Як інтегрувати раціональні дроби. Інтегрування дробово-раціональної функції. Метод невизначених коефіцієнтів. Тема: інтегрування раціональних дробів

Дроб називається правильною, якщо старший ступінь чисельника менший за старший ступінь знаменника. Інтеграл правильного раціонального дробу має вигляд:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Формула на інтегрування раціональних дробівзалежить від коріння багаточлена у знаменнику. Якщо багаточлен $ ax^2+bx+c $ має:

1. Тільки комплексне коріння, то з нього необхідно виділити повний квадрат: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^2 \pm a ^2) $$
2. Різне дійсне коріння $ x_1 $ і $ x_2 $, то потрібно виконати розкладання інтеграла і знайти невизначені коефіцієнти$ A $ і $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B )(x-x_2) dx $$
3. Один кратний корінь $ x_1 $, то виконуємо розкладання інтеграла і знаходимо невизначені коефіцієнти $ A $ і $ B $ для такої формули: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Якщо дріб є неправильною, тобто старша ступінь у чисельнику більша чи дорівнює старшого ступеня знаменника, спочатку її необхідно призвести до правильномувиду шляхом розподілу многочлена з чисельника на багаточлен із знаменника. В даному випадку формула інтегрування раціонального дробу має вигляд:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Приклади рішень

Розглянуто приклади інтегрування раціональних функцій (дробів) із докладними рішеннями.

Див. також: Коріння квадратного рівняння

Тут ми наводимо докладні рішеннятрьох прикладів інтегрування наступних раціональних дробів:
, , .

Приклад 1

Обчислити інтеграл:
.

Тут під знаком інтеграла стоїть раціональна функція, оскільки підінтегральний вираз є дробом із багаточленів. Ступінь багаточлена знаменника ( 3 ) менше ступеня багаточлена чисельника ( 4 ). Тому спочатку необхідно виділити цілу частину дробу.

1. Виділимо цілу частину дробу. Ділимо x 4 на x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Звідси
.

2. Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно розв'язати кубічне рівняння:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Підставимо x = 1 :
.

1 . Ділимо на x - 1 :

Звідси
.
Вирішуємо квадратне рівняння.
.
Коріння рівняння: , .
Тоді
.

3. Розкладемо дріб на найпростіші.

.

Отже, ми знайшли:
.
Інтегруємо.

Приклад 2

Обчислити інтеграл:
.

Тут у чисельнику дробу - багаточлен нульового ступеня ( 1 = x 0). У знаменнику - багаточлен третього ступеня. Оскільки 0 < 3 , то дріб правильний. Розкладемо її на найпростіші дроби.

1. Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно вирішити рівняння третього ступеня:
.
Припустимо, що воно має хоча б одне ціле коріння. Тоді він є дільником числа 3 (Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
1, 3, -1, -3 .
Підставимо x = 1 :
.

Отже, ми знайшли один корінь x = 1 . Ділимо x 3 + 2 x - 3на x - 1 :

Отже,
.

Вирішуємо квадратне рівняння:
x 2+x+3=0.
Знаходимо дискримінант: D = 1 2 - 4 · 3 = -11. Оскільки D< 0 , то рівняння не має дійсних коренів. Таким чином, ми отримали розкладання знаменника на множники:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Підставимо x = 1 . Тоді x - 1 = 0 ,
.

Підставимо в (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Прирівняємо в (2.1) коефіцієнти при x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Інтегруємо.
(2.2) .
Для обчислення другого інтеграла, виділимо в чисельнику похідну знаменника та наведемо знаменник до суми квадратів.

;
;
.

Обчислюємо I 2 .


.
Оскільки рівняння x 2+x+3=0не має дійсних коренів, то x 2 + x + 3 > 0. Тому знак модуля можна опустити.

Поставляємо в (2.2) :
.

Приклад 3

Обчислити інтеграл:
.

Тут під знаком інтеграла стоїть дріб із багаточленів. Тому підінтегральний вираз є раціональною функцією. Ступінь многочлена в чисельнику дорівнює 3 . Ступінь многочлена знаменника дробу дорівнює 4 . Оскільки 3 < 4 , то дріб правильний. Тому її можна розкладати на найпростіші дроби. Але для цього потрібно розкласти знаменник на множники.

1. Розкладемо знаменник дробу на множники. Для цього потрібно вирішити рівняння четвертого ступеня:
.
Припустимо, що воно має хоча б одне ціле коріння. Тоді він є дільником числа 2 (Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
1, 2, -1, -2 .
Підставимо x = -1 :
.

