Cómo integrar fracciones racionales. Integración de la función tiro-racional. Método de coeficientes insignificantes. Tema: integración de fracciones racionales.

La fracción se llama correcto, ya que el nivel superior del numerador es menor que el nivel superior del firmante. La integral de una fracción racional regular queda así:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Fórmula para la integración fracciones racionales yacen en la raíz del miembro rico en el estandarte. Dado que el término rico $ ax^2+bx+c $ es:

1. Si las raíces son complejas, entonces es necesario ver el cuadrado final: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Si la raíz $ x_1 $ i $ x_2 $ es efectiva, entonces necesitas calcular la integral expandida y encontrar coeficiente desconocido$ A $ i $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B )(x-x_2) dx $$
3. Una raíz múltiple $ x_1 $, luego se expande la integral y se determina que los coeficientes $ A $ y $ B $ no son valiosos para la siguiente fórmula: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+ bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Como es posible equivocado, entonces el nivel superior del numerador es mayor que el nivel superior del firmante, es necesario elevarlo a correcto La forma de dividir el polinomio del término numérico en el término rico del denominador. En este caso, la fórmula para integrar una fracción racional queda así:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Aplica tu decisión

trasero 1

Encuentra la integral de una fracción racional: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Decisión

El significado es correcto y la riqueza de la raíz es sólo compleja. Entonces aparentemente hay un nuevo cuadrado: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Enrolle el primer cuadrado y colóquelo bajo el signo diferencial $x-5$: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Usando la tabla de integrales podemos deducir: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Si no logras cumplir tu misión, oblígate a nosotros. Necesitamos tomar una decisión más detallada. Puede familiarizarse con el progreso del cálculo y recuperar información. ¡Esto le ayudará a deshacerse rápidamente del depósito de su cuenta bancaria!

Vіdpovid

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

trasero 2

Integración de Viconati de fracciones racionales: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Decisión

Dividido al cuadrado: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Escribimos la raíz: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Con la suma de las raíces se recrea la integral: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Podemos descomponer la fracción racional: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x ) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Los números son iguales y se conocen los coeficientes $A$ y $B$: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Hacha + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(casos) A ​​+ B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(casos) $$ $$ \begin(casos) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(casos) $$ Introducimos el coeficiente encontrado en la integral y probablemente: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Vіdpovid

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Se revisan las aplicaciones de la integración de funciones racionales (fracciones) a partir de soluciones de informes.

Zmist

Div. también: Raíz cuadrada

Aquí somos guiados decisiones de informes Tres aplicaciones para la integración de tiro racional avanzado:
, , .

trasero 1

Calcula la integral:
.

Aquí, bajo el signo de la integral, se encuentra una función racional, y los fragmentos de una expresión integral se dividen en fracciones a partir de términos ricos. Paso del miembro rico del estandarte ( 3 ) menor que el grado del término numérico ( 4 ). Ese pequeño necesita ver toda la toma.

1. Vemos una parte completa de la toma. Dilimo x 4 por x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Zvidsi
.

2. Dividimos el banner en múltiplos. ¿Por qué necesitas desatar la alineación cúbica?
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Sustituible x = 1 :
.

1 . Dilimo por x - 1 :

Zvidsi
.
Parece ser cuadrado.
.
Raíz Rivnyanya: , .
todi
.

3. Analicemos las cosas en los términos más simples.

.

Bueno, lo sabemos:
.
Integrado.

trasero 2

Calcula la integral:
.

Aquí el analizador de números tiene una fracción, un término rico de grado cero ( 1 = x 0). El abanderado tiene un miembro rico de tercer grado. Oskólki 0 < 3 , entonces el regate es correcto. Dividámoslos en las fracciones más simples.

1. Dividimos el banner en múltiplos. ¿Para quién es necesario determinar el nivel de la tercera etapa?
.
Es aceptable que haya alguien que quiera sólo la raíz completa. Esta es también la fecha del número. 3 (Miembro sin x). Entonces la raíz entera puede ser uno de los números:
1, 3, -1, -3 .
Sustituible x = 1 :
.

