Descubra la función básica de las soluciones de informes. Función plegable. Función de fácil plegado. ¿Por qué bromear en otros sitios?

Después de una preparación avanzada de artillería, habrá culatas menos terribles con funciones integradas 3-4-5. Es posible que los dos siguientes extremos se vuelvan bastante plegables, pero si los entienden (incluso si sufren), entonces quizás todo lo demás en el cálculo diferencial les parezca un calor infantil.

trasero 2

Conoce las funciones ocultas

Como estaba previsto, a la hora de la marcha función de plegado, primero para todo, necesario Bien DEVUELVE TUS INVERSIONES. En estas situaciones, si tienes dudas, te propongo un truco rápido: tomamos el último valor de “x”, por ejemplo, e intentamos (pensamientos o en negro) sustituir este valor por el “virus terrible”.

1) En primer lugar, debemos calcular la cantidad de dinero, la suma, la contribución más grande.

2) Entonces necesitas calcular el logaritmo:

4) Luego multiplica el coseno por el cubo:

5) En el quinto paso hay una diferencia:

6) Y, digamos, la función externa en sí es la raíz cuadrada:

Fórmula para diferenciar una función de plegado. estancarse en orden inverso, desde las funciones más externas a las internas. Virishuemo:

Nachebto sin indultos:

1) Saca la raíz cuadrada.

2) Veamos la diferencia, sigue la regla

3) Los tres son iguales a cero. Desde otra dodanka tomamos el paso para caminar (cubo).

4) Tomemos el valor del coseno.

6) Y, está bien, tomaremos el dinero de la inversión más grande.

Puedes ser muy importante, pero aún así no eres el trasero más brutal. Tomemos, por ejemplo, la colección de Kuznetsov y apreciará toda la belleza y sencillez de la colección. Noté que me gustaría dar algo en la prueba para verificar lo que el estudiante entiende, ya que conoce funciones de plegado similares y no entiende.

El blanco ofensivo de la decisión independiente.

trasero 3

Conoce las funciones ocultas

Pista: Las reglas de linealidad y la regla de diferenciación de la creación están estancadas.

Sobre todo, la lección tiene una solución y una conclusión.

Ha llegado el momento de pasar a algo más compacto y lindo.
No es una situación rara, ya que la culata no tiene dos, sino tres funciones. ¿Cómo saber el enfoque para la creación de tres multiplicadores?

trasero 4

Conoce las funciones ocultas

Al principio me pregunto por qué no es posible convertir tres funciones en dos funciones. Por ejemplo, si tuviéramos dos articulaciones, entonces los brazos se podrían abrir. Pero en la aplicación todas las funciones son diferentes: paso, exponente y logaritmo.

En tales casos es necesario consecuentemente establecer la regla de diferenciación a la creatividad dos veces

La atención se centra en el hecho de que detrás de "y" estamos representados por dos funciones: , y detrás de "ve" - ​​el logaritmo: . ¿Por qué puedes ganar tanto? y hiba - ¿Por qué no tienes dos múltiplos y la regla no se aplica? No hay nada plegable:

Ahora la regla se ha estancado repentinamente. al arco:

También puedes perderte y llevarlo de las manos, pero en este caso es mejor perder la evidencia de esta manera, es más fácil de verificar.

El trasero visto se puede visualizar de otra forma:

Los dos métodos son absolutamente iguales.

trasero 5

Conoce las funciones ocultas

Éste es un ejemplo de toma de decisiones independiente, en el primer sentido.

Echemos un vistazo a culatas similares que usan escopetas.

trasero 6

Conoce las funciones ocultas

Aquí puedes seguir varias rutas:

O así:

Ale decidió anotar de manera más compacta, ya que en primer lugar la regla de diferenciación de lo privado , Habiendo aceptado para todo el libro de números:

En principio, el trasero es superior, y si lo privas de esa mirada, no habrá piedad. Pero por razones obvias, es necesario volver a verificarlos en blanco y negro, ¿y qué no se puede perdonar?

