Значить бісектриса. Елементи трикутника. Бісектриса. Базові функції та властивості

Бісектриса трикутника - Відрізок бісектриси кута трикутника, укладений між вершиною трикутника і протилежною їй стороною.

Властивості бісектриси

1. Бісектриса трикутника ділить кут навпіл.

2. Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону щодо рівному відношенню двох прилеглих сторін ()

3. Точки бісектриси кута трикутника рівновіддалені від сторін цього кута.

4. Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці - центрі вписаного в цей трикутник кола.

Деякі формули, пов'язані з бісектрисою трикутника

(доказ формули – )
, де
- Довжина бісектриси, проведеної до сторони,
- Сторони трикутника проти вершин відповідно,
- Довжини відрізків, на які бісектриса ділить сторону,

Запрошую подивитись відеоурок, в якому демонструється застосування всіх зазначених вище властивостей бісектриси.

Завдання, що розглядаються у відеоролику:
1.У трикутнику АВС зі сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведено бісектрису ВМ. Знайти довжини відрізків АМ та МС
2. Бісектриса внутрішнього кута при вершині А і бісектриса зовнішнього кута при вершині С трикутника АВС перетинаються в точці М. Знайдіть кут BMC, якщо кут дорівнює 40, кут С – 80 градусів
3. Знайти радіус кола, вписаного в трикутник, вважаючи сторони квадратних клітин рівними 1

Можливо, вам буде цікавий і невеликий відеоурок, де застосовується одна з властивостей бісектриси

Бісектриса - це лінія, яка ділить кут навпіл.

Тобі зустрілася в задачі бісектриса? Намагайся застосувати одну (а іноді можеш і кілька) з наступних приголомшливих властивостей.

1. Бісектриса в рівнобедреному трикутнику.

Чи не боїшся слова «теорема»? Якщо боїшся, то дарма. Теорема математики звикли називати будь-яке твердження, яке можна якось вивести з інших, більш простих тверджень.

Так ось, увага, теорема!

Доведемоцю теорему, тобто зрозуміємо, чому так виходить? Подивися на рівнобедрений.

Давай подивимось на них уважно. І тоді побачимо, що

1. - загальна.

А це означає (скоріше згадуй першу ознаку рівності трикутників!), що.

Ну і що? Хочеться тобі сказати? А те, що ми ще не дивилися на треті сторони і кути цих трикутників, що залишилися.

А ось тепер побачимо. Раз, то зовсім точно і навіть на додачу, .

Ось і вийшло, що

1. розділила бік навпіл, тобто виявилася медіаною
2. , А значить, вони обидва, оскільки (глянь ще раз на малюнок).

Ось і виявилася бісектриса і висотою теж!

Ура! Довели теорему. Але уявляєш, це ще не все. Вірна ще й зворотна теорема:

Доведення? Невже тобі цікаво? Читай наступний рівень теорії!

А якщо нецікаво, то твердо запам'ятай:

Навіщо це твердо запам'ятовувати? Як це може допомогти? А ось уяви, що в тебе завдання:

Дано: .

Знайти: .

Ти тут же розумієш, бісектриса і, о диво, вона розділила бік навпіл! (за умовою…). Якщо ти твердо пам'ятаєш, що таке буває тількив рівнобедреному трикутнику, то робиш висновок, що означає, пишеш відповідь: . Здорово, правда? Звичайно, не у всіх завданнях буде так легко, але знання обов'язково допоможе!

А тепер така властивість. Готовий?

2. Бісектриса кута - геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута.

Злякався? Насправді, нічого страшного. Ледачі математики у двох рядках сховали чотири. Отже, що ж означає, «Бісектриса - геометричне місце точок»? А це означає, що виконуються одразу двазатвердження:

1. Якщо точка лежить на бісектрисі, то відстані від неї до сторін кута рівні.
2. Якщо якась точка відстані до сторін кута дорівнює, то ця точка обов'язковолежить на бісектрисі.

Бачиш різницю між твердженнями 1 та 2? Якщо не дуже, то згадай Капелюшника з «Аліси в країні чудес»: "Так ти ще чого доброго скажеш, ніби "Я бачу те, що їм" і "Я їм те, що бачу" - одне й те саме!

