Integral de una fracción impropia. Integración de las fracciones más simples. Integración de la función tiro-racional correcta.

Integrar la función racional \(\large\frac((P\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize,\) de \((P\left(x \ right ) ))\) y \((Q\left(x \right))\) − polinomios, se determina la secuencia de pasos:

Si el goteo es incorrecto (el paso \((P\left(x \right))\) es mayor que el paso \((Q\left(x \right))\)), cámbielo al correcto, ver el propósito de la expresión;

Extienda el cartel \((Q\left(x \right))\) en más monomios y/o expresiones cuadráticas lentas;

Descomponer la fracción racional en las fracciones más simples, vikoryst ;

Calcula integrales usando las fracciones más simples.

Echemos un vistazo al informe a continuación.

Krok 1. Reconversión de una fracción racional impropia

Dado que el término es irregular (entonces el paso numérico \((P\left(x \right))\) es mayor que el paso del signo \((Q\left(x \right))\)), el término rico \ ((P\) left es separable (x \right))\) en \((Q\left(x \right)).\) El viraz ofensivo puede ser rechazado: \[\frac((P\left(x \right))))((Q\left (x \right))) = F\left(x \right) + \frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \ right)))),\] de \( \large\frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize\) es la fracción racional correcta.

Crocus 2. Disposición del banner utilizando las fracciones más simples.

Escribamos el término rico del znamennik \((Q\left(x \right))\) en la forma \[ (Q\left(x \right) ) = ((\left((x - a) \ right)^\alpha ) \ cdots (\left((x - b) \right)^\beta )(\left(((x^2) + px + q) \right)^\mu ) \cdots (\ left(((x^2 ) ) + rx + s) \right)^\nu ),) \] las funciones cuadráticas no son rápidas, por lo que no hay raíces activas.

Lección 3. Distribución de fracciones racionales a partir de la suma de las fracciones más simples.

Escribamos la función racional en forma moderna: \[(\frac((R\left(x \right))))((Q\left(x \right))) = \frac(A)((((( \left (( x - a) \right))^\alpha ))) + \frac(((A_1))))((((\left((x - a) \right))^(\alpha - 1) )))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((A_(\alpha - 1)))))((x - a)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(B) (( (((\left( (x - b) \right))^\beta ))) + \frac(((B_1))))((((\left((x - b) \right)) ^( \beta - 1)))) ) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((B_(\beta - 1)))))((x - b)) )\kern0pt (+ \frac( (Kx + L)))((((\ left(((x^2) + px + q) \right))^\mu ))) + \frac(((K_1)x + (L_1))) )( (((\left(((x^2) ) + px + q) \right))^(\mu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((K_(\ mu - 1)))x + (L_(\mu - 1) ))))(((x^2) + px + q)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac((Mx + N)) (( ((\left(((x^2) + rx +) s) \right))^\nu ))) + \frac(((M_1)x + (N_1))))((((\ izquierda( ((x^2) + rx + s) \right))^ (\nu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((M_(\nu - 1))x + (N_ (\nu - 1)))))(((x^2) + rx + s)).) \] El número de coeficientes insignificantes es ilegal \((A_i),\) \((B_i), \) \(( K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \((N_i), \ldots\) puede aumentar el nivel del banner \((Q\left (x \derecha)).\)

Luego multiplicamos las partes ofensivas de lo retirado igual al banner \((Q\left(x \right))\) e igualamos los coeficientes para las sumas con los mismos pasos \(x.\) Como resultado, retiramos el sistema de iguales lineales sin coeficientes locales \((A_i ),\) \((B_i),\) \((K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \(( N_i), \ldots\) Este sistema siempre será Una decisión. Descripciones del algoritmo. método de coeficientes insignificantes .

Lección 4. Integración de los más simples. fracciones racionales.