Bueno, conocíamos una raíz x = 1 . Dilimo x 3 + 2 x - 3 en x - 1 :

otje,
.

Parece ser absolutamente igual:
X 2+x+3=0.
Discriminante conocido: D = 1 2 - 4 3 = -11. Oskólki D< 0 , entonces el ruibarbo no tiene raíces activas. De esta manera, distribuimos el banner en multiplicadores:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Sustituible x = 1 . Todi x - 1 = 0 ,
.

Sustituible en (2.1) x = 0 :
1 = 3 A-C;
.

Igual a (2.1) coeficientes en x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Integrado.
(2.2) .
Para calcular otra integral, al parecer en la calculadora numérica trasladamos el signo a la suma de cuadrados.

;
;
.

Yo calculable 2 .


.
Restos de Rivnyanya x 2+x+3=0 no tiene raíces activas, entonces x 2 + x + 3 > 0. Por lo tanto, se puede omitir el signo del módulo.

Entregado en (2.2) :
.

trasero 3

Calcula la integral:
.

Aquí, bajo el signo de la integral, se encuentran varios términos diferentes. Por tanto, la expresión integral tiene una función racional. El nivel de un polinomio en números es antiguo. 3 . La etapa del polinomio del significante es similar a la fracción. 4 . Oskólki 3 < 4 , entonces el regate es correcto. Por tanto, se pueden descomponer en fracciones simples. Para ello es necesario dividir el banner en multiplicadores.

1. Dividimos el banner en múltiplos. ¿Para quién es necesario determinar el nivel de la cuarta etapa?
.
Es aceptable que haya alguien que quiera sólo la raíz completa. Esta es también la fecha del número. 2 (Miembro sin x). Entonces la raíz entera puede ser uno de los números:
1, 2, -1, -2 .
Sustituible x = -1 :
.

Bueno, conocíamos una raíz x = -1 . Dilimo por x - (-1) = x + 1:


otje,
.

Ahora necesitas determinar el nivel de la tercera etapa:
.
Supongamos que la raíz entera es la raíz y la raíz del número 2 (Miembro sin x). Entonces la raíz entera puede ser uno de los números:
1, 2, -1, -2 .
Sustituible x = -1 :
.

Dios mío, hemos encontrado otra raíz x = -1 . Sería posible, como en el primer paso, dividir el término en y luego agrupar los términos:
.

Restos de Rivnyanya x 2 + 2 = 0 no hay raíces activas, luego eliminamos el diseño del banner en multiplicadores:
.

2. Analicemos las cosas en los términos más simples. Parece que está colocado frente a ti:
.
Se agrega una fracción al banner, multiplicada por (x+1) 2 (x2+2):
(3.1) .
Sustituible x = -1 . Todi x + 1 = 0 ,
.

Diferenciación (3.1) :

;

.
Sustituible x = -1 Realmente lo espero x + 1 = 0 :
;
; .

Sustituible en (3.1) x = 0 :
0 = 2A + 2B + D;
.

Igual a (3.1) coeficientes en x 3 :
;
1 = B + C;
.

Bueno, supimos descomponer las fracciones más simples:
.

3. Integrado.


.

Div. también:

“Un matemático, al igual que un artista, canta y crea creaciones artísticas. Y porque las opiniones de un matemático son más estables, sobre todo porque están compuestas de ideas... Las opiniones de un matemático, al igual que las de un artista o un poeta, deben ser hermosas; Las ideas son iguales como los colores y las palabras de culpa se comparten una a una. La belleza es lo primero: en el mundo no hay lugar para las feas matemáticas».

G.H.Hardy

En la primera sección se asumió que el objetivo principal sería lograr funciones simples que ya no podrían expresarse mediante funciones elementales. En este sentido, son de gran importancia práctica aquellas clases de funciones de las que podemos decir precisamente que sus funciones primarias son funciones elementales. Las funciones llegan a esta clase. funciones racionales, que son las relaciones de dos términos algebraicos ricos. Antes de integrar fracciones racionales, da un orden rico. Por tanto, es muy importante integrar dichas funciones.

