Як взяти похідну від числа. Похідні чисел: методи обчислення та приклади. Похідна логарифмічна функція

На якому ми розібрали найпростіші похідні, а також познайомились із правилами диференціювання та деякими технічними прийомами знаходження похідних. Таким чином, якщо з похідними функцій у Вас не дуже або якісь моменти цієї статті будуть не зовсім зрозумілі, то спочатку ознайомтеся з вищезгаданим уроком. Будь ласка, налаштуйтеся на серйозний лад – матеріал не з простих, але я намагаюся викласти його просто і доступно.

На практиці з похідною складної функціїдоводиться стикатися дуже часто, я навіть сказав, майже завжди, коли Вам дано завдання на перебування похідних.

Дивимося в таблицю правило (№5) диференціювання складної функції:

Розбираємось. Насамперед звернемо увагу на запис . Тут у нас дві функції - і, причому функція, образно кажучи, вкладена в функцію. Функція такого виду (коли одна функція вкладена в іншу) і називається складною функцією.

Функцію я називатиму зовнішньою функцією, а функцію – внутрішньою (або вкладеною) функцією.

! Дані визначення не є теоретичними та не повинні фігурувати у чистовому оформленні завдань. Я застосовую неформальні вирази "зовнішня функція", "внутрішня" функція тільки для того, щоб Вам легше було зрозуміти матеріал.

Для того щоб прояснити ситуацію, розглянемо:

Приклад 1

Знайти похідну функції

Під синусом у нас знаходиться не просто буква «ікс», а ціле вираження, тому знайти похідну відразу по таблиці не вийде. Також ми помічаємо, що тут неможливо застосувати перші чотири правила, начебто є різниця, але річ у тому, що «розривати на частини» синус не можна:

У цьому прикладі з моїх пояснень інтуїтивно зрозуміло, що функція – це складна функція, причому многочлен є внутрішньою функцією(Вкладенням), а – зовнішньою функцією.

Перший крок, який потрібно виконати при знаходженні похідної складної функції полягає в тому, щоб розібратися, яка функція є внутрішньою, а яка – зовнішньою.

В разі простих прикладівначебто зрозуміло, що під синус вкладений багаточлен. А як бути, якщо все не очевидно? Як точно визначити яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньою? Для цього я пропоную використовувати наступний прийом, який можна проводити подумки або на чернетці.

Уявимо, що нам потрібно обчислити на калькуляторі значення виразу (замість одиниці може бути будь-яке число).

Що ми обчислимо насамперед? В першу чергунеобхідно виконати таку дію: , тому многочлен і буде внутрішньої функцією :

У другу чергупотрібно буде знайти, тому синус - буде зовнішньою функцією:

Після того, як ми РОЗІБРАЛИСЯз внутрішньою та зовнішньою функціями саме час застосувати правило диференціювання складної функції .

Починаємо вирішувати. З уроку Як знайти похідну?ми пам'ятаємо, що оформлення рішення будь-якої похідної завжди починається так - укладаємо вираз у дужки і ставимо праворуч угорі штрих:

Спочаткузнаходимо похідну зовнішньої функції (синусу), дивимося на таблицю похідних елементарних функцій і помічаємо, що . Всі табличні формули застосовні і в тому випадку, якщо «ікс» замінити складним виразом, в даному випадку:

Зверніть увагу, що внутрішня функція не змінилася, її ми не чіпаємо.

Ну і цілком очевидно, що

Результат застосування формули у чистовому оформленні виглядає так:

Постійний множник зазвичай виносять на початок виразу:

Якщо залишилося якесь непорозуміння, перепишіть рішення на папір і прочитайте пояснення.

