim sistemima. U slučaju nedavnih rješenja logaritamskih nejednakosti, važno je pažljivo analizirati svoje proračune kako se budućnost ne bi ponovno okrenula njima.

Uređenje doma

U cilju brzog savladavanja i konsolidacije obrađenog materijala, postoje neke nedosljednosti:

LOGARITAMSKE NEJEDNAKOSTI U EDI

Sečin Mihailo Oleksandrovič

Mala akademija nauka studenata omladine Republike Kazahstan "Shukach"

MBOU "Radyanska Zosh br. 1", 11. razred, smt. Radjanski Radjanski okrug

Gunko Ljudmila Dmitrivna, učiteljica MBOU "Radyanska Zosh br. 1"

Radyansky okrug

Meta roboti: istraživanje mehanizma asocijacije logaritamskih nejednačina C3 nestandardnim metodama; Otkrivanje određenih činjenica o logaritmu.

Predmet istrage:

3) Naučite odrediti specifične logaritamske nejednakosti C3 koristeći nestandardne metode.

Rezultati:

Zmist

Uvod………………………………………………………………………………………………….4

Poglavlje 1. Istorijat ishrane…………………………………………………………5

Poglavlje 2. Zbirka logaritamskih nejednačina ………………………… 7

2.1. Metoda jednakih prijelaza i pravilnih intervala……… 7

2.2. Metoda racionalizacije …………………………………………………………… 15

2.3. Nestandardna postavka .............................................................. ............ ..... 22

2.4. Zavdanja sa pastirima…………………………………………………… 27

Zaključak…………………………………………………………………………………………… 30

Književnost……………………………………………………………………………………………………. 31

Enter

Počeću u 11. razredu i planiram da uđem na nivo visokog obrazovanja, gdje mi je glavni predmet matematika. I to dosta dolazi iz originalnog dela C. Originalni C3 zahteva nestandardnu ​​neravninu i sistem neravnina, po pravilu, povezan je sa logaritmima. Pripremajući se za test, naišao sam na problem nedostatka metoda i tehnika za rješavanje ispitnih logaritamskih nejednačina koje pokazuje C3. Metode koje se koriste u školskom programu ne daju osnovu za najviši zadatak C3. Nastavnica matematike me je ohrabrila da samostalno radim na C3 zadacima pod njenim nadzorom. Zašto, nisam toliko zabrinut za hranu: imamo li logaritme u našim životima?

Gledajući ovo, pojavila se tema:

"Logaritmske nejednakosti u EDI-ju"

Meta roboti: istraživanje mehanizma za rješavanje C3 zadataka nestandardnim metodama; Otkrivanje određenih činjenica o logaritmu.

Predmet istrage:

1) Pronađite potrebne informacije o nestandardnim metodama za rješavanje logaritamskih nejednačina.

2) Saznajte dodatne informacije o logaritmima.

3) Naučite da implementirate specifične zadatke C3 koristeći nestandardne metode.

Rezultati:

Prošireni uređaj za napredne zadatke C3 ima praktičan značaj. Ovaj materijal se može izučavati u realnim časovima, za grupne časove i za izborne predmete iz matematike.

Proizvod projekta će biti zbirka "Logaritamske nejednačine C3 sa rješenjima".

Odjeljak 1. Istorija ishrane

Tokom 16. veka, broj najbližih pristupa koji se računaju u astronomiji naglo se povećavao. Poboljšanje instrumenata, istraživanje planetarnih ruševina i drugih robota doveli su do kolosalnih, ponekad bogatih kvarova. Astronomiji je prijetio stvarni rizik od utapanja u novim vječnim ruševinama. Poteškoće su se pojavile u drugim područjima, na primjer, industriji osiguranja su bili potrebni stolovi sklopivih panela za različite vrijednosti panela. Glavnu složenost predstavljalo je množenje, dijeljenje brojeva bogate vrijednosti, posebno trigonometrijskih veličina.

Spirala logaritama nastavila se dobro sve do kraja 16. veka moći progresa. O vezama između članova geometrijske progresije q, q2, q3, ... i aritmetičke progresije njihovih indikatora 1, 2, 3, ... govoreći u Arhimedovom "Psalmitisu". Drugi razlog je bilo prošireno razumijevanje nivoa negativa i prikaza sačmarica. Brojni autori su istakli da se množenje, deljenje, svođenje na korak i oduzimanje korena u geometrijskoj progresiji pojavljuju u aritmetici - istim redosledom - sabiranje, zamena, množenje i deljenje.

