Назад теорема піфагора доказ. Теорема, обернена до теореми піфагора. Проект уроку "Теорема, зворотна теоремі Піфагора"

Тема: Теорема, обернена до теореми Піфагора.

Цілі уроку: 1) розглянути теорему, обернену до теореми Піфагора; її застосування у процесі вирішення завдань; закріпити теорему Піфагора та вдосконалювати навички вирішення завдань на її застосування;

2) розвивати логічне мислення, творчий пошук, пізнавальний інтерес;

3) виховувати в учнів відповідального ставлення до вчення, культури математичного мовлення.

Тип уроку. Урок засвоєння нових знань.

Хід уроку

І. Організаційний момент

ІІ. Актуалізація знань

Урок менібхотілосяпочати з чотиривірша.

Так, шлях пізнання не гладкий

Але знаємо ми зі шкільних років,

Загадок більше, ніж розгадок,

І пошуків межі немає!

Отже, минулого уроці ви вивчили теорему Піфагора. Запитання:

Теорема Піфагора справедлива для якоїсь фігури?

Який трикутник називають прямокутним?

Сформулюйте теорему Піфагора.

Як запишеться теорема Піфагора кожного трикутника?

Які трикутники називаються рівними?

Чи сформулюйте ознаки рівності трикутників?

А тепер проведемо невелику самостійну роботу:

Розв'язання задач за кресленнями.

№1

(1 б.) Знайти: АВ.

№2

(1 б.) Знайти: НД.

№3

( 2 б.)Знайти: АС

№4

(1 б.)Знайти: АС

№5 Дано: АВСDромб

(2 б) АВ = 13 см

АС = 10 см

Знайти: ВD

Самоперевірка №1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

Стародавні єгиптяни будували прямі кути на місцевості таким чином: ділили вузлами мотузку на 12 рівних частин, зв'язували її кінці, після чого мотузку розтягували так на землі, щоб утворився трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 поділів. Кут трикутника, що лежав проти боку з 5 поділами, був прямий.

Чи можете ви пояснити правильність цього судження?

У результаті пошуку відповіді питання учні повинні зрозуміти, що з математичної погляду питання ставиться: чи трикутник буде прямокутним.

Ставимо проблему: як, не роблячи вимірів, визначити, чи трикутник із заданими сторонами є прямокутним. Вирішення цієї проблеми і є метою уроку.

Напишіть тему уроку.

Теорема. Якщо сума квадратів двох сторін трикутника дорівнює квадрату третьої сторони, такий трикутник прямокутний.

Самостійно доводять теорему (складають план доказу за підручником).

З цієї теореми випливає, що трикутник із сторонами 3, 4, 5 – прямокутний (єгипетський).

Взагалі числа, для яких виконується рівність називають піфагоровими трійками. А трикутники, довжини сторін яких виражаються піфагоровими трійками (6, 8, 10) - піфагорові трикутники.

Закріплення.

Т.к. то трикутник зі сторонами 12, 13, 5 не є прямокутним.

Т.к. то трикутник зі сторонами 1, 5, 6 є прямокутним.

№ 430 (а, б, в)

( - не є)

Розгляд тем шкільної програми за допомогою відеоуроків є зручним способом вивчення та засвоєння матеріалу. Відео допомагає сконцентрувати увагу учнів на основних теоретичних положеннях та не упускати важливих деталей. У разі потреби школярі завжди можуть прослухати відеоурок повторно або повернутися на кілька тем тому.

Даний відеоурок для 8 класу допоможе учням вивчити нову тему з геометрії.

У попередній темі ми вивчили теорему Піфагора та розібрали її доказ.

Існує також теорема, яка відома як зворотна теорема Піфагора. Розглянемо її докладніше.

Теорема. Трикутник є прямокутним, якщо в ньому виконується рівність: значення однієї сторони трикутника, зведеної у квадрат, таке саме, як сума зведених у квадрат двох інших сторін.

Доведення. Припустимо, нам дано трикутник ABC, у якому виконується рівність AB2 = CA2 + CB2. Необхідно довести, що кут дорівнює 90 градусів. Розглянемо трикутник A 1 B 1 C 1 , в якому кут С 1 дорівнює 90 градусів, сторона C 1 A 1 дорівнює CA і сторона B 1 C 1 дорівнює BС.

