Un campo electrostático es creado por una superficie continua cargada uniformemente. Demuestre que este campo es el mismo. Intensidad del campo electrostático. El colapso de partículas cargadas en un campo eléctrico homogéneo.

Demostramos la viabilidad del teorema de Ostrogradsky-Gauss en muchas aplicaciones.

Campo de área no cruzada cargada uniformemente

El espesor de la superficie de la carga en una superficie mayor S se calcula mediante la fórmula:

de dq - Carga, concentración en el área dS; dS: superficie físicamente extremadamente pequeña.

Sea el plano S el mismo en todos los puntos. Carga q - Positiva. La tensión en todos los puntos es recta, perpendicular al plano. S(Figura 2.11).

Obviamente, en puntos simétricos, casi planos, la tensión será la misma en magnitud y paralela a la línea recta.

Se tiene un cilindro con endurecimiento, perpendicular al plano, y bases Δ S, dispuestos simétricamente para ser planos (Fig. 2.12)

	Arroz. 2.11	Arroz. 2.12

Concluyamos el teorema de Ostrogradsky-Gauss. El flujo de FE a través de la parte de la culata de la superficie del cilindro es igual a cero, porque

El flujo total a través de una superficie cerrada (cilindro) es más confiable:

Se coloca una carga en el medio de la superficie. Por tanto, del teorema de Ostrogradsky-Gauss podemos rechazar:

;

Se puede observar que la intensidad de campo del área S sigue siendo la misma:

(2.5.1)

El resultado resultante se almacena en el fondo del cilindro. Esto significa que a cualquier distancia del cuadrado.

Campo de dos aviones igualmente cargados.

Sean dos superficies de carga desiguales cargadas con cargas diferentes con la misma intensidad σ (figura 2.13).

El campo resultante, como se definió anteriormente, es una superposición de campos creados por la piel de la superficie.

todi en medio de las llanuras

(2.5.2)

Pose plana campo de fuerza

El mismo resultado es válido para planos de dimensiones finales, ya que la distancia entre los planos es mucho menor que las dimensiones lineales de los planos (condensador plano).

Existe una fuerza gravitacional mutua entre las placas del condensador (por unidad de área de las placas):

donde S es el área de las placas del condensador. Porque , Eso

.

(2.5.5)

Esta es una fórmula para el desarrollo de la fuerza pondermotora.

Campo de un cilindro cargado infinitamente largo (rosca)

Sea el campo creado por una superficie cilíndrica no sesgada de radio R, cargada con una densidad lineal constante, donde dq es la carga concentrada en la sección del cilindro (figura 2.14).

La perfección de la simetría significa que E en cualquier punto será recto a lo largo del radio, perpendicular al eje del cilindro.

Visible alrededor del cilindro (rosca) coaxial superficie cerrada ( cilindro en cilindro) radio r i dozhina l (las bases de los cilindros son perpendiculares al eje). Para las bases de los cilindros en la superficie del cañón. tumbarse cerca de las afueras r.

Bueno, el flujo del vector a través de la superficie, que parece ser antiguo.

Cuando hay carga en la superficie, según el teorema de Ostrogradsky-Gaus,

.

(2.5.6)

Yakshcho, porque No hay carga en el medio de la superficie cerrada (figura 2.15).

Cambiando el radio del cilindro R (en ), es posible eliminar un campo con muy alta tensión cerca de la superficie y, en , quitar el hilo.

Un campo de dos cilindros coaxiales con un espesor lineal λ, pero signo diferente

En el medio del cilindro más pequeño y del más grande, el campo estará el mismo día (Fig. 2.16).

En el espacio entre los cilindros, el campo se determina de la misma manera que en el ajuste frontal:

Esto es válido tanto para un cilindro infinitamente largo como para cilindros de longitud final, ya que el espacio entre los cilindros es mucho menor en los cilindros de longitud final (condensador cilíndrico).

Campo de un núcleo hueco cargado

El núcleo hueco (o esfera) de radio R está cargado con una carga positiva con densidad superficial σ. El campo en este otoño será centralmente simétrico: en cualquier punto pasará por el centro del enfriador. ,i líneas eléctricas perpendicular a la superficie en cualquier punto. Alrededor del refrigerante es visible una esfera con radio r (figura 2.17).

8. Un campo electrostático es creado por una superficie continua cargada uniformemente. Demuestre que este campo es el mismo.

Deje que el espesor de la superficie cargue los viejos. Obviamente, el vector E sólo puede ser perpendicular al plano de carga. Además, es evidente que en puntos simétricos de un mismo plano el vector E se encuentra detrás del módulo y se extiende directamente. Esta configuración del campo indica que la superficie de la traza está cerrada, seleccionando un cilindro directo, donde s es mayor que cero. El flujo a través de toda la superficie de este cilindro es igual a cero, por lo que el flujo de retorno a través de toda la superficie del cilindro será igual a 2*E*DS, donde DS es el área del extremo de la piel. Extendido al teorema de Gaus

donde s*DS es la carga en el medio del cilindro.

Más precisamente, escriba esta secuencia así:

donde En es la proyección del vector E sobre la normal n al área cargada, y el vector n es de esta área.

El hecho de que no se encuentre desde la elevación hasta el plano significa que el campo eléctrico es uniforme.

9. A partir de un dardo de cobre se preparó un cuarto de estaca con un radio de 56 cm y se distribuyó uniformemente a lo largo del dardo una carga con una resistencia lineal de 0,36 nC/m. Encuentre el potencial en el centro de la apuesta.