Las fracciones más simples, separadas del desarrollo de una fracción racional suficientemente regular, se integran mediante las siguientes seis fórmulas: \ \ Para fracciones con signo cuadrático, inicialmente es necesario ver el cuadrado exterior: \[\int (\frac( (Ax + B)))(((( (\left(((x^2) + px + q) \right))^k)))dx) = \int (\frac((At + B") ))((((\left((( t^2) ) + (m^2)) \right))^k)))dt) ,\] de \(t = x + \large\frac(p )(2)\normalsize,\) \( (m^2 ) = \large\frac((4q - (p^2)))(4)\normalsize,\) \(B" = B - \large\ frac((Ap))(2)\normalsize .\) Entonces las siguientes fórmulas se atascan: \[(4.\;\;\int (\frac((tdt)))((((\left((( t^2) + (m^2)) \right ))^k )))) ) = (\frac(1)((2\left((1 - k) \right)((\left((( t^2) + (m^2)) \right ))^( k - 1)))) ) \] \ Integral \(\large\int\normalsize (\large\frac((dt)))(( ((\left(((t^2) + ( m^2))) \right))^k)))\normalsize) \) puedes pagar por \(k\) kroki para obtener ayuda adicional fórmulas de reducción\[ (6.\;\;\int (\frac((dt)))((((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^k)))) ) = (\frac(t)((2(m^2)\left((k - 1) \right)((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^ ( k - 1)))) ) (+ \frac((2k - 3))((2(m^2)\left((k - 1) \right)))\int (\frac((dt) ) ((((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^(k - 1))))) ) \]

“Un matemático, al igual que un artista, canta y crea creaciones artísticas. Y porque las opiniones de un matemático son más estables, sobre todo porque están compuestas de ideas... Las opiniones de un matemático, al igual que las de un artista o un poeta, deben ser hermosas; Las ideas son iguales como los colores y las palabras de culpa se comparten una a una. La belleza es lo primero: en el mundo no hay lugar para las feas matemáticas».

G.H.Hardy

En la primera sección se asumió que el objetivo principal sería lograr funciones simples que ya no podrían expresarse mediante funciones elementales. En este sentido, son de gran importancia práctica aquellas clases de funciones de las que podemos decir precisamente que sus funciones primarias son funciones elementales. Las funciones llegan a esta clase. funciones racionales, que son las relaciones de dos términos algebraicos ricos. Antes de integrar fracciones racionales, da un orden rico. Por tanto, es muy importante integrar dichas funciones.

2.1.1. Funciones racionales fraccionarias

fracción racional(o función racional de tiro) se llama relación de dos términos ricos algebraicos:

donde yo – miembros ricos.

Adivina qué miembro rico (polinomio, toda una función racional) norteª etapa se llama función

Delaware – números activos. Por ejemplo,

- miembro rico de la primera etapa;

- miembro rico de la cuarta etapa, etc.

El argumento racional (2.1.1) se llama correcto Si el nivel es más bajo que el nivel, entonces. norte<metro, en otro caso, el regate se llama equivocado.

Cualquier fracción irregular se puede servir en forma de parte grande (parte entera) y fracción regular (parte fraccionaria). La visualización del conjunto y de las partes de un plano irregular se puede realizar según la regla de la parte “cortada”.

Tope 2.1.1. Vea la fracción completa de las siguientes fracciones racionales irregulares:

A) , b) .

Decisión . a) El algoritmo de Vikorist se divide en un "golpe" y se puede eliminar

De esta manera rechazamos

.

b) Aquí también hay un algoritmo de vikory en un "golpe":

Como resultado, podemos rechazar

.

Traigamos las bolsas. La integral no insignificante de una fracción racional en una expresión literal se puede encontrar mediante la suma de las integrales del término rico y la fracción racional correcta. Encontrar los primeros tipos de polinomios no resulta difícil. Por tanto, es importante considerar fracciones racionales propias.

2.1.2. Las fracciones racionales más simples y su integración.

Entre las fracciones racionales regulares existen cuatro tipos que se relacionan con a las fracciones racionales más simples (elementales):

3) ,

4) ,

de - número entero, , entonces. trinomio cuadrático no tiene raíces activas.

La integración de las fracciones más simples del 1º y 2º tipo no plantea grandes dificultades:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Ahora veremos la integración de las fracciones más simples del tercer tipo, pero no veremos las fracciones del cuarto tipo.

Terminemos con las integrales en mente.

.

Esta integral se llama calcular mediante la forma de ver un cuadrado completo en el banner. El resultado es una integral tabular de la siguiente forma:

si no .

Tope 2.1.2. Encuentra integrales:

A) , b) .

Decisión . a) Visible desde el trinomio cuadrado, el nuevo cuadrado es:

conocemos las estrellas

b) Visto el nuevo cuadrado del trinomio cuadrado, podemos quitar:

De tal manera

.

para encontrar la integral

se puede ver en la calculadora numérica según el signo y la división de la integral por la suma de dos integrales: la primera por su sustitución ponerse al día

,

y el otro, a la cosa que se mira.

