Que signifie résoudre une équation trigonométrique. Comment résoudre des équations trigonométriques. Identités trigonométriques de base

Nécessite la connaissance des formules de base de la trigonométrie - la somme des carrés du sinus et du cosinus, l'expression de la tangente à travers le sinus et le cosinus, et autres. Pour ceux qui les ont oubliés ou ne savent pas, nous vous recommandons de lire l'article "".
Donc, nous connaissons les formules trigonométriques de base, il est temps de les utiliser dans la pratique. Résolution d'équations trigonométriques avec la bonne approche, c'est une activité assez excitante, comme résoudre un cube de Rubik.

Sur la base du nom lui-même, il est clair qu'une équation trigonométrique est une équation dans laquelle l'inconnu est sous le signe de la fonction trigonométrique.
Il existe les équations trigonométriques dites les plus simples. Voici à quoi ils ressemblent: sinx \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a. Considérer comment résoudre de telles équations trigonométriques, pour plus de clarté, nous utiliserons le cercle trigonométrique déjà familier.

sinx \u003d a

cos x \u003d a

tg x \u003d a

cot x \u003d a

Toute équation trigonométrique est résolue en deux étapes: nous apportons l'équation à la forme la plus simple et la résolvons ensuite comme l'équation trigonométrique la plus simple.
Il existe 7 méthodes principales par lesquelles les équations trigonométriques sont résolues.

Méthode de substitution et de substitution de variable

Résoudre l'équation 2cos 2 (x + / 6) - 3sin (/ 3 - x) +1 \u003d 0

En utilisant les formules de réduction, nous obtenons:

2cos 2 (x + / 6) - 3cos (x + / 6) +1 \u003d 0

Remplacez cos (x + / 6) par y pour plus de simplicité et obtenez l'équation quadratique habituelle:

2 ans 2 - 3 ans + 1 + 0

Dont les racines y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 1/2

Maintenant allons-y dans l'ordre inverse

Nous substituons les valeurs y trouvées et nous obtenons deux réponses:

Résolution d'équations trigonométriques par factorisation

Comment résoudre l'équation sin x + cos x \u003d 1?

Déplacez tout vers la gauche pour que 0 reste à droite:

sin x + cos x - 1 \u003d 0

Nous utiliserons les identités ci-dessus pour simplifier l'équation:

sin x - 2 sin 2 (x / 2) \u003d 0

Nous faisons la factorisation:

2sin (x / 2) * cos (x / 2) - 2 sin 2 (x / 2) \u003d 0

2sin (x / 2) * \u003d 0

Nous obtenons deux équations

Réduction à une équation homogène

Une équation est homogène en ce qui concerne le sinus et le cosinus si tous ses termes par rapport au sinus et au cosinus sont de la même puissance du même angle. Pour résoudre une équation homogène, procédez comme suit:

a) transférer tous ses membres sur le côté gauche;

b) retirer tous les facteurs communs des parenthèses;

c) assimiler tous les facteurs et parenthèses à 0;

d) une équation homogène d'un degré moindre est obtenue entre parenthèses, elle est à son tour divisée en sinus ou cosinus au degré le plus élevé;

e) résoudre l'équation résultante pour tg.

Résoudre l'équation 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x \u003d 2

Utilisons la formule sin 2 x + cos 2 x \u003d 1 et débarrassons-nous des deux ouverts à droite:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x \u003d 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x \u003d 0

Diviser par cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 \u003d 0

Remplacez tg x par y et obtenez une équation quadratique:

y 2 + 4y +3 \u003d 0, dont les racines y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3

De là, nous trouvons deux solutions à l'équation d'origine:

x 2 \u003d arctan 3 + k

Résoudre des équations en allant au demi-angle

Résoudre l'équation 3sin x - 5cos x \u003d 7

Passons à x / 2:

6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos 2 (x / 2) + 5sin 2 (x / 2) \u003d 7sin 2 (x / 2) + 7cos 2 (x / 2)

Déplacez tout vers la gauche:

2sin 2 (x / 2) - 6sin (x / 2) * cos (x / 2) + 12cos 2 (x / 2) \u003d 0

Diviser par cos (x / 2):

tg 2 (x / 2) - 3tg (x / 2) + 6 \u003d 0

Présentation d'un angle auxiliaire

Pour considération, nous prenons une équation de la forme: a sin x + b cos x \u003d c,

où a, b, c sont des coefficients arbitraires et x est inconnu.