Entonces, la carga se distribuye linealmente a lo largo del dardo para encontrar el potencial en el centro, calculado mediante la fórmula:

De s – espesor lineal de la carga, dL – elemento de dardo.

10. En el campo eléctrico creado por una carga puntual Q, una carga negativa -q se mueve a lo largo de la línea de fuerza desde el punto movido en la estación r 1 hasta la carga Q hasta el punto movido en la estación r 2. Encuentre el aumento de energía potencial de la carga -q en este desplazamiento.

Para potenciales más altos, este valor es numéricamente igual a la energía potencial de una sola carga positiva en este punto del campo. Además, energía potencial para la carga q 2:

11. Dos nuevos elementos de la er.s. 1,2 y soporte interno 0,5 Ohm conectados en paralelo. La batería está desconectada y en cortocircuito con la referencia externa de 3,5 Ohm. Descubra el poder del struma en el lancius exterior.

Es consistente con la ley de Ohm para todos los Lanzug a la fuerza del Lanzug actual:

De E` - elementos de batería EPC,

r` - soporte de batería interna, que es más antiguo:

La batería EPC consta de tres elementos EPC conectados en serie:

Otje:

12 voltios lanceta electrica Se incluyeron consistentemente piezas de cobre y acero de igual peso y diámetro. Descubre la cantidad de calor que se puede observar en estos árboles.

Parece que tiene una longitud L y un diámetro d, hecho de un material con un soporte fuerte p. La base de R se puede encontrar mediante la fórmula

De s = - Área del corte transversal del dardo. Cuando la fuerza de la corriente I es atraída por t, el conductor ve una cantidad de calor Q:

En este caso, la caída de voltaje en el dardo es uno:

Pitomía opir midi:

p1 = 0,017 µOhmios * m = 1,7 * 10 -8 Ohmios * m

mascotas opir acero:

p2 = 10 -7 Ohmios * m

Dado que los chorros se encienden secuencialmente, la intensidad de la corriente en ellos es la misma y por hora t se ve en la cantidad de calor Q1 y Q2:

12. En un campo magnético uniforme hay una bobina circular de la corriente. El área de la bobina es perpendicular a las líneas de fuerza del campo. Traiga que la fuerza resultante que actúa desde el lado del campo magnético sobre el circuito sea igual a cero.

Los fragmentos de una bobina circular de la corriente se encuentran en un campo magnético uniforme, que es la fuerza en amperios. Basado en la fórmula dF=I, la potencia en amperios resultante que fluye por vuelta de la corriente viene dada por:

La desintegración se lleva a cabo detrás de este contorno y la corriente I. Si el campo magnético es uniforme, entonces el vector se puede colocar detrás de la integral y sumar antes de calcular la integral del vector. Esta integral es un circuito cerrado de vectores elementales dL, que es igual a cero. Esto significa que F = 0, entonces la fuerza en amperios resultante es igual a cero en el campo magnético uniforme.

13. A lo largo de una bobina corta, para acomodar 90 vueltas con un diámetro de 3 cm, pase la cuerda. La intensidad del campo magnético creado por la corriente sobre el eje de la bobina a una distancia de 3 cm por encima de ella es de 40 A/m. Considere el poder de la corriente en el kotushci.

Es importante que la inducción magnética en el punto A sea una superposición de la inducción magnética creada por la piel de la bobina:

Para encontrar la velocidad de una bobina utilizamos la ley de Biot-Savart-Laplace.

De, dBturn es la inducción magnética del campo, creado por el elemento de rasgueo IDL en el punto indicado por el vector de radio r. Visible al final del elemento dL y desde allí hasta el punto A, dibujamos el vector de radio. r. El vector dBturn es direccionable de acuerdo con la regla de Gimlet.

Similar al principio de superposición:

La integración se lleva a cabo en todos los elementos de dLturn. Distribuimos el dBturn en dos almacenes: dBturn (II), paralelo a la superficie del anillo y dBturn (I), perpendicular a la superficie del anillo. todi

habiendo notado que del marcado de simetría y que los vectores dBturn(I) son rectos, en lugar de integración vectorial con uno escalar:

De dBgiro(I) =dBgiro*cosb i

Fragmentos dl perpendicular r

Acórtelo a 2p y reemplace cosb con R/r1

Virazimo zvidsi Lo sé R=D/2

Aquí hay una fórmula que relaciona la inducción magnética y la intensidad del campo magnético:

siguiendo el teorema de Pitágoras desde el sillón:

14. En un solo campo magnético, un electrón vuela en dirección perpendicular a las líneas de fuerza con una velocidad de 10·10 6 m/s y colapsa a lo largo del arco de una estaca con un radio de 2,1 cm. Encuentre la inducción de el campo magnético.

En un electrón que colapsa en un campo magnético uniforme, la fuerza de Lorentz se aplica perpendicular a la fluidez del electrón y, por tanto, es directa al centro de la estaca:

Los fragmentos se cortan entre v y І dorovny 90 0:

Los fragmentos de fuerza Fl se dirigen al centro del círculo y el electrón colapsa en la estaca bajo el influjo de esta fuerza, luego

Inducción magnética viralizable:

15. Un marco cuadrado de 12 cm de lado, fabricado en cobre, colocado en un campo magnético, cuya inducción magnética varía según la ley B=B 0 Sin(ωt), de B 0 =0,01 T, ω= 2 π/ T ta T=0,02 s. El área del marco es perpendicular al campo magnético. Encuentre el valor más alto de e.r.s. Inducción, que está en el marco.

Área del marco cuadrado S = a2. Cambio en el flujo magnético dj cuando el área del marco es perpendicular dj=SdB

La inducción de EPC está indicada.