2.1.1. Funciones racionales fraccionarias

fracción racional(o función racional de tiro) se llama relación de dos términos ricos algebraicos:

donde yo – miembros ricos.

Adivina qué miembro rico (polinomio, toda una función racional) norteª etapa se llama función

Delaware – números activos. Por ejemplo,

- miembro rico de la primera etapa;

- miembro rico de la cuarta etapa, etc.

El argumento racional (2.1.1) se llama correcto Si el nivel es más bajo que el nivel, entonces. norte<metro, en otro caso, el regate se llama equivocado.

Cualquier fracción irregular se puede servir en forma de parte grande (parte entera) y fracción regular (parte fraccionaria). La visualización del conjunto y de las partes de un plano irregular se puede realizar según la regla de la parte “cortada”.

Tope 2.1.1. Vea la fracción completa de las siguientes fracciones racionales irregulares:

A) , b) .

Decisión . a) El algoritmo de Vikorist se divide en un "golpe" y se puede eliminar

De esta manera rechazamos

.

b) Aquí también hay un algoritmo de vikory en un "golpe":

Como resultado, podemos rechazar

.

Traigamos las bolsas. La integral no insignificante de una fracción racional en una expresión literal se puede encontrar mediante la suma de las integrales del término rico y la fracción racional correcta. Encontrar los primeros tipos de polinomios no resulta difícil. Por tanto, es importante considerar fracciones racionales propias.

2.1.2. Las fracciones racionales más simples y su integración.

Entre las fracciones racionales regulares existen cuatro tipos que se relacionan con a las fracciones racionales más simples (elementales):

3) ,

4) ,

de - número entero, , entonces. trinomio cuadrático no tiene raíces activas.

La integración de las fracciones más simples del 1º y 2º tipo no plantea grandes dificultades:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Ahora veremos la integración de las fracciones más simples del tercer tipo, pero no veremos las fracciones del cuarto tipo.

Terminemos con las integrales en mente.

.

Esta integral se llama calcular mediante la forma de ver un cuadrado completo en el banner. El resultado es una integral tabular de la siguiente forma:

si no .

Tope 2.1.2. Encuentra integrales:

A) , b) .

Decisión . a) Visible desde el trinomio cuadrado, el nuevo cuadrado es:

conocemos las estrellas

b) Visto el nuevo cuadrado del trinomio cuadrado, podemos quitar:

De tal manera

.

para encontrar la integral

se puede ver en la calculadora numérica según el signo y la división de la integral por la suma de dos integrales: la primera por su sustitución ponerse al día

,

y el otro, a la cosa que se mira.

Tope 2.1.3. Encuentra integrales:

.

Decisión . Querido colegio . Visible en el número del banner:

La primera integral se calcula mediante sustitución adicional. :

La otra integral aparentemente tiene un cuadrado extra en el signo

Restante, podemos eliminarlo.

2.1.3. Establecer la fracción racional correcta
para la suma de las fracciones más simples

Sea el argumento racional correcto se puede ver en un solo orden mirando la suma de las fracciones más simples. Para ello, el banner debe dividirse en multiplicadores. De mucha álgebra se desprende claramente que la piel es rica en coeficientes activos.

Ingrese una función que requiera conocer la integral

Después de calcular la integral no valorada, puede recuperar la solución DETALLADA sin costo de la integral que ingresó.

Conocemos la solución de la integral no valorada de la función f(x) (una función similar).

