Kako integrirati racionalne razlomke. Integracija shot-rational funkcije. Metoda beznačajnih koeficijenata. Tema: integracija racionalnih razlomaka

Razlomak se zove ispraviti, budući da je viša razina numeratora niža od više razine potpisnika. Integral pravilnog racionalnog razlomka izgleda ovako:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Formula za integraciju racionalni razlomci ležati u korijenu bogatog člana na stijegu. Budući da je bogati član $ ax^2+bx+c $:

1. Ako su korijeni složeni, tada je potrebno vidjeti konačni kvadrat: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Ako je korijen $ x_1 $ i $ x_2 $ učinkovit, tada morate izračunati prošireni integral i pronaći nepoznati koeficijent$ A $ i $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B )(x-x_2) dx $$
3. Jedan višestruki korijen $ x_1 $, tada se integral proširuje i koeficijenti $ A $ i $ B $ su bezvrijedni za sljedeću formulu: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+ bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Kako je to moguće pogrešno, tada je viša razina numeratora veća od više razine potpisnika, potrebno ju je dovesti do ispraviti Način dijeljenja polinoma iz brojčanog člana u obogaćeni član iz nazivnika. U ovom slučaju formula za integraciju racionalnog razlomka izgleda ovako:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Primijenite svoju odluku

Prikazane su primjene integriranja racionalnih funkcija (razlomaka) iz izvještajnih rješenja.

div. također: Korijen

Ovdje smo vođeni odluke o izvješćivanju tri aplikacije za integraciju naprednog racionalnog snimanja:
, , .

stražnjica 1

Izračunajte integral:
.

Ovdje je pod znakom integrala racionalna funkcija, a fragmenti integralnog izraza podijeljeni su na frakcije iz bogatih članova. Korak bogatog člana bannera ( 3 ) manji od stupnja numeričkog člana ( 4 ). Taj mali treba vidjeti cijeli dio kadra.

1. Vidimo cijeli dio kadra. Dilimo x 4 od strane x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Zvidsi
.

2. Banner smo podijelili na višestruke dijelove. Zašto trebate odvezati kubično poravnanje:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Zamjenjivi x = 1 :
.

1 . Dilimo od x - 1 :

Zvidsi
.
Čini se da je četvrtasto.
.
Korijen Rivnyanya: , .
Todi
.

3. Razložimo stvari na najjednostavniji način.

.

Pa znamo:
.
Integriran.

stražnjica 2

Izračunajte integral:
.

Ovdje drobilica brojeva ima razlomak - bogat izraz nula stupnjeva ( 1 = x 0). Barjaktar ima bogati član trećeg stupnja. Oskolki 0 < 3 , onda je drip ispravan. Rastavimo ga na najjednostavnije frakcije.

1. Banner smo podijelili na višestruke dijelove. Za koga je potrebno odrediti razinu treće faze:
.
Prihvatljivo je da postoji netko tko želi samo cijeli korijen. Ovo je ujedno i datum broja 3 (Član bez x-a). Tada cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 3, -1, -3 .
Zamjenjivi x = 1 :
.

Pa, znali smo jedan korijen x = 1 . Dilimo x 3 + 2 x - 3 na x - 1 :

Otje,
.

Čini se da je kvadratno jednako:
x 2+x+3=0.
Poznata diskriminanta: D = 1 2 - 4 3 = -11. Oskolki D< 0 , onda rabarbara nema aktivno korijenje. Na ovaj smo način rasporedili banner u množitelje:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Zamjenjivi x = 1 . Todi x - 1 = 0 ,
.

Zamjenjiv u (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Jednak (2.1) koeficijenti na x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Integriran.
(2.2) .
Da bismo izračunali drugi integral, očito u numeričkom kalkulatoru pomičemo predznak na zbroj kvadrata.

;
;
.

Izračunljiv I 2 .


.
Ostaci Rivnyanya x 2+x+3=0 nema aktivne korijene, tada x 2 + x + 3 > 0. Stoga se znak modula može izostaviti.

Isporučeno u (2.2) :
.

stražnjica 3

Izračunajte integral:
.

Ovdje se pod znakom integrala nalazi nekoliko različitih pojmova. Dakle, integralni izraz ima racionalnu funkciju. Razina polinoma u brojevima je drevna 3 . Stadij polinoma označitelja sličan je razlomku 4 . Oskolki 3 < 4 , onda je drip ispravan. Stoga se mogu rastaviti na jednostavne frakcije. U tu svrhu potrebno je banner podijeliti na množitelje.

1. Banner smo podijelili na višestruke dijelove. Za koga je potrebno odrediti razinu četvrte faze:
.
Prihvatljivo je da postoji netko tko želi samo cijeli korijen. Ovo je ujedno i datum broja 2 (Član bez x-a). Tada cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 2, -1, -2 .
Zamjenjivi x = -1 :
.

Pa, znali smo jedan korijen x = -1 . Dilimo od x - (-1) = x + 1:


Otje,
.

Sada morate odrediti razinu treće faze:
.
Pretpostavimo da je cijeli korijen korijen i korijen broja 2 (Član bez x-a). Tada cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 2, -1, -2 .
Zamjenjivi x = -1 :
.

Bože, pronašli smo još jedan korijen x = -1 . Bilo bi moguće, kao u prvom koraku, podijeliti pojam na , a zatim grupirati pojmove:
.

Ostaci Rivnyanya x 2 + 2 = 0 nema aktivnih korijena, tada smo raspored bannera odvojili u množitelje:
.

2. Razložimo stvari na najjednostavniji način. Čini se da je postavljeno ispred vas:
.
Banneru se dodaje razlomak pomnožen s (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Zamjenjivi x = -1 . Todi x + 1 = 0 ,
.

Diferencijacija (3.1) :

;

.
Zamjenjivi x = -1 Stvarno se nadam da x + 1 = 0 :
;
; .

Zamjenjiv u (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Jednak (3.1) koeficijenti na x 3 :
;
1 = B + C;
.

Pa, znali smo kako rastaviti najjednostavnije razlomke:
.

3. Integriran.


.

“Matematičar, kao i umjetnik, pjeva i umjetnički stvara. I zato što su pogledi matematičara stabilniji, osobito zato što su sastavljeni od ideja... Pogledi matematičara, baš kao i pogledi umjetnika ili pjesnika, moraju biti lijepi; Ideje su iste kao boje i riječi krivnje dijele se jedna po jedna. Ljepota je na prvom mjestu: u svijetu nema mjesta za ružnu matematiku».

G.H.Hardy

U prvom odjeljku pretpostavljeno je da će primarni cilj biti postizanje jednostavnih funkcija koje se više ne mogu izraziti elementarne funkcije. S tim u vezi, od velike praktične važnosti su one klase funkcija za koje se točno može reći da su njihove primarne funkcije elementarne funkcije. Funkcije dosežu ovu klasu racionalne funkcije, koji su odnosi dvaju algebarskih bogatih članova Prije integriranja racionalnih razlomaka, dajte bogati poredak. Stoga je vrlo važno integrirati takve funkcije.

2.1.1. Razlomačke racionalne funkcije

Racionalni razlomak(ili šut-racionalna funkcija) naziva se odnos dvaju algebarskih bogatih članova:

gdje i – bogati članovi.

Pogodi što bogati član (polinom, cijela racionalna funkcija) nth pozornici naziva se funkcija

de – aktivni brojevi. Na primjer,

- bogati član prve etape;

- bogati član četvrte etape itd.

Poziva se racionalni argument (2.1.1). ispraviti Ako je razina niža od razine, tada. n<m, u drugom slučaju, zove se drib pogrešno.

Bilo koji nepravilni razlomak može se poslužiti u obliku velikog dijela (cijeli dio) i pravilnog razlomka (razlomak). Gledanje cjeline i snimljenih dijelova nepravilnog udarca može se izvesti prema pravilu "odsječenog" dijela.

Kundak 2.1.1. Pogledajte cijeli razlomak sljedećih nepravilnih racionalnih razlomaka:

A) , b) .

Odluka . a) Vikoristov algoritam je podijeljen na "izbočinu" i može se eliminirati

Na ovaj način odbijamo

.

b) Ovdje je također vikory algoritam u "izbočini":

Kao rezultat toga, možemo odbiti

.

Donesimo vrećice. Nebeznačajni integral racionalnog razlomka u literalnom izrazu može se otkriti zbrojem integrala bogatog člana i ispravnog racionalnog razlomka. Pronalaženje prvih tipova polinoma ne postaje teško. Stoga je važno razmotriti pravilne racionalne razlomke.

2.1.2. Najjednostavniji racionalni razlomci i njihova integracija

Među pravilnim racionalnim razlomcima postoje četiri vrste koje se odnose na na najjednostavnije (elementarne) racionalne razlomke:

de - cijeli broj, , onda. kvadratni trinom nema aktivnih korijena.

Integracija najjednostavnijih razlomaka 1. i 2. tipa ne predstavlja velike poteškoće:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Sada ćemo pogledati integraciju najjednostavnijih razlomaka 3. vrste, ali se nećemo osvrtati na razlomke 4. vrste.

Završimo s integralima na umu

.

Ovaj se integral poziva da se izračuna na način da se vidi cijeli kvadrat u natpisu. Rezultat je tablični integral sljedećeg oblika:

ili drugo .

Kundak 2.1.2. Pronađite integrale:

A) , b) .

Odluka . a) Vidljivo iz kvadratnog trinoma, novi kvadrat je:

Znamo zvijezde

b) Nakon što smo vidjeli novi kvadrat iz kvadratnog trinoma, možemo ukloniti:

Na takav način

.

Za pronalaženje integrala

može se vidjeti u numeričkom kalkulatoru prema predznaku i dijeljenju integrala za zbroj dvaju integrala: prvi njihovom zamjenom dobiti na brzinu

,

a drugi - gledanoj stvari.

Kundak 2.1.3. Pronađite integrale:

.

Odluka . Dragi scho . Vidljivo u broju natpisa:

Prvi integral izračunava se dodatnom zamjenom :

Drugi integral očito ima dodatni kvadrat na predznaku

Ostalo, možemo ga ukloniti

2.1.3. Postavljanje pravilnog racionalnog razlomka
za zbroj najjednostavnijih razlomaka

Budite pravi racionalni argument može se vidjeti u jednom redoslijedu gledajući zbroj najjednostavnijih razlomaka. U tu svrhu banner treba podijeliti na množitelje. Iz mnogo algebre jasno je da je koža bogata aktivnim koeficijentima

Unesite funkciju koja zahtijeva poznavanje integrala

Nakon izračuna nevrijednog integrala, možete dohvatiti besplatno DETALJNO rješenje integrala koji ste unijeli.

Znamo rješenje bezvrijednog integrala funkcije f(x) (slična funkcija).

Nanesite ga

Iz faze stagnacije
(kvadrat i kocka) i razlomci

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Korijen

Sqrt(x)/(x + 1)

Kockasti korijen

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Iz izračuna sinusa i kosinusa

2*sin(x)*cos(x)

arcsinus

X*arcsin(x)

Arkus kosinus

X*arccos(x)

Zastosuvannya logaritam

X*log(x, 10)

Prirodni logaritam

eksponent

Tg(x)*sin(x)

Kotangens

Ctg(x)*cos(x)

Iracionalni razlomci

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arktangens

X*arctg(x)

Arkotangens

X*arcctg(x)

Hiperbolički sinus i kosinus

2*sh(x)*ch(x)

Hiperbolički tangens i kotangens

Ctgh(x)/tgh(x)

Hiperbolički arksinus i arkosinus

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Hiperbolički arktangens i arkotangens

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Pravila za uvođenje izraza i funkcija

Izrazi se mogu kombinirati s funkcijama (značenja su poredana abecednim redom): apsolutni (x) Apsolutno neznačajno x
(modul x ili drugo |x|) arccos(x) Funkcija - ark kosinus x arccosh(x) Arkus kosinus hiperbolički prikaz x arcsin(x) Arkusinusni pogled x arcsinh(x) Arkusinus hiperbolički prikaz x arctan(x) Funkcija - arktangens x arctgh(x) Arktangensni hiperbolički prikaz x e e broj koji je otprilike stariji od 2.7 exp(x) Funkcija - eksponent x(što ja e^x) log(x) ili ln(x) Prirodni logaritam x
(Skini ga log7(x), trebate unijeti log(x)/log(7) (ili, na primjer, for log10(x)=log(x)/log(10)) pi Broj je "Pi", koji je otprilike stariji od 3,14 grijeh(x) Funkcija - sinusni val x cos(x) Funkcija - kosinus x sinh(x) Funkcija - Hiperbolički prikaz sinusa x cosh(x) Funkcija - kosinusni hiperbolički tip x sqrt(x) Funkcija - kvadratni korijen iz s x sqr(x) ili drugo x^2 Funkcija - kvadrat x tan (x) Funkcija - Tangentni pogled x tgh(x) Funkcija - Tangentna hiperbolika x cbrt(x) Funkcija - kubni korijen x

Virusi mogu izvoditi sljedeće operacije: Poziv na brojeve unesite na prvi pogled 7.5 , ne 7,5 2*x- množenje 3/x- podjela x^3- podignut na korak x+7- dodao je x - 6- vidnímannya
Ostale funkcije: kat(x) Funkcija - zaokruživanje x na menshu strani (pod stražnjice (4,5)==4,0) strop(x) Funkcija - zaokruživanje x na velikoj strani (suprotni strop(4,5)==5,0) znak(x) Funkcija - Znak x erf(x) Funkcija mlijeka (ili integral integriteta) laplace (x) Laplaceova funkcija

Za integraciju racionalne funkcije \(\large\frac((P\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize,\) de \((P\left(x \ desno ) ))\) i \((Q\lijevo(x \desno))\) − polinome, određuje se redoslijed koraka:

Ako je drib netočan (korak \((P\lijevo(x \desno))\) je veći od koraka \((Q\lijevo(x \desno))\)), promijenite ga u ispravan, uviđanje svrhe izraza;

Raširite natpis \((Q\lijevo(x \desno))\) u više monoma i/ili sporih kvadratnih izraza;

Rastavite racionalni razlomak na najjednostavnije razlomke, vikoryst ;

Izračunaj integrale pomoću najjednostavnijih razlomaka.

Krok 1. Rekonverzija nepravog racionalnog razlomka

Budući da je član nepravilan (tada je korak broja \((P\lijevo(x \desno))\) veći od koraka znaka \((Q\lijevo(x \desno))\)), bogati član \ ((P\) lijevo je odvojivo (x \desno))\) na \((Q\lijevo(x \desno)).\) Uvredljivi viraz se može odbaciti: \[\frac((P\lijevo(x) \desno))))((Q\lijevo (x \desno))) = F\lijevo(x \desno) + \frac((R\lijevo(x \desno)))((Q\lijevo(x \ desno)))),\] de \( \veliki\frac((R\lijevo(x \desno)))((Q\lijevo(x \desno)))\normalnaveličina\) je točan racionalni razlomak.

Crocus 2. Postavljanje bannera pomoću najjednostavnijih frakcija

Zapišimo bogati član znamennika \((Q\lijevo(x \desno))\) u obliku \[ (Q\lijevo(x \desno) ) = ((\lijevo((x - a) \ desno)^\alpha ) \ cdots (\lijevo((x - b) \desno)^\beta )(\lijevo(((x^2) + px + q) \desno)^\mu ) \cdots (\ lijevo(((x^2 ) ) + rx + s) \desno)^\nu ),) \] de kvadratne funkcije nisu brze, tako da nema aktivnih korijena.

