При розв'язанні різноманітних завдань, як суто математичного, і прикладного характеру (особливо у будівництві), нерідко потрібно визначити значення висоти певної геометричної фігури. Як розрахувати цю величину (висоту) у трикутнику?

Якщо ми попарно сумісний 3 точки, розташовані не на єдиній прямій, то отримана фігура буде трикутником. Висота - частина прямої з будь-якої вершини фігури, яка при перетині з протилежною стороною утворює кут 90 °.

Знайти висоту у різносторонньому трикутнику

Визначимо значення висоти трикутника у разі, коли фігура має довільні кути та сторони.

Формула Герону

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, де

p – половина периметра фігури, h(a) – відрізок до сторони a, проведений під прямим кутом до неї,

p=(a+b+c)/2 – розрахунок напівпериметра.

У разі наявності площі фігури визначення її висоти можна скористатися співвідношенням h(a)=2S/a.

Тригонометричні функції

Для визначення довжини відрізка, який становить при перетині зі стороною a прямий кут, можна скористатися такими співвідношеннями: якщо відома сторона b і кут або сторона c і ​​кут, то h(a)=b*sinγ або h(a)=c *sinβ.
Де:
γ – кут між стороною b та a,
β – кут між стороною c та a.

Взаємозв'язок із радіусом

Якщо вихідний трикутник вписаний у коло, визначення величини висоти можна скористатися радіусом такого кола. Центр її розташований у точці, де перетинаються всі 3 висоти (з кожної вершини) – ортоцентри, а відстань від нього і до вершини (будь-якої) – радіус.

Тоді h(a)=bc/2R, де:
b, c – 2 інші сторони трикутника,
R - радіус описує трикутник кола.

Знайти висоту у прямокутному трикутнику

У цьому вигляді геометричної фігури 2 сторони при перетині утворюють прямий кут - 90 °. Отже, якщо потрібно визначити в ньому значення висоти, необхідно обчислити або розмір одного з катетів, або величину відрізка, що утворює з гіпотенузою 90°. При позначенні:
a, b - катети,
c – гіпотенуза,
h(c) – перпендикуляр на гіпотенузу.
Здійснити необхідні розрахунки можна за допомогою наступних співвідношень:

• Піфагорова теорема:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c,т.к. S = ab / 2, то h (c) = ab / c.

• Тригонометричні функції:

a= c*sinβ,
b=c* cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Знайти висоту в рівнобедреному трикутнику

Дана геометрична фігура відрізняється наявністю двох сторін рівної величини та третьої – основою. Для визначення висоти, проведеної до третьої, відмінної стороні, допоможе приходить теорема Піфагора. При позначеннях
a – бічна сторона,
c – основа,
h(c) – відрізок до c під кутом 90°, h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Майже ніколи не вдасться визначити всі параметри трикутника без додаткових побудов. Ці побудови є своєрідними графічними характеристиками трикутника, які допомагають визначити величину сторін та кутів.

Визначення

Однією з таких рис є висота трикутника. Висота - це перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до його протилежної сторони. Вершиною називають одну з трьох точок, які разом із трьома сторонами становлять трикутник.

Визначення висоти трикутника може і так: висота – це перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону.

Це визначення звучить складніше, але воно точніше відбиває ситуацію. Справа в тому, що в тупокутному трикутнику не вдасться провести висоту всередині трикутника. Як видно на малюнку 1, висота у цьому випадку виходить зовнішньою. Крім того, не стандартною ситуацією є побудова висоти у прямокутному трикутнику. У цьому випадку дві з трьох висот трикутника проходитимуть через катети, а третя від вершини до гіпотенузи.

Мал. 1. Висота тупокутного трикутника.

Як правило, висота трикутника має позначення літерою h. Також позначається висота й у інших постатях.

Як знайти висоту трикутника?

Існує три стандартних способузнаходження висоти трикутника:

Через теорему Піфагора

Цей спосіб застосовується для рівносторонніх та рівнобедрених трикутників. Розберемо рішення для рівнобедреного трикутникаа потім скажемо, чому це ж рішення справедливе для рівностороннього.

