Якщо дані представлені у вигляді аналітичного угруповання, то можна обчислити загальну дисперсію, міжгрупову і внутрішньогрупову (табл. 11).

Таблиця 11

Види дисперсій та правило складання дисперсій

Найменування дисперсії	Формула розрахунку
проста (незважена)	зважена
Загальна дисперсія вимірює варіацію ознаки у всій сукупності під впливом всіх факторів
Міжгрупова дисперсія вимірює систематичну варіацію, що виникла під впливом групувальної ознаки
Середня по тій групі; - Середня по всій сукупності; - Число одиниць сукупності-число одиниць в-тій групі
Внутрішньогрупова (приватна) дисперсія розраховується окремо для кожної групи
Індивідуальні значення ознаки в тій групі; - Середня групи; - Число одиниць у сукупності; - число одиниць у тій групі
Середня внутрішньогрупова дисперсія вимірює випадкову варіацію, що виникає під впливом всіх факторів, крім групувальної ознаки
Правило складання дисперсій

На підставі правила складання дисперсій розраховують:

1) емпіричний коефіцієнт детермінації показує частку варіації результативної ознаки, обумовлену варіацією групувальної ознаки:

2) емпіричне кореляційне відношення показує тісноту зв'язку між групувальною та результативною ознаками:

Емпіричне кореляційне відношення варіює від 0 до 1. При зв'язку немає, при - повний зв'язок.

Проміжні значення оцінюються за шкалою Чеддока:

Дисперсія альтернативної ознаки

Альтернативний ознака - якісна ознака, яка може набувати лише одне значення з двох. Наприклад, стать - чоловіча або жіноча; сімейний стан - одружений чи ні; продукція - придатна чи бракована. Одна частина сукупності має альтернативну ознаку, інша немає. Частка одиниць, що володіють альтернативною (вивченою) ознакою, позначається - р, неволодіючих - q. Наявність альтернативної ознаки одиниць сукупності позначається 1, відсутність - 0.

Середнє значення альтернативної ознаки та її дисперсія :

Середнє значення альтернативної ознаки

Дисперсія альтернативної ознаки

Підставивши у формулу дисперсії q= 1 - p, Отримаємо:

Таким чином, дисперсія альтернативної ознакидорівнює твору частки одиниць, які мають даною ознакою і частки одиниць, що не мають даної ознаки.

Середнє квадратичне відхилення альтернативної ознаки:

Варіація альтернативної ознаки полягає в наявності або відсутності досліджуваної властивості одиниць сукупності. Кількісно варіація альтернативної ознаки виражається двома значеннями: наявність у одиниці досліджуваної властивості позначається одиницею (1), яке відсутність - нулем (0). Частку одиниць, що мають досліджувану ознаку, позначають буквою , а частку одиниць, що не мають цієї ознаки - через . Враховуючи, що p + q = 1 (звідси q = 1 - p), а середнє значення альтернативної ознаки дорівнює

,

середній квадрат відхилень

Таким чином, дисперсія альтернативної ознаки дорівнює добутку частки одиниць, що мають дану властивість (), на частку одиниць, даною властивістю не мають ().

Максимальне значення середній квадрат відхилення (дисперсія) набуває у разі рівності часток, тобто. коли тобто. . Нижня межа цього показника дорівнює нулю, що відповідає ситуації, коли у сукупності відсутня варіація. Середнє квадратичне відхилення альтернативної ознаки:

Вибіркове спостереження, переваги та недоліки.

Вибіркове спостереження - одне з найбільш сучасних видівстатистичного спостереження, у якому обстеженню піддається частина одиниць досліджуваної сукупності, відібраних з урахуванням науково розроблених принципів, які забезпечують отримання достатньої кількості достовірних даних, щоб охарактеризувати всю сукупність загалом.

Середні та відносні показники, отримані на основі вибіркових даних, мають достатньо повно відтворювати відповідні показники сукупності загалом.

Основні переваги вибіркового спостереження в тому, що його можна здійснити за більш широкою програмою, воно дешевше з погляду витрат на його проведення, і його можна організувати тоді й у тих випадках, коли звітністю ми не можемо скористатися.

