Párese frente a las coordenadas del avión (el más corto). Levantarse del punto al plano: ubicación marcada y aplicada Levantarse de las coordenadas al plano

En este artículo definimos la distancia de un punto a un plano y analizaremos el método de coordenadas, que nos permite encontrar la distancia de un punto determinado a un plano determinado en un espacio trivial. Después de presentar la teoría, analizaremos brevemente las soluciones a varias aplicaciones y tareas características.

Navegación de páginas.

Pararse desde un punto hasta un plano: el significado.

La distancia de un punto a un plano se determina mediante, uno de los cuales es un punto dado y el otro es la proyección de un punto dado sobre un plano dado.

Sean dados un punto M 1 y un plano en el espacio trivial. Dibujemos una recta a que pase por el punto M 1, perpendicular al plano. Es significativo que el punto de la barra transversal de la recta a y el plano yak H 1. La sección M 1 H 1 se llama perpendicular, Bajamos el punto M 1 al plano y el punto H 1 - soporte perpendicular.

Viznachennya.

- desde el punto dado hasta la base de la perpendicular trazada desde el punto dado hasta el plano dado.

Muy a menudo, la distancia designada entre el punto y el plano en la vista de aproximación se vuelve más nítida.

Viznachennya.

Levántate del punto al avión.- el valor de la mitad de la perpendicular caída desde un punto dado a un plano dado.

La traza es para indicar que se elevará desde el punto M 1 al avión de tal manera que sea la más pequeña de las distancias desde el punto dado M 1 a cualquier punto del avión. Claramente, supongamos que el punto H 2 se encuentre en el plano y la prominencia del punto H 1. Obviamente, el tricutáneo M 2 H 1 H 2 es rectangular, en el cual M 1 H 1 es el cateto y M 1 H 2 es la hipotenusa, por lo tanto , . Antes del discurso, se llama la sección M 1 H 2. enfermizo, Conducido desde el punto M 1 al avión. Entonces, la perpendicular, que desciende desde un punto dado a un plano dado, es entonces menor que la perpendicular, trazada desde un punto dado a un plano dado.

Ascenso del punto al plano: teoría, aplicación, solución.

Ciertos problemas geométricos en cualquier etapa de la solución requieren encontrar la línea que une un punto con un plano. El método para el cual se selecciona dependiendo de los datos de salida. Asegúrate de mencionar los resultados de la teoría y el teorema de Pitágoras, que son señal de fidelidad y similitud con el Tricutáneo. Si necesita saber la distancia de un punto a un plano dado en un espacio trivial, entonces el método de coordenadas viene al rescate. Veamos en qué punto del artículo.

Primero formulemos el problema mental.

Al sistema de coordenadas rectilíneo Oxyz en un espacio trivial se le da un punto , El área y es necesario conocer la distancia desde el punto M 1 al área.

Veamos dos formas de lograr este objetivo. El primer método le permite calcular la distancia de un punto a un plano basándose en las coordenadas encontradas del punto H 1, la perpendicular trazada desde el punto M 1 al plano, y además calcula la distancia entre los puntos M 1 y H 1. Otro método Para encontrar la estación cerca de un punto dado hasta el área dada está sujeto al vicor del nivel normal del área dada.

El primer método, que le permite calcular la distancia desde el punto. al piso.

Sea H 1 la base de la perpendicular trazada desde el punto M 1 al plano. Dado que las coordenadas del punto H 1 son significativas, entonces la distancia desde el punto M 1 al plano se puede calcular como la distancia entre los puntos. і detrás de la fórmula. De esta forma, resulta imposible conocer las coordenadas del punto H 1.

otje, algoritmo para encontrar la distancia desde un punto al piso ofensivo:

Otro método adecuado para encontrar la distancia desde el punto. al piso.

Dado que en el sistema de coordenadas rectilíneo Oxyz tenemos un plano, podemos determinar el plano normal de la vista. Luego párate frente al punto. al área se calcula usando la fórmula. La validez de esta fórmula para encontrar la distancia de un punto a un plano la establece el teorema.

Teorema.