Застосовуючи теорему Піфагора, запишемо відношення сторін у трикутнику A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2 . Зробивши заміну у виразі на рівні сторони, отримаємо A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2 .

З умов теореми знаємо, що AB 2 = CA 2 + CB 2 . Тоді можемо записати A1B12=AB2, з чого випливає, що A1B1 = AB.

Ми виявили, що у трикутниках ABC і A 1 B 1 C 1 рівні три сторони: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Це трикутники рівні. З рівності трикутників випливає, що кут дорівнює куту З 1 і відповідно дорівнює 90 градусів. Ми визначили, що трикутник ABC прямокутний і його кут дорівнює 90 градусів. Ми довели цю теорему.

Далі автор наводить приклад. Допустимо, дано довільний трикутник. Відомі розміри його сторін: 5, 4 та 3 одиниць. Перевіримо твердження з теореми, оберненої до теореми Піфагора: 5 2 = 3 2 + 4 2 . Твердження правильне, отже цей трикутник прямокутний.

У наведених нижче прикладах трикутники також будуть прямокутними, якщо їхні сторони рівні:

5, 12, 13 одиниць; рівність 13 2 = 5 2 + 12 2 є правильною;

8, 15, 17 одиниць; рівність 17 2 = 8 2 + 15 2 є правильною;

7, 24, 25 одиниць; рівність 25 2 = 7 2 + 24 2 є правильною.

Відоме поняття піфагорового трикутника. Це прямокутний трикутник, у якого значення сторін дорівнюють цілим числам. Якщо катети піфагорового трикутника позначити через a і c, а гіпотенузу b, значення сторін цього трикутника можна записати за допомогою наступних формул:

b = k x (m 2 - n 2)

c = k x (m 2 + n 2)

де m, n, k- будь-які натуральні числа, причому значення m більше значення n.

Цікавий факт: трикутник зі сторонами 5, 4 і 3 називають також єгипетським трикутником, такий трикутник був відомий ще в Стародавньому Єгипті.

У даному відеоуроці ми ознайомилися з теоремою, зворотною теоремою Піфагора. Детально розглянули доказ. Також учні довідалися, які трикутники називають піфагоровими.

Учні легко ознайомитися з темою «Теорема, зворотна теоремі Піфагора» самостійно за допомогою цього відеоуроку.

На думку Ван-дер-Вардена, дуже ймовірно, що співвідношення в загальному виглядібуло відомо у Вавилоні вже близько XVIII століття до н. е.

Приблизно 400 року до зв. е., згідно з Проклом, Платон дав метод знаходження піфагорових трійок, що поєднує алгебру та геометрію. Близько 300 року до зв. е. в «Початках» Евкліда з'явився найстаріший аксіоматичний доказ теореми Піфагора.

Формулювання

Основне формулювання містить алгебраїчні дії - у прямокутному трикутнику, довжини катетів якого рівні a (\displaystyle a)і b (\displaystyle b), а довжина гіпотенузи - c (\displaystyle c), Виконано співвідношення:

.

Можливе і еквівалентне геометричне формулювання, що вдається до поняття площі  фігури: у прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах. У такому вигляді теорема сформульована на Початках Евкліда.

Зворотня теорема Піфагора- твердження про прямокутність будь-якого трикутника, довжини сторін якого пов'язані співвідношенням a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Як наслідок, для будь-якої трійки позитивних чисел a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)і c (\displaystyle c), такий, що a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2))існує прямокутний трикутник з катетами a (\displaystyle a)і b (\displaystyle b)та гіпотенузою c (\displaystyle c).

Докази

У науковій літературі зафіксовано щонайменше 400 доказів теореми Піфагора, що як фундаментальним значенням для геометрії, і елементарністю результату. Основні напрями доказів: використання алгебри співвідношень елементів-трикутника (таких, наприклад, популярний метод подібності ), метод площ , існують також різні екзотичні докази (наприклад, за допомогою диференціальних рівнянь).