Отже, нам потрібно довести твердження 1 та 2, і тоді твердження: "бісектриса - це геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута" буде доведено!

Чому ж правильно 1?

Візьмемо будь - яку точку на бісектрисі і назвемо її .

Опустимо з цієї точки перпендикуляри та на сторони кута.

А тепер … приготувалися згадувати ознаки рівності прямокутних трикутників! Якщо ти їх призабув, то заглянь у розділ .

Отже…два прямокутні трикутники: і. У них:

• Загальна гіпотенуза.
• (Бо - бісектриса!)

Значить, - по куту та гіпотенузі. Тому й відповідні катети у цих трикутників – рівні! Тобто.

Довели, що точка однаково (або одно) віддалена від сторін кута. З пунктом 1 розібралися. Тепер перейдемо до пункту 2.

Чому ж вірно 2?

І з'єднаємо точки в.

Значить, тобто лежить на бісектрисі!

От і все!

Як же все це застосувати під час вирішення завдань? Ось наприклад, у завданнях часто буває така фраза: «Кількість стосується сторін кута….». Ну і знайти треба щось.

То швидко розумієш, що

І можна скористатися рівністю.

3. Три бісектриси в трикутнику перетинаються в одній точці

З якості бісектриси бути геометричним місцем точок, рівновіддалених від сторін кута, випливає таке твердження:

Як саме витікає? А ось дивись: дві бісектриси точно перетнуться, правда?

А третя бісектриса могла б пройти так:

Але насправді все набагато краще!

Давай розглянемо точку перетину двох бісектрис. Назвемо її.

Що ми тут обидва рази застосовували? Так пункт 1, звичайно ж! Якщо точка лежить на бісектрисі, то вона однаково віддалена від сторін кута.

Ось і вийшло в.

Але глянь уважно на ці дві рівності! Адже їх слід, що й, отже, .

А ось тепер у справу піде пункт 2: якщо відстані до сторін кута рівні, то точка лежить на бісектрисі ... якого ж кута? Ще раз дивись на картинку:

і - відстані до сторін кута, і вони рівні, отже, точка лежить на бісектрисі кута. Третя бісектриса пройшла через ту саму точку! Всі три бісектриси перетнулися в одній точці! І, як додатковий подарунок

Радіуси вписаноюкола.

(Для вірності подивися ще тему).

Ну ось, тепер ти ніколи не забудеш:

Точка перетину бісектрис трикутника - центр вписаного в неї кола.

Переходимо до наступної властивості… Ух і багато властивостей у бісектриси, правда? І це чудово, тому що, чим більше властивостей, тим більше інструментів для вирішення задач про бісектрису.

4. Бісектриса та паралельність, бісектриси суміжних кутів

Той факт, що бісектриса ділить кут навпіл, у якихось випадках призводить до зовсім несподіваних результатів. Ось наприклад,

Випадок 1

Здорово, правда? Давай зрозуміємо чому так.

З одного боку, - ми ж проводимо бісектрису!

Але, з іншого боку, - як навхрест кути, що лежать (згадуємо тему).

І тепер виходить, що; викидаємо середину: ! - рівнобедрений!

Випадок 2

Уяви трикутник (або подивися на картинку)

Давай продовжимо бік за крапку. Тепер вийшло два кути:

• - внутрішній кут
• - Зовнішній кут - він же зовні, вірно?

Так от, а тепер комусь захотілося провести не одну, а одразу дві бісектриси: і для, і для. Що ж вийде?

А вийде прямокутний!

Дивно, але це так.

Розбираємось.

Як ти думаєш, чому дорівнює сума?

Звичайно ж, адже вони всі разом складають такий кут, що виходить пряма.

А тепер пригадаємо, що і -бісектриси і побачимо, що всередині кута знаходиться рівно половинавід суми всіх чотирьох кутів: і - тобто рівно. Можна написати і рівнянням:

Отже, неймовірно, але факт:

Кут між бісектрисами внутрішнього та зовнішнього кута трикутника дорівнює.

Випадок 3

Бачиш, що тут так само, як і для внутрішнього і зовнішнього кутів?

Або ще раз подумаємо, чому так виходить?

Знову, як і для суміжних кутів,

(як відповідні за паралельних підставах).