Si el sistema de coordenadas rectangular Oxyz se fija en el espacio trivial, se da un punto y un nivel normal de apariencia plana. Párese desde el punto M 1 hasta el plano igual al valor absoluto del valor de la viraza, que se encuentra en el lado izquierdo del plano normal del avión, calculado en, entonces.

Finalizado.

La demostración de este teorema es absolutamente similar a la demostración de un teorema similar en la sección que va del punto a la recta.

Es difícil demostrar que la distancia desde el punto M 1 al plano es igual al módulo diferencia de la proyección numérica M 1 y el valor de la distancia desde la base de coordenadas al plano, entonces , de - vector normal de área, unidades antiguas, - directamente, tal como está representado por un vector.

і hay una cosa detrás del significado, pero en forma coordinada. Bueno, ¿qué necesitabas traer a la mesa?

De tal manera pararse frente al punto al plano se puede calcular sustituyendo las coordenadas x, y y z del punto M 1 en la parte izquierda del plano normal del avión y tomando el valor absoluto del valor extraído.

La culata está situada en el punto al piso.

Culata.

Descubra dónde situarse desde el punto al piso.

Decisión.

Primer método.

En la tarea mental se nos da un nivel oculto de superficie, está claro que - vector normal de este plano. Este vector se puede tomar como el vector director de la recta a, perpendicular a un plano dado. Entonces podemos escribir las líneas canónicas de rectas en el espacio, como si pasaran por un punto. Y hay un vector de dirección con coordenadas, como puedes ver.

Procedemos a encontrar las coordenadas del punto del travesaño de la recta. y área. Significativamente її H 1. Para lo cual definimos la transición de las líneas rectas canónicas a los niveles de dos planos que se cruzan:

Ahora tenemos un sistema de rangos. (Si es necesario, recurrir a las estadísticas). vikoristamo:

De esta forma...

Ya no puedo calcular la distancia requerida desde un punto determinado a un plano determinado entre los puntos і:
.

Otra forma es virtuosa.

Mantengamos el nivel normal del área dada. Para ello necesitamos que la superficie plana tenga un aspecto normal. Habiendo valorado el multiplicador normalizador , Se quita el nivel normal del avión. . Se volvió imposible calcular el valor de la parte izquierda de la línea eliminada cuando y tome el módulo del valor extraído - luego deje que el botón se mantenga firme hasta el punto a la planitud:

Por eso leí esto en esta página (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)

D=-D3DXVec3Dot(&vP1,&vNormal);

donde vP1 es el punto del plano y vNormal es la normal al plano. Es menos importante que esto te dé el beneficio de la duda, ya que el resultado siempre será igual a 0. Además, para ser razonables (todavía hay algunas nieblas en la parte D del plano), e incluso d en la río plano ¿La niñera se levantará de la línea a través de una mazorca de luz a una mazorca de llanura?

matemáticas

3 tipos

6

En la forma halal, la distancia entre el punto p y el plano se puede calcular mediante la fórmula

Delaware -operación de un producto puntual

= Ax * bx + ay * por + az * bz

donde p0 es un punto en el plano.

Dado que n tiene una única duplicación, entonces la línea de puntos entre el vector y it es la duplicación (con signo) de la proyección del vector sobre la Normal

La fórmula, como saben, simplemente se redondea con una gota, ya que el punto p es una raíz coordinadora. A este respecto

Distancia = = -

La integridad es formalmente incorrecta, ya que un punto sólido es un vector, y no un punto... pero aún así triangula numéricamente. Habiendo escrito una fórmula explícita, la eliminas.

(0 - p0.x) * n.x + (0 - p0.y) * n.y + (0 - p0.z) * n.z

es lo mismo

- (p0.x * n.x + p0.y * n.y + p0.z * n.z)

2

El resultado siempre es igual a cero. El resultado será igual a cero solo en el caso de que el plano pase por la raíz de coordenadas. (Aquí supongamos que no tenemos que pasar por las coordenadas).

Básicamente, se te proporciona una línea desde el comienzo de las coordenadas hasta cualquier punto del plano. (Es decir, tienes un vector de coordenadas hasta vP1). El problema con este vector es que, sobre todo, las acumulaciones se dirigen a algún lugar distante del avión y no al punto más cercano del avión. De esta manera, si simplemente tomas el dowzhin vP1, te llevas una gran suma por adelantado.