Через подібні трикутники

Класичний доказ Евкліда спрямовано встановлення рівності площ між прямокутниками, утвореними з розтину квадрата над гіпотенузою висотою із прямого кута з квадратами над катетами.

Конструкція, яка використовується для доказу: для прямокутного трикутника з прямим кутом C (\displaystyle C), квадратів над катетами та квадрата над гіпотенузою A B I K (\displaystyle ABIK)будується висота C H (\displaystyle CH)і промінь, що її продовжує, s (\displaystyle s), що розбиває квадрат над гіпотенузою на два прямокутники і . Доказ націлений на встановлення рівності площ прямокутника A H J K (\displaystyle AHJK)з квадратом над катетом A C (\displaystyle AC); рівність площ другого прямокутника, що становить квадрат над гіпотенузою, та прямокутника над іншим катетом встановлюється аналогічним чином.

Рівність площ прямокутника A H J K (\displaystyle AHJK)і A C E D (\displaystyle ACED)встановлюється через конгруентність трикутників △ A C K ​​(\displaystyle \triangle ACK)і △ A B D (\displaystyle \triangle ABD)площа кожного з яких дорівнює половині площі квадратів. A H J K (\displaystyle AHJK)і A C E D (\displaystyle ACED)відповідно у зв'язку з наступною властивістю: площа трикутника дорівнює половині площі прямокутника, якщо фігур є спільна сторона, а висота трикутника до загальної сторони є іншою стороною прямокутника. Конгруентність трикутників випливає з рівності двох сторін (сторони квадратів) та куту між ними (складеного з прямого кута і кута при A (\displaystyle A).

Таким чином, доказом встановлюється, що площа квадрата над гіпотенузою, що складається з прямокутників A H J K (\displaystyle AHJK)і B H J I (\displaystyle BHJI), що дорівнює сумі площ квадратів над катетами.

Доказ Леонардо да Вінчі

До методу площ належить також доказ, знайдений Леонардо да Вінчі. Нехай дано прямокутний трикутник △ A B C (\displaystyle \triangle ABC)з прямим кутом C (\displaystyle C)та квадрати A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)і A B H J (\displaystyle ABHJ)(Див. малюнок). У цьому доказі на стороні H J (\displaystyle HJ)останнього у зовнішній бік будується трикутник, конгруентний △ A B C (\displaystyle \triangle ABC), до того ж відбитий як щодо гіпотенузи, і щодо висоти до неї (тобто J I = B C (\displaystyle JI = BC)і H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Пряма C I (\displaystyle CI)розбиває квадрат, побудований на гіпотенузі на дві рівні частини, оскільки трикутники △ A B C (\displaystyle \triangle ABC)і △ J H I (\displaystyle \triangle JHI)рівні з побудови. Доказ встановлює конгруентність чотирикутників C A J I (\displaystyle CAJI)і D A B G (\displaystyle DABG), площа кожного з яких, виявляється, з одного боку, дорівнює сумі половин площ квадратів на катетах і площі вихідного трикутника, з іншого боку - половині площі квадрата на гіпотенузі плюс площа вихідного трикутника. Отже, половина суми площ квадратів над катетами дорівнює половині площі квадрата над гіпотенузою, що дорівнює геометричному формулюванню теореми Піфагора.

Доказ методом нескінченно малих

Існує кілька доказів, що вдаються до техніки диференціальних рівнянь. Зокрема, Харді приписується доказ, який використовує нескінченно малі прирощення катетів. a (\displaystyle a)і b (\displaystyle b)та гіпотенузи c (\displaystyle c)і зберігають подібність з вихідним прямокутником, тобто, що забезпечують виконання наступних диференціальних співвідношень:

d a d c = c a (displaystyle (frac (da) (dc)) = (frac (c) (a))), d b d c = c b (displaystyle (frac (db) (dc)) = (frac (c) (b))).

Методом поділу змінних їх виводиться диференціальне рівняння c d c = a d a + b d b (displaystyle c dc = a, da + b, db), інтегрування якого дає співвідношення c 2 = a 2 + b 2 + C o ns t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Застосування початкових умов a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)визначає константу як 0, що у результаті дає затвердження теореми.