Llevemos el número del número al signo final y eliminemos la fracción de tres superficies.:

La desventaja de estas medidas adicionales es que existe el riesgo de que no se produzcan conciliaciones en el caso de una escuela conocida, sino en el caso de cambios escolares banales. Por otro lado, los depositantes a menudo rechazan las asignaciones y les piden que “las lleven” hasta la salida.

Una culata sencilla para una interpretación independiente:

trasero 7

Conoce las funciones ocultas

Sigamos dominando los métodos para encontrar lo mismo, y ahora veremos las consecuencias típicas si se utiliza el logaritmo "terrible" para la diferenciación.

Reconstrucción de la fórmula para la función estática similar (x en el paso a). Se examinan los orígenes de las raíces de x. Fórmula para mover la función estática. en gran orden. Aplicar el cálculo de bajas.

Zmist

Div. también: Función escalonada y función raíz, fórmulas y gráficos.
Gráficas de una función estática.

Fórmulas básicas

Es similar a x en la etapa a en comparación con a, multiplicado por x en la etapa a menos uno:
(1) .

Vaya desde el paso raíz n desde x hasta el paso m hacia arriba:
(2) .

Reconstrucción de la fórmula para una función estática similar.

Gota x > 0

Vamos a ver función estática tipo de cambio x con indicador etapa a:
(3) .
Aquí a hay un número activo adicional. Primero, echemos un vistazo rápido.

Para conocer la función actual (3), podemos calcular rápidamente la función estática y transformarla a la forma actual:
.

Ahora sabemos que nos iremos, zastosovuychi:
;
.
Aquí.

Se ha completado la fórmula (1).

Reconstrucción de la fórmula similar al paso raíz n de x al paso m

Ahora veamos la función, que tiene su raíz así:
(4) .

Para descubrir la diferencia, podemos transformar la raíz en una función estática:
.
Comparando con la fórmula (3) bachimo, ¿qué
.
todi
.

A la fórmula (1) le sigue:
(1) ;
;
(2) .

Realmente no es necesario memorizar la fórmula (2). Es mucho más fácil transformar la raíz en funciones estáticas desde el principio y luego encontrar su fórmula estática similar (1) (aplicaciones extraordinarias al margen).

Vidak x = 0

Así, la función estática se determina al valor de la variable x = 0 . Conocemos la función (3) en x = 0 . Para lo cual los valores veloces de la marcha son:
.

Sustituible x = 0 :
.
En este caso, entendemos el límite del lado derecho, para el cual .

Bueno, lo sabemos:
.
Desde la estrella se puede ver que s,.
En , .
En , .
Este resultado sigue la fórmula (1):
(1) .
Por lo tanto, la fórmula (1) es válida para x = 0 .

Vipadok x< 0

Miremos la función (3) nuevamente:
(3) .
Para ciertos valores de la constante a, el won es igual a i para valores negativos de la variable x. Y déjate ser un número racional. Luego puedes dárselo a una fracción aparentemente lenta:
,
donde m y n son números enteros, que no implican un deudor grave.

Si n no está emparejado, entonces la función estática se determina para valores negativos de la variable x. Por ejemplo, con n = 3 ta m = 1 Podemos usar la raíz cúbica de x:
.
En i para valores negativos de la variable x.

Conocemos la función constante constante (3) para y para valores racionales de la constante a para la que está asignada. Para lo cual podemos representar x y al siguiente ojo:
.
todi,
.
Sabemos que las reglas para diferenciar una función de plegado son:

.
Aquí. Cerveza inglesa
.
Oskolki, entonces
.
todi
.
Entonces la fórmula (1) es válida cuando:
(1) .

Acontecimientos recientes del más alto nivel

Ahora conocemos los órdenes superiores similares en la función estática.
(3) .
Primero que nada, ya lo sabíamos:
.

Los vinos se vierten en señal de la marcha, conocemos la marcha de otro orden:
.
Se utiliza un orden similar para las marchas del tercer y cuarto orden:
;

.

Las estrellas pueden ver eso similar al enésimo orden se parece a esto:
.

Querido colegio si a es un número natural, entonces la enésima marcha está estacionaria:
.
Entonces todos los próximos días llegarán a cero:
,
en .

Aplicar el cálculo de gastos.

culata

Encuentra funciones similares:
.

