Sve što trebate znati o logaritamskim nejednakostima. Složene logaritamske nejednadžbe. Razotkrivanje logaritamske neravnine

Logaritamska neravnomjernost

U prethodnim lekcijama učili smo o logaritamskim jednadžbama i sada ih znamo izračunati. A današnja lekcija bit će posvećena razvoju logaritamskih nejednakosti. Što je razlog takvim nejednadžbama i koja je razlika između rješenja logaritamske jednadžbe i nejednadžbi?

Logaritamske nejednadžbe - to su nejednakosti koje se mogu mijenjati, a koje stoje pod znakom logaritma ili na njegovoj osnovi.

Ili, također možemo reći da je logaritamska nejednakost takva nejednakost, u kojoj postoji nepoznata veličina, kao u logaritamskoj nejednakosti, koja stoji ispod znaka logaritma.

Najjednostavnije logaritamske nejednadžbe izgledaju ovako:

gdje su f(x) i g(x) različiti izrazi koji leže ispod x.

Pogledajmo pobliže ovaj primjer: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Razotkrivanje logaritamske neravnine

Prije razotkrivanja logaritamskih nejednakosti, važno je napomenuti da smrad, na najvišoj razini, može biti sličan nejednakostima prikaza, a sam:

Prije svega, kada prelazimo s logaritama na izraze koji stoje pod znakom logaritma, također trebamo izjednačiti bazu logaritma s jedinicom;

Drugim riječima, većina logaritamskih nejednakosti, vikorističkih i supstitucija promjenjivih, trebamo riješiti nejednakosti prije supstitucije sve dok ne možemo odbaciti najjednostavniju nejednadžbu.

Također smo promatrali slične trenutke raspleta logaritamskih nejednakosti. A u isto vrijeme imam žestoko poštovanje prema postizanju istinskog dostojanstva. Svi znamo da logaritamska funkcija može biti ograničena rasponom vrijednosti, pa je pri prelasku s logaritama na izraze koji stoje pod znakom logaritma potrebno voditi računa o rasponu prihvatljivih vrijednosti (ADV).

Kako bismo bili sigurni da imate većinu logaritamskih jednadžbi, prvo možemo pronaći korijen jednadžbe, a zatim provjeriti rješenje. A os logaritamske nejednakosti nije vidljiva, fragmenti koji prelaze iz logaritama u izraze koji stoje pod znakom logaritma, potrebno je zapisati ODZ nejednakosti.

Također je važno zapamtiti da se teorija nejednakosti sastoji od realnih brojeva, kao što su pozitivni i negativni brojevi, kao i broj 0.

Na primjer, ako je broj “a” pozitivan, potrebno je koristiti sljedeći unos: a >0. I ovdje će, kao i zbroj, prihod od takvih brojeva također biti pozitivan.

Osnovni princip rješavanja problema je zamijeniti ga nečim jednostavnijim, zvanim sranje, tako da bude ekvivalent zadanom. Nadalje, također smo stvorili neravnine i novosti i zamijenili ih onim koji ima jednostavniji izgled, itd.

Uz najveće nejednakosti, potrebno je tražiti sve svoje odluke. Ako dvije nejednakosti imaju istu razliku, onda su takve nejednakosti ekvivalentne, u svijesti kojih se njihove razlike izbjegavaju.

Kako bismo riješili logaritamske netočnosti, potrebno je zapamtiti da ako je a > 1, tada logaritamska funkcija raste, a ako je 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metode rješavanja logaritamske neravnomjernosti

Sada pogledajmo različite metode koje se mogu koristiti pri radu s logaritamskim nejednadžbama. Za bolje razumijevanje i ovladavanje, pokušajmo učiti od njih na određenim dionicama.

Ti i ja znamo da najjednostavnija logaritamska nejednadžba izgleda ovako:

Ova nejednakost ima jedan od sljedećih znakova nejednakosti:<,>, ≤ ili ≥.

Ako je temelj patuljastog logaritma veći od Odinitni (a> 1), zdravi stanovnici Relkhíd vid Logarithmiv do Virav, da stoji píd znak logaritma, tada u tsoma wai, živčani živčani znak, nervozan sam zbog Matima Takye Vighmia:

Što je ekvivalentno ovoj osi sustava:

Ponekad, ako je baza logaritma veća od nule i manja od jedan (0

Prema podacima sustava:

Iznenađujuće, primjena najjednostavnijih logaritamskih nejednakosti usmjerena je na bebu u nastavku:

Rješenja za zadnjicu

Zavdannya. Pokušajmo odrediti ovu os nejednakosti:

Najviši raspon prihvatljivih vrijednosti.

Sada pokušajmo pomnožiti ovaj desni dio sa:

Čudimo se onome što vidimo:

Sada prijeđimo na transformaciju sublogaritamskih izraza. Veza je u tome što je baza logaritma 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x – 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

I iz ovoga je vidljivo da je interval koji smo oduzeli u potpunosti posljedica ODZ-a i najviših razina takve nejednakosti.

Os do koje smo došli je:

Što je potrebno za rast logaritamske neravnine?