Приклад 2

Знайти похідну функції

Приклад 3

Знайти похідну функції

Як завжди записуємо:

Розбираємось, де у нас зовнішня функція, а де внутрішня. Для цього пробуємо (подумки або на чернетці) обчислити значення виразу при . Що потрібно виконати насамперед? В першу чергу потрібно порахувати чому рівна основа: , отже, багаточлен - і є внутрішня функція:

І тільки потім виконується зведення в ступінь , отже, статечна функція - це зовнішня функція:

Згідно з формулою , спочатку потрібно знайти похідну від зовнішньої функції, у разі, від ступеня. Розшукуємо у таблиці необхідну формулу: . Повторюємо ще раз: будь-яка таблічна формуласправедлива не лише для «ікс», а й для складного вираження. Таким чином, результат застосування правила диференціювання складної функції наступний:

Знову наголошую, що коли ми беремо похідну від зовнішньої функції, внутрішня функція у нас не змінюється:

Тепер залишилося знайти зовсім просту похідну від внутрішньої функції і трохи «зачесати» результат:

Приклад 4

Знайти похідну функції

Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку).

Для закріплення розуміння похідної складної функції наведу приклад без коментарів, спробуйте самостійно розібратися, поміркувати, де зовнішня і внутрішня функція, чому завдання вирішені саме так?

Приклад 5

а) Знайти похідну функції

б) Знайти похідну функції

Приклад 6

Знайти похідну функції

Тут у нас корінь, а для того, щоб продиференціювати корінь, його потрібно подати у вигляді ступеня. Таким чином, спочатку наводимо функцію в належний для диференціювання вигляд:

Аналізуючи функцію, приходимо до висновку, що сума трьох доданків – це внутрішня функція, а зведення у ступінь – зовнішня функція. Застосовуємо правило диференціювання складної функції :

Ступінь знову представляємо у вигляді радикала (кореня), а для похідної внутрішньої функції застосовуємо просте правило диференціювання суми:

Готово. Можна ще у дужках привести вираз до спільного знаменника та записати все одним дробом. Гарно, звичайно, але коли виходять громіздкі довгі похідні – краще цього не робити (легко заплутатися, припуститися непотрібної помилки, та й викладачеві буде незручно перевіряти).

Приклад 7

Знайти похідну функції

Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку).

Цікаво відзначити, що іноді замість правила диференціювання складної функції можна використовувати правило приватного диференціювання Але таке рішення виглядатиме як збочення незвичайно. Ось характерний приклад:

Приклад 8

Знайти похідну функції

Тут можна використовувати правило диференціювання приватного , але набагато вигідніше знайти похідну через правило диференціювання складної функції:

Підготовляємо функцію для диференціювання – виносимо мінус за знак похідної, а косинус піднімаємо до чисельника:

Косинус – внутрішня функція, зведення у ступінь – зовнішня функція.
Використовуємо наше правило :

Знаходимо похідну внутрішньої функції, косинус скидаємо назад донизу:

Готово. У розглянутому прикладі важливо не заплутатися у знаках. До речі, спробуйте вирішити його за допомогою правила , відповіді повинні збігтися.

Приклад 9

Знайти похідну функції

Це приклад самостійного рішення (відповідь наприкінці уроку).

Досі ми розглядали випадки, коли у нас у складній функції було лише одне вкладення. У практичних завданнях часто можна зустріти похідні, де, як матрьошки, одна в іншу, вкладені відразу 3, а то і 4-5 функцій.

Приклад 10

Знайти похідну функції

Розбираємось у вкладеннях цієї функції. Пробуємо обчислити вираз за допомогою піддослідного значення. Як би ми рахували на калькуляторі?

Спочатку потрібно знайти , отже, арксинус - найглибше вкладення:

Потім цей арксинус одиниці слід звести у квадрат:

І, нарешті, сімку зводимо в ступінь:

Тобто, в даному прикладі у нас три різні функції і два вкладення, при цьому найвнутрішній функцією є арксинус, а зовнішньої функцією – показова функція.