Nous divisons les deux côtés de l'équation en:

Maintenant, les coefficients de l'équation, selon les formules trigonométriques, ont les propriétés sin et cos, à savoir: leur module n'est pas supérieur à 1 et la somme des carrés \u003d 1. On les note respectivement cos et sin, où est le angle dit auxiliaire. Ensuite, l'équation prendra la forme:

cos * sin x + sin * cos x \u003d С

ou sin (x +) \u003d C

La solution à cette équation trigonométrique la plus simple est

x \u003d (-1) k * arcsin С - + k, où

Notez que cos et sin sont utilisés de manière interchangeable.

Résoudre l'équation sin 3x - cos 3x \u003d 1

Dans cette équation, les coefficients sont:

a \u003d, b \u003d -1, donc nous divisons les deux côtés par \u003d 2

Les relations entre les principales fonctions trigonométriques - sinus, cosinus, tangente et cotangente - sont définies formules trigonométriques... Et comme il y a beaucoup de connexions entre les fonctions trigonométriques, cela explique l'abondance des formules trigonométriques. Certaines formules relient des fonctions trigonométriques du même angle, d'autres - fonctions d'un angle multiple, d'autres - permettent d'abaisser le degré, quatrième - expriment toutes les fonctions par la tangente d'un demi-angle, etc.

Dans cet article, nous listerons dans l'ordre toutes les formules trigonométriques de base, qui suffisent à résoudre la grande majorité des problèmes de trigonométrie. Pour faciliter la mémorisation et l'utilisation, nous les regrouperons par objectif et les entrerons dans des tableaux.

Navigation dans la page.

Identités trigonométriques de base

Identités trigonométriques de base définir la relation entre sinus, cosinus, tangente et cotangente d'un angle. Ils découlent des définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, ainsi que du concept de cercle unitaire. Ils vous permettent d'exprimer une fonction trigonométrique en termes de n'importe quelle autre.

Pour une description détaillée de ces formules de trigonométrie, leur dérivation et des exemples d'application, voir l'article.

Formules de coulée

Formules de coulée découlent des propriétés du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, c'est-à-dire qu'elles reflètent la propriété de périodicité des fonctions trigonométriques, la propriété de symétrie, ainsi que la propriété d'un décalage d'un angle donné. Ces formules trigonométriques vous permettent de passer du travail avec des angles arbitraires au travail avec des angles allant de zéro à 90 degrés.

La justification de ces formules, la règle mnémotechnique pour les mémoriser et des exemples de leur application peuvent être étudiés dans l'article.

Formules d'addition

Formules d'addition trigonométriques montrent comment les fonctions trigonométriques de la somme ou de la différence de deux angles sont exprimées en fonction des fonctions trigonométriques de ces angles. Ces formules servent de base pour dériver les formules trigonométriques suivantes.

Formules pour double, triple, etc. coin

Formules pour double, triple, etc. angle (également appelé formule d'angle multiple) montre comment les fonctions trigonométriques de double, triple, etc. les angles () sont exprimés en termes de fonctions trigonométriques d'un seul angle. Leur dérivation est basée sur des formules d'addition.

Des informations plus détaillées sont rassemblées dans l'article sur la formule du double, du triple, etc. coin.

Formules demi-angle

Formules demi-angle montrent comment les fonctions trigonométriques de demi-angle sont exprimées en termes de cosinus d'un angle entier. Ces formules trigonométriques découlent des formules à double angle.

Leur conclusion et des exemples d'application se trouvent dans l'article.

Formules de réduction de degré

Formules de réduction de degrés trigonométriques sont conçus pour faciliter la transition des degrés naturels des fonctions trigonométriques aux sinus et cosinus du premier degré, mais à angles multiples. En d'autres termes, ils vous permettent d'abaisser les degrés des fonctions trigonométriques au premier.

Formules pour la somme et la différence des fonctions trigonométriques

L'objectif principal formules pour la somme et la différence des fonctions trigonométriques est d'aller au produit des fonctions, ce qui est très utile pour simplifier les expressions trigonométriques. Ces formules sont également largement utilisées pour résoudre des équations trigonométriques, car elles vous permettent de factoriser la somme et la différence des sinus et des cosinus.

