Intégrale d'une fraction impropre. Intégration des fractions les plus simples. Intégration de la fonction rationnelle de tir correcte

Pour intégrer la fonction rationnelle \(\large\frac((P\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize,\) de \((P\left(x \ right ) ))\) et \((Q\left(x \right))\) − polynômes, la séquence d'étapes est déterminée :

Si le drib est incorrect (le pas \((P\left(x \right))\) est plus grand que le pas \((Q\left(x \right))\)), remplacez-le par le bon, voir le but de l'expression;

Étalez la bannière \((Q\left(x \right))\) en plus de monômes et/ou d'expressions quadratiques lentes ;

Décomposez la fraction rationnelle en fractions les plus simples, vikoryst ;

Calculez les intégrales en utilisant les fractions les plus simples.

Jetons un coup d'œil au rapport ci-dessous.

Krok 1. Reconversion d'une fraction rationnelle impropre

Puisque le terme est irrégulier (alors le pas numérique \((P\left(x \right))\) est plus grand que le pas de signe \((Q\left(x \right))\)), le terme riche \ ((P\) left est séparable (x \right))\) sur \((Q\left(x \right)).\) Le viraz offensif peut être rejeté : \[\frac((P\left(x \right))))((Q\left (x \right))) = F\left(x \right) + \frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \ right)))),\] de \( \large\frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize\) est la fraction rationnelle correcte.

Crocus 2. Disposer la bannière en utilisant les fractions les plus simples

Écrivons le terme riche du znamennik \((Q\left(x \right))\) sous la forme \[ (Q\left(x \right) ) = ((\left((x - a) \ right)^\alpha ) \ cdots (\left((x - b) \right)^\beta )(\left(((x^2) + px + q) \right)^\mu ) \cdots (\ left(((x^2 ) ) + rx + s) \right)^\nu ),) \] les fonctions quadratiques ne sont pas rapides, de sorte qu'il n'y a pas de racines actives.

Leçon 3. Distribution de fractions rationnelles à partir d'une somme des fractions les plus simples.

Écrivons la fonction rationnelle sous forme moderne : \[(\frac((R\left(x \right))))((Q\left(x \right))) = \frac(A)((((( \left (( x - a) \right))^\alpha ))) + \frac(((A_1))))((((\left((x - a) \right))^(\alpha - 1) )))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((A_(\alpha - 1)))))((x - a)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(B) (( (((\left( (x - b) \right))^\beta ))) + \frac(((B_1))))((((\left((x - b) \right)) ^( \beta - 1)))) ) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((B_(\beta - 1)))))((x - b)) )\kern0pt (+ \frac( (Kx + L)))((((\ left(((x^2) + px + q) \right))^\mu ))) + \frac(((K_1)x + (L_1))) )( (((\left(((x^2) ) + px + q) \right))^(\mu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((K_(\ mu - 1)))x + (L_(\mu - 1) ))))(((x^2) + px + q)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac((Mx + N)) (( ((\left(((x^2) + rx +) s) \right))^\nu ))) + \frac(((M_1)x + (N_1))))((((\ gauche( ((x^2) + rx + s) \right))^ (\nu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((M_(\nu - 1))x + (N_ (\nu - 1)))))(((x^2) + rx + s)).) \] Le nombre de coefficients insignifiants est illégal \((A_i),\) \((B_i), \) \(( K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \((N_i), \ldots\) peut ajouter au niveau de la bannière \((Q\left (x \droite)).\)

Ensuite, nous multiplions les parties incriminées du retiré égal à la bannière \((Q\left(x \right))\) et égalisons les coefficients d'addition avec les mêmes pas \(x.\) En conséquence, nous retirons le système d'égaux linéaires sans coefficients de maison \((A_i ),\) \((B_i),\) \((K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \(( N_i), \ldots\) Ce système sera toujours une seule décision. Descriptions de l'algorithme méthode des coefficients non significatifs .

Leçon 4. Intégration du plus simple fractions rationnelles.

