Integracija racionalnih razlomaka - metoda beznačajnih koeficijenata. Integracija racionalnih funkcija i metoda neznačajnih koeficijenata. Integracija shot-rational funkcije. Metoda beznačajnih koeficijenata

Za početak, pogledajmo teoriju, onda vjerojatno postoji nekoliko kundaka za osiguranje materijala iz raspodjele šut-racionalnih funkcija za zbroj najjednostavnijih razlomaka. Pogledajmo detalje metode sporedni koeficijenti і metode privatnih vrijednosti, kao i njihove kombinacije.

Najjednostavniji razlomci često se nazivaju elementarni razlomci.

Ovi su odvojeni vrste najjednostavnijih razlomaka:

gdje su A, M, N, a, p, q brojevi, a diskriminant predznaka u razlomcima je 3) i 4) manji od nule.

Zovu se razlomci prve, druge, treće i četvrte vrste.

Jeste li ikada poželjeli to postaviti na najjednostavniji način?

Napravimo matematičku analogiju. Često morate raditi jednostavne stvari poput ove kako biste mogli raditi stvari s njim. Dakle, os, manifestacija shot-racionalnih funkcija u obliku zbroja najjednostavnijih razlomaka, približno je ista. Koristi se za proširenje funkcija u statičke nizove, Laurentove redove i, naravno, za pronalaženje integrala.

Na primjer, važno je uzeti integral frakciono racionalne funkcije. Nakon proširenja funkcije integrala na najjednostavnije razlomke, sve se svodi na niz jednostavnih integrala

Također su integrirani u drugi odjeljak.

kundak.

Raširite kapu najjednostavnijim rječnikom.

Odluka.

Zatim se omjeri bogatih članova raščlanjuju na najjednostavnije frakcije, budući da je razina bogatog člana u brojevniku manja od razine bogatog člana u predznaku. U suprotnom, najprije polinom broja podijelite na polinom nazivnika, a zatim izvršite dekompoziciju točne razlomačke racionalne funkcije.

Vikonaemo ispod stovpchika (kut):

Pa, vidjet ću zadnji vic:

Na ovaj način ćemo postaviti najjednostavnije razlomke

Algoritam za metodu neznačajnih koeficijenata.

Prema Persheu, Stavili smo banner u višestruke.

Za našu guzicu sve je jednostavno - nosimo ih za ruke.


Na drugačiji način, kada je razlomak postavljen, izgleda kao zbroj najjednostavnijih razlomaka s beznačajni faktori.

Ovdje možete pogledati vrste izraza koje možete imati kod sebe.

Unatoč teoriji, u praksi je sve razumnije.

Kad dođe vrijeme, okreni se kundku. Razlomak se rastavlja u zbroj najjednostavnijih razlomaka prve i treće vrste s nevažnim koeficijentima A, B i C.


U trećem, uklonit ćemo zbroj najjednostavnijih razlomaka s nevažnim koeficijentima do konačnog predznaka i grupirati zbrojeve u numeričkom sustavu na istim razinama x.



Tada je počeo žar:


Kada se x promijeni od nule, ova se jednakost svodi na jednakost dvaju bogatih članova


A dva su polinoma jednaka ili različita ako su koeficijenti u istim koracima jednaki.

Na četvrtinu, Koeficijent je jednak na istim razinama x.

U ovom slučaju eliminiramo sustav linearnih jednadžbi algebre s beznačajnim koeficijentima kao da su nepoznati:


Pet, Vjerojatno je da će sustav jednakih biti eliminiran na bilo koji način (ako je potrebno, pogledajte članak) koji vam odgovara, naravno, koeficijent je nepoznat.


Po-Shosta, snimamo reportažu.

Budite ljubazni, ne budite lijeni, provjerite dokaze, odnesite raspakiranje u krevet.

Metoda beznačajnih koeficijenata Na univerzalan način, u trenutku postavljanja kadra na najjednostavniji način.

Lako je koristiti metodu privatnih vrijednosti, budući da je banner solidan linearni množitelj, pa izgleda slično

Pogledajmo kundak da pokažemo njegove prednosti.

kundak.

Raširite mrvicu najjednostavnije rečeno.

Odluka.

Dakle, budući da je razina bogatog člana u brojnom radniku niža od razine bogatog člana u znamenniku, tada nećemo imati priliku raditi na terenu. Prelazimo na postavljanje bannera u množitelje.

Za klip ih nosimo na rukama.

Znamo korijen kvadratnog trinoma (na primjer, prema Vietovoj teoremi):

Pa, kvadratni trinom može se napisati kao

Mogu vidjeti banner u budućnosti

Ovim se standardom konačni razlomak rastavlja u zbroj tri prosta razlomka prve vrste s nevažnim koeficijentima:

Zbroj se svodi na krajnji predznak, ali u broju u kojem krakovi nisu otvoreni i slično za A, B i C (u kojoj fazi postoji razlika od metode beznačajnih koeficijenata):

Na ovaj se način revnost odvijala:

I sada, kako bismo pronašli nevažne koeficijente, počinjemo uvoditi "osobne vrijednosti" u jednadžbu, kada vrijednost ide na nulu, tada x = 0, x = 2 i x = 3 za naš primjer.

Na x=0 maêmo:

Na x=2 maêmo:

Na x=3 maêmo:

Predmet:

Kao što vidite, značaj metode nepoznatih koeficijenata i metode privatnih koeficijenata manje je važan od metode pronalaženja nepoznatih. Ove metode mogu se koristiti za pojednostavljenje izračuna.

Pogledajmo kundak.

kundak.

Razvijte racionalni pogled do najjednostavnijih razlomaka.

Odluka.

Dakle, budući da je stupanj bogatog člana broja manji od stupnja bogatog člana nazivnika i nazivnika faktorizacije, tada se izlaz može predstaviti zbrojem najjednostavnijih razlomaka ovog oblika:

Pokazujemo na završni banner:

Ravnopravni smo drobiteljima brojeva.

Možete vidjeti da su nule znaka vrijednosti x=1, x=-1 i x=3. Vikoristova metoda privatnih vrijednosti.