Formules pour le produit des sinus, cosinus et sinus par cosinus

La transition du produit des fonctions trigonométriques à la somme ou à la différence s'effectue au moyen des formules du produit des sinus, cosinus et sinus par cosinus.

Substitution trigonométrique universelle

Nous concluons la revue des formules de base de la trigonométrie avec des formules exprimant des fonctions trigonométriques en termes de tangente d'un demi-angle. Ce remplaçant a été nommé substitution trigonométrique universelle... Sa commodité réside dans le fait que toutes les fonctions trigonométriques sont exprimées en termes de tangente d'un demi-angle rationnellement sans racines.

Liste de références.

Algèbre: Cahier de texte. pour 9 cl. Mercredi école / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Education, 1990.- 272 p.: Ill. - ISBN 5-09-002727-7
Bashmakov M.I. Algèbre et début de l'analyse: manuel. pour 10-11 cl. Mercredi shk. - 3e éd. - M .: Education, 1993 .-- 351 p .: Ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Algèbre et le début de l'analyse: Manuel. pour 10-11 cl. enseignement général. institutions / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn et autres; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14e éd. - M.: Education, 2004. - 384 p.: Ill. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathématiques (manuel pour les candidats aux écoles techniques): Manuel. manuel. - M.; Plus haut. shk., 1984.-351 p., malade.

Tous les droits sont réservés.
Protégé par la loi sur les droits d'auteur. Aucune partie du site, y compris les documents internes et la conception externe, ne peut être reproduite sous quelque forme que ce soit ou utilisée sans l'autorisation écrite préalable du détenteur des droits d'auteur.

Vous pouvez commander une solution détaillée à votre problème !!!

Une égalité contenant une inconnue sous le signe d'une fonction trigonométrique (`sin x, cos x, tan x` ou` ctg x`) est appelée une équation trigonométrique, et nous examinerons leurs formules plus loin.

Les équations les plus simples sont appelées `sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a`, où` x` est l'angle à trouver,` a` est n'importe quel nombre. Écrivons les formules racine pour chacun d'eux.

1. Équation «sin x \u003d a».

Pour «| a |\u003e 1» n'a pas de solution.

Pour `| a | \\ leq 1` a un nombre infini de solutions.

Formule racine: `x \u003d (- 1) ^ n arcsin a + \\ pi n, n \\ in Z`

2. L'équation «cos x \u003d a»

Pour `| a |\u003e 1` - comme dans le cas du sinus, il n'a pas de solutions parmi les nombres réels.

Pour `| a | \\ leq 1` a un nombre infini de solutions.

Formule racine: `x \u003d \\ pm arccos a + 2 \\ pi n, n \\ in Z`

Cas particuliers du sinus et du cosinus dans les graphiques.

3. L'équation «tg x \u003d a»

Possède un nombre infini de solutions pour toutes les valeurs de `a`.

Formule racine: `x \u003d arctan a + \\ pi n, n \\ in Z`

4. L'équation «ctg x \u003d a»

Possède également un ensemble infini de solutions pour toutes les valeurs de `a`.

Formule racine: `x \u003d arcctg a + \\ pi n, n \\ in Z`

Formules pour les racines des équations trigonométriques dans un tableau

Pour sinus:
Pour le cosinus:
Pour tangente et cotangente:
Formules pour résoudre des équations contenant des fonctions trigonométriques inverses:

Méthodes de résolution d'équations trigonométriques

La solution de toute équation trigonométrique se compose de deux étapes:

en utilisant le convertir au plus simple;
résolvez l'équation la plus simple qui en résulte en utilisant les formules et les tables de racine écrites ci-dessus.

Regardons les exemples des principales méthodes de résolution.

Méthode algébrique.

Dans cette méthode, le remplacement de variable et la substitution en égalité sont effectués.

Exemple. Résolvez l'équation: `2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3sin (\\ frac \\ pi 3 - x) + 1 \u003d 0`

`2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3cos (x + \\ frac \\ pi 6) + 1 \u003d 0`,

on fait le changement: `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d y`, puis` 2y ^ 2-3y + 1 \u003d 0`,

on retrouve les racines: `y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1 / 2`, d'où suivent deux cas:

1.` cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1`, `x + \\ frac \\ pi 6 \u003d 2 \\ pi n`,` x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

2.` cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1 / 2`, `x + \\ frac \\ pi 6 \u003d \\ pm arccos 1/2 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Réponse: `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`.

