Integral nepravilnog razlomka. Integracija najjednostavnijih razlomaka. Integracija ispravne shot-racionalne funkcije

Za integraciju racionalne funkcije \(\large\frac((P\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize,\) de \((P\left(x \ desno ) ))\) i \((Q\left(x \right))\) − polinomi, redoslijed koraka je određen:

Ako je drib netačan (korak \((P\left(x \right))\) je veći od koraka \((Q\left(x \right))\)), promijenite ga u ispravan, uvid u svrhu izraza;

Raširite baner \((Q\left(x \right))\) u više monoma i/ili sporih kvadratnih izraza;

Rastavite racionalni razlomak na najjednostavnije razlomke, vikorist ;

Izračunajte integrale koristeći najjednostavnije razlomke.

Pogledajmo izvještaj u nastavku.

Krok 1. Ponovna konverzija nepravilnog racionalnog razlomka

Pošto je termin nepravilan (onda je brojčani korak \((P\left(x \right))\) veći od koraka predznaka \((Q\left(x \right))\)), bogati termin \ ((P\) lijevo je odvojivo (x \desno))\) na \((Q\left(x \right)).\) Ofanzivni viraz se može odbiti: \[\frac((P\left(x) \desno))))((Q\levo (x \desno))) = F\levo(x \desno) + \frac((R\levo(x \desno)))((Q\levo(x \ desno)))),\] de \( \large\frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize\) je tačan racionalni razlomak.

Crocus 2. Postavljanje banera pomoću najjednostavnijih razlomaka

Zapišimo bogati izraz znamennika \((Q\left(x \right))\) u obliku \[ (Q\left(x \right) ) = ((\left((x - a) \ desno)^\alpha ) \ cdots (\left((x - b) \desno)^\beta )(\left(((x^2) + px + q) \right)^\mu ) \cdots (\ left(((x^2 ) ) + rx + s) \right)^\nu ),) \] de kvadratne funkcije nisu brze, tako da nema aktivnih korijena.

Lekcija 3. Distribucija racionalnih razlomaka iz zbira najjednostavnijih razlomaka.

Zapišimo racionalnu funkciju u modernom obliku: \[(\frac((R\left(x \right))))((Q\left(x \right))) = \frac(A)((((( \levo (( x - a) \desno))^\alpha ))) + \frac(((A_1))))((((\left((x - a) \right))^(\alpha - 1) )))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((A_(\alpha - 1)))))))((x - a)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(B) ((((\left( (x - b) \right))^\beta ))) + \frac(((B_1))))((((\left((x - b) \right)) ^( \beta - 1)))) ) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((B_(\beta - 1)))))((x - b)) )\kern0pt (+ \frac( (Kx + L)))((((\ lijevo(((x^2) + px + q) \desno))^\mu ))) + \frac(((K_1)x + (L_1))) )( (((\left(((x^2) ) + px + q) \desno))^(\mu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((K_(\ mu - 1)))x + (L_(\mu - 1) ))))(((x^2) + px + q)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac((Mx + N)) ((((\levo(((x^2) + rx +) s) \desno))^\nu ))) + \frac(((M_1)x + (N_1))))(((\ lijevo( ((x^2) + rx + s) \desno))^ (\nu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((M_(\nu - 1))x + (N_ (\nu - 1)))))(((x^2) + rx + s)).) \] Broj beznačajnih koeficijenata je nelegalan \((A_i),\) \((B_i), \) \(( K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \((N_i), \ldots\) može dodati na nivo banera \((Q\lijevo (x \desno)).\)

Zatim množimo uvredljive dijelove povučenog jednakim baneru \((Q\left(x \right))\) i izjednačavamo koeficijente za dodavanja sa istim koracima \(x.\). Kao rezultat, povlačimo sistem linearnih jednakosti bez početnih koeficijenata \((A_i ),\) \((B_i),\) \((K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \(( N_i), \ldots\) Ovaj sistem će uvijek biti Jedna odluka. Opisi algoritma metoda beznačajnih koeficijenata .