Na x=1 maêmo:

Na x=-1 maêmo:

Na x=3 maêmo:

Izgubljena spoznaja nepoznatog

Za što zamjenjujemo pronađene vrijednosti u jednakost brojeva:

Nakon otvaranja krakova i donošenja sličnih dodataka na istim koracima x, dolazimo do jednakosti dva bogata člana:

Postoje jednaki koeficijenti na istim razinama, čime se stvara sustav usporedbi za pronalaženje nepoznanica. Uklonimo sustav s pet razina iz dvije nepoznanice:

S prve razine odmah je poznato, s druge razine

Rezultat se može rastaviti na najjednostavnije frakcije:

Bilješka.

Kad bismo se odmah odlučili za metodu beznačajnih koeficijenata, morali bismo stvoriti sustav od pet linearnih razina algebre s pet nepoznatih. Korištenje metode privatnih vrijednosti omogućilo je jednostavno saznanje vrijednosti tri nepoznate, što je značajno uklonilo odluku.

Volim vas sve, dragi moji prijatelji!

Pa, ja letim! Uspješno smo dobili glavni materijal u integriranim racionalnim razlomcima. metoda neznačajnih koeficijenata. Velik i moćan.) Što je izvor njegove veličine i moći? I tu leži njegova svestranost. Jako je zabavno znati, zar ne? Unaprijed, bit će nekoliko lekcija iz ovoga. Tema je vrlo dugačka, a gradivo vrlo važno.)

Odmah ću reći da se u današnjoj lekciji (i u budućnosti) nećemo toliko baviti integracijom kao... razotkrivanje sustava linearnih redova! Tako tako! Dakle, za one koji imaju problema sa sustavima, ponovite matrice, varijable i Cramerovu metodu. A za one drugove kojima je teško s matricama, pozivam barem da osvježite sjećanje na “školske” metode viših sustava - metodu supstitucije i metodu zbrajanja po članu/ uklanjanje.

Da započnemo naše upoznavanje, uzvratimo malo. Vratimo se brzo na prethodne lekcije i analizirajmo sve razlomke koje smo prethodno integrirali. Bez ikakve sredine, bez ikakve metode beznačajnih koeficijenata! Osovina smrada su razlomci. Razvrstao sam ih u tri grupe.

Grupa 1

Na transparentu - linearna funkcija bilo samostalno ili na koraku. Jednom riječju, barjaktar čvrsto stoji međutim, nitko od njih luk um (Ha).

Na primjer:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10) (x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5)(2x+5)(2x+5)

I tako dalje. Prije nego što progovorite, molim vas prestanite mlatiti rukama (4x+5) ili drugo (2x+5) 3 s koeficijentom k u sredini. Sve je to isto, po svojoj suštini, ruke uma (Ha). Bo tse isto k Od takvih lukova možete napraviti ime u budućnosti.

Os je ovakva:

Os je sve.) I nije važno s kojim brojem osoba stoji - samo je dx ili bogati član. Prvo smo položili knjigu brojeva iza stepenica luka (x-a), pretvorio mnogo u zbroj malih, donio (prema potrebi) ručku ispod diferencijala i integrirao.

Grupa 2

Što je tako dobro u ovim sačmaricama?

A najviši su oni koji stoje na svim transparentima kvadratni trinomsjekira 2 + bx+ c. Ale nije samo, već sam po sebi u jednom primjerku. Ovdje nije bitno je li nečija diskriminacija pozitivna ili negativna.

Takvi su se razlomci uvijek integrirali na jedan od dva načina - ili postavljanjem broja iza koraka natpisa, ili gledanjem novog kvadrata u natpisu s naknadnom zamjenom varijable. Sve leži pod određenom integralnom funkcijom.

Grupa 3

Oni su najprikladniji za integraciju udarca. Barjaktar ima nepreklopivi kvadratni trinom, također na koraku n. Bok, nazvat ću te opet, u jednom primjerku. Bo, osim trinoma, znak nema drugih množitelja. Takvi su razlomci integrirani za . Ili bez sredine, ili su dovedeni do nje nakon što su vidjeli novi kvadrat u transparentu i nadolazeću zamjenu promjenjivog.

No, nažalost, sva bogata raznolikost racionalnih razlomaka nije ograničena samo na ove tri skupine.

Zašto bih trebao stajati uz transparent? pokolj hramovi? Na primjer, nešto poput:

(x-1)(x+1)(x+2)

Ili u isto vrijeme luk (Ha)í kvadratni trinom, pa upišite (x-10) (x 2 -2x +17)? A u drugim sličnim situacijama? Osovi se u takvim situacijama i priskoči u pomoć metoda beznačajnih koeficijenata!

Odmah ću vam reći: nastavit ćemo dok ne budemo ispraviti razlomci. Timi, u nekim fazama numeracije postoji striktno niža razina od faze bannera. Yak buti s nepravilnim razlomcima, izvijestio o razlomcima. Potrebno je vidjeti cijeli dio (cijeli dio). Stavite malu hrpu čuvara brojeva na transparent ili rasporedite planove čuvara brojeva - kako želite. I kundak je uklonjen. I čini se da već integrirate bogati pojam na ovaj način. Ne budi mala, idi sada.) Alena nepravi razlomci Pogledaj samo svoju guzicu!

I sada se počinjemo upoznavati. Uz većinu naših prijatelja iz velike matematike, naše znanje je još uvijek ne suhoparna, ali važna teorija o temeljnom teoremu algebre, Bezoutovom teoremu, o rastavljanju racionalnog razlomka na zbroj najjednostavnijih (o ovim razlomcima gore). ) i druge zamornosti, i završimo s nezgrapnom guzicom .

Na primjer, moramo znati os ne-vrijednosti integrala:

Prvo pogledajte sastavni dio. Zastavonoša ima tri ruke:

(x-1)(x+3)(x+5)

Štoviše, sve ruke pokolj. Zato naša stara tehnologija postavljanja broja iza stepenica transparenta nikada neće funkcionirati: kako brojac može vidjeti pramac? (X-1)? (X +3)? Nije iznenađujuće... Vidjeti puni kvadrat u banneru također nije u blagajni: postoji bogati član treći korak (množenjem svih krakova). Što je to plašljivo?