Factorisation.

Exemple. Résolvez l'équation: `sin x + cos x \u003d 1`.

Décision. Déplacer tous les termes de l'égalité vers la gauche: `sin x + cos x-1 \u003d 0`. Utilisation, transformation et factorisation du côté gauche:

`sin x - 2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`,

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`,

`2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) \u003d 0`,

`sin x / 2 \u003d 0`,` x / 2 \u003d \\ pi n`, `x_1 \u003d 2 \\ pi n`.
`cos x / 2-sin x / 2 \u003d 0`,` tg x / 2 \u003d 1`, `x / 2 \u003d arctan 1+ \\ pi n`,` x / 2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n` , `x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Réponse: `x_1 \u003d 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`.

Réduction à une équation homogène

Tout d'abord, vous devez amener cette équation trigonométrique à l'un des deux types suivants:

`a sin x + b cos x \u003d 0` (équation homogène du premier degré) ou` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x \u003d 0` (équation homogène du deuxième degré).

Puis divisez les deux parties par `cos x \\ ne 0` - pour le premier cas, et par` cos ^ 2 x \\ ne 0` - pour le second. Nous obtenons les équations pour `tg x`:` a tg x + b \u003d 0` et `a tg ^ 2 x + b tg x + c \u003d 0`, qui doivent être résolues par des méthodes connues.

Exemple. Résolvez l'équation: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1`.

Décision. Réécrivez le côté droit comme `1 \u003d sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -`` sin ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`.

C'est une équation trigonométrique homogène du deuxième degré, on divise ses côtés gauche et droit par `cos ^ 2 x \\ ne 0`, on obtient:

`\\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \\ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \\ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0`

`tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0`. Introduisons le remplacement `tg x \u003d t`, comme résultat` t ^ 2 + t - 2 \u003d 0`. Les racines de cette équation sont «t_1 \u003d -2» et «t_2 \u003d 1». Puis:

`tg x \u003d -2`,` x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`, `n \\ dans Z`
`tg x \u003d 1`,` x \u003d arctan 1+ \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Répondre. `x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`,` n \\ in Z`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Aller au demi-coin

Exemple. Résolvez l'équation: `11 sin x - 2 cos x \u003d 10`.

Décision. Appliquez les formules d'angle double, comme résultat: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 \u003d` `10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 \u003d 0`

En appliquant la méthode algébrique ci-dessus, nous obtenons:

`tg x / 2 \u003d 2`,` x_1 \u003d 2 arctan 2 + 2 \\ pi n`, `n \\ in Z`,
`tg x / 2 \u003d 3 / 4`,` x_2 \u003d arctan 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ in Z`.

Répondre. `x_1 \u003d 2 arctan 2 + 2 \\ pi n, n \\ in Z`,` x_2 \u003d arctan 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ in Z`.

Présentation d'un angle auxiliaire

Dans l'équation trigonométrique `a sin x + b cos x \u003d c`, où a, b, c sont des coefficients et x est une variable, nous divisons les deux côtés par` sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)`:

`\\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x \u003d '' \\ frac c (sqrt (a ^ 2) + b ^ 2)) `.

Les coefficients du côté gauche ont les propriétés du sinus et du cosinus, c'est-à-dire que la somme de leurs carrés est égale à 1 et que leurs valeurs absolues ne sont pas supérieures à 1. Désignons-les comme suit: `\\ frac a (sqrt ( a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d cos \\ varphi`, `\\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d sin \\ varphi`,` \\ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) \u003d C`, alors:

`cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d C`.

Examinons de plus près l'exemple suivant:

Exemple. Résolvez l'équation: `3 sin x + 4 cos x \u003d 2`.

Décision. Divisez les deux côtés de l'égalité par `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, nous obtenons:

`\\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d '' \\ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

«3/5 sin x + 4/5 cos x \u003d 2/5».

Notons `3/5 \u003d cos \\ varphi`,` 4/5 \u003d sin \\ varphi`. Puisque `sin \\ varphi\u003e 0`,` cos \\ varphi\u003e 0`, alors nous prenons `\\ varphi \u003d arcsin 4/5` comme angle auxiliaire. Ensuite, nous écrivons notre égalité sous la forme:

`cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d 2 / 5`

En appliquant la formule de la somme des angles pour le sinus, nous écrivons notre égalité sous la forme suivante:

`sin (x + \\ varphi) \u003d 2 / 5`,

`x + \\ varphi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \\ pi n`,` n \\ in Z`,

`x \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Répondre. `x \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n \\ in Z`.