Lo que hay que hacer es dibujar la proyección de vP1 sobre un vector real que, como sabes, es perpendicular al plano. Esto es, en primer lugar, vNormal. Ahora, toma la línea de puntos vP1 y vNormal y divídela en vNormal y obtendrás la respuesta. (Si sería bueno darle vNormal, que ya tiene el mismo tamaño, entonces no es necesario separarlo).

1

Puedes resolver este problema usando multiplicadores de Lagrange:

Ya sabes que el punto más cercano de la llanura es el culpable de la visión de la madre:

C = p + v

Donde c es el punto más cercano y v es el vector del área (por lo tanto, ortogonal a la normal a n). Quieres saberlo con la norma más pequeña (o la norma al cuadrado). De esta manera, puedes minimizar el punto (c, c) pensando que v es ortogonal a n (de esta manera, punto (v, n) = 0).

De esta manera, configure el lagrangiano:

L = punto (c, c) + lambda * (punto (v, n)) L = punto (p + v, p + v) + lambda * (punto (v, n)) L = punto (p, p) + 2 * punto (p, v) + punto (v, v) * lambda * (punto (v, n))

Llevo la relación a v (la puse en 0) para cancelar:

2 * p + 2 * v + lambda * n = 0

Puede elegir lambda en el ruibarbo colocando una marca de verificación y haciendo vibrar los lados ofensivos en n, para eliminar

2 * punto (p, n) + 2 * punto (v, n) + lambda * punto (n, n) = 0 2 * punto (p, n) + lambda = 0 lambda = - 2 * punto (p, n )

Una vez más, punto (n, n) = 1 y punto (v, n) = 0 (ya que v está en el plano y n es ortogonal a él). Luego se gira la lambda sustituta para eliminar:

2 * p + 2 * v - 2 * punto (p, n) * n = 0

entro para v para eliminar:

V = punto (p, n) * n - p

Luego conéctelo nuevamente a c = p + v para obtener:

C = punto (p, n) * n

Dovzhina de este vector es mayor | punto(p,n) | , El signo te dice si hay un punto en la línea recta del vector normal delante de la raíz de coordenadas o en la línea recta de inversión delante de la raíz de coordenadas.

La distancia más corta desde el avión hasta el origen de las coordenadas desde las proximidades del nivel del avión.

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Este artículo habla sobre la distancia calculada desde un punto a un plano. Es posible analizar utilizando el método de coordenadas, que le permite encontrar la ubicación de un punto dado en un espacio trivial. Para asegurarlo, miremos el extremo de la calcomanía.

La distancia de un punto a un plano se ubica detrás de la distancia correspondiente de un punto a un punto, donde uno de ellos está dado y el otro es una proyección sobre el plano dado.

Si en el espacio se especifica un punto M 1 con un plano χ, entonces a través del punto se puede trazar una línea recta perpendicular al plano. H 1 es el punto de la esquina del travesaño. Está claro que la sección M 1 H 1 es una perpendicular que se traza desde el punto M 1 hasta el área χ, y el punto H 1 es la base de la perpendicular.

valor 1

Llame a la distancia desde un punto dado hasta la base de la perpendicular, que se traza desde un punto dado hasta un plano dado.

Los elogios se pueden escribir en diferentes fórmulas.

Vicenza 2

Me elevaré de un punto a un plano. Se llama longitud de la perpendicular trazada desde un punto dado a un plano dado.

La distancia desde el punto M 1 al plano χ se calcula de la siguiente manera: la distancia desde el punto M 1 al plano χ será la menor desde un punto dado hasta cualquier punto del plano. Dado que el punto H 2 se expande en el plano χ y no está relacionado con el punto H 2, entonces se forma un tricubículo rectangular de la forma M 2 H 1 H 2. , Que es de corte recto, que es el cateto M 2 H 1, M 2 H 2 - hipotenusa. Esto significa que M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 Es importante proceder desde el punto M 1 hasta el área χ. Es posible que dibujar perpendicular desde un punto dado a un plano sea menos difícil que dibujar desde un punto a un plano dado. Echemos un vistazo al pequeño, apuntando más abajo.