Pokušajmo sada analizirati što nam je potrebno za uspješno prevladavanje logaritamskih nejednakosti?

Prije svega, pokažite svo svoje poštovanje i pokušajte ne raditi nikakve kompromise u konačnoj transformaciji, koja je zadata u ovoj nejednakosti. Također je vrijedno zapamtiti da kada su takve netočnosti prevladavajuće, potrebno je spriječiti širenje i ozvučavanje ODZ nejednakosti, što može dovesti do gubitka ili dodavanja rješenja trećih strana.

Drugim riječima, kada se radi o logaritamskoj nejednakosti, potrebno je naučiti razmišljati logično i razumjeti razliku između takvih pojmova kao što su sustav nejednakosti i skup nejednakosti, tako da možete lako napraviti izbor između 'jezičnih nejednakosti, u koje boluju od ODZ-a.

Treće, za uspješno liječenje takvih kožnih poremećaja morate dobro poznavati sve moći elementarnih funkcija i jasno razumjeti njihov smisao. Takve funkcije uključuju ne samo logaritamske, već i racionalne, statističke, trigonometrijske itd., jednom riječju sve one koje ste naučili kroz školsku algebru.

Kao što znate, nakon što ste naučili temu o logaritamskim nejednakostima, većina tih nejednakosti nema ništa na umu što biste poštovali i nastojali postići svoje ciljeve. Kako netočnosti visoke razine ne bi uzrokovale svakodnevne probleme, potrebno je što više vježbati, naučiti razne stvari i zapamtiti glavne načine na koje takve nejednakosti nastaju u njihovim sustavima. U slučaju nedavnih rješenja logaritamskih nejednakosti, važno je pažljivo analizirati svoje izračune kako se budućnost ne bi ponovno okrenula prema njima.

Poboljšanje doma

Kako bismo brzo savladali i učvrstili pređeno gradivo, postoje neke nedosljednosti:

LOGARITAMSKE NEJEDNAČBE U EDI

Sečin Mihailo Aleksandrovič

Mala akademija znanosti mladih studenata Republike Kazahstan "Shukach"

MBOU "Radyanska Zosh br. 1", 11. razred, smt. Radyansky Radyansky okrug

Gunko Lyudmila Dmitrivna, učiteljica MBOU "Radyanska Zosh br. 1"

Radyansky okrug

Meta roboti: istraživanje mehanizma povezanosti logaritamskih nejednadžbi C3 nestandardnim metodama; Otkrivanje određenih činjenica o logaritmu.

Predmet istraživanja:

3) Naučiti odrediti specifične logaritamske nejednadžbe C3 koristeći nestandardne metode.

Rezultati:

Zmist

Uvod…………………………………………………………………………………….4

Poglavlje 1. Povijest prehrane……………………………………………………...5

Poglavlje 2. Zbirka logaritamskih nejednakosti …………………………… 7

2.1. Metoda jednakih prijelaza i pravilnih intervala……… 7

2.2. Metoda racionalizacije …………………………………………………… 15

2.3. Nestandardna postavka………………............................................ ............ 22

2.4. Zavdannya s pastirima……………………………………………………… 27

Zaključak………………………………………………………………………………… 30

Književnost………………………………………………………………………………………. 31

Unesi

Krenut ću u 11. razred i planiram upisati viši stupanj obrazovanja, gdje mi je glavni predmet matematika. A to uvelike dolazi iz izvornog dijela C. Izvorni C3 zahtijeva nestandardnu ​​neravninu i sustav neravnina, u pravilu, povezan je s logaritmima. Pripremajući se za kolokvijum susreo sam se s problemom nedostatka metoda i tehnika za rješavanje ispitnih logaritamskih nejednadžbi koje demonstrira C3. Metode koje se koriste u školskom programu ne daju osnovu za najviši zadatak C3. Profesorica matematike poticala me da samostalno radim na C3 zadacima pod njezinim nadzorom. Zašto, nisam toliko zabrinut za hranu: imamo li logaritme u našim životima?

Gledajući ovo, pojavila se tema:

"Logaritamske nejednakosti u EDI-ju"

Meta roboti: istraživanje mehanizma rješavanja C3 zadataka nestandardnim metodama; Otkrivanje određenih činjenica o logaritmu.

Predmet istraživanja:

1) Saznajte potrebne informacije o nestandardnim metodama za rješavanje logaritamskih nejednadžbi.

2) Saznajte dodatne informacije o logaritmima.

3) Naučite implementirati specifične zadatke C3 koristeći nestandardne metode.

Rezultati:

Prošireni uređaj za napredne zadatke C3 ima praktičan značaj. Ovo se gradivo može proučavati na realnoj nastavi, za grupnu nastavu i za izborne predmete iz matematike.

Proizvod projekta bit će zbirka "Logaritamske nejednadžbe C3 s rješenjima".

Odjeljak 1. Povijest prehrane

Tijekom 16. stoljeća, broj najbližih pristupa koje je trebalo izbrojiti u astronomiji se brzo povećao. Poboljšanje instrumenata, istraživanje planetarnih ruševina i drugi roboti generirali su kolosalne, ponekad bogate, kvarove. Astronomiji je prijetio stvarni rizik od utapanja u novim vječnim ruševinama. Poteškoće su se pojavile u drugim područjima, na primjer, industrija osiguranja trebala je tablice sklopivih ploča za različite vrijednosti ploče. Glavnu složenost predstavljalo je množenje, dijeljenje bogatih brojeva, posebice trigonometrijskih veličina.