E será máximo en cos(wt)=1

En un campo eléctrico uniforme, la fuerza que actúa sobre una partícula cargada es constante tanto en magnitud como en dirección. Por lo tanto, el colapso de tales partes es similar al colapso de un cuerpo bajo la pesadez de la tierra sin asegurar el apoyo del viento. La trayectoria de la partícula en esta forma es plana, se encuentra cerca del plano en el que se ubican los vectores de la velocidad de la partícula y la intensidad del campo eléctrico.

Potencial campo electrostático. Una expresión poderosa que conecta el potencial con la tensión.

El potencial en cualquier punto de un campo electrostático es una cantidad física que está determinada por la energía potencial de una única carga positiva colocada en ese punto. El potencial del campo creado por una carga puntual Q es mayor que

El potencial es una cantidad física que está determinada por el movimiento de una única carga eléctrica positiva cuando un determinado punto del campo se retira del campo. Este robot es numéricamente más moderno en el sentido de que actúan fuerzas externas (contra las fuerzas del campo electrostático) al mover una sola carga positiva de una inconsistencia a otra. punto qiu campos.

La unidad de potencial es el voltio (V): 1 V es el potencial tradicional de un punto de campo de este tipo, en el que una carga de 1 C tiene una energía potencial de 1 J (1 V = 1 J/C). La dimensión de voltaje del voltio se puede demostrar que la unidad de intensidad de campo electrostático introducida anteriormente es efectivamente igual a 1 V/m: 1 N/C=1 N m/(C m)=1 J/(C m)=1 V/m.

De las fórmulas (3) y (4) se deduce que si el campo es creado por varias cargas, entonces el potencial de este campo del sistema de cargas es igual a la suma del álgebra de los potenciales de campo de todas estas cargas:

El voltaje en cualquier punto del campo eléctrico es igual al gradiente de potencial en ese punto, tomado del signo de giro. El signo menos muestra que el voltaje E está directamente relacionado con el cambio de potencial.

E = - grad phi = - N phi.

Para establecer una conexión entre la fuerza característica del campo eléctrico - tensión y su energía característica - potencial, consideramos la operación elemental de las fuerzas del campo eléctrico sobre una carga puntual infinitamente pequeña desplazada q: dA = q E dl, este trabajo es similar є pérdida de energía potencial para cargar q: dA = - dWп = - q dфі, de dфі - Cambio en el potencial del campo eléctrico en el desplazamiento máximo dl. Se excluyen las partes iguales derechas de las expresiones: E dl = -d f o sistema de coordenadas cartesiano

Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d phi

donde Ex, Ey, Ez son proyecciones del vector de tensión sobre el eje del sistema de coordenadas. Los fragmentos se expresan mediante un diferencial completo, luego para la proyección del vector de tensión podemos

Viraz, que se encuentra en los brazos, es un gradiente de potencial fi.

El principio de superposición es el poder fundamental de los campos. Cálculos de campo para la intensidad y el potencial del campo creado en un punto con el vector de radio por un sistema de cargas puntuales ubicadas en puntos con coordenadas.

Si consideramos el principio de superposición en el sentido general, entonces es obvio que la suma de la afluencia de fuerzas externas que actúan sobre una pieza se forma a partir del significado circundante de la piel de ellas. Este principio sigue siendo el mismo en todos los sistemas lineales. tales sistemas, cuyo comportamiento puede describirse mediante relaciones lineales. a tope puede topar situación simple, cuando la columna lineal se expande en medio de la canción, las autoridades deben salvarse de la afluencia de tormentas que se elevan a través de las propias columnas. Este poder se define como una suma específica de efectos en la piel y armonía de los almacenes.

El principio de superposición puede adoptarse en otras formulaciones, que equivalen a la siguiente:

· La interacción entre dos partículas no cambia cuando se introduce una tercera partícula, que también interactúa con las dos primeras.

· La energía de interacción entre todas las partículas en un sistema de partes ricas es simplemente la suma de las energías de las interacciones entre todos los posibles pares de partículas. El sistema no tiene muchas interacciones parciales.

·Una recta que describe el comportamiento de un sistema de partes ricas es lineal para un número de partículas.

6 Se llama circulación del vector de voltaje a la acción en la que se generan fuerzas eléctricas cuando una sola carga positiva se mueve por un circuito cerrado L

Los fragmentos del trabajo de las fuerzas del campo electrostático a lo largo de un circuito cerrado son iguales a cero (el trabajo de las fuerzas del campo potencial), y luego la circulación de la fuerza del campo electrostático a lo largo de un circuito cerrado es igual a cero.

Potencial de la esfera. El trabajo de cualquier campo electrostático cuando un nuevo cuerpo cargado se mueve de un punto a otro tampoco depende de la forma de la trayectoria, como el trabajo de un campo uniforme. En una trayectoria cerrada del robot, el campo electrostático siempre llega a cero. Los campos que albergan tal poder se llaman potenciales. De carácter potencial, zocrema, hay un campo electrostático de carga puntual.
El trabajo del campo potencial se puede expresar mediante un cambio de energía potencial. La fórmula es válida para cualquier campo electrostático.

7-11 Si las líneas de fuerza de un campo eléctrico uniforme con tensión penetran en la placa de la plataforma S, entonces el flujo del vector de tensión (anteriormente llamamos al número de líneas de fuerza a través de la plataforma) se calcula mediante la fórmula:

de En - vector adicional a la normal a este Maidan (Fig. 2.5).

Arroz. 2.5

El número adicional de líneas de fuerza que pasan a través de la superficie S se llama flujo del vector de tensión FE a través de esta superficie.