Tope 2.1.3. Encuentra integrales:

.

Decisión . Querido colegio . Visible en el número del banner:

La primera integral se calcula mediante sustitución adicional. :

La otra integral aparentemente tiene un cuadrado extra en el signo

Restante, podemos eliminarlo.

2.1.3. Establecer la fracción racional correcta
para la suma de las fracciones más simples

Sea el argumento racional correcto se puede ver en un solo orden mirando la suma de las fracciones más simples. Para ello, el banner debe dividirse en multiplicadores. De mucha álgebra se desprende claramente que la piel es rica en coeficientes activos.

Aplicaciones de integración revisadas funciones racionales(Drobiv) con decisiones de presentación de informes.

Zmist

Div. también: Raíz cuadrada

Aquí informamos sobre tres aplicaciones de la integración de fracciones racionales avanzadas:
, , .

trasero 1

Calcula la integral:
.

Aquí, bajo el signo de la integral, se encuentra una función racional, y los fragmentos de una expresión integral se dividen en fracciones a partir de términos ricos. Paso del miembro rico del estandarte ( 3 ) menor que el grado del término numérico ( 4 ). Ese pequeño necesita ver toda la toma.

1. Vemos una parte completa de la toma. Dilimo x 4 por x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Zvidsi
.

2. Dividimos el banner en múltiplos. ¿Por qué necesitas desatar la alineación cúbica?
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Sustituible x = 1 :
.

1 . Dilimo por x - 1 :

Zvidsi
.
Parece ser cuadrado.
.
Raíz Rivnyanya: , .
todi
.

3. Vamos a dividirlo en términos más simples.

.

Bueno, lo sabemos:
.
Integrado.

trasero 2

Calcula la integral:
.

Aquí el analizador de números tiene una fracción, un término rico de grado cero ( 1 = x 0). El abanderado tiene un miembro rico de tercer grado. Oskólki 0 < 3 , entonces el regate es correcto. Dividámoslos en las fracciones más simples.

1. Dividimos el banner en múltiplos. ¿Para quién es necesario determinar el nivel de la tercera etapa?
.
Es aceptable que haya alguien que quiera sólo la raíz completa. Esta es también la fecha del número. 3 (Miembro sin x). Entonces la raíz entera puede ser uno de los números:
1, 3, -1, -3 .
Sustituible x = 1 :
.

Bueno, conocíamos una raíz x = 1 . Dilimo x 3 + 2 x - 3 en x - 1 :

otje,
.

Parece ser absolutamente igual:
X 2+x+3=0.
Discriminante conocido: D = 1 2 - 4 3 = -11. Oskólki D< 0 , entonces el ruibarbo no tiene raíces activas. De esta manera, distribuimos el banner en multiplicadores:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Sustituible x = 1 . Todi x - 1 = 0 ,
.

Sustituible en (2.1) x = 0 :
1 = 3 A-C;
.

Igual a (2.1) coeficientes en x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Integrado.
(2.2) .
Para calcular otra integral, al parecer en la calculadora numérica trasladamos el signo a la suma de cuadrados.

;
;
.

Yo calculable 2 .


.
Restos de Rivnyanya x 2+x+3=0 no tiene raíces activas, entonces x 2 + x + 3 > 0. Por lo tanto, se puede omitir el signo del módulo.

Entregado en (2.2) :
.

trasero 3

Calcula la integral:
.

Aquí, bajo el signo de la integral, se encuentran varios términos diferentes. Por tanto, la expresión integral tiene una función racional. El nivel de un polinomio en números es antiguo. 3 . La etapa del polinomio del significante es similar a la fracción. 4 . Oskólki 3 < 4 , entonces el regate es correcto. Por tanto, se pueden descomponer en fracciones simples. Para ello es necesario dividir el banner en multiplicadores.

1. Dividimos el banner en múltiplos. ¿Para quién es necesario determinar el nivel de la cuarta etapa?
.
Es aceptable que haya alguien que quiera sólo la raíz completa. Esta es también la fecha del número. 2 (Miembro sin x). Entonces la raíz entera puede ser uno de los números:
1, 2, -1, -2 .
Sustituible x = -1 :
.

Bueno, conocíamos una raíz x = -1 . Dilimo por x - (-1) = x + 1:


otje,
.

Ahora necesitas determinar el nivel de la tercera etapa:
.
Supongamos que la raíz entera es la raíz y la raíz del número 2 (Miembro sin x). Entonces la raíz entera puede ser uno de los números:
1, 2, -1, -2 .
Sustituible x = -1 :
.