Spirala logaritama nastavila se dobro sve do kraja 16. stoljeća moći napretka. O vezama između članova geometrijske progresije q, q2, q3, ... i aritmetičke progresije njihovih pokazatelja 1, 2, 3, ... govoreći u Arhimedovom “Psalmitisu”. Drugi razlog bilo je prošireno razumijevanje razine negativa i prikaza sačmarice. Brojni su autori isticali da se u aritmetici pojavljuju množenje, dijeljenje, svođenje na korak i oduzimanje korijena u geometrijskoj progresiji - istim redom - zbrajanje, zamjena, množenje i dijeljenje.

Ovdje je postojala ideja o logaritmu kao pokazatelju koraka.

Razvoj znanja o logaritmima prošao je kroz mnoge faze.

1. faza

Logaritme je kasnije od 1594 godine neovisno otkrio škotski barun Napier (1550-1617) i deset godina švicarski mehaničar Burgi (1552-1632). Željeli su datirati novo ručno računanje aritmetičkih izračuna, iako su do tog zadatka došli na različite načine. Neper je kinematički odredio logaritamsku funkciju i time ušao u novo područje teorije funkcija. Građani su izgubili iz vida diskretni napredak. Štoviše, vrijednost logaritma u oba nije slična dnevnoj. Izraz "logaritam" (logaritmus) dolazi od Napiera. To je zbog kombinacije grčkih riječi: logos - "set" i ariqmo - "broj", što je značilo "broj vina". U početku je Neper koristio drugačiji izraz: numeri artificiales - "brojevi komada", za razliku od numeri naturalts - "prirodni brojevi".

Godine 1615., na rođenju profesora matematike Gresham Collegea u Londonu, Henryja Briggsa (1561.-1631.), Neper je odlučio uzeti nulu za logaritam od jedan, a 100 za logaritam od deset, koji se svodi na isto, jednostavno 1. Tako je logaritam desetica bio. Pripremljene su prve logaritamske tablice. Briggsovu kasniju tablicu dopunio je nizozemski knjižar i matematički entuzijast Andrian Flaccus (1600.-1667.). Neper i Briggs, iako su do logaritma došli prije svih, svoje su tablice objavili kasnije od ostalih - 1620. godine. Znakovi log i log uvedeni su 1624. godine. Kepler. Izraz “prirodni logaritam” skovao je Mengoli 1659. godine. a nakon njega M. Mercator 1668., a vidjevši tablice prirodnih logaritama brojeva od 1 do 1000 pod naslovom “New Logarithms”, londonski čitatelj John Speidel.

Prve ruske logaritamske tablice pojavile su se 1703. Međutim, u svim logaritamskim tablicama došlo je do pogrešaka pri računanju. Prve nevojničke tablice objavljene su 1857. godine u Berlinu u izdanju njemačkog matematičara K. Bremikera (1804.-1877.).

Faza 2

Daljnji razvoj teorije logaritama odnosa sa širim pojmovima analitičke geometrije i računanjem beskonačno malih. Pritom uspostaviti vezu između kvadrata jednakostraničnog hiperboličkog i prirodnog logaritma. Teorija logaritama ovog razdoblja povezana je s imenima brojnih matematičara.

Njemački matematičar, astronom i inženjer Nikolaus Mercator na djelu

"Logaritmetička tehnika" (1668) crta niz, koji daje proširenje ln(x+1)

koraci x:

To jasno odgovara tijeku njegovih misli, iako, naravno, nije označen znakovima d, ..., nego glomaznom simbolikom. Kao rezultat logaritamskog minimuma, promijenila se tehnika izračunavanja logaritama: oni su se počeli računati pomoću kontinuiranih nizova. U svojim predavanjima “Elementarna matematika s najviše točke gledišta”, održanim 1907.-1908., F. Klein je uveo vikorijevu formulu kao glavnu točku teorije logaritama.

Faza 3

Vrijednosti logaritamske funkcije kao povratne funkcije

razmetljiv, logaritam kao prividni korak zadane osnove

nije odmah formuliran. Twir Leonard Euler (1707.-1783.)

Dalje je poslužio "Uvod u analizu beskonačno malog" (1748).

razvoj teorije logaritamske funkcije Dakle,

Od tog sata prošle su 134 godine, otkako su prvi put uvedeni logaritmi

(s poštovanjem od 1614.), ponajprije su postali važni matematičari

Razumijevanje logaritma, koji je sada osnova školskog tečaja.