Transformamos la raíz a pasos:
;
.
Entonces la función de salida se ve así:
.

Se conocen los siguientes pasos:
;
.
Vuelve a cero:
.

Las funciones del dispositivo de plegado siempre serán coherentes con el significado de la función de plegado. Dado que es una función de la forma y = sen x - (2 - 3) · r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, entonces no se puede plegar a la forma y = sen 2 x.

Este artículo mostrará la comprensión de la función de plegado y su manifestación. Usemos las fórmulas para encontrar el similar de las colillas para resolver el problema. El establecimiento de la tabla de semejanzas y de las reglas de diferenciación cambiará claramente la hora de encontrar la semejanza.

Propósito principal

Viznachennya 1

Una función plegable es una función tal que su argumento también es una función.

Se designa de la siguiente manera: f (g (x)). Es posible que la función g(x) esté representada por el argumento f(g(x)).

vicenia 2

Dado que f es función de la cotangente, g(x) = ln x no es función del logaritmo neperiano. Está claro que la función plegable f(g(x)) se puede escribir como arctg(lnx). O la función f es una función reducida a la cuarta etapa, donde g (x) = x 2 + 2 x - 3 se tiene en cuenta en su conjunto función racional, Se puede deducir que f(g(x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Obviamente, g(x) puede ser plegable. En el ejemplo y = sen 2 x + 1 x 3 - 5 puedes ver que el valor de g es la raíz cúbica de la fracción. La expresión danesa se puede escribir como y = f (f 1 (f 2 (x))). Está claro que f es una función seno y f 1 es una función que crece bajo la raíz cuadrada, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 – 5 es una función de tiro racional.

vicenzennya 3

El nivel de contribución se indica mediante cualquier número natural y se escribe como y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))))))).

Vicenchennya 4

El concepto de composición de funciones se debe a la cantidad de funciones que intervienen en la tarea mental. Para ser más precisos, se desarrolla una fórmula para encontrar una función de plegado similar en la forma

(f(g(x))) "=f"(g(x)) g"(x)

Apliquelo

trasero 1

Encuentre una función de plegado simple como y = (2 x + 1) 2.

Decisión

Detrás de la mente puedes ver que f es una función cuadrada y g (x) = 2 x + 1 es una función lineal.

Juntemos una fórmula similar a la función de plegado y escribámosla:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2)" = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) "= f "(g (x)) g "(x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Es necesario conocer la estructura de la función de forma simplificada. Ignorable:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

vamos a ver, que

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Los resultados han mejorado.

Con una tarea determinada de este tipo, es importante comprender que habrá una función de la forma f y g (x).

trasero 2

Puedes encontrar las siguientes funciones de plegado en la forma y = sen 2 x e y = sen x 2.

Decisión

La primera entrada de la función muestra que f es la función cuadrada y g (x) es la función seno. Entonces lo negamos

y " = (sen 2 x) " = 2 pecado 2 - 1 x (sen x) " = 2 pecado x cos x

Otra entrada muestra que f es una función seno y g(x) = x 2 es una función estática. La estrella muestra que podemos escribir la suma de la función de plegado como

y " = (sen x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

La fórmula para y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))))) se escribirá como y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . .) f n (x))))) · f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n ( X))) )) · . . . · f n "(x)

trasero 3

Descubra la función y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Decisión

Este ejemplo muestra la complejidad del registro y la importante expansión de la función. Entonces y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) es significativo, donde f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) es la función seno, la función de reducción en 3ra etapa, función con logaritmo y base e, función arcotangente y lineal.

De la fórmula para el valor de la función de plegado, es posible que

y " = f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 2 " ( f 3 ( f 4 (x)) f 3 "(f 4 (x)) f 4 " (x)

Averigüemos qué saber

1. f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) como la curva sinusoidal según la tabla de similitudes, entonces f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) )))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)).
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) como una función estática similar, por lo que f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) es logarítmico, por lo que f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) es el equivalente del arcotangente, por lo que f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Si encuentra la función similar f 4 (x) = 2 x, obtenga 2 para el signo de la función similar de la fórmula de la función estática similar con el indicador que es mayor que 1, entonces f 4 "(x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 x 1 - 1 = 2.