Kad pogledate našu hranu, vidite da je to potpuno prirodna prehrana... Stvarno je previše! Iz našeg sjajnog udarca, koji ne ručno integrirati da biste stvorili tri mala. Volio bih da bude ovako:

Zašto vam treba ovakav šukati? A sve zbog činjenice da je u ovoj pojavi naš izlazni prijatelj već zgodan za integraciju! Sažmimo znak male frakcije kože i – naprijed.)

Kako se možete riješiti takvog nereda? Nova je dobra! Čini se da je jednostavan matematički teorem - to je moguće! Ovaj raspored dolazi kao jedan.

Postoji samo jedan problem: koeficijenti A, Uі Z mi Buwai ne znamo A sada će naši glavni zadaci biti njihovo označavanje. Saznajte zašto su naši pisci ravnopravni A, Uі Z. Znakovi i imena – metoda nevažno koeficijenti. Poskupimo našu Kazkovu!

Pa, imamo ljubomoru, pa počinjemo plesati:

Dovedimo sva tri desnoruka razlomka do konačnog znaka i spojimo ih zajedno:

Sada možete ljubazno baciti transparente (jer smrde) i izjednačiti brojeve. Sve je kao i obično

Zgazimo krokodil otvaramo sve krakove(koeficijenti A, Uі Z Buwai Bolje je otkazati poziv):

I sada (što je važno!) cijela naša konstrukcija je desnokretna prema seniorstvu koraka: od početka prikupljamo sve članove od x 2 zatim - samo od x i, odlučite vi, biramo sve članove. Zapravo, jednostavno uvodimo slične i grupne dodatke iza koraka X.

Os je ovakva:

A sada procijenimo rezultat. Zliva je naš najbogatiji član. Drugi svijet. Broj našeg integralnog razlomka. Desna ruka – tezh aktivni član druge razine. Ale z nepoznati koeficijenti. Ova ljubomora može biti pravedna kada sve važeće vrijednosti x. Ljevoruki i desnoruki razlomak bili su isti (naše pameti)! Tse znači da su njihove brojevima i (tada naši bogati članovi) također su isti. Pa koeficijenti na istim razinama ix Ovi bogati članovi odgovorni su za obvezno budi ljubomoran!

Počinjemo na najvišoj razini. 3 kvadrata. Nevjerojatno je za kakve se koeficijente moramo zalagati x 2 ljevoruk i dešnjak. Naš dešnjak vrijedi zbroj koeficijenata A+B+C, a ljevoruki je dvojka. Također, među nama ljudi više vole ljubomoru.

Snimljeno:

A+B+C = 2

E. Prva stvar je spremna.)

Zatim slijedimo putanju koja se smanjuje - u usporedbi s članovima s X u prvoj fazi. Desno s X stojimo 8A+4B+2C. Dobro. Zašto imamo lijevu ruku na X? Hm... Zlíva vzagalí níyakogo dodatku z íksom no! Postoje samo 2x2 – 3. Kako su? Stvarno jednostavno! To znači da imamo koeficijent za X-zlo Kao nula! Naš lijevi dio možemo napisati ovako:

Što? U pravu smo.) Evo, još jedan odnos izgleda ovako:

8 A+4 B+2 C = 0

Pa, praktično govoreći, to je sve. Izgubljeni ravnopravni članovi:

15A-5B-3C = -3

Jednom riječju, rangiranje koeficijenata na istim razinama od ix slijedi sljedeću shemu:

Sve tri naše ljubomore mogu doći kraju preko noći. Stoga iz našeg zapisanog sustava odabiremo:

Marljivom studentu nije najvažniji sustav – tri razine i tri nepoznanice. Vjerujte kako hoćete. Možete koristiti Cramerovu metodu kroz matrice s kovarijatama, možete koristiti Gaussovu metodu, možete koristiti izvornu školsku postavku.

Prvo, vjerujem u ovaj sustav na isti način na koji studenti kulture očekuju postojanje takvih sustava. I to Kramerovom metodom.

Rješenje počinje presavijenom matricom sustava. Dopustite mi da pogodim da je ova matrica samo presavijena tableta koeficijenti za nepoznato.

Os:

To ćemo unaprijed izračunati primarna matrica sustava. Abo, ukratko, šef sustava Ime je označeno grčkim slovom ∆ ("delta"):

Naravno, izvor sustava nije jednak nuli (-48≠0) . U teoriji linearnih sustava ova činjenica znači da je naš sustav koherentan i Postoji samo jedno rješenje.

Računajmo na sljedeći korak porijeklo nepoznatog ∆A, ∆B, ∆C. Pretpostavljam da ćemo iz ova tri člana izaći iz glavnog izvora sustava tako što ćemo članove s koeficijentima za određene nepoznate zamijeniti sa stotinjak članova.

Os se sastoji od simbola i važna je:

Ovdje neću objašnjavati tehniku ​​izračunavanja apoena trećeg reda. ne pitam. To je sve isto s obzirom na one.) Tko god je u temi, takvo razumijevanje onoga što se događa. I možda sam već pogodio kako ću izračunati ove tri primarne brojke.

Osovina je spremna.)

Pa neka kulturni studenti vladaju sustavom. Ale... Nisu svi studenti prijatelji sa svojim maturantima. Šteta je. Za bilo koga, jednostavno razumijevanje visoke matematike ponovno će biti lišeno kineske pismenosti i skrivenog čudovišta u magli.