Poglavlje 2. Zbirka logaritamskih nejednadžbi

2.1. Jednaki prijelazi i prijelazi metodom intervala.

Jednaki prijelazi

ako je a > 1

poštanski sandučić 0 < а < 1

Napredna metoda intervala

Ova je metoda najuniverzalnija u slučaju rastućih nejednakosti gotovo svih vrsta. Dijagram rješenja izgleda ovako:

1. Dovedite nejednakost u takav oblik gdje lijeva strana ima funkciju
, a desna je 0.

2. Poznavati opseg funkcije
.

3. Pronađite nulte funkcije
, onda – da budem iskren
(i lakše je razotkriti ljubomoru nego razmrsiti nervozu).

4. Preslikajte raspon vrijednosti i nula funkcije na brojevnu liniju.

5. Značaj predznaka funkcije
u opsesivnim intervalima.

6. Odaberite intervale u kojima funkcija ispunjava potrebne vrijednosti i zabilježite odgovor.

guza 1.

Odluka:

Postavlja se metoda intervala.

zvijezde

Uz ove vrijednosti, svi izrazi koji stoje pod predznacima logaritma su pozitivni.

Predmet:

guza 2.

Odluka:

1 metoda . ADL je označen nejednakošću x> 3. Logaritam za takve x na stalku 10, može se skinuti

Preostala nelagoda mogla bi biti uvjetovana stagnacijom pravila rasporeda. jednaka nuli spivmniki. Međutim, u ovom slučaju lako je odrediti intervale značajnosti funkcije

To se može učiniti metodom intervala.

Funkcija f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ kontinuirano na x> 3 i ide na nulu u točkama x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Na taj način se određuju intervali označavanja funkcije f(x):

Predmet:

2. metoda . Nema apsolutno nikakvog sukoba s idejom intervala.

Za koga možemo pogoditi što virazi a b- a c i ( a - 1)(b– 1) nacrtati jedan znak. Tako i naša nervoza kada x> 3 jednake nejednakosti

ili drugo

Preostala nestabilnost utvrđuje se metodom intervala

Predmet:

stražnjica 3.

Odluka:

Postavlja se metoda intervala.

Predmet:

stražnjica 4.

Odluka:

Oskolki 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 za sve aktivne x, To

Kako bi se poboljšale ostale neravnine, brzina se određuje metodom intervala.

Za prvu neravnotežu potrebna je zamjena

tada dolazimo do točke neravnina 2y 2 - g - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те g, što zadovoljava neravnine -0,5< g < 1.

Zvijezde, eto zašto

nelagoda je otklonjiva

kako pobijediti za ove x, za ta 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Sada kada je većina ostalih neravnoteža u sustavu riješena, one se mogu potpuno eliminirati

Predmet:

stražnjica 5.

Odluka:

Nejednakost je jednaka ukupnosti sustava

ili drugo

Metoda intervala odn

Vídpovid:

stražnjica 6.

Odluka:

Nemir je jednak sistemu

Idemo

zatim g > 0,

i prva nervoza

pojavljuje se sustav

ili, odvijanje

kvadratni trinom preko množitelja,

Stabiliziranje do preostalih neravnina, metodom intervala,

Što je najvažnije, koje su vaše odluke koje zadovoljavaju vaš um? g> 0 bit će g > 4.

Na taj način, nejednadžba je ekvivalentna sustavu:

Pa, riješene nejednakosti su sve

2.2. Metoda racionalizacije.

Ranije, u načinu racionalizacije, nejednakost nije prevladavala, nije se znalo za nju. Ovo je "nova dnevna učinkovita metoda za određivanje pokaznih i logaritamskih nejednakosti" (citat iz knjige S.I. Kolesnikova)
A ja kažem da se učitelj, poznavajući ga, bojao - ali što zna stručnjak i zašto ga ne uče u školi? Bilo je situacija kada je čitač rekao učitelju: "Gdje si to uzeo? Sidai - 2."
Ninina metoda curi na sve strane. A za stručnjake, postoje metodičke izjave vezane uz ovu metodu, au "Najnovijim tipovima tipičnih opcija...", C3 rješenje koristi ovu metodu.
ČUDOVIŠNA METODA!

"Šarmantan stol"

Na drugim mjestima

yakscho a >1 í b >1, log a b >0 í (a -1)(b -1)>0;

yakscho a >1 i 0

poštanski sandučić 0<a<1 и b >1, zatim zapišite a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

poštanski sandučić 0<a<1 и 00 ta (a -1)(b -1)>0.

Spajanje se izvodi na jednostavan način, no moguće je i pojednostaviti raspetljavanje logaritamskih nejednadžbi.

stražnjica 4.

log x (x 2 -3)<0

Odluka:

stražnjica 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Odluka:

Vídpovid. (0; 0,5) U.

stražnjica 6.

Da bismo riješili ovu nejednakost, zapisujemo zamjenu označitelja (x-1-1)(x-1), a zamjenu broja - tvir (x-1)(x-3-9+x).

Vídpovid : (3;6)

stražnjica 7.

stražnjica 8.

2.3. Nestandardna postavka.

guza 1.

guza 2.

stražnjica 3.

stražnjica 4.

stražnjica 5.

stražnjica 6.

stražnjica 7.

log 4 (3 x -1) log 0,25

Zamijenimo y = 3 x -1; To je vrsta nejednakosti koju ću vidjeti u budućnosti

Log 4 log 0,25
.