Se están evaluando resultados intermedios y está claro que

y " = f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 2 " ( f 3 (f 4 (x)) f 3 "(f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) · 1 a r c t g (2 x) · 1 1 + 4 x 2 · 2 = = 6 · cos (ln 3 a r c t g (2 x)) · ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) · (1 + 4 x 2 )

Las madres pueden adivinar el análisis de tales funciones. Es posible que las reglas de diferenciación no siempre queden claras en la otra tabla. La mayoría de las veces es necesario formular una fórmula para encontrar funciones de plegado similares.

Hay varias funciones del sistema de plegado. Cuando hay una diferencia obvia, es especialmente fácil encontrar otras similares.

trasero 4

Es necesario fijarse en la punta de tal trasero. Dado que es una función de la forma y = t g 2 x + 3 t g x + 1, entonces puede verse como una forma plegada g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1. Evidentemente es necesario formular una fórmula para un vehículo plegable:

f "(g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)" = (g 2 (x)) "+ (3 g (x))" + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3; g "(x) = (t g x)" = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x)))" = f "(g (x)) g "(x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Una función de la forma y = t g x 2 + 3 t g x + 1 no es plegable, ya que la suma es t g x 2 3 t g x i 1. Sin embargo, t g x 2 está determinado por una función de plegado, entonces una función estática de la forma g (x) = x 2 y f es una función tangente. ¿Para quién debemos diferenciar la suma? digamos que

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 porque 2 x

Pasemos a encontrar la función de plegado (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) "= f "(g (x)) g "(x) = 2 x cos 2 (x 2)

Se puede deducir que y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Las funciones de plegado pueden incluirse en el almacén de funciones de plegado, y las propias funciones de plegado pueden ser funciones de plegado de almacén.

trasero 5

Por ejemplo, veamos una función plegable como y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Esta función se puede representar en la forma y = f (g (x)), donde el valor de f es la función del logaritmo en el stand 3, y g (x) se considera como la suma de dos funciones en la forma h. (x) = x 2 + 3 porque 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 i k(x) = log 2 x (x 2 + 1) . Obviamente, y = f(h(x) + k(x)).

Veamos la función h(x). Valor l(x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 a m (x) = e x 2 + 3 3

Es posible que l(x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n(x) + p(x) sea la suma de dos funciones n(x) = x 2 + 7 y p (x) = 3 cos 3 (2 x + 1), donde p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) es una función plegable con un coeficiente numérico de 3 y p 1 es una función al cubo función, p 2 función coseno, p 3 (x) = 2 x + 1 – función lineal.

Quitamos que m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) es la suma de dos funciones q (x) = e x 2 y r (x) = 3 3 de q (x) = q 1 (q 2 (x)) es una función plegable, q 1 es una función exponencial, q 2 (x) = x 2 es una función estática.

Se puede observar que h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Al pasar a la forma k(x) = ln 2 x (x 2 + 1) = s (x) t (x), está claro que la función se presenta en la forma plegada s(x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) con el entero racional t (x) = x 2 + 1, donde s 1 es la función elevatoria al cuadrado, y s 2 (x) = ln x - logarítmico con base e.

La estrella está brillando, como puedes ver k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) .

Entonces lo negamos

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Detrás de las estructuras de la función quedó claro cómo y qué fórmulas deben consolidarse para simplificar la expresión de su diferenciación. Para tomar conciencia de tales tareas y comprender su significado, es necesario volver al punto de diferenciación de funciones para encontrar otras similares.

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Si seguimos lo anterior, entonces la función similar en el punto está entre las funciones aumentadas de Δ y para aumentar el argumento Δ X:

Finalmente todo quedó más claro. O intente captar esta fórmula, digamos, una función similar F(X) = X 2 + (2X+ 3) · mi X pecado X. Si continúas trabajando en tus tareas, después de unos pocos pasos de cálculo simplemente te quedarás dormido. Hay formas más sencillas y eficaces de hacerlo.

Es importante que debido a esta variedad de funciones podamos llamarlas funciones elementales. Estas son expresiones claramente simples que se han calculado e ingresado en la tabla durante mucho tiempo. Es fácil memorizar estas funciones al mismo tiempo que están.