Квадратична залежність у остаточній формулі з'являється завдяки лінійній пропорційності між сторонами трикутника та прирощеннями, тоді як сума пов'язана з незалежними вкладами від прирощення різних катетів.

Варіації та узагальнення

Подібні геометричні фігури на трьох сторонах

Важливе геометричне узагальнення теореми Піфагора дав Евклід у «Початках», перейшовши від площ квадратів на сторонах до площ довільних подібних. геометричних фігур: сума площ таких фігур, побудованих на катетах, дорівнюватиме площі подібної їм фігури, побудованої на гіпотенузі.

Головна ідея цього узагальнення полягає в тому, що площа подібної геометричної фігури є пропорційною квадрату будь-якого свого лінійного розміру і зокрема квадрату довжини будь-якої сторони. Отже, для подібних фігур із майданами A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)і C (\displaystyle C), побудованих на катетах із довжинами a (\displaystyle a)і b (\displaystyle b)та гіпотенузі c (\displaystyle c)відповідно, має місце співвідношення:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (displaystyle (frac (A)(a^(2))))=(frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Бо за теоремою Піфагора a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), то виконано.

Крім того, якщо можна довести без залучення теореми Піфагора, що для площ трьох подібних геометричних фігур на сторонах прямокутного трикутника виконано співвідношення A + B = C (\displaystyle A+B=C), то з використанням зворотного ходу підтвердження узагальнення Евкліда можна вивести підтвердження теореми Піфагора. Наприклад, якщо на гіпотенузі побудувати конгруетний початковий прямокутний трикутник площею C (\displaystyle C), а на катетах - два подібні йому прямокутні трикутники з площами A (\displaystyle A)і B (\displaystyle B), то виявляється, що трикутники на катетах утворюються в результаті розподілу початкового трикутника його висотою, тобто сума двох менших площ трикутників дорівнює площі третього, таким чином A + B = C (\displaystyle A+B=C)і, застосовуючи співвідношення для таких фігур, виводиться теорема Піфагора.

Теорема косінусів

Теорема Піфагора - це окремий випадок більш загальної теореми косінусів, яка пов'язує довжини сторін у довільному трикутнику:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2,

де - кут між сторонами a (\displaystyle a)і b (\displaystyle b). Якщо кут дорівнює 90 °, то cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0)і формула спрощується до звичайної теореми Піфагора.

Довільний трикутник

Існує узагальнення теореми Піфагора на довільний трикутник, що оперує виключно співвідношенням довжин сторін, вважається, що воно вперше було встановлено сабійським астрономом Сабітом Ібн Куррою. У ньому для довільного трикутника зі сторонами до нього вписується рівнобедрений трикутник з основою на стороні c (\displaystyle c), вершиною, що збігається з вершиною вихідного трикутника, що протилежить стороні c (\displaystyle c)і кутами при підставі, рівними куту θ (\displaystyle \theta), протилежному боці c (\displaystyle c). У результаті утворюються два трикутники, подібні до вихідного: перший - зі сторонами a (\displaystyle a), далекою від неї бічною стороною вписаного рівнобедреного трикутника, і r (\displaystyle r)- частини сторони c (\displaystyle c); другий - симетрично до нього від боку b (\displaystyle b)зі стороною s (\displaystyle s)- відповідною частиною сторони c (\displaystyle c). В результаті виявляється виконане співвідношення:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a (2) + b (2) = c (r + s)),

що вироджується в теорему Піфагора при θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Співвідношення є наслідком подібності утворених трикутників:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (displaystyle (frac (c)(a))=(frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Теорема Паппа про площі

Неєвклідова геометрія

Теорема Піфагора виводиться з аксіом евклідової геометрії і недійсна для неевклідової геометрії - виконання теореми Піфагора рівносильне постулату Евкліда паралельності.

У неевклідовій геометрії співвідношення між сторонами прямокутного трикутника обов'язково буде у формі, яка відрізняється від теореми Піфагора. Наприклад, у сферичній геометрії всі три сторони прямокутного трикутника, які обмежують собою октант одиничної сфери, мають довжину π / 2 (\displaystyle \pi /2), що суперечить теоремі Піфагора

При цьому теорема Піфагора справедлива в гіперболічній та еліптичній геометрії, якщо вимогу про прямокутність трикутника замінити умовою, що сума двох кутів трикутника повинна дорівнювати третьому.