І знову, складають рівно половинувід суми

Висновок:Якщо в завданні зустрілися бісектриси суміжнихкутів або бісектриси відповіднихкутів паралелограма або трапеції, то в цьому завданні неодміннобере участь прямокутний трикутник, а може навіть цілий прямокутник.

5. Бісектриса та протилежна сторона

Виявляється, бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону не якось, а спеціальним і дуже цікавим чином:

Тобто:

Дивний факт, чи не так?

Зараз ми цей факт доведемо, але приготуйся: буде трохи важче, ніж раніше.

Знову – вихід у «космос» – додаткова побудова!

Проведемо пряму.

Навіщо? Зараз побачимо.

Продовжимо бісектрису до перетину з прямою.

Знайоме зображення? Так-так-так, так само, як у пункті 4, випадок 1 - виходить, що (- бісектриса)

Як навхрест лежать

Значить, це теж.

А тепер подивимося на трикутники в.

Що про них можна сказати?

Вони... подібні. Так, у них і кути рівні як вертикальні. Значить, по двох кутках.

Наразі маємо право писати відносини відповідних сторін.

А тепер у коротких позначеннях:

Ой! Щось нагадує, правда? Чи не це ми хотіли довести? Так-так, саме це!

Бачиш, як чудово виявив себе «вихід у космос» - побудова додаткової прямої - без неї нічого б не вийшло! А так ми довели, що

Тепер можеш сміливо використати! Розберемо ще одну властивість бісектрис кутів трикутника – не лякайся, тепер найскладніше скінчилося – буде простіше.

Отримуємо, що

Це знання можна застосувати в тих завданнях, де беруть участь дві бісектриси і дано лише кут, а шукані величини витримуються через або, навпаки, дано, а потрібно знайти щось за участю кута.

Основні знання про бісектрису закінчилися. Комбінуючи ці факти, ти знайдеш ключ до будь-якого завдання про бісектрису!

БІСЕКТРИСА. КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Теорема 1:

Теорема 2:

Теорема 3:

Теорема 4:

Теорема 5:

Теорема 6:

Бісектриса трикутника - поширене геометричне поняття, яке не викликає особливих труднощів у вивченні. Володіючи знаннями про її властивості, з вирішенням багатьох завдань можна впоратися без особливих зусиль. Що таке бісектриса? Постараємося ознайомити читача з усіма секретами цієї математичної прямої.

Вконтакте

Суть поняття

Найменування поняття походить від використання слів латиною, значення яких полягає «бі» - дві, «сектіо» - розрізати. Вони безпосередньо вказують на геометричний змістпоняття – розбивання простору між променями на дві рівні частини.

Бісектриса трикутника - відрізок, який бере початок з вершини фігури, а інший кінець розташований на боці, що розташована навпроти нього, при цьому поділяє простір на дві однакові частини.

Багато педагогів для швидкого асоціативного запам'ятовування учнями математичних понятькористуються різною термінологією, яка відображена у віршах чи асоціаціях. Звісно, ​​використовувати таке визначення рекомендується для дітей старшого віку.

Як позначається ця пряма? Тут спираємося на правила позначення відрізків чи променів. Якщо йдеться про позначення бісектриси кута трикутної фігури, то зазвичай її записують як відрізок, кінці якого є вершиною та точкою перетину з протилежною вершині стороною. Причому початок позначення записується саме з вершини.

Увага!Скільки бісектрис має трикутник? Відповідь очевидна: стільки ж, скільки вершин – три.

Властивості

Крім визначення, у шкільному підручнику можна знайти не так багато властивостей даного геометричного поняття. Перша властивість бісектриси трикутника, з яким знайомлять школярів, – центр вписаної, а друге, безпосередньо пов'язане з ним, – пропорційність відрізків. Суть полягає в наступному:

1. Яка б не була пряма, що діляла, на ній розташовані точки, які знаходяться на однаковій відстані від сторінякі складають простір між променями.
2. Для того щоб вписати в трикутну фігуру коло, необхідно визначити точку, в якій перетинатимуться ці відрізки. Це і є центральна точка кола.
3. Частини сторони трикутної геометричної фігури, на які розбиває її розділяюча пряма, знаходяться у пропорційній залежності від утворюють кут сторін.

Постараємося привести в систему інші особливості та подати додаткові факти, які допоможуть глибше пізнати переваги цього геометричного поняття.

Довжина

Одним із видів завдань, які викликають утруднення у школярів, є знаходження довжини бісектриси кута трикутника. Перший варіант, у якому знаходиться її довжина, містить такі дані:

• величина простору між променями, з вершини якого виходить цей відрізок;
• довжини сторін, що утворюють цей кут.

Для вирішення поставленого завдання використовується формула, зміст якої полягає у знаходженні відносини збільшеного у 2 рази добутку значень сторін, що становлять кут, на косинус його половини до суми сторін.

Розглянемо певному прикладі. Припустимо, дана фігура АВС, у якій відрізок проведений з кута А і перетинає сторону ВС у точці К. Значення А позначимо Y. Виходячи з цього, АК = (2*АВ*АС*cos(Y/2))/(АВ+ АС).

Другий варіант задачі, в якому визначається довжина бісектриси трикутника, містить такі дані:

• відомі значення всіх сторін фігури.

При розв'язанні задачі такого типу спочатку визначаємо напівпериметр. Для цього необхідно скласти значення всіх сторін і розділити навпіл: р=(АВ+ВС+АС)/2. Далі застосовуємо обчислювальну формулу, за допомогою якої визначалася довжина даного відрізка попереднього завдання. Необхідно лише внести деякі зміни до суті формули відповідно до нових параметрів. Отже, необхідно знайти відношення збільшеного вдвічі кореня другого ступеня з добутку довжин сторін, які прилягають до вершини, на півпериметр і на різницю напівпериметра і довжини протилежної сторони до суми сторін, що складають кут. Тобто АК=(2?АВ*АС*р*(р-ВС))/(АВ+АС).

Увага!Щоб легше освоїти матеріал, можна звернутися до жартівливих казок, що є в Інтернеті, що розповідають про «пригоди» цієї прямої.

Приватні випадки

Бісектриса прямокутного трикутника має все загальні властивості. Але слід зазначити окремий випадок, який властивий тільки їй: при перетині відрізків, основи яких є вершинами гострих прямокутного трикутника, між променями виходить 45 град.

Бісектриса рівнобедреного трикутникатакож має свої особливості:

• Якщо основа цього відрізка – вершина, що протилежить основі, то вона є і висотою, і медіаною.
• Якщо відрізки проведені з вершин кутів на підставі, їх довжини рівні між собою.

Урок геометрії, вивчаємо властивості бісектриси

Властивості бісектриси трикутника

що таке бісектриса кута?

1. Бесектриса - це щур, який ходить по кутах і ділить кут навпіл

2. 
   

   
   

   Властивості бісектрис

   
   
   

   
   

   a2a1=cb
   la=c+bcb(b+c+a)(b+ca)
   la=c+b2bc cos2
   la=hacos2
   la=bca1a2

   Де:
   
   
   

3. ось так якось))
4. Бесектриса розгорнутого кута поділяє його на 2 прямі кути.
5. це щур ділить на попалам
6. Бісектриса (від лат. bi-подвійне, і sectio розрізання) кута промінь з початком у вершині кута, що ділить кут на дві рівні частини.
7. Бісектриса (від лат. bi-подвійне, і sectio розрізання) кута промінь з початком у вершині кута, що ділить кут на дві рівні частини.
8. Бісектриса це щур, який бігає по кутах і ділить кут по підлогах
9. промінь ділить кут на 2 рівні кути
10. Бісектриса-це щур, який бігає по кутах і ділить кут навпіл!
    😉
11. Бісектриса (від лат. bi-подвійне, і sectio розрізання) кута промінь з початком у вершині кута, що ділить кут на дві рівні частини.

    Бісектриса кута (разом з продовженням) є геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута (або їх продовжень).
    Визначення. Бісектриса кута трикутника - це відрізок бісектриси цього кута, що з'єднує цю вершину з точкою на протилежній стороні.

    Будь-яка з трьох бісектрис внутрішніх кутів трикутника називається бісектрисою трикутника.
    Бісектриса кута трикутника може позначати одне з двох: промінь бісектриса цього кута або відрізок бісектриси цього кута до її перетину зі стороною трикутника.