Дано: рівнобедрений трикутник АВС з основою АС. АВ = 5, АС = 8. Знайти висоту трикутника.

Мал. 2. Малюнок завдання.

Для рівнобедреного трикутника важливо знати, яка саме сторона є основою. Це визначає бічні сторони, які мають бути рівні, а так само висоту, на яку діють деякі властивості.

Властивості висоти рівнобедреного трикутника, проведеної до основи:

• Висота збігається з медіанною та бісектрисою
• Поділяє основу на дві рівні частини.

Висоту позначимо, як ВD. DС знайдемо як половину від основи, тому що висота точкою D ділить основу навпіл. DС=4

Висота це перпендикуляр, отже ВДС – прямокутний трикутник, а висота ВН є катетом цього трикутника.

Знайдемо висоту за теоремою Піфагора: $$ВD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$

Будь-який рівносторонній трикутник є рівнобедреним, тільки основа у нього рівна боковим сторонам. Тобто можна використовувати той самий порядок дій.

Через площу трикутника

Цим способом можна скористатися для будь-якого трикутника. Щоб ним скористатися, потрібно знати значення площі трикутника та сторони, до якої проведено висоту.

Висоти у трикутнику не рівні, тому для відповідної сторони вдасться обчислити відповідну висоту.

Формула площі трикутника: $$S=(1\over2)*bh$$, де b – це сторона трикутника, h – висота, проведена до цієї сторони. Виразимо з формули висоту:

$$h=2*(S\over b)$$

Якщо площа дорівнює 15, сторона 5, то висота $ $ h = 2 * (15 \ over5) = 6 $ $

Через тригонометричну функцію

Третій спосіб підійде, якщо відома сторона та кут при підставі. Для цього доведеться скористатися тригонометричною функцією.

Мал. 3. Малюнок завдання.

Кут ВСН=300 а сторона BC=8. У нас все той же прямокутний трикутник BCH. Скористаємося синусом. Синус це ставлення протилежного катета до гіпотенузи, отже: BH/BC=cos BCH.

Кут відомий, як і бік. Виразимо висоту трикутника:

$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$

Значення косинуса у випадку береться з таблиць Брадиса, але значення тригонометричних функційдля 30,45 та 60 градусів – табличні числа.

Що ми дізналися?

Ми дізналися, що таке висота трикутника, які бувають висоти і як вони позначаються. Розібралися у типових завданнях та записали три формули для висоти трикутника.

Тест на тему

Оцінка статті

Середня оцінка: 4.6. Усього отримано оцінок: 137.

Урок містить опис властивостей та формули знаходження висоти трикутника, а також приклади розв'язання задач. Якщо Ви не знайшли вирішення відповідного завдання - пишіть про це на форумі. Напевно, курс буде доповнено.

ВИСОТА ТРИКУТНИКА Висота трикутника– опущений з вершини трикутника перпендикуляр, проведений на протилежну вершині сторону або її продовження. Властивостівисоти трикутника: Якщо у трикутнику дві висоти рівні, то такий трикутник – рівнобедрений У будь-якому трикутнику відрізок, що з'єднує основи двох висот трикутника, відсікає трикутник подібний до цього У трикутнику відрізок, що з'єднує основи двох висот трикутника, що лежать на двох сторонах, непаралелений третій стороні, з якої він не має спільних точок. Через два його кінці, а також через дві вершини цієї сторони завжди можна провести коло У гострокутному трикутникудві його висоти відсікають від нього подібні трикутники Мінімальна висота в трикутнику завжди проходить усередині цього трикутника Ортоцентр трикутника Усі три висоти трикутника (проведені з трьох вершин) перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром. Для того, щоб знайти точку перетину висот, достатньо провести дві висоти (дві прямі перетинаються лише в одній точці). Розташування ортоцентра (точка) визначається видом трикутника. У гострокутного трикутника точка перетину висот знаходиться у площині трикутника. (Рис.1). У прямокутного трикутника точка перетину висот збігається з вершиною прямого кута (рис.2). У тупокутного трикутника точка перетину висот знаходиться за площиною трикутника (Рис.3). У рівнобедреного трикутника медіана, бісектриса та висота, проведені до основи трикутника, збігаються. У рівностороннього трикутника всі три «чудові» лінії (висота, бісектриса і медіана) збігаються і три «чудові» точки (точки ортоцентра, центру тяжкості та центру вписаного та описаного кіл) знаходяться в одній точці перетину «чудових» ліній, тобто. теж збігаються.