Сферична геометрія

Для будь-якого прямокутного трикутника на сфері радіусом R (\displaystyle R)(наприклад, якщо кут у трикутнику прямий) зі сторонами a, b, c (\displaystyle a, b, c)співвідношення між сторонами має вигляд:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac(c)(R))\right)=\cos \left((\frac) (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

Ця рівність може бути виведена як особливий випадок сферичної теореми косинусів, яка справедлива для всіх сферичних трикутників:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac(b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname(ch) c=\operatorname (ch),

де ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- Гіперболічний  косинус. Ця формула є окремим випадком гіперболічної теореми косінусів, яка справедлива для всіх трикутників:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname(ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

де γ (\displaystyle \gamma)- Кут, вершина якого протилежна стороні c (\displaystyle c).

Використовуючи ряд Тейлора для гіперболічного косинуса ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\approx 1+x^(2)/2)) можна показати, що якщо гіперболічний трикутник зменшується (тобто коли a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)і c (\displaystyle c)прагнуть до нуля), то гіперболічні співвідношення у прямокутному трикутнику наближаються до співвідношення класичної теореми Піфагора.

Застосування

Відстань у двовимірних прямокутних системах

Найважливіше застосування теореми Піфагора - визначення відстані між двома точками у прямокутній, системі, координат: відстань s (\displaystyle s)між точками з координатами (a, b) (\displaystyle (a,b))і (c, d) (\displaystyle (c,d))одно:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Для комплексних чисел теорема Піфагора дає природну формулу для знаходження модуля комплексного числа - для z = x + y i (\displaystyle z = x + yi)він дорівнює довжині

Цілі уроку:

загальноосвітні:

• перевірити теоретичні знання учнів (властивості прямокутного трикутника, теорема Піфагора), уміння використовувати їх під час вирішення завдань;
• створивши проблемну ситуацію, підвести учнів до “відкриття” зворотної теореми Піфагора.

розвиваючі:

• розвиток умінь застосовувати теоретичні знання практично;
• розвиток уміння формулювати висновки під час спостережень;
• розвиток пам'яті, уваги, спостережливості:
• розвиток мотивації вчення через емоційне задоволення від відкриттів, запровадження елементів історії розвитку математичних понять.

виховні:

• виховувати стійкий інтерес до предмета вивчення життєдіяльності Піфагора;
• виховання взаємодопомоги та об'єктивного оцінювання знань однокласників через взаємоперевірку.

Форма уроку: класно-урочна.

План уроку:

• Організаційний момент.
• Перевірка домашнього завдання. Актуалізація знань.
• Вирішення практичних завдань з використанням теореми Піфагора.
• Нова тема.
• Первинне закріплення знань.
• Домашнє завдання.
• Підсумки уроку.
• Самостійна робота (за індивідуальними картками з відгадуванням афоризмів Піфагора).

Хід уроку.

Організаційний момент.

Перевірка домашнього завдання. Актуалізація знань.

Вчитель:Яке завдання ви виконували вдома?

Учні:По двох даних сторонам прямокутного трикутника знайти третю сторону, відповіді оформити як таблиці. Повторити властивості ромба та прямокутника. Повторити, що називається умовою, що укладенням теореми. Підготувати повідомлення про життя та діяльність Піфагора. Принести мотузку з 12 зав'язаними на ній вузлами.

Вчитель:Відповіді до домашнього завдання перевірте за таблицею

(чорним кольором виділено дані, червоним – відповіді).

Вчитель: На дошці записано твердження. Якщо ви погоджуєтесь з ними на листочках навпроти відповідного номера питання поставте “+”, якщо не згодні, то поставте “–”.

На дошці заздалегідь написано твердження.