Ovdje je postojala ideja o logaritmu kao indikatoru koraka.

Razvoj znanja o logaritmima prošao je kroz mnoge faze.

Faza 1

Logaritme su otkrili kasnije od 1594 godine nezavisno škotski baron Napier (1550-1617) i deset godina švajcarski mehaničar Burgi (1552-1632). Željeli su da datiraju novo ručno izračunavanje aritmetičkih proračuna, iako su do ovog zadatka dolazili na različite načine. Neper je kinematički odredio logaritamsku funkciju i time ušao u novo područje teorije funkcija. Građani su izgubili iz vida diskretni napredak. Štaviše, vrijednost logaritma u oba nije slična dnevnoj. Izraz "logaritam" (logaritam) dolazi od Napiera. To je zbog kombinacije grčkih riječi: logos - "skup" i ariqmo - "broj", što je značilo "broj vina". U početku, Neper je koristio drugačiji termin: numeri artificiales - "brojevi komada", za razliku od numeri naturalts - "prirodni brojevi".

Godine 1615., kada je rođen profesor matematike Gresham College u Londonu, Henry Briggs (1561-1631) Neper je odlučio uzeti nulu za logaritam od jedan, a 100 za logaritam od deset, koji se svodi na isto, jednostavno 1. Dakle, logaritam desetica je bio Pripremljene su prve logaritamske tablice. Briggsovu kasniju tabelu dopunio je holandski knjižar i zaljubljenik u matematiku Andrian Flaccus (1600-1667). Neper i Brigs, iako su došli do logaritma prije ikoga drugog, objavili su svoje tabele kasnije od ostalih - 1620. godine. Znakovi log i log uvedeni su 1624. godine. Kepler. Termin "prirodni logaritam" skovao je Mengoli 1659. a nakon njega M. Mercator 1668. godine, i vidjevši tabele prirodnih logaritama brojeva od 1 do 1000 pod naslovom “Novi logaritmi”, londonski čitalac John Speidel.

Prve ruske logaritamske tablice pojavile su se 1703. godine. Međutim, u svim logaritamskim tablicama došlo je do grešaka prilikom izračunavanja. Prve nevojne tablice objavljene su 1857. u Berlinu u kopiji njemačkog matematičara K. Bremikera (1804-1877).

Faza 2

Dalji razvoj teorije logaritama relacija sa širim konceptima analitičke geometrije i proračunom beskonačno malih. Tada uspostavite vezu između kvadrata jednakostraničnog hiperboličkog i prirodnog logaritma. Teorija logaritama ovog perioda povezana je sa imenima brojnih matematičara.

Njemački matematičar, astronom i inženjer Nikolaus Mercator na poslu

"Logaritmetička tehnika" (1668) crta niz, koji daje proširenje ln(x+1)

koraci x:

To jasno odgovara toku njegovih misli, iako to, naravno, nije označeno znakovima d, ..., već glomaznom simbolikom. Kao rezultat logaritamskog niskog nivoa, tehnika izračunavanja logaritama se promijenila: počeli su se računati pomoću kontinuiranih serija. U svojim predavanjima “Elementarna matematika sa najviše tačke gledišta”, održanim 1907-1908, F. Klajn je uveo formulu vikoryja kao glavnu tačku teorije logaritama.

Faza 3

Vrijednosti logaritamske funkcije kao povratne funkcije

razmetljiv, logaritam kao razmetljivi korak date osnove

nije formulisano odmah. Twir Leonard Euler (1707-1783)

Dalje je poslužio "Uvod u analizu beskonačno malog" (1748).

razvoj teorije logaritamske funkcije Dakle,

Od tog sata su prošle 134 godine, otkako su prvi put uvedeni logaritmi

(odnosno od 1614. godine), pre svega su postali važni matematičari

Razumijevanje logaritma, koji je sada osnova školskog kursa.

Poglavlje 2. Zbirka logaritamskih nejednakosti

2.1. Jednaki prijelazi i prijelazi primjenom intervalne metode.

Jednaki prijelazi

ako je a > 1

poštansko sanduče 0 < а < 1

Napredna intervalna metoda

Ova metoda je najuniverzalnija s obzirom na rastuće nejednakosti gotovo bilo koje vrste. Dijagram rješenja izgleda ovako:

1. Dovedite nejednakost u takav oblik gdje lijeva strana ima funkciju
, a desna je 0.

2. Znati opseg funkcije
.

3. Pronađite nulte funkcije
, onda – da budem iskren
(a lakše je razotkriti ljubomoru nego nervozu).

4. Preslikajte raspon vrijednosti i nula funkcije na brojevnu pravu.

5. Značaj znakova funkcije
u opsesivnim intervalima.

6. Odaberite intervale u kojima funkcija popunjava tražene vrijednosti i zabilježite odgovor.

guza 1.

Odluka:

Metoda intervala je postavljena.

zvijezde

Uz ove vrijednosti, svi izrazi koji stoje pod predznacima logaritma su pozitivni.

Predmet:

guza 2.

Odluka:

1st metoda . ADL je označen nejednakošću x> 3. Logaritam za takve x na postolju 10, uklonjiv

Preostali nemir bi se onda mogao odrediti stagnacijom pravila rasporeda. jednak nuli spivmniki. Međutim, u ovom slučaju je lako odrediti intervale značajnosti funkcije

Ovo se može uraditi metodom intervala.

Funkcija f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ kontinuirano na x> 3 i ide na nulu u tačkama x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Na ovaj način se određuju intervali označavanja funkcije f(x):

Predmet:

2. metoda . Nema apsolutno nikakvog sukoba s idejom intervala.

Za koga možemo pogoditi šta virazi a b- a c i ( a - 1)(b– 1) nacrtati jedan znak. Kao i naša nervoza kada x> 3 jednake nejednakosti

ili drugo

Preostala nestabilnost se određuje intervalnom metodom

Predmet:

zadnjica 3.

Odluka:

Metoda intervala je postavljena.

Predmet:

zadnjica 4.

Odluka:

Oskolki 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 za sve aktivne x, To

Da bi se poboljšale ostale neravnine, brzina se određuje metodom intervala.

Za prvi disbalans neophodna je zamjena

onda dolazimo do tačke neravnine 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, koji zadovoljava neravnine -0,5< y < 1.

Zvezde, eto zašto

nelagoda se može ukloniti

kako pobijediti za ove x, za one 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Sada kada je većina ostalih neravnoteža u sistemu riješena, oni se mogu potpuno eliminirati

Predmet:

Guza 5.

Odluka:

Nejednakost je jednaka ukupnosti sistema

ili drugo

Metoda intervala ili

Vídpovid:

zadnjica 6.

Odluka:

Nemir je jednak sistemu

Idemo

onda y > 0,

i prva nervoza

pojavljuje se sistem

ili, odvijanje

kvadratni trinom po množiteljima,

Stabilizacija do preostalih neravnina, metoda intervala,

Najvažnije, koje su vaše odluke koje zadovoljavaju vaš um? y> 0 biće y > 4.

Na ovaj način, nejednakost je ekvivalentna sistemu:

Pa, riješene nejednakosti su sve

2.2. Metoda racionalizacije.

Ranije, u načinu racionalizacije, nejednakost nije preovladavala, nije se znala. Ovo je „nova dnevna efektivna metoda za određivanje pokaznih i logaritamskih nejednakosti“ (citat iz knjige S.I. Kolesnikova)
I kažem da se učitelj, pošto ga je poznavao, uplašio - ali šta zna stručnjak, i zašto ga ne uče u školi? Bilo je situacija kada je čitalac rekao učiteljici: "Gdje si to uzeo? Sidai - 2."
Ninin metod svuda curi. A za stručnjake postoje metodičke izjave vezane za ovu metodu, a u “Najnoviji tipovi tipičnih opcija...” rješenje C3 podržava ovu metodu.
MONSTER METHOD!

"Šarmantan sto"

Na drugim mjestima

yakscho a >1 í b >1, log a b >0 í (a -1)(b -1)>0;

yakscho a >1 i 0

poštansko sanduče 0<a<1 и b >1, zatim log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

poštansko sanduče 0<a<1 и 00 ta (a -1)(b -1)>0.

Spajanje se vrši na jednostavan način, ali je moguće i pojednostaviti rasplet logaritamskih nejednačina.

zadnjica 4.

log x (x 2 -3)<0

Odluka:

Guza 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Odluka:

Vídpovid. (0; 0,5) U.

zadnjica 6.