Основними недоліками є те, що отримані дані завжди містять у собі помилку, і про результати спостереження можна судити лише з певним ступенем достовірності. А також для його проведення потрібні кваліфіковані кадри.

Способи формування вибіркової сукупності.

У статистиці застосовуються різні способи формування вибіркових сукупностей, що обумовлюється завданнями дослідження та залежить від специфіки об'єкта вивчення.

Основною умовою проведення вибіркового обстеження є запобігання виникненню систематичних помилок, що виникають внаслідок порушення принципу рівних можливостей потрапляння у вибірку кожної одиниці генеральної сукупності. Попередження систематичних помилок досягається внаслідок застосування науково обґрунтованих способів формування вибіркової сукупності.

Існують такі способи відбору одиниць із генеральної сукупності:

1) індивідуальний відбір - у вибірку відбираються окремі одиниці;

2) груповий відбір - у вибірку потрапляють якісно однорідні групи або серії одиниць, що вивчаються;

3) комбінований відбір - це комбінація індивідуального та групового відбору.

Способи відбору визначаються правилами формування вибіркової сукупності.

Вибірка може бути:

Власне-випадкова у тому, що вибіркова сукупність утворюється внаслідок випадкового (ненавмисного) відбору окремих одиниць із генеральної сукупності. При цьому кількість відібраних у вибіркову сукупність одиниць зазвичай визначається, виходячи з прийнятої частки вибірки. Частка вибірки є відношення числа одиниць вибіркової сукупності n чисельності одиниць генеральної сукупності N, тобто.

механічна полягає в тому, що відбір одиниць у вибіркову сукупність проводиться з генеральної сукупності, розбитої на рівні інтервали (групи). При цьому розмір інтервалу в генеральній сукупності дорівнює зворотній величині частки вибірки. Так, при 2% вибірці відбирається кожна 50-а одиниця (1:0,02), при 5% вибірці - кожна 20 одиниця (1:0,05) і т.д. Таким чином, відповідно до прийнятої частки відбору, генеральна сукупність механічно розбивається на рівновеликі групи. З кожної групи у вибірку відбирається лише одна одиниця.

§ типова – коли генеральна сукупність спочатку розчленовується на однорідні типові групи. Потім із кожної типової групи власне-випадковою або механічною вибіркою проводиться індивідуальний відбір одиниць у вибіркову сукупність. Важливою особливістю типової вибірки і те, що вона дає точніші результати проти іншими способами відбору одиниць у вибіркову сукупність;

§ серійна - за якої генеральну сукупністьділять на однакові за обсягом групи – серії. У вибіркову сукупність відбираються серії. Усередині серій проводиться суцільне спостереження одиниць, що потрапили до серії;

Комбінована – вибірка може бути двоступінчастою. У цьому генеральна сукупність спочатку розбивається групи. Потім здійснюють відбір груп, а всередині останніх здійснюється відбір окремих одиниць.

У статистиці розрізняють такі методи відбору одиниць у вибіркову сукупність:

§ одноступінчаста вибірка - кожна відібрана одиниця відразу ж піддається вивченню за заданою ознакою (власне-випадкова та серійна вибірки);

Багатоступінчаста вибірка - виробляють підбір із генеральної сукупності окремих груп, та якщо з груп вибираються окремі одиниці (типова вибірка з механічним способом відбору одиниць у вибіркову сукупність).

Крім того розрізняють:

§ повторний відбір - за схемою повернутої кулі. При цьому кожна одиниця, що потрапила у вибірку, іди серія повертається в генеральну сукупність і тому має шанс знову потрапити у вибірку;

σ p 2 =

Підставивши у формулу дисперсії q = 1 - р, отримаємо

σ p 2 =

Таким чином , σ p 2 = pq- дисперсія альтернативної ознаки дорівнює добутку частки одиниць, що мають ознаку, на частку одиниць, що не мають даної ознаки.

Середнє квадратичне відхилення(σ ) дорівнює кореню квадратному з дисперсії. Просте середнє квадратичне відхилення:

σ =

зважене

σ =

Середнє відхилення - це узагальнююча характеристика розмірів варіації ознаки в сукупності; воно показує, наскільки в середньому відхиляються конкретні варіанти від їхнього середнього значення; є абсолютною мірою коливання ознаки і виявляється у тих самих одиницях, як і варіанти, тому економічно добре інтерпретується.

Середнє квадратичне відхилення альтернативної ознаки

σ p =

У статистичній практиці часто виникає необхідність порівняння варіацій різних ознак. Наприклад, великий інтерес представляє порівняння варіацій віку робітників та їх кваліфікації, стажу роботи та розміру заробітної плати, собівартості та прибутку, стажу роботи та продуктивності праці і т.д. Для подібних зіставлень показники абсолютної коливань ознак непридатні: не можна порівнювати коливання стажу роботи, вираженого в роках, з варіацією заробітної плати, вираженої в рублях.

Для здійснення такого роду порівнянь, а також порівнянь коливання однієї й тієї ж ознаки в кількох сукупностях з різною середньою арифметичною використовують відносні показники варіації

Відносні показники варіаціївизначаються як відношення абсолютних показників варіації до середньої арифметичної.

Це коефіцієнт осциляції,визначається як відношення розмаху варіації до середньої арифметичної величини у відсотках
.

Лінійний коефіцієнт варіаціївизначається аналогічно, але за середнім лінійним відхиленням
.

Найбільш поширеними є коефіцієнт варіації.

Коефіцієнт варіаціїє виражене у відсотках відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної:

Відносні показники варіації характеризують ступінь коливання ознаки всередині середньої величини. За величиною, наприклад, коефіцієнта варіації можна визначити ступінь однорідності досліджуваної сукупності. Сукупність вважається досить однорідною, якщо коефіцієнт варіації вбирається у 33%. Для оцінки якості, стійкості середньої величини встановлено межі. Найкращими значеннями коефіцієнта варіації є
; допустимими вважаються значення до 50%.

6.3. Властивості дисперсії та спрощені методи її розрахунку.

Техніка обчислення дисперсії за формулами досить складна, а за великих значеннях варіантів і частот може бути громіздкою. Розрахунок можна спростити, використовуючи властивості дисперсії (що доводяться в математичній статистиці):

Перша властивість - якщо всі значення ознаки зменшити на ту саму постійну величину А,то дисперсія від цього не зміниться;

σ 2 (х-А) =σ х 2

Другевластивість- якщо всі значення ознаки зменшити в одне й те саме число iраз, то дисперсія відповідно зменшиться в i 2 разів.

σ 2 (х/ i ) = σ x 2 : i 2

Третя властивість (властивість мінімальності) -середній квадрат відхилень

від будь-якої величини А(відмінної від середньої арифметичної) більше

дисперсії ознаки на квадрат різниці між середньою арифметичною та величиною А

σ A 2 = σ x 2 +(x- A) 2

Використовуючи властивості дисперсії, отримаємо наступну спрощену формулуобчислення дисперсії у варіаційних рядах з рівними інтервалами за способом моментів:

σ 2=∙ (

- момент другого порядку

- Квадрат моменту першого порядку

На підставі останньої властивості дисперсії спрощена формула дисперсії для будь-якого ряду (дискретного, інтервального з рівним та нерівним інтервалами) формула дисперсії набуде вигляду:

6.4. Види дисперсії.

Варіація ознаки обумовлена ​​різними факторами, деякі з цих факторів можна виділити, якщо статистичну сукупність розбити на групи за якоюсь ознакою. Тоді, поряд з вивченням варіації ознаки по всій сукупності в цілому, стає можливим вивчити варіацію для кожної з її складових групи, а також і між цими групами. У найпростішому випадку, коли сукупність розчленована на групи за одним фактором, вивчення варіації досягається за допомогою обчислення та аналізу трьох видів дисперсій: загальної, міжгрупової та внутрішньогрупової.

Загальна дисперсія σ 2 вимірює варіацію ознаки у всій сукупності під впливом всіх чинників, що зумовили цю варіацію. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки хвід загальної середньої і може бути розрахована як проста дисперсіяабо зважена дисперсія.

