На дифракційні ґрати падає біле світло. Шкільна енциклопедія Дифракція рентгенівських променів у кристалах та рентгеноструктурний аналіз

Теми кодифікатора ЄДІ: дифракція світла, дифракційна решітка.

Якщо на шляху хвилі виникає перешкода, то відбувається дифракція - Відхилення хвилі від прямолінійного поширення. Це відхилення не зводиться до відображення або заломлення, а також викривлення ходу променів внаслідок зміни показника заломлення середовища.

Нехай, наприклад, плоска хвиля падає на екран із досить вузькою щілиною (рис. 1). На виході зі щілини виникає хвиля, що розходиться, і ця розбіжність посилюється зі зменшенням ширини щілини.

Взагалі, дифракційні явища виражені тим виразніше, чим дрібніша перешкода. Найбільш істотна дифракція у випадках, коли розмір перешкоди менше чи порядку довжини хвилі. Саме такій умові має задовольняти ширина щілини на рис. 1.

Дифракція, як і інтерференція, властива всім видам хвиль – механічним та електромагнітним. Видимий світло є окремий випадок електромагнітних хвиль; тому тому, що можна спостерігати
дифракцію світла.

Так, на рис. 2 зображено дифракційну картину, отриману в результаті проходження лазерного променя крізь невеликий отвір діаметром 0,2мм.

Ми бачимо, як і належить, центральна яскрава пляма; Дуже далеко від плями розташована темна область - геометрична тінь. Але навколо центральної плями – замість чіткої межі світла та тіні! - йдуть світлі і темні кільця, що чергуються. Що далі від центру, то менш яскравими стають світлі кільця; вони поступово зникають у тіні.

Нагадує інтерференцію, чи не так? Це вона є; дані кільця є інтерференційними максимумами та мінімумами. Які хвилі тут інтерферують? Скоро ми розберемося з цим питанням, а заразом і з'ясуємо, чому взагалі спостерігається дифракція.

Але насамперед не можна не згадати перший класичний експеримент з інтерференції світла - досвід Юнга, у якому суттєво використовувалося явище дифракції.

Досвід Юнга.

Будь-який експеримент з інтерференцією світла містить деякий спосіб отримання двох світлових когерентних хвиль. У досвіді з дзеркалами Френеля, як пам'ятаєте, когерентними джерелами були два зображення однієї й тієї ж джерела, отримані обох дзеркалах.

Сама проста ідея, Яка виникла перш за все, полягала в наступному. Давайте проколемо в шматку картону два отвори і підставимо під сонячні промені. Ці отвори будуть когерентними вторинними джерелами світла, оскільки первинне джерело одне - Сонце. Отже, на екрані в області перекриття пучків, що розходяться від отворів, ми маємо побачити інтерференційну картину.

Такий досвід було поставлено задовго до Юнга італійським ученим Франческо Грімальді (який відкрив дифракцію світла). Однак інтерференції не спостерігалося. Чому ж? Питання це не дуже просте, і причина полягає в тому, що Сонце - не точкове, а протяжне джерело світла (кутовий розмір Сонця дорівнює 30 кутовим хвилинам). Сонячний диск складається з багатьох точкових джерел, кожен з яких дає на екрані свою інтерференційну картину. Накладаючись, ці окремі картини "змазують" одна одну, і в результаті на екрані виходить рівномірна освітленість області перекриття пучків.

Але якщо Сонце надмірно "велике", то потрібно штучно створити точковийпервинне джерело. З цією метою у досвіді Юнга використано маленький попередній отвір (рис. 3).

Мал. 3. Схема досвіду Юнга

Плоска хвиля падає на перший отвір, і за отвором виникає світловий конус, що розширюється внаслідок дифракції. Він досягає наступних двох отворів, що стають джерелами двох когерентних світлових конусів. Ось тепер – завдяки точковості первинного джерела – в області перекриття конусів спостерігатиметься інтерференційна картина!

Томас Юнг здійснив цей експеримент, виміряв ширину інтерференційних смуг, вивів формулу та за допомогою цієї формули вперше обчислив довжини хвиль видимого світла. Ось чому цей досвід увійшов до числа найзнаменитіших в історії фізики.

Принцип Гюйгенса-Френеля.

Нагадаємо формулювання принципу Гюйгенса: кожна точка, залучена до хвильового процесу, є джерелом вторинних сферичних хвиль; ці хвилі поширюються від цієї точки, як із центру, на всі боки і накладаються один на одного.

Але виникає природне питання: а що означає "накладаються"?

Гюйгенс звів свій принцип до чисто геометричного способу побудови нової хвильової поверхні як огинаючої родини сфер, що розширюються від кожної точки вихідної хвильової поверхні. Побічні хвилі Гюйгенса - це математичні сфери, а чи не реальні хвилі; їхня сумарна дія проявляється тільки на огинаючій, тобто на новому положенні хвильової поверхні.

У такому вигляді принцип Гюйгенса не давав відповіді питанням, чому у процесі поширення хвилі немає хвиля, що у зворотному напрямі. Не пояснені залишалися і дифракційні явища.

Модифікація принципу Гюйгенса відбулася лише 137 років. Огюстен Френель замінив допоміжні геометричні сфери Гюйгенса на реальні хвилі та припустив, що ці хвилі інтерферуютьодин з одним.