Da bismo riješili ovu nejednakost, pišemo zamjenu označitelja (x-1-1)(x-1), a zamjenu brojača - tvir (x-1)(x-3-9+x).

Vídpovid : (3;6)

zadnjica 7.

zadnjica 8.

2.3. Nestandardna postavka.

guza 1.

guza 2.

zadnjica 3.

zadnjica 4.

Guza 5.

zadnjica 6.

zadnjica 7.

log 4 (3 x -1)log 0,25

Zamijenimo y = 3 x -1; To je vrsta nejednakosti koju ću vidjeti u budućnosti

Log 4 log 0,25
.

Tako jak log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y, onda ćemo preostalu nejednakost prepisati u obliku 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Potrebno je zamijeniti t = log 4 y i ukloniti nejednakost t 2 -2t +≥0, ovisno o razmaku - .

Dakle, da bi se pronašlo značenje, moguće je kombinirati dvije najjednostavnije nejednakosti
Najveća vrijednost totaliteta i intervala 0<у≤2 и 8≤у<+.

Pa, prividna nejednakost je ekvivalentna kombinaciji dvije prividne nejednakosti,
zatim totalitet

Da riješimo prve nejednakosti totaliteta i intervala 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Dakle, izlazna nejednakost je izjednačena za sve vrijednosti sa intervalima od 0<х≤1 и 2≤х<+.

zadnjica 8.

Odluka:

Nemir je jednak sistemu

Rješenja za druge nejednakosti koje znači ADD, bez liječenja x,

za one x > 0.

Da biste uklonili prvu neravninu, odmah je zamijenite

Tada je očigledna nervoza

ili drugo

Metodom se provodi anonimno rješenje preostalih nejednačina

intervali: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, izostavljanje

ili drugo

Bezlich je tih x, koji zadovoljavaju preostale neravnine

dodijeliti ODZ ( x> 0), onda, ê sistemske odluke,

Pa, i izlazne neravnine.

Predmet:

2.4. Zavdannya za pastire.

guza 1.

.

Odluka. ODZ nepravde i svega sto zadovoljava pamet 0 . Pa, sve iz intervala 0

guza 2.

log 2 (2 x +1-x 2) > log 2 (2 x-1 +1-x) +1.. ? Desno je da je drugi broj očito veći od donjeg

Visnovok

Iz velikog broja različitih početnih elemenata nije bilo lako identificirati posebne metode za povećanje C3 zadatka. Tokom završnog rada bio sam u mogućnosti da razvijem nestandardne metode za rješavanje složenih logaritamskih nejednačina. Tse: ravnopravni prijelazi i prijelazi, metoda intervala, metoda racionalizacije , nestandardna zamjena , radnja za pastire kod ODZ. Školski program ima svakodnevne metode.

Koristeći različite metode, ispravili smo 27 nepravilnosti dodijeljenih EDI-u u samom dijelu Z, C3. Ove nejednakosti sa rešenim metodama činile su osnovu zbirke „Logaritamske nejednakosti C3 sa rešenjima“, koja je postala projektni proizvod moje delatnosti. Hipoteza koju sam postavio na početku projekta je potvrđena: zadatak C3 se može efikasno implementirati ako poznajete metode.

Osim toga, otkrio sam neke činjenice o logaritmima. Bilo je to puno posla za mene. Moji projektni proizvodi će biti korisni i studentima i čitaocima.

Visnovki:

Ovim ciljem je postignut cilj projekta i riješen problem. I dobio sam najsveobuhvatnije i najsveobuhvatnije dokaze o projektnim aktivnostima u svim fazama rada. Tokom rada na projektu, glavni priliv koji se razvijao je bio na Rosum kompetenciju, aktivnost povezana sa logičkim Rosum operacijama, razvoj kreativne kompetencije, posebnu inicijativu, pouzdanost itd. lakoću, aktivnost.

Garancija uspjeha u izradi pred-posljednjeg projekta za manje čelika: važan školski dokaz, inteligentno dobijanje informacija iz različitih izvora, provjeravanje njihove pouzdanosti, rangiranje po značaju.