En forma vectorial, puedes escribir: un sólido escalar de dos vectores, de vector.

Por tanto, el flujo de un vector es escalar, que depende de un valor que puede ser positivo o negativo.

Echemos un vistazo a la culata, que se muestra en las Figuras 2.6 y 2.7.

	Arroz. 2.6	Arroz. 2.7

Para el bebé 2.6, la superficie de A1 exudará una carga positiva y aquí hay un flujo de enderezamiento, por así decirlo. La superficie de A2 emite una carga negativa, aquí se endereza en el medio. El flujo subterráneo a través de la superficie A es igual a cero.

Para el bebé 2.7, el flujo no es igual a cero, ya que la carga total en el medio de la superficie no es igual a cero. Para esta configuración, el flujo a través de la superficie A es negativo (ajustar el número de líneas eléctricas).

De este modo, el flujo del vector de tensión recae en la carga. ¿Cuál es el significado del teorema de Ostrogradsky-Gauss?

teorema de gaus

La ley de Coulomb y el principio de superposición se han establecido experimentalmente para describir completamente el campo electrostático de un sistema determinado de cargas en el vacío. Sin embargo, la potencia del campo electrostático se puede expresar de una forma diferente y más avanzada, sin introducir una carga puntual en el campo de Coulombiano.

Hemos introducido una nueva cantidad física que caracteriza el campo eléctrico: el flujo Φ, vector de intensidad del campo eléctrico. Deje que el espacio abierto, donde se ha creado el campo eléctrico, roztashovanie deyakiy para terminar el pequeño Maidan ΔS. La suma del módulo del vector en el área ΔS y en el coseno del corte α entre el vector y la normal al Maidan se denomina flujo elemental del vector de tensión a través del Maidan ΔS (Fig. 1.3.1):

Ahora echemos un vistazo a una superficie S suficientemente cerrada. Si dividimos esta superficie en pequeños cuadrados ΔSi, determinamos los flujos elementales ΔΦi del campo a través de estos pequeños cuadrados, y luego sumamos, como resultado podemos extraer el flujo Φ del vector que pasa por la superficie cerrada S ( Fig. 1.3.2) :

Se confirma el teorema de Gaus:

El flujo del vector de intensidad del campo electrostático a través de una superficie suficientemente cerrada es la suma del álgebra de cargas distribuidas en el centro de esta superficie, dividida por la constante eléctrica ε0.

de R - Radio de la esfera. Fluya Φ a través de la superficie esférica del elemento adicional E hacia el área de la esfera 4πR2. otje,

Afilemos ahora la carga puntual con una superficie S suficientemente cerrada y observemos una esfera adicional de radio R0 (figura 1.3.3).

Miremos el cono con un pequeño corte carnoso ΔΩ en el ápice. Este cono se puede ver en la esfera como un pequeño maidan ΔS0, y en la superficie S como un maidan ΔS. Sin embargo, los flujos elementales ΔΦ0 y ΔΦ a través de estos maidans. Verdadero,

De manera similar se puede demostrar que si una superficie cerrada S no absorbe una carga puntual q, entonces el flujo Φ = 0. Este tipo de imagen en la Fig. 1.3.2. Todas las líneas eléctricas del campo eléctrico de la carga puntual atraviesan la superficie cerrada S. En el centro de la superficie S no hay cargas, por lo que en esta zona las líneas de fuerza no se rompen ni se forman.

La extensión del teorema de Gaus a la presencia de una distribución suficiente de cargas se deriva del principio de superposición. El campo de cualquier distribución de cargas puede considerarse como la suma vectorial de los campos eléctricos de cargas puntuales. El flujo Φ de un sistema de cargas a través de una superficie S suficientemente cerrada se compone del flujo Φi de los campos eléctricos de las cargas circundantes. Si la carga qi aparece en el medio de la superficie S, contribuye al flujo, y la misma carga aparece en la superficie, entonces el campo eléctrico introducido en el flujo es igual a cero.

Por tanto, se completa el teorema de Gaus.

El teorema de Gaus desciende de la ley de Coulomb y del principio de superposición. Si tomamos el enunciado que se incluye en este teorema como un axioma de cob, aparecerá la ley de Coulomb. Por lo tanto, el teorema de Gaus a veces se denomina formulación alternativa a la ley de Coulomb.

Utilizando el teorema de Gaus, es posible calcular fácilmente la intensidad del campo eléctrico alrededor de un cuerpo cargado en varios casos, ya que la distribución de cargas tiene cierta simetría y la estructura subyacente del campo se puede adivinar más adelante.

La culata se puede utilizar para calcular el campo de un cilindro largo de radio R, vacío y cargado uniformemente, de paredes delgadas. Este tiene simetría axial. Con la desaparición de la simetría, el campo eléctrico se dirige hacia el radio. Por tanto, para aplicar el teorema de Gaus, es necesario seleccionar una superficie cerrada S en forma de cilindro conjunto de radio r y medio l, cerrado en ambos extremos (Fig. 1.3.4).

En r R, todo el flujo del vector de tensión pasará a través de la superficie del cilindro del cilindro, cuyo área es igual a 2πrl, ya que el flujo a través de la superficie es igual a cero. Un resumen del teorema de Gaus da:

Este resultado no se encuentra dentro del radio R del cilindro cargado, por lo tanto está estancado y hasta el campo de un hilo largo y uniformemente cargado.