Починаємо вирішувати

Відповідно до правила Спочатку потрібно взяти похідну від зовнішньої функції. Дивимося в таблицю похідних і знаходимо похідну показової функції: Єдина відмінність – замість «ікс» у нас складний вираз, що не скасовує справедливість цієї формули. Отже, результат застосування правила диференціювання складної функції наступний.

Доказ та виведення формул похідної натурального логарифму та логарифму на підставі a. Приклади обчислення похідних від ln 2x, ln 3x та ln nx. Доказ формули похідної логарифму n-го порядку шляхом математичної індукції.

Зміст

Див. також: Логарифм - властивості, формули, графік
Натуральний логарифм - властивості, формули, графік

Виведення формул похідних натурального логарифму та логарифму на підставі a

Похідна натурального логарифму від x дорівнює одиниці, поділеній на x:
(1) (ln x)′ =.

Похідна логарифма на основі a дорівнює одиниці, поділеній на змінну x, помножену на натуральний логарифмвід a:
(2) (log a x)′ =.

Доказ

Нехай є деяке позитивне число, що не дорівнює одиниці. Розглянемо функцію, яка залежить від змінної x , яка є логарифмом на підставі:
.
Ця функція визначена за . Знайдемо її похідну за змінною x. За визначенням, похідна є такою межею:
(3) .

Перетворимо цей вислів, щоб звести його до відомих математичних властивостей та правил. Для цього нам потрібно знати такі факти:
а)Властивості логарифму. Нам знадобляться такі формули:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б)Безперервність логарифму та властивість меж для безперервної функції:
(7) .
Тут - деяка функція, у якої існує межа і ця межа позитивна.
в)Значення другої чудової межі:
(8) .

Застосовуємо ці факти до нашої межі. Спочатку перетворимо алгебраїчне вираз
.
Для цього застосуємо властивості (4) та (5).

.

Скористаємося властивістю (7) та другою чудовою межею (8):
.

І, нарешті, застосуємо властивість (6):
.
Логарифм на підставі eназивається натуральним логарифмом. Він позначається так:
.
Тоді;
.

Тим самим ми отримали формулу (2) похідної логарифму.

Похідна натурального логарифму

Ще раз випишемо формулу похідної логарифму на підставі a:
.
Ця формула має найпростіший вид для натурального логарифму, для якого . Тоді
(1) .

Через таку простоту, натуральний логарифм дуже широко використовується в математичному аналізі та інших розділах математики, пов'язаних з диференціальним обчисленням. Логарифмічні функції з іншими основами можна виразити через натуральний логарифм, використовуючи властивість (6):
.

Похідну логарифму з основи можна знайти з формули (1), якщо винести постійну за знак диференціювання:
.

Інші способи підтвердження похідної логарифму

Тут ми припускаємо, що нам відома формула похідної експоненти:
(9) .
Тоді ми можемо вивести формулу похідної натурального логарифму з огляду на те, що логарифм є зворотною функцією до експоненти.

Доведемо формулу похідної натурального логарифму, застосувавши формулу похідної зворотної функції:
.
У нашому випадку . Зворотною функцією до натурального логарифму є експонент:
.
Її похідна визначається за такою формулою (9). Змінні можна позначити будь-якою літерою. У формулі (9) замінимо змінну x на y:
.
Оскільки , то
.
Тоді
.
Формулу доведено.

Тепер доведемо формулу похідної натурального логарифму за допомогою правила диференціювання складної функції. Оскільки функції і є зворотними одна до одної, то
.
Диференціюємо це рівняння по змінній x:
(10) .
Похідна від ікса дорівнює одиниці:
.
Застосовуємо правило диференціювання складної функції:
.
Тут. Підставимо в (10):
.
Звідси
.

приклад

Знайти похідні від ln 2x, ln 3xі ln nx.

Вихідні функції мають схожий вигляд. Тому ми знайдемо похідну від функції y = ln nx. Потім підставимо n = 2 та n = 3 . І, тим самим, отримаємо формули для похідних від ln 2xі ln 3x .

Отже, шукаємо похідну від функції
y = ln nx .
Уявімо цю функцію як складну функцію, що складається з двох функцій:
1) Функції, яка залежить від змінної: ;
2) Функції, яка залежить від змінної: .
Тоді вихідна функція складена з функцій та:
.

Знайдемо похідну від функції змінної x:
.
Знайдемо похідну від функції змінної :
.
Застосовуємо формулу похідної складної функції.
.
Тут ми підставили.

Отже, ми знайшли:
(11) .
Ми, що похідна залежить від n . Цей результат є цілком природним, якщо перетворити вихідну функцію, застосовуючи формулу логарифму від твору:
.
– це постійна. Її похідна дорівнює нулю. Тоді за правилом диференціювання суми маємо:
.

; ; .

Похідна логарифма модуля x

Знайдемо похідну від ще однієї дуже важливої ​​функції- натурального логарифму від модуля x:
(12) .

Розглянемо випадок. Тоді і функція має вигляд:
.
Її похідна визначається за формулою (1):
.

Тепер розглянемо випадок. Тоді і функція має вигляд:
,
де.
Але похідну цієї функції ми також знайшли у наведеному вище прикладі. Вона не залежить від n і дорівнює
.
Тоді
.

Об'єднуємо ці два випадки в одну формулу:
.

Відповідно, для логарифму на підставі a маємо:
.

Похідні вищих порядків натурального логарифму

Розглянемо функцію
.
Ми знайшли її похідну першого порядку:
(13) .

Знайдемо похідну другого порядку:
.
Знайдемо похідну третього порядку:
.
Знайдемо похідну четвертого порядку:
.

Можна помітити, що похідна n-го порядку має вигляд:
(14) .
Доведемо це методом математичної індукції.

Доказ

Підставимо у формулу (14) значення n = 1:
.
Оскільки , то за n = 1 , Формула (14) справедлива.

Припустимо, що формула (14) виконується за n = k . Доведемо, що з цього випливає, що формула справедлива за n = k + 1 .

Справді, за n = k маємо:
.
Диференціюємо по змінній x:

.
Отже, ми отримали:
.
Ця формула збігається з формулою (14) за n = k + 1 . Таким чином, з припущення, що формула (14) справедлива за n = k випливає, що формула (14) справедлива за n = k + 1 .

Тому формула (14) для похідної n-го порядку справедлива для будь-яких n .

Похідні вищих порядків логарифму на основі a

Щоб знайти похідну n-го порядку від логарифму на підставі a потрібно виразити його через натуральний логарифм:
.
Застосовуючи формулу (14), знаходимо n-ю похідну:
.

Див. також:

При виведенні першої формули таблиці виходити з визначення похідної функції у точці. Візьмемо, де x- будь-яке дійсне число, тобто, x- Будь-яке число з області визначення функції. Запишемо межу відношення збільшення функції до збільшення аргументу при:

Слід зазначити, що під знаком межі виходить вираз, який не є невизначеністю нуль ділити на нуль, тому що в чисельнику знаходиться не нескінченно мала величина, а саме нуль. Іншими словами, збільшення постійної функції завжди дорівнює нулю.

Таким чином, похідна постійної функціїдорівнює нулю по всій області визначення.

Похідна статечної функції.

Формула похідної статечної функціїмає вигляд де показник ступеня p- Будь-яке дійсне число.

Доведемо спочатку формулу для натурального показника ступеня, тобто для p = 1, 2, 3, …

Будемо користуватися визначенням похідної. Запишемо межу відношення збільшення статечної функції до збільшення аргументу:

Для спрощення виразу в чисельнику звернемося до формули бінома Ньютона:

Отже,

Цим доведено формулу похідної статечної функції для натурального показника.

Похідна показової функції.

Висновок формули похідної наведемо на основі визначення:

Прийшли до невизначеності. Для її розкриття введемо нову змінну, причому при. Тоді. В останньому переході ми використали формулу переходу до нової основи логарифму.