Принцип Гюйгенса-Френеля. Кожна точка хвильової поверхні є джерелом вторинних сферичних хвиль. Всі ці вторинні хвилі є когерентними зважаючи на спільність їх походження від первинного джерела (і, таким чином, можуть інтерферувати один з одним); хвильовий процес у навколишньому просторі є результатом інтерференції вторинних хвиль.

Ідея Френеля наповнила принцип Гюйгенса фізичним змістом. Вторинні хвилі, інтерферуючи, посилюють один одного на обігає своїх хвильових поверхонь у напрямку "вперед", забезпечуючи подальше поширення хвилі. А в напрямку "назад" відбувається їхня інтерференція з вихідною хвилею, спостерігається взаємне гасіння, і зворотна хвиля не виникає.

Зокрема світло поширюється там, де вторинні хвилі взаємно посилюються. А в місцях ослаблення вторинних хвиль ми бачитимемо темні ділянки простору.

Принцип Гюйгенса-Френеля висловлює важливу фізичну ідею: хвиля, віддалившись від свого джерела, надалі "живе своїм життям" і вже ніяк від цього джерела не залежить. Захоплюючи нові ділянки простору, хвиля поширюється дедалі далі внаслідок інтерференції вторинних хвиль, збуджених у різних точках простору з проходження хвилі.

Як принцип Гюйгенса-Френеля пояснює явище дифракції? Чому, наприклад, відбувається дифракція на отворі? Справа в тому, що з нескінченної плоскої хвильової поверхні падаючої хвилі екранний отвір вирізає лише маленький диск, що світиться, і наступне світлове поле виходить в результаті інтерференції хвиль вторинних джерел, розташованих вже не на всій площині, а лише на цьому диску. Звичайно, нові хвильові поверхні тепер не будуть плоскими; хід променів викривляється, і хвиля починає поширюватися у різних напрямах, які збігаються з початковим. Хвиля огинає краї отвору та проникає в область геометричної тіні.

Побічні хвилі, випущені різними точками вирізаного світлого диска, інтерферують один з одним. Результат інтерференції визначається різницею фаз вторинних хвиль і залежить від кута відхилення променів. В результаті виникає чергування інтерференційних максимумів та мінімумів – що ми й бачили на рис. 2 .

Френель не тільки доповнив принцип Гюйгенса важливою ідеєю когерентності та інтерференції вторинних хвиль, а й вигадав свій знаменитий метод вирішення дифракційних завдань, заснований на побудові так званих зон Френеля. Вивчення зон Френеля не входить до шкільної програми - про них ви дізнаєтеся вже у курсі фізики. Тут ми згадаємо лише, що Френелю у межах своєї теорії вдалося дати пояснення нашого першого закону геометричної оптики - закону прямолінійного поширення світла.

Дифракційні грати.

Дифракційні грати - це оптичний прилад, що дозволяє отримувати розкладання світла на спектральні складові та вимірювати довжини хвиль. Дифракційні грати бувають прозорими та відбивними.

Ми розглянемо прозорі дифракційні грати. Вона складається з великої кількості щілин ширини, розділених проміжками ширини (рис. 4). Світло проходить лише крізь щілини; проміжки світло не пропускають. Величина називається періодом ґрат.

Мал. 4. Дифракційні грати

Дифракційні грати виготовляються за допомогою так званої ділильної машини, яка наносить штрихи на поверхню скла або прозорої плівки. При цьому штрихи виявляються непрозорими проміжками, а незаймані місця є щілинами. Якщо, наприклад, дифракційна решітка містить 100 штрихів на міліметр, то період такої решітки дорівнюватиме: d= 0,01 мм= 10 мкм.

Спершу ми подивимося, як проходить крізь решітку монохроматичне світло, тобто світло зі строго певною довжиною хвилі. Відмінним прикладом монохроматичного світла служить промінь лазерної указки (довжина хвилі близько 0,65 мкм).

На рис. 5 ми бачимо такий промінь, що падає на одну з дифракційних ґрат стандартного набору. Щілини ґрат розташовані вертикально, і на екрані за ґратами спостерігаються періодично розташовані вертикальні смуги.

Як ви зрозуміли, це інтерференційна картина. Дифракційні грати розщеплює падаючу хвилю на безліч когерентних пучків, які розповсюджуються в усіх напрямках і інтерферують один з одним. Тому на екрані ми бачимо чергування максимумів та мінімумів інтерференції – світлих та темних смуг.

Теорія дифракційної ґрат дуже складна і в усій своїй повноті виявляється далеко за рамками шкільної програми. Вам слід знати лише елементарні речі, пов'язані з однією-єдиною формулою; ця формула визначає положення максимумів освітленості екрану за дифракційною решіткою.

Отже, нехай на дифракційні ґрати з періодом падає плоска монохроматична хвиля (рис. 6). Довжина хвилі дорівнює.

Мал. 6. Дифракція на ґратах

Для більшої чіткості інтерференційної картини можна поставити лінзу між гратами та екраном, а екран помістити у фокальній площині лінзи. Тоді вторинні хвилі, що йдуть паралельно від різних щілин, зберуться в одній точці екрану (побічний фокус лінзи). Якщо ж екран розташований досить далеко, то особливої ​​необхідності в лінзі немає - промені, що приходять у дану точкуекрани від різних щілин будуть і так майже паралельні один одному.