Équations trigonométriques fractionnelles-rationnelles

Ce sont des égalités avec des fractions, dont les numérateurs et dénominateurs ont des fonctions trigonométriques.

Exemple. Résous l'équation. `\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x`.

Décision. Multipliez et divisez le côté droit de l'égalité par `(1 + cos x)`. En conséquence, nous obtenons:

`\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d '' \\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ frac (sin x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` \\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

`\\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

Considérant que le dénominateur ne peut pas être égal à zéro, on obtient `1 + cos x \\ ne 0`,` cos x \\ ne -1`, `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in Z`.

Égalisez le numérateur de la fraction à zéro: `sin x-sin ^ 2 x \u003d 0`,` sin x (1-sin x) \u003d 0`. Alors `sin x \u003d 0` ou` 1-sin x \u003d 0`.

`sin x \u003d 0`,` x \u003d \\ pi n`, `n \\ in Z`
`1-sin x \u003d 0`,` sin x \u003d -1`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n, n \\ in Z`.

Considérant que `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in Z`, les solutions sont` x \u003d 2 \\ pi n, n \\ in Z` et` x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n` , `n \\ dans Z`.

Répondre. `x \u003d 2 \\ pi n`,` n \\ dans Z`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`,` n \\ dans Z`.

La trigonométrie, et les équations trigonométriques en particulier, sont utilisées dans presque tous les domaines de la géométrie, de la physique et de l'ingénierie. L'étude commence en 10e année, il y a certainement des tâches pour l'examen, alors essayez de vous souvenir de toutes les formules d'équations trigonométriques - elles vous seront certainement utiles!

Cependant, vous n'avez même pas besoin de les mémoriser, l'essentiel est de comprendre l'essence et de pouvoir en déduire. Ce n'est pas aussi difficile qu'il y paraît. Voyez par vous-même en regardant la vidéo.

Votre vie privée est importante pour nous. Pour cette raison, nous avons développé une politique de confidentialité qui décrit comment nous utilisons et stockons vos informations. Veuillez lire notre politique de confidentialité et laissez-nous savoir si vous avez des questions.

Collecte et utilisation des informations personnelles

Les informations personnelles désignent les données qui peuvent être utilisées pour identifier une personne spécifique ou la contacter.

Vous pouvez être invité à fournir vos informations personnelles à tout moment lorsque vous nous contactez.

Vous trouverez ci-dessous quelques exemples des types d'informations personnelles que nous pouvons collecter et comment nous pouvons utiliser ces informations.

Quelles informations personnelles nous collectons:

Lorsque vous soumettez une demande sur le site, nous pouvons collecter diverses informations, notamment votre nom, numéro de téléphone, adresse e-mail, etc.

Comment utilisons-nous vos informations personnelles:

Les informations personnelles que nous collectons nous permettent de vous contacter et de vous informer sur les offres uniques, promotions et autres événements et événements à venir.
De temps en temps, nous pouvons utiliser vos informations personnelles pour envoyer des notifications et des messages importants.
Nous pouvons également utiliser des informations personnelles à des fins internes, telles que la réalisation d'audits, l'analyse de données et diverses recherches afin d'améliorer les services que nous fournissons et de vous fournir des recommandations concernant nos services.
Si vous participez à un tirage au sort, à un concours ou à un événement promotionnel similaire, nous pouvons utiliser les informations que vous fournissez pour administrer ces programmes.

Divulgation d'informations à des tiers

Nous ne divulguons pas les informations reçues de votre part à des tiers.

Des exceptions:

S'il est nécessaire - conformément à la loi, à une décision judiciaire, dans une procédure judiciaire et / ou sur la base de demandes publiques ou de demandes des autorités gouvernementales sur le territoire de la Fédération de Russie - de divulguer vos informations personnelles. Nous pouvons également divulguer des informations vous concernant si nous déterminons qu'une telle divulgation est nécessaire ou appropriée pour des raisons de sécurité, d'application de la loi ou d'autres raisons socialement importantes.
En cas de réorganisation, de fusion ou de vente, nous pouvons transférer les informations personnelles que nous collectons à un tiers approprié - le successeur légal.

Protection des informations personnelles

Nous prenons des précautions - notamment administratives, techniques et physiques - pour protéger vos informations personnelles contre la perte, le vol et l'abus, ainsi que contre l'accès, la divulgation, l'altération et la destruction non autorisés.

Respect de votre vie privée au niveau de l'entreprise

Afin de nous assurer que vos informations personnelles sont en sécurité, nous apportons les règles de confidentialité et de sécurité à nos employés, et contrôlons strictement la mise en œuvre des mesures de confidentialité.

Les équations trigonométriques les plus simples sont généralement résolues par des formules. Permettez-moi de vous rappeler que les équations trigonométriques suivantes sont appelées les plus simples:

sinx \u003d a

cosx \u003d a

tgx \u003d a

ctgx \u003d a

x est l'angle à trouver,
a - n'importe quel nombre.

Et voici les formules avec lesquelles vous pouvez immédiatement écrire les solutions de ces équations les plus simples.

Pour sinus:

Pour le cosinus:

х \u003d ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Pour la tangente:

x \u003d arctan a + π n, n ∈ Z

Pour cotangente:

x \u003d arcctg a + π n, n ∈ Z

En fait, c'est la partie théorique de la résolution des équations trigonométriques les plus simples. De plus, tout!) Rien du tout. Cependant, le nombre d'erreurs sur ce sujet est tout simplement hors échelle. Surtout si l'exemple s'écarte légèrement du modèle. Pourquoi?

Oui, parce que beaucoup de gens écrivent ces lettres, ne pas comprendre du tout leur signification!Avec prudence, il écrit, peu importe comment quelque chose se passe ...) Cela doit être traité. Trigonométrie pour les humains, ou humains pour la trigonométrie après tout!?)

Pouvons-nous le découvrir?

Un angle sera égal à arccos a, deuxième: -arccos a.

Et cela fonctionnera toujours de cette façon. Pour toute et.

Si vous ne me croyez pas, passez votre souris sur l'image ou appuyez sur l'image sur la tablette.) J'ai changé le numéro et à certains négatifs. Bref, nous avons un coin arccos a, deuxième: -arccos a.

Par conséquent, la réponse peut toujours être écrite comme deux séries de racines:

x 1 \u003d arccos a + 2π n, n ∈ Z

х 2 \u003d - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Nous combinons ces deux séries en une seule:

x \u003d ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Et tous les cas. Vous avez une formule générale pour résoudre l'équation trigonométrique la plus simple avec cosinus.

Si vous comprenez que ce n'est pas une sorte de sagesse super-scientifique, mais juste une notation abrégée de deux séries de réponses, vous et la tâche "C" serez sur l'épaule. Avec des inégalités, avec la sélection des racines à partir d'un intervalle donné ... Là, la réponse avec plus / moins ne roule pas. Et si vous traitez la réponse de manière professionnelle et la décomposez en deux réponses distinctes, tout est décidé.) En fait, pour cela, nous comprenons. Quoi, comment et où.

Dans l'équation trigonométrique la plus simple

sinx \u003d a

également deux séries de racines sont obtenues. Est toujours. Et ces deux séries peuvent également être enregistrées une ligne. Seule cette ligne sera plus rusée:

х \u003d (-1) n arcs dans a + π n, n ∈ Z

Mais l'essence reste la même. Les mathématiciens ont simplement construit une formule pour faire un au lieu de deux enregistrements d'une série de racines. Et c'est tout!

Vérifions les mathématiciens? Et puis on ne sait jamais ...)

Dans la leçon précédente, la solution (sans aucune formule) d'une équation trigonométrique avec un sinus a été analysée en détail:

La réponse a produit deux séries de racines:

x 1 \u003d π / 6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 \u003d 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Si nous résolvons la même équation en utilisant la formule, nous obtenons la réponse:

x \u003d (-1) n arcsin 0.5 + π n, n ∈ Z

En fait, c'est une réponse inachevée.) L'élève doit savoir que arcsin 0,5 \u003d π / 6.Une réponse complète serait:

x \u003d (-1) n π / 6 + π n, n ∈ Z

Cela soulève une question intéressante. Répondre via x 1; x 2 (c'est la bonne réponse!) et à travers le solitaire x (et c'est la bonne réponse!) - la même chose, ou pas? Nous allons le découvrir maintenant.)