Les fractions les plus simples, séparées du développement d'une fraction rationnelle suffisamment régulière, sont intégrées à l'aide des six formules suivantes : \ \ Pour les fractions de signe quadratique, il faut d'abord voir le carré extérieur : \[\int (\frac( (Ax + B)))(((( (\left(((x^2) + px + q) \right))^k)))dx) = \int (\frac((At + B") ))(((\left((( t^2) ) + (m^2)) \right))^k)))dt) ,\] de \(t = x + \large\frac(p )(2)\normalsize,\) \( (m^2 ) = \large\frac((4q - (p^2)))(4)\normalsize,\) \(B" = B - \large\ frac((Ap))(2)\normalsize .\) Ensuite, les formules suivantes restent bloquées : \[(4.\;\;\int (\frac((tdt)))((((\left((( t^2) + (m^2)) \right ))^k )))) ) = (\frac(1)((2\left((1 - k) \right)((\left((( t^2) + (m^2)) \right ))^( k - 1)))) ) \] \ Intégrale \(\large\int\normalsize (\large\frac((dt)))(( ((\left(((t^2) + ( m^2))) \right))^k)))\normalsize) \) vous pouvez payer pour \(k\) kroki pour une aide supplémentaire formules de réduction\[ (6.\;\;\int (\frac((dt)))((((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^k)))) ) = (\frac(t)((2(m^2)\left((k - 1) \right)((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^ ( k - 1)))) ) (+ \frac((2k - 3))((2(m^2)\left((k - 1) \right)))\int (\frac((dt) ) ((((\gauche(((t^2) + (m^2)) \right))^(k - 1))))) ) \]

« Un mathématicien, tout comme un artiste, chante et crée des créations artistiques. Et parce que les vues d'un mathématicien sont plus stables, notamment parce qu'elles sont composées d'idées... Les vues d'un mathématicien, tout comme celles d'un artiste ou d'un poète, doivent être belles ; Les idées sont les mêmes, les couleurs et les mots de culpabilité se partagent un à un. La beauté passe avant tout : le monde n’a pas de place pour les vilaines mathématiques».

G.H. Hardy

Dans la première section, il a été supposé que l'objectif principal serait de réaliser des fonctions simples qui ne pouvaient plus être exprimées par fonctions élémentaires. À cet égard, les classes de fonctions dont nous pouvons dire avec précision que leurs fonctions primaires sont des fonctions élémentaires sont d'une grande importance pratique. Les fonctions atteignent cette classe fonctions rationnelles, qui sont les relations de deux termes algébriques riches. Avant d'intégrer des fractions rationnelles, donnons un ordre riche. Il est donc très important d’intégrer de telles fonctions.

2.1.1. Fonctions rationnelles fractionnaires

Fraction rationnelle(ou fonction tir-rationnel) est appelée la relation de deux termes algébriques riches :

où je – membres riches.

Devinez quoi membre riche (polynôme, toute une fonction rationnelle) nème étape s'appelle une fonction

de – les numéros actifs. Par exemple,

- membre riche du premier étage ;

- membre riche de la quatrième étape, etc.

L'argument rationnel (2.1.1) s'appelle correct Si le niveau est inférieur au niveau, alors. n<m, dans un autre cas, le drib s'appelle faux.

Toute fraction irrégulière peut être servie sous la forme d'une grande partie (partie entière) et d'une fraction régulière (partie fractionnée). La visualisation de l'ensemble et des parties d'un plan irrégulier peut être réalisée selon la règle de la partie « coupée ».

Fesses 2.1.1. Voir la fraction entière des fractions rationnelles irrégulières suivantes :

UN) , b) .

Décision . a) L'algorithme de Vikorist est divisé en « bosse » et peut être éliminé

De cette manière, nous rejetons

.

b) Voici également un algorithme de vikory dans une « bosse » :

En conséquence, nous pouvons rejeter

.

Apportons les pochettes. L'intégrale non négligeable de la fraction rationnelle dans l'expression littérale peut être détectée par la somme des intégrales du terme riche et de la fraction rationnelle correcte. Trouver les premiers types de polynômes ne devient pas difficile. Il est donc important de considérer les fractions rationnelles appropriées.