Розглянемо вторинні хвилі, що відхиляються на кут. Різниця ходу між двома хвилями, що йдуть від сусідніх щілин, дорівнює маленькому катету прямокутного трикутника з гіпотенузою; або, що те саме, ця різниця ходу дорівнює катету трикутника . Але кут дорівнює куту, оскільки це гострі кути із взаємно перпендикулярними сторонами. Отже наша різниця ходу дорівнює .

Інтерференційні максимуми спостерігаються в тих випадках, коли різниця ходу дорівнює довжині хвиль:

(1)

При виконанні цієї умови всі хвилі, що надходять у крапку від різних щілин, будуть складатися у фазі і посилювати один одного. Лінза при цьому не вносить додаткової різниці ходу – незважаючи на те, що різні промені проходять через лінзу різними шляхами. Чому так виходить? Ми не вдаватимемося в це питання, оскільки його обговорення виходить за межі ЄДІ з фізики.

Формула (1) дозволяє знайти кути, що задають напрямки на максимуми:

. (2)

При отримуємо Це центральний максимум, або максимум нульового порядку.Різниця ходу всіх вторинних хвиль, що йдуть без відхилення, дорівнює нулю, і в центральному максимумі вони складаються з нульовим зсувом фаз. Центральний максимум - це центр дифракційної картини, найяскравіший із максимумів. Дифракційна картина на екрані симетрична щодо центрального максимуму.

При отримуємо кут:

Цей кут задає напрямки на максимуми першого порядку. Їх два, і вони розташовані симетрично щодо центрального максимуму. Яскравість у максимумах першого порядку дещо менша, ніж у центральному максимумі.

Аналогічно, маємо кут:

Він ставить напрямки на максимуми другого порядку. Їх також два, і вони також розташовані симетрично щодо центрального максимуму. Яскравість у максимумах другого порядку дещо менша, ніж у максимумах першого порядку.

Орієнтовна картина напрямів на максимуми перших двох порядків показана на рис. 7 .

Мал. 7. Максимуми перших двох порядків

Взагалі, два симетричні максимуми k-го порядку визначаються кутом:

. (3)

При невеликих відповідних кутах зазвичай невеликі. Наприклад, при мкм і мкм максимуми першого порядку розташовані під кутом. k-го порядку поступово зменшується зі зростанням k. Скільки максимумів можна побачити? На це питання легко відповісти за допомогою формули (2). Адже синус не може бути більше одиниці, тому:

Використовуючи самі числові дані, як і вище, отримаємо: . Отже, найбільший можливий порядок максимуму даної ґрати дорівнює 15.

Подивіться на рис. 5 . На екрані ми помітні 11 максимумів. Це центральний максимум, а також по два максимуми першого, другого, третього, четвертого та п'ятого порядків.

За допомогою дифракційних ґрат можна виміряти невідому довжину хвилі. Направляємо пучок світла на решітку (період якої ми знаємо), вимірюємо кут на максимум першого
порядку, користуємося формулою (1) та отримуємо:

Дифракційні грати як спектральний прилад.

Вище ми розглядали дифракцію монохроматичного світла, яким є лазерний промінь. Часто доводиться мати справу з немонохроматичнимвипромінюванням. Воно є сумішшю різних монохроматичних хвиль, які складають спектрданого випромінювання. Наприклад, біле світло - це суміш хвиль всього видимого діапазону, від червоного до фіолетового.

Оптичний прилад називається спектральнимякщо він дозволяє розкладати світло на монохроматичні компоненти і тим самим досліджувати спектральний склад випромінювання. Найпростіший спектральний прилад вам добре відомий – це скляна призма. До спектральних приладів належить також і дифракційна решітка.

Припустимо, що на дифракційні грати падає біле світло. Повернімося до формули (2) і подумаємо, які висновки з неї можна зробити.

Положення центрального максимуму () залежить від довжини хвилі. У центрі дифракційної картини зійдуться з нульовою різницею ходу Усемонохроматичні елементи білого світла. Тож у центральному максимумі ми побачимо яскраву білу смугу.

А ось положення максимумів порядку визначаються завдовжки хвилі. Чим менше, тим менше кут для цього. Тому в максимумі k-го порядку монохроматичні хвилі поділяються на просторі: найближчої до центрального максимуму виявиться фіолетова смуга, найдальшою - червона.

Отже, у кожному порядку біле світло розкладається гратами в спектр.
Максимуми першого порядку всіх монохроматичних компонентів утворюють спектр першого порядку; потім йдуть спектри другого, третього тощо порядків. Спектр кожного порядку має вигляд кольорової смуги, в якій є всі кольори веселки - від фіолетового до червоного.

Дифракція білого світла показано на рис. 8 . Ми бачимо білу смугу в центральному максимумі, а з боків – два спектри першого порядку. У міру зростання кута відхилення колір смуг змінюється від фіолетового до червоного.

Але дифракційні грати як дозволяє спостерігати спектри, т. е. проводити якісний аналіз спектрального складу випромінювання. Найважливішою перевагою дифракційної грати є можливість кількісного аналізу - як говорилося вище, ми з її допомогою можемо вимірюватидовжина хвиль. При цьому вимірювальна процедура дуже проста: фактично вона зводиться до вимірювання кута напряму максимум.

Природними прикладами дифракційних ґрат, які у природі, є пір'я птахів, крила метеликів, перламутрова поверхню морської раковини. Якщо, примружившись, подивитися на сонячне світло, то можна побачити райдужне забарвлення навколо вій. Наші вії діють в даному випадку як прозорі дифракційні грати на рис. 6 а як лінзи виступає оптична система рогівки і кришталика.

Спектральне розкладання білого світла, що дається дифракційною решіткою, найпростіше спостерігати, дивлячись на звичайний компакт-диск (рис. 9). Виявляється, доріжки на поверхні диска утворюють відбивну дифракційну решітку!

Зі співвідношення d sin j = mlвидно, що положення основних максимумів, крім центрального ( m= 0), у дифракційній картині від щілинних ґрат залежать від довжини хвилі використовуваного світла l. Тому якщо ґрати висвітлюються білим або іншим немонохроматичним світлом, то для різних значень lвсі дифракційні максимуми, крім центрального, виявляться просторово розділеними. В результаті в дифракційній картині решітки, що освітлюється білим світлом, центральний максимум матиме вигляд білої смуги, а решта – райдужних смуг, званих дифракційними спектрами першого ( m= ± 1), другого ( m= ± 2) і т.д. порядків. У спектрах кожного порядку найбільш відхиленими будуть червоні промені (з великим значенням l, тому що sin j ~ 1 / l), а найменш – фіолетові (з меншим значенням l). Спектри виходять тим чіткішими (у сенсі поділу кольорів), чим більше щілин Nмістить грати. Це випливає з того, що лінійна півширина максимуму обернено пропорційна числу щілин N). Максимальна кількість дифракційних спектрів, що спостерігаються, визначається співвідношенням (3.83). Отже, дифракційна решітка виробляє розкладання складного випромінювання деякі монохроматичні складові, тобто. проводить гармонійний аналіз падаючого нею випромінювання.

Властивість дифракційної решітки розкладати складне випромінювання на гармонійні складові використовують у спектральних апаратах – приладах, службовців на дослідження спектрального складу випромінювання, тобто. для отримання спектра випромінювання та визначення довжин хвиль та інтенсивностей усіх його монохроматичних компонент. Принципова схема спектрального апарату наведено на рис. 6. Світло від джерела, що досліджується, потрапляє на вхідну щілину. Sприладу, що знаходиться у фокальній площині коліматорного об'єктива L 1 . Плоска хвиля, що утворюється при проходженні через коліматор, падає на диспергувальний елемент D, Який використовується дифракційна решітка. Після просторового поділу променів диспергувальним елементом вихідний (камерний) об'єктив L 2 створює монохроматичне зображення вхідної щілини у випромінюванні різних довжин хвиль у фокальній площині. F. Ці зображення (спектральні лінії) у своїй сукупності складають спектр досліджуваного випромінювання.

Як спектральний прилад дифракційна решітка характеризується кутовою та лінійною дисперсією, вільною областю дисперсії та роздільною здатністю. Як спектральний прилад дифракційна решітка характеризується кутовою та лінійною дисперсією, вільною областю дисперсії та роздільною здатністю.

Кутова дисперсія D jхарактеризує зміну кута відхилення jпроменя за зміни його довжини хвилі lі визначається як

D j= dj / dl,

де dj- кутова відстань між двома спектральними лініями, що відрізняються за довжиною хвилі на dl. Диференціюючи співвідношення d sin j = ml, отримаємо d cos j× j¢ l = m, звідки

D j = j¢ l = m / d cos j.

В межах невеликих кутів cos j @ 1, тому можна покласти

D j @ m / d.

Лінійна дисперсія визначається виразом

D l = dl / dl,

де dl- Лінійна відстань між двома спектральними лініями, що відрізняються по довжині хвилі dl.

З рис. 3.24 видно, що dl = f 2 dj, де f 2 – фокусна відстань об'єктива L 2 . З урахуванням цього отримуємо співвідношення, що зв'язує кутову та лінійну дисперсію:

D l = f 2 D j.

Спектри сусідніх порядків можуть перекриватися. Тоді спектральний апарат стає непридатним на дослідження відповідної ділянки спектра. Максимальна ширина D lспектрального інтервалу досліджуваного випромінювання, коли спектри сусідніх порядків ще перекриваються, називається вільної областю дисперсії чи дисперсійної областю спектрального апарату. Нехай довжини хвиль падаючого на решітку випромінювання лежать в інтервалі від lдо l+ D l. Максимальне значення D l, при якому перекриття спектрів ще не відбувається, можна визначити з умови накладання правого кінця спектру m-го порядку для довжини хвилі l+ D lна лівий кінець спектру

(m+ 1)-го порядку для довжини хвилі l, тобто. з умови

d sin j = m(l+ D l) = (m + 1)l,

D l = l / m.