Funciones elementales similares

Las funciones elementales son todo lo que se enumera a continuación. Estas funciones deben ser conocidas y recordadas. Además, es bastante difícil aprenderlos: son muy elementales.

Bueno, aquí tienes algunas funciones básicas:

Nombre	Función	Pokhidna
Constante	F(X) = C, C ∈ R	0 (¡sí, cero!)
Paso de la exhibición racional	F(X) = X norte	norte · X norte − 1
Seno	F(X) = pecado X	porque X
Coseno	F(X) = porque X	−pecado X(menos seno)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangente	F(X) = ctg X	− 1/sen 2 X
Logaritmo natural	F(X) = iniciar sesión X	1/X
Logaritmo adicional	F(X) = iniciar sesión a X	1/(X en a)
Función de visualización	F(X) = mi X	mi X(nada ha cambiado)

Si una función elemental se multiplica por una función bastante constante, entonces también se puede implementar fácilmente una nueva función similar:

(C · F)’ = C · F ’.

El zagalom de la constante puede tomarse como un signo de muerte. Por ejemplo:

(2X 3)' = 2 · ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Obviamente, las funciones elementales se pueden sumar una tras otra, multiplicar, dividir y mucho más. Aparecen así nuevas funciones, no particularmente elementales, pero también diferenciadas por las antiguas reglas. Estas reglas se analizan a continuación.

Pokhіdna suma y rіznitsi

Deja ir esta función F(X) eso gramo(X), tantos como sabemos. Por ejemplo, puede tomar las funciones elementales consideradas anteriormente. Entonces podrás conocer la diferencia entre estas funciones:

1. (F + gramo)’ = F ’ + gramo ’
2. (F − gramo)’ = F ’ − gramo ’

Por tanto, la suma (diferencias) de dos funciones es similar a las mismas sumas (diferencias) de funciones similares. Puede que haya más Dodanks. Por ejemplo, ( F + gramo + h)’ = F ’ + gramo ’ + h ’.

Estrictamente hablando, en álgebra no existe el concepto de “observación”. Entiendo "elemento negativo". Por eso hay una diferencia F − gramo puedes reescribir la suma F+ (-1) gramo Y entonces perderás sólo una fórmula: la suma de dinero.

F(X) = X 2 + senx; gramo(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Función F(X) - esta es la suma de dos funciones elementales, por lo tanto:

F ’(X) = (X 2 + pecado X)’ = (X 2)' + (pecado X)’ = 2X+ porquex;

Medido de manera similar para la función gramo(X). Ya hay tres dodankas allí (desde el punto de vista del álgebra):

gramo ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Sujeto:
F ’(X) = 2X+ porquex;
gramo ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

robot pokhidna

Las matemáticas son una ciencia lógica, por eso a mucha gente le importa que si las sumas son similares a las sumas de similares, entonces es similar crear huelga"> es más respetuoso con el trabajo de los descendientes. ¡Y el eje del mundo no te sirve de nada! La creación sucesiva es respetada enteramente por una fórmula diferente. Y ella misma:

(F · gramo) ’ = F ’ · gramo + F · gramo ’

La fórmula es sencilla, pero a menudo se olvida. Y no sólo los escolares, sino también los estudiantes. El resultado son suposiciones incorrectas.

Zavdannya. Descubra las siguientes funciones: F(X) = X 3 porque x; gramo(X) = (X 2 + 7X− 7) · mi X .

Función F(X) Hay dos funciones elementales, por lo que todo es sencillo:

F ’(X) = (X 3 porque X)’ = (X 3)' porque X + X 3 (porque X)’ = 3X 2 porque X + X 3 (- pecado X) = X 2 (3cos X − X pecado X)

en la función gramo(X) el primer multiplicador está un poco más doblado, pero el esquema oculto no cambia. Obviamente, el primer multiplicador de la función. gramo(X) es un término rico y su similitud es similar. Maemo:

gramo ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · mi X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · mi X + (X 2 + 7X− 7) · ( mi X)’ = (2X+ 7) · mi X + (X 2 + 7X− 7) · mi X = mi X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · mi X = X(X+ 9) · mi X .