Para aumentar la intensidad del campo en el medio del cilindro cargado, es necesario tener una superficie cerrada para la caída r< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

De manera similar, se puede utilizar el teorema de Gaus para calcular el campo eléctrico en otras fases, si la distribución de cargas tiene alguna simetría, por ejemplo, simetría con el centro, el área o el eje. En casos de tales trastornos, es necesario seleccionar una superficie gaussiana cerrada de forma completa. Por ejemplo, en casos de simetría central, la superficie gaussiana se puede seleccionar manualmente para que parezca una esfera centrada en el punto de simetría. Con simetría axial, se debe elegir una superficie cerrada como un cilindro coaxial cerrado en ambos extremos (como en el tope mencionado anteriormente). Dado que la distribución de cargas no tiene simetría y la estructura subterránea del campo eléctrico es imposible de adivinar, la validez del teorema de Gaus no puede explicarse por el valor dado de la intensidad del campo.

Veamos otro ejemplo de distribución simétrica de cargas: el valor del campo de un área cargada uniformemente (Fig. 1.3.5).

En este caso, la superficie gaussiana S debe elegirse en forma de doble cilindro cerrado por ambos extremos. Todo el cilindro se endereza perpendicular a la superficie cargada y su extremo se mueve a la misma distancia de ella. Debido a la simetría, el campo del área cargada uniformemente es recto a lo largo de la normal. Un resumen del teorema de Gaus da:

de σ - Espesor superficial de la carga, es decir, la carga que cae en una unidad de área.

La eliminación de la expresión para el campo eléctrico de una superficie cargada uniformemente son soportes planos estancados y al mismo tiempo cargados de tamaño final. En cuyo punto se determina la intensidad del campo, hasta el Maidan cargado, es significativamente menor que el tamaño del Maidan.

І horarios hasta el 7 – 11

1. La fuerza del campo electrostático creado por una superficie esférica cargada uniformemente.

Entonces, supongamos que una superficie esférica de radio R (figura 13.7) lleva una carga q uniformemente distribuida. La fuerza superficial de la carga en cualquier punto de la esfera será la misma.

a. Finalmente, nuestra superficie esférica es simétrica a la superficie S con radio r>R. El flujo del vector tensión a través de la superficie S es más moderno.

Según el teorema de Gaus

Otje

Con. Dibujemos por un punto situado en el centro de una superficie esférica cargada, una esfera S de radio r.

2. Campo electrostático del refrigerador.

Dejemos que se mueva una bola de radio R, cargada uniformemente con densidad volumétrica.

En cualquier punto A, que se encuentra en la posición del carrete a una distancia r frente a su centro (r>R), su campo es similar al campo de la carga puntual ubicada en el centro del carrete. Todi posa kuleyu

(13.10)

cerveza en la superficie de yogo (r=R)

(13.11)

En el punto que se encuentra en el medio del círculo en la superficie r cerca de su centro (r>R), el campo está determinado por la carga colocada en el medio de la esfera con radio r. Flujo del vector de tensión a través de esta esfera.

por otro lado, similar al teorema de Gaus

Según el teorema de Gaus

Las dos expresiones restantes indican la intensidad del campo creado por un hilo cargado uniformemente:

(13.13)

Sea el área una extensión infinita y la carga sea una unidad de área mayor que σ. De acuerdo con las leyes de simetría, se deduce que el campo es recto en todas partes, perpendicular al plano, y si no hay otras cargas externas, entonces los campos a lo largo de los lados infractores del plano siguen siendo los mismos. Rodeamos parte de la superficie cargada con una caja cilíndrica transparente, de tal forma que la caja se abre y queda perpendicular, y las dos bases que recubren la superficie de la piel quedan paralelas a la superficie cargada (Fig. 1.10).

12. Campo de una esfera cargada uniformemente..

Deja que el campo eléctrico sea creado por una carga. q, distribuido uniformemente sobre la superficie del radio de la esfera R(Mal. 190). Para calcular el potencial de campo en un punto suficiente que se encuentra en el soporte. r cerca del centro de la esfera, es necesario calcular el efecto del campo al mover una sola carga positiva desde un punto dado hasta el infinito. Anteriormente, encontramos que la intensidad del campo de una esfera cargada uniformemente es equivalente al campo de una carga puntual distribuida en el centro de la esfera. Por lo tanto, cuando se aplica una esfera, el potencial del campo de la esfera será igual al potencial del campo de una carga puntual.

φ (r)=q 4πε 0r . (1)

Zokrema, en la superficie de la esfera el potencial es mayor φ 0=q 4πε 0R. En el medio de la esfera hay un campo electrostático, lo que significa que al mover la carga desde un punto suficiente ubicado en el medio de la esfera, queda cero en su superficie. A= 0, por lo tanto la diferencia de potenciales entre estos puntos también es igual a cero Δ φ = -A= 0. Por lo tanto, todos los puntos en el medio de la esfera tienen el mismo potencial que es igual al potencial de su superficie. φ 0=q 4πε 0R .

Entonces se puede ver la división del potencial de campo de una esfera cargada uniformemente (Fig. 191).

φ (r)=⎧⎩⎨q 4πε 0R, nup r<RQ 4πε 0r, nup r>R . (2)

¡Volvamos al hecho de que el campo en el medio de la esfera es diario y el potencial se reduce a cero! Este ejemplo ilustra claramente que el potencial se asigna a los valores de campo en un punto dado hasta el infinito.

Para el desarrollo de campos creados por cargas distribuidas uniformemente sobre superficies esféricas, cilíndricas o planas, utilice el teorema de Ostrogradsky-Gaus (Sección 2.2).

Metodología para el desarrollo de campos basados ​​en teoremas adicionales.

Ostrogradsky - Gaus.

1) Elija una superficie suficientemente cerrada que caliente el cuerpo cargado.