Dakle jak log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y, tada ćemo preostalu nejednadžbu prepisati u obliku 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Potrebno je zamijeniti t = log 4 y i ukloniti nejednakost t 2 -2t +≥0, ovisno o razmaku - .

Dakle, da bismo pronašli značenje, moguće je kombinirati dvije najjednostavnije nejednakosti
Najveća vrijednost totala i intervala 0<у≤2 и 8≤у<+.

Pa, prividna nejednakost je ekvivalentna kombinaciji dviju prividnih nejednakosti,
zatim ukupnost

Riješiti prve nejednadžbe totala i intervala 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Dakle, izlazna nejednakost je izjednačena za sve vrijednosti s intervalima od 0<х≤1 и 2≤х<+.

stražnjica 8.

Odluka:

Nemir je jednak sistemu

Rješenja za druge nejednakosti koje ADD znači, bez tretmana x,

za one x > 0.

Za uklanjanje prve neravnine, odmah ga zamijenite

Tada je očita nervoza

ili drugo

Metodom se provodi anonimno rješavanje preostalih nejednadžbi

intervali: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, izostavljivo

ili drugo

Bezlich šuti x, koji zadovoljavaju preostale neravnine

dodijeli ODZ ( x> 0), tada, ê sistemske odluke,

Pa, i izlazna nejednakost.

Predmet:

2.4. Zavdannya za pastire.

guza 1.

.

Odluka. ODZ nepravde i svega što zadovoljava um 0 . Pa sve iz intervala 0

guza 2.

log 2 (2 x +1-x 2) > log 2 (2 x-1 +1-x) +1.. ? Desno je da je drugi broj očito veći od donjeg

Visnovok

Iz velikog broja različitih početnih elemenata nije bilo lako identificirati posebne metode za povećanje C3 zadatka. Tijekom završnog rada uspio sam razviti nestandardne metode za rješavanje složenih logaritamskih nejednadžbi. Tse: jednaki prijelazi i prijelazi, metoda intervala, metoda racionalizacije , nestandardna zamjena , dućan za čobane kod ODZ. Školski program ima dnevne metode.

Koristeći različite metode, ispravili smo 27 nepravilnosti dodijeljenih EDI-u u samom dijelu Z, C3. Ove nejednadžbe s riješenim metodama činile su osnovu zbirke “Logaritamske nejednadžbe C3 s rješenjima”, koja je postala projektni produkt mog djelovanja. Potvrđena je hipoteza koju sam postavio na početku projekta: zadatak C3 može se učinkovito provesti ako poznajete metode.

Osim toga, otkrio sam neke činjenice o logaritmima. Za mene je to bilo puno posla. Moji projektni proizvodi bit će korisni i studentima i čitateljima.

Visnovki:

Ovim ciljem je cilj projekta postignut i problem je riješen. I dobio sam najopsežniju i sveobuhvatnu evidenciju projektnih aktivnosti u svim fazama rada. Tijekom rada na projektu, glavni priljev koji se razvija bio je na Rosum kompetenciji, aktivnosti vezanoj uz logičke Rosum operacije, razvoju kreativne kompetencije, posebne inicijative, pouzdanosti itd. lakoća, aktivnost.

Jamstvo uspjeha u stvaranju pretposljednjeg projekta za manje čelika: važni školski dokazi, inteligentno dobivanje informacija iz različitih izvora, provjera njihove pouzdanosti, njihovo rangiranje po važnosti.

Stjecanje opsežnog znanja iz predmeta iz matematike, proširivanje praktičnih vještina u području informatike, stjecanje novih znanja i dokaza iz područja psihologije, uspostavljanje kontakata s kolegama iz razreda, te učenje prakticiranja sa starijim osobama. Tijekom projektnih aktivnosti razvijale su se organizacijske, intelektualne i komunikacijske vještine.

Književnost

1. Koryanov A. G., Prokofjev A. A. Sustavi nejednakosti s jednom promjenom (tipska dodjela C3).

2. Malkova A. G. Priprema za EDI iz matematike.

3. Samarova S.S. Virus logaritamske neujednačenosti.

4. Matematika. Zbirka radova za obuku uredio A.L. Semenova i I.V. Jaščenko. -M: MTsNMO, 2009. - 72 str.-

Najznačajnije logaritamske nejednakosti su zbog snage monotonosti logaritamske funkcije. Isto vrijedi za logaritam i osnovne logaritamske formule.

Ponovimo što su logaritmi:

Logaritam pozitivan broj na bazi pokazatelj je koraka koji zahtijeva uklanjanje informacija.

S ovim

Osnovni logaritamski identitet:

Osnovne formule za logaritme:

(Logaritam je isti kao zbroj logaritama)

(Logaritam privatne razlike logaritama)

(Formula za korak logaritma)

Formula za prijelaz na novu osnovu:

Algoritam za rješavanje logaritamske neravnomjernosti

Sa sigurnošću možemo reći da iza algoritma pjesme stoje logaritamske nejednakosti. Moramo zapisati područje prihvatljivih vrijednosti (ADV) nejednakosti. Iznošenje nejednakosti na površinu Predznak ovdje može biti otprilike ovaj: Važno je da se lijeva i desna nejednakost pronađu u logaritmima upravo iz ove baze.