Отже, ми знайшли один корінь x = -1 . Ділимо на x - (-1) = x + 1:


Отже,
.

Тепер потрібно вирішити рівняння третього ступеня:
.
Якщо припустити, що це рівняння має ціле коріння, він є дільником числа 2 (Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
1, 2, -1, -2 .
Підставимо x = -1 :
.

Отже, ми знайшли ще один корінь x = -1 . Можна було б, як і в попередньому випадку, поділити багаточлен на , але ми згрупуємо члени:
.

Оскільки рівняння x 2 + 2 = 0 не має дійсних коренів, то ми отримали розкладання знаменника на множники:
.

2. Розкладемо дріб на найпростіші. Шукаємо розкладання у вигляді:
.
Звільняємося від знаменника дробу, множимо на (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Підставимо x = -1 . Тоді x + 1 = 0 ,
.

Продиференціюємо (3.1) :

;

.
Підставимо x = -1 та врахуємо, що x + 1 = 0 :
;
; .

Підставимо в (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Прирівняємо в (3.1) коефіцієнти при x 3 :
;
1 = B + C;
.

Отже, ми знайшли розкладання на найпростіші дроби:
.

3. Інтегруємо.


.

«Математик так само, як художник чи поет, створює візерунки. І якщо його візерунки більш стійкі, лише тому, що вони складені з ідей... Візерунки математика так само, як візерунки художника або поета, повинні бути прекрасні; ідеї так само, як кольори або слова повинні відповідати один одному. Краса є першою вимогою: у світі немає місця для некрасивої математики».

Г.Х.Харді

У першому розділі зазначалося, що існують первісні досить прості функції, які вже не можна виразити через елементарні функції. У зв'язку з цим, велике практичне значення набувають ті класи функцій, про які можна точно сказати, що їх первісні - елементарні функції. До такого класу функцій відносяться раціональні функції, що являють собою відношення двох алгебраїчних багаточленів До інтегрування раціональних дробів наводять багато завдань. Тому дуже важливо вміти інтегрувати такі функції.

2.1.1. Дробно-раціональні функції

Раціональним дробом(або дробово-раціональною функцією)називається відношення двох алгебраїчних багаточленів:

де і – багаточлени.

Нагадаємо, що багаточленом (поліномом, цілою раціональною функцією) n-го ступеняназивається функція виду

де – дійсні числа. Наприклад,

- багаточлен першого ступеня;

- багаточлен четвертого ступеня і т.д.

Раціональний дріб (2.1.1) називається правильноюякщо ступінь нижче ступеня, тобто. n<m, в іншому випадку дріб називається неправильною.

Будь-який неправильний дріб можна подати у вигляді суми багаточлена (цілої частини) та правильного дробу (дрібної частини).Виділення цілої та дробової частин неправильного дробу можна проводити за правилом поділу багаточленів «кутом».

Приклад 2.1.1.Виділити цілу та дробову частини наступних неправильних раціональних дробів:

а) , б) .

Рішення . а) Використовуючи алгоритм розподілу «куточком», отримуємо

Таким чином, отримуємо

.

б) Тут також використовуємо алгоритм поділу «куточком»:

В результаті, отримуємо

.

Підведемо підсумки. Невизначений інтеграл від раціонального дробу в загальному випадку можна уявити сумою інтегралів від багаточлена та від правильного раціонального дробу. Знаходження первісних від многочленів не становить труднощів. Тому надалі розглядатимемо переважно правильні раціональні дроби.

2.1.2. Найпростіші раціональні дроби та їх інтегрування

Серед правильних раціональних дробів виділяють чотири типи, які відносять до найпростішим (елементарним) раціональним дробам:

де - ціле число, , тобто. квадратний тричлен не має дійсних коренів.

Інтегрування найпростіших дробів 1-го та 2-го типу не становить великих труднощів:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Розглянемо тепер інтегрування найпростіших дробів 3-го типу, а дроби 4-го типу не розглядатимемо.

Почнемо з інтегралів виду

.

Цей інтеграл зазвичай обчислюють шляхом виділення повного квадрата в знаменнику. В результаті виходить табличний інтеграл наступного виду

або .

Приклад 2.1.2.Знайти інтеграли:

а) , б) .

Рішення . а) Виділимо із квадратного тричлена повний квадрат:

Звідси знаходимо

б) Виділивши із квадратного тричлена повний квадрат, отримуємо:

Таким чином,

.