1. Гіпотенуза більша за катет.
2. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 180 0 .
3. Площа прямокутного трикутника з катетами аі вобчислюється за формулою S=ab/2.
4. Теорема Піфагора вірна всім рівнобедрених трикутників.
5. У прямокутному трикутнику катет, що лежить навпроти кута 30 0 дорівнює половині гіпотенузи.
6. Сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи.
7. Квадрат катета дорівнює різниці квадратів гіпотенузи та другого катета.
8. Сторона трикутника дорівнює сумі двох інших сторін.

Перевіряються роботи за допомогою взаємоперевірки. Твердження, що викликали суперечки, – обговорюються.

Ключ до теоретичних питань.

Учні ставлять один одному оцінки за такою системою:

8 правильних відповідей "5";
6-7 правильних відповідей "4";
4-5 правильних відповідей "3";
менше 4 правильних відповідей “2”.

Вчитель:Про що ми говорили на минулому уроці?

Учень:Про Піфагора та його теорему.

Вчитель:Сформулюйте теорему Піфагора. (Декілька учнів читають формулювання, у цей час 2-3 учні доводять її біля дошки, 6 учнів – за першими партами на листочках).

На магнітній дошці на картках написано математичні формули. Виберіть ті з них, які відображають сенс теореми Піфагора, де а і в - Катети, з - Гіпотенуза.

1) з 2 = а 2 + у 2	2) с = а + в	3) а 2 = з 2 – до 2
4) з 2 = а 2 – до 2	5) у 2 = з 2 – а 2	6) а 2 = з 2 + у 2

Поки що учні, які доводять теорему біля дошки та на місцях, не готові, слово надається тим, хто підготував повідомлення про життя та діяльність Піфагора.

Школярі, які працюють на місцях, здають листочки та слухають докази тих, хто працював біля дошки.

Вирішення практичних завдань з використанням теореми Піфагора.

Вчитель:пропоную вам практичні завдання із застосуванням досліджуваної теореми. Побуваємо спочатку у лісі, після бурі, потім на заміській ділянці.

Завдання 1. Після бурі зламалася ялина. Висота частини, що залишилася 4,2 м. Відстань від основи до верхівки 5,6 м. Знайти висоту ялинки до бурі.

Завдання 2. Висота будинку 4,4 м Ширина газону навколо будинку 1,4 м. Якої довжини треба виготовити сходи, щоб вони не заступали на газон і діставали до даху будинку?

Нова тема.

Вчитель:(звучить музика)Заплющте очі, на кілька хвилин ми поринемо в історію. Ми з вами у Стародавньому Єгипті. На верфях єгиптяни будують свої знамениті кораблі. А ось землеміри вони вимірюють ділянки землі, межі яких змилися після розливу Нілу. Будівельники будують грандіозні піраміди, які досі вражають нас своєю пишністю. У всіх цих видах діяльності єгиптянам потрібно було використовувати прямі кути. Вони вміли будувати їх за допомогою мотузки з 12 зав'язаними на однаковій відстані один від одного вузликами. Спробуйте і ви, розмірковуючи як стародавні єгиптяни, побудувати за допомогою своїх мотузок прямокутні трикутники. (Вирішуючи цю проблему, хлопці працюють у групах по 4 особи. Через деякий час на планшеті біля дошки хтось показує побудову трикутника).

Сторони отриманого трикутника 3, 4 і 5. Якщо між цими вузлами зав'язати ще по одному вузлу, його сторони стануть 6, 8 і 10. Якщо по два – 9, 12 і 15. Всі ці трикутники є прямокутними т. до.

5 2 = 3 2 + 4 2, 10 2 = 6 2 + 8 2, 15 2 = 9 2 + 12 2 і т.д.

Якою властивістю повинен мати трикутник, щоб бути прямокутним? (Учні намагаються самі сформулювати протилежну теорему Піфагора, нарешті, у когось це виходить).

Чим ця теорема відрізняється від теореми Піфагора?

Учень:Умова та висновок змінилися місцями.

Вчитель:Вдома ви повторювали, як називаються такі теореми. То з чим ми зараз познайомилися?

Учень: Зі зворотної теореми Піфагора.

Вчитель: Запишемо у зошит тему уроку. Відкрийте підручники на стор. 127 Прочитайте це твердження ще раз, запишіть його собі в зошит і розберіть доказ.

(Після декількох хвилин самостійної роботи з підручником за бажанням одна людина біля дошки наводить доказ теореми).

1. Як називається трикутник зі сторонами 3, 4 та 5? Чому?
2. Які трикутники називаються піфагоровими?
3. З якими трикутниками ви працювали у домашньому завданні? А в завданнях із сосною та сходами?

Первинне закріплення знань

.

Ця теорема допомагає вирішувати завдання, у яких треба з'ясувати, чи трикутники будуть прямокутними.

Завдання:

1) З'ясуйте, чи трикутник є прямокутним, якщо його сторони рівні:

а) 12,37 та 35; б) 21, 29 та 24.

2) Обчисліть висоти трикутника зі сторонами 6, 8 та 10 см.

Домашнє завдання

.

Стр.127: зворотна теорема Піфагора. № 498 (а, б, в) № 497.

Підсумки уроку.

Що нового дізналися на уроці?

Як у Єгипті використали зворотну теорему Піфагора?

За розв'язання яких завдань вона застосовується?

З якими трикутниками познайомились?

Що найбільше запам'яталося та сподобалося?

Самостійна робота (проводиться за індивідуальними картками).

Вчитель:Вдома ви повторювали властивості ромба та прямокутника. Перерахуйте їх (іде розмова з класом). Минулого уроку ми говорили про те, що Піфагор був різнобічною особистістю. Він займався і медициною, і музикою, і астрономією, а також був спортсменом і брав участь в олімпійських іграх. А ще Піфагор був філософом. Багато його афоризмів і сьогодні є актуальними для нас. Зараз ви виконуватимете самостійну роботу. До кожного завдання дано кілька варіантів відповідей, поруч із якими записані фрагменти афоризмів Піфагора. Ваше завдання – вирішивши всі завдання, скласти з отриманих фрагментів висловлювання та записати його.

Рішення завдання:

252 = 242 + 72, отже трикутник прямокутний та її площа дорівнює половині добутку його катетів, тобто. S = hс * с: 2 де с - гіпотенуза, hс - висота, проведена до гіпотенузи, тоді hс = = = 6,72 (см)

Відповідь: 6,72 см.

Мета етапу:

Слайд №4

«4» - 1 неправильна відповідь

"3" - відповіді невірні.

Пропоную виконати:

Слайд №5

Мета етапу:

На закінчення уроку:

На дошці записані фрази:

Урок корисний, зрозуміло.

Ще доведеться попрацювати.

Так, важко все-таки вчитися!

Перегляд вмісту документа
«Проект уроку математики „Теорема, зворотна теоремі Піфагора”»

Проект уроку "Теорема, зворотна теоремі Піфагора"

Урок «відкриття» нових знань

Цілі уроку:

діяльнісна: формування у здібностей, що навчаються, до самостійної побудови нових способів дії на основі методу рефлексивної самоорганізації;

освітня: розширення понятійної бази рахунок включення до неї нових елементів.

Етап мотивації навчальної діяльності (5 хв)

Взаємне вітання вчителя та учнів, перевірка підготовленості до уроку, організація уваги та внутрішньої готовності, швидке включення учнів до ділового ритму шляхом вирішення завдань за готовими кресленнями:

Знайти ВС, якщо АВСД – ромб.

АВСД – прямокутник. АВ: АТ = 3:4. Знайти АТ.

Знайти АТ.

Знайти АВ.

Знайти НД.

Відповіді до завдань по готовим кресленням:

1.ВС = 3; 2. АТ = 4см; 3.АВ = 3√2см.

Етап «відкриття» нових знань та способів дії (15 хв)

Мета етапу:формулювання теми і цілей уроку за допомогою діалогу (прийом «проблемна ситуація»).

Сформулювати твердження, обернені даним і з'ясувати, чи вірні вони:слайд №1

У разі учні можуть сформулювати твердження, зворотне даному.

Інструктаж до роботи у парах з вивчення доказу теореми, зворотній теоремі Піфагора.

Я інструктую учнів про спосіб діяльності, місце знаходження матеріалу.

Завдання парам: слайд №2

Самостійна робота у парах з вивчення доказу теореми, зворотної теореми Піфагора. Громадський захист підтвердження.