Sticanje opsežnog predmetnog znanja iz matematike, proširenje praktičnih veština u oblasti informatike, sticanje novih znanja i dokaza iz oblasti psihologije, uspostavljanje kontakata sa kolegama iz razreda i učenje vežbanja sa starijim osobama. Tokom projektnih aktivnosti razvile su se organizacijske, intelektualne i komunikacijske vještine.

Književnost

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistemi neravnina sa jednom promjenom (dodjela tipa C3).

2. Malkova A. G. Priprema za EDI u matematici.

3. Samarova S.S. Virus logaritamskih neravnina.

4. Matematika. Zbornik radova za obuku priredio A.L. Semenova i I.V. Yashchenko. -M: MTsNMO, 2009. - 72 str.-

Najznačajnije logaritamske nejednakosti nastaju zbog moći monotonosti logaritamske funkcije. Isto vrijedi i za logaritam i osnovne logaritamske formule.

Ponovimo šta su logaritmi:

Logaritam Pozitivan broj na bazi je pokazatelj koraka koji zahtijeva uklanjanje informacija.

S ovim

Osnovni logaritamski identitet:

Osnovne formule za logaritme:

(Logaritam je isti kao zbir logaritama)

(Logaritam privatne razlike logaritama)

(Formula za korak logaritma)

Formula za prelazak na novu osnovu:

Algoritam za rješavanje logaritamskih neravnina

Možemo sa sigurnošću reći da iza algoritma pjesme stoje logaritamske nejednakosti. Moramo zapisati područje prihvatljivih vrijednosti (ADV) nejednakosti. Iznošenje nejednakosti na površinu. Znak ovdje može biti otprilike ovako: Važno je da se ljevoruka i desnoruka nejednakost nađe u logaritmima upravo iz ove osnove.

I nakon ovoga "izbacujemo" logaritme! U ovom slučaju, čim se stepenica podigne, znak nervoze se sam po sebi gubi. Osnova je takva da se znak neravnine zamjenjuje dugotrajnim.

Naravno, ne "izbacujemo" samo logaritme. Podložni smo moći monotonosti logaritamske funkcije. Kako je baza logaritma veća od jedan, logaritamska funkcija raste monotono, pa što je veća vrijednost x, to je veća vrijednost izraza.

Kako je baza veća od nule, a manja od jedan, logaritamska funkcija se monotono mijenja. Što je veća vrijednost argumenta x ima manju vrijednost.

Važno: najbolje je zapisivati ​​odluke na uvid u užad jednakih prijelaza.

Pređimo na praksu. Kao i do sada, prebrodimo najjednostavnije neugodnosti.

1. Pogledajmo nejednakost log 3 x > log 3 5.
Neki logaritmi su naznačeni samo za pozitivne brojeve; potrebno je da x bude pozitivan. Umov x > 0 naziva se područje dozvoljenih vrijednosti (ADV) ove neravnine. Samo za takav x može se osjetiti nejednakost.

Pa, ova formula zvuči pametno i lako se pamti. Zašto još možemo da radimo?

Mi smo ljudi, imamo inteligenciju. Naš um kontroliše na način da je sve logičnije, razumnije, da se unutrašnja struktura memoriše i stagnira mnogo brže nego ranije i da činjenice nisu povezane jedna s drugom. Zašto je važno ne pamtiti pravila mehanički, kao što je pas matematičar obučen i upućen u aktivnosti.

Zašto onda "izbacujemo logaritme"?

Odgovor je jednostavan: pošto je baza veća od jedan (kao u našem slučaju), logaritamska funkcija raste monotono, što znači da veća vrijednost x odgovara većoj vrijednosti y i zbog nejednakosti log 3 x 1 > log 3 x 2 znači da je x 1 > x 2.


Da rezimiramo, prešli smo na algebarsku nesigurnost, a znak neizvjesnosti ostaje netaknut.

Otzhe, x > 5.

Logaritamska nejednakost je također jednostavna.

2. log 5 (15 + 3x) > log 5 2x

Pogledajmo raspon prihvatljivih vrijednosti. Logaritmi važe samo za pozitivne brojeve, dakle

Na osnovu ovog sistema odbacujemo: x>0.

Sada, od logaritamske nejednakosti, prijeđimo na onu algebarsku - doslovno logaritme. Ako je osnova logaritma veća od jedan, znak nejednakosti je sačuvan.

15+3x > 2x.