Виконаємо підстановку у вихідну межу:

Якщо згадати другу чудову межу, то прийдемо до формули похідної показової функції:

Похідна логарифмічна функція.

Доведемо формулу похідної логарифмічної функції всім xв галузі визначення та всіх допустимих значеннях підстави aлогарифму. За визначенням похідної маємо:

Як Ви помітили, за доказом перетворення проводилися з використанням властивостей логарифму. Рівність справедливо з другого чудової межі.

Похідні тригонометричних функцій.

Для виведення формул похідних тригонометричних функцій нам доведеться згадати деякі формули тригонометрії, а також перша чудова межа.

За визначенням похідної для функції синуса маємо .

Скористаємося формулою різниці синусів:

Залишилося звернутися до першої чудової межі:

Таким чином, похідна функції sin xє cos x.

Абсолютно аналогічно доводиться формула похідної косинуса.

Отже, похідна функції cos xє -sin x.

Виведення формул таблиці похідних для тангенсу та котангенсу проведемо з використанням доведених правил диференціювання (похідна дробу).

Похідні гіперболічні функції.

Правила диференціювання та формула похідної показової функції з таблиці похідних дозволяють вивести формули похідних гіперболічного синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.

Похідна зворотної функції.

Щоб при викладі не було плутанини, давайте позначати в нижньому індексі аргумент функції, за яким виконується диференціювання, тобто це похідна функції f(x)по x.

Тепер сформулюємо правило знаходження похідної зворотної функції.

Нехай функції y = f(x)і x = g(y)взаємно зворотні, визначені на інтервалах та відповідно. Якщо у точці існує кінцева відмінна від нуля похідна функції f(x), то в точці існує кінцева похідна зворотної функції g(y), причому . В іншому записі .

Можна це правило переформулювати для будь-кого xз проміжку, тоді отримаємо .

Перевіримо справедливість цих формул.

Знайдемо зворотну функцію для натурального логарифму (тут y- функція, а x- Аргумент). Дозволивши це рівняння щодо x, отримаємо (тут x- функція, а y- Її аргумент). Тобто, та взаємно зворотні функції.

З таблиці похідних бачимо, що і .

Переконаємося, що формули знаходження похідних зворотної функції призводять нас до цих результатів:

Як бачите, отримали такі ж результати, як і в таблиці похідних.

Тепер ми маємо знання для доказу формул похідних зворотних тригонометричних функцій.

Почнемо з похідної арксинусу.

. Тоді за формулою похідної зворотної функції отримуємо

Залишилось провести перетворення.

Оскільки областю значень арксинусу є інтервал , то (Дивіться розділ основні елементарні функції, їх властивості та графіки). Тому, а не розглядаємо.

Отже, . Областю визначення похідної арксинусу є проміжок (-1; 1) .

Для арккосинусу все робиться абсолютно аналогічно:

Знайдемо похідну арктангенсу.

Для зворотної функцією є .

Виразимо арктангенс через арккосинус, щоб спростити отриманий вираз.

Нехай arctgx = zтоді

Отже,

Так само знаходиться похідна арккотангенса:

Напевно, поняття похідної знайоме кожному з нас зі школи. Зазвичай в учнів виникають труднощі з розумінням цієї, безперечно, дуже важливої ​​речі. Вона активно застосовується в різних сферах життя людей, і багато інженерних розробок були засновані саме на математичних розрахунках, отриманих за допомогою похідної. Але перш ніж перейти до розбору того, що ж таке похідні чисел, як їх обчислювати і де вони нам знадобляться, зануримося трохи в історію.