ВИСОТА ТРИКУТНИКА Висота трикутника - опущення з вершини трикутника перпендикуляру, проведеного на протилежну вершинi бiк або на її продовження. Усі три висоти трикутника (проведені з трьох вершин) перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром. Щоб знайти точку перетину висот, досить провести дві висоти (дві прямі перетинаються тільки в одній точці). Розміщення ортоцентру (точка О) визначається видом трикутника. У гострокутного трекутника точка перетину висот знаходиться в площині трекутника. (Мал.1). У прямокутного трикутника точка перетину висот збігається з вершиною прямого угла (Рис.2). У тупокутного треугольника точка перетину висот знаходиться за площиною треугольника (Рис.3). У рівнобедреного трикутника медіана, бісектриса та висота, проведені до основи трикутника, збігаються. У рівностороннього трекутника всі три «помітні» лінії (висота, бісектриса та медіана) збігаються і три «помітні» точки (точки ортоцентру, центру ваги та центру вписаного і описаного кіл) знаходяться в одній точці перетину «помітних» ліній, тобто теж збігаються.

Формули знаходження висоти трикутника

Малюнок наведено полегшення сприйняття формул знаходження висоти трикутника. Загальне правило- Довжина сторони позначена маленькою літерою, що лежить навпроти відповідного кута. Тобто сторона a лежить навпроти кута A.
Висота у формулах позначається літерою h, нижній індекс якої відповідає стороні, яку вона опущена.

Інші позначення:
a, b, c- Довжини сторін трикутника
h a- Висота трикутника, проведена до сторони a з протилежного кута
h b- Висота, проведена до сторони b
h c- Висота, проведена до сторони c
R- радіус описаного кола
r- радіус вписаного кола

Пояснення до формул.
Висота трикутника дорівнює добутку довжини сторони, що прилягає до кута, з якої опущена ця висота на синус кута між цією стороною та стороною, на яку така висота опущена (Формула 1)
Висота трикутника дорівнює частці від поділу подвоєної величини площі трикутника на довжину сторони, до якої опущена ця висота (Формула 2)
Висота трикутника дорівнює частці від поділу твору сторін, що прилягають до кута, з якого опущена ця висота, на подвоєний радіус описаного навколо нього кола (Формула 4).
Висоти сторін у трикутнику співвідносяться між собою в тій же пропорції, як співвідносяться між собою зворотні пропорції довжин сторін цього ж трикутника, а також в тій же пропорції між собою відносяться твори пар сторін трикутника, які мають загальний кут (Формула 5).
Сума обернених значень висот трикутника дорівнює зворотному значенню радіусу вписаного в такий трикутник кола (Формула 6)
Площу трикутника можна знайти через довжини висот цього трикутника (Формула 7)
Довжину сторони трикутника, яку опущена висота, можна знайти через застосування формул 7 і 2.

Завдання на .

У прямокутному трикутнику ABC (кут C = 90 0) проведено висоту CD. Визначте CD, якщо AD = 9 см, BD = 16 см

Рішення.

Трикутники ABC, ACD та CBD подібні між собою. Це безпосередньо випливає з другої ознаки подібності (рівність кутів у цих трикутниках очевидна).

Прямокутні трикутники - єдиний вид трикутників, які можна розрізати на два трикутники, подібні між собою і вихідний трикутник.

Позначення цих трьох трикутників у такому порядку проходження вершин: ABC, ACD, CBD. Тим самим ми одночасно показуємо відповідність вершин. (Вершині A трикутника ABC відповідає також вершина A трикутника ACD і вершина C трикутника CBD тощо)

Трикутники ABC та CBD подібні. Значить:

AD/DC = DC/BD, тобто

Завдання застосування теореми Піфагора.