Eliminirati: x > −15.

Verzija: x > 0.

Šta će se dogoditi ako logaritam mensch zamijenimo jednim? Lako je pretpostaviti da će se u ovom slučaju, prelaskom na nejednakost algebre, promijeniti predznak nejednakosti.

Hajde da uperimo guzu.

Hajde da zapišemo ODZ. Virusi, poput onih uzetih kao logaritmi, mogu biti pozitivni, dakle

Na osnovu ovog sistema odbacujemo: x > 4.5.

Kao rezultat toga, logaritamska funkcija sa svojom bazom se monotono mijenja. A to znači da što je veća vrijednost funkcije, to je manji argument:


Ja yakscho, onda
2x − 9 ≤ x.

Pretpostavljamo da je x ≤ 9.

Za doktore, ako je x > 4,5, napišimo sljedeće:

U budućnosti se neujednačenost emisije svede na kvadrat. Takođe se preporučuje ponavljanje teme „kvadratne nepravilnosti“.

Sada postoje složene nejednakosti:

4. Povećajte anksioznost

5. Povećajte anksioznost

Nešto slično tome. Bili smo pošteđeni! Znamo da je baza logaritma veća od jedan za sve vrijednosti koje su uključene prije ODZ-a.

Čekamo zamjenu

Vratite naše poštovanje prema činjenici da ćemo vjerovatno biti neujednačeni prije nove promjene. I nakon toga prelazimo na promjenu x. Zapamtite ovo i ne smilujte se sna!

Zapamtite pravilo: pošto jednačine i nejednačine imaju korijene, razlomke i logaritme, potrebno je poći od raspona prihvatljivih vrijednosti. Pošto je osnova logaritma pozitivna i nije jednaka jedinicama, sistem umova je uklonjen:

Oprostimo qiu sistemu:

Ovo je raspon prihvatljivih vrijednosti nejednakosti.

Smatramo da je važno koristiti logaritam kao osnovu. Hajdemo na osnove. Pogodi šta

U ovom odeljku možete ručno ići na bazu 4.

Čekamo zamjenu

Nervozu možemo lako riješiti metodom intervala:

Vratimo se na kraj x:

Dodali smo na pamet x> 0 (sa ODZ).

7. Rok dospijeća može se odrediti i metodom intervala.

Kao i ranije, maksimalna logaritamska nejednakost počinje od raspona prihvatljivih vrijednosti. U ovom videu

Ovaj um će se sigurno sklupčati, a mi ćemo se okrenuti njemu. Pogledajmo samu nervozu. Zapišimo lijevu stranu kao logaritam na bazi 3:

Desna strana se također može napisati kao logaritam na bazi 3, a zatim prijeći na algebarsku nejednakost:

Bachimo, scho umova (tobto ODZ) se sada automatski objavljuje. Pa, ovo će oprostiti visinu nejednakosti.

Čini se da postoji neravnoteža između ruta i intervala:

Predmet:

Zašto? Pa, približava se nalet složenosti:

8. Oslobodite anksioznost:

Nemir je jednak sistemu:

9. Oslobodite anksioznost:

Viraz 5 - x 2 se opsesivno ponavlja izvan uma. A to znači da možete napraviti zamjenu:

Ostaci funkcije prikaza dobijaju pozitivnija značenja, t> 0. Todi

Vidim nervozu:

Čak je i bolje. Znamo raspon prihvatljivih vrijednosti neravnina. To smo već rekli t> 0. Osim toga, ( t− 3) (5 9 · t − 1) > 0

Ako ste mentalno vikonana, onda će vaša privatnost biti pozitivna.

Takođe, izraz pod logaritmom na desnoj strani nejednakosti može biti pozitivan, tada (625 t − 2) 2 .

Tse znači 625 t− 2 ≠ 0, onda

Pažljivo zapišimo ODZ

I vjerujemo da je sistem koji je izašao stagnirao i metoda intervala.

otje,

Pa, ispravljeno je - odvojili smo se od ODZ-a. Najvjerovatnije je sama neizvjesnost. Zbir logaritama na lijevoj strani može se predstaviti kao logaritam kreacije.