Історія

Що є основою математичного аналізу, було відкрито (краще навіть сказати "винайдено", тому що в природі воно як таке не існувало) Ісааком Ньютоном, якого ми всі знаємо щодо відкриття закону всесвітнього тяжіння. Саме він уперше застосував у фізиці це поняття для зв'язування природи швидкості та прискорення тіл. І багато вчених досі вихваляють Ньютона за цей чудовий винахід, адже по суті він винайшов основу диференціального та інтегрального обчислення, фактично основу цілої галузі математики під назвою "математичний аналіз". Якби в той час була Нобелівська премія, Ньютон з великою ймовірністю отримав би її кілька разів.

Не обійшлося і без інших великих умів. Крім Ньютона над розвитком похідної та інтеграла попрацювали такі імениті генії математики, як Леонард Ейлер, Луї Лагранж та Готфрід Лейбніц. Саме завдяки ним ми отримали теорію у такому вигляді, в якому вона існує до сьогодні. До речі, це Лейбніц відкрив геометричний змістпохідною, яка виявилася нічим іншим, як тангенсом кута нахилу, що стосується графіку функції.

Що таке похідні чисел? Трохи повторимо те, що проходили у школі.

Що таке похідна?

Визначати це поняття можна кількома різними способами. Найпростіше пояснення: похідна – це швидкість зміни функції. Представимо графік якоїсь функції y від x. Якщо це не пряма, то вона має деякі вигини у графіку, періоди зростання та спадання. Якщо брати який-небудь нескінченно малий проміжок цього графіка, він буде відрізком прямий. Так ось, відношення розміру цього нескінченно малого відрізка по координаті y до розміру по координаті x і буде похідною цієї функції в даній точці. Якщо розглядати функцію загалом, а чи не у конкретній точці, ми отримаємо функцію похідної, тобто певну залежність ігорок від икс.

До того ж крім швидкості зміни функції є ще й геометричний зміст. Про нього ми зараз і поговоримо.

Геометричний зміст

Похідні чисел власними силами є деяке число, яке без належного розуміння несе ніякого сенсу. Виявляється, похідна не тільки показує швидкість зростання або зменшення функції, а також тангенс кута нахилу щодо графіку функції в даній точці. Не зовсім зрозуміле визначення. Розберемо його докладніше. Допустимо, у нас є графік будь-якої функції (для інтересу візьмемо криву). На ній є безліч точок, але є такі області, де тільки одна єдина точка має максимум або мінімум. Через будь-яку таку точку можна провести пряму, яка була перпендикулярна графіку функції в цій точці. Така лінія називатиметься дотичною. Допустимо, ми провели її до перетину з віссю OX. Так ось, отриманий між дотичною і віссю OX кут буде визначатися похідною. А точніше, тангенс цього кута дорівнюватиме їй.

Поговоримо трохи про окремі випадки і розберемо похідні чисел.

Приватні випадки

Як ми вже казали, похідні чисел – це значення похідної у конкретній точці. Ось, наприклад, візьмемо функцію y=x 2 . Похідна x - число, а в загальному випадку - функція, що дорівнює 2 * x. Якщо нам необхідно обчислити похідну, скажімо, у точці x 0 = 1, то отримуємо y"(1) = 2 * 1 = 2. Все дуже просто. Цікавий випадок представляє похідна Вдаватися в докладне пояснення того, що таке комплексне число, ми не Скажемо лише, що це число, яке містить у собі так звану уявну одиницю - число, квадрат якого дорівнює -1 Обчислення такої похідної можливе лише за наявності наступних умов:

1) Повинні існувати приватні похідні першого порядку від дійсної та уявної частини за ігроками та ікс.

2) Виконуються умови Коші-Рімана, пов'язані з рівністю приватних похідних, описаних у першому пункті.

Іншим цікавим випадком, хоча й таким складним як попередній, є похідна негативного числа. Насправді будь-яке негативне число можна як позитивне, помножене на -1. Ну а похідна постійної та функції дорівнює постійній, помноженій на похідну функції.

Цікаво буде дізнатися про роль похідної у повсякденному житті, і саме це зараз обговоримо.