Pa, posebno za takve nekulturne studente, podučavat ću primarnu metodu vrline - metoda sekvencijalnog isključivanja nevidljivih. Zapravo, ovo je "školska" metoda zamjene. Bit će još mrvica.) Ali bit je ista. Ugasit ću radio prije nego što to učinim Z. Za koga ću visjeti? Z Od prvog, zamijenit ću treći:

Recimo jednostavno, uvest ćemo sličnosti i ukloniti novi sustav, već sa dva nevidljiv:

Sada, ti novi sustav, također možete identificirati jednu od promjena kroz drugu. Svi najvažniji studenti možda žele poštovati izglede prije promjene B – rane od dekubitusa. Dva je minus dva. Oče, bit će ti vrlo lako presavijati svoju ljubomoru među sobom kako bi ti bilo teško promijeniti se U i uklonite samo slovo A.

Slažemo lijevi i desni dio, misli brzo 2Bі -2B a vjerojatno je i ljubomora više nego velikodušna A:

E. Prvi pronađeni koeficijent: A = -1/24.

Očito drugi koeficijent U. Na primjer, iz gornje regije:

Zvijezde su jasne:

čudesno. Pronađen je i drugi koeficijent: B = -15/8 . Još jedno slovo nedostaje Z. U tu svrhu najvažnija je ljubomora koja se izražava kroz Aі U:

Otje:

Pa, to je sve. Pronađen je nepoznati koeficijent! Svejedno je, kroz Cramera ili kroz zamjenu. Golovne, Pravo pronađeno.)

Pa, naša raspodjela velikih frakcija u vrećicu malih izgleda ovako:

I nemojte se ustrajati na uklanjanju koeficijenata šuta: ovaj postupak (metode beznačajnih koeficijenata) ima primarni učinak. :)

A sada je jako važno provjeriti jesu li naši koeficijenti bili točni. A, Bі Z. Dakle, odmah uzimamo crno i pogađamo osmi razred - zbrajamo natrag sva tri naša mala razlomka.

Čim odbacimo veliki blagoslov koji izlazi, sve je dobro. Ne - to znači, tuci me i traži milost.

Zagalny banner očito će biti 24(x-1)(x+3)(x+5).

Idemo:

Da! Izlaz je oduzet. Što je trebalo provjeriti. Sve je dobro. Zato me molim te nemoj tući.)

A sada se okrenimo našem izlaznom integralu. Nisam postao najlakši u ovom času, tako. Ale sad, ako se naš novac podijeli među mališanima, ova integracija je postala velika satisfakcija!

Divite se sami sebi! Umetnemo našu ekspanziju u izlazni integral.

Zanemarljivo:

Korumpiran autoritetima linearnosti, naš veliki integral se rastavlja na zbroj malih, sve konstante se prenose u predznake integrala.

Zanemarljivo:

A nakon uklanjanja tri mala integrala, već ih je lako uzeti. .

Nastavak integracije:

Os je sve.) I nema potrebe da me hranite u ovoj lekciji, rezultati vrste su uzeti u logaritmima! Tko pamti sve razumije. A tko se ne sjeća, uzalud hoda okolo. Ne stavljam ih tako lako.

Preostali dokazi:

Osovina je tako lijepa u troje: tri logaritma - lažni, blesav i glupan. :) Isprobajte i shvatite ovaj lukavi trik u hodu! Koristi se samo metoda nevažnih koeficijenata pa.) Stoga ovom metodom razumijemo. Što je sa zvijezdama?

U jakosti nadesno, potičem vas da prakticirate metodu i integrirate sljedeće:

Vježbajte pronalaženje integrala, ne brinite o tome! Mora se uzeti sljedeća izjava:

Metoda beznačajnih koeficijenata je moćna stvar. Vjerojatno će dovesti do bezizlazne situacije, ako promijenite stvari poput ove, i tako dalje. A glavna poanta ovdje je da neki poštovani čitatelji imaju vrlo nisku prehranu:

- Zašto bismo se bojali, jer barjaktar ima puno penisa i ne želi se razmnožavati?

- Kako trebate smisliti kako veliku racionalnu stavku rasporediti u male svote? Kako izgledaš? Zašto ovo, a ne ono?

- Zašto se truditi, budući da postavljeni banner ima višekratnike? Ili su krakovi u koracima poput (x-1) 2? Koji je redoslijed slaganja?

- Što trebamo učiniti ako se, uz jednostavne lukove uma (x-a), banner može istovremeno zamijeniti i nepreklopivim kvadratnim trinomom? Recimo x 2+4x+5? Koji je redoslijed slaganja?

Eto, došlo je vrijeme da shvatite teren, pustite noge da rastu. Lekcije koje slijede.)

MINISTARSTVO ZNANOSTI I ISTRAŽIVANJA REPUBLIKE BAŠKORSKOG STANA

Državna autonomna obrazovna ustanova Bashkir Architectural and Civil Engineering College

Khaliulin Askhat Adelzyanovich,

Baškirska matematička knjižnica

Visoka škola arhitekture i arhitekture

m.UFA

2014

Uvod ___________________________________________________________3

Poglavlje ja Teorijski aspekti Vykoristana metodi beznačajnih koeficijenata_________________________________________________4

Poglavlje II. Traga za rješavanjem problema od bogatih članova koristeći metodu beznačajnih koeficijenata _________________________________7

2.1. Rastavljanje polinoma na množitelje_____________________ 7

2.2. Postavke s parametrima_________________________________ 10

2.3. Rasplet redova_________________________________________________14

2.4. Funkcionalna razina_______________________________________19

Zaključak________________________________________________23

Popis Wikorista literature__________________________________________24

dopuniti ________________________________________________25

Ulazak

Ovaj rad posvećen je teorijskim i praktičnim aspektima uvođenja metode beznačajnih koeficijenata u školski kolegij matematike. O važnosti toga govore takve okolnosti.