Міжгрупова дисперсія δ 2 характеризує систематичну варіацію результативного порядку, обумовлену впливом ознаки-фактора, покладеного в основу угруповання. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень групових (приватних) середніх
, від загальної середньої

і може бути обчислена як проста дисперсіяабо як зважена дисперсіяза формулами, відповідно:

Міжгрупова дисперсія відбиває варіацію ознаки, покладеної основою угруповання.

Внутрішньогрупова (приватна) дисперсія (у кожній групі) σ i 2 , відбиває випадкову варіацію, тобто. частина варіації, обумовлену впливом неврахованих факторів і не залежить від ознаки-фактора, покладеної в основу угруповання. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи хвід середньої арифметичної цієї групи , (групової середньої) і може бути обчислена як проста дисперсіяабо як зважена дисперсіяза формулами, відповідно:

З внутрішньогрупових дисперсій з кожної групі, тобто. на підставі σ i 2 можна визначити середню із внутрішньогрупових дисперсій:

Згідно правилу складання дисперсійзагальна дисперсія дорівнює сумі середньої з внутрішньогрупових та міжгрупових дисперсій:

Користуючись правилом складання дисперсій, можна завжди за двома відомими дисперсіями визначити третю - невідому, а також судити про силу впливу групувальної ознаки.

Частку варіації групувальної ознаки в сукупності характеризує емпіричний коефіцієнт детермінації
.

Серед безлічі варіюючих ознак існують ознаки, якими мають одні одиниці сукупності і не мають інші. Ці ознаки називаються альтернативними. Наприклад, науковий ступінь у викладача вишу. Варіація альтернативної ознаки якісно проявляється у значенні нуля в одиниць, які цією ознакою не мають або у значенні одиниці у тих, які цю ознаку мають.
Нехай n - Число одиниць сукупності; m – число одиниць сукупності, що мають дану ознаку; p – частка одиниць, які мають даною ознакою (p=m/n); q - частка одиниць, які не мають даної ознаки, причому p+q =1.
Альтернативний ознака приймає лише два значення – 0 і 1 з вагами відповідно q і p. Обчислимо середнє значення альтернативної ознаки за формулою середньої арифметичної:
.
Дисперсія альтернативної ознаки визначається за такою формулою:
,
де R – середньоквадратичне відхилення альтернативної ознаки.
Обчислимо дисперсію альтернативної ознаки за такими даними: податковою інспекцією одного з районів міста перевірено 86 комерційних кіосків та у 37 виявлено фінансові порушення. Тоді
Отже, дисперсія та середнє квадратичне відхилення частки комерційних кіосків, що мають фінансові порушення, у всій сукупності обстежених кіосків рівні:

Узагальненою характеристикою відмінностей усередині ряду може бути ентропія розподілу. Стосовно статистики ентропія – це міра невизначеності даних спостереження, яка може мати різні результати.

Показник ентропії (Hx):
,
де p i- Імовірність події x i .

Розрахунок ентропії розподілу можна показати з прикладу випуску продукції різних сортів одному з підприємств точного машинобудування (табл. 5.4).
Таблиця 5.4 – Ймовірності різних сортів продукції

Основоположником розвитку теорії середніх величин є Адольф Кетле, який вважав їх найважливішими статистичними показниками. Він першим чітко сформулював той факт, що на масові явища (статистичні сукупності) впливають два види причин:

- загальні для кожної одиниці сукупності, ці причини формують тип явища та пов'язані з його сутністю;

- індивідуальні, специфічні кожної одиниці сукупності, які пов'язані з типом явища, тобто випадкові йому.

При розрахунку середньої величини в сукупності вплив випадкових причин взаємопогашується, і середня величина, абстрагуючись від індивідуальних особливостей окремих одиниць сукупності, висловлює загальні властивості, властиві всієї сукупності. Кетле вважав середню величину непросто статистичним показником, які мають певний спосіб розрахунку, а категорією об'єктивної реальності.

В даний час середня величинавизнається також центральним показником, що характеризує сукупність. І визначають її як узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень ознаки, що варіює. Він виражає величину ознаки, віднесену до одиниці сукупності.

Середня завжди узагальнює кількісну варіацію ознаки, тобто. у середніх величинах погашаються індивідуальні відмінностіодиниць сукупності, зумовлені випадковими обставинами. На відміну від середньої абсолютна величина, що характеризує рівень ознаки окремої одиниці сукупності, не дозволяє порівнювати значення ознаки одиниць, що відносяться до різних сукупностей. Так, якщо потрібно зіставити рівні оплати праці працівників на двох підприємствах, то не можна порівнювати за цією ознакою двох працівників різних підприємств. Оплата праці обраних порівняння працівників може бути типовою цих підприємств. Якщо ж порівнювати розміри фондів оплати праці на підприємствах, то не враховується чисельність працюючих і, отже, не можна визначити, де рівень оплати праці вищий. Зрештою порівняти можна лише середні показники, тобто. скільки загалом отримує один працівник кожному підприємстві. Таким чином, виникає необхідність розрахунку середньої величини як узагальнюючої характеристики сукупності.

Обчислення середнього – один із поширених прийомів узагальнення; середній показник виділяє те загальне, що характерно (типово) для всіх одиниць сукупності, що вивчається, в той же час він ігнорує відмінності окремих одиниць. У кожному явищі та його розвитку має місце поєднання випадковості та необхідності. При обчисленні середніх через дію закону великих чисел випадковості взаємопогашуються, врівноважуються, тому можна абстрагуватися від несуттєвих особливостей явища, від кількісних значень ознаки у кожному даному випадку.

Таким чином, у здатності абстрагуватися від випадковості окремих значень, коливань і укладено наукову цінність середніх як узагальнюючих характеристик сукупностей. Слід зазначити, що середня величина буде об'єктивною характеристикою, якщо вона обчислена за однорідною якісною сукупністю.

Розглянемо тепер видисередніх величин, особливості їх обчисленняі області застосування. Середні величини поділяються на два великі класи: статечні середні та структурні середні.

До статечним середнімвідносяться такі найбільш відомі та часто застосовувані види, як середня геометрична, середня арифметична та середня квадратична.

В якості структурних середніхрозглядаються мода та медіана.

Вибір конкретного виду середньої величини залежить від мети дослідження та логічної сутності ознаки, що усереднюється.

Ступінні середнізалежно від подання вихідних даних може бути простимиі зваженими.

Проста середнявважається за несгрупованими даними та має наступний загальний вигляд:

де X– варіанта (значення) ознаки, що осредняется;
m– показник ступеня середнього;
n- Число варіант.

Залежно від ступеня m отримують різні видисередніх величин.

Якщо ж дані згруповані, використовується формули середніх зваженихде вагами виступають частоти f (повторюваність варіанти).

Зважена середняявважається за згрупованими даними та має загальний вигляд

де X –варіанти (значення) середньої ознаки або серединне значення інтервалу, в якому вимірюється варіанти;
m– показник ступеня середнього;
f- Частота, що показує, скільки разів зустрічається кожне значення ознаки, що усереднюється.

Таблиця 7. Види статечних середніх

Вигляд статечної середньої	Показник ступеня (m)	Формула розрахунку
Проста	Зважена
Гармонійна	-1
Геометрична
Арифметична
Квадратична
Кубічна

Формули середньозважені можуть використовуватися для розрахунку загальної середньої сукупності на основі групових середніх.

Таблиця 8. Оплата праці з бригад

Таблиця 9. Оплата праці з бригад

В обох задачах визначальною функцією є ФЗП.

Перш, ніж вибрати формулу для розрахунків середньої величини, потрібно словами записати логічну сутність ознаки, що усереднюється.

Середня заробітна плата= Фонд заробітної плати / чисельність працівників

Середня врожайність =Валовий збір / Посівна площа

Середня продуктивність праці =Обсяг продукції / Чисельність (Час)

Правило:Якщо у поданій інформації є дані про чисельниклогічної формули, тобто про визначальну функцію, то для розрахунку середньої величини використовується середня гармонійна. Якщо представлені дані про знаменникалогічної формули, то розрахунку середньої величини використовується середня арифметична.

приклад. Протягом 8-годинного робочого дня п'ять робітників виготовляли однакові деталі. Їх витрати часу одну деталь, хв.: 20, 16, 20, 15, 24. Визначити середні витрати часу одну деталь.

Середні витрати часу одну деталь визначаються шляхом поділу сумарного часу на число деталей.

480 +480+480+480+480

480:20+480:16+480:20+480:15+480:24

(2400: 130 = 18,46 хв.)

Це правильний розрахунок, а неправильно, якщо скласти всі витрати часу на одну деталь і розділити на п'ять (19 хв.). За такого розрахунку спотворюється обсяг виробництва деталей (2400:19=126, а чи не 130, як власне).

1. Середня арифметична постійної величини дорівнює цій постійній:

2. Алгебраїчна сума лінійних відхилень варіанти від середньої арифметичної дорівнює 0 (нульова властивість):

– для несгрупованих даних,

– для згрупованих даних;

3. Сума квадратів відхилень варіанти від середньої арифметичної є мінімальне число:

– min(Для несгрупованих даних),

– min(Для згрупованих даних);

Ці властивості визначають сутність середньої арифметичної. Наступні властивості – розрахункові.

4. Якщо кожну варіанту Х зменшити чи збільшити певне число, то середня величина зменшується чи збільшується цього число.

5. Якщо кожну варіанту Х зменшити або збільшити в те саме число разів, то середня величина зменшується або збільшується в це число разів.

6. Якщо кожну частоту f зменшити або збільшити в те саме число разів, то середня величина не зміниться.

Частка кожної варіанти (d) визначається шляхом розподілу кожної частоти у сумі всіх частот.

Таким чином, середня величина залежить від варіанти Х і від структури сукупності, яка характеризується частками d.

7. Середня сума дорівнює сумі середніх:

Ряд розподілу має 3 центри:

1) середня арифметична;

3) медіана.

Розрахуємо середню арифметичнудля дискретного ряду розподілу, поданого в таблиці 1:

При розрахунку середньої величини по інтервальному ряду розподілу як варіант Х береться середина інтервалу. Якщо інтервал відкритий, при розрахунку середньої величини його умовно закривають, приймаючи рівним сусідньому закритому інтервалу.

Розрахуємо середню величину основних засобів за таблицею 3:

Млрд.руб.

У таблиці 5 було розраховано той самий величина, і вона вийшла рівної 3,3 млрд. крб. (Пояснити відмінності)

Мода- Найбільш часто зустрічається варіанти.

Визначимо моду тарифного розряду за таблицею 1:

Для інтервальних рядів розподілу спочатку знаходиться модальний інтервал, тобто інтервал з найбільшою частотою всередині цього інтервалу, потім мода знаходиться за формулою:

Нижня межа модального інтервалу;

i- Величина модального інтервалу;

Частота модального інтервалу;

Частота інтервалу попереднього модального інтервалу;

Частота інтервалу наступного за модальним інтервалом.

млрд. руб.

Медіана- варіанти, що стоїть у середині низки розподілу.

Номер медіани:

№ Ме = - якщо число одиниць у сукупності парне;

№ Ме = - якщо число одиниць у сукупності непарне.

Знайдемо медіану тарифного розряду за таблицею 1:

Отже, половина робітників цеху має розряд не вище 3-го.

Перш ніж знайти медіану для інтервального ряду розподілу, шукають інтервал, до якого входить серединна варіанта, потім усередині цього інтервалу визначають медіану за формулою:

,

де – нижня межа медіанного інтервалу;

i- величина медіанного інтервалу;

n-число одиниць сукупності;

Накопичена частота інтервалу попереднього медіанного;

Частота медіанного інтервалу

Знайдемо медіану основних засобів за таблицею 3:

млрд.руб.,

Тобто половина підприємств має кошти не вище, ніж 3,45 млрд. крб.

Ряди розподілу, що мають однакову середню величину, можуть істотно відрізнятися за рівнем коливання ознаки, що вивчається. (Приклад. Середній вік студентів у групі та бабусі з дітьми).

Для характеристики сукупності, особливо, якщо значення ознаки істотно коливається, додатково до розрахунку середньої величини визначають ряд показників варіації.

Для вимірювання варіації використовують абсолютні та відносні показники.

1. Розмах варіації: R = X max - X min- Діапазон зміни ознаки.

2. Середнє лінійне відхилення- Показує середнє відхилення варіанти від середньої величини:

Для несгрупованих даних;

3. Середнє квадратичне відхилення- показує середнє відхилення варіант від середньої величини:

- для не згрупованих даних;

- для згрупованих даних;

Усі 3 показники мають самі одиниці виміру, як і ознака.

4. Дисперсія- Квадрат середнього квадратичного відхилення:

або

Не має одиниць виміру.

Властивості дисперсії:

1) D(const)=0, тобто дисперсія постійної величини дорівнює 0.

2) Якщо кожну варіанту Х зменшити або збільшити на те саме число разів, то дисперсія не зміниться;

3) Якщо кожну варіанту Х зменшити або збільшити в одне і те ж число разів i, то дисперсія зменшиться або збільшиться в i 2 рази.

Способи розрахунку дисперсії:

1) виходячи з визначення:

2) виходячи з середньої з квадратів варіант:

; ;

Ця формула одержана перетворенням основної формули.

3) за способом моментів:

Перший умовний момент;

Другий умовний момент;

;

Розрахуємо дисперсію тарифного розряду за даними таблиці 1 двома способами:

2) =13,75-3,53=1,29

Показники відносного розсіювання (варіації).

Для характеристики міри коливання досліджуваного ознаки обчислюються показники коливання у відносних величинах. Вони дозволяють порівнювати характер варіації в різних розподілах (хитність однієї й тієї ж ознаки в двох сукупностях або коливання різних ознак в одній сукупності). Розрахунок показників міри відносного розсіювання здійснюють як відношення абсолютного показникарозсіювання до середньої арифметичної.

1.Коефіцієнт осциляціїпоказує відносну коливання крайніх значень ознаки щодо середньої.

2. Відносне лінійне відхиленняхарактеризує відносне усереднене значення абсолютних відхилень від середньої величини.

3. Коефіцієнт варіаціїє найпоширенішим показником коливання, що використовується для оцінки типовості середніх величин.

У статистиці сукупності, що мають коефіцієнт варіації більше 30-35%, прийнято вважати неоднорідними.

Для глибшого аналізу коливань ознак також використовують показники диференціації.

1. За несгрупованими первинними даними можна розрахувати коефіцієнт фондової диференціації:

,

де - середня величина, розрахована для 10% найбільших значень ознаки.

Середня величина, розрахована для 10% найменших значень ознаки.

2. Якщо дані згруповані, то розраховують коефіцієнт децильної диференціації:

Де і - відповідно 1 та 9 децилі.

Дециль- Значення ознаки, якому в ряду розподілу відповідає 10-а частка сукупності, тобто децилі ділять сукупність на 10 рівних частин.

Процедура знаходження децилів аналогічна до процедури знаходження медіани для інтервального ряду розподілу:

1) визначають № децилі: для 1-ї децилі: № =;

для 9-ї децилі: № =;

2) знаходять інтервали, в які входять ці децилі і всередині цих інтервалів знаходять децилі за формулами:

; ,

де і - відповідно нижні межі інтервалів, до яких входять 1 та 9 децилі;

i -величини інтервалів, які входять 1 і 9 децилі;

І - відповідно частоти інтервалів, які входять 1 і 9 децилі;

Накопичена частота інтервалу, що передує децильному (у першій формулі для 1-ї децилі, у другій формулі для 2-ї децилі).

Таблиця 10. Розподіл населення району

За середньодушовим доходом

Місячний середньодушовий дохід, тис.	Чисельність	Накопичені частоти
тис.чол.	у % до підсумку
20-40 - 40-60 60-100 100-150 150-200 - 200-300 300-500 500 і вище	9,2 25,2 32,9 30,0 27,4 15,5 4,9 3,1	6,2 17,0 22,2 20,2 18,5 10,5 3,3 2,1	9,2 () 34,4 () 67,3 97,3 124,7 () 140,2 () 145,1 148,2
Разом	148,2		-