Для знаходження інтегралу

можна виділити в чисельнику похідну знаменника і розкласти інтеграл у сумі двох інтегралів: перший їх підстановкою зводиться до вигляду

,

а другий - до розглянутого вище.

Приклад 2.1.3.Знайти інтеграли:

.

Рішення . Зауважимо, що . Виділимо в чисельнику похідну знаменника:

Перший інтеграл обчислюється за допомогою підстановки :

У другому інтегралі виділимо повний квадрат у знаменнику

Остаточно, отримуємо

2.1.3. Розкладання правильного раціонального дробу
на суму найпростіших дробів

Будь-який правильний раціональний дріб можна уявити єдиним чином у вигляді суми найпростіших дробів. Для цього знаменник слід розкласти на множники. З вищої алгебри відомо, що кожен багаточлен із дійсними коефіцієнтами

Введіть функцію, для якої потрібно знайти інтеграл

Після обчислення невизначеного інтеграла, ви зможете отримати безкоштовно ДЕТАЛЬНЕ рішення введеного вами інтеграла.

Знайдемо рішення невизначеного інтеграла від функції f(x) (першоподібну функції).

Приклади

Із застосуванням ступеня
(квадрат і куб) та дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Квадратний корінь

Sqrt(x)/(x + 1)

Кубічний корінь

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Із застосуванням синуса та косинуса

2*sin(x)*cos(x)

Арксинус

X*arcsin(x)

Арккосінус

X*arccos(x)

Застосування логарифму

X * log (x, 10)

Натуральний логарифм

експонента

Tg(x)*sin(x)

Котангенс

Ctg(x)*cos(x)

Ірраціональне дроби

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

X*arctg(x)

Арккотангенс

X*arcctg(x)

Гіберболічний синус та косинус

2*sh(x)*ch(x)

Гіберболічні тангенс та котангенс

Ctgh(x)/tgh(x)

Гіберболічні арксинус та арккосинус

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Гіберболічні арктангенс та арккотангенс

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Правила введення виразів та функцій

Вирази можуть складатися з функцій (позначення наведено в алфавітному порядку): absolute(x)Абсолютне значення x
(модуль xабо |х|) arccos(x)Функція - арккосинус від x arccosh(x)Арккосинус гіперболічний від x arcsin(x)Арксинус від x arcsinh(x)Арксинус гіперболічний від x arctg(x)Функція - арктангенс від x arctgh(x)Арктангенс гіперболічний від x e eчисло, яке приблизно дорівнює 2.7 exp(x)Функція - експонента від x(що і e^x) log(x) or ln(x)Натуральний логарифм від x
(Щоб отримати log7(x), треба ввести log(x)/log(7) (або, наприклад, для log10(x)=log(x)/log(10)) piЧисло - "Пі", яке приблизно дорівнює 3.14 sin(x)Функція - Сінус від x cos(x)Функція - Косинус від x sinh(x)Функція - Синус гіперболічний від x cosh(x)Функція - Косинус гіперболічний від x sqrt(x)Функція - квадратний корінь з x sqr(x)або x^2Функція - Квадрат x tg(x)Функція - Тангенс від x tgh(x)Функція - Тангенс гіперболічний від x cbrt(x)Функція - кубічний корінь з x

У виразах можна застосовувати такі операції: Справжні числавводити у вигляді 7.5 , не 7,5 2*x- множення 3/x- розподіл x^3- зведення в ступінь x + 7- додавання x - 6- віднімання
Інші функції: floor(x)Функція - округлення xу меншу сторону (приклад floor(4.5)==4.0) ceiling(x)Функція - округлення xу велику сторону (приклад ceiling(4.5)==5.0) sign(x)Функція - Знак x erf(x)Функція помилок (або інтеграл ймовірності) laplace(x)Функція Лапласа

Для інтегрування раціональної функції \(\large\frac((P\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize,\) де \((P\left(x \right) ))\) та \((Q\left(x \right))\) − поліноми, використовується наступна послідовність кроків:

Якщо дріб неправильний (тобто ступінь \((P\left(x \right))\) більший за ступінь \((Q\left(x \right))\)), перетворити його на правильний, виділивши ціле вираження;

Розкласти знаменник \((Q\left(x \right))\) на добуток одночленів та/або нескоротних квадратичних виразів;

Розкласти раціональний дріб на найпростіші дроби, використовуючи ;

Обчислити інтеграли від найпростіших дробів.