Nitko se neće složiti s činjenicom da matematika kao znanost ne stoji na jednom mjestu, stalno se razvija, pojavljuju se novi zadaci napredno preklapanje Ono što često doziva je pjesma teškoće, čiji se fragmenti obično vežu uz istraživanja. Takvi zadaci uvijek su se demonstrirali na školskim, okružnim i republičkim matematičkim olimpijadama, a također i u EDI opcije. Stoga vam je potrebna posebna metoda koja vam omogućuje da neke od njih uklonite što je moguće brže, učinkovitije i jednostavnije. Ovaj rad se može koristiti umjesto metode nevažnih koeficijenata, koja se široko koristi u najvažnijim granama matematike, počevši od hrane koja je uključena u tečaj strane škole, pa do većine njenih dijelova. Zocrem, koji se temelji na metodi beznačajnih koeficijenata u najvišem redu s parametrima, šut-racionalnim i funkcionalnim razinama posebno je učinkovit i učinkovit; Oni lako mogu smetati svakome tko imalo drži do matematike. Glavni cilj metapredloženog rada i izrade zadatka je pružiti širok spektar mogućnosti za razjašnjavanje i razvijanje znanja o kratkim i nestandardnim rješenjima.

Ovo je djelo i dva poglavlja. U prvom se ispituju teorijski aspekti vikoristana

metoda beznačajnih koeficijenata, dok druga ima praktične i metodološke aspekte takvog proučavanja.

Osim toga, rad je osvijestio specifične zadatke samostalnog odlučivanja.

Poglavlje ja . Teorijski aspekti istraživanja metoda neznačajnih koeficijenata

“Lyudina... rođena je buti pan,

vladar, kralj prirode, poznat i kao mudrost,

Zbog čega sam ja dužan vladati, nije vam dano

"Vidovi naroda: zaradit će trešnje"

M.I.Lobačevskog

Postoje različiti načini i metode najvišeg reda, ali jedan od najjednostavnijih, najučinkovitijih, najoriginalnijih, sofisticiranih, a istovremeno jednostavnih i razumnih u svemu je metoda beznačajnih koeficijenata. Metoda beznačajnih koeficijenata je metoda kojom se pomoću matematike pronalaze koeficijenti izraza čiji je tip unaprijed poznat.

Prije svega, osvrnimo se na primjenu metode nevažnih koeficijenata do oslobađanja raznih zadataka, te ćemo iznijeti niz činjenica teorijske prirode.

Odajte počast,

A n (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ··· + a n-1 x + a n

B m (x ) = b 0 x m + b 1 x m -1 + b 2 x m -2 + ··· + b m-1 x + b m ,

bogat artikulacijama x s bilo kojim koeficijentima.

Teorema. Dva bogata člana koji leže pod jednim i isti argument, oni su također jednaki u ovom i samo u tom smislu, kaon = m i njihovi slični koeficijentia 0 = b 0 , a 1 = b 1 , a 2 = b 2 ,··· , a n -1 = b m -1 , a n = b m і T. d.

Očito, jednaki članovi se uzimaju za sva značenja x međutim, značenje je drugačije. I zapravo, značenja dva bogata pojma ostaju ista za sve vrijednosti x, onda ima mnogo članova jednaki, zatim njihovi koeficijenti na istim razinamax pobjeći.

Međutim, ideja o korištenju metode beznačajnih koeficijenata sada je na snazi.

Recimo da kao rezultat ovih transformacija nastaje novi izgled i da postoji nepoznati nedostatak koeficijenta u ovom izrazu. Ovi se koeficijenti smatraju piscima i promatraju se kao nepoznati. Zatim se na temelju tih nepoznanica formira sustav rangiranja.

Na primjer, u slučaju bogatih članova, jednakost se formira iz umova jednakosti koeficijenata na istim razinama. x dva jednaka člana imaju bogate zglobove.

Pokažimo što se govorilo u ofenzivi specifičnih kundaka, i krenimo od najjednostavnije stvari.

Tako npr. Na temelju teorijskih razlika

može se poslužiti na vyglyadí sumi

, de a , b і c - koeficijenti koji povećavaju značajnost. Da bismo ih znali, izjednačimo drugi izraz s prvim:

=

i dizanje s barjaka i okupljanje zlih članova s ​​istih koraka x, izostavljajući:

(a + b + c )x 2 + ( b - c )x - a = 2x 2 – 5 x– 1

Ostaci ljubomore mogu izgubiti svaki smisao x, zatim koeficijente u istim koracimax dešnjak i ljevoruk su isti. Na ovaj način postoje tri ranga za nominaciju tri nepoznata koeficijenta:

a+b+c = 2

b - c = - 5

A= 1 , zvijezde a = 1 , b = - 2 , c = 3

Otje,

=
,

pravednost ove jednakosti lako je pretjerano protumačiti.

Ne zaboravi ponovno saznati nešto o svojim prijateljima

uvid a + b
+ c
+ d
, de a , b , c і d- Nepoznati racionalni faktori. Izjednačimo drugi izraz s prvim:

a + b
+ c
+ d
=
ili drugo uzdižući se od znaka, vinju, moguće je, racionalne množitelje ispod znakova korijena i sugestivnih sličnih pojmova s ​​lijeve strane, očito:

(a- 2 b + 3 c ) + (- a+b +3 d )
+ (a+c - 2 d )
+

+ (b - c + d )
= 1 +
-
.

Međutim, takva je ljubomora povremeno moguća samo ako su jednaki među sobom racionalni i daju oba dijela s istim koeficijentima u prisutnosti novih radikala. Na ovaj način, čini se da traženje nepoznatih koeficijenata a , b , c і d :

a- 2b+ 3c = 1

- a+b +3 d = 1

a+c - 2 d = - 1

b - c + d= 0, zvjezdice a = 0 ; b = - ; c = 0 ; d= , tada
= -
+
.

poglavlje II. Potražite rješenja problema s bogatim pojmovima metoda neznačajnih koeficijenata.

“Ništa ne skriva stjecanje takvih predmeta.

kako se nositi s tim u raznim situacijama"

Akademik B.V. Gnedenko

2. 1. Rastavljanje polinoma na množitelje.

Metode dijeljenja više pojmova u višestruke:

1) vinesenya zagalnog množitelja za ruke; 2) metoda grupiranja; 3) stagnacija osnovnih formula množenja; 4) uvođenje dodatnih članova; 5) napredna transformacija ovog bogatog člana uz pomoć ovih i drugih formula; 6) raspored uz pomoć pronalaženja korijena ovog polinoma; 7) način prikupljanja parametara; 8) metoda beznačajnih koeficijenata.

Problem 1. Podijelite polinom na akcijske faktore x 4 + x 2 + 1 .

Odluka. Nema korijena među članovima slobodnog člana čijeg bogatog člana. Nemoguće je znati korijen bogatog člana pomoću drugih elementarnih metoda. Stoga je potrebno analizirati korijene ovog polinoma uz pomoć preliminarne pretrage korijena ovog polinoma. Problem je nemoguće riješiti niti metodom prijenosa dodatnih članova niti metodom nevažnih koeficijenata. Očito x 4 + x 2 + 1 = x 4 + x 3 + x 2 - x 3 - x 2 - x + x 2 + x + 1 =

= x 2 (x 2 + x + 1) - x (x 2 + x + 1) + x 2 + x + 1 =

= (x 2 + x + 1)(x 2 - x + 1).

Kvadratni trinomi nemaju korijene, pa se ne mogu rastaviti na funkcionalne linearne množitelje.

Način primjene je tehnički jednostavan, ali važan zbog svoje jedinstvenosti. Doista, vrlo je važno pronaći potrebne dodatne članove. Jedino što nam pomaže da znamo je raspored. Pivo

Otkriti najpouzdanije načine za postizanje takvih zadataka.

Mogli biste se ponašati ovako: pretpostavite da se ovaj bogati član odvija u vašem tijelu

(x 2 + A x + b )(x 2 + c x + d )

dva kvadratna trinoma s cijelim koeficijentima.

Na takav način, matimemo, scho

x 4 + x 2 + 1 = (x 2 + A x + b )(x 2 + c x + d )

Koeficijent gubitka značajnostia , b , c і d .

Nakon množenja mnogih članova koji stoje s desne strane preostale jednakosti, možemo eliminirati:x 4 + x 2 + 1 = x 4 +

+ (a + c ) x 3 + (b + A c + d ) x 2 + (oglas + prije Krista ) x + bd .

Međutim, potreban nam je desni dio ovog žara da se transformiramo u tako bogatog člana kao što stoji s lijevim dijelom, što je najvjerojatnije osvajanje umovi koji napreduju:

a + c = 0

b + A c + d = 1

oglas + prije Krista = 0

bd = 1 .

Sustav od četiri razine proizašao je iz mnogih nepoznanicaa , b , c і d . Lako je znati cijenu sustava koeficijenataa = 1 , b = 1 , c = -1 і d = 1.

Sada je misterij u punom zamahu. Odveli su nas:

x 4 + x 2 + 1 = (x 2 + x + 1)(x 2 - x + 1).

Zadatak 2. Rastaviti polinom na akcijske faktore x 3 – 6 x 2 + 14 x – 15 .

Odluka. Zamislimo ovaj bogati pojam u očima

x 3 – 6 x 2 + 14 x – 15 = (x + A )(x 2 + bx + c), de a , b і h - koeficijenti još nisu određeni. Dakle, kao što su dva bogata člana također jednaka i jednaka samo ako imaju koeficijente na istim razinamax jednaki, tada su jednaki koeficijenti u skladu sx 2 , x i slobodnih članova, odbacujemo sustav tri jednaka od tri nepoznata:

a+b= - 6

ab + c = 14

ak = - 15 .

U rješavanju ovog sustava važno je reći da je broj 3 (djelitelj desnog člana) korijen ovo rivalstvo, i dobro,a = - 3 ,

b = - 3 і h = 5 .

Todi x 3 – 6 x 2 + 14 x – 15 = (x – 3)(x 2 – 3 x + 5).

Stagnacija metode beznačajnih koeficijenata je izjednačena dodavanjem metode uvođenja dodatnih članova, da ne stavljamo ništa umjetno, ali je to zbog stagnacije mnogih teorijskih pozicija i popraćeno velikim tablicama. Za bogate članove više razine ova metoda nevažnih koeficijenata dovodi do glomaznih sustava rangiranja.

2.2.Zadaci s parametrima.

Preostale sudbine EDI epizoda su demonstracija poznavanja parametara. Njihova rješenja često kliču pjesmom poteškoća. Ako su parametri navedeni istim redoslijedom kao i druge metode, metoda beznačajnih koeficijenata može se učinkovito koristiti. Sama ova metoda omogućuje vam da uvelike pojednostavite svoje ideje i brzo uklonite dokaze.

Postavka 3. Odredite vrijednost parametra A razina 2 x 3 – 3 x 2 – 36 x + A - 3 = 0 postoje točno dva korijena.

Odluka. 1 način Idi po pomoć.

Zamislimo ceremoniju u smislu dvije funkcije

2x 3 – 3 x 2 – 36 x – 3 = – A .

f (x) = 2x 3 – 3 x 2 – 36 x– 3 ta φ( x ) = – A .

Slijedite funkcijuf (x) = 2x 3 – 3 x 2 – 36 x – 3 Za dodatnu pomoć, pogledajmo dijagram shematski (slika 1).

f( – x )f (x ) , f (– x ) – f (x ). Funkcija nije ni uparena ni neuparena.

3. Poznajemo kritične točke funkcije, intervale rasta i opadanja te ekstreme. f / (x ) = 6 x 2 – 6 x – 36. D (f / ) = R Stoga se sve kritične točke funkcije mogu pronaći usporedbom f / (x ) = 0 .

6(x 2 – x– 6) = 0 ,

x 2 – x– 6 = 0 ,

x 1 = 3 , x 2 = - 2 za teorem, teorem vrata Vieta.

f / (x ) = 6(x – 3)(x + 2).

+ max - min +

2 3 x

f / (x) > 0 za sve x< – 2 ta x > 3 i funkcija je kontinuirana u točkamax =– 2 ta x = 3, tada koža raste između razmaka (- ; - 2] í [3; ).

f / (x ) < 0 na - 2 < x< 3, tada će se promijeniti u interval [- 2; 3 ].

x = - 2 mrlje maksimalno, jer U ovom trenutku znak marširanja se mijenja s"+" do "-".

f (-2) = 2 · (- 8) - 3 · 4 - 36 · (- 2) - 3 = - 16 - 12 + 72 - 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3. točka je minimum, pa se u ovoj točki mijenja znak marša"-" do "+".

f (3) = 2 27 - 3 9 - 36 3 - 3 = 54 - 27 - 108 - 3 = - 138 + +54 = - 84.