    Властивості бісектрис

    Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону відносно рівному відношенню двох прилеглих сторін.
    Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка називається центром вписаного кола.
    Бісектриси внутрішнього та зовнішнього кутів перпендикулярні.
    Якщо бісектриса зовнішнього кута трикутника перетинає продовження протилежної сторони, ADBD=ACBC.

    Бісектриси одного внутрішнього та двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка центр одного з трьох вписаних кіл цього трикутника.
    Підстави бісектрис двох внутрішніх та одного зовнішнього кутів трикутника лежать на одній прямій, якщо бісектриса зовнішнього кута не паралельна протилежній стороні трикутника.
    Якщо бісектриси зовнішніх кутів трикутника не паралельні протилежним сторонам, то їх підстави лежать на одній прямій.

    a2a1=cb
    la=c+bcb(b+c+a)(b+c#8722;a)
    la=c+b2bc cos2
    la = hacos2 # 8722;
    la=bc#8722;a1a2

    Де:
    la бісектриса, проведена до сторони a,
    a,b,c сторонитрикутника проти вершин A, B, Cвідповідно,
    al,a 2 відрізки, на які бісектриса lc ділить сторону c,
    внутрішні кути трикутника при вершинах a, b, c відповідно,
    ha висота трикутника, опущена убік a.

12. бісектриса це лінія яка ділить кут по палах
13. Бісектриса (від лат. bi-подвійне, і sectio розрізання) кута промінь з початком у вершині кута, що ділить кут на дві рівні частини.

    Бісектриса кута (разом з продовженням) є геометричне місце точок, рівновіддалених від сторін кута (або їх продовжень).

14. Бісектриса-це щур який ходить по кутах, ділить кут навпіл
15. бісектриса, такий щур, бігає по кутах і ділить кут попалам)
16. Ділить кут навпіл
17. лінія, яка його (кут) навпіл ділить.
18. Бісектрис - це щур бігає по кутах і ділить їх навпіл

Тема урока

Бісектриса кута

Цілі уроку

Поповнити знання школярів про бісектрису кута та її властивості;
Ознайомити з новою інформацією про бісектрису кута;
Розширити знання учнів про те, що теорему про властивості бісектриси можна доводити різними способами;
Розвивати логічне мислення, інтерес до математичним наукам, Наполегливість та здатність до аналізу.

Завдання уроку

Розширити знання учнів про бісектрису кута;
Закріпити навички побудови бісектриси кута за допомогою креслярських інструментів;
Отримати додаткові та цікаві відомості з цієї теми;
Дати відомості про значення теореми у розвитку математики;
закріпити отримані знання шляхом вирішення завдань;
Виховувати посидючість, допитливість та бажання вивчати математичні науки.

План уроку

1. Розкриття головної теми уроку про бісектрису кута;
2. Повторення пройденого матеріалу;
3. Цікава інформація про бісектрису.
4. Історична довідка, грецька геометрія.
5. Домашнє завдання.

Бісектриса кута

Сьогоднішній урок ми з вами присвятимо темі бісектриси. Давайте згадаємо визначення бісектриси.

Бісектриса є геометричне місце точок, рівновіддалене від сторін кута.

Якщо говорити простіше, то бісектриса - це лінія, що розділяє кут навпіл.

Бісектриса кута - промінь, що виходить з вершини кута і ділить його на два інших рівних кута.

Слово «бісектриса» в перекладі з французької мови означає, що надвоє розсікає або рівнодільна кут навпіл.

Бісектриса трикутника

Крім бісектриси кута ще буває бісектриса трикутника, адже трикутник містить цілих три кути, відповідно кожен трикутник може мати три різні бісектриси.

Що ж таке бісектриса трикутника? Бісектриса трикутника є відрізком бісектриси кута, що з'єднує в трикутнику його вершину з точкою на протилежній стороні.

Бісектриса трикутник має певні унікальні властивості. Так, наприклад, вона поділяє протилежну сторону на відрізки, які є пропорційними іншим двом сторонам.

Що стосується прямокутного трикутника, його бісектриси саме гострих кутів, коли перетинаються, утворюють кут саме в 45 градусів.