2.1.2. Les fractions rationnelles les plus simples et leur intégration

Parmi les fractions rationnelles régulières, il existe quatre types liés à aux fractions rationnelles (élémentaires) les plus simples :

3) ,

4) ,

de - nombre entier, , alors. trinôme quadratique n'a pas de racines actives.

L'intégration des fractions les plus simples des 1er et 2ème types ne pose pas de grandes difficultés :

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Nous allons maintenant nous intéresser à l'intégration des fractions les plus simples du 3ème type, mais nous ne nous intéresserons pas aux fractions du 4ème type.

Terminons en pensant aux intégrales

.

Cette intégrale est appelée à être calculée en voyant un carré complet dans la bannière. Le résultat est une intégrale tabulaire de la forme suivante :

ou sinon .

Fesses 2.1.2. Trouver des intégrales :

UN) , b) .

Décision . a) Visible depuis le trinôme carré, le nouveau carré est :

Nous connaissons les étoiles

b) Après avoir vu le nouveau carré du trinôme carré, nous pouvons retirer :

D'une telle manière

.

Pour trouver l'intégrale

peut être vu dans la calculatrice numérique selon le signe et la division de l'intégrale pour la somme de deux intégrales : la première par leur substitution se mettre au courant

,

et l'autre - à la chose regardée.

Fesses 2.1.3. Trouver des intégrales :

.

Décision . Chère école . Visible dans le numéro de la bannière :

La première intégrale est calculée en utilisant une substitution supplémentaire :

L'autre intégrale a apparemment un carré supplémentaire au signe

Restant, on peut le supprimer

2.1.3. Présenter la fraction rationnelle correcte
pour la somme des fractions les plus simples

Soyez le bon argument rationnel peut être vu dans un seul ordre en regardant la somme des fractions les plus simples. Pour cela, la bannière doit être divisée en multiplicateurs. De nombreuses algèbres montrent clairement que la peau est riche en coefficients actifs.

Applications d'intégration examinées fonctions rationnelles(Drobiv) avec des décisions de reporting.

Brume Z

Div. aussi: Racine carrée

Nous rapportons ici trois applications de l’intégration de fractions rationnelles avancées :
, , .

Fesses 1

Calculez l'intégrale :
.

Ici, sous le signe de l'intégrale, se trouve une fonction rationnelle, et les fragments de l'expression intégrale sont divisés en fractions à partir de termes riches. Étape du riche membre de la bannière ( 3 ) inférieur au degré du terme numérique ( 4 ). Ce petit a besoin de voir toute la partie de la photo.

1. On voit toute une partie du plan. Dilimo x 4 par x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Zvidsi
.

2. Nous divisons la bannière en multiples. Pourquoi devez-vous dénouer l'alignement cubique :
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
X substituable = 1 :
.

1 . Dilimo par x - 1 :

Zvidsi
.
Cela semble être carré.
.
Racine Rivnyanya : , .
Todi
.

3. Décomposons les choses dans les termes les plus simples.

.

Eh bien, nous savons :
.
Intégré.

Fesses 2

Calculez l'intégrale :
.

Ici, le calculateur de nombres a une fraction - un terme riche de zéro degré ( 1 = x0). Le Bannerman a un membre riche du troisième degré. Oskolki 0 < 3 , alors le drib est correct. Décomposons-le en fractions les plus simples.

1. Nous divisons la bannière en multiples. Pour qui faut-il déterminer le niveau du troisième étage :
.
Il est acceptable qu’il y en ait un qui ne souhaite que la racine entière. C'est aussi la date du numéro 3 (Membre sans x). Alors la racine entière peut être l’un des nombres :
1, 3, -1, -3 .
X substituable = 1 :
.

Eh bien, nous connaissions une racine x = 1 . Dilimo x 3 + 2x-3 sur x - 1 :

Otje,
.