Роздільна здатність RСпектральний прилад характеризує здатність приладу давати окремо дві близькі спектральні лінії і визначається ставленням

R = l / d l,

де d l- Мінімальна різниця довжин хвиль двох спектральних ліній, при якій ці лінії сприймаються як роздільні спектральні лінії. Величину d lназивають роздільною спектральною відстанню. Внаслідок дифракції на діючому отворі об'єктива L 2 кожна спектральна лінія зображується спектральним апаратом не у вигляді лінії, а у вигляді дифракційної картини, розподіл інтенсивності якої має вигляд sinc 2 -функції. Так як спектральні лінії з різн-

ними довжинами хвиль не когерентні, то результуюча дифракційна картина, створювана такими лініями, буде простим накладенням дифракційних картин від кожної щілини окремо; результуюча інтенсивність дорівнюватиме сумі інтенсивностей обох ліній. Згідно з критерієм Релея, спектральні лінії з близькими довжинами хвиль lі l + d lвважаються дозволеними, якщо вони знаходяться на такій відстані d lщо головний дифракційний максимум однієї лінії збігається за своїм становищем з першим дифракційним мінімумом іншої лінії. В цьому випадку на кривій сумарного розподілу інтенсивності (рис. 3.25) утворюється провал (глибиною, що дорівнює 0,2 I 0 , де I 0 – максимальна інтенсивність, однакова для обох спектральних ліній), що дозволяє оку сприймати таку картину як подвійну спектральну лінію. В іншому випадку дві близько розташовані спектральні лінії сприймаються як одна розширена лінія.

Становище m-го головного дифракційного максимуму, що відповідає довжині хвилі lвизначається координатою

x¢ m = f tg j@f sin j = ml f/ d.

Аналогічно знаходимо і становище m-го максимуму, що відповідає довжині хвилі l + d l:

x¢¢ m = m(l + d l) f / d.

При виконанні критерію Релея відстань між цими максимумами становитиме

D x = x¢¢ m - x¢ m= md l f / d

одно їх напівширині d x = l f / d(Тут, як і вище, півширину ми визначаємо по першому нулю інтенсивності). Звідси знаходимо

d l= l / (mN),

і, отже, роздільна здатність дифракційної решітки як спектрального приладу

Таким чином, роздільна здатність дифракційної решітки пропорційна числу щілин Nта порядку спектру m. Поклавши

m = m max @d / l,

отримаємо максимальну роздільну здатність:

R max = ( l /d l) max = m max N@L/ l,

де L = Nd- Ширина робочої частини решітки. Як бачимо, максимальна роздільна здатність щілинних грат визначається тільки шириною робочої частини решітки і середньою довжиною хвилі досліджуваного випромінювання. Знаючи R max , знайдемо мінімально розв'язний інтервал довжин хвиль:

(d l) min @l 2 / L.

Розповсюдження променя в оптично однорідному середовищі — прямолінійне, однак у природі існує низка явищ, де можна спостерігати відхилення від цієї умови.

Дифракція– явище огинання світловими хвилями перешкод. У шкільній фізиці вивчаються дві дифракційні системи (системи при проходженні променя в яких спостерігається дифракція):

• дифракція на щілини (прямокутному отворі)
• дифракція на решітці (набір рівновіддалених один від одного щілин)

- Дифракція на прямокутному отворі (рис. 1).

Мал. 1. Дифракція на щілини

Нехай дана площина зі щілиною, шириною, на яку під прямим кутом падає пучок світла А. Більшість світла проходить на екран, проте частина променів дифрагує на краях щілини (тобто відхиляється від свого первісного напрямку). Далі ці промені один з одним з утворенням дифракційної картини на екрані (чергування яскравих та темних областей). Розгляд законів інтерференції досить складний, тому обмежимося основними висновками.

Отримана дифракційна картина на екрані складається з областей, що чергуються з дифракційними максимумами (максимально світлими областями) і дифракційними мінімумами (максимально темними областями). Ця картина симетрична щодо центрального світлового пучка. Положення максимумів і мінімумів описується кутом щодо вертикалі, під яким вони видно, і залежить від розміру щілини та довжини хвилі падаючого випромінювання. Положення цих областей можна знайти, використовуючи ряд співвідношень:

• для дифракційних максимумів

Нульовим максимумом дифракції називається центральна точка на екрані під щілиною (рис. 1).

• для дифракційних мінімумів

Висновок: за умовами завдання необхідно з'ясувати: максимум або мінімум дифракції необхідно знайти та використати відповідне співвідношення (1) або (2).

Дифракція на дифракційній решітці.

Дифракційною решіткою називається система, що складається з щілин, що чергуються, рівновіддалених один від одного (рис. 2).

Мал. 2. Дифракційні грати (промені)

Так само, як і для щілини, на екрані після дифракційної решітки спостерігатиметься дифракційна картина: чергування світлих і темних областей. Вся картина є результатом інтерференції світлових променів один з одним, проте на картину від однієї щілини впливатиме промені від інших щілин. Тоді дифракційна картина повинна залежати від кількості щілин, їх розмірів та близькості.

Введемо нове поняття - постійні дифракційні грати:

Тоді положення максимумів та мінімумів дифракції:

• для головних дифракційних максимумів(Рис. 3)

ВИЗНАЧЕННЯ

Дифракційними ґратаминазивають спектральний прилад, що є системою деякої кількості щілин, розділених непрозорими проміжками.

Дуже часто на практиці використовують одновимірні дифракційні грати, що складається з паралельних щілин однакової ширини, що знаходяться в одній площині, які поділяють рівними по ширині непрозорими проміжками. Такі ґрати виготовляють за допомогою спеціальної ділильної машини, яка наносить на пластині зі скла паралельні штрихи. Кількість таких штрихів може бути більш як тисяча на один міліметр.

Найкращими вважаються відбивні дифракційні грати. Це сукупність ділянок, що відбивають світло з ділянками, які відбивають світло. Такі решітки є відшліфованою металевою пластиною, на якій штрихи, що розсіюють світло, нанесені різцем.

Картина дифракції на ґратах — це результат взаємної інтерференції хвиль, що йдуть від усіх щілин. Отже, за допомогою дифракційних ґрат реалізується багатопроменева інтерференція когерентних пучків світла, які зазнали дифракції і які йдуть від усіх щілин.

Припустимо, що на дифракційній решітці ширина щілини буде a, ширина непрозорої ділянки - b тоді величина:

називається періодом (постійної) дифракційної решітки.

Картина дифракції на одномірній дифракційній решітці

Припустимо, що нормально до площини дифракційної ґрат падає монохроматична хвиля. Внаслідок того, що щілини розташовані на рівних відстанях один від одного, то різниці ходу променів (), що йдуть від пари сусідніх щілин, для обраного напрямку будуть однакові для всієї цієї дифракційної решітки:

Головні мінімуми інтенсивності спостерігаються у напрямках, визначених умовою:

Крім головних мінімумів, внаслідок взаємної інтерференції променів світла, які посилає пара щілин, у деяких напрямках вони гасять один одного, це означає, що з'являються додаткові мінімуми. Вони виникають у напрямках, де різницю ходу променів становлять непарне число напівхвиль. Умову додаткових мінімумів записують як:

де N - число щілин дифракційної решітки; k' приймає будь-які цілі значення, крім 0, . Якщо грати мають N щілин, між двома головними максимумами знаходяться додатковий мінімум, які поділяють вторинні максимуми.

Умовою головних максимумів для дифракційної решітки є вираз:

Оскільки величина синуса може бути більше одиниці, кількість головних максимумов:

Якщо через ґрати пропускати біле світло, то всі максимуми (крім центрального m=0) будуть розкладені в спектр. При цьому фіолетова область даного спектра буде звернена до центру картини дифракції. Ця властивість дифракційної решітки застосовується для вивчення складу спектру світла. Якщо відомий період решітки, то обчислення довжини хвилі світла можна звести до знаходження кута, який відповідає напрямку максимум.

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

ПРИКЛАД 2

Л3 -4

Дифракція світла

Дифракцією називається огинання хвилями перешкод, що трапляються з їхньої шляху, чи ширшому сенсі – будь-яке відхилення поширення хвиль поблизу перешкод законів геометричної оптики. Завдяки дифракції хвилі можуть потрапляти в область геометричної тіні, огинати перешкоди, проникати через невеликий отвір у екранах тощо.

Між інтерференцією та дифракцією немає суттєвої фізичної відмінності. Обидва явища полягають у перерозподілі світлового потоку внаслідок накладання (суперпозиції) хвиль. З історичних причин відхилення від закону незалежності світлових пучків, що виникає в результаті суперпозиції когерентних хвиль, називається інтерференцією хвиль. Відхилення від закону прямолінійного поширення світла, своєю чергою, прийнято називати дифракцією хвиль.

Спостереження дифракції здійснюється зазвичай за такою схемою. На шляху світлової хвилі, що розповсюджується від деякого джерела, міститься непрозора перешкода, що закриває частину хвильової поверхні світлової хвилі. За перешкодою розташовується екран, де виникає дифракційна картина.

Розрізняють два види дифракції. Якщо джерело світла Sта точка спостереження Pрозташовані від перешкоди настільки далеко, що промені, що падають на перешкоду, і промені, що йдуть у крапку P, утворюють практично паралельні пучки, говорять про дифракції у паралельних променяхабо про дифракції Фраунгофера. В іншому випадку говорять про дифракції Френеля. Дифракцію Фраунгофера можна спостерігати, помістивши за джерелом світла Sі перед точкою спостереження Pпо лінзі так, щоб точки Sі Pопинилися у фокальній площині відповідної лінзи (рис.).

Принципово дифракція Фраунгофера відрізняється від дифракції Френеля. Кількісний критерій, що дозволяє встановити, який вид дифракції має місце, визначається величиною безрозмірного параметра , де b– характерний розмір перешкоди, l– відстань між перешкодою та екраном, на якому спостерігається дифракційна картина,  – довжина хвилі. Якщо

Явище дифракції якісно пояснюється з допомогою принципу Гюйгенса, згідно з яким кожна точка, до якої доходить хвиля, служить центром вторинних хвиль, а обігає хвиль задає положення хвильового фронту в наступний момент часу. Для монохроматичної хвилі хвильова поверхня є поверхнею, на якій коливання відбуваються в однаковій фазі.

Нехай плоска хвиля нормально падає на отвір у непрозорому екрані (мал.). Відповідно до Гюйгенсу, кожна точка виділяється отвором ділянки хвильового фронту є джерелом вторинних хвиль (в ізотропному середовищі вони сферичні). Побудувавши огинаючу вторинних хвиль на деякий час, бачимо, що фронт хвилі входить у область геометричної тіні, тобто. огинає краї отвору.

Принцип Гюйгенса вирішує лише завдання напрямі поширення хвильового фронту, але не торкається питання амплітуді, отже, і інтенсивності на фронті хвилі. З повсякденного досвіду відомо, що у більшості випадків промені світла не відхиляються від їхнього прямолінійного поширення. Так, предмети, освітлені точковим джерелом світла, дають різку тінь. Таким чином, принцип Гюйгенса потребує доповнення, що дозволяє визначати інтенсивність хвилі.

Френель доповнив принцип Гюйгенса ідеєю інтерференції вторинних хвиль. Згідно принципом Гюйгенса-Френеля, світлова хвиля, що збуджується будь-яким джерелом S, може бути представлена ​​як результат суперпозиції когерентних вторинних хвиль, випромінюваних малими елементами деякої замкнутої поверхні, що охоплює джерело S. Зазвичай як ця поверхня вибирають одну з хвильових поверхонь, тому джерела вторинних хвиль діють синфазно. В аналітичному вигляді для точкового джерела цей принцип записується як

, (1) де E– світловий вектор, що включає тимчасову залежність
,k- хвильове число, r- Відстань від точки Pна поверхні Sдо точки P,K- Коефіцієнт, що залежить від орієнтації майданчика по відношенню до джерела і точки P. Правомірність формули (1) та вид функції Kвстановлюється у межах електромагнітної теорії світла (в оптичному наближенні).

У тому випадку, коли між джерелом Sта точкою спостереження Pє непрозорі екрани з отворами, дія цих екранів може бути враховано в такий спосіб. На поверхні непрозорих екранів амплітуди вторинних джерел вважаються рівними нулю; в області отворів амплітуди джерел такі ж, як за відсутності екрана (назва Кирхгофа).

Метод зон Френеля.Врахування амплітуд і фаз вторинних хвиль дозволяє в принципі знайти амплітуду результуючої хвилі в будь-якій точці простору і вирішити задачу про поширення світла. У випадку розрахунок інтерференції вторинних хвиль за формулою (1) досить складний і громіздкий. Однак ряд завдань можна вирішити, застосувавши надзвичайно наочний прийом, який замінює складні обчислення. Цей метод отримав назву методу зон Френеля.

Суть методу розберемо з прикладу точкового джерела світла S. Хвильові поверхні являють собою в цьому випадку концентричні сфери з центром S.Розіб'ємо зображену на малюнку хвильову поверхню на кільцеві зони, побудовані так, що відстані від країв кожної зони до точки Pвідрізняються на
. Зони, що мають таку властивість, називаються зонами Френеля. З рис. видно, що відстань від зовнішнього краю – m-ї зони до точки Pодно

, де b- Відстань від вершини хвильової поверхні Oдо точки P.

Коливання, що приходять у крапку Pвід аналогічних точок двох сусідніх зон (наприклад, точок, що лежать у середині зон або зовнішніх країв зон), знаходяться в протифазі. Тому коливання від сусідніх зон взаємно послаблюватимуть один одного і амплітуда результуючого світлового коливання в точці P

, (2) де ,, ... - Амплітуди коливань, що збуджуються 1-й, 2-й, ... зонами.

Для оцінки амплітуд коливань знайдемо площу зон Френеля. Нехай зовнішній кордон m-ї зони виділяє на хвильовій поверхні сферичний сегмент висоти . Позначивши площу цього сегмента через , знайдемо, що, площа m-ї зони Френеля дорівнює
. З малюнка видно, що. Після нескладних перетворень, враховуючи
і
, отримаємо

. Площа сферичного сегменту та площа m-ї зони Френеля відповідно дорівнюють

,
. (3) Таким чином, при не дуже великих mплощі зон Френеля однакові. Згідно з припущенням Френеля, дія окремих зон у точці Pтим менше, чим більший кут між нормаллю n до поверхні зони та напрямком на P, тобто. дія зон поступово зменшується від центральної до периферійних. Крім того, інтенсивність випромінювання в напрямку точки Pзменшується зі зростанням mі внаслідок збільшення відстані від зони до точки P. Таким чином, амплітуди коливань утворюють монотонно спадну послідовність.

Загальна кількість зон Френеля, що уміщаються на півсфері, дуже велика; наприклад, при
і
число зон досягає 10 6 . Це означає, що амплітуда зменшується дуже повільно і тому можна приблизно вважати

. (4) Тоді вираз (2) після перегрупування підсумовується

, (5) оскільки вирази в дужках, згідно з (4), дорівнюють нулю, а внесок останнього доданку мізерно малий. Таким чином, амплітуда результуючих коливань у довільній точці Pвизначається як половинною дією центральної зони Френеля.

При не дуже великих mвисота сегмента
тому можна вважати, що
. Підставивши значення для , отримаємо для радіусу зовнішнього кордону m-ї зони

. (6) При
і
радіус першої (центральної) зони
. Отже, поширення світла від Sдо Pвідбувається так, якби світловий потік йшов усередині дуже вузького каналу вздовж SP, тобто. прямолінійно.

Правомірність поділу хвильового фронту на зони Френеля підтверджена експериментально. Для цього використовуються зонна пластинка - у найпростішому випадку скляна пластинка, що складається з системи прозорих і непрозорих концентричних кілець, що чергуються, з радіусами зон Френеля заданої конфігурації. Якщо помістити зонну платівку в певному місці (на відстані aвід точкового джерела та на відстані bвід точки спостереження), то результуюча амплітуда буде більшою, ніж при повністю відкритому хвильовому фронті.

Дифракція Френеля на круглому отворі.Дифракція Френеля спостерігається на кінцевій відстані від перешкоди, що спричинив дифракцію, в даному випадку екрана з отвором. Сферична хвиля, що поширюється від точкового джерела Sзустрічає на своєму шляху екран з отвором. Дифракційна картина спостерігається на екрані, паралельному екрану з отвором. Її вигляд залежить від відстані між отвором та екраном (для даного діаметра отвору). Простіше визначити амплітуду світлових коливань у центрі картини. Для цього розіб'ємо відкриту частину хвильової поверхні на зони Френеля. Амплітуда коливання, що збуджується всіма зонами, дорівнює

, (7) де знак плюс відповідає непарним mта мінус – парним m.