Sujeto:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X pecado X);
gramo ’(X) = X(X+ 9) · mi X .

Tenga en cuenta que en la etapa restante es probable que se descomponga en multiplicadores. Formalmente, no se requiere ningún trabajo, ya que la mayoría de las actividades no se calculan por potencia, sino para rastrear la función. Esto significa que es hora de igualar a cero, los signos se vuelven claros, etc. Para ello, es mejor utilizar multiplicadores.

Hay dos funciones F(X) eso gramo(X), y gramo(X) ≠ 0 sobre la base de la impersonalidad para nosotros, podemos calcular nueva función h(X) = F(X)/gramo(X). Para dicha función también puedes saber lo siguiente:

No débil, ¿verdad? ¿Las estrellas son menos? chomu gramo 2? ¡Y eso es! Esta es una de las fórmulas más complejas: no podrás entenderla sin bailar. Entonces es mejor rizarlo colillas específicas.

Zavdannya. Descubra las siguientes funciones:

El número y el signo de la fracción de piel tienen funciones elementales, por lo que todo lo que necesitamos es la fórmula de la parte de marcha:

Siguiendo la tradición, dividamos el número en multiplicadores, lo que significa que es fácil de entender:

Función de plegado: esta no es una fórmula complicada para aumentar el kilometraje. Por ejemplo, basta con tomar la función. F(X) = pecado X y reemplazar el cambio X, digamos, en X 2 + en X. Viide F(X) = pecado ( X 2 + en X) - esta es una función compleja. Ella todavía está en movimiento, pero no podrás conocer las reglas mencionadas anteriormente.

¿Yak buti? En tales situaciones, es útil reemplazar la variable y la fórmula por una función de plegado similar:

F ’(X) = F ’(t) · t', yakscho X ser reemplazado por t(X).

Como regla general, desde el punto de vista de la derecha, la fórmula es aún más confusa, menos privada. Esto también se puede explicar mejor con ejemplos específicos, con una descripción detallada del patrón de la piel.

Zavdannya. Descubra las siguientes funciones: F(X) = mi 2X + 3 ; gramo(X) = pecado ( X 2 + en X)

Estimado cual es la funcion F(X) reemplazar el virus 2 X+ 3 será simple X, entonces la función se vuelve elemental F(X) = mi X. Por este motivo, dudaremos en sustituirlo: déjalo ir 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = mi t. Buscamos una función de plegado similar detrás de la fórmula:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (mi t)’ · t ’ = mi t · t ’

Y ahora... ¡guau! Estamos realizando un reemplazo de devolución: t = 2X+ 3. Cancelado:

F ’(X) = mi t · t ’ = mi 2X+ 3 (2 X + 3)’ = mi 2X+ 3 2 = 2 mi 2X + 3

Ahora veamos la función. gramo(X). Obviamente necesita ser reemplazado X 2 + en X = t. Maemo:

gramo ’(X) = gramo ’(t) · t' = (pecado t)’ · t' = porque t · t ’

Reemplazo de devolución: t = X 2 + en X. Todi:

gramo ’(X) = porque ( X 2 + en X) · ( X 2 + en X)’ = porque ( X 2 + en X) · (2 X + 1/X).

¡Eso es todo! Como era obvio que todo había sido planeado, se realizaron todos los trabajos hasta recaudar la suma de dinero.

Sujeto:
F ’(X) = 2 · mi 2X + 3 ;
gramo ’(X) = (2X + 1/X) porque ( X 2 + en X).

Muy a menudo en mis lecciones reemplazo el término "oculto" por la palabra "accidente cerebrovascular". Por ejemplo, un trazo en una suma es igual a una suma de trazos. ¿Muy loco? Bueno, eso es bueno.

De esta forma, el cálculo de la marcha se reduce a la resta de estos mismos golpes según las reglas consideradas anteriormente. Como resto, pasemos al escenario de marcha con una exhibición racional:

(X norte)’ = norte · X norte − 1

Pocas personas saben lo que hay en el papel. norte En general, se puede utilizar un número fraccionario. Por ejemplo, raíz - tse X 0,5. ¿Qué pasa si estamos bajo las raíces y todo es elegante? Una vez más, hay una función de plegado: a estos diseños les gusta ceder robots de control Oh sí, lo experimentaré.