Застосування

Напевно, кожен із нас хоч раз у житті ловить себе на думці, що математика навряд чи знадобиться йому. А така складна штука, як похідна, мабуть взагалі не має застосування. Насправді математика - і всі її плоди розвиває в основному фізика, хімія, астрономія і навіть економіка. Похідна започаткувала що дала нам можливість робити висновки з графіків функцій, і ми навчилися інтерпретувати закони природи та звертати їх на свою користь завдяки йому.

Висновок

Звичайно, не кожному, можливо, стане в нагоді похідна в реального життя. Але математика розвиває логіку, яка точно буде потрібна. Адже не дарма математику називають царицею наук: з неї складаються основи розуміння інших галузей знань.

Доказ та виведення формул похідної експоненти (e у ступені x) та показової функції (a у ступені x). Приклади обчислення похідних від e^2x, e^3x та e^nx. Формули похідних вищих систем.

Зміст

Див. також: Показова функція – властивості, формули, графік
Експонента, e у ступені x - властивості, формули, графік

Основні формули

Похідна експоненти дорівнює самій експоненті (похідна e у ступені x дорівнює e у ступені x):
(1) (e x )′ = e x.

Похідна показової функції з основою ступеня a дорівнює самій функції, помноженій на натуральний логарифм від a:
(2) .

Експонента - це показова функція, у якої основа ступеня дорівнює числу e, яке є такою межею:
.
Тут може бути як натуральним, так і дійсним числом. Далі ми виводимо формулу (1) похідної експоненти.

Висновок формули похідної експоненти

Розглянемо експоненту, e у ступені x :
y = e x.
Ця функція визначена всім . Знайдемо її похідну за змінною x. За визначенням, похідна є такою межею:
(3) .

Перетворимо цей вислів, щоб звести його до відомих математичних властивостей та правил. Для цього нам знадобляться такі факти:
а)Властивість експоненти:
(4) ;
Б)Властивість логарифму:
(5) ;
в)Безперервність логарифму та властивість меж для безперервної функції:
(6) .
Тут - деяка функція, у якої існує межа і ця межа позитивна.
г)Значення другої чудової межі:
(7) .

Застосовуємо ці факти до нашої межі (3). Використовуємо властивість (4):
;
.

Зробимо підстановку. Тоді; .
В силу безперервності експоненти,
.
Тому за , . В результаті отримуємо:
.

Зробимо підстановку. Тоді. При , . І ми маємо:
.

Застосуємо властивість логарифму (5):
. Тоді
.

Застосуємо властивість (6). Оскільки існує позитивна межа та логарифм безперервний, то:
.
Тут ми також скористалися другою чудовою межею (7). Тоді
.

Таким чином, ми отримали формулу (1) похідної експоненти.

Висновок формули похідної показової функції

Тепер виведемо формулу (2) похідної показової функції з основою ступеня a. Ми вважаємо, що і . Тоді показова функція
(8)
Визначено для всіх.

Перетворимо формулу (8). Для цього скористаємося властивостями показової функції та логарифму.
;
.
Отже, ми перетворили формулу (8) на такий вид:
.

Похідні вищих порядків від e до ступеня x

Тепер знайдемо похідні найвищих порядків. Спочатку розглянемо експоненту:
(14) .
(1) .

Ми, що похідна від функції (14) дорівнює самій функції (14). Диференціюючи (1), отримуємо похідні другого та третього порядку:
;
.

Звідси видно, що похідна n-го порядку також дорівнює вихідній функції:
.

Похідні вищих порядків показової функції

Тепер розглянемо показову функціюз основою ступеня a:
.
Ми знайшли її похідну першого порядку:
(15) .

Диференціюючи (15), отримуємо похідні другого та третього порядку:
;
.

Ми, що кожне диференціювання призводить до множення вихідної функції на . Тому похідна n-го порядку має такий вигляд:
.

Див. також: