Як вирішувати тригонометрію. Тригонометричні рівняння. Основні методи розв'язків. можна познайомитися з функціями та похідними

Приклади:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Як вирішувати тригонометричні рівняння:

Будь-яке тригонометричне рівняння потрібно прагнути звести до одного з видів:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

де \(t\) - вираз з іксом, \(a\) - число. Такі тригонометричні рівняння називаються найпростішими. Їх легко вирішувати за допомогою () або спеціальних формул:

Інфографіку про рішення найпростіших тригонометричних рівняньдивись тут: , і .

приклад . Розв'яжіть тригонометричне рівняння \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Рішення:

Відповідь: \(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(gathered)\right.\) \(k, n∈Z\)

Що означає кожен символ у формулі коренів тригонометричних рівнянь дивись у .

Увага!Рівняння \(\sin⁡x=a\) та \(\cos⁡x=a\) не мають рішень, якщо \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Тому що синус і косинус при будь-яких ікс більші або рівні \(-1\) і менше або рівні \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

приклад . Розв'язати рівняння \(\cos⁡x=-1,1).
Рішення: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Відповідь : рішень немає.

приклад . Розв'яжіть тригонометричне рівняння tg\(⁡x=1\).
Рішення:

Розв'яжемо рівняння за допомогою числового кола. Для цього: 1) Побудуємо коло) 2) Побудуємо осі (x) і (y) і вісь тангенсів (вона проходить через точку ((0; 1)) паралельно осі (y)). 3) На осі тангенсів відзначимо точку (1). 4) З'єднаємо цю точку та початок координат – прямий. 5) Зазначимо точки перетину цього прямого та числового кола. 6)Підпишемо значення цих точок: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) Запишемо всі значення цих точок. Оскільки вони знаходяться одна від одної на відстані рівно в \(π\), то всі значення можна записати однією формулою:

Відповідь: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

приклад . Розв'яжіть тригонометричне рівняння \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Рішення:

Знову скористаємося числовим колом. 1) Побудуємо коло, осі (x) і (y). 2) На осі косінусів (вісь \(x\)) відзначимо \(0\). 3) Проведемо перпендикуляр до осі косінусів через цю точку. 4) Зазначимо точки перетину перпендикуляра та кола. 5) Підпишемо значення цих точок: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) Випишемо все значення цих точок і прирівняємо їх до косинуса (до того що всередині косинуса). \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Як завжди в рівняннях виражатимемо (x). Не забувайте ставитися до чисел з (π), так само до (1), (2), (frac(1) (4)) і т.п. Це такі ж числа, як і решта. Жодної числової дискримінації! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Відповідь: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Зводити тригонометричні рівняння до найпростіших – завдання творче, тут потрібно використовувати і , і особливі методи розв'язків рівнянь:
- Метод (найпопулярніший в ЄДІ).
- Метод.
- метод допоміжних аргументів.

Розглянемо приклад розв'язання квадратно-тригонометричного рівняння

приклад . Розв'яжіть тригонометричне рівняння \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Рішення:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Зробимо заміну \(t=\cos⁡x).
	Наше рівняння перетворилося на типове. Можна його вирішити за допомогою.
\ (D = 25-4 \ cdot 2 \ cdot 2 = 25-16 = 9 \)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Робимо зворотну заміну.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Перше рівняння вирішуємо за допомогою числового кола. Друге рівняння немає рішень т.к. \(\cos⁡x∈[-1;1]\) і двом бути рівним не може ні за яких іксів.
	Запишемо всі числа, що лежать у цих точках.

Відповідь: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Приклад розв'язання тригонометричного рівняння з дослідженням ОДЗ:

Приклад(ЄДІ) . Розв'яжіть тригонометричне рівняння \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Є дріб і є котангенс – отже треба записати. Нагадаю, що котангенс це фактично дріб: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Тому ОДЗ для ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0).
ОДЗ: ctg (x 0); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k, n∈Z\)	Зазначимо «нерішення» на числовому колі.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Позбавимося рівняння від знаменника, помноживши його на ctg (x). Ми можемо це зробити, оскільки написали вище, що ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Застосуємо формулу подвійного кута для синуса: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Якщо у вас руки потягнулися поділити на косинус - обсмикніть їх! Ділити на вираз зі змінною можна, якщо воно точно не дорівнює нулю (наприклад, такі: \(x^2+1,5^x\)). Натомість винесемо \(\cos⁡x\) за дужки.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	«Розщепимо» рівняння на два.
\(\cos⁡x=0); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Перше рівняння з розв'язком за допомогою числового кола. Друге рівняння поділимо на \(2\) і перенесемо \(\sin⁡x\) у праву частину.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Коріння, яке вийшло не входить до ОДЗ. Тому їх у відповідь записувати не будемо. Друге рівняння типове. Поділимо його на \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) не може бути рішенням рівняння тому що в цьому випадку \(\cos⁡x=1\) або \(\cos⁡ x = -1 \)).
	Знову використовуємо коло.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Це коріння не виключається ОДЗ, тому можна його записувати у відповідь.

Відповідь: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Тригонометричні рівняння – тема не найпростіша. Аж надто вони різноманітні.) Наприклад, такі:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

І тому подібне...

Але в цих (і всіх інших) тригонометричних монстрів є дві загальні та обов'язкові ознаки. Перший - ви не повірите - в рівняннях присутні тригонометричні функції. Другий: всі вирази з іксом знаходяться всередині цих функцій.І лише там! Якщо ікс з'явиться десь зовні,наприклад, sin2x + 3x = 3,це вже буде рівняння змішаного типу. Такі рівняння потребують індивідуального підходу. Тут ми їх не розглядатимемо.

Злі рівняння в цьому уроці ми теж вирішувати не будемо.) Тут ми розбиратимемося з найпростішими тригонометричними рівняннями.Чому? Та тому, що рішення будь-якихТригонометричних рівнянь складається з двох етапів. На першому етапі зле рівняння шляхом різних перетворень зводиться до простого. З другого краю - вирішується це найпростіше рівняння. Інакше ніяк.

Так що, якщо на другому етапі у вас проблеми – перший етап особливого сенсу не має.)

Як виглядають елементарні тригонометричні рівняння?

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = а

Тут а позначає будь-яке число. Будь-яке.

До речі, всередині функції може бути не чистий ікс, а якийсь вираз, типу:

cos(3x+π /3) = 1/2

і тому подібне. Це ускладнює життя, але на методі розв'язання тригонометричного рівняння ніяк не позначається.

Як розв'язувати тригонометричні рівняння?

Тригонометричні рівняння можна вирішувати двома шляхами. Перший шлях: з використанням логіки та тригонометричного кола. Цей шлях ми розглянемо тут. Другий шлях – з використанням пам'яті та формул – розглянемо у наступному уроці.

Перший шлях зрозумілий, надійний, і його важко забути.) Він хороший для розв'язання і тригонометричних рівнянь, і нерівностей, і будь-яких хитрих нестандартних прикладів. Логіка сильніша за пам'ять!)

Вирішуємо рівняння за допомогою тригонометричного кола.

Включаємо елементарну логіку та вміння користуватися тригонометричним колом. Чи не вмієте!? Однак... Важко вам у тригонометрії доведеться...) Але не біда. Загляньте в уроки "Тригонометричне коло...... Що це таке?" та "Відлік кутів на тригонометричному колі". Там просто все. На відміну від підручників...)

Ах, ви в курсі!? І навіть освоїли "Практичну роботу з тригонометричним колом"!? Прийміть вітання. Ця тема буде вам близька і зрозуміла.) Що особливо тішить, тригонометричному колу байдуже, яке рівняння ви вирішуєте. Синус, косинус, тангенс, котангенс - йому все одно. Принцип рішення один.

Ось і беремо будь-яке елементарне тригонометричне рівняння. Хоча б це:

cosx = 0,5

Потрібно знайти ікс. Якщо говорити людською мовою, потрібно знайти кут (ікс), косинус якого дорівнює 0,5.

Як ми використовували коло раніше? Ми малювали на ньому ріг. У градусах чи радіанах. І відразу бачили тригонометричні функції цього кута. Зараз вчинимо навпаки. Намалюємо на колі косинус, що дорівнює 0,5 і відразу побачимо кут. Залишиться лише записати відповідь.) Так-так!

Малюємо коло і відзначаємо косинус, що дорівнює 0,5. На осі косинусів, зрозуміло. Ось так:

Тепер намалюємо кут, який дає нам косинус. Наведіть курсор мишки на малюнок (або торкніться картинки на планшеті), та побачитецей самий кут х.

Косинус якого кута дорівнює 0,5?

х = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Дехто скептично хмикне, так... Мовляв, чи варто було коло городити, коли і так все ясно... Можна, звичайно, хмикати...) Але річ у тому, що це помилкова відповідь. Точніше, недостатній. Знавці кола розуміють, що тут ще ціла купа кутів, які теж дають косинус, що дорівнює 0,5.

Якщо провернути рухливий бік ОА на повний обіг, точка А потрапить у вихідне становище. З тим же косинус, рівним 0,5. Тобто. кут змінитьсяна 360° або 2π радіан, а косинус – ні.Новий кут 60 ° + 360 ° = 420 ° також буде рішенням нашого рівняння, т.к.

Таких повних обертів можна накрутити безліч… І всі ці нові кути будуть рішеннями нашого тригонометричного рівняння. І їх треба якось записати у відповідь. Всі.Інакше рішення не вважається, так...)

Математика вміє це робити просто та елегантно. В одній короткій відповіді записувати нескінченна безлічрішень. Ось як це виглядає для нашого рівняння:

х = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Розшифрую. Все-таки писати осмисленоприємніше, ніж тупо малювати якісь загадкові літери, правда?)

π /3 - це той самий кут, який ми побачилина колі та визначилиза таблицею косінусів.

2π - Це один повний оборот у радіанах.

n - це повних, тобто. цілихоборотів. Зрозуміло, що n може бути 0, ±1, ±2, ±3.... і так далі. Що й вказано коротким записом:

n ∈ Z

n належить ( ∈ ) безлічі цілих чисел ( Z ). До речі, замість літери n цілком можуть вживатися літери k, m, t і т.д.

Цей запис означає, що ви можете взяти будь-яке ціле n . Хоч -3, хоч 0, хоч +55. Яке бажаєте. Якщо підставіть це число в запис відповіді, отримайте конкретний кут, який обов'язково буде вирішенням нашого суворого рівняння.

Або, іншими словами, х = π /3 - це єдиний корінь із нескінченної множини. Щоб отримати все інше коріння, достатньо до π /3 додати будь-яку кількість повних оборотів ( n ) у радіанах. Тобто. 2π n радіан.

Всі? Ні. Я спеціально насолоду розтягую. Щоб запам'яталося краще.) Ми отримали лише частину відповідей до нашого рівняння. Цю першу частину рішення я запишу ось як:

х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

х 1 - не один корінь, це ціла серія коренів, записана у короткій формі.

Але є ще кути, які теж дають косинус, що дорівнює 0,5!

Повернемося до нашої картинки, за якою записували відповідь. Ось вона:

Наводимо мишку на картинку та бачимоще один кут, який також дає косинус 0,5.Як ви вважаєте, чому він дорівнює? Трикутнички однакові... Так! Він дорівнює куту х , Тільки відкладений у негативному напрямку. Це кут -х. Але ікс ми вже вирахували. π /3 або 60 °. Отже, можна сміливо записати:

х 2 = - π /3

Ну і, зрозуміло, додаємо всі кути, які виходять через повні оберти:

х 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ось тепер все.) По тригонометричному колі ми побачили(хто розуміє, звичайно) Усекути, що дають косинус, рівний 0,5. І записали ці кути у короткій математичній формі. У відповіді вийшло дві нескінченні серії коренів:

х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Це правильна відповідь.

Сподіваюся, загальний принцип розв'язання тригонометричних рівняньза допомогою кола зрозумілий. Зазначаємо на колі косинус (синус, тангенс, котангенс) із заданого рівняння, малюємо відповідні йому кути та записуємо відповідь.Звичайно, треба збагнути, що за кути ми побачилина колі. Іноді це не так очевидно. Ну так я й казав, що тут логіка потрібна.)

Наприклад розберемо ще одне тригонометричне рівняння:

Прошу врахувати, що число 0,5 - це не єдине можливе число в рівняннях!) Просто мені його писати зручніше, ніж коріння та дроби.

Працюємо за загальним принципом. Малюємо коло, відзначаємо (на осі синусів, звичайно!) 0,5. Малюємо відразу всі кути, що відповідають цьому синусу. Отримаємо таку картину:

Спочатку знаємося з кутом х у першій чверті. Згадуємо таблицю синусів та визначаємо величину цього кута. Справа нехитра:

х = π /6

Згадуємо про повні оберти і з чистою совістю записуємо першу серію відповідей:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Половина справи зроблено. А ось тепер треба визначити другий кут...Це хитріші, ніж у косинусах, так... Але логіка нас врятує! Як визначити другий кут через х? Та легко! Трикутнички на картинці однакові, і червоний кут х дорівнює куту х . Тільки відрахований він від кута в негативному напрямку. Тому і червоний.) А нам відповіді потрібен кут, відрахований правильно, від позитивної півосі ОХ, тобто. від кута 0 градусів.

Наводимо курсор на малюнок і все бачимо. Перший кут я прибрав, щоб не ускладнював картинку. Цікавий нас кут (намальований зеленим) дорівнюватиме:

π - х

Ікс ми знаємо, це π /6 . Отже, другий кут буде:

π - π /6 = 5π /6

Знову згадуємо про добавку повних обертів та записуємо другу серію відповідей:

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

От і все. Повноцінна відповідь складається з двох серій коріння:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Рівняння з тангенсом і котангенсом можна легко вирішувати за тим самим загальним принципом розв'язання тригонометричних рівнянь. Якщо, звичайно, знаєте, як намалювати тангенс та котангенс на тригонометричному колі.

У наведених вище прикладах я використовував табличне значення синуса та косинуса: 0,5. Тобто. одне з тих значень, які учень знати зобов'язаний.А тепер розширимо наші можливості на всі інші значення.Вирішувати, так вирішувати!)

Отже, нехай нам треба вирішити таке тригонометричне рівняння:

Такого значення косинуса у коротких таблицях немає. Холоднокровно ігноруємо цей страшний факт. Малюємо коло, відзначаємо на осі косінусів 2/3 і малюємо відповідні кути. Отримуємо таку картинку.

Розбираємось, для початку, з кутом у першій чверті. Знати б, чому дорівнює ікс, одразу відповідь записали б! Не знаємо... Провал!? Спокій! Математика своїх у біді не кидає! Вона на цей випадок вигадала арккосинуси. Не в курсі? Даремно. З'ясуйте, Це набагато простіше, ніж ви думаєте. За цим посиланням жодного складного заклинання щодо "зворотних тригонометричних функцій" немає... Зайве це в цій темі.

Якщо ви знаєте, досить сказати собі: "Ікс - це кут, косинус якого дорівнює 2/3". І відразу, чисто за визначенням арккосинусу, можна записати:

Згадуємо про додаткові звороти та спокійно записуємо першу серію коренів нашого тригонометричного рівняння:

х 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Фактично автоматично записується і друга серія коренів, для другого кута. Все те саме, тільки ікс (arccos 2/3) буде з мінусом:

х 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

І всі справи! Це правильна відповідь. Навіть простіше, ніж із табличними значеннями. До речі, найуважніші помітять, що ця картинка з рішенням через арккосинус нічим, по суті, не відрізняється від картинки рівняння cosx = 0,5.

Саме так! Загальний принцип на те й загальний! Я спеціально намалював дві майже однакові картинки. Коло показує нам кут х за його косинус. Табличний це косинус, чи ні – колу невідомо. Що це за кут, π /3, або арккосинус який - це вже вирішувати.

З синусом та сама пісня. Наприклад:

Знову малюємо коло, відзначаємо синус, що дорівнює 1/3, малюємо кути. Виходить така картина:

І знову картинка майже та сама, що й для рівняння sinx = 0,5.Знову починаємо з кута у першій чверті. Чому дорівнює ікс, якщо його синус дорівнює 1/3? Не питання!

Ось і готова перша пачка коренів:

х 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Розбираємось з другим кутом. У прикладі з табличним значенням 0,5 він дорівнював:

π - х

Так і тут він буде такий самий! Тільки ікс інший, arcsin 1/3. Ну і що!? Можна сміливо записувати другу пачку коренів:

х 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Це абсолютно правильна відповідь. Хоча й не дуже звично. Зате зрозуміло, сподіваюся.)

Ось так вирішуються тригонометричні рівняння за допомогою кола. Цей шлях наочний і зрозумілий. Саме він рятує у тригонометричних рівняннях з відбором коренів на заданому інтервалі, у тригонометричних нерівностях – ті взагалі вирішуються практично завжди по колу. Коротше, в будь-яких завданнях, які трохи складніші за стандартні.

Чи застосуємо знання на практиці?)

Розв'язати тригонометричні рівняння:

Спочатку простіше, прямо з цього уроку.

Тепер складніше.

Підказка: тут доведеться поміркувати над колом. Особисто.)

А тепер зовні прості... Їх ще окремими випадками називають.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Підказка: тут треба збагнути по колу, де дві серії відповідей, а де одна... І як замість двох серій відповідей записати одну. Та так, щоб жоден корінь із нескінченної кількості не загубився!)

Ну і зовсім прості):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Підказка: тут треба знати, що таке арксінус, арккосинус? Що таке Арктангенс, Арккотангенс? Найпростіші визначення. Зате згадувати жодних табличних значень не треба!)

Відповіді, зрозуміло, безладно):

х 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
х 2= π - arcsin0,3 + 2

Чи не все виходить? Буває. Прочитайте урок ще раз. Тільки вдумливо(є таке застаріле слово...) І за посиланнями походьте. Основні посилання - про світ. Без нього в тригонометрії – як дорогу переходити із зав'язаними очима. Іноді виходить.)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Урок та презентація на тему: "Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу від 1С
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову у просторі
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"

Що вивчатимемо:
1. Що таке тригонометричні рівняння?

3. Два основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь.
4. Однорідні тригонометричні рівняння.
5. Приклади.

Що таке тригонометричні рівняння?

Хлопці, ми з вами вивчили вже арксинуса, арккосинус, арктангенс та арккотангенс. Тепер давайте подивимося на тригонометричні рівняння загалом.

Тригонометричні рівняння – рівняння у якому змінна міститься під знаком тригонометричної функції.

Повторимо вид розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь:

1) Якщо |а|≤ 1, то рівняння cos(x) = a має розв'язок:

X = ± arccos(a) + 2πk

2) Якщо |а|≤ 1, то рівняння sin(x) = a має розв'язок:

3) Якщо |а| > 1, то рівняння sin(x) = a і cos(x) = a немає рішень 4) Рівняння tg(x)=a має розв'язання: x=arctg(a)+ πk

5) Рівняння ctg(x)=a має рішення: x=arcctg(a)+ πk

Для всіх формул k-ціле число

Найпростіші тригонометричні рівняння мають вигляд: Т(kx+m)=a, T-яка чи тригонометрична функція.

приклад.

Розв'язати рівняння: а) sin(3x)= √3/2

Рішення:

А) Позначимо 3x=t, тоді наше рівняння перепишемо як:

Розв'язання цього рівняння буде: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

З таблиці значень отримуємо: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Повернімося до нашої змінної: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Тоді x=((-1)^n)×π/9+ πn/3

Відповідь: x=((-1)^n)×π/9+ πn/3, де n-ціле число. (-1) ^ n – мінус один у ступені n.

Ще приклади тригонометричних рівнянь.

Розв'язати рівняння: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3

Рішення:

А) На цей раз перейдемо безпосередньо до обчислення коренів рівняння відразу:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тоді x/5= πk => x=5πk

Відповідь: x=5πk, де k – ціле число.

Б) Запишемо як: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Ми знаємо що: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Відповідь: x=2π/9 + πk/3, де k – ціле число.

Розв'язати рівняння: cos(4x)= √2/2. І знайти все коріння на відрізку.

Рішення:

Вирішимо в загальному виглядінаше рівняння: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Тепер давайте подивимося яке коріння потраплять на наш відрізок. При k При k=0, x= π/16 ми потрапили в заданий відрізок .
При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, знову потрапили.
При k = 2, x = π / 16 + π = 17π / 16, а тут ось вже не потрапили, а значить при великих k теж свідомо не потраплятимемо.

Відповідь: x= π/16, x= 9π/16

Два основні методи вирішення.

Ми розглянули найпростіші тригонометричні рівняння, але є й складніші. Для їх вирішення застосовують метод введення нової змінної та метод розкладання на множники. Давайте розглянемо приклади.

Розв'яжемо рівняння:

Рішення:
Для вирішення нашого рівняння скористаємося методом уведення нової змінної, позначимо: t=tg(x).

В результаті заміни отримаємо: t 2 + 2t -1 = 0

Знайдемо коріння квадратного рівняння: t=-1 та t=1/3

Тоді tg(x)=-1 і tg(x)=1/3, отримали найпростіше тригонометричне рівняння, знайдемо його коріння.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Відповідь: x=-π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Приклад вирішення рівняння

Розв'язати рівнянь: 2sin 2(x) + 3 cos(x) = 0

Рішення:

Скористаємося тотожністю: sin 2(x) + cos 2(x)=1

Наше рівняння набуде вигляду:2-2cos 2(x) + 3 cos(x) = 0

2 cos 2(x) - 3 cos(x) -2 = 0

Введемо заміну t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Рішенням нашого квадратного рівняння є коріння: t=2 та t=-1/2

Тоді cos(x)=2 та cos(x)=-1/2.

Т.к. косинус не може набувати значення більше одиниці, то cos(x)=2 не має коріння.

Для cos(x)=-1/2: x=± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Відповідь: x= ±2π/3 + 2πk

Однорідні тригонометричні рівняння.

Визначення: Рівняння виду a sin(x)+b cos(x) називаються однорідними тригонометричними рівняннями першого ступеня.

Рівняння виду

однорідними тригонометричними рівняннями другого ступеня.

Для вирішення однорідного тригонометричного рівняння першого ступеня розділимо його на cos(x): Ділити на косинус не можна якщо він дорівнює нулю, давайте переконаємося, що це не так:
Нехай cos(x)=0, тоді asin(x)+0=0 => sin(x)=0, але синус і косинус одночасно не дорівнюють нулю, отримали протиріччя, тому можна сміливо ділити на нуль.

Вирішити рівняння:
Приклад: cos 2(x) + sin(x) cos(x) = 0

Рішення:

Винесемо загальний множник: cos(x)(c0s(x) + sin(x)) = 0

Тоді нам треба вирішити два рівняння:

Cos(x)=0 та cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;

Розглянемо рівняння cos(x)+sin(x)=0 Розділимо наше рівняння cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Відповідь: x= π/2 + πk і x=-π/4+πk

Як розв'язувати однорідні тригонометричні рівняння другого ступеня?
Діти, дотримуйтесь цих правил завжди!

1. Подивитися чому дорівнює коефіцієнт а, якщо а=0 то тоді наше рівняння набуде вигляду cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), приклад розв'язання якого на попередньому слайді

2. Якщо a≠0, потрібно поділити обидві частини рівняння на косинус у квадраті, отримаємо:

Робимо заміну змінної t=tg(x) отримуємо рівняння:

Вирішити приклад №:3

Вирішити рівняння:
Рішення:

Розділимо обидві частини рівняння на косинус квадрат:

Робимо заміну змінної t = tg (x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Знайдемо коріння квадратного рівняння: t=-3 та t=1

Тоді: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Відповідь: x=-arctg(3) + πk і x= π/4+ πk

Вирішити приклад №:4

Вирішити рівняння:

Рішення:
Перетворимо наш вираз:

Вирішувати такі рівняння ми вміємо: x= - π/4 + 2πk та x=5π/4 + 2πk

Відповідь: x= - π/4 + 2πk та x=5π/4 + 2πk

Вирішити приклад №:5

Вирішити рівняння:

Рішення:
Перетворимо наш вираз:

Введемо заміну tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Рішенням нашого квадратного рівняння буде коріння: t=-2 і t=1/2

Тоді отримуємо: tg(2x)=-2 та tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Відповідь: x=-arctg(2)/2 + πk/2 і x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Завдання для самостійного вирішення.

1) Розв'язати рівняння

А) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 д) ctg(0.5x) = -1.7

2) Розв'язати рівняння: sin(3x)= √3/2. І знайти все коріння на відрізку [π/2; π].

3) Розв'язати рівняння: ctg 2(x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Розв'язати рівняння: 3 sin 2(x) + √3sin(x) cos(x) = 0

5) Розв'язати рівняння:3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6)Вирішити рівняння:cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачі ЄДІз математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

При вирішенні багатьох математичних завдань, особливо тих, що зустрічаються до 10 класу, порядок виконуваних дій, що призведуть до мети, визначено однозначно. До таких завдань можна віднести, наприклад, лінійні та квадратні рівняння, лінійні та квадратні нерівності, дробові рівняння та рівняння, що зводяться до квадратних. Принцип успішного вирішення кожної із згаданих завдань полягає в наступному: треба встановити, до якого типу належить розв'язувана задача, згадати необхідну послідовність дій, які призведуть до потрібного результату, тобто. відповіді, та виконати ці дії.

Очевидно, що успіх чи неуспіх у вирішенні того чи іншого завдання залежить головним чином від того, наскільки правильно визначено тип рівняння, що вирішується, наскільки правильно відтворена послідовність всіх етапів його вирішення. Зрозуміло, у своїй необхідно володіти навичками виконання тотожних перетворень і обчислень.

Інша ситуація виходить з тригонометричними рівняннями.Встановити факт те, що рівняння є тригонометричним, дуже неважко. Складнощі з'являються щодо послідовності дій, які призвели до правильної відповіді.

за зовнішньому виглядурівняння часом важко визначити його тип. А не знаючи типу рівняння, майже неможливо вибрати із кількох десятків тригонометричних формул потрібну.

Щоб розв'язати тригонометричне рівняння, треба спробувати:

1. привести всі функції, що входять до рівняння до «однакових кутів»;
2. привести рівняння до «однакових функцій»;
3. розкласти ліву частину рівняння на множники тощо.

Розглянемо основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь

I. Приведення до найпростіших тригонометричних рівнянь

Схема розв'язання

Крок 1.Виразити тригонометричну функціючерез відомі компоненти.

Крок 2Знайти аргумент функції за формулами:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Крок 3Знайти невідому змінну.

приклад.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Рішення.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Відповідь: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

ІІ. Заміна змінної

Схема розв'язання

Крок 1.Привести рівняння до виду алгебри щодо однієї з тригонометричних функцій.

Крок 2Позначити отриману функцію змінної t (якщо необхідно ввести обмеження на t).

Крок 3Записати та вирішити отримане рівняння алгебри.

Крок 4.Зробити зворотну заміну.

Крок 5.Вирішити найпростіше тригонометричне рівняння.

приклад.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Рішення.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Нехай sin (x/2) = t, де | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 чи е = -3/2, не задовольняє умові |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Відповідь: x = π + 4πn, n Є Z.

ІІІ. Метод зниження порядку рівняння

Схема розв'язання

Крок 1.Замінити дане рівняннялінійним, використовуючи при цьому формули зниження ступеня:

sin 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Крок 2Вирішити отримане рівняння за допомогою методів І та ІІ.

приклад.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Рішення.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 · cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Відповідь: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Однорідні рівняння

Схема розв'язання

Крок 1.Привести це рівняння до виду

a) a sin x + b cos x = 0 (однорідне рівняння першого ступеня)

або на вигляд

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (однорідне рівняння другого ступеня).

Крок 2Розділити обидві частини рівняння на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

і отримати рівняння щодо tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Крок 3Вирішити рівняння відомими способами.

приклад.

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 = 0.

Рішення.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Нехай tg x = t, тоді

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 або t = -4, отже

tg x = 1 або tg x = -4.

З першого рівняння x = π/4 + πn, n º Z; з другого рівняння x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Відповідь: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод перетворення рівняння за допомогою тригонометричних формул

Схема розв'язання

Крок 1.Використовуючи всілякі тригонометричні формули, привести дане рівняння до рівняння, яке вирішується методами I, II, III, IV.

Крок 2Вирішити отримане рівняння відомими методами.

приклад.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Рішення.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 або 2cos x + 1 = 0;

З першого рівняння 2x = π/2 + πn, n Є Z; із другого рівняння cos x = -1/2.

Маємо х = π/4 + πn/2, n Є Z; із другого рівняння x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Через війну х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Відповідь: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Вміння та навички вирішувати тригонометричні рівняння є дуже важливими, їхній розвиток потребує значних зусиль, як з боку учня, так і з боку вчителя.

З рішенням тригонометричних рівнянь пов'язані багато завдань стереометрії, фізики, та інших. Процес розв'язання таких завдань хіба що містить у собі багато знання й уміння, які набувають щодо елементів тригонометрії.

Тригонометричні рівняння займають важливе місце у процесі навчання математики та розвитку особистості загалом.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати тригонометричні рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.