Graf funkcije φ(x ) = – A ê ravna linija, paralelna s apscisnom osi í kroz točku s koordinatama (0; – A ). Grafikoni pokazuju dvije kutne točke na –A= 41, dakle. a =– 41 ta – A= - 84, dakle. A = 84 .

na

41φ( x)

2 3 x

3 f ( x ) = 2x 3 – 3 x 2 – 36 x – 3

2 način. metodom neznačajnih koeficijenata.

Fragmenti iza uma biljke i ljubomore su krivi za majku manje od dva korijena, onda očito kraj ljubomore:

2x 3 – 3 x 2 – 36 x + A – 3 = (x + b ) 2 (2 x + c ) ,

2x 3 – 3 x 2 – 36 x + A – 3 = 2 x 3 + (4 b + c ) x 2 + (2 b 2 + +2 prije Krista ) x + b 2 c ,

Sada jednaki koeficijenti za nove korake x, poništavamo sustav razina

4 b + c = - 3

2b 2 + 2bc = - 36

b 2 c = a – 3 .

Iz prve dvije razine sustava znamob 2 + b – 6 = 0, zvjezdice b 1 = - 3 ili b 2 = 2. Sekundarne vrijednostih 1 ta h 2 lako znati s prve razine sustava:h 1 = 9 ili h 2 = -11. Preostale potrebne vrijednosti parametara mogu se izračunati iz preostalog stanja sustava:

A = b 2 c + 3 , a 1 = - 41 ili a 2 = 84.

Dokaz: ova utakmica je točno dvije različite

korijen na A= - 41 ta A= 84 .

Zadatak 4. Odredite najveću vrijednost parametraA , u slučaju ljubomorex 3 + 5 x 2 + Oh + b = 0

Sa svim koeficijentima postoje tri različita korijena, od kojih je jedan povezan s 2.

Odluka. 1 način Nakon što je zamijenio x= - 2 na lijevoj strani je jednako, može se ukloniti

8 + 20 – 2 A + b= 0, tada, b = 2 a – 12 .

Fragmenti broja su 2 i korijen, možete dodati množitelj x + 2:

x 3 + 5 x 2 + Oh + b = x 3 + 2 x 2 + 3 x 2 + Oh + (2 a – 12) =

= x 2 (x + 2) + 3 x (x + 2) – 6 x + Oh + (2 a – 12) =

= x 2 (x + 2) + 3 x (x + 2) + (a – 6)(x +2) - 2(a – 6)+ (2 a – 12) =

= (x + 2)(x 2 + 3 x + (a – 6) ) .

Iza kupatila nalaze se još dva korijena vinove loze. Pa, diskriminant drugog množitelja je pozitivan.

D =3 2 - 4 (a – 6) = 33 – 4 a > 0, dakle A < 8,25 .

Mislio sam da ću potvrditi a = 8 . Također, prilikom zamjene broja 8 uklanja se jednadžba:

x 3 + 5 x 2 + Oh + b = x 3 + 5 x 2 + 8 x + 4 = (x + 2)(x 2 + 3 x + 2 ) =

= (x + 1) (x + 2) 2 ,

Tada loza ima samo dva različita korijena. A os na a = 7 Lako je izvaditi tri različita korijena.

2 način. Metoda beznačajnih koeficijenata.

Je li to ljubomora? x 3 + 5 x 2 + Oh + b = 0 Svibanj korijen x = - 2, tada možete ponovno mijenjati brojevec і d dakle, za svex postojala je istinska ljubomora

x 3 + 5 x 2 + Oh + b = (x + 2)(x 2 + h x + d ).

Da nađem brojevec і d Otvaramo krakove s desne strane, pomičemo slične članove i uklanjamo ih

x 3 + 5 x 2 + Oh + b = x 3 + (2 + h ) x 2 +(2 z + d ) x + 2 d

Ekvivalentni koeficijenti u različitim fazama x koristimo sustav

2 + h = 5

2 h + d = a

2 d = b , zvijezde z = 3 .

Otje, x 2 + 3 x + d = 0 , D = 9 – 4 d > 0 ili

d < 2.25 , Otje d (- ; 2 ].

Um je zadovoljan značenjem d = 1 . Preostala vrijednost parametraA = 7.

Predmet: kada a = Sedmog dana postoje tri podjele korijena.

2.3. Oslobađanje redova.

“Zapamtite da ste najmanje blago na svijetu vi

pripremite se za najveće veliko i praktično

Brojčano su nadjačani."

Akademik S.L. Sobolev

Najvišom razinom aktivnosti moguće je i potrebno otkriti konzistenciju i osjetljivost vina te uspostaviti posebne tehnike. Koristeći različite tehnike za transformaciju i izvođenje logičkih izračuna, matematika je od velike važnosti. Jedan od tih trikova je dodavanje i uklanjanje radnji na temelju broja odabira. Činjenica je, naravno, svima dobro poznata - glavna poteškoća leži u činjenici da su u konkretnoj konfiguraciji te transformacije lake i potpuno krute.

Koristeći jednostavnu algebru, ilustriramo jednu nestandardnu ​​metodu za rješavanje jednadžbi.

Zadatak 5. Oslobodite ljubomoru

=
.

Odluka. Pomnožite uvredljive dijelove ove jednadžbe s 5 i prepišite je ovako

= 0 ; x 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 ili
= 0

Skidanje cijene, uglavnom metodom beznačajnih koeficijenata

x 4 - x 3 –7 x – 3 = (x 2 + ah + b )(x 2 + cx + d ) = 0

x 4 - x 3 –7 x – 3 = x 4 + (a + c ) x 3 + (b + A c + d ) x 2 + (oglas + prije Krista ) x+ + bd

Jednaki koeficijenti za x 3 , x 2 , x i slobodnih članova, odbijamo sustav

a + c = -1

b + A c + d = 0

oglas + prije Krista = -7

bd = -3 , poznate su zvijezde:A = -2 ; b = - 1 ;

h = 1 ; d = 3 .