Remplacez en réponse par x 1 sens n \u003d 0; une; 2; et ainsi de suite, nous comptons, nous obtenons une série de racines:

x 1 \u003d π / 6; 13π / 6; 25π / 6 etc.

Avec la même substitution dans la réponse avec x 2 , on a:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π / 6; 29π / 6 etc.

Maintenant, nous substituons les valeurs n (0; 1; 2; 3; 4 ...) dans la formule générale pour un solitaire x ... Autrement dit, nous élevons moins un à zéro, puis au premier, au deuxième, etc. Et, bien sûr, nous remplaçons 0 dans le deuxième terme; une; 2 3; 4, etc. Et nous comptons. Nous obtenons la série:

x \u003d π / 6; 5π / 6; 13π / 6; 17π / 6; 25π / 6 etc.

C'est tout ce que vous pouvez voir.) La formule générale nous donne exactement les mêmes résultats, comme les deux réponses séparément. Seulement tous à la fois, dans l'ordre. Les mathématiciens n'ont pas été dupes.)

Les formules pour résoudre les équations trigonométriques avec tangente et cotangente peuvent également être vérifiées. Mais nous ne le ferons pas.) Ils sont si simples.

J'ai décrit toutes ces substitutions et vérifications à dessein. Il est important de comprendre une chose simple ici: il existe des formules pour résoudre des équations trigonométriques élémentaires, juste un bref compte rendu des réponses. Pour cette brièveté, j'ai dû insérer plus / moins dans la solution cosinus et (-1) n dans la solution sinusoïdale.

Ces inserts n'interfèrent en aucun cas dans les tâches où il suffit d'écrire la réponse à une équation élémentaire. Mais si vous avez besoin de résoudre une inégalité, ou alors vous devez faire quelque chose avec la réponse: sélectionner des racines sur un intervalle, vérifier ODZ, etc., ces inserts peuvent facilement déstabiliser une personne.

Et que faire? Oui, écrivez la réponse en deux séries ou résolvez l'équation / inégalité le long du cercle trigonométrique. Ensuite, ces inserts disparaissent et la vie devient plus facile.)

On peut résumer.

Pour résoudre les équations trigonométriques les plus simples, il existe des formules de réponse prêtes à l'emploi. Quatre pièces. Ils sont bons pour enregistrer instantanément la solution d'une équation. Par exemple, vous devez résoudre les équations:

sinx \u003d 0,3

Facilement: х \u003d (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx \u003d 0,2

Aucun problème: х \u003d ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx \u003d 1,2

Facilement: x \u003d arctane 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx \u003d 3,7

Un dernier: x \u003d arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x \u003d 1,8

Si vous, brillant de connaissances, écrivez instantanément la réponse:

x \u003d ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

alors tu brilles déjà, ceci ... cela ... d'une flaque d'eau.) La bonne réponse: pas de solutions. Comprends-tu pourquoi? Lisez ce qu'est l'arccosine. De plus, si les valeurs tabulaires de sinus, cosinus, tangente, cotangente sont sur le côté droit de l'équation d'origine, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 etc. - la réponse à travers les arches sera inachevée. Les arcs doivent être traduits en radians.

Et si vous rencontrez des inégalités comme

alors la réponse est:

х πn, n ∈ Z

il y a un non-sens rare, oui ...) Ici, il faut se prononcer sur le cercle trigonométrique. Ce que nous ferons dans le sujet pertinent.

Pour ceux qui ont lu héroïquement jusqu'à ces lignes. Je ne peux pas m'empêcher d'apprécier vos efforts titanesques. Vous un bonus.)

Prime:

Lors de l'écriture de formules dans un environnement de combat alarmant, même les nerds académiquement endurcis sont souvent confus quant πn, Et où 2π n. Voici une astuce simple. Dans de tout des formules valant πn. Sauf pour la seule formule avec cosinus inverse. Il se tient là 2πn. Deux pien. Mot-clé - deux. La même formule contient deux signez au début. Plus et moins. Ici et là - deux.

Donc si vous avez écrit deux signe devant le cosinus inverse, il est plus facile de se rappeler quelle sera la fin deux pien. Et même le contraire se produit. Passer le signe de l'homme ± , arrive à la fin, écrit correctement deux pien, et il reviendra à ses sens. En avance sur quelque chose deux signe! La personne reviendra au début, mais elle corrigera l'erreur! Comme ça.)