Apliquelo

Desde la etapa estancada
(cuadrado y cubo) y fracciones

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Raíz cuadrada

Cuadrado(x)/(x + 1)

raíz cúbica

Cbrt(x)/(3*x + 2)

De cálculos de seno y coseno

2*sen(x)*cos(x)

arcoseno

X*arcossin(x)

Arco coseno

X*arcos(x)

Logaritmo de Zastosuvannya

X*log(x, 10)

Logaritmo natural

exponente

Tg(x)*sen(x)

Cotangente

Ctg(x)*cos(x)

fracciones irracionales

(cuadrado(x) - 1)/cuadrado(x^2 - x - 1)

Arctangente

X*arctg(x)

Arcotangente

X*arcctg(x)

Seno y coseno hiperbólicos

2*sh(x)*ch(x)

Tangente y cotangente hiperbólica

Ctgh(x)/tgh(x)

Arcoseno y arcocoseno hiperbólicos

X^2*arcsinh(x)*arcosh(x)

Arcotangente y arcocotangente hiperbólicos

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Reglas para introducir expresiones y funciones.

Las expresiones se pueden combinar con funciones (los significados están en orden alfabético): absoluto(x) Absolutamente no significativo X
(módulo X si no |x|) arccos(x) Función - arco coseno X arcocosh(x) Vista hiperbólica de arco coseno X arcosen(x) Vista arcoseno X arcosinh(x) Vista hiperbólica arcoseno X arctán(x) Función - arcotangente X arctgh(x) Vista hiperbólica arcangente X mi mi un número que es aproximadamente mayor que 2,7 exp(x) Función - exponente X(lo que yo mi^X) iniciar sesión(x) o en(x) Logaritmo natural X
(Tómalo registro7(x), debe ingresar log(x)/log(7) (o, por ejemplo, para registro10(x)=registro(x)/registro(10)) Pi El número es "Pi", que es aproximadamente anterior a 3,14 pecado(x) Función - Onda sinusoidal X porque(x) Función - Coseno X sinh(x) Función - Vista hiperbólica del seno X cosh(x) Función - Coseno tipo hiperbólico X raíz cuadrada (x) Función - raíz cuadrada de s X cuadrado(x) si no x^2 Función - Cuadrado X bronceado(x) Función - Vista tangente X tgh(x) Función - Tangente hiperbólica X cbrt(x) Función - raíz cúbica X

Los virus pueden realizar las siguientes operaciones: Números de referencia entrar de un vistazo 7.5 , No 7,5 2*x- multiplicación 3/x- dividir x^3- elevado al paso x+7- agregado x - 6- vidnіmannya
Otras funciones: piso(x) Función - redondeo X en el lado menshu (piso trasero(4.5)==4.0) techo(x) Función - redondeo X en el lado bueno (techo a tope (4,5) == 5,0) signo(x) Función - Signo X fuerza(x) Función de la leche (o integral de integridad) laplace(x) función de Laplace

Integrar la función racional \(\large\frac((P\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize,\) de \((P\left(x \ right ) ))\) y \((Q\left(x \right))\) − polinomios, se determina la secuencia de pasos:

Si el goteo es incorrecto (el paso \((P\left(x \right))\) es mayor que el paso \((Q\left(x \right))\)), cámbielo al correcto, ver el propósito de la expresión;

Extienda el cartel \((Q\left(x \right))\) en más monomios y/o expresiones cuadráticas lentas;

Descomponer la fracción racional en las fracciones más simples, vikoryst ;

Calcula integrales usando las fracciones más simples.

Echemos un vistazo al informe a continuación.

Krok 1. Reconversión de una fracción racional impropia

Dado que el término es irregular (entonces el paso numérico \((P\left(x \right))\) es mayor que el paso del signo \((Q\left(x \right))\)), el término rico \ ((P\) left es separable (x \right))\) en \((Q\left(x \right)).\) El viraz ofensivo puede ser rechazado: \[\frac((P\left(x \right))))((Q\left (x \right))) = F\left(x \right) + \frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \ right)))),\] de \( \large\frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize\) es la fracción racional correcta.

Crocus 2. Disposición del banner utilizando las fracciones más simples.