Трикутник ABC прямокутний. У цьому C-прямий кут. З нього проведено висота CD=6см. Різниця відрізків BD-AD=5 див.

Знайти: Сторони трикутника ABC.

Рішення.

1.Складемо систему рівнянь відповідно до теореми Піфагора

CD 2 +BD 2 =BC 2

CD 2 + AD 2 = AC 2

оскільки CD=6

Оскільки BD-AD=5, то

BD = AD+5, тоді система рівнянь набуває вигляду

36+(AD+5) 2 =BC 2

Складемо перше та друге рівняння. Оскільки ліва частина додається до лівої, а права частина до правої – рівність не буде порушено. Отримаємо:

36+36+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

2. Тепер, глянувши на первісне креслення трикутника, по тій самій теоремі Піфагора, повинна виконуватись рівність:

AC 2 +BC 2 = AB 2

Оскільки AB=BD+AD, рівняння набуде вигляду:

AC 2 +BC 2 =(AD+BD) 2

Оскільки BD-AD=5, то BD=AD+5 тоді

AC 2 +BC 2 =(AD+AD+5) 2

3. Тепер поглянемо на результати, отримані нами під час рішення у першій та другій частині рішення. А саме:

72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

AC 2 +BC 2 =(AD+AD+5) 2

Вони мають загальну частину AC 2 +BC 2 . Таким чином, прирівняємо їх один до одного.

72+(AD+5) 2 +AD 2 =(AD+AD+5) 2

72+AD 2 +10AD+25+AD 2 =4AD 2 +20AD+25

2AD 2 -10AD+72=0

В отриманому квадратному рівнянні дискримінант дорівнює D=676, відповідно, коріння рівняння дорівнює:

Оскільки довжина відрізка може бути негативною, відкидаємо перший корінь.

Відповідно

AB = BD + AD = 4 + 9 = 13

По теоремі Піфагора знаходимо інші сторони трикутника:

AC = корінь (52)

Трикутник - багатокутник з трьома сторонами, або замкнута ламана лінія з трьома ланками, або фігура, утворена трьома відрізками, що з'єднують три точки, що не лежать на одній прямій (див. рис. 1).

Основні елементи трикутника abc

Вершини – точки A, B та C;

Сторони - Відрізки a = BC, b = AC і c = AB, що з'єднують вершини;

Кути - α, β, γ утворені трьома парами сторін. Кути часто позначають так само, як і вершини - літерами A, B і C.

Кут, утворений сторонами трикутника і що лежить у його внутрішній області, називається внутрішнім кутом, а суміжний до нього є суміжним кутом трикутника (2, стор. 534).

Висоти, медіани, бісектриси та середні лінії трикутника

Крім основних елементів у трикутнику розглядають і інші відрізки, що володіють цікавими властивостями: висоти, медіани, бісектриси та середні лінії.

Висота

Висоти трикутника- Це перпендикуляри, опущені з вершин трикутника на протилежні сторони.

Для побудови висоти необхідно виконати такі дії:

1) провести пряму, що містить одну зі сторін трикутника (у разі, якщо проводиться висота з вершини гострого кута в тупокутному трикутнику);

2) з вершини, що лежить навпроти проведеної прямої, провести відрізок з точки до цієї прямої, що становить з нею кут 90 градусів.

Точка перетину висоти зі стороною трикутника називається основою висоти (Див. рис. 2).

Властивості висот трикутника

У прямокутному трикутнику висота, проведена з вершини прямого кута, розбиває його на два трикутники, подібні до вихідного трикутника.

У гострокутному трикутнику дві його висоти відсікають від нього подібні трикутники.

Якщо трикутник гострокутний, всі підстави висот належать сторонам трикутника, а в тупокутного трикутника дві висоти потрапляють на продовження сторін.

Три висоти в гострокутному трикутнику перетинаються в одній точці, і цю точку називають ортоцентром трикутник.

Медіана

Медіани(Від лат. Mediana - "Середня") - Це відрізки, що з'єднують вершини трикутника з серединами протилежних сторін (див. рис. 3).