Dios mío, hemos encontrado otra raíz x = -1 . Sería posible, como en el primer paso, dividir el término en y luego agrupar los términos:
.

Restos de Rivnyanya x 2 + 2 = 0 no hay raíces activas, luego eliminamos el diseño del banner en multiplicadores:
.

2. Analicemos las cosas en los términos más simples. Parece que está colocado frente a ti:
.
Se agrega una fracción al banner, multiplicada por (x+1) 2 (x2+2):
(3.1) .
Sustituible x = -1 . Todi x + 1 = 0 ,
.

Diferenciación (3.1) :

;

.
Sustituible x = -1 Realmente lo espero x + 1 = 0 :
;
; .

Sustituible en (3.1) x = 0 :
0 = 2A + 2B + D;
.

Igual a (3.1) coeficientes en x 3 :
;
1 = B + C;
.

Bueno, supimos descomponer las fracciones más simples:
.

3. Integrado.


.

Div. también:

Todos los puntos anteriores nos permiten formular las reglas básicas para la integración de una fracción racional.

1. Si la fracción racional es incorrecta, entonces se presenta en forma de miembro rico y fracción racional correcta (división 2).

Aquí la integración de la fracción racional incorrecta conduce a la integración del término rico y la fracción racional correcta.

2. Distribuya el cartel de fracciones regulares en multiplicadores.

3. La fracción racional correcta se divide en la suma de las fracciones más simples. Aquí la integración de la fracción racional correcta se reduce a la integración de las fracciones más simples.

Vamos a ver.

Ejemplo 1. Saber.

Decisión. Debajo de la integral hay una fracción racional incorrecta. Viendo la parte entera, nos la quitamos.

otje,

Tenga en cuenta que el argumento racional correcto se puede presentar

para las fracciones más simples:

(Fórmula de división (18)). Tomás

De esta manera, todavía es posible

trasero 2. saber

Decisión. Bajo la integral hay un argumento racional correcto.

Expandiéndolos a las fracciones más simples (maravillosa fórmula (16)), podemos eliminar

El material contenido en este tema está contenido en la hoja de cálculo presentada en el tema "Fracciones racionales. Descomposición de fracciones racionales en fracciones elementales (más simples)". Realmente me gustaría repasar rápidamente este tema antes de pasar a leer este material. Además, necesitaremos una tabla de integrales no valiosas.

Puedo pensar en un montón de términos. Hubo una discusión sobre ellos en un tema aparte, así que compartiré una breve declaración aquí.

La relación de dos términos $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ se llama función racional o fracción racional. Un argumento racional se llama correcto yakscho $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется equivocado.

Las fracciones racionales elementales (más simples) son fracciones racionales de cuatro tipos:

1. $\frac(A)(xa)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Nota (para mayor comprensión del texto): mostrar

Lo que se necesita es capacidad intelectual $p^2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Por ejemplo, para la rotación $x^2+5x+10$ podemos eliminar: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Fragmentos $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Antes de hablar, a efectos de verificación no es nada difícil, por lo que las cuotas antes de $x^2$ suman 1. Por ejemplo, para $5x^2+7x-3=0$ se rechaza: $D= 7^2-4\cdot 5 \cdot (-3) = $109. Si $D > 0$, entonces la expresión $5x^2+7x-3$ se puede descomponer en multiplicadores.

El uso de fracciones racionales (regulares e irregulares), así como el uso de fracciones racionales, se pueden aprender en términos elementales. Aquí nos vemos privados del alimento de su integración. Terminemos con la integración de fracciones elementales. Además, es difícil integrar los significados de fracciones elementales de varios tipos de pieles, fórmulas vicorísticas que se muestran a continuación. Déjame adivinar que a partir de fracciones integradas de tipo (2) y (4) se transfieren $n=2,3,4,ldots$. Fórmulas (3) y (4) vimagayut vikonannya umovi $p^2-4q< 0$.

\begin(ecuación) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(ecuación) \begin(ecuación) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(ecuación) \begin(ecuación) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(ecuación)

Para $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$, reemplace $t=x+\frac(p)(2)$, después de eliminar el intervalo se divide en dos . El primero se calcula para la entrada adicional bajo el signo diferencial, y el otro se parece a $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Esta integral se retoma con la ayuda de la relación recurrente.