Otje x 4 - x 3 –7x– 3 = (x 2 – 2 x – 1)(x 2 + x + 3) = 0 ,

x 2 – 2 x- 1 = 0 ili x 2 + x + 3 = 0

x 1,2 =
Nema korijena.

Slično mom

x 4 – 12x – 5 = (x 2 – 2 x – 1)(x 2 + 2x + 5) = 0 ,

zvijezde x 2 + 2 x + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

Predmet: x 1,2 =

Zadatak 6. Oslobodite ljubomoru

= 10.

Odluka. Za savršeno poravnanje potrebno je odabrati brojeveAі b na takav način da su brojevi obaju razlomaka bili isti. Pa, upotrijebimo sustav:

= 0 , x 0; -1 ; -

= - 10

Dakle, zadatak je odabrati brojeveAі b , za koga je revnost u pitanju

(a + 6) x 2 + ah – 5 = x 2 + (5 + 2 b ) x + b

Sada, temeljem teorema o jednakosti bogatih članova, potrebno je da se desni dio te jednakosti transformira u isti bogati član kao i lijevi dio.

Inače bi se moglo činiti da je vezi kraj

a + 6 = 1

A = 5 + 2 b

– 5 = b Znakovi imaju poznata značenjaA = - 5 ;

b = - 5 .

Kod ovih vrijednostiAі b ljubomora A + b = - 10 samo čujno.

= 0 , x 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(x 2 – 5x– 5)(x 2 + 3x + 1) = 0 ,

x 2 – 5x- 5 = 0 ili x 2 + 3x + 1 = 0 ,

x 1,2 =
, x 3,4 =

Predmet: x 1,2 =
, x 3,4 =

Zadatak 7. Oslobodite ljubomoru

= 4

Odluka. Ovaj red je presavijeniji od onih ispred i stoga je grupiran na takav način da x 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

Iz uma jednakosti dvaju bogatih članova

Oh 2 + (a + 6) x + 12 = x 2 + (b + 11) x – 3 b ,

Ukida se sustav stručnog ocjenjivanja i gotovo nepoznati koeficijentiAі b :

A = 1

a + 6 = b + 11

12 = – 3 b , zvijezde a = 1 , b = - 4 .

Bogate artikulacije - 3 - 6x + cx 2 + 8 cxі x 2 + 21 + 12 d – dx Jedan je jednak jednom te istom, ako

h = 1

8 sa - 6 = - d

3 = 21 + 12 d , h = 1 , d = - 2 .

Kod vrijednostia = 1 , b = - 4 , h = 1 , d = - 2

ljubomora
= - 4 je točno.

Kao rezultat toga, ova ljubomora poprima uvredljiv izgled:

= 0 ili
= 0 ili
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

Iz gornjih primjera jasno je da umjesto metode beznačajnih koeficijenata,

pomaže pojednostaviti odvezivanje presavijenog, nepretencioznog užeta.

2.4. Funkcionalna razina.

“Veća važnost matematike... se razvija

kako bi poznavali i naručivali postupke

haos koji nas tjera"

N.Viner

Funkcionalni činovi su još niža klasa činova koji imaju određenu funkciju. Pod funkcionalnim jednakostima riječ uskog značenja podrazumijeva jednakosti, u kojima su funkcije povezane s poznatim funkcijama jedne ili više promjena za dodatnu operaciju koju treba svladati funkcija preklapanja. Funkcionalna ljubomora također se može promatrati kao oblik moći koji karakterizira drugu klasu funkcija

[na primjer, funkcionalna razina f ( x ) = f (- x ) karakterizira klasu uparenih funkcija, funkcionalnu razinuf (x + 1) = f (x ) - klasa funkcija koje izvode period 1, itd.].

Jedna od najjednostavnijih funkcionalnih razina je razinaf (x + g ) = f (x ) + f (g ). Naziru se kontinuirana rješenja ove funkcionalne razine

f (x ) = Cx . Međutim, klasa različitih funkcija ima različita rješenja. Pogledajmo funkcionalne razine povezane s

f (x + g ) = f (x ) · f (g ), f (x g ) = f (x ) + f (g ), f (x g ) = f (x )· f (g ),

stalne odluke koje se jasno naziru

e cx , Wulx , x α (x > 0).

Stoga ove funkcionalne jednadžbe mogu poslužiti za izračun prikaznih, logaritamskih i statičkih funkcija.

Najveća ekspanzija nastala je u funkcijama preklapanja koje su potrebne vanjske funkcije. Teoretski praktična zastosuvannya

Upravo su ti isti ljudi gurnuli eminentne matematičare na rub smrti.

Tako na primjer, na Rivnanja

f 2 (x) = f (x - g)· f (x + g)

M.I.Lobačevskogvikorystvovaya koliko je paralelizma u njegovoj geometriji.

Na kraju, sudbina zadatka, povezana s oslobađanjem funkcionalnih razina, često se pokazuje na matematičkim olimpijadama. Njihova odluka ne zahtijeva znanje koje izlazi iz okvira matematičkih programa. tamno osvijetljene škole. Međutim, raspetljavanje funkcionalnih razina često uzrokuje poteškoće.

Jedan od načina pronalaska rješenja funkcionalnih razina je metoda neznačajnih koeficijenata. Yogo se može zastosovat onda, ako za izvana gledajući unutra ljubomora može biti značajna Zagalny Viglyadželjenu funkciju. Puno je frke, prvi za sve, do ovakvih ispada, ako se ljubomora pusti nakon šala usred kojekakvih racionalnih funkcija.

Pogledajmo bit ovog prihvaćanja, koje se čini takvom nesrećom.

Zadatak 8. Funkcijaf (x ) dodjeljuje se svim aktivnim članovima i svi su zadovoljnix R um

3 f(x) - 2 f(1- x) = x 2 .

Pronaćif (x ).

Odