Інтегрування раціональних дробів - метод невизначених коефіцієнтів. Інтегрування раціональних функцій та метод невизначених коефіцієнтів. Інтегрування дробово-раціональної функції. Метод невизначених коефіцієнтів

Для початку розберемо теорію, далі вирішимо кілька прикладів для закріплення матеріалу з розкладання дробово раціональної функції на суму найпростіших дробів. Детально зупинимося на методі невизначених коефіцієнтів і методі приватних значень, а також на їх комбінації.

Найпростіші дроби часто називають елементарними дробами.

Розрізняють такі види найпростіших дробів:

де A , M , N , a , p , q – числа, а дискримінант знаменника у дробах 3) та 4) менший за нуль.

Називають їх відповідно дробами першого, другого, третього та четвертого типів.

Навіщо взагалі дріб розкладати на найпростіші?

Наведемо математичну аналогію. Часто доводиться займатися спрощенням виду висловлювання, щоб можна було проводити якісь дії з ним. Так ось, уявлення дробово раціональної функції у вигляді суми найпростіших дробів приблизно те саме. Застосовується для розкладання функцій у статечні ряди, ряди Лорана і, звичайно, для знаходження інтегралів.

Наприклад, вимагає взяти інтеграл від дрібно раціональної функції. Після розкладання підінтегральної функції на найпростіші дроби все зводиться до досить простих інтегралів

Але про інтеграли в іншому розділі.

приклад.

Розкласти дріб на найпростіші.

Рішення.

Взагалі відношення багаточленів розкладають на найпростіші дроби, якщо ступінь багаточлена чисельника менший від ступеня багаточлена в знаменнику. Інакше спочатку проводять розподіл многочлена чисельника на многочлен знаменника , а потім проводять розкладання правильної дробово раціональної функції.

Виконаємо поділ стовпчиком (кутом):

Отже, вихідний дріб набуде вигляду:

Таким чином, на найпростіші дроби розкладатимемо

Алгоритм методу невизначених коефіцієнтів.

По перше, Розкладаємо знаменник на множники.

У нашому прикладі все просто – виносимо їх за дужки.


По-друге, що розкладається дріб подаємо у вигляді суми найпростіших дробів з невизначеними коефіцієнтами.

Тут варто розглянути види виразів, які можуть бути у Вас у знаменнику.

Досить теорії, на практиці все одно зрозуміліше.

Настав час повернутися до прикладу. Дроб розкладається у суму найпростіших дробів першого і третього типів з невизначеними коефіцієнтами A, B і C.


По-третє, наводимо отриману суму найпростіших дробів з невизначеними коефіцієнтами до спільного знаменника і групуємо в чисельнику доданки при однакових ступенях х.



Тобто дійшли рівності:


При x відмінних від нуля ця рівність зводиться до рівності двох багаточленів


А два многочлени є рівними тоді і лише тоді, коли коефіцієнти при однакових ступенях збігаються.

По-четверте, Прирівнюємо коефіцієнти при однакових ступенях х.

При цьому отримуємо систему лінійних рівнянь алгебри з невизначеними коефіцієнтами як невідомі:


У п'ятих, Вирішуємо отриману систему рівнянь будь-яким способом (при необхідності дивіться статтю), який подобається Вам, знаходимо невизначені коефіцієнти.


По-шосте, записуємо відповідь.

Будь ласка, не лінуйтеся, перевіряйте відповідь, приводячи до спільного знаменника отримане розкладання.

Метод невизначених коефіцієнтівє універсальним способом під час розкладання дробу на найпростіші.

Дуже зручно використовувати метод приватних значень, якщо знаменник є твір лінійних множників, тобто має вигляд схожий з

Розглянемо з прикладу, щоб показати плюси цього.

приклад.

Розкласти дріб на найпростіші.

Рішення.

Так як ступінь багаточлена в чисельнику менше ступеня багаточлена в знаменнику, то робити поділ нам не доведеться. Переходимо до розкладання знаменника на множники.

Для початку виносимо їх за дужки.

Знаходимо коріння квадратного тричлена (наприклад, за теоремою Вієта):

Отже, квадратний тричлен можна записати як

Тобто знаменник набуде вигляду

При цьому знаменнику, вихідний дріб розкладається на суму трьох найпростіших дробів першого типу з невизначеними коефіцієнтами:

Отриману суму приводимо до спільного знаменника, але в чисельнику при цьому дужки не розкриваємо і не наводимо подібні при А, В і С (на цьому етапі якраз відмінність від методу невизначених коефіцієнтів):

Таким чином, дійшли рівності:

А тепер, для знаходження невизначених коефіцієнтів, починаємо підставляти в отриману рівність "приватні значення", при яких знаменник звертається в нуль, тобто х = 0, х = 2 і х = 3 для нашого прикладу.

При х=0 маємо:

При х=2 маємо:

При х=3 маємо:

Відповідь:

Як бачите, відмінність методу невизначених коефіцієнтів та методу приватних значень лише у способі знаходження невідомих. Ці методи можна поєднувати для спрощення обчислень.

Розглянемо приклад.

приклад.

Розкласти дрібно раціональний вираз на найпростіші дроби.

Рішення.

Так як ступінь багаточлена чисельника менше ступеня багаточлена знаменника і знаменник вже розкладений на множники, то вихідний вираз представиться у вигляді суми найпростіших дробів такого виду:

Наводимо до спільного знаменника:

Прирівнюємо чисельники.

Вочевидь, що нулями знаменника є значення х=1 , х=-1 і х=3 . Використовуємо метод приватних значень.

При х=1 маємо:

При х=-1 маємо:

При х=3 маємо:

Залишилось знайти невідомі та

Для цього підставляємо знайдені значення в рівність чисельників:

Після розкриття дужок та приведення подібних доданків при однакових ступенях х приходимо до рівності двох багаточленів:

Прирівнюємо відповідні коефіцієнти при однакових ступенях, тим самим складаємо систему рівнянь для знаходження невідомих і . Отримуємо систему з п'яти рівнянь із двома невідомими:

З першого рівняння відразу знаходимо, з другого рівняння

У результаті отримуємо розкладання на найпростіші дроби:

Примітка.

Якби ми відразу вирішили застосувати метод невизначених коефіцієнтів, то довелося б вирішувати систему п'яти лінійних рівнянь алгебри з п'ятьма невідомими. Застосування методу приватних значень дозволило легко знайти значення трьох невідомих із п'яти, що значно спростило подальше рішення.

Вітаю всіх, любі друзі!

Ну що, вітаю! Ми з вами благополучно дісталися основного матеріалу в інтегруванні раціональних дробів. методу невизначених коефіцієнтів. Великого і могутнього.) У чому полягає його величність і могутність? А полягає воно у його універсальності. Чи має сенс ознайомитися, правда? Попереджу, що уроків з цієї теми буде кілька. Бо тема дуже довга, а матеріал дуже важливий.)

Відразу скажу, що в сьогоднішньому уроці (і наступних теж) ми займатимемося не так інтегруванням, як… розв'язуванням систем лінійних рівнянь!Так Так! Так що ті, хто має проблеми з системами, повторіть матриці, визначники і метод Крамера. А тих товаришів, у кого і з матрицями туго, закликаю, на крайній край, освіжити в пам'яті хоча б "шкільні" методи вирішення систем - метод підстановки та метод почленного складання/віднімання.

Для початку нашого знайомства відмотаємо плівку трохи назад. Ненадовго повернемося до минулих уроків і проаналізуємо всі ті дроби, які ми з вами до цього інтегрували. Безпосередньо, без будь-якого методу невизначених коефіцієнтів! Ось вони ці дроби. Я розсортував їх за трьома групами.

Група 1

У знаменнику – лінійна функціяабо сама по собі, або ж у ступені. Одним словом, у знаменнику стоїть твір однаковихдужок виду (х-а).

Наприклад:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10) (x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5)(2x+5)(2x+5)

І так далі. До речі, нехай вас не бентежать дужки (4х+5)або (2х+5) 3з коефіцієнтом kвсередині. Це все одно, за своєю суттю, дужки виду (х-а). Бо це саме kіз таких дужок завжди можна винести назовні.

Ось так:

Ось і все.) І неважливо, що саме при цьому стоїть у чисельнику – просто dxабо багаточлен який. Ми завжди розкладали чисельник за ступенями дужки (x-a), перетворювали великий дріб на суму маленьких, підводили (де треба) дужку під диференціал та інтегрували.

Група 2

Що спільного у цих дробів?

А спільне те, що у всіх знаменниках стоїть квадратний тричленax 2 + bx+ c. Але не просто, а саме в єдиному екземплярі. І неважливо тут, чи позитивний у нього дискримінант чи негативний.

Такі дроби завжди інтегрувалися одним із двох способів - або розкладанням чисельника за ступенями знаменника, або виділенням повного квадрата в знаменнику з наступною заміною змінної. Все залежить від конкретної підінтегральної функції.

Група 3

Це були найгірші для інтегрування дробу. У знаменнику – нерозкладний квадратний тричлен, та ще й у ступені n. Але, знову ж таки, в єдиному екземплярі. Бо, крім тричлена, інших множників у знаменнику немає. Такі дроби інтегрувалися за . Або безпосередньо, або зводилися до неї після виділення повного квадрата в знаменнику та наступної заміни змінної.

Однак, на жаль, все багате різноманіття раціональних дробів не обмежується тільки цими трьома розглянутими групами.

А як бути, якщо у знаменнику стоять різнідужки? Наприклад, щось типу:

(х-1)(х+1)(х+2)

Або одночасно дужка (х-а)і квадратний тричлен, щось типу (х-10) (х 2 -2х +17)? І в інших подібних випадках? Ось саме в таких випадках і приходить на допомогу метод невизначених коефіцієнтів!

Відразу скажу: працювати ми поки що будемо тільки з правильнимидробами. Тими, у яких ступінь чисельника строго менший від ступеня знаменника. Як бути з неправильними дробами, докладно розказано по дробах. Потрібно виділяти цілу частину (багаточлен). Поділом куточком чисельника на знаменник або розкладанням чисельника – як хочете. І навіть приклад розібрано. А багаточлен ви вже якось сяк-так проінтегруєте. Не маленькі вже йди.) Але на неправильні дробитеж вирішуємо приклади!

А тепер починаємо знайомитись. На відміну від більшості підручників з вищої математики, наше знайомство ми почнемо не з сухої та важкої теорії про основну теорему алгебри, теорему Безу, про розкладання раціонального дробу на суму найпростіших (про ці дроби пізніше) та іншого занудства, а почнемо ми з нескладного прикладу .

Наприклад, нам потрібно знайти ось такий невизначений інтеграл:

Перший погляд на підінтегральний дріб. У знаменнику стоїть твір трьох дужок:

(x-1)(x+3)(x+5)

Причому всі дужки різні. Тому наша стара технологія з розкладанням чисельника за ступенями знаменника цього разу вже не прокочує: яку саме дужку виділяти у чисельнику? (Х-1)? (Х +3)? Незрозуміло ... Виділення повного квадрата в знаменнику - теж не в касу: там багаточлен третьоюступеня (якщо перемножити всі дужки). Що робити?

При погляді на наш дріб виникає цілком природне бажання… Прямо-таки непереборне! З нашого великого дробу, який незручноінтегрувати, якось зробити три маленькі. Хоча б ось так:

Чому саме такий вид треба шукати? А все тому, що в такому вигляді наш вихідний дріб уже зручнадля інтегрування! Підводимо знаменник кожного маленького дробу і – вперед.)

А чи взагалі можна отримати таке розкладання? Новина хороша! Відповідна теорема математики каже – так можна! Таке розкладання існує єдино.

Але є одна проблема: коефіцієнти А, Уі Зми Бувайне знаємо. І зараз нашим основним завданням якраз і буде їх визначити. Дізнатися, чому ж рівні наші літери А, Уі З. Звідси і назва – метод невизначенихкоефіцієнтів. Почнемо нашу казкову подорож!

Отже, у нас є рівність, від якої ми починаємо танцювати:

Давайте приведемо праворуч всі три дроби до спільного знаменника і складемо:

Тепер можна сміливо відкинути знаменники (бо вони однакові) і прирівняти чисельники. Все як у звичайному

Наступним кроком розкриваємо всі дужки(коефіцієнти А, Уі З Бувайкраще залишити зовні):

А тепер (важливо!) вибудовуємо всю нашу конструкцію праворуч за старшинством ступенів: спочатку збираємо в купку всі члени з х 2 потім - просто з іксом і, нарешті, збираємо вільні члени. Фактично, просто наводимо подібні та групуємо доданки за ступенями ікс.

Ось так:

А тепер осмислюємо результат. Зліва – наш вихідний багаточлен. Другою мірою. Чисельник нашого підінтегрального дробу. Праворуч – теж деякий багаточлен другого ступеня.Але з невідомими коефіцієнтами.Ця рівність має бути справедливою при всіх допустимих значеннях ікс. Дроби ліворуч і праворуч були однакові (за нашою умовою)! Це означає, що їх чисельниківі (тобто наші багаточлени) – теж однакові. Отже, коефіцієнти при однакових ступенях іксу цих багаточленів обов'язково повинні бути рівними!

Починаємо з найстаршого ступеня. З квадрата. Дивимося, що за коефіцієнти у нас стоять за х 2 ліворуч і праворуч. Праворуч у нас коштує сума коефіцієнтів А+В+С, а ліворуч – двійка. Тож у нас народжується перше рівняння.

Записуємо:

А+В+С = 2

Є. Перше рівняння готове.)

Далі йдемо по траекторії, що знижується - дивимося на члени з іксом в першому ступені. Праворуч при ікс у нас стоїть 8А+4В+2С. Добре. А що у нас при ікс стоїть ліворуч? Гм ... Зліва взагалі ніякого доданку з іксом немає! Там тільки 2х2 – 3. Як бути? Дуже просто! Це означає, що коефіцієнт при ікс зліва у нас дорівнює нулю!Ми ж можемо записати нашу ліву частину так:

А що? Маємо повне право.) Звідси друге рівняння виглядає так:

8 A+4 B+2 C = 0

Ну ось, практично, і все. Залишилось прирівняти вільні члени:

15А-5В-3С = -3

Одним словом, прирівнювання коефіцієнтів при однакових ступенях іксу відбувається за такою схемою:

Усі три наші рівності мають виконуватися одночасно.Тому збираємо із наших виписаних рівнянь систему:

Системка не найважча для старанного студента – три рівняння та три невідомі. Як бажаєте, так і вирішуйте. Можна методом Крамера через матриці з визначниками, можна методом Гауса, можна навіть звичайною шкільною підстановкою.

Спершу я вирішу цю систему так, як зазвичай вирішують такі системи культурні студенти. А саме – методом Крамера.

Рішення починаємо зі складання матриці системи. Нагадую, що ця матриця - просто табличка, складена з коефіцієнтів за невідомих.

Ось вона:

Насамперед обчислюємо визначник матриці системи.Або, коротко, визначник системи.Зазвичай він позначається грецькою літерою ∆ ("дельта"):

Відмінно, визначник системи не дорівнює нулю (-48≠0) . З теорії систем лінійних рівнянь цей факт означає, що наша система спільна і має єдине рішення.

Наступним кроком обчислюємо визначники невідомих ∆ A , ∆ B , ∆ C. Нагадую, що кожен із цих трьох визначників виходить із основного визначника системи шляхом заміни стовпців із коефіцієнтами за відповідних невідомих на стовпець вільних членів.

Ось і складаємо визначники та вважаємо:

Докладно пояснювати техніку обчислення визначників третього порядку тут не буду. І не просіть. Це вже зовсім відхилення від теми.) Хто в темі, той розуміє, про що йдеться. І, можливо, вже здогадався, яким саме способом я обчислив ці три визначники.

Ось все і готове.)

Так зазвичай вирішують системи культурні студенти. Але… Не всі студенти дружать з та визначниками. На жаль. Для когось ці прості поняття вищої математики так назавжди і залишаються китайською грамотою та таємничим монстром у тумані.

Що ж, спеціально для таких некультурних студентів пропоную звичний спосіб вирішення - метод послідовного виключення невідомих.Фактично, це просунутий "шкільний" метод підстановки. Тільки кроків більше буде.) Але суть та сама. Насамперед я виключу змінну З. Для цього я висловлю Зз першого рівняння та підставлю у друге та третє:

Спрощуємо, наводимо подібні та отримуємо нову систему, вже з двоманевідомими:

Тепер, у цій новій системі, теж можна висловити одну із змінних через іншу. Але найуважніші студенти, можливо, зауважать, що коефіцієнти перед змінною B – протилежні. Два та мінус два. Отже, дуже зручно буде скласти між собою обидва рівняння, щоб унеможливити змінну Уі залишити тільки букву А.

Складаємо ліві та праві частини, подумки скорочуємо 2Bі -2Bі вирішуємо рівняння лише щодо А:

Є. Перший коефіцієнт знайдено: А = -1/24.

Визначаємо другий коефіцієнт У. Наприклад, з верхнього рівняння:

Звідси отримуємо:

Чудово. Другий коефіцієнт також знайдено: B = -15/8 . Залишилася ще буква З. Для її визначення використовуємо найвище рівняння, де вона у нас виражена через Аі У:

Отже:

Ну от і все. Невідомі коефіцієнти знайдено! Не має значення, через Крамера чи через підстановку. Головне, правильнознайдені.)

Отже, наше розкладання великого дробу на суму маленьких виглядатиме ось так:

І нехай вас не бентежать отримані дробові коефіцієнти: у цій процедурі (методі невизначених коефіцієнтів) це звичайнісіньке явище. :)

А тепер дуже бажано перевірити, чи правильно ми знайшли наші коефіцієнти. A, Bі З. Тому зараз беремо чернетку і згадуємо восьмий клас – складаємо назад всі три наші маленькі дроби.

Якщо ми отримаємо вихідний великий дріб – це все добре. Ні - значить, бийте мене шукайте помилку.

Загальний знаменник, очевидно, буде 24(х-1)(х+3)(х+5).

Поїхали:

Єс! Отримали вихідний дріб. Що й потрібно було перевірити. Все гуд. Тож прошу не бити.)

А тепер повертаємось до нашого вихідного інтегралу. Найлегше він за цей час не став, так. Але тепер, коли наш дріб розкладено на суму маленьких, його інтегрування стало суцільним задоволенням!

Дивіться самі! Вставляємо наше розкладання у вихідний інтеграл.

Отримуємо:

Користуємося властивостями лінійності та розбиваємо наш великий інтеграл на суму маленьких, всі константи виносимо за знаки інтеграла.

Отримуємо:

А отримані три маленькі інтеграли вже легко беруться. .

Продовжуємо інтегрування:

Ось і все.) І не треба в даному уроці питати мене, звідки у відповіді взялися логарифми! Хто пам'ятає, той у темі і все зрозуміє. А хто не пам'ятає – гуляємо посиланнями. Я їх не так просто ставлю.

Остаточна відповідь:

Ось така красива трійця: три логарифми - боягуз, бувалий і балбес. :) І спробуй, здогадайся до такої хитрої відповіді з ходу! Тільки метод невизначених коефіцієнтів і рятує, так.) Власне, з цією метою і розуміємось. Що, як і звідки.

В якості тренувальної вправи, пропоную вам попрактикуватися в методі і проінтегрувати такий дріб:

Потренуйтеся, знайдіть інтеграл, не вважайте за працю! Повинна вийти ось така відповідь:

Метод невизначених коефіцієнтів – штука сильна. Рятує навіть у безнадійній ситуації, коли і так дріб перетворюєш, і так. І ось тут у деяких уважних читачів, що цікавляться, можливо, виникла ціла низка питань:

- Що робити, якщо багаточлен у знаменнику взагалі не розкладений на множники?

- ЯК треба шукати розкладання будь-якого великого раціонального дробу на суму маленьких? В якому вигляді? Чому саме в такому, а не сякому?

- Що робити, якщо у розкладанні знаменника є кратні множники? Або дужки в ступенях типу (х-1) 2? Яким чином шукати розкладання?

- Що робити, якщо, окрім простих дужок виду (х-а), знаменник одночасно містить і нерозкладний квадратний тричлен? Скажімо, х 2+4х+5? Яким чином шукати розкладання?

Що ж, настав час ґрунтовно розбиратися, звідки ноги ростуть. У наступних уроках.)

МІНІСТЕРСТВО НАУКИ ТА ОСВІТИ РЕСПУБЛІКИ БАШКОРТО СТАН

ГАОУ СПО Башкирський архітектурно-будівельний коледж

Халіулін Асхат Адельзянович,

викладач математики Башкирського

архітектурно-будівельного коледжу

м.УФА

2014 р.

Введення ___________________________________________________3

Глава I. Теоретичні аспективикористання методу невизначених коефіцієнтів______________________________________________4

Глава II. Пошуки розв'язання задач із багаточленами методом невизначених коефіцієнтів _______________________________7

2.1.Розкладання многочлена на множники_____________________ 7

2.2. Завдання з параметрами__________________________________ 10

2.3. Розв'язання рівнянь____________________________________14

2.4. Функціональні рівняння_____________________________19

Заключение_________________________________________________23

Список використаної литературы____________________________24

додаток ________________________________________________25

Вступ.

Ця робота присвячена теоретичним і практичним аспектам впровадження у шкільний курс математики методу невизначених коефіцієнтів. Актуальність цієї теми визначається такими обставинами.

Ніхто не буде сперечатися з тим, що математика як наука не стоїть на одному місці, постійно розвивається, з'являються нові завдання підвищеної складностіщо часто викликає певні труднощі, оскільки ці завдання, як правило, пов'язані з дослідженням. Такі завдання в останні роки пропонувалися на шкільних, районних та республіканських математичних олімпіадах, вони також є в варіантах ЄДІ. Тому був потрібний спеціальний метод, який дозволяв би найбільш швидко, ефективно і доступно вирішувати хоча б частину з них. У цій роботі доступно викладається зміст методу невизначених коефіцієнтів, що широко застосовується в найрізноманітніших розділах математики, починаючи від питань, що входять до курсу загальноосвітньої школи, і до найрозвиненіших її частин. Зокрема, застосування методу невизначених коефіцієнтів у вирішенні завдань з параметрами, дробово-раціональних та функціональних рівнянь особливо цікаві та ефективні; вони легко можуть зацікавити будь-кого, хто цікавиться математикою. Головна мета запропонованої роботи та добірки завдань полягає в тому, щоб надати широкі можливості для відточування та розвитку здатності знаходити короткі та нестандартні рішення.

Ця робота і двох глав. У першій розглядаються теоретичні аспекти використання

методу невизначених коефіцієнтів, у другому-практико-методологічні аспекти такого використання.

У додатку до роботи наведено умови конкретних завдань самостійного решения.

Глава I . Теоретичні аспекти використанняметоду невизначених коефіцієнтів

«Людина … народилася бути паном,

повелителем, царем природи, але мудрість,

з якою він повинен правити, не дана йому

від народження: вона здобувається вченням»

М.І.Лобачевський

Існують різні способи та методи вирішення завдань, але одним із найзручнішим, найбільш ефективним, оригінальним, витонченим і водночас дуже простим і зрозумілим всім є метод невизначених коефіцієнтів. Метод невизначених коефіцієнтів -метод, застосовуваний у математиці знаходження коефіцієнтів виразів, вид яких наперед відомий.

Перш ніж розглянути застосування методу невизначених коефіцієнтів до розв'язання різноманітних завдань, наведемо ряд відомостей теоретичного характеру.

Нехай дані,

A n (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ··· + a n-1 x + a n

B m (x ) = b 0 x m + b 1 x m -1 + b 2 x m -2 + ··· + b m-1 x + b m ,

багаточлени щодо хз будь-якими коефіцієнтами.

Теорема. Два багаточлени, що залежать від одного і того ж аргументу,тотожно рівні в тому і тільки в тому випадку, якщоn = m та їх відповідні коефіцієнти рівніa 0 = b 0 , a 1 = b 1 , a 2 = b 2 ,··· , a n -1 = b m -1 , a n = b m і т. д.

Очевидно, що рівні багаточлени приймають за всіх значень ходнакові значення. І навпаки, якщо значення двох багаточленів дорівнюють при всіх значеннях х, то багаточлени рівні, тобто їх коефіцієнти при однакових ступеняххзбігаються.

Отже, ідея застосування методу невизначених коефіцієнтів вирішення завдань полягає в наступному.

Нехай нам відомо, що в результаті деяких перетворень виходить певний вид і невідомі лише коефіцієнти в цьому виразі. Тоді ці коефіцієнти позначають літерами та розглядають як невідомі. Потім визначення цих невідомих складається система рівнянь.

Наприклад, у разі багаточленів ці рівняння складають із умови рівності коефіцієнтів при однакових ступенях. ху двох рівних багаточленів.

Покажемо сказане вище на наступних конкретні приклади, причому почнемо з найпростішого.

Так, наприклад, на підставі теоретичних міркувань дріб

може бути подана у вигляді суми

, де a , b і c - коефіцієнти, що підлягають визначенню. Щоб знайти їх, прирівнюємо другий вираз першому:

=

і звільняючись від знаменника і збираючи зліва члени з однаковими ступенями х, отримуємо:

(a + b + c )х 2 + ( b - c )х - а = 2х 2 – 5 х– 1

Оскільки остання рівність має виконуватися всім значень х, то коефіцієнти при однакових ступеняххправоруч і ліворуч мають бути однакові. Таким чином, виходять три рівняння для визначення трьох невідомих коефіцієнтів:

a + b + c = 2

b - c = - 5

а= 1 , звідки a = 1 , b = - 2 , c = 3

Отже,

=
,

справедливість цієї рівності легко перевірити безпосередньо.

Нехай ще потрібно уявити дріб

у вигляді a + b
+ c
+ d
, де a , b , c і d- Невідомі раціональні коефіцієнти. Прирівнюємо другий вираз першому:

a + b
+ c
+ d
=
або, звільняючись від знаменника, виносячи, де можна, раціональні множники з-під знаків коріння і наводячи подібні члени у лівій частині, отримуємо:

(a - 2 b + 3 c ) + (- a + b +3 d )
+ (a + c - 2 d )
+

+ (b - c + d )
= 1 +
-
.

Але така рівність можлива лише у разі, коли рівні між собою раціональні доданки обох частин та коефіцієнти при однакових радикалах. Таким чином, виходять чотири рівняння для знаходження невідомих коефіцієнтів a , b , c і d :

a - 2b + 3c = 1

- a + b +3 d = 1

a + c - 2 d = - 1

b - c + d= 0, звідки a = 0 ; b = - ; c = 0 ; d= , тобто
= -
+
.

Глава II. Пошуки розв'язання задач з багаточленами методом невизначених коефіцієнтів.

«Ніщо так не сприяє засвоєнню предметів.

та, як дія з ним у різних ситуаціях »

Академік Б.В.Гнєденко

2. 1.Розкладання многочлена на множники.

Способи розкладання багаточленів на множники:

1) винесення загального множника за дужки; 2) метод групування; 3) застосування основних формул множення; 4) введення допоміжних членів; 5) попереднє перетворення даного багаточлена за допомогою тих чи інших формул; 6) розкладання з допомогою відшукання коренів даного многочлена; 7) метод запровадження параметра; 8) метод невизначених коефіцієнтів.

Задача 1. Розкласти на дійсні множники многочлен х 4 + х 2 + 1 .

Рішення. Серед дільників вільного члена цього багаточлена немає коріння. Іншими елементарними засобами коріння багаточлена знайти не можемо. Тому виконати необхідне розкладання з допомогою попереднього відшукання коренів даного многочлена неможливо. Залишається шукати розв'язання задачі або методом запровадження допоміжних членів, або методом невизначених коефіцієнтів. Очевидно, що х 4 + х 2 + 1 = х 4 + х 3 + х 2 - х 3 - х 2 - х + х 2 + х + 1 =

= х 2 (х 2 + х + 1) - х (х 2 + х + 1) + х 2 + х + 1 =

= (х 2 + х + 1)(х 2 - х + 1).

Отримані квадратні тричлени немає коренів, тому нерозкладні на дійсні лінійні множники.

Викладений спосіб технічно простий, але важкий через свою штучність. Дійсно, дуже важко придумати потрібні допоміжні члени. Знайти це розкладання нам допоміг лише здогад. Але

існують і надійніші способи вирішення таких завдань.

Можна було б діяти так: припустити, що цей багаточлен розкладається у твір

(х 2 + а х + b )(х 2 + c х + d )

двох квадратних тричленів із цілими коефіцієнтами.

Таким чином, матимемо, що

х 4 + х 2 + 1 = (х 2 + а х + b )(х 2 + c х + d )

Залишається визначити коефіцієнтиa , b , c і d .

Перемноживши багаточлени, що стоять у правій частині останньої рівності, отримаємо:х 4 + х 2 + 1 = х 4 +

+ (а + с ) х 3 + (b + а c + d ) х 2 + (ad + bc ) х + bd .

Але оскільки нам необхідно, щоб права частина цієї рівності перетворилася на такий самий багаточлен, який стоїть у лівій частині, вимагатимемо виконання наступних умов:

а + с = 0

b + а c + d = 1

ad + bc = 0

bd = 1 .

Вийшла система чотирьох рівнянь із чотирма невідомимиa , b , c і d . Легко знайти з цієї системи коефіцієнтиa = 1 , b = 1 , c = -1 і d = 1.

Тепер завдання вирішено повністю. Ми отримали:

х 4 + х 2 + 1 = (х 2 + х + 1)(х 2 - х + 1).

Задача 2. Розкласти на дійсні множники многочлен х 3 – 6 х 2 + 14 х – 15 .

Рішення. Представимо цей багаточлен у вигляді

х 3 – 6 х 2 + 14 х – 15 = (х + а )(х 2 + bx + c), де a , b і з - не визначені поки що коефіцієнти. Так як два багаточлени тотожно рівні тоді і тільки тоді, коли коефіцієнти при однакових ступеняхх рівні, то, прирівнюючи коефіцієнти відповідно прих 2 , х та вільні члени, отримаємо систему трьох рівнянь із трьома невідомими:

a + b= - 6

ab + c = 14

ac = - 15 .

Рішення цієї системи значно спроститься, якщо врахувати, що число 3 (ділитель вільного члена) є коренем даного рівняння, і, отже,a = - 3 ,

b = - 3 і з = 5 .

Тоді х 3 – 6 х 2 + 14 х – 15 = (х – 3)(х 2 – 3 x + 5).

Застосований метод невизначених коефіцієнтів порівняно з викладеним вище методом введення допоміжних членів не містить нічого штучного, проте вимагає застосування багатьох теоретичних положень і супроводжується досить великими викладками. Для багаточленів вищого ступеня такий метод невизначених коефіцієнтів призводить до громіздких систем рівнянь.

2.2.Задач та з параметрами.

Останніми роками у випадках ЄДІ пропонуються завдання з параметрами. Їхнє рішення часто викликає певні труднощі. При вирішенні завдань з параметрами поряд з іншими методами можна ефективно застосувати метод невизначених коефіцієнтів. Саме цей метод дозволяє набагато спростити їх вирішення та швидко отримати відповідь.

Завдання 3. Визначте, за яких значень параметра арівняння 2 х 3 – 3 х 2 – 36 х + а - 3 = 0 має рівно два корені.

Рішення. 1 спосіб. За допомогою похідної.

Представимо це рівняння у вигляді двох функцій

2х 3 – 3 х 2 – 36 х – 3 = – а .

f (x) = 2х 3 – 3 х 2 – 36 х– 3 та φ( х ) = – а .

Досліджуємо функціюf (x) = 2х 3 – 3 х 2 – 36 х – 3 за допомогою похідної та побудуємо схематично її графік (рис. 1.).

f( – x )f (x ) , f (– x ) – f (x ). Функція не є парною і не є непарною.

3. Знайдемо критичні точки функції, її проміжки зростання та спадання, екстремуми. f / (x ) = 6 x 2 – 6 х – 36. D (f / ) = R тому всі критичні точки функції знайдемо, вирішивши рівняння f / (x ) = 0 .

6(х 2 – х– 6) = 0 ,

х 2 – х– 6 = 0 ,

х 1 = 3 , х 2 = - 2 за теоремою, зворотній теореміВієта.

f / (x ) = 6(х – 3)(х + 2).

+ max - min +

2 3 x

f / (x) > 0 при всіх х< – 2 та х > 3 і функція безперервна у точкахх =– 2 та х = 3 , отже, вона зростає кожному з проміжків (- ; - 2] і [3; ).

f / (x ) < 0 при - 2 < х< 3 , отже, вона зменшується на проміжку [- 2; 3 ].

х = - 2 крапки максимуму, т.к. у цій точці знак похідної змінюється з"+" на "-".

f (-2) = 2 · (- 8) - 3 · 4 - 36 · (- 2) - 3 = - 16 - 12 + 72 - 3 == 72 – 31 = 41 ,

х = 3 точка мінімуму, тому що в цій точці знак похідної змінюється"-" на "+".

f (3) = 2 · 27 - 3 · 9 - 36 · 3 - 3 = 54 - 27 - 108 - 3 = - 138 + +54 = - 84 .

Графік функції φ(х ) = – а є пряма, паралельна осі абсцис і через точку з координатами (0; – а ). Графіки мають дві загальні точки при –а= 41, тобто. а =– 41 та – а= - 84, тобто. а = 84 .

у

41 φ( х)

2 3 х

3 f ( x ) = 2х 3 – 3 х 2 – 36 х – 3

2 спосіб. методом невизначених коефіцієнтів.

Оскільки за умовою завдання дане рівняння повинно мати лише два корені, то очевидно виконання рівності:

2х 3 – 3 х 2 – 36 х + а – 3 = (х + b ) 2 (2 x + c ) ,

2х 3 – 3 х 2 – 36 х + а – 3 = 2 x 3 + (4 b + c ) x 2 + (2 b 2 + +2 bc ) x + b 2 c ,

Тепер прирівнюючи коефіцієнти за однакових ступенів х, отримаємо систему рівнянь

4 b + c = - 3

2b 2 + 2bc = - 36

b 2 c = a – 3 .

З перших двох рівнянь системи знайдемоb 2 + b – 6 = 0, звідки b 1 = - 3 або b 2 = 2. Відповідні значенняз 1 та з 2 легко знайти з першого рівняння системи:з 1 = 9 або з 2 = -11. Остаточно, потрібне значення параметра, можна визначити з останнього рівняння системи:

а = b 2 c + 3 , a 1 = - 41 або a 2 = 84.

Відповідь: дане рівняння має рівно два різні

кореня при а= - 41 та а= 84 .

Задача 4. Знайдіть найбільше значення параметраа , при якому рівняннях 3 + 5 х 2 + ах + b = 0

з цілими коефіцієнтами має три різні корені, один з яких дорівнює - 2 .

Рішення. 1 спосіб. Підставивши х= - 2 у ліву частину рівняння, отримаємо

8 + 20 – 2 а + b= 0, отже, b = 2 a – 12 .

Оскільки число – 2 є коренем, можна винести загальний множник х + 2:

х 3 + 5 х 2 + ах + b = х 3 + 2 х 2 + 3 х 2 + ах + (2 a – 12) =

= x 2 (х + 2) + 3 x (х + 2) – 6 x + ах + (2 a – 12) =

= x 2 (х + 2) + 3 x (х + 2) + (a – 6)(x +2) - 2(a – 6)+ (2 a – 12) =

= (х + 2)(х 2 + 3 x + (a – 6) ) .

За умовою є ще два корені рівняння. Отже, дискримінант другого множника позитивний.

D =3 2 - 4 (a – 6) = 33 – 4 a > 0, тобто а < 8,25 .

Здавалося б, що відповіддю буде а = 8 . Але при підстановці числа 8 вихідне рівняння отримуємо:

х 3 + 5 х 2 + ах + b = х 3 + 5 х 2 + 8 х + 4 = (х + 2)(х 2 + 3 x + 2 ) =

= (х + 1) (х + 2) 2 ,

тобто рівняння має лише два різні корені. А ось при а = 7 дійсно виходить три різних кореня.

2 спосіб. Метод невизначених коефіцієнтів.

Якщо рівняння х 3 + 5 х 2 + ах + b = 0 має корінь х = - 2, то завжди можна підібрати числаc і d так, щоб за всіхх була вірна рівність

х 3 + 5 х 2 + ах + b = (х + 2)(х 2 + з x + d ).

Для знаходження чиселc і d розкриємо дужки у правій частині, наведемо подібні члени та отримаємо

х 3 + 5 х 2 + ах + b = х 3 + (2 + з ) х 2 +(2 з + d ) х + 2 d

Прирівнюючи коефіцієнти при відповідних ступенях хмаємо систему

2 + з = 5

2 з + d = a

2 d = b , звідки з = 3 .

Отже, х 2 + 3 x + d = 0 , D = 9 – 4 d > 0 або

d < 2,25 , Отже d (- ; 2 ].

Умові завдання задовольняє значення d = 1 . Остаточне значення параметраа = 7.

Відповідь: при а = 7 дане рівняння має три різні корені.

2.3. Розв'язання рівнянь.

«Пам'ятайте, що вирішуючи маленькі завдання, ви

готуєте себе до вирішення великих і праць-

них завдань.»

Академік С.Л.Соболєв

При вирішенні деяких рівнянь можна і потрібно виявити винахідливість та дотепність, застосовувати спеціальні прийоми. Володіння різноманітними прийомами перетворень та вміння проводити логічні міркування має у математиці велике значення. Один з цих прийомів полягає в тому, щоб додати і відняти деякі вдало підібраний вираз чи число. Сам собою сформульований факт, звичайно, добре всім відомий - основна складність полягає в тому, щоб побачити в конкретній конфігурації ті перетворення рівнянь, до яких його зручно і доцільно застосувати.

На простому рівнянні алгебри проілюструємо один нестандартний прийом рішення рівнянь.

Задача 5. Розв'язати рівняння

=
.

Рішення. Помножимо обидві частини даного рівняння на 5 і перепишемо так

= 0 ; х 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 або
= 0

Отримані рівняння вирішимо методом невизначених коефіцієнтів

х 4 - х 3 –7 х – 3 = (х 2 + ах + b )(x 2 + cx + d ) = 0

х 4 - х 3 –7 х – 3 = х 4 + (а + с ) х 3 + (b + а c + d ) х 2 + (ad + bc ) х+ + bd

Прирівнюючи коефіцієнти при х 3 , х 2 , хта вільні члени, отримаємо систему

а + с = -1

b + а c + d = 0

ad + bc = -7

bd = -3 , звідки знаходимо:а = -2 ; b = - 1 ;

з = 1 ; d = 3 .

Отже х 4 - х 3 –7х– 3 = (х 2 – 2 х – 1)(х 2 + х + 3) = 0 ,

х 2 – 2 х- 1 = 0 або х 2 + х + 3 = 0

х 1,2 =
немає коріння.

Аналогічно маємо

х 4 – 12х – 5 = (х 2 – 2 х – 1)(х 2 + 2х + 5) = 0 ,

звідки х 2 + 2 х + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

Відповідь: х 1,2 =

Задача 6. Розв'язати рівняння

= 10.

Рішення. Для вирішення цього рівняння необхідно підібрати числааі b таким чином, щоб чисельники обох дробів були однаковими. Отже, маємо систему:

= 0 , х 0; -1 ; -

= - 10

Таким чином, завдання полягає в тому, щоб підібрати числааі b , для яких виконується рівність

(а + 6) х 2 + ах – 5 = х 2 + (5 + 2 b ) x + b

Тепер, згідно з теоремою про рівність багаточленів, необхідно, щоб права частина цієї рівності перетворилася на такий самий багаточлен, який стоїть у лівій частині.

Інакше кажучи, мають виконуватися співвідношення

а + 6 = 1

а = 5 + 2 b

– 5 = b звідки знаходимо значенняа = - 5 ;

b = - 5 .

При цих значенняхаі b рівність а + b = - 10 теж слушно.

= 0 , х 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(х 2 – 5х– 5)(х 2 + 3х + 1) = 0 ,

х 2 – 5х- 5 = 0 або х 2 + 3х + 1 = 0 ,

х 1,2 =
, х 3,4 =

Відповідь: х 1,2 =
, х 3,4 =

Задача 7. Розв'язати рівняння

= 4

Рішення. Дане рівняння складніше попередніх і тому згрупуємо таким чином, х 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

З умови рівності двох багаточленів

ах 2 + (а + 6) х + 12 = х 2 + (b + 11) x – 3 b ,

отримаємо та вирішимо систему рівнянь щодо невідомих коефіцієнтіваі b :

а = 1

а + 6 = b + 11

12 = – 3 b , звідки а = 1 , b = - 4 .

Багаточлени - 3 - 6х + сх 2 + 8 схі х 2 + 21 + 12 d – dx рівні один одному тотожно лише тоді, коли

з = 1

8 с – 6 = - d

3 = 21 + 12 d , з = 1 , d = - 2 .

При значенняха = 1 , b = - 4 , з = 1 , d = - 2

рівність
= - 4 справедливо.

В результаті дане рівняння набуває наступного вигляду:

= 0 або
= 0 або
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

З розглянутих прикладів видно, як вміле використання методу невизначених коефіцієнтів,

допомагає спростити розв'язання досить складного, незвичайного рівняння.

2.4. Функціональні рівняння.

«Вище призначення математики... складається

в тому, щоб знаходити прихований порядок у

хаосі, що нас оточує»

Н.Вінер

Функціональні рівняння-дуже загальний клас рівнянь, у яких шуканою є деяка функція. Під функціональним рівнянням у вузькому значенні слова розуміють рівняння, в яких функції пов'язані з відомими функціями одного або декількох змінних за допомогою операції освіти складної функції. Функціональне рівняння можна також розглядати як вираз властивості, що характеризує той чи інший клас функцій

[ наприклад, функціональне рівняння f ( x ) = f (- x ) характеризує клас парних функцій, функціональне рівнянняf (x + 1) = f (x ) - клас функцій, що мають період 1, і т.д.].

Одним із найпростіших функціональних рівнянь є рівнянняf (x + y ) = f (x ) + f (y ). Безперервні рішення цього функціонального рівняння мають вигляд

f (x ) = Cx . Однак у класі розривних функцій це функціональне рівняння має інші рішення. З розглянутим функціональним рівнянням пов'язані

f (x + y ) = f (x ) · f (y ), f (x y ) = f (x ) + f (y ), f (x y ) = f (x )· f (y ),

безперервні рішення, яких мають відповідно вигляд

е сх , Зlnx , x α (x > 0).

Таким чином, ці функціональні рівняння можуть служити для визначення показової, логарифмічної та статечної функцій.

Найбільшого поширення набули рівняння, у складних функціях яких шуканими є зовнішні функції. Теоретичні та практичні застосування

саме таких рівнянь спонукали видатних математиків до вивчення.

Так наприклад, урівняння

f 2 (x) = f (x - y)· f (x + y)

М.І.Лобачевськийвикористовував щодо кута паралельності у своїй геометрії.

В останні роки завдання, пов'язані з розв'язанням функціональних рівнянь, часто пропонують на математичних олімпіадах. Їхнє рішення не вимагає знань, що виходять за рамки програми з математики. загальноосвітніх шкіл. Однак розв'язання функціональних рівнянь часто спричиняє певні труднощі.

Одним із способів знаходження рішень функціональних рівнянь є метод невизначених коефіцієнтів. Його можна застосовувати тоді, коли за зовнішньому виглядурівняння можна визначити загальний виглядшуканої функції. Це стосується, перш за все, до тих випадків, коли розв'язання рівнянь слід шукати серед цілих чи дрібно-раціональних функцій.

Викладемо суть цього прийому, вирішуючи такі завдання.

Задача 8. Функціяf (x ) визначена за всіх дійсних х і задовольняє за всіхх R умові

3 f(x) - 2 f(1- x) = x 2 .

Знайдітьf (x ).

Рішення. Так як у лівій частині даного рівняння над незалежною змінною х та значеннями функціїf виконуються лише лінійні операції, а права частина рівняння - квадратична функція, то природно припустити, що потрібна функція також квадратична:

f (х) = ax 2 + bx + c , деa, b, c - Коефіцієнти, що підлягають визначенню, тобто невизначені коефіцієнти.

Підставляючи функцію рівняння, приходимо до тотожності:

3(ax 2 + bx+ c) – 2(a(1 – x) 2 + b(1 – x) + c) = x 2 .

ax 2 + (5 b + 4 a) x + (c – 2 a – 2 b) = x 2 .

Два багаточлени будуть тотожно рівні, якщо рівні

коефіцієнти при однакових ступенях змінної:

a = 1

5b + 4a = 0

c– 2 a – 2 b = 0.

З цієї системи знаходимо коефіцієнти

a = 1 , b = - , c = , такожзадовольняєрівності

3 f (x ) - 2 f (1- x ) = x 2 на багатьох всіх дійсних чисел. При цьому існує такеx 0 Задача 9. Функціяу =f(x) за всіх х визначена, безперервна і задовольняє умовуf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x . Знайдіть такі дві функції.

Рішення. Над функцією, що шукається, виконуються дві дії - операція складання складної функції і

віднімання. Враховуючи, що права частина рівняння – лінійна функція, природно припустити, що потрібна функція теж лінійна:f(x) = ах +b , деа іb - Невизначені коефіцієнти. Підставивши цю функцію вf (f ( (x ) = - х - 1 ;

f 2 (x ) = 2 х+ , що є рішеннями функціонального рівнянняf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x .

Висновок.

У висновку необхідно зазначити, що ця робота безумовно сприятиме подальшому вивченню оригінального та ефективного методурозв'язання різноманітних математичних завдань, які є завданнями підвищеної труднощі і потребують глибокого знання шкільного курсу математики та високої логічної культури.

У роботі в рамках існуючої шкільної програми та у формі, доступній для ефективного сприйняття, викладено метод невизначених коефіцієнтів, що сприяє поглибленню шкільного курсу математики.

Звичайно, всі можливості методу невизначених коефіцієнтів не можна показати в одній роботі. Насправді метод ще потребує подальшого вивчення та дослідження.

Список використаної литературы.

Глейзер Г.І.. Історія математики в школе.-М.: Просвітництво, 1983.

Гомонов С.А. Функціональні рівняння у шкільному курсі математики// Математика в школі. - 2000. -№10 .

Дорофєєв Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х.. Посібник з математики. - М.: Наука, 1972.

Курош А.Г. Алгебраїчні рівняннядовільних ступенів.-М.: Наука, 1983.

Ліхтарніков Л.М.. Елементарне введення у функціональні рівняння. - СПб. : Лань, 1997.

Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Сорокін Ю.І., Федін Н.Г..Тлумачний словник математичних термінів.-М.: Просвітництво, 1971

Моденов В.П.. Посібник з математики. Ч.1.-М.: МДУ, 1977.

Моденов В.П.. Завдання з параметрами.-М.: Іспит, 2006.

Потапов М.К., Александров В.В., Пасіченко П.І.. Алгебра та аналіз елементарних функцій.- М.: Наука, 1980.

ХаліуллінА.А.. Можна вирішувати простіше / / Математика в школі. – 2003 . - №8 .

Халіулін.

4. Розкласти багаточлен 2х 4 – 5х 3 + 9х 2 – 5х+ 3 на множники із цілими коефіцієнтами.

5. При якому значенні а х 3 + 6х 2 + ах+ 12 на х+ 4 ?

6. При якому значенні параметраа рівняннях 3 +5 х 2 + + ах + b = 0 з цілими коефіцієнтами має два різні корені, один з яких дорівнює 1 ?

7. Серед коренів багаточлена х 4 + х 3 – 18х 2 + ах + b з цілими коефіцієнтами є три рівні цілих числа. Знайдіть значення b .

8. Знайдіть найбільше значення параметра а,при якому рівняння х 3 – 8х 2 + ах +b = 0 з цілими коефіцієнтами має три різні корені, один з яких дорівнює 2.

9. При яких значеннях аі b виконується без залишку поділ х 4 + 3х 3 – 2х 2 + ах + b на х 2 – 3х + 2 ?

10. Розкласти багаточлени на множники:

а)х 4 + 2 х 2 – х + 2 в)х 4 – 4х 3 +9х 2 –8х + 5 д)х 4 + 12х – 5

б)х 4 + 3х 2 + 2х + 3 г)х 4 – 3х –2 е)х 4 – 7х 2 + 1 .

11. Розв'яжіть рівняння:

а)
= 2 = 2 f (1 – х ) = х 2 .

Знайдіть f (х) .

13. Функція у= f (х) при всіх хвизначена, безперервна та задовольняє умові f ( f (х)) = f (х) + х.Знайдіть такі дві функції.

Рівність (I) є тотожністю. Привівши його до цілого виду, отримаємо рівність 2-х багаточленів. Але така рівність завжди виконується лише за умови почленної рівності цих багаточленів.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х, що стоять у лівій та правій частинах рівності, отримаємо систему лінійних рівнянь щодо невідомих коефіцієнтів, яку слід розв'язати.

Оскільки розкладання (I) завжди існує для будь-якого правильного раціонального дробу, то отримана система завжди спільна.

Такий метод знаходження коефіцієнтів називається методом невизначених коефіцієнтів (спосіб порівняння коефіцієнтів).

Наведемо приклад розкладання раціональної функції елементарні дроби.

Приклад 6.6.27. Розкласти дріб на елементарні.

останнє рівняння підставимо до другого

Таким чином,
.

x=2 ;

x=3 .

Слід; .

Метод приватних значень вимагає менших витрат праці і тому заслуговує на особливу увагу при інтегруванні раціональних дробів.

Якщо коріння знаменника лише дійсне, то визначення невідомих коефіцієнтів доцільно користуватися саме цим способом.

В інших випадках для визначення невідомих коефіцієнтів можна комбінувати обидва способи.

Зауваження. p align="justify"> Метод приватних значень застосовується і тоді, коли інші випадки, але тут потрібно тотожність диференціювати.

Таким чином, для інтегрування правильних раціональних дробів достатньо вміти:

1) інтегрувати елементарні дроби;

2) розкладати раціональні дроби на елементарні.

3. Інтегрування раціональних дробів

Схема інтегрування раціональних дробів:

Для інтегрування раціональних дробів ;

Де P(x) і Q(x) – багаточлени з дійсними коефіцієнтами, що послідовно виконують три кроки.

Перший крок. Якщо дріб неправильний, тобто ступінь чисельника P(x) більший або дорівнює ступеню знаменника Q(x), виділяють цілу частину раціонального дробу, ділячи чисельник на знаменник за правилом поділу багаточлена на багаточлен. Після цього раціональний дріб може бути записаний у вигляді суми:

1) виділеної цілої частини - многочлена М(х);

2) правильного залишкового дробу :

Другий крок.

Правильний залишковий дріб розкладають на такі дроби.

Для цього знаходять корені рівняння Q(x)=0 і розкладають знаменник Q(x) на множники першого та другого ступеня з дійсними коефіцієнтами:

У цьому розкладанні знаменника множники 1-го ступеня відповідають дійсним корінням, а множники 2-го ступеня – паралельного поєднаного коріння.

Коефіцієнт при більшому ступені х у знаменнику Q(x) вважатимуться рівним 1 бо цього можна домогтися, розподілом нього P(x) і Q(x).

Після цього правильний залишковий дріб розкладається на найпростіші (елементарні).

Третій крок. Знаходять інтеграли виділеної цілої частини та всіх елементарних дробів (методами, розглянутими вище), які потім складають.

Приклад6.6.28.

Під знаком інтеграла – неправильний раціональний дріб, тому що ступінь чисельник дорівнює ступеню знаменника, тому виділяємо цілу частину.