Lekcija 3. Distribucija racionalnih razlomaka iz zbroja najjednostavnijih razlomaka.

Napišimo racionalnu funkciju u modernom obliku: \[(\frac((R\lijevo(x \desno))))((Q\lijevo(x \desno))) = \frac(A)((((( \lijevo (( x - a) \desno))^\alpha ))) + \frac((((A_1))))((((\lijevo((x - a) \desno))^(\alpha - 1) )))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((A_(\alpha - 1)))))((x - a)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(B) (( (((\lijevo( (x - b) \desno))^\beta ))) + \frac(((B_1))))((((\lijevo((x - b) \desno)) ^( \beta - 1)))) ) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((B_(\beta - 1)))))((x - b)) )\kern0pt (+ \frac( (Kx + L)))((((\ lijevo(((x^2) + px + q) \desno))^\mu ))) + \frac(((K_1)x + (L_1))) )( (((\lijevo(((x^2) ) + px + q) \desno))^(\mu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((K_(\ mu - 1)))x + (L_(\mu - 1) ))))(((x^2) + px + q)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac((Mx + N)) (( ((\lijevo(((x^2) + rx +) s) \desno))^\nu ))) + \frac(((M_1)x + (N_1))))((((\ lijevo( ((x^2) + rx + s) \desno))^ (\nu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((M_(\nu - 1))x + (N_ (\nu - 1)))))(((x^2) + rx + s)).) \] Broj beznačajnih koeficijenata je nedopušten \((A_i),\) \((B_i), \) \(( K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \((N_i), \ldots\) može dodati razini natpisa \((Q\left (x \desno)).\)

Zatim množimo uvredljive dijelove povučenog jednako banneru \((Q\lijevo(x \desno))\) i izjednačavamo koeficijente za dodavanja s istim koracima \(x.\) Kao rezultat, povlačimo sustav linearnih jednakosti bez home koeficijenata \((A_i ),\) \((B_i),\) \((K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \(( N_i), \ldots\) Ovaj sustav će uvijek biti Jedna odluka. Opisi algoritama metoda beznačajnih koeficijenata .

Lekcija 4. Integracija najjednostavnijih racionalnih razlomaka.

Najjednostavniji razlomci, odvojeni od širenja dovoljno pravilnog racionalnog razlomka, integriraju se pomoću sljedećih šest formula: \ \ Za razlomke s kvadratnim predznakom potrebno je u početku vidjeti vanjski kvadrat: \[\int (\frac( (Ax + B)))(((( (\lijevo(((x^2) + px + q) \desno))^k)))dx) = \int (\frac((At + B") ))((((\lijevo((( t^2) ) + (m^2)) \desno))^k)))dt) ,\] de \(t = x + \veliki\frac(p )(2)\normalna veličina,\) \( (m^2 ) = \veliki\frac((4q - (p^2)))(4)\normalna veličina,\) \(B" = B - \veliki\ frac((Ap))(2)\normalsize .\) Zatim se sljedeće formule zaglave: \[(4.\;\;\int (\frac((tdt)))((((\left((( t^2) + (m^2)) \desno ))^k )))) ) = (\frac(1)((2\lijevo((1 - k) \desno)((\lijevo((( t^2) + (m^2)) \right ))^( k - 1)))) ) \] \ Integral \(\large\int\normalsize (\large\frac((dt)))(( ((\left(((t^2) + ( m^2))) \right))^k)))\normalsize) \) možete platiti \(k\) kroki za dodatnu pomoć redukcijske formule\[ (6.\;\;\int (\frac((dt)))((((\lijevo(((t^2) + (m^2)) \desno))^k)))) ) = (\frac(t)((2(m^2)\lijevo((k - 1) \desno)((\lijevo(((t^2) + (m^2)) \desno))^ ( k - 1)))) ) (+ \frac((2k - 3))((2(m^2)\lijevo((k - 1) \desno)))\int (\frac((dt) ) ((((\lijevo(((t^2) + (m^2)) \desno))^(k - 1))))) ) \]