2) Calculamos el flujo del vector de voltaje a través de la superficie.

3) Calculamos la carga total en la superficie.

4) Sustituir en el teorema de Gauss para calcular el valor y expresar la fuerza del campo electrostático.

Aplicar una capa de agua a los campos.

Campo de un cilindro (rosca) no torcido y cargado uniformemente.

Deje que el radio del cilindro sin fin R carga uniforme con intensidad de carga lineal + τ (Figura 16).

La sombra de simetría significa que las líneas de intensidad de campo en cualquier punto serán rectas a lo largo de líneas radiales rectas, perpendiculares al eje del cilindro.

Cómo se cierra la superficie, seleccionable coaxial con los datos (de toda la simetría) radio del cilindro r esos rizos ℓ .

Vector de flujo de Razrahuemo a través de la superficie dada:

,

Delaware S básico , S negro_k– más plano que la base y la superficie.

El flujo del vector tensión a través del plano de los cimientos es igual a cero, por lo tanto

La carga total que es aplastada por la superficie cubierta:

.

Habiendo puesto todo en el teorema de Gaus, observando esos ε = 1, se puede rechazar:

.

La intensidad del campo electrostático creado por un cilindro con carga infinitamente uniforme o un hilo con carga infinitamente uniforme en los puntos extendidos por él:

, (2.5)

Delaware r - Vidstán tipo de eje cilindro hasta un punto dado ( r ≥ R );

τ - fuerza de carga lineal .

Yakshcho r < R , luego se analiza la superficie cerrada de las cargas en el medio; por lo tanto, en este caso mi = 0, entonces. en el medio del cilindro, no hay campo .

Campo de área no cruzada cargada uniformemente

PAG La superficie irregular se carga con un espesor superficial constante + σ .

Al estar cerrada la superficie del cilindro seleccionado, la base queda paralela a la superficie de carga y el conjunto es perpendicular a ella (Fig. 17). Los fragmentos de la línea que forman la superficie exterior del cilindro son paralelos a las líneas de tensión, entonces el flujo del vector de tensión a través de la superficie exterior es igual a cero. Flujo del vector tensión a través de dos bases planas.

.

La carga total que es aplastada por la superficie cubierta:

.

Sustituyendo todo en el teorema de Gaus, podemos eliminar:

Intensidad del campo electrostático de un área cargada uniformemente no cruzada

. (2.6)

De esta fórmula queda claro que mi no se encuentre cerca del fondo del cilindro, de modo que el voltaje de campo sea el mismo en todos los puntos. En otras palabras, el campo de un área cargada uniformemente. uniforme.

Campo de dos paralelos paralelos.

aviones con cargas diferentes

PAG Haga que las superficies se carguen uniformemente con el mismo espesor de superficie. + σ і – σ (Figura 18).

Similar al principio de superposición,

.

Del pequeño se puede ver que en la zona entre los planos las líneas de fuerza son rectas, lo que resulta en tensión.

. (2.7)

La pose de un cuerpo rodeado de planos, los campos que se pliegan, se doblan siguiendo líneas rectas, de modo que la tensión resultante es cercana a cero.

Así, el campo parece sereno entre las llanuras. El resultado resultante es aproximadamente válido para las superficies de las dimensiones finales, ya que la distancia entre los planos es mucho menor que su área (condensador de placa plana).

Si hay superficies de distribución de carga del mismo signo con el mismo espesor de superficie, entonces existe un campo entre las placas y la posición de las placas se calcula mediante la fórmula (2.7).

Campo de fuerza

esfera cargada uniformemente

Un campo creado por un radio de superficie esférico. R , cargado con fuerza de carga superficial σ , siendo centralmente simétrico, entonces las líneas de tensión se enderezan a lo largo de los radios de la esfera (Fig. 19 a).

Cómo se cierra la superficie y se selecciona el radio de la esfera r , que es el centro celeste de la esfera cargada.

Yakshcho r > R , entonces el centro de la superficie consume toda la carga. q .

Flujo del vector de tensión a través de la superficie de la esfera.

Sustituyendo esto por el teorema de Gaus, podemos eliminar:

.

Intensidad del campo electrostático para una esfera cargada uniformemente:

, (2.8)

Delaware r - Vidstán desde el centro esferi.

Se puede observar que el campo es el mismo que el de una carga puntual de la misma magnitud colocada en el centro de la esfera.

Yakshcho r < R , entonces la superficie cerrada no interfiere con el centro de las cargas, por lo que en medio de la esfera cargada el campo es diario (Figura 19, b).

Intensidad del campo de volumen

refrigerante cargado

PAG tener una bola de radio R carga con fuerza de carga volumétrica constante ρ .

El campo en esta forma tiene simetría central. Para la intensidad del campo, la posición del refrigerante produce el mismo resultado que para una esfera cargada superficialmente (2.8).

Para el punto medio del culi, la tensión será diferente (Fig. 20). La superficie esférica abraza la carga.

Por lo tanto, esto es consistente con el teorema de Gaus.

escuela vrahovoyuchi
, omitir:

Intensidad del campo electrostático en medio de un núcleo cargado volumétricamente.

(r ≤ R ). (2.9)

.

Zavdannya 2.3 . El campo tiene un área infinitamente larga con fuerza de carga superficial. σ colgando una bolsita de mantequilla de un hilo metro , que tiene una carga del mismo signo que su área. Descubra la carga de la bolsa, ya que el hilo se conecta con la línea vertical. α

Decisión. Volvamos a resolver el problema 1.4. La diferencia radica en el hecho de que en el problema 1.4 la fuerza
se calcula según la ley de Coulomb (1.2) y el problema 2.3 - según el valor de la intensidad del campo electrostático (2.1)
. La intensidad del campo electrostático de un área no sesgada y cargada uniformemente se obtiene utilizando el teorema adicional de Ostrogradsky-Gauss (2.4).

PAG Todos los planos son uniformes y se encuentran desde la subida al avión. 3 figuras. 21:

.

 recuperar el respeto Para encontrar la fuerza que se aplica a la carga colocada cerca del campo distribuido a la carga, es necesario utilizar la fórmula

,

y la intensidad del campo creado por la calcomanía de las ondas divididas está detrás del principio de superposición. Esto se debe al hecho de que la intensidad del campo electrostático de la distribución de las bombas está relacionada con la proximidad del teorema de Ostrogradsky-Gauss.

Zavdannya 2.4. Por delante de la intensidad del campo en el medio y la postura de la placa de la máquina cargada uniformemente d Volumen de fuerza de carga en el medio de la placa. ρ . Crear un horario de trabajo mi (X ).

Decisión. El origen de las coordenadas se puede situar en el plano medio de la placa, y todo el OH direccionalmente perpendicular a él (Fig. 22, a). Enunciamos el teorema de Ostrogradsky-Gaus para la distribución de la intensidad del campo electrostático de un área cargada no cruzada, luego

.

El valor de la potencia volumétrica de la carga.

,

luego por tensión se le quita

.

La estrella muestra que el campo en el centro de la bufanda se encuentra debajo X . El campo postural se cubre de la misma forma:

En la imagen se puede ver que el campo de pose con el vestido es el mismo. Gráfico de intensidad de voltaje mi vista X en la Fig. 22, b.

Zavdannya 2.5. El campo es creado por dos hilos infinitamente largos cargados con intensidades de carga lineal. – τ 1 ta + τ 2 . Los hilos se tejen perpendiculares entre sí (Fig. 23). Encuentre la intensidad del campo en el punto ubicado en el soporte. r 1 і r 2 tipo de hilo.

R decisión. Mostremos al pequeño la intensidad del campo creado por el hilo de piel. Vector alisar antes Primero hilos, astillas, está cargado negativamente. Vector alisar vista el otro hilo, los fragmentos que hay allí, están cargados positivamente. Vectores і mutuamente perpendiculares, el vector resultante será la hipotenusa del recto tricutáneo. Módulos vectoriales і se indican mediante la fórmula (2.5).

Detrás del principio de superposición

.

Detrás del teorema de Pitágoras

Zavdannya 2.6 . El campo se crea mediante dos radios de cilindros coaxiales cargados y infinitamente vacíos. R 1 і R 2 > R 1 . El espesor de la superficie de las cargas es igual – σ 1 і + σ 2 . Encuentre la intensidad del campo electrostático en los puntos de aproximación:

un punto A retachado en el camino d 1 < R 1 ;

b) punto EN retachado en el camino R 1 < d 2 < R 2 ;

c) punto z retachado en el camino d 3 > R 1 > R 2 .

El soporte está alineado con el eje del cilindro.

Decisión. Los cilindros coaxiales son cilindros que giran completamente en todas las simetrías. A los más pequeños les mostraremos un nuevo punto (Fig. 24).

mi A = 0.

Partícula EN se mueve en el medio del cilindro más grande, momento en el cual el campo es creado solo por el cilindro más pequeño:

.

Virazim espesor lineal de la carga a través del espesor superficial de la carga. Para lo cual la velocidad está determinada por las fórmulas (1.4) y (1.5), para lo cual la carga es determinable:

La parte derecha se iguala y se resta:

,

Delaware S 1 - Área superficial del primer cilindro.

Las promesas de lo que
, el resto se puede eliminar:

Partícula z Los cilindros de ambos cilindros se reconstruyen, por lo que ambos cilindros crean el campo. Detrás del principio de superposición:

.

Para alisar y eliminar las inflamaciones, retiramos:

.

Zavdannya 2.7 . El campo es creado por dos planos cargados infinitamente paralelos. El espesor de la superficie de las cargas es igual σ 1 і σ 2 > σ 1 . Encuentre la intensidad del campo electrostático en los puntos ubicados entre las placas y la posición de las placas. Resuelva el problema de dos tipos:

a) las placas se cargan simultáneamente;

b) las placas se cargan de manera diferente.

Decisión. Sin embargo, en la vista vectorial se registra la intensidad del campo resultante. Similar al principio de superposición:

.

Módulos vectoriales і calculado utilizando la fórmula (2.6).

a) Dado que los planos de carga están al mismo tiempo, entonces entre los planos de tensión hay lados rectos (Fig. 26, a). Módulo de tensión resultante

Posar con tensión і enderezado en un b_k. Entonces, dado que el campo de los planos cargados no sesgados es uniforme, para no quedar entre las superficies y los planos, entonces en cualquier punto a la izquierda o a la derecha de los planos el campo será el mismo:

.

b) Dado que las superficies de carga están cargadas de manera diferente, entonces, por ejemplo, entre los planos de tensión se enderezan hacia un lado (Fig. 26, b), y la posición de los planos es diferente.

trasero 1. Un hilo delgado e infinitamente largo está cargado uniformemente con una carga lineal. λ . Encuentre la fuerza del campo electrostático. mi(r) en el otro extremo r tipo de hilo.

Zrobimo pequeño:

Análisis:

Porque El hilo no lleva carga puntual, por lo que el método DI está estancado. Aparentemente un elemento infinitamente pequeño de la vida del director. dl, que cargo tan vengativo dq=dlλ. Se disipa la tensión del campo creado por el elemento de piel del conductor en un punto significativo A, que se encuentra debajo del hilo en el soporte. A. El vector se dirigirá en una línea recta que conecta la carga puntual desde el punto de guardia. El campo resultante se toma desde la normal a la rosca a lo largo del eje x. Es necesario saber el valor. dE x: dE x =Delaware cosα. .

Para citas:

.

Magnitud dl, r, se puede cambiar al cambiar la posición del elemento dl. Virazim їх a través del valor α:

Delaware dα– un aumento infinitesimal en el valor de α como resultado de la rotación del vector de radio hacia el punto A cuando se mueve a lo largo del hilo hacia dl. todi dl=r 2 dα/a. cuando se mueve dl La vista al punto Sobre el kut cambia de 00 a π/2.

Otje .

Verificación de dimensiones: [E] = V/m = kgm/mfm = KlV/Klm = V/m;

Sujeto:.

Método 2.

Observando la simetría axial de la distribución de carga, todos los puntos están alineados igualmente con el hilo, equivalente y la intensidad de campo de cada uno es la misma, entonces. mi(r)=constante, de r- Colóquese al hilo desde el punto de guarda. Directamente mi En estos puntos la normal siempre se mantiene directa al hilo. Según el teorema de Gaus; Delaware q- carga, calentamiento en la superficie - S' por la que se calcula el caudal, seleccionamos un cilindro de radio a y trabajamos con una rosca. Para garantizar que la superficie del cilindro sea normal, se retira para que fluya:

Porque mi= constante.

S lado = En 2π .

Por otro lado mi 2πаН=Q/ε 0 ,

Delaware λН=q.

Sujeto:mi=λ /4πε 0 A.

trasero 2. Descubra la tensión del área continua cargada uniformemente con la resistencia superficial de las cargas. σ .

Las líneas de tensión son perpendiculares y en dirección opuesta al plano. Como superficie cerrada, seleccionamos la superficie de un cilindro cuya base es paralela al plano y todo el cilindro es perpendicular al plano. Porque crear cilindros paralelos a las líneas de tensión (α=0, cos α=1 ), entonces el flujo del vector tensión a través de la superficie cilíndrica es igual a cero, y el flujo adicional a través de la superficie cilíndrica cerrada es igual a la suma de los flujos a través de su base. Carga, colocada en medio de una superficie cerrada, antigua σ S básico todi:

FE = 2 miS principal abo F E = = todi E = =

Sujeto: E = no se encuentre cerca del fondo del cilindro ni a ninguna distancia del área detrás del módulo. El campo del área cargada uniformemente es uniforme.

trasero 3. Expanda el campo de dos planos infinitamente cargados con espesor de superficie +σ y –σ similar.

mi = mi = 0; mi = mi + + mi - =.

Sujeto: La intensidad del campo resultante en el área entre los planos es igual a E = y la posición entre los planos es igual a cero.

trasero 4. Expanda la intensidad del campo cargado uniformemente desde la intensidad de la superficie de la carga + σ radio de la superficie esférica R.

Esos, yo,

yakscho r< R , то внутри замкнутой поверхности нет зарядов и электростатическое поле отсутствует (Е=0).

Sujeto:.

trasero 5. Liberar la tensión de la carga volumétrica con la fuerza volumétrica. ρ , radio frío R.

Tomemos una esfera como superficie cerrada.

Yakshcho r ≥R, = 4πr 2 mi ; mi=

yakscho r< R , то сфера радиусом r, quema carga q" igual q"= (los fragmentos de carga se transportan como volúmenes y los volúmenes como cubos de radios)

Todi de T. Gauss

Sujeto:; En medio de un núcleo cargado uniformemente, el voltaje aumenta linealmente con el aumento. r delante del centro, y la pose disminuye hacia atrás proporcionalmente r 2 .

Número de serie 6. Amplíe la intensidad de campo de un cilindro redondo y no sesgado cargado con una carga lineal λ , radio R.

El flujo del vector de tensión a través del extremo del cilindro es igual a 0 y a través de la superficie lateral:

Porque , o ,

entonces (como r > R)

si λ > 0, E > 0, el vector de rectificación del cilindro,

donde λ< 0, Е < 0 , вектор Ē направлен к цилиндру.

yakscho r< R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0

Sujeto:(R>R); E = 0 (R>r). No hay ningún campo en medio de un campo cargado uniformemente en la superficie de un cilindro redondo e ininterrumpido.

trasero 7. El campo eléctrico es creado por dos planos paralelos infinitamente largos con superficies de carga superficial de 2 nC/m2 y 4 nC/m2. Calcule la intensidad del campo en las áreas I, II, III. Crear un horario de trabajo Ē (r) .

Las áreas dividen el espacio en 3 áreas.

Directamente Ē el campo resultante en el más grande.

En la proyección de r:

; «–»; ;

; «–»; ;

; «+»; .

Cronograma Ē (r)

Seleccionar escala: mi 2 =2 mi 1

mi 1 = 1; mi 2 = 2

Sujeto:mi Yo = -345 V/m; miІ I = -172 V/m; mi Yo II = 345 V/m.

Número de serie 8. Radio Ebonitova sucilna kulya R= Carga de transporte de 5 cm, distribuida uniformemente con espesor volumétrico ρ =10 nC/m3. Calcule la intensidad del campo eléctrico en los puntos: 1) en la contrahuella r 1 = 3 div hacia el centro de la esfera; 2) en la superficie de la esfera; 3) en el camino r 2=10 cm desde el centro de la esfera.