Cela semble être carrément égal :
X 2+x+3=0.
Discriminant connu : D = 1 2 - 4 3 = -11. Oskolki D.< 0 , alors la rhubarbe n'a pas de racines actives. De cette manière, nous avons disposé la bannière en multiplicateurs :
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
X substituable = 1 . Todi x - 1 = 0 ,
.

Remplaçable dans (2.1) X = 0 :
1 = 3A-C;
.

Égal à (2.1) coefficients en x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Intégré.
(2.2) .
Pour calculer une autre intégrale, apparemment, dans la calculatrice numérique, nous déplaçons le signe vers la somme des carrés.

;
;
.

Calculable I 2 .


.
Vestiges de Rivnyanya x 2+x+3=0 n'a pas de racines actives, alors x 2 + x + 3 > 0. Par conséquent, le signe du module peut être omis.

Livré dans (2.2) :
.

Fesses 3

Calculez l'intégrale :
.

Ici, sous le signe de l'intégrale, on retrouve plusieurs termes différents. L’expression intégrale a donc une fonction rationnelle. Le niveau d'un polynôme en nombres est ancien 3 . Le stade du polynôme du signifiant est semblable à la fraction 4 . Oskolki 3 < 4 , alors le drib est correct. Ils peuvent donc être décomposés en fractions simples. Pour cela, il est nécessaire de diviser la bannière en multiplicateurs.

1. Nous divisons la bannière en multiples. Pour qui faut-il déterminer le niveau de la quatrième étape :
.
Il est acceptable qu’il y en ait un qui ne souhaite que la racine entière. C'est aussi la date du numéro 2 (Membre sans x). Alors la racine entière peut être l’un des nombres :
1, 2, -1, -2 .
X substituable = -1 :
.

Eh bien, nous connaissions une racine x = -1 . Dilimo par x - (-1) = x + 1:


Otje,
.

Vous devez maintenant déterminer le niveau de la troisième étape :
.
Supposons que la racine entière soit la racine et la racine du nombre 2 (Membre sans x). Alors la racine entière peut être l’un des nombres :
1, 2, -1, -2 .
X substituable = -1 :
.

Oh mon Dieu, nous avons trouvé une autre racine x = -1 . Il serait possible, comme dans la première étape, de diviser le terme en , puis de regrouper les termes :
.

Vestiges de Rivnyanya x 2 + 2 = 0 il n'y a pas de racines actives, puis nous avons supprimé la disposition de la bannière en multiplicateurs :
.

2. Décomposons les choses dans les termes les plus simples. On dirait qu'il est disposé devant vous :
.
Une fraction est ajoutée à la bannière, multipliée par (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
X substituable = -1 . Todi x + 1 = 0 ,
.

Différenciation (3.1) :

;

.
X substituable = -1 J'espère vraiment que x + 1 = 0 :
;
; .

Remplaçable dans (3.1) X = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Égal à (3.1) coefficients en x 3 :
;
1 = B + C;
.

Eh bien, nous savions comment décomposer les fractions les plus simples :
.

3. Intégré.


.

Div. aussi:

Tous les points ci-dessus permettent de formuler les règles de base pour l'intégration d'une fraction rationnelle.

1. Si la fraction rationnelle est incorrecte, elle est alors présentée sous la forme d'un membre riche et de la fraction rationnelle correcte (division 2).

Ici, l’intégration de la fraction rationnelle incorrecte elle-même conduit à l’intégration du terme riche et de la fraction rationnelle correcte.

2. Placez la bannière de fraction régulière dans les multiplicateurs.

3. La fraction rationnelle correcte est divisée en une somme des fractions les plus simples. Ici, l'intégration de la fraction rationnelle correcte elle-même se réduit à l'intégration des fractions les plus simples.

Nous allons jeter un coup d'oeil.

Exemple 1. Savoir.

Décision. Sous l'intégrale se trouve une fraction rationnelle incorrecte. En voyant toute la partie, on l'enlève

Otje,

Veuillez noter que l'argument rationnel correct peut être présenté

pour les fractions les plus simples :

(Formule Div. (18)). À M

De cette manière, c'est encore possible

Fesses 2. Savoir

Décision. Sous l’intégrale se trouve un argument rationnel correct.