I nakon ovoga “izbacujemo” logaritme! U ovom slučaju, čim se stepenica podigne, znak nervoze se gubi sam od sebe. Osnova je takva da se znak neravnine zamjenjuje produljenim.

Naravno, ne "izbacujemo" samo logaritme. Podložni smo snazi ​​monotonosti logaritamske funkcije. Kako je baza logaritma veća od jedan, logaritamska funkcija monotono raste, pa što je veća vrijednost x, to je veća vrijednost izraza.

Kako je baza veća od nule i manja od jedan, logaritamska funkcija se monotono mijenja. Što je veća vrijednost argumenta x ima manju vrijednost.

Važno: najbolje je zapisivati ​​odluke na vidiku trake jednakih prijelaza.

Prijeđimo na praksu. Kao i prije, prijeđimo preko najjednostavnijih neugodnosti.

1. Pogledajmo nejednakost log 3 x > log 3 5.
Neki logaritmi su navedeni samo za pozitivne brojeve; potrebno je da x bude pozitivan. Umov x> 0 naziva se područjem dopuštenih vrijednosti (ADV) ove neravnine. Samo za takav x nejednakost se može osjetiti.

Pa, ova formula zvuči pametno i lako se pamti. Zašto još uvijek možemo raditi?

Ljudi smo, imamo pameti. Naš um kontrolira na način da je sve logičnije, razumnije, da se unutarnja struktura pamti i stagnira puno brže nego prije i da činjenice nisu međusobno povezane. Zašto je važno pravila ne pamtiti mehanički, baš kao što je pas matematičar dresiran i poznaje aktivnosti.

Dakle, zašto "izbacujemo logaritme"?

Odgovor je jednostavan: budući da je baza veća od jedan (kao u našem slučaju), logaritamska funkcija monotono raste, što znači da većoj vrijednosti x odgovara veća vrijednost y i zbog nejednakosti log 3 x 1 > log 3 x 2 znači da je x 1 > x 2.


Da rezimiramo, prešli smo na algebarsku nesigurnost, a predznak nesigurnosti ostaje netaknut.

Otže, x > 5.

Logaritamska nejednadžba je također jednostavna.

2. log 5 (15 + 3x) > log 5 2x

Pogledajmo raspon prihvatljivih vrijednosti. Logaritmi vrijede samo za pozitivne brojeve, dakle

Na temelju ovog sustava odbacujemo: x>0.

Sada s logaritamske nejednakosti prijeđimo na onu algebarsku – doslovno logaritme. Ako je baza logaritma veća od jedan, znak nejednakosti je sačuvan.

15+3x > 2x.

Eliminiraj: x > −15.

Verzija: x > 0.

Što se događa ako logaritam mensch-a zamijenimo jedan? Lako je pogoditi da će se u ovom slučaju, kada se prijeđe na nejednakost algebre, znak nejednakosti promijeniti.

Usmjerimo kundak.

Zapišimo ODZ. Virusi, poput onih uzetih kao logaritmi, mogu biti pozitivni, dakle

Na temelju ovog sustava odbacujemo: x > 4,5.

Zbog toga se logaritamska funkcija sa svojom bazom monotono mijenja. A to znači da što je veća vrijednost funkcije, manji je argument:


Ja yakscho, onda
2x − 9 ≤ x.

Pretpostavljamo da je x ≤ 9.

Za liječnike, ako je x > 4,5, napišimo sljedeće:

Ubuduće se nejednakost emisije svodi na kvadrat. Također se preporučuje ponoviti temu "kvadratne nepravilnosti".

Sada postoje složene nejednakosti:

4. Povećajte tjeskobu

5. Povećajte tjeskobu

Nešto kao to. Bili smo pošteđeni! Znamo da je baza logaritma veća od jedan za sve vrijednosti koje su uključene prije ODZ.

Čekamo zamjenu

Vratite nam poštovanje prema činjenici da ćemo prije nove promjene vjerojatno biti nejednaki. I nakon toga prelazimo na promjenu x. Upamtite ovo i nemojte imati milosti prema snu!

Zapamtite pravilo: budući da jednadžbe i nejednadžbe imaju korijene, razlomke i logaritme, potrebno je krenuti od raspona prihvatljivih vrijednosti. Budući da je baza logaritma pozitivna i nije jednaka jedinicama, sustav umova se uklanja:

Oprostimo qiu sustavu:

Ovo je raspon prihvatljivih vrijednosti nejednakosti.

Vjerujemo da je važno koristiti logaritam kao osnovu. Prijeđimo na osnove. Pogodi što

U ovom odjeljku možete ručno prijeći na bazu 4.

Čekamo zamjenu

Nervoza se lako rješava metodom intervala:

Vratimo se na kraj x:

Dodali smo na pamet x> 0 (s ODZ).