До того ж, не варто забувати і таку властивість бісектрис трикутника, як те, що вони перетинаються строго в центрі вписаного в трикутник кола.

Ну а найцікавіше те, що для рівнобедреного трикутника лінія, яка проведена до основи, буде і бісектрисою, і медіаною, і висотою. Відповідно і зворотне правило, що й медіана, висота і бісектриса, яке з однієї вершини трикутника, збігаються, то маємо рівнобедренный трикутник.

А які ви можете згадати властивості прямокутного та рівнобедреного трикутника?

Побудова бісектриси

Бісектрису кута будується за допомогою транспортира, використовуючи його градусний захід. Щоб приступити до побудови бісектриси, ми беремо і ділимо градусну міру навпіл і, відклавши на одній стороні вершини градусну міру половинного кута, тоді друга половина стає бісектрисою заданого кута.

Беремо заданий кут, який має градусну міру в дев'яносто градусів, і за допомогою бісектриси отримуємо два побудовані кути по 45 градусів.

Розгорнутий кут за допомогою бісектриси поділяє кут на 2 прямі кути. Тупий же кут при побудові бісектриси поділяє його на 2 гострі кути.

З визначення бісектриси нам відомо, що вона є променем, що розділяє кут навпіл. Щоб побудувати бісектрису, отже потрібно кут розділити навпіл.

Алгоритм побудови бісектриси кута

1. Спочатку креслимо коло з центром у вершині кута таким чином, щоб воно перетинало його сторони.

3. Чортимо 2 кола радіусом так, щоб вони мали точку перетину всередині цього кута.

4. Тепер проводимо з вершини кута промінь таким методом, щоб він проходив через точку перетину цих кіл. Цей промінь і є бісектрисою даного кута.

А тепер давайте спробуємо довести, що отриманий промінь є бісектрисою цього кута. Візьмемо з прикладу двох трикутників, які мають одна сторона загальна, тобто відрізок від вершини до точки перетину кіл, що ми отримали 3п.

2-а пара відповідних сторін – це отримані в 1п., відрізки, що йдуть від вершини кута до точок перетину кола з його сторонами.

Третя пара відповідних сторін - це відповідно відрізки, одержані в 1п. від точок перетину кола до точки перетину кіл, але отриманих в 3п.

Отже, 2 пари даних відрізків рівні, оскільки є радіусами одного або двох кіл, але з однаковим радіусом. Звідси випливає, що з усіх трьох сторін трикутники рівні. Відомо, що коли трикутники рівні, то рівні їх кути. Тому при вершині два нових кута і даних кута за умовою завдання рівні, отже, побудований промінь буде бісектрисою.

Цікава інформація про бісектрису

Чи знали ви, що існує така наука, яка називається мнемоніка, що в перекладі з грецької мовиозначає мистецтво запам'ятовування. І щоб краще запам'ятати визначення бісектриси існує таке мнемонічне правило, за яким бісектриса - це щур, який бігає по кутах і ділить кут навпіл.

Чи відомо вам, що ще Архімед використав теорему про бісектрису. Він її застосовував для поділу основи на частини, які пропорційні бічним сторонам з метою визначення довжини підлоги сторін дванадцяти кутника, 24-кутника тощо.

Легенда про бісектрису кута

Казка про два Кути і Бісектрису, або Утворення суміжного кута.

Якось два кути зустрілися на одній площі. Старшому кутку було близько 130 градусів, а молодшому лише п'ятдесят. Оскільки це казка, то замінимо роки на градуси. Ось вони зустрілися і почали сперечатися, хто з них кращий і важливіший. Старший вважав, що пріоритет на його боці, оскільки він старший, мудріший і більше за своє життя побачив за свої 130°. Молодший навпаки твердив, що він молодший, тому сильніший і витриваліший. І щоб суперечка не тривала вічність, вони вирішили провести турнір. Про ці змагання дізналася Бісектриса і вирішила перемогти своїх ворогів одночасно і очолити Геометрію.

І ось настав довгоочікуваний час турніру, на якому було 2 Кути. У момент повного розпалу битв з'явилася Бісектриса і вирішила взяти участь. Але тут у бій з Бісектрисою вступив спочатку старший Кут, потім підтягнувся і молодший, і перемога все одно виявилася на боці Бісектриси.