En les développant dans les fractions les plus simples (merveilleuse formule (16)), nous pouvons éliminer

Le matériel contenu dans ce sujet est contenu dans la feuille de calcul soumise dans le sujet "Fractions rationnelles. Décomposition des fractions rationnelles en fractions élémentaires (les plus simples)". J'aimerais vraiment revoir rapidement ce sujet avant de passer à la lecture de ce document. De plus, nous aurons besoin d'un tableau d'intégrales non valorisables.

Je peux penser à un tas de termes. Il y a eu une discussion à leur sujet dans un sujet distinct, je vais donc partager une brève déclaration ici.

La relation entre deux termes $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ est appelée une fonction rationnelle ou une fraction rationnelle. Un argument rationnel s’appelle correct yakscho $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется faux.

Les fractions rationnelles élémentaires (les plus simples) sont des fractions rationnelles de quatre types :

1. $\frac(A)(x-a)$ ;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Remarque (pour une meilleure compréhension du texte) : afficher

Ce qu'il faut, c'est de l'intelligence $p^2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Par exemple, pour la rotation $x^2+5x+10$ on peut éliminer : $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Éclats $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Avant de parler, à des fins de vérification, ce n'est pas du tout difficile, de sorte que les cotes avant $x^2$ ajoutent 1. Par exemple, pour $5x^2+7x-3=0$ on rejette : $D= 7^2-4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 $. Si $D > 0$, alors l'expression $5x^2+7x-3$ peut être décomposée en multiplicateurs.

L'utilisation de fractions rationnelles (régulières et irrégulières), ainsi que l'utilisation de fractions rationnelles, peuvent être apprises en termes élémentaires. Nous sommes ici privés de la nutrition de leur intégration. Terminons par l'intégration des fractions élémentaires. Aussi, il est difficile d'intégrer les significations des fractions élémentaires de plusieurs types de peaux, formules vicoristiques présentées ci-dessous. Laissez-moi deviner qu'à partir de fractions intégrées de type (2) et (4) $n=2,3,4,ldots$ sont transférés. Formules (3) et (4) vimagayut vikonannya umovi $p^2-4q< 0$.

\begin(équation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equation) \begin(equation) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(équation)

Pour $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$, remplacez $t=x+\frac(p)(2)$, après suppression, l'intervalle est divisé en deux . Le premier est calculé pour l'entrée supplémentaire sous le signe différentiel, et l'autre ressemble à $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Cette intégrale est reprise à l'aide de relations récurrentes

\begin(équation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)Je_n,\; n\in N\fin(équation)

Le calcul d'une telle intégrale est présenté dans la pièce n° 7 (div. troisième).

Schéma de calcul des intégrales à partir de fonctions rationnelles (fractions rationnelles) :

1. Puisque le principe intégral est élémentaire, formulez alors les formules (1)-(4).
2. Puisque la fraction intégrale n'est pas élémentaire, ajoutez-la à la somme des fractions élémentaires, puis intégrez les formules suivantes (1)-(4).

En général, l’algorithme d’intégration de fractions rationnelles peut être d’une validité constante – il est universel. Tobto. en utilisant cet algorithme, il est possible d'intégrer be-yaku ami rationnel. Il est également possible que toutes les substitutions de changements dans une intégrale non valorisée (substitutions d'Euler, Chebishev, substitution trigonométrique universelle) soient effectuées avec une telle structure, de sorte qu'après la substitution, une fraction rationnelle soit supprimée sous l'intégrale. Et avant cela, l’algorithme a déjà stagné. Nous analyserons cet algorithme directement sur les crosses, après avoir préalablement pris une petite note.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

En principe, cette intégrale est difficile à supprimer sans formuler mécaniquement la formule. Si nous insérons la constante $7$ dans le signe intégral et écrivons que $dx=d(x+9)$, alors nous pouvons annuler :

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Pour des informations détaillées, je vous recommande de regarder le sujet. Il y est clairement expliqué comment ces intégrales sont calculées. Avant de parler, la formule est traduite par les transformations mêmes qui ont été mises en place à ce moment-là au moment de l'achèvement « à la main ».