Для побудови медіани необхідно виконати такі дії:

1) визначити середину боку;

2) з'єднати точку, що є серединою сторони трикутника, з протилежною вершиною відрізком.

Властивості медіан трикутника

Медіана розбиває трикутник на два трикутники однакової площі.

Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них щодо 2:1, рахуючи від вершини. Ця точка називається центром тяжіння трикутник.

Весь трикутник ділиться своїми медіанами на шість рівновеликих трикутників.

Бісектриса

Бісектрисами(від лат. bis – двічі» і seko – розсікаю) називають ув'язнені всередині трикутника відрізки прямих, які ділять навпіл його кути (див. рис. 4).

Для побудови бісектриси необхідно виконати такі дії:

1) побудувати промінь, що виходить з вершини кута і ділить його на дві рівні частини (бісектрису кута);

2) знайти точку перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною;

3) виділити відрізок, що з'єднує вершину трикутника з точкою перетину на протилежному боці.

Властивості бісектрис трикутника

Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону відносно рівному відношенню двох прилеглих сторін.

Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка називається центром вписаного кола.

Бісектриси внутрішнього та зовнішнього кутів перпендикулярні.

Якщо бісектриса зовнішнього кута трикутника перетинає продовження протилежної сторони, ADBD=ACBC.

Бісектриси одного внутрішнього та двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка - центр одного з трьох вписаних кіл цього трикутника.

Підстави бісектрис двох внутрішніх та одного зовнішнього кутів трикутника лежать на одній прямій, якщо бісектриса зовнішнього кута не паралельна протилежній стороні трикутника.

Якщо бісектриси зовнішніх кутів трикутника не паралельні протилежним сторонам, то їх підстави лежать на одній прямій.

При вирішенні геометричних завдань корисно дотримуватися такого алгоритму. Під час читання умови завдання необхідно

• Зробити креслення. Креслення має максимально відповідати умові завдання, тому його основне завдання допомогти знайти хід рішення
• Нанести всі дані з умови завдання на креслення
• Виписати всі геометричні поняття, що зустрічаються в задачі
• Згадати всі теореми, які належать до цього поняття
• Нанести на креслення всі співвідношення між елементами геометричної фігури, які випливають із цих теорем

Наприклад, якщо завдання зустрічається слова бісектриса кута трикутника, потрібно згадати визначення і властивості бісектриси і позначити на кресленні рівні або пропорційні відрізки і кути.

У цій статті ви знайдете основні властивості трикутника, які потрібно знати для успішного вирішення завдань.

ТРИКУТНИК.

Площа трикутника.

1. ,

тут – довільна сторона трикутника, – висота, опущена на цю сторону.

2. ,

тут і – довільні сторони трикутника, – кут між цими сторонами:

3. Формула Герона:

Тут - довжини сторін трикутника, - напівпериметр трикутника,

4. ,

тут - напівпериметр трикутника, - радіус вписаного кола.

Нехай – довжини дотичних відрізків.

Тоді формулу Герона можна записати у такому вигляді:

5.

6. ,

тут - довжини сторін трикутника, - радіус описаного кола.

Якщо на стороні трикутника взята точка, яка ділить цю сторону щодо m:n, то відрізок, що з'єднує цю точку з вершиною протилежного кута, ділить трикутник на два трикутники, площі яких відносяться як m:n:

Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

Медіана трикутника

Це відрізок, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Медіани трикутникаперетинаються в одній точці та діляться точкою перетину щодо 2:1, рахуючи від вершини.

Точка перетину медіан правильного трикутника ділить медіану на два відрізки, менший з яких дорівнює радіусу вписаного кола, а більший - радіусу описаного кола.

Радіус описаного кола в два рази більший за радіус вписаного кола: R=2r

Довжина медіанидовільного трикутника

,

тут - медіана, проведена до сторони - довжини сторін трикутника.

Бісектриса трикутника

Це відрізок бісектриси будь-якого кута трикутника, що з'єднує вершину цього кута з протилежною стороною.

Бісектриса трикутникаділить сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам:

Бісектриси трикутникаперетинаються в одній точці, яка є центром вписаного кола.

Всі точки бісектриси кута рівновіддалені від сторін кута.