Zavdannya. Descubra las siguientes funciones:

Para empezar, reescribamos la raíz del paso visual con una expresión racional:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Ahora somos tímidos a la hora de reemplazarlo: déjalo ir X 2 + 8X − 7 = t. Conocemos la fórmula:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Hagamos un reemplazo rápido: t = X 2 + 8X− 7. Maemo:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Una vez solucionado, vayamos a la raíz:

Teorema sobre una función plegable similar, cuya formulación es la siguiente:

Sea 1) la función $u=\varphi (x)$ estar en el punto de canto $x_0$ go $u_(x)"=\varphi"(x_0)$; 2) la función $y=f(u)$ está ubicada en el punto final $u_0=\varphi (x_0)$ a lo largo de $y_(u)"=f"(u)$. Además, la función compleja $y=f\left(\varphi (x) \right)$ para adivinar el punto también es similar, igual a la suma de funciones similares $f(u)$ y $\varphi (x)$ :

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

O, para una notación más corta: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

En los extremos de esta sección, todas las funciones tienen la forma $y=f(x)$ (por lo que solo podemos ver una función como $x$). Aparentemente, a todos los traseros les gusta $y"$ para tomar el $x$ grande. Para alentar a aquellos que tienden a tomar el $x$ grande, a menudo escribe $y"_x$ en lugar de $y"$.

Para las culatas No. 1, No. 2 y No. 3 existe un informe sobre el proceso de búsqueda de las funciones de plegado. El ejemplo nº 4 del significado de la tabla de similares es más completo y podrás conocerlo.

Es necesario, después de cambiar el material de las culatas No. 1-3, proceder a la decisión independiente de las culatas No. 5, No. 6 y No. 7. Adjunte los números 5, 6 y 7 para mantener la solución breve para que el lector pueda verificar inmediatamente la exactitud de su resultado.

trasero #1

Encuentra la función $y=e^(\cos x)$.

Necesitamos conocer la función de plegado oculta $y"$. Si $y=e^(\cos x)$, entonces $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Necesitamos Conozca la fórmula oculta $ \ left(e^(\cos x)\right)"$ vikorista No. 6 de la tabla de similitudes. Para corregir la fórmula número 6, debes agregarla a nuestra ecuación $u=\cos x$. Además, la solución reside en la banal sustitución de la fórmula nº 6 por la forma $\cos x$ en lugar de $u$:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Ahora necesitamos saber el valor de la expresión $(\cos x)"$. Volvemos a la tabla de similitudes, seleccionando de ella la fórmula No. 10. Sustituyendo $u=x$ en la fórmula No. 10, obtenemos : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Ahora podemos continuar con la ecuación (1.1), completándola con el resultado:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \etiqueta (1.2) $$

Los fragmentos $x"=1$, luego se continúa con los celos (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Por lo tanto, a partir de la igualdad (1.3) podemos: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Es natural que se salten las explicaciones e igualdades intermedias, registrando las ocurrencias de iguales en una fila, como en igualdad (1.3) Ahora que se ha encontrado una función de plegado similar, ya no es posible escribir la respuesta.

Vіdpovid: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Trasero No. 2

Encuentre la función inicial $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Necesitamos calcular la pérdida $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Es significativo que la constante (el número 9) pueda tomarse como señal de la marcha:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \derecha)" \etiqueta (2.1) $$

Ahora me estoy volviendo loco con la expresión $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Para que sea más fácil seleccionar la fórmula de la tabla de fórmulas similares, presentar la expresión que se puede ver de esta forma: $\ left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Ahora está claro que es necesario revisar la fórmula número 2. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Podemos sustituir la fórmula $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ y $\alpha=12$:

Los celos adicionales (2.1) pueden eliminarse mediante el resultado:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

En esta situación, a menudo se permite un compromiso si el primer paso es elegir la fórmula $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ en lugar de la fórmula $ \left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. A la derecha está que la responsabilidad principal es similar a las funciones externas. Para comprender cómo la función en sí será externa a la expresión $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, comprenda que le importa el significado de la expresión $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ por cualquier valor $x$. Inicialmente calcularás el valor de $5^x$, luego multiplicarás el resultado por 4, restando $4\cdot 5^x$. Ahora, de este resultado, tomamos la arcotangente restando $ arcctg (4 cdot 5 ^ x) $. Luego reducimos el número al duodécimo paso restando $ arctg (12) (4 cdot 5 x) $. El resto de la acción, - tobto. planteado en el paso 12, - y lo hará función externa. Y de ahí queda una huella del comienzo de la guerra, que fue creada por los celos (2,2).

Ahora necesitamos saber $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Creemos la fórmula No. 19 en la tabla de similitudes, sustituyendo $u=4\cdot \ln x$ en ella:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Trochi simplemente otrimaniy viraz, vrahovuychi $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Los celos (2.2) ahora serán así:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \etiqueta (2.3) $$

Perdido por saber $(4\cdot \ln x)"$. Tomamos la constante (que es 4) como señal de muerte: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Para saber $(\ln x)"$ usando la fórmula No. 8, sustituyendo $u=x$ en ella: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"$ . Fragmentos $x"=1$, luego $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $. Sustituyendo el resultado en la fórmula (2.3), podemos eliminar:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$

Supongo que funciones de plegado similares se encuentran con mayor frecuencia en una fila, como está escrito en el resto de la ecuación. Por lo tanto, al elaborar procedimientos estándar o trabajos de control, no es en absoluto obligatorio describir las soluciones con tanto detalle.

Vіdpovid: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Número de serie 3

Encuentre la función $y"$ $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Para la mazorca, cambiamos la función $y$, habiendo determinado el radical (raíz) en el paso visible: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5 \cdot 9^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Ahora vayamos al funeral. Fragmentos $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, entonces:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Veamos la fórmula No. 2 de Vikory de la tabla de similitudes, sustituyendo antes $u=\sin(5\cdot 9^x)$ y $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Sigamos con los celos (3.1), vikorista y rechacemos el resultado:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Ahora necesitas saber $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Para esto, la fórmula No. 9 de tablas similares se puede obtener sustituyendo $u=5\cdot 9^x$ en ella:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Sumando los celos (3.2) podemos obtener el siguiente resultado:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \etiqueta (3.3) $$

Perdido por saber $(5\cdot 9^x)"$. Para la mazorca, se asigna una constante (el número $5$) como signo de la muerte, entonces $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. Para encontrar el índice $(9^x)"$, agregamos la fórmula No. 5 a la tabla de índices, sustituyendo antes de ella $a=9$ y $u=x$: $ (9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"$. Los fragmentos $x"=1$, luego $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Ahora puedes continuar con los celos (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Puedes volver a convertir los pasos en radicales (entonces son radicales) escribiendo $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ en la forma $ \frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5 \) cdot 9 ^x)))$. Esto se escribirá de la siguiente forma:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Vіdpovid: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ ) cdot 9^x)))$.

Valor No. 4

Demuestre que las fórmulas No. 3 y No. 4 de la tabla son similares y la siguiente subdivisión de la fórmula No. 2 de esta tabla.

En la fórmula No. 2 de la tabla de probabilidades, está escrita la función de movimiento $u^\alpha$. Sustituyendo $\alpha=-1$ en la fórmula No. 2, podemos eliminar:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Si $u^(-1)=\frac(1)(u)$ y $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, entonces el patrimonio (4.1) se puede reescribir de la siguiente manera: $ \ left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Esta es la fórmula No. 3 de la tabla de similitudes.

Me estoy volviendo loco otra vez con la fórmula número 2 de la tabla de bajas. Sustituyamos $\alpha=\frac(1)(2)$ antes:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Fragmentos $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ і $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, entonces el patrimonio (4.2) se puede reescribir de esta forma:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Los celos se han quitado $(sqrt(u))"=\frac(1)(2sqrt(u))cdot u"$ y es la fórmula No. 4 de la tabla de similitudes. Como puede ver, las fórmulas No. 3 y No. 4 de la tabla se derivan de la fórmula No. 2 sustituyendo el valor subordinado $ alfa $.