Ciljevi lekcije:

Didaktički:

• Nivo 1 – naučiti prepoznati najjednostavnije logaritamske nejednakosti, stagnaciju logaritma, moć logaritma;
• Nivo 2 – odredite logaritamske nejednakosti odabirom vlastite metode razdvajanja;
• Nivo 3 – imajte na umu da morate održavati znanje i svijest u nestandardnim situacijama.

u razvoju: razviti pamćenje, poštovanje, logičko razmišljanje, vještine učenja, majstorstvo i vještine učenja

Vihovny: Podsticati tačnost, usklađenost sa zadacima i međusobnu pomoć.

Metode učenja: verbalno , puno vrijeme , praktično , chastkovo-poshukovy , samogenerirajuća kupka , kontrolu.

Oblici organizacije vaspitno-obrazovnih aktivnosti učenika: frontalni , pojedinac , posao za parove

Obladnannya: set testnih zadataka, beleške u pozadini, čisti listovi za rasplet.

Vrsta lekcije: Razvoj novog materijala.

Napredak lekcije

1. Organizacioni momenat. Razmotrite temu i svrhu lekcije, šemu lekcije: svaki učenik vidi listić za ocjenjivanje, koji će učenik ispuniti tokom časa; za kožne parove učenika - ostali materijali se izrađuju iz specifikacija, potrebno je ukloniti specifikacije iz para; čiste plahte za odvezivanje; potporni listovi: na osnovu logaritma; graf logaritamske funkcije stepena; snaga logaritama; algoritam za otklanjanje logaritamskih neravnina.

Sve odluke nakon samoocenjivanja daju se nastavniku.

List za evaluaciju učenika

2. Ažuriranje znanja.

Napomene čitaoca. Pogodite vrijednost logaritma, graf logaritamske funkcije i snage. Za ovo pročitajte tekst na str. 88–90, 98–101 priručnika „Algebra i počeci analize 10–11“ koji su uredili Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin i in.

Naučite lunati listove na kojima je napisano: pomoću logaritma; prikazuje graf logaritamske funkcije stepena; snaga logaritama; algoritam za otklanjanje logaritamskih neravnina, primjer za otklanjanje logaritamskih neravnina, koji se svodi na kvadrat.

3. Uvođenje novog materijala.

Valjanost logaritamskih nepravilnosti zasniva se na monotonosti logaritamske funkcije.

Algoritam za rješavanje logaritamskih neravnina:

A) Pronađite područje gdje je nejednakost značajna (podlogaritamska vrijednost je veća od nule).
B) Identifikujte (ako je moguće) lijevi i desni dio nejednačine u obliku logaritama prema istoj osnovici.
C) To znači da se radi o logaritamskoj funkciji koja raste ili opada: ako je t>1, onda se povećava; poštansko sanduče 0 1, zatim odbija.
D) Pređite na jednostavnije neravnoteže (podlogaritamske izraze), tako da se znak neravnoteže sačuva kako funkcija raste, a mijenja se kako se mijenja.

Osnovni element br. 1.

Meta: popraviti najjednostavnije logaritamske nejednakosti

Oblik organizacije vaspitno-obrazovnih aktivnosti učenika: individualni rad.

Pogon za samostalni rad za 10 hvilina. Za neravninu kože postoji nekoliko opcija, potrebno je odabrati ispravnu i provjeriti ključ.

KLJUČ: 13321, maksimalni broj bodova – 6 bodova.

Osnovni element br. 2.

Meta: konsolidirati oslobađanje logaritamskih nejednakosti, stagnacije i snage logaritama.

Napomene čitaoca. Pogodite glavne potencije logaritama. Za to pročitajte tekst priručnika na str. 92, 103-104.

Pogon za samostalni rad za 10 hvilina.

KLJUČ: 2113, maksimalni broj bodova – 8 bodova.

Osnovni element br. 3.

Meta: razdvojite logaritamske nejednakosti svodeći ih na kvadrat.

Čitaočeve napomene: metoda svođenja nejednakosti na kvadratno polje znači da je potrebno transformirati nejednakost u takav oblik da se logaritamska funkcija označi kao nova varijabla, koja se zatim uklanja kvadratno.Promjenjiva je.

Utvrđen je metod intervala.

Prešli ste prvi nivo savladavanja gradiva. Sada ćete morati samostalno odabrati metodu za rasplet logaritamskih jednadžbi, koristeći svo svoje znanje i sposobnosti.

Osnovni element br. 4.