\begin(ecuación) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)Yo_n,\; n\in N\end(ecuación)

El cálculo de dicha integral se muestra en el Anexo No. 7 (div. tercero).

Esquema para calcular integrales a partir de funciones racionales (fracciones racionales):

1. Dado que el principio integral es elemental, formule las fórmulas (1)-(4).
2. Dado que la fracción integral no es elemental, súmala a la suma de fracciones elementales y luego integra las siguientes fórmulas (1)-(4).

En general, el algoritmo para integrar fracciones racionales puede tener una validez consistente: es universal. Tobto. utilizando este algoritmo es posible integrar be-yaku amigo racional. También es posible que todas las sustituciones de cambios en una integral no valorada (sustituciones de Euler, Chebishev, sustitución trigonométrica universal) se realicen con una estructura tal, que después de la sustitución se elimine una fracción racional bajo la integral. Y antes de eso, el algoritmo ya se había estancado. Analizaremos este algoritmo directamente en las colillas, haciendo primero una pequeña nota.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

En principio, esta integral es difícil de eliminar sin formular mecánicamente la fórmula. Si insertamos la constante $7$ en el signo integral y escribimos que $dx=d(x+9)$, entonces podemos cancelar:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Para obtener información detallada, recomiendo ver el tema. Allí se explica claramente cómo se calculan dichas integrales. Antes de hablar, la fórmula se traduce en las propias transformaciones que se armaron en este punto en el momento de su finalización “a mano”.

2) Sé que hay dos maneras: congelar la fórmula ya preparada o prescindir de ella. Una vez que formule la fórmula, averigüe cuál se tomará el coeficiente antes de $x$ (número 4). Por esta razón, los cuatro simplemente valen la pena mencionarlos por los brazos:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\izquierda(x+\frac(19)(4)\derecha)^8). $$

Ahora ha llegado el momento de formular la fórmula:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Puedes arreglártelas con la fórmula. І navegue sin vineshenny constante $ 4 $ para los brazos. Si cree que $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, entonces podemos rechazar:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

En el tema “Integración por sustitución (introducido bajo el signo diferencial)” se dan explicaciones detalladas sobre cómo encontrar dichas integrales.

3) Necesitamos integrar la fracción $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Esta fracción tiene la estructura $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, donde $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Sin embargo, para descubrir cuál es el trib elemental más eficaz del tercer tipo, es necesario comprobar la mente viconniana $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Este es el mismo trasero, pero sin el uso de una fórmula preparada. Intentemos ver al abanderado en el número. ¿Qué quiere decir esto? Sabemos que $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Debemos articular la expresión $2x+10$ en el operador numérico. Por ahora, el operador numérico solo puede vengar $4x+7$, de lo contrario no es necesario, es cuestión de recrear hasta llegar al analizador de números:

$$ 4x+7=2cdot 2x+7=2cdot (2x+10-10)+7=2cdot(2x+10)-2cdot 10+7=2cdot(2x+10) -13. $$

Ahora el analizador de números tiene un nuevo requisito: $2x+10$. Y nuestra integral se puede reescribir de la siguiente manera:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2xcdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Dividimos el integrando en dos. Pues evidentemente, él mismo integró lo mismo “de dos maneras”:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10)))(x^ 2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Entonces, hablemos de terminar la primera integral. aproximadamente $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Los fragmentos $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, entonces en la ecuación numérica de la fracción integral, el diferencial del estandarte es expandido En resumen, aparentemente, reemplazar el viraza $( 2x +10)dx$ se puede escribir como $d(x^2+10x+34)$.

Ahora digamos algunas palabras sobre otra integral. Puedes ver el nuevo cuadrado en el banner: $ x 2 + 10 x + 34 = (x + 5) 2 + 9 $. Además, el valor es $dx=d(x+5)$. Ahora, la suma de integrales que eliminamos anteriormente se puede reescribir de una forma completamente diferente:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9) . $$

Si en la primera integral hacemos la sustitución $u=x^2+10x+34$, entonces veremos $\int\frac(du)(u)$ y será fácil usar otra fórmula con . En cuanto a la otra integral, para la nueva usamos el reemplazo $u=x+5$, después de lo cual veremos $\int\frac(du)(u^2+9)$. Esta es agua pura, la undécima fórmula con la tabla de integrales sin importancia. Entonces, volviendo a la suma de integrales, digamos:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2cdotln(x^2+10x+34)-frac(13)(3)arctgfrac(x+5)(3)+C. $$

Rechazamos la misma evidencia incluso con la fórmula estancada, lo cual, después de todo, no es sorprendente. Entonces, la fórmula se desarrolla de la misma manera que usamos para encontrar la integral. Respeto que un lector respetado pueda comer aquí, así que formularé esto:

Comida №1

Si la integral $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ ponemos otra fórmula en la tabla de integrales no valiosas, podemos eliminarla así:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

¿Por qué la solución tiene un módulo diario?

Comentarios número 1

La dieta es completamente natural. El módulo es mayor que $x^2+10x+34$ para cualquier $x\in R$ mayor que cero. No es nada difícil mostrar cuántos caminos hay. Por ejemplo, los fragmentos $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ y $(x+5)^2 ≥ 0$, entonces $(x+5)^2+9 > 0 ps Puedes juzgar de otra manera, sin ver un cuadrado completo. Astillas $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ para cualquier $x\in R$ (como grita este pequeño hombre lógico, Raja se maravillará con el método gráfico para desentrañar irregularidades cuadradas). Si la piel tiene fragmentos $x^2+10x+34 > 0$, entonces $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, entonces. En lugar del módulo, se pueden reemplazar los brazos primarios.

Todos los puntos del tope número 1 han sido verificados y ya no puedo escribir una confirmación.

Vіdpovid:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5) (3) + C$.

Trasero No. 2

Encuentra la integral $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

A primera vista, el bote pedintegral $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ es muy similar a un bote elemental del tercer tipo, entonces. por $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Resulta que la misma diferencia es el coeficiente de $3$ antes de $x^2$, y el coeficiente es igual a la desventaja (por las armas, paga). Sin embargo, hay una similitud. Para la fracción $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ obov'yazkova є umova $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Nuestro coeficiente antes de $x^2$ no es igual a uno, así que revisa la mente $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, entonces el Viraz $3x^2-5x-2$ se puede dividir en multiplicadores. Y esto significa que la fracción $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ no es una fracción elemental del tercer tipo, sino que se reduce a la integral $\int\frac(7x+12) La fórmula (3x^2- 5x-2)dx$ no es posible.

Bueno, como los problemas de fracciones racionales no son elementales, entonces es necesario presentarlos como sumas de fracciones elementales y luego integrarlos. En resumen, aparentemente la pista es rápida. Está escrito claramente cómo dividir un argumento racional en argumentos elementales. Echemos un vistazo al hecho de que el banner se divide en multiplicadores:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(alineado) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-sqrt(49))(2cpunto 3)=frac(5-7)(6)=frac(-2)(6)=-frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \\end(alineado)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3cdotleft(x+frac(1)(3)right)(x-2). $$

El regate subinterno se puede representar de esta forma:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Ahora vamos a dividir la fracción $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ en fracciones elementales:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ ) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\\frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1) ( 3)\derecha). $$

Para encontrar los coeficientes $A$ y $B$, existen dos métodos estándar: el método de coeficientes insignificantes y el método de sustitución de valores privados. El siguiente es un método simple para sustituir valores privados introduciendo $x=2$ y luego $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Se encontraron fragmentos del coeficiente, ya no fue posible escribir el diseño terminado:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+frac(1)(3))+frac(frac(26)(7))(x-2). $$

En principio, puedes eliminar dicho registro, pero hay una opción más sencilla para tu gusto:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot frac(1)(x+frac(1)(3))+frac(26)(7)cdotfrac(1)(x-2). $$

Pasando a la integral de salida, presentamos la expansión hasta una nueva conclusión. Luego integramos la integral de dos en dos, y hasta que la piel se estanque la fórmula. Inmediatamente pondré las constantes detrás del signo integral:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Vіdpovid: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| + frac (26) (7) cdot ln | x-2 | +C$.

Número de serie 3

Encuentra la integral $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Necesitamos integrar la fracción $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. El administrador de números de Roztashovani tiene un miembro rico de otro nivel, y el znamennik tiene un miembro rico del tercer nivel. Entonces, los fragmentos de los pasos del polinomio en el libro de números son más pequeños que los pasos del polinomio en el libro de signos. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Ya no tendremos que dividir las tareas de la integral en tres y estancar completamente la fórmula. Inmediatamente pondré las constantes detrás del signo integral:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \ int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9 |+C. $$

Vіdpovid: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

La continuación del análisis de las solicitudes se describe en otra parte.