2) Je sais qu'il y a deux manières : soit congeler la formule toute prête, soit s'en passer. Une fois que vous avez formulé la formule, découvrez quel sera le coefficient avant $x$ (numéro 4). C’est pour cette raison que les quatre méritent simplement d’être mentionnés par les armes :

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Le moment est maintenant venu de formuler la formule :

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Vous pouvez vous débrouiller avec la formule. navіt sans vineshenny constant 4$ pour les bras. Si vous pensez que $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, alors nous pouvons rejeter :

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Des explications détaillées sur la façon de trouver de telles intégrales sont données dans le sujet « Intégration par substitution (introduit sous le signe différentiel) ».

3) Nous devons intégrer la fraction $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Cette fraction a la structure $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, où $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Cependant, afin de déterminer quelle est la tribu élémentaire du troisième type la plus efficace, vous devez vérifier l'esprit viconnien $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

C'est le même mégot, mais sans l'utilisation d'une formule toute faite. Essayons de voir le porte-drapeau dans le numéro. Qu'est-ce que cela signifie? On sait que $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Il faut articuler l'expression $2x+10$ dans l'opérateur numérique. Pour l'instant, l'opérateur numérique ne peut venger que $4x+7$, sinon ce n’est pas nécessaire, c’est une question de recréation jusqu’au calculateur de chiffres :

$$ 4x+7=2cdot 2x+7=2cdot (2x+10-10)+7=2cdot(2x+10)-2cdot 10+7=2cdot(2x+10) -13. $$

Désormais, le calculateur de chiffres a une nouvelle exigence : $2x+10$. Et notre intégrale peut être réécrite comme suit :

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2xcdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

On divise l'intégrande en deux. Eh bien, évidemment, il a lui-même intégré la même chose « de deux manières » :

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10)))(x^ 2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Parlons alors de terminer la première intégrale. à propos de $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Les fragments $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, alors dans l'équation numérique de la fraction intégrale, la différentielle de la bannière est En bref, apparemment, remplacer le viraza $( 2x +10)dx$ peut être écrit sous la forme $d(x^2+10x+34)$.

Disons maintenant quelques mots sur une autre intégrale. Vous pouvez voir le nouveau carré dans la bannière : $ x 2 + 10 x + 34 = (x + 5) 2 + 9 $. De plus, la valeur est $dx=d(x+5)$. Maintenant, la somme des intégrales que nous avons supprimées plus tôt peut être réécrite sous une forme complètement différente :

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9) . $$

Si dans la première intégrale on fait la substitution $u=x^2+10x+34$, alors nous verrons $\int\frac(du)(u)$ et il sera facile d'utiliser une autre formule avec . Quant à l'autre intégrale, alors pour la nouvelle nous utilisons le remplacement $u=x+5$, après quoi nous verrons $\int\frac(du)(u^2+9)$. C'est de l'eau pure, la onzième formule avec le tableau des intégrales sans importance. Donc, revenons à la somme des intégrales, disons :

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2cdotln(x^2+10x+34)-frac(13)(3)arctgfrac(x+5)(3)+C. $$

Nous avons rejeté les mêmes preuves, même avec la formule stagnante, ce qui, après tout, n’est pas surprenant. Ainsi, la formule est développée de la même manière que celle utilisée pour trouver l’intégrale. Je respecte le fait qu’un lecteur respecté puisse prendre un repas ici, je vais donc formuler ceci :

Repas №1

Si l'intégrale $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ met une autre formule dans le tableau des intégrales non valorisables, on peut la supprimer comme ceci :

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Pourquoi la solution dispose-t-elle d'un module quotidien ?