Висота трикутника

Це відрізок перпендикуляра, опущений з вершини трикутника на протилежну сторону або її продовження. У тупокутному трикутнику висота, проведена з вершини гострого кута, лежить поза трикутником.

Висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентр трикутника.

Щоб знайти висоту трикутника, Проведену до сторони , потрібно будь-яким доступним способом знайти його площу, а потім скористатися формулою:

Центр кола, описаного біля трикутника, лежить у точці перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін трикутника

Радіус описаного кола трикутника можна знайти за такими формулами:

Тут – довжини сторін трикутника, – площа трикутника.

,

де - Довжина сторони трикутника, - Протилежний кут. (Ця формула випливає із теореми синусів).

Нерівність трикутника

Кожна сторона трикутника менша від суми і більша за різницю двох інших.

Сума довжин будь-яких двох сторін завжди більша за довжину третьої сторони:

Навпроти більшої сторони лежить більший кут; навпроти більшого кута лежить велика сторона:

Якщо , то навпаки.

Теорема синусів:

сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:

Теорема косінусів:

квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними:

Прямокутний трикутник

- це трикутник, один із кутів якого дорівнює 90°.

Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.

Гіпотенуза – це сторона, що лежить проти кута 90°. Гіпотенуза є найбільшою стороною.

Теорема Піфагора:

квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:

Радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, дорівнює

,

тут - радіус вписаного кола, - катети, - гіпотенуза:

Центр кола, описаного біля прямокутного трикутника лежить у середині гіпотенузи:

Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, що дорівнює половині гіпотенузи.

Визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу прямокутного трикутникадивіться

Співвідношення елементів у прямокутному трикутнику:

Квадрат висоти прямокутного трикутника, проведеної з вершини прямого кута, дорівнює добутку проекцій катетів на гіпотенузу:

Квадрат катета дорівнює добутку гіпотенузи на проекцію катета на гіпотенузу:

Катет, що лежить проти кута дорівнює половині гіпотенузи:

Рівнобедрений трикутник.

Бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена до основи є медіаною та висотою.

У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Кут при вершині.

І - бічні сторони,

І - кути при основі.

Висота, бісектриса та медіана.

Увага!Висота, бісектриса та медіана, проведені до бокової сторони не збігаються.

Правильний трикутник

(або рівносторонній трикутник ) - це трикутник, всі сторони та кути якого рівні між собою.

Площа правильного трикутникадорівнює

де - Довжина сторони трикутника.

Центр кола, вписаного у правильний трикутник, збігається з центром кола, описаного біля правильного трикутника і лежить у точці перетину медіан.

Точка перетину медіан правильного трикутникаділить медіану на два відрізки, менший з яких дорівнює радіусу вписаного кола, а більший - радіусу описаного кола.

Якщо один із кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 60°, то цей трикутник правильний.

Середня лінія трикутника

Це відрізок, що з'єднує середини двох сторін.

На малюнку DE – середня лінія трикутника ABC.

Середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині: DE||AC, AC=2DE

Зовнішній кут трикутника

Це кут, суміжний якомусь куту трикутника.

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів, не суміжних із ним.

Тригонометричні функції зовнішнього кута:

Ознаки рівності трикутників:

1 . Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

2 . Якщо сторона і два прилеглих до неї кута одного трикутника відповідно дорівнюють стороні та двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

3 Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Важливо:оскільки у прямокутному трикутнику два кути свідомо рівні, то для рівності двох прямокутних трикутниківпотрібна рівність всього двох елементів: двох сторін, або сторони та гострого кута.

Ознаки подоби трикутників:

1 . Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника, і кути, укладені між цими сторонами рівні, ці трикутники подібні.

2 . Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого трикутника, ці трикутники подібні.

3 . Якщо два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам іншого трикутника, то ці трикутники подібні.

Важливо:у подібних трикутниках подібні сторони лежать проти рівних кутів.

Теорема Менела

Нехай пряма перетинає трикутник, причому - точка її перетину зі стороною, - точка її перетину зі стороною, і - точка її перетину з продовженням сторони. Тоді