7. Termin poroda može se odrediti i metodom intervala.

Kao i prije, maksimalna logaritamska nejednakost polazi od raspona prihvatljivih vrijednosti. U ovom videu

Ovaj će se um sigurno sklupčati i mi ćemo mu se okrenuti. Pogledajmo malo samu nervozu. Zapišimo lijevu stranu kao logaritam na bazi 3:

Desna strana također se može napisati kao logaritam na bazi 3, a zatim prijeći na algebarsku nejednadžbu:

Bachimo, scho umova (tobto ODZ) sada se automatski najavljuje. Pa, ovo će oprostiti vrhunac nejednakosti.

Čini se da postoji neravnoteža između ruta i intervala:

Predmet:

Zašto? Pa, približava se nalet složenosti:

8. Oslobodite se tjeskobe:

Nemir je jednak sustavu:

9. Oslobodite se tjeskobe:

Viraz 5 - x 2 opsesivno se ponavlja bez uma. A to znači da možete napraviti zamjenu:

Ostaci funkcije prikaza dobivaju pozitivnija značenja, t> 0. Todi

Vidim nervozu:

Čak je i bolje. Znamo raspon prihvatljivih vrijednosti neravnina. To smo već rekli t> 0. Osim toga, ( t− 3) (5 9 · t − 1) > 0

Ako ste mentalno vikonana, tada će vaša privatnost biti pozitivna.

Također, izraz pod logaritmom na desnoj strani nejednakosti može biti pozitivan, tada (625 t − 2) 2 .

Tse znači 625 t− 2 ≠ 0, dakle

Pažljivo zapišimo ODZ

I vjerujemo da je sustav koji je izašao stagnirao i metoda intervala.

Otje,

Pa, ispravljeno je - odvojili smo se od ODZ-a. Najvjerojatnije je sama neizvjesnost. Zbroj logaritama na lijevoj strani može se predstaviti kao logaritam stvaranja.

Ciljevi lekcije:

Didaktičko:

• Razina 1 – naučiti prepoznati najjednostavnije logaritamske nejednadžbe, stagnaciju logaritma, potenciju logaritma;
• Razina 2 – odredite logaritamske nejednadžbe odabirom vlastite metode razdvajanja;
• Razina 3 – imajte na umu da morate zadržati znanje i svijest u nestandardnim situacijama.

U razvoju: razvijati pamćenje, poštovanje, logično razmišljanje, vještine učenja, majstorstvo i vještine učenja

Vikhovny: Poticati točnost, usklađenost sa zadacima i uzajamnu pomoć.

Metode učenja: verbalni , puno vrijeme , praktični , chastkovo-poshukovy , samogenerirajuća kupka , kontrolirati.

Oblici organizacije obrazovne aktivnosti učenika: frontalni , pojedinac , rad za parove

Obladnannya: set ispitnih zadataka, bilješki, čistih listova za razotkrivanje.

Vrsta lekcije: Razvoj novog materijala.

Napredak lekcije

1. Organizacijski trenutak. Razmotrite temu i svrhu lekcije, shemu lekcije: svaki učenik vidi obrazac za ocjenjivanje, koji će učenik ispuniti tijekom lekcije; za kožne parove učenika - ostali materijali izrađeni su prema specifikacijama, potrebno je ukloniti specifikacije iz parova; čiste plahte za odvezivanje; pomoćni listovi: temeljeni na logaritmu; graf logaritamske funkcije potencije; snaga logaritama; algoritam za razotkrivanje logaritamske neravnine.

Sve odluke nakon samovrjednovanja daju se nastavniku.

Evaluacijski list učenika

2. Obnavljanje znanja.

Bilješke čitatelja. Pogodite vrijednost logaritma, graf logaritamske funkcije i potenciju. Za to pročitajte tekst na str. 88–90, 98–101 priručnika “Algebra i počeci analize 10–11” koji su uredili Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin i in.

Naučiti lunati listove, na kojima je napisano: pomoću logaritma; prikazuje graf logaritamske funkcije potencije; snaga logaritama; algoritam za razotkrivanje logaritamske neravnine, primjer za razotkrivanje logaritamske neravnine, koja se svodi na kvadrat.

3. Uvođenje novog gradiva.

Valjanost logaritamskih nepravilnosti temelji se na monotonosti logaritamske funkcije.

Algoritam za rješavanje logaritamske neravnomjernosti:

A) Pronađite područje u kojem je nejednakost značajna (podlogaritamska vrijednost veća od nule).
B) Identificirajte (ako je moguće) lijevi i desni dio nejednadžbe u obliku logaritma prema istoj bazi.
C) To znači da je logaritamska funkcija rastuća ili padajuća: ako je t>1, onda je rastuća; poštanski sandučić 0 1, zatim odbija.
D) Prijeđite na jednostavnije neravnoteže (sublogaritamske izraze), tako da se predznak neravnoteže očuva kako funkcija raste, te se mijenja kako se mijenja.

Osnovni element br.1.

Meta: popraviti najjednostavnije logaritamske nejednakosti

Oblik organizacije obrazovne aktivnosti studenata: individualni rad.

Biljka za samostalan rad za 10 hvilina. Za neravnine kože postoji niz opcija, morate odabrati ispravnu i provjeriti ključ.

KLJUČ: 13321, maksimalan broj bodova – 6 bodova.

Osnovni element br.2.

Meta: učvrstiti oslobađanje logaritamskih nejednakosti, stagnacije i snage logaritama.