Commentaires n°1

Le régime est complètement naturel. Le module est supérieur à $x^2+10x+34$ pour tout $x\in R$ supérieur à zéro. Il n’est pas du tout difficile de montrer combien il existe de chemins. Par exemple, les fragments $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ et $(x+5)^2 ≥ 0$, alors $(x+5)^2+9 > 0 $. Vous pouvez juger différemment, sans voir un carré complet. Éclats 10 $^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ pour tout $x\in R$ (comme le crie ce petit bonhomme logique, Raja s'émerveillera de la méthode graphique permettant de démêler les irrégularités carrées). Si la peau a des fragments $x^2+10x+34 > 0$, alors $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, alors. A la place du module, les bras primaires peuvent être remplacés.

Tous les points de la crosse n°1 ont été vérifiés, et je ne peux plus écrire de confirmation.

Vidpovid:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5) (3) + $CAN.

Fesses n°2

Trouvez l'intégrale $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

À première vue, le drib péintégral $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ est donc très similaire à un drib élémentaire du troisième type. par $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Il s'avère que la même différence est le coefficient de 3$ avant $x^2$, et le coefficient est égal au désavantage (pour les armes, salaire). Il existe cependant une similitude. Pour la fraction $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ obov'yazkova є umova $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Notre coefficient avant $x^2$ n'est pas égal à un, alors vérifiez mentalement $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, alors le Viraz $3x^2-5x-2$ peut être divisé en multiplicateurs. Et cela signifie que la fraction $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ n'est pas une fraction élémentaire du troisième type, mais se réduit à l'intégrale $\int\frac(7x+12) La formule (3x^2- 5x-2)dx$ n'est pas possible.

Eh bien, puisque les problèmes des fractions rationnelles ne sont pas élémentaires, alors il faut les présenter comme des sommes de fractions élémentaires, puis les intégrer. Bref, apparemment, la piste est rapide. Comment diviser un argument rationnel en arguments élémentaires est clairement écrit. Jetons un coup d'œil au fait que la bannière est divisée en multiplicateurs :

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligné) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-sqrt(49))(2cdot 3)=frac(5-7)(6)=frac(-2)(6)=-frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \\end(aligné)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3cdotgauche(x+frac(1)(3)droite)(x-2). $$

Le dribble sub-interne peut être représenté sous cette forme :

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Décomposons maintenant la fraction $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ en fractions élémentaires :

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ ) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\\frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1) ( 3)\droite). $$

Pour trouver les coefficients $A$ et $B$, il existe deux méthodes classiques : la méthode des coefficients non significatifs et la méthode de substitution des valeurs privées. Ce qui suit est une méthode simple pour remplacer des valeurs privées en introduisant $x=2$, puis $x=-\frac(1)(3)$ :

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Les fragments du coefficient ont été retrouvés, il n'était plus possible d'écrire le tracé tout fait :

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+frac(1)(3))+frac(frac(26)(7))(x-2). $$

En principe, vous pouvez supprimer un tel enregistrement, mais il existe une option plus intéressante qui vous plaira :

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot frac(1)(x+frac(1)(3))+frac(26)(7)cdotfrac(1)(x-2). $$

En ce qui concerne l’intégrale de sortie, nous présentons le développement vers une nouvelle conclusion. Puis on intègre l'intégrale par deux, et jusqu'à ce que la peau stagne la formule. Je mettrai immédiatement les constantes derrière le signe intégral :

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Vidpovid: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| + frac (26) (7) cdot ln | x-2 | +$CAN.

Action n°3

Trouvez l'intégrale $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Nous devons intégrer la fraction $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Le responsable des numéros du Roztashovani a un membre riche d'un autre niveau, et le znamennik a un membre riche du troisième niveau. Les fragments des étapes du polynôme dans le livre de nombres sont donc plus petits que les étapes du polynôme dans le livre de signes. 2 $< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Il ne faudra plus diviser les tâches de l’intégrale en trois, et faire stagner complètement la formule. Je mettrai immédiatement les constantes derrière le signe intégral :

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \ int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9 |+C. $$

Vidpovid: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

La suite de l’analyse des candidatures est décrite dans une autre partie.