Lekcija 4. Integracija najjednostavnijih racionalne razlomke.

Najjednostavniji razlomci, odvojeni od proširenja dovoljno pravilnog racionalnog razlomka, integriraju se pomoću sljedećih šest formula: \ \ Za razlomke s kvadratnim predznakom u početku je potrebno vidjeti vanjski kvadrat: \[\int (\frac( (Ax + B)))(((((\levo(((x^2) + px + q) \desno))^k)))dx) = \int (\frac((At + B") ))(((\left((( t^2) ) + (m^2)) \desno))^k)))dt) ,\] de \(t = x + \large\frac(p )(2)\normalsize,\) \( (m^2 ) = \large\frac((4q - (p^2)))(4)\normalsize,\) \(B" = B - \large\ frac((Ap))(2)\normalsize .\) Tada se sljedeće formule zaglavljuju: \[(4.\;\;\int (\frac((tdt)))((((\left((( t^2) + (m^2)) \desno ))^k )))) ) = (\frac(1)((2\left((1 - k) \right)((\left((( t^2) + (m^2)) \desno ))^( k - 1)))) ) \] \ Integral \(\large\int\normalsize (\large\frac((dt)))(( ((\left(((t^2) + ( m^2))) \right))^k)))\normalsize) \) možete platiti \(k\) kroki za dodatnu pomoć formule redukcije\[ (6.\;\;\int (\frac((dt)))((((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^k)))) ) = (\frac(t)((2(m^2)\left((k - 1) \right)((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^ ( k - 1)))) ) (+ \frac((2k - 3))((2(m^2)\left((k - 1) \right)))\int (\frac((dt) ) (((\levo(((t^2) + (m^2)) \desno))^(k - 1))))) ) \]

„Matematičar, baš kao i umjetnik, pjeva i stvara umjetničke kreacije. I zato što su pogledi matematičara stabilniji, posebno zato što su sastavljeni od ideja... Pogledi matematičara, baš kao i pogledi umetnika ili pesnika, moraju biti lepi; Ideje su iste kao što se boje i riječi krivice dijele jedna po jedna. Ljepota je na prvom mjestu: u svijetu nema mjesta za ružnu matematiku».

G.H.Hardy

U prvom dijelu pretpostavljalo se da će primarni cilj biti postizanje jednostavnih funkcija koje se više ne mogu izraziti elementarne funkcije. S tim u vezi, od velike su praktične važnosti one klase funkcija za koje se može precizno reći da su njihove primarne funkcije elementarne funkcije. Funkcije dostižu ovu klasu racionalne funkcije, koji su odnosi dva algebarska bogata člana Prije integriranja racionalnih razlomaka, dajte bogat red. Stoga je vrlo važno integrirati takve funkcije.

2.1.1. Frakcionalne racionalne funkcije

Racionalni razlomak(ili shot-racionalna funkcija) naziva se odnos dva algebarska bogata pojma:

gdje sam – bogati članovi.

Pogodi šta bogati član (polinom, čitava racionalna funkcija) nth stage naziva se funkcija

de – aktivni brojevi. Na primjer,

- bogati član prve etape;

- bogati član četvrte etape itd.

Poziva se racionalni argument (2.1.1). ispravan Ako je nivo niži od nivoa, onda. n<m, u drugom slučaju se zove drib pogrešno.

Bilo koji nepravilan razlomak se može poslužiti u obliku velikog dijela (cijeli dio) i pravilnog razlomka (razlomački dio). Sagledavanje cjeline i ubačenih dijelova nepravilnog kadra može se izvesti po pravilu „odsječenog“ dijela.

Guza 2.1.1. Pogledajte cijeli razlomak sljedećih nepravilnih racionalnih razlomaka:

A) , b) .

Odluka . a) Vikoristov algoritam je podijeljen na "bump" i može se eliminirati

Na ovaj način odbacujemo

.

b) Ovdje je također vikory algoritam u "udaru":

Kao rezultat, možemo odbiti

.

Hajde da donesemo kese. Ne-beznačajan integral racionalnog razlomka u doslovnom izrazu može se otkriti zbirom integrala bogatog člana i ispravnog racionalnog razlomka. Pronalaženje prvih vrsta polinoma ne postaje teško. Stoga je važno uzeti u obzir ispravne racionalne razlomke.

2.1.2. Najjednostavniji racionalni razlomci i njihova integracija

Među regularnim racionalnim razlomcima postoje četiri tipa koji se odnose na na najjednostavnije (elementarne) racionalne razlomke:

3) ,

4) ,

de - cijeli broj, , onda. kvadratni trinom nema aktivnih korijena.

Integracija najjednostavnijih razlomaka 1. i 2. tipa ne predstavlja velike poteškoće:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Sada ćemo pogledati integraciju najjednostavnijih razlomaka 3. tipa, ali nećemo gledati razlomke 4. tipa.

Završimo s integralima na umu

.

Ovaj integral se poziva da se izračuna na način da se u baneru vidi potpuni kvadrat. Rezultat je tabelarni integral sljedećeg oblika:

ili drugo .

Guza 2.1.2. Pronađite integrale:

A) , b) .

Odluka . a) Vidljivo iz kvadratnog trinoma, novi kvadrat je:

Znamo zvezde

b) Nakon što smo vidjeli novi kvadrat iz kvadratnog trinoma, možemo ukloniti:

Na takav način

.

Da pronađemo integral

može se vidjeti u numeričkom kalkulatoru prema predznaku i podjeli integrala za zbir dvaju integrala: prvi njihovom zamjenom ubrzati

,

a drugi - na stvar koju je pogledao.

Guza 2.1.3. Pronađite integrale:

.

Odluka . Dragi scho . Vidljivo u broju banera:

Prvi integral se izračunava dodatnom zamjenom :

Drugi integral očigledno ima dodatni kvadrat na znaku

Ostatak možemo ukloniti

2.1.3. Postavljanje ispravnog racionalnog razlomka
za zbir najjednostavnijih razlomaka

Budite pravi racionalni argument može se vidjeti u jednom redu gledajući zbir najjednostavnijih razlomaka. U tu svrhu, baner treba podijeliti na množitelje. Iz puno algebre jasno je da je koža bogata aktivnim koeficijentima

Pregledane integracijske aplikacije racionalne funkcije(Drobiv) sa odlukama o prijavljivanju.

Zmist

Div. također: Kvadratni korijen

Ovdje izvještavamo o tri aplikacije integracije naprednih racionalnih razlomaka:
, , .

zadnjica 1

Izračunaj integral:
.

Ovdje se pod znakom integrala nalazi racionalna funkcija, a fragmenti integralnog izraza podijeljeni su na razlomke iz bogatih pojmova. Korak bogatog člana zastave ( 3 ) manji od stepena numeričkog člana ( 4 ). Taj mali treba da vidi cijeli dio kadra.

1. Vidimo cijeli dio kadra. Dilimo x 4 od x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Zvidsi
.

2. Podijelili smo baner na višestruke. Zašto trebate odvezati kubično poravnanje:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Zamjenjivo x = 1 :
.

1 . Dilimo by x - 1 :

Zvidsi
.
Čini se da je kvadrat.
.
Root Rivnyanya: , .
Todi
.

3. Razložimo stvari najjednostavnijim riječima.

.

Pa, znamo:
.
Integrisano.

zadnjica 2

Izračunaj integral:
.

Ovdje brojčanik ima razlomak - bogati član nultog stepena ( 1 = x 0). Barjaktar ima bogatog člana trećeg stepena. Oskolki 0 < 3 , onda je dribling ispravan. Podijelimo ga na najjednostavnije razlomke.

1. Podijelili smo baner na višestruke. Za koga je potrebno odrediti nivo treće faze:
.
Prihvatljivo je da postoji neko ko želi samo cijeli korijen. Ovo je ujedno i datum broja 3 (Član bez x). Tada cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 3, -1, -3 .
Zamjenjivo x = 1 :
.

Pa, znali smo jedan korijen x = 1 . Dilimo x 3 + 2 x - 3 na x - 1 :

otje,
.

Čini se da je potpuno jednako:
x 2+x+3=0.
Poznati diskriminant: D = 1 2 - 4 3 = -11. Oskolki D< 0 , tada rabarbara nema aktivnih korijena. Na ovaj način smo baner rasporedili u množitelje:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Zamjenjivo x = 1 . Todi x - 1 = 0 ,
.

Zamjenjiv u (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Jednak (2.1) koeficijenti na x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Integrisano.
(2.2) .
Da bismo izračunali još jedan integral, očigledno u numeričkom kalkulatoru pomeramo znak na zbir kvadrata.

;
;
.

Izračunljivo I 2 .


.
Ostaci Rivnjanje x 2+x+3=0 nema aktivne korijene, tada x 2 + x + 3 > 0. Stoga se znak modula može izostaviti.

Isporučeno (2.2) :
.

zadnjica 3

Izračunaj integral:
.

Ovdje se pod znakom integrala nalazi nekoliko različitih pojmova. Dakle, integralni izraz ima racionalnu funkciju. Nivo polinoma u brojevima je prastar 3 . Stadij polinoma označitelja sličan je razlomku 4 . Oskolki 3 < 4 , onda je dribling ispravan. Stoga se mogu podijeliti na jednostavne razlomke. U tu svrhu potrebno je baner podijeliti na množitelje.

1. Podijelili smo baner na višestruke. Za koga je potrebno odrediti nivo četvrte faze:
.
Prihvatljivo je da postoji neko ko želi samo cijeli korijen. Ovo je ujedno i datum broja 2 (Član bez x). Tada cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 2, -1, -2 .
Zamjenjivo x = -1 :
.

Pa, znali smo jedan korijen x = -1 . Dilimo by x - (-1) = x + 1:


otje,
.

Sada morate odrediti nivo treće faze:
.
Pretpostavimo da je cijeli korijen korijen i korijen broja 2 (Član bez x). Tada cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 2, -1, -2 .
Zamjenjivo x = -1 :
.

O dragi, našli smo još jedan korijen x = -1 . Bilo bi moguće, kao u prvom koraku, podijeliti pojam na , a zatim grupirati pojmove:
.

Ostaci Rivnjanje x 2 + 2 = 0 nema aktivnih korijena, tada smo raspored banera oduzeli u množitelje:
.

2. Razložimo stvari najjednostavnijim riječima. Izgleda kao da je postavljeno ispred vas:
.
Na baner se dodaje razlomak, pomnožen sa (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Zamjenjivo x = -1 . Todi x + 1 = 0 ,
.

Diferencijacija (3.1) :

;

.
Zamjenjivo x = -1 Zaista se nadam da je x + 1 = 0 :
;
; .

Zamjenjiv u (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Jednak (3.1) koeficijenti na x 3 :
;
1 = B + C;
.

Pa, znali smo kako raščlaniti najjednostavnije razlomke:
.

3. Integrisano.


.

Div. također:

Sve gore navedene tačke nam omogućavaju da formulišemo osnovna pravila za integraciju racionalnog razlomka.

1. Ako je racionalni razlomak netačan, onda se servira u obliku bogatog člana i ispravnog racionalnog razlomka (podjela 2).

Ovdje sama integracija netačnog racionalnog razlomka dovodi do integracije bogatog člana i ispravnog racionalnog razlomka.

2. Postavite baner regularnog razlomka u množitelje.

3. Tačan racionalni razlomak se dijeli na zbir najjednostavnijih razlomaka. Ovdje se sama integracija ispravnog racionalnog razlomka svodi na integraciju najjednostavnijih razlomaka.

Hajde da pogledamo.

Primjer 1. Znati.

Odluka. Pod integralom se nalazi netačan racionalni razlomak. Vidjevši cijeli dio, oduzimamo ga

otje,

Imajte na umu da se može iznijeti ispravan racionalni argument

za najjednostavnije razlomke:

(Formula podjele (18)). Tom

Na ovaj način je još uvijek moguće

Guza 2. Znaj

Odluka. Pod integralom postoji ispravan racionalni argument.

Proširujući ih u najjednostavnije razlomke (divna formula (16)), možemo eliminirati

Materijal sadržan u ovoj temi sadržan je u tabeli, dostavljenoj u temi "Racionalni razlomci. Dekompozicija racionalnih razlomaka na elementarne (najjednostavnije) razlomke". Zaista bih želio brzo pregledati ovu temu prije nego što pređem na čitanje ovog materijala. Osim toga, trebat će nam tabela nevrijednih integrala.

Mogu da smislim gomilu pojmova. O njima se raspravljalo u posebnoj temi, pa ću ovdje podijeliti kratku izjavu.

Odnos dva pojma $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ naziva se racionalna funkcija ili racionalni razlomak. Zove se racionalni argument ispravan yakscho $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется pogrešno.

Elementarni (najjednostavniji) racionalni razlomci su racionalni razlomci četiri tipa:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Napomena (za bolje razumijevanje teksta): prikaži

Ono što je potrebno je moć mozga $p^2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Na primjer, za rotaciju $x^2+5x+10$ možemo eliminirati: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Krhotine $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Prije govora, u svrhu verifikacije nije nimalo teško, tako da kvote prije $x^2$ dodaju 1. Na primjer, za $5x^2+7x-3=0$ se odbija: $D= 7^2-4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 dolara. Ako je $D > 0$, onda se izraz $5x^2+7x-3$ može rastaviti na množitelje.

Upotreba racionalnih razlomaka (pravilnih i nepravilnih), kao i upotreba racionalnih razlomaka može se naučiti elementarno. Ovdje smo uskraćeni za ishranu njihove integracije. Završimo sa integracijom elementarnih razlomaka. Također, teško je integrirati značenja elementarnih razlomaka iz nekoliko tipova skinova, vikorističkih formula prikazanih u nastavku. Da pogodim da se iz integrisanih razlomaka tipa (2) i (4) prenose $n=2,3,4,ldots$. Formule (3) i (4) vimagayut vikonannya umovi $p^2-4q< 0$.

\begin(jednačina) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(jednačina) \begin(jednačina) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(jednadžba) \begin(jednačina) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(jednačina)

Za $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$, zamijenite $t=x+\frac(p)(2)$, nakon brisanja interval se dijeli na dva . Prvi je izračunat za dodatni ulaz pod predznakom diferencijala, a drugi izgleda kao $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Ovaj integral se preuzima uz pomoć rekurentnog odnosa

\begin(jednačina) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\u N\kraj (jednačina)

Izračunavanje takvog integrala prikazano je u prilogu br. 7 (podjela treći).

Šema za izračunavanje integrala iz racionalnih funkcija (racionalnih razlomaka):

1. Pošto je integralni princip elementaran, onda formulišite formule (1)-(4).
2. Pošto integralni razlomak nije elementaran, dodajte ga zbroju elementarnih razlomaka, a zatim integrirajte sljedeće formule (1)-(4).

Općenito, algoritam za integraciju racionalnih razlomaka može imati dosljednu valjanost – on je univerzalan. Tobto. korištenjem ovog algoritma moguće je integrirati be-yaku racionalni prijatelj. Također je moguće da se sve zamjene promjena u nevrijednom integralu (Ojlerove, Čebiševljeve zamjene, univerzalna trigonometrijska supstitucija) vrše sa takvom strukturom, tako da se nakon zamjene racionalni razlomak ukloni ispod integrala. A prije toga algoritam je već stagnirao. Analizirat ćemo ovaj algoritam direktno na zadnjici, nakon što smo prvo napravili malu napomenu.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

U principu, ovaj integral je teško ukloniti bez mehaničkog formulisanja formule. Ako unesemo konstantu $7$ u znak integrala i zapišemo da je $dx=d(x+9)$, onda možemo poništiti:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Za detaljnije informacije preporučujem da pogledate temu. Tamo je jasno objašnjeno kako se takvi integrali računaju. Prije nego što progovorimo, formula se prevodi samim transformacijama koje su sastavljene u ovom trenutku u trenutku završetka „ručno“.

2) Znam da postoje dva načina: ili zamrznuti gotovu formulu ili bez nje. Nakon što formulirate formulu, saznajte koji će se koeficijent prije $x$ (broj 4) uzeti. Iz tog razloga, ova četiri su jednostavno vrijedna spomena po rukama:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\levo(x+\frac(19)(4)\desno)^8). $$

Sada je došlo vrijeme da formulišemo formulu:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \desno)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Možete se snaći sa formulom. Í navít bez vineshenny konstanta $4$ za ruke. Ako vjerujete da je $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, onda možemo odbiti:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Detaljna objašnjenja kako pronaći takve integrale data su u temi “Integracija zamjenom (uvedena pod diferencijalnim predznakom)”.

3) Trebamo integrirati razlomak $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Ovaj razlomak ima strukturu $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, gdje je $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Međutim, da biste otkrili koji je najefikasniji elementarni trib trećeg tipa, morate provjeriti Viconnian um $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Ovo je ista zadnjica, ali bez upotrebe gotove formule. Pokušajmo vidjeti nosioca zastave u broju. Šta to znači? Znamo da je $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Moramo artikulirati izraz $2x+10$ u numeričkom operatoru. Za sada, numerički operator može osvetiti samo $4x+7$, inače nije potrebno.To je stvar rekreacije do brojača:

$$ 4x+7=2cdot 2x+7=2cdot (2x+10-10)+7=2cdot(2x+10)-2cdot 10+7=2cdot(2x+10) -13. $$

Sada brojčanik ima novi zahtjev: $2x+10$. A naš integral se može prepisati na sljedeći način:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2xcdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Integrand dijelimo na dva. Pa, očito je i sam integrirao isto "na dva načina":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))))(x^ 2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \desno)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Razgovarajmo onda o završetku prvog integrala. oko $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Fragmenti $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, tada je u numeričkoj jednadžbi integralnog razlomka, diferencijal banera Ukratko, očigledno, zamjena viraza $( 2x +10)dx$ može se napisati kao $d(x^2+10x+34)$.

Recimo sada nekoliko riječi o još jednom integralu. Možete vidjeti novi kvadrat na baneru: $ x 2 + 10 x + 34 = (x + 5) 2 + 9 $. Dodatno, vrijednost je $dx=d(x+5)$. Sada, zbroj integrala koji smo ranije uklonili može se prepisati u potpuno drugačijem obliku:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9) . $$

Ako u prvom integralu izvršimo zamjenu $u=x^2+10x+34$, tada ćemo vidjeti $\int\frac(du)(u)$ i bit će lako koristiti drugu formulu sa . Što se tiče drugog integrala, onda za novi koristimo zamjenu $u=x+5$, nakon čega ćemo vidjeti $\int\frac(du)(u^2+9)$. Ovo je čista voda, jedanaesta formula sa tablicom nevažnih integrala. Dakle, da se vratimo na zbir integrala, recimo:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2cdotln(x^2+10x+34)-frac(13)(3)arctgfrac(x+5)(3)+C. $$

Odbacili smo isti dokaz da čak i sa ustajalom formulom, što, uostalom, i nije iznenađujuće. Dakle, formula je razvijena na isti način na koji smo koristili za pronalaženje integrala. Poštujem što poštovani čitalac može da dobije jedan obrok ovde, pa ću formulisati ovo:

Obrok №1

Ako integral $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ stavi drugu formulu u tablicu nevrijednih integrala, možemo je ukloniti na sljedeći način:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Zašto rješenje ima dnevni modul?

Povratna informacija br. 1

Dijeta je potpuno prirodna. Modul je veći od $x^2+10x+34$ za bilo koji $x\in R$ veći od nule. Uopšte nije teško pokazati koliko ima puteva. Na primjer, fragmenti $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ i $(x+5)^2 ≥ 0$, zatim $(x+5)^2+9 > 0 $ . Možete suditi drugačije, a da ne vidite pun kvadrat. Splinters $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ za bilo koji $x\in R$ (kako ovaj logični mali dečko kaže, Raja će se začuditi grafičkoj metodi otkrivanja kvadratnih nepravilnosti). Ako koža ima fragmente $x^2+10x+34 > 0$, onda $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$. Umjesto modula mogu se zamijeniti primarni krakovi.

Sve tačke na zadnjici br. 1 su provjerene, i više ne mogu zapisivati ​​potvrdu.

Vídpovid:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5) (3) + C$.

Guzica br. 2

Pronađite integral $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Na prvi pogled, pedintegralni drib $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ je onda vrlo sličan elementarnom dribu trećeg tipa. po $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Ispada da je ista razlika koeficijent od $3$ prije $x^2$, a koeficijent je jednak nedostatku (za ruke, plati). Međutim, postoji sličnost. Za razlomak $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ obov'yazkova ê umova $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Naš koeficijent prije $x^2$ nije jednak jedan, pa provjerite um $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, onda se Viraz $3x^2-5x-2$ može podijeliti na množitelje. A to znači da razlomak $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ nije elementarni razlomak trećeg tipa, već se svodi na integral $\int\frac(7x+12) (3x^2- 5x-2)dx$ formula nije moguća.

Pa, pošto problemi racionalnih razlomaka nisu elementarni, onda ih je potrebno prikazati kao zbir elementarnih razlomaka, a zatim integrirati. Ukratko, naizgled, staza je brza. Jasno je napisano kako racionalne argumente podijeliti na elementarne. Pogledajmo činjenicu da je baner podijeljen na množitelje:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(poravnano) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-sqrt(49))(2cdot 3)=frac(5-7)(6)=frac(-2)(6)=-frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \\end(poravnano)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\desno)\desno)\cdot (x-2)= 3cdotle lijevo(x+frac(1)(3)desno)(x-2). $$

Subinterni dribling se može predstaviti u ovom obliku:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Sada razlomimo razlomak $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ na elementarne:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ ) \frac(1)(3)\desno)(x-2));\\\frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1) (3)\desno). $$

Za pronalaženje koeficijenata $A$ i $B$ postoje dvije standardne metode: metoda beznačajnih koeficijenata i metoda zamjene privatnih vrijednosti. Slijedi jednostavna metoda zamjene privatnih vrijednosti uvođenjem $x=2$, a zatim $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\desno); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Pronađeni su fragmenti koeficijenta, više nije bilo moguće zapisati gotov izgled:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+frac(1)(3))+frac(frac(26)(7))(x-2). $$

U principu, možete izbrisati takav zapis, ali postoji urednija opcija do mile volje:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot frac(1)(x+frac(1)(3))+frac(26)(7)cdotfrac(1)(x-2). $$

Vraćajući se na izlazni integral, predstavljamo proširenje do novog zaključka. Zatim integral integrišemo po dva, i sve dok koža ne stagnira formulu. Odmah ću staviti konstante iza znaka integrala:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\desno)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Vídpovid: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| + frac (26) (7) cdot ln | x-2 | +C$.

Zaliha br. 3

Pronađite integral $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Trebamo integrirati razlomak $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Upravitelj broja Roztashovani ima bogatog člana drugog nivoa, a znamennik ima bogatog člana trećeg nivoa. Fragmenti koraka polinoma u knjizi brojeva manji su od koraka polinoma u knjizi znakova. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Više nećemo morati dijeliti zadatke integrala na tri, i potpuno stagnirati formulu. Odmah ću staviti konstante iza znaka integrala:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \ int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9 |+C. $$

Vídpovid: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Nastavak analize prijava prikazan je u drugom dijelu.