Bilješke čitatelja. Pogodite glavne potencije logaritama. Za to pročitajte tekst priručnika na str. 92, 103-104.

Biljka za samostalan rad za 10 hvilina.

KLJUČ: 2113, maksimalan broj bodova – 8 bodova.

Osnovni element br.3.

Meta: rastaviti logaritamske nejednadžbe svođenjem na kvadrat.

Napomena čitatelja: metoda svođenja nejednadžbe na kvadratno polje znači da je potrebno transformirati nejednadžbu u takav oblik da se logaritamska funkcija označi kao nova varijabla, koja se onda kvadratno uklanja.Promjenjiva je.

Ustanovljena je metoda intervala.

Prošli ste prvi stupanj svladavanja gradiva. Sada ćete morati samostalno odabrati metodu za razotkrivanje logaritamskih jednadžbi, koristeći svo svoje znanje i sposobnosti.

Osnovni element br.4.

Meta: konsolidirati odvajanje logaritamskih nejednakosti stvaranjem metode samoracionalnog odvajanja.

Biljka za samostalan rad za 10 hvilina

Osnovni element br.5.

Bilješke čitatelja. Dobro napravljeno! Savladali ste razotkrivanje druge razine složenosti. Sljedeći korak u vašem radu je učvršćivanje znanja i vještina u težim i nestandardnim situacijama.

Upute za samostalnu krepost:

Bilješke čitatelja. Čudo je da si uletio u sve nesreće. Dobro napravljeno!

Bod za cijelu lekciju temelji se na broju bodova sakupljenih za sve početne elemente:

• ako je N ≥ 20, tada ćete oduzeti ocjenu "5",
• za 16 ≤ N ≤ 19 – ocjena “4”,
• za 8 ≤ N ≤ 15 – ocjena “3”,
• kod N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Dajte procijenjene lisice učitelju.

5. Domaća zadaća: ako niste upisali više od 15 bajtova - dovršite rad na zadacima (rješenje možete preuzeti od nastavnika), ako ste upisali više od 15 bajtova - izradite kreativni zadatak na temu “Logaritamske nejednadžbe. ”.

Oni su u sredini logaritama.

primijeniti:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Kako odrediti logaritamske nejednakosti:

Ako je potrebna neka logaritamska nejednakost, potrebno ju je svesti na oblik \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (simbol \(˅\) znači što god) . Ova vrsta vam omogućuje da koristite logaritme i njihove podstanice, čineći prijelaz na nejednakost izraza pod logaritmima, zatim na oblik (f(x) ˅ g(x)).

Ali tijekom ovog prijelaza postoji jedna vrlo važna suptilnost:
\(-\) ako je broj i veći je od 1 - gubi se znak nervoze tijekom prijelaza pa
\(-\) ako je osnova broj veći od 0 ili manji od 1 (koji se nalazi između nule i jedan), tada se znak nejednakosti mora promijeniti u suprotan.

primijeniti:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(x<8\) Odluka: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Verzija: ((6; 8))

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\((((x+ 1 ))\) ODZ: \(\početak(slučajevi)2x-4>0\\x+1 > 0\kraj(slučajevi)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Lijevadesnastrelica\) \(x\in(2;\infty)\) Odluka: \(2x-4\)\(≤\) \(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Presuda: \((2;5]\)

Jako važno! Za bilo koju prijelaznu nejednakost u obliku \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) do razine izraza pod logaritmima, možete raditi upravo ovako:

stražnjica . Prekid veze: \(\log\)\(≤-1\)

Odluka:

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Vipišemo ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Razvijmo ruke, naciljajmo.
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Pomnožite nejednakost s \(-1\), ne zaboravite okrenuti znak jednakosti.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Cijela će stvar biti brojčana i značajna na svojim bodovima \(\frac(7)(3)\) í \(\frac(3)(2)\). Vrati poštovanje, poanta s transparenta je vykolota, nebitno onima da nejednakost nije loša stvar. Desno je da se ova točka neće riješiti, jer će nas pri zamjeni u nejednadžbu dovesti do točke nule.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Sada se ODZ primjenjuje na istu brojčanu vrijednost i intervali koji su izgubljeni u ODZ-u se zapisuju.
	Bilježimo preostale dokaze.

Predmet: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

stražnjica . Razina anksioznosti: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Odluka:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Vipišemo ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Idemo do vrha.
Rješenje: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Pred sobom imamo tipičnu kvadratno-logaritamsku neravninu. Robimo.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Raširimo lijevi dio nejednadžbe na.
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Sada se trebate okrenuti do izlazne točke - ix. Iz tog razloga, prijeđimo na ono što je samo rješenje i napravimo obrnutu zamjenu.
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Kreirajmo ponovno \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\lijevo[ \begin(sakupljeno) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Idemo dalje dok se argumenti ne izjednače. Zamijenite logaritme veće od \(1\) i predznak nejednakosti se ne mijenja.
\(\lijevo[ \begin(sakupljeno) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Razumijemo oslobađanje nejednakosti i ODZ-a na jednoj bebi.
	Zapišimo svjedočanstvo.

Predmet: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)