Escribamos el término rico del znamennik \((Q\left(x \right))\) en la forma \[ (Q\left(x \right) ) = ((\left((x - a) \ right)^\alpha ) \ cdots (\left((x - b) \right)^\beta )(\left(((x^2) + px + q) \right)^\mu ) \cdots (\ left(((x^2 ) ) + rx + s) \right)^\nu ),) \] las funciones cuadráticas no son rápidas, por lo que no hay raíces activas.

Lección 3. Distribución de fracciones racionales a partir de la suma de las fracciones más simples.

Escribamos la función racional en forma moderna: \[(\frac((R\left(x \right))))((Q\left(x \right))) = \frac(A)((((( \left (( x - a) \right))^\alpha ))) + \frac(((A_1))))((((\left((x - a) \right))^(\alpha - 1) )))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((A_(\alpha - 1)))))((x - a)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(B) (( (((\left( (x - b) \right))^\beta ))) + \frac(((B_1))))((((\left((x - b) \right)) ^( \beta - 1)))) ) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((B_(\beta - 1)))))((x - b)) )\kern0pt (+ \frac( (Kx + L)))((((\ left(((x^2) + px + q) \right))^\mu ))) + \frac(((K_1)x + (L_1))) )( (((\left(((x^2) ) + px + q) \right))^(\mu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((K_(\ mu - 1)))x + (L_(\mu - 1) ))))(((x^2) + px + q)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac((Mx + N)) (( ((\left(((x^2) + rx +) s) \right))^\nu ))) + \frac(((M_1)x + (N_1))))((((\ izquierda( ((x^2) + rx + s) \right))^ (\nu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((M_(\nu - 1))x + (N_ (\nu - 1)))))(((x^2) + rx + s)).) \] El número de coeficientes insignificantes es ilegal \((A_i),\) \((B_i), \) \(( K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \((N_i), \ldots\) puede aumentar el nivel del banner \((Q\left (x \derecha)).\)

Luego multiplicamos las partes ofensivas de lo retirado igual al banner \((Q\left(x \right))\) e igualamos los coeficientes para las sumas con los mismos pasos \(x.\) Como resultado, retiramos el sistema de iguales lineales sin coeficientes locales \((A_i ),\) \((B_i),\) \((K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \(( N_i), \ldots\) Este sistema siempre será Una decisión. Descripciones del algoritmo. método de coeficientes insignificantes .

Lección 4. Integración de las fracciones racionales más simples.

Las fracciones más simples, separadas del desarrollo de una fracción racional suficientemente regular, se integran mediante las siguientes seis fórmulas: \ \ Para fracciones con signo cuadrático, inicialmente es necesario ver el cuadrado exterior: \[\int (\frac( (Ax + B)))(((( (\left(((x^2) + px + q) \right))^k)))dx) = \int (\frac((At + B") ))((((\left((( t^2) ) + (m^2)) \right))^k)))dt) ,\] de \(t = x + \large\frac(p )(2)\normalsize,\) \( (m^2 ) = \large\frac((4q - (p^2)))(4)\normalsize,\) \(B" = B - \large\ frac((Ap))(2)\normalsize .\) Entonces las siguientes fórmulas se atascan: \[(4.\;\;\int (\frac((tdt)))((((\left((( t^2) + (m^2)) \right ))^k )))) ) = (\frac(1)((2\left((1 - k) \right)((\left((( t^2) + (m^2)) \right ))^( k - 1)))) ) \] \ Integral \(\large\int\normalsize (\large\frac((dt)))(( ((\left(((t^2) + ( m^2))) \right))^k)))\normalsize) \) puedes pagar por \(k\) kroki para obtener ayuda adicional fórmulas de reducción\[ (6.\;\;\int (\frac((dt)))((((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^k)))) ) = (\frac(t)((2(m^2)\left((k - 1) \right)((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^ ( k - 1)))) ) (+ \frac((2k - 3))((2(m^2)\left((k - 1) \right)))\int (\frac((dt) ) ((((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^(k - 1))))) ) \]