Крок 1. Перетворення неправильного раціонального дробу

Якщо дріб неправильний (тобто ступінь чисельника \((P\left(x \right))\) більший за ступінь знаменника \((Q\left(x \right))\)), розділимо багаточлен \((P\) left(x \right))\) на \((Q\left(x \right)).\) Отримаємо наступний вираз: \[\frac((P\left(x \right))))((Q\left (x \right))) = F\left(x \right) + \frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \right)))),\] де \(\ large\frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize\) − правильний раціональний дріб.

Крок 2. Розкладання знаменника на найпростіші дроби

Запишемо багаточлен знаменника \((Q\left(x \right))\) у вигляді \[ (Q\left(x \right) ) = ((\left((x - a) \right)^\alpha ) \ cdots (\left((x - b) \right)^\beta )(\left(((x^2) + px + q) \right)^\mu ) \cdots (\left(((x^2) ) + rx + s) \right)^\nu ),) \] де квадратичні функції є нескоротними, тобто не мають дійсних коренів.

Крок 3. Розкладання раціонального дробу у сумі найпростіших дробів.

Запишемо раціональну функцію в наступному вигляді: \[(\frac((R\left(x \right))))((Q\left(x \right))) = \frac(A)(((((\left(( x - a) \right))^\alpha ))) + \frac(((A_1))))((((\left((x - a) \right))^(\alpha - 1))))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((A_(\alpha - 1)))))((x - a)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(B)(((((\left( (x - b) \right))^\beta ))) + \frac(((B_1))))((((\left((x - b) \right))^(\beta - 1)))) ) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((B_(\beta - 1)))))((x - b)) )\kern0pt (+ \frac((Kx + L)))((((\ left(((x^2) + px + q) \right))^\mu ))) + \frac(((K_1)x + (L_1))))((((\left(((x^2) ) + px + q) \right))^(\mu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((K_(\mu - 1)))x + (L_(\mu - 1) ))))(((x^2) + px + q)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac((Mx + N))((((\left(((x^2) + rx +) s) \right))^\nu ))) + \frac(((M_1)x + (N_1))))((((\left(((x^2) + rx + s) \right))^ (\nu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((M_(\nu - 1))x + (N_(\nu - 1)))))(((x^2) + rx + s)).) \] Загальна кількість невизначених коефіцієнтів \((A_i),\) \((B_i),\) \((K_i),\) \((L_i),\) \((M_i ),\) \((N_i), \ldots\) має дорівнювати ступеню знаменника \((Q\left(x \right)).\)

Потім помножимо обидві частини отриманого рівняння на знаменник \((Q\left(x \right))\) і прирівняємо коефіцієнти при доданках з однаковими ступенями \(x.\) В результаті ми отримаємо систему лінійних рівнянь щодо невідомих коефіцієнтів \((A_i ),\) \((B_i),\) \((K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \((N_i), \ldots\) Ця система завжди має єдине рішення. Описаний алгоритм є метод невизначених коефіцієнтів .

Крок 4. Інтегрування найпростіших раціональних дробів.

Найпростіші дроби, отримані при розкладанні довільного правильного раціонального дробу, інтегруються за допомогою наступних шести формул: \ \ У дробів з квадратичним знаменником спочатку необхідно виділити повний квадрат: \[\int (\frac((Ax + B)))(((((\ left(((x^2) + px + q) \right))^k)))dx) = \int (\frac((At + B")))((((\left(((t^2) ) + (m^2)) \right))^k)))dt) ,\] де \(t = x + \large\frac(p)(2)\normalsize,\) \((m^2 ) = \large\frac((4q - (p^2)))(4)\normalsize,\) \(B" = B - \large\frac((Ap))(2)\normalsize.\) Потім застосовуються наступні формули: \[(4.\;\;\int (\frac((tdt)))((((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^k )))) ) = (\frac(1)((2\left((1 - k) \right)((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^( k - 1)))) ) \] \ Інтеграл \(\large\int\normalsize (\large\frac((dt)))((((\left(((t^2) + (m^2))) \right))^k)))\normalsize) \) може бути обчислений за \(k\) кроків за допомогою формули редукції\[ (6.\;\;\int (\frac((dt)))((((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^k))))) = (\frac(t)((2(m^2)\left((k - 1) \right)((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^( k - 1)))) ) (+ \frac((2k - 3))((2(m^2)\left((k - 1) \right)))\int (\frac((dt)) ((((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^(k - 1))))) ) \]