Одна з пар починає свій виступ із формулювання теореми. Йде активне обговорення докази, у ході якого за допомогою питань вчителя та учнів обґрунтовується той чи інший варіант.

Порівняння доказу теореми з доказом вчителя

Вчитель працює біля дошки, звертаючись до учнів, які працюють у зошиті.

Дано:АВС – трикутник, АВ 2 = АС 2 + ВС 2

З'ясувати, чи є АВС прямокутним. Доведення:

Розглянемо А 1 В 1 С 1 такий, що С = 90 0 , А 1 С 1 = АС, В 1 С 1 = ВС. Тоді за теоремою Піфагора А1В12 = А1С12 + В1С12.

Оскільки А 1 С 1 = АС, В 1 С 1 = ВС, то: А 1 С 1 2 + В 1 С 1 2 = АС 2 + ВС 2 = АВ 2 , отже, АВ 2 = А 1 В 1 2 АВ = А 1 В 1 .

А 1 В 1 С 1 = АВС по трьох сторонах, звідки ?С = ?С 1 = 90 0 , тобто АВС - прямокутний. Отже, якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, трикутник прямокутний.

Це твердження називають теорема, зворотна теорема Піфагора.

Публічне виступ одного з учнів про Піфагорових трикутниках(Заздалегідь підготовлена ​​інформація).

Слайд №3

Після інформації ставлю учням кілька запитань.

Чи є піфагоровими трикутниками трикутники:

з гіпотенузою 25 та катетом 15;

з катетами 5 та 4?

Етап первинного закріплення з промовлянням у зовнішній промові (10 хв)

Мета етапу:продемонструвати застосування теореми, зворотній теоремі Піфагора у процесі розв'язання задач.

Пропоную вирішити задачу № 499 а) із підручника. Один із учнів запрошується до дошки, вирішує завдання за допомогою вчителя та учнів, промовляючи рішення у зовнішній промові. У процесі виступу запрошеного учня я ставлю кілька запитань:

Як перевірити, чи трикутник є прямокутним?

До якої зі сторін буде проведено меншу висоту трикутника?

Який спосіб обчислення висоти трикутника часто використовують у геометрії?

Використовуючи формулу для обчислення площі трикутника, знайдіть необхідну висоту.

Рішення завдання:

25 2 = 24 2 + 7 2 означає трикутник прямокутний і його площа дорівнює половині добутку його катетів, тобто. S = h с * с: 2 де с - гіпотенуза, h с - висота, проведена до гіпотенузи, тоді h с = = = 6,72 (см)

Відповідь: 6,72 см.

Етап самостійної роботи із самоперевіркою за еталоном (10 хв)

Мета етапу:удосконалювати самостійну діяльність під час уроці, здійснюючи самоперевірку, вчити давати оцінку діяльності, аналізувати, робити висновки.

Пропонується самостійна робота з пропозицією адекватно оцінити свою роботу та поставити відповідну оцінку.

Слайд №4

Критерії виставлення оцінки: «5» - усі відповіді вірні

«4» - 1 неправильна відповідь

"3" - відповіді невірні.

Етап інформування учнів про домашньому завданні, інструктаж щодо його виконання (3 хв).

Повідомляю учням про домашнє завдання, роз'яснюю методику виконання, перевіряю розуміння змісту роботи.

Пропоную виконати:

Слайд №5

Етап рефлексії навчальної діяльності на уроці (2хв)

Мета етапу:вчити учнів оцінювати готовність виявляти незнання, знаходити причини труднощів, визначати результат своєї діяльності.

На цьому етапі я пропоную кожному учню вибрати лише одного з хлопців, кому хочеться сказати спасибі за співпрацю та пояснити, у чому саме ця співпраця виявилася.

Слово вдячності є завершальним. При цьому я вибираю тих, кому дісталася найменша кількість компліментів.

На закінчення уроку:

На дошці записані фрази:

Урок корисний, зрозуміло.

Лише дещо неясно.

Ще доведеться попрацювати.

Так, важко все-таки вчитися!

Діти підходять і ставлять знак (галочку) у тих слів, які найбільше підходять після закінчення уроку.