Ascenso de un punto a un plano: teoría, aplicación, soluciones.

Hay una serie de problemas geométricos cuya solución requiere pasar de un punto a un plano. Los métodos para revelar esto pueden variar. Para colmo, es necesario explicar el teorema de Pitágoras y las similitudes del tricutáneo. Si necesita ampliar la distancia desde un punto a un plano especificado en un sistema de coordenadas rectangular de un espacio trivial, utilice el método de coordenadas. El párrafo de Dinamarca analiza este método.

En teoría, dado un punto en el espacio trivial con coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1) y área χ, es necesario determinar la distancia desde M 1 al área χ. Para lograr el éxito, existen varias formas de lograrlo.

primer método

Este método se prepara a una cierta distancia del punto al plano utilizando las coordenadas adicionales del punto H 1, que es la perpendicular del punto M 1 al plano χ. A continuación debes calcular la diferencia entre M 1 y H 1.

Para alcanzar el nivel deseado de otra manera, mantenga el nivel normal del área dada.

de otra manera

Detrás de la mente, podemos ver que H 1 es la base de la perpendicular, que descendió desde el punto M 1 al plano χ. Luego calculamos las coordenadas (x 2, y 2, z 2) del punto H 1. Shukan desde M 1 al plano χ viene dado por la fórmula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, de M 1 (x 1, y 1, z 1) en H 1 (x 2, y 2, z 2). Para lograr esto, es necesario conocer las coordenadas del punto H 1.

Es posible que H 1 sea el punto del travesaño del plano χ de la recta a, que pasa por el punto M 1, movido perpendicular al plano χ. La estrella muestra que es necesario crear una línea recta que pase por un punto determinado perpendicularmente a un plano determinado. También es posible calcular las coordenadas del punto H 1. Es necesario calcular las coordenadas del punto del travesaño de la recta y del plano.

Algoritmo para encontrar la distancia desde un punto con coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1) al plano χ:

Vicenza 3

• pendiente de la recta que pasa por el punto M 1 y al mismo tiempo
• perpendicular al área χ;
• conocer y calcular las coordenadas (x 2, y 2, z 2) del punto H 1, que son puntos
• travesaño de la recta a con el plano χ;
• calcule la relación de M 1 a χ, usando la fórmula vikorista M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

tercer método

Dado un sistema de coordenadas rectangular Pro x y z tiene un plano χ, entonces se deriva el plano normal de la forma cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 (x 1, y 1, z 1. ), dibujado al área χ, que se calcula usando la fórmula M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p. Esta fórmula es válida, ya que se han establecido los principios del teorema.

teorema

Si se da un punto M 1 (x 1, y 1, z 1) en un espacio trivial, entonces el plano normal es igual a la forma cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, entonces el cálculo la distancia del punto al plano M 1 H 1 se calcula mediante la fórmula M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p, ya que x = x 1, y = y 1, z = z 1.

Finalizado

La demostración del teorema se reduce a encontrar la recta que va de un punto a una recta. Está claro que la distancia de M 1 al plano χ es igual al módulo diferencia de la proyección numérica del vector de radio M 1 desde la superficie de las coordenadas al plano χ. Entonces la expresión M 1 H 1 = n p n → O M → - p. El vector normal del área χ parece n → = cos α, cos β, cos γ, y su duplicación es más uno, npn → OM → - proyección numérica del vector OM → = (x 1, y 1, z 1 ) y directamente, que se indica vector n →.

Resumamos la fórmula para calcular vectores escalares. Entonces es posible encontrar un vector de la forma n →, OM → = n → npn → OM → = 1 npn → OM → = npn → OM →, ya que n → = cos α, cos β, cos γ z y OM → = (x 1, y 1, z 1). La forma de coordenadas de la grabación es n →, OM → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, entonces M 1 H 1 = npn → OM → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. El teorema ha sido demostrado.