Meta: konsolidovati razdvajanje logaritamskih nejednakosti kreiranjem samo-racionalne metode razdvajanja.

Pogon za samostalni rad za 10 hvilina

Osnovni element br. 5.

Napomene čitaoca. Dobro urađeno! Savladali ste razotkrivanje drugog nivoa složenosti. Sljedeći korak u vašem radu je konsolidacija znanja i vještina u težim i nestandardnim situacijama.

Upute za samostalnu vrlinu:

Napomene čitaoca. Pravo je čudo da ste naišli na sve nedaće. Dobro urađeno!

Bod za cijelu lekciju zasniva se na broju bodova prikupljenih za sve početne elemente:

• ako je N ≥ 20, tada ćete oduzeti ocjenu “5”,
• za 16 ≤ N ≤ 19 – rezultat „4“,
• za 8 ≤ N ≤ 15 – rezultat “3”,
• kod N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Dajte procijenjene lisice učitelju.

5. Domaća zadaća: ako ste otkucali najviše 15 bajtova - završite rad na zadacima (rešenje možete preuzeti od nastavnika), ako ste otkucali više od 15 bajtova - uradite kreativni zadatak na temu „Logaritmske nejednakosti ”.

Oni su u sredini logaritma.

Prijavite se:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Kako odrediti logaritamske nejednakosti:

Ako je potrebna bilo koja logaritamska nejednakost, potrebno je svesti je na oblik \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (simbol \(˅\) znači bilo šta) . Ovaj tip vam omogućava da koristite logaritme i njihove podstanice, čineći prijelaz na nejednakost izraza pod logaritmima, a zatim na oblik (f(x) ˅ g(x)).

Ali tokom ove tranzicije postoji jedna vrlo važna suptilnost:
\(-\) ako je broj i veći je od 1 - gubi se znak nervoze tokom tranzicije pa
\(-\) ako je osnova broj veći od 0, ili manji od 1 (koji leži između nule i jedan), tada se predznak nejednakosti mora promijeniti u suprotan.

Prijavite se:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(x<8\) Odluka: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Verzija: ((6; 8))

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\(((x+ 1 ))\) ODZ: \(\početak(slučajevi)2x-4>0\\x+1 > 0\kraj(slučajevi)\) \(\početak(slučajevi)2x>4\\x > -1\kraj(slučajevi)\) \(\Leftrightarrow\) \(\početak(slučajevi)x>2\\x > -1\kraj(slučajevi) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\) Odluka: \(2x-4\)\(≤\) \(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Presuda: \((2;5]\)

Veoma važno! Za bilo koju prijelaznu nejednakost u obliku \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) do nivoa izraza pod logaritmima, možete raditi ovako:

Butt . Isključite nemire: \(\log\)\(≤-1\)

Odluka:

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Vipishemo ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Razvijmo ruke, ciljajmo.
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Pomnožite nejednakost sa \(-1\), ne zaboravljajući da okrenete znak jednakosti.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Cijela stvar će biti brojčana i značajna na svojim tačkama \(\frac(7)(3)\) í \(\frac(3)(2)\). Vratite poštovanje, tačka sa banera je vykolota, nevažno onima da nejednakost nije loša stvar. Desno je da ova tačka neće biti razriješena, jer će nas pri zamjeni u nejednakosti dovesti do tačke nule.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Sada se ODZ primjenjuje na istu brojčanu vrijednost i intervali koji su izgubljeni u ODZ-u se zapisuju.
	Snimamo preostale dokaze.

Predmet: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Butt . Nivo anksioznosti: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Odluka:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Vipishemo ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Hajdemo do vrha.
Rješenje: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Pred nama je tipična kvadratno-logaritamska neravnina. Robimo.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Proširimo lijevi dio nejednakosti na.
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Sada se morate okrenuti do izlazne tačke - ix. Iz tog razloga, prijeđimo na ono što je samo rješenje i napravimo obrnutu zamjenu.
\(\left[ \begin(sakupljeno) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Hajde da ponovo kreiramo \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(sakupljeno) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Idemo dalje dok se argumenti ne izjednače. Zamjena za logaritme veće od \(1\), a predznak nejednakosti se ne mijenja.
\(\left[ \begin(sakupljeno) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Razumijemo oslobađanje nejednakosti i ODZ-a na jednu bebu.
	Hajde da zapišemo svedočenje.

Predmet: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)