Коли отвір відкриває непарне число зон Френеля, то амплітуда (інтенсивність) у центральній точці буде більшою, ніж при вільному поширенні хвилі; якщо парне то амплітуда (інтенсивність) дорівнюватиме нулю. Наприклад, якщо отвір відкриває одну зону Френеля, амплітуда
, то інтенсивність (
) більше вчетверо.

Розрахунок амплітуди коливання на внеосьових ділянках екрана складніший, оскільки відповідні зони Френеля частково перекриваються непрозорим екраном. Якісно ясно, що дифракційна картина матиме вигляд темних і світлих кілець, що чергуються, із загальним центром (якщо mпарне, то в центрі буде темне кільце, якщо mнепарна – та світла пляма), причому інтенсивність у максимумах зменшується з відстанню від центру картини. Якщо отвір висвітлюється не монохроматичним світлом, а білим, то кільця пофарбовані.

Розглянемо граничні випадки. Якщо отвір відкриває лише частину центральної зони Френеля, на екрані виходить розмита світла пляма; чергування світлих і темних кілець у разі немає. Якщо отвір відкриває велику кількість зон, то
та амплітуда в центрі
, тобто. така сама, як і при повністю відкритому хвильовому фронті; чергування світлих і темних кілець відбувається лише у дуже вузькій області межі геометричної тіні. Фактично дифракційна картина немає, і поширення світла, власне, є прямолінійним.

Дифракція Френеля на дискуСферична хвиля, що поширюється від точкового джерела Sзустрічає на своєму шляху диск (мал.). Дифракційна картина, що спостерігається на екрані, є центрально-симетричною. Визначимо амплітуду світлових коливань у центрі. Нехай диск закриває mперших зон Френеля. Тоді амплітуда коливань дорівнює

або
, (8) оскільки вирази, що стоять у дужках, дорівнюють нулю. Отже, у центрі завжди спостерігається дифракційний максимум (світла пляма), що відповідає половині дії першої відкритої зони Френеля. Центральний максимум оточений концентричними з ним темними та світлими кільцями. При невеликій кількості закритих зон амплітуда
мало відрізняється від . Тому інтенсивність у центрі буде майже така сама, як за відсутності диска. Зміна освітленості екрану з відстанню від центру картини зображено на рис.

Розглянемо граничні випадки. Якщо диск закриває лише невелику частину центральної зони Френеля, він зовсім не відкидає тіні – освітленість екрану всюди залишається такою самою, як за відсутності диска. Якщо диск закриває багато зон Френеля, чергування світлих і темних кілець спостерігається лише у вузькій області межі геометричної тіні. В цьому випадку
, Отже світла пляма у центрі відсутня, і освітленість у сфері геометричної тіні практично всюди дорівнює нулю. Фактично дифракційна картина немає, і поширення світла є прямолінійним.

Дифракція Фраунгофера однією щілини.Нехай плоска монохроматична хвиля падає нормально площині вузької щілини шириною a. Оптична різниця ходу між крайніми променями, що йдуть від щілини в деякому напрямку

.

Розіб'ємо відкриту частину хвильової поверхні в площині щілини на зони Френеля, що мають вигляд рівновеликих смуг, паралельних щілини. Так як ширина кожної зони вибирається такою, щоб різниця ходу від країв цих зон дорівнювала
, то на ширині щілини вміститься
зон. Амплітуди вторинних хвиль у площині щілини дорівнюватимуть, оскільки зони Френеля мають однакові площі і однаково нахилені до напрямку спостереження. Фази коливань від кількох сусідніх зон Френеля відрізняються на, тому сумарна амплітуда цих коливань дорівнює нулю.

Якщо число зон Френеля парне, то

, (9а) та у точці Bспостерігається мінімум освітленості (темна ділянка), якщо число зон Френеля непарне, то

(9б) та спостерігається близька до максимуму освітленість, що відповідає дії однієї некомпенсованої зони Френеля. В напрямку
щілина діє, як одна зона Френеля, і в цьому напрямі спостерігається найбільша освітленість, точці відповідає центральний чи головний максимум освітленості.

Розрахунок освітленості в залежності від напрямку дає

, (10) де – освітленість у середині дифракційної картини (проти центру лінзи), – освітленість у точці, положення якої визначається напрямом . Графік функції (10) зображено на рис. Максимуми освітленості відповідають значенням, які відповідають умовам

,
,
і т.д. Замість цих умов для максимумів приблизно можна користуватися співвідношенням (9б), що дає близькі значення кутів. Величина вторинних максимумів швидко зменшується. Чисельні значення інтенсивностей головного та наступних максимумів відносяться як

і т.д., тобто. основна частина світлової енергії, що пройшла через щілину, зосереджена в основному максимумі.

Звуження щілини призводить до того, що центральний максимум розпливається, яке освітленість зменшується. Навпаки, чим щілина ширша, тим картина яскравіша, але дифракційні смуги вже, а кількість самих смуг більша. При
у центрі виходить різке зображення джерела світла, тобто. має місце прямолінійне поширення світла.