Está claro que la distancia desde el punto M 1 (x 1, y 1, z 1) al área χ se calcula mediante sustitución adicional en el lado izquierdo del nivel normal del área cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 Reemplazo de coordenadas x, y, z x 1, y 1 i z 1, Lo que se lleva al punto M 1, tomando el valor absoluto del valor eliminado.

Echemos un vistazo a cómo encontrar la distancia desde un punto con coordenadas a un plano determinado.

trasero 1

Calcula la distancia desde el punto con coordenadas M 1 (5, - 3, 10) al área 2 x - y + 5 z - 3 = 0.

Decisión

Resolvemos el problema de dos maneras.

La primera forma es calcular el vector director de la recta a. Se supone que el nivel del área se establece en 2 x - y + 5 z - 3 = 0 lamento ver, Y n → = (2, - 1, 5) es el vector normal del área dada. Este debe colocarse en la dirección del vector director de la recta a, que es perpendicular al área dada. La traza consiste en registrar el alineamiento canónico de una recta en el espacio que pasa por M 1 (5, - 3, 10) a partir de estos, la cual es dirigida por un vector de coordenadas 2, - 1, 5.

El remache se ve así x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

La diapositiva marca los puntos de la barra transversal. Para ello, es necesario combinar la alineación en un sistema para la transición de la alineación canónica a la alineación de dos líneas rectas que se cruzan. te daré un punto tomado como N 1. Rechazado, por lo que

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

¿Por qué es necesario modificar el sistema?

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Veamos la regla de solución del sistema según Gaus:

1 2 0 - 1 5 0 Delantero - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

Suponemos que H 1 (1, - 1, 0).

Es posible calcular la distancia desde un punto determinado a un plano. Tome los puntos M 1 (5, - 3, 10) y H 1 (1, - 1, 0) y seleccione

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Otra forma de lograr el mejor resultado es llevar el nivel dado 2 x - y + 5 z - 3 = 0 a una apariencia normal. El multiplicador de normalización se deriva de 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. De esto podemos ver el nivel del área 2 30 · x del área - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. El cálculo de la niñera del lado izquierdo se realiza sustituyendo x = 5, y = - 3, z = 10, y es necesario tomar la sustitución de M 1 (5, - 3, 10) por 2 x - y + 5 z - 3 = 0 módulo. Vamos a ver:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Versión 2 30.

Si el área de superficie χ se especifica mediante uno de los métodos de la sección sobre cómo establecer el área de superficie, entonces es necesario primero eliminar el nivel del área χ y calcular los resultados de acuerdo con cualquier método.

trasero 2

En el espacio trivial, los puntos se dan con coordenadas M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Calcule la distancia desde M 1 al área A B C.

Decisión

Para la mazorca, es necesario registrar el nivel del área para pasar por los tres puntos dados con coordenadas M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6 , 1), C (4, 0, - 1).

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ xy - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Parece que la decisión es similar a la decisión anterior. Esto significa que desde el punto M 1 al plano A B C el valor es 2 30.

Versión 2 30.

El valor de la distancia desde un punto dado en el plano o al plano que es paralelo, más precisamente, formulando la fórmula M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - pag. Está claro que se tiene en cuenta el nivel normal de planitud.

trasero 3

Encuentre la distancia desde un punto dado con coordenadas M 1 (- 3, 2, - 7) a Plano coordinado Acerca de x y z y el área dada a los niveles 2 y - 5 = 0.

Decisión

El área de coordenadas Pro y z es similar a la forma x = 0. Para el área Pro y z es normal. Por lo tanto, es necesario sustituir el valor x = - 3 en el lado izquierdo y tomar el módulo del valor desde el punto con coordenadas M 1 (- 3, 2, - 7) al plano. Se elimina el valor, igual a - 3 = 3.

Después de transformar el nivel normal del plano 2 y - 5 = 0, se quita la vista y - 5 2 = 0. Luego puedes averiguar dónde mirar desde el punto con coordenadas M 1 (- 3, 2, - 7. ) al plano 2 y - 5 = 0. Sustituyendo Y habiendo calculado, restamos 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

prueba: Shukan de M 1 (- 3, 2, - 7) a Pro y z tiene un valor de 3, y a 2 y - 5 = 0 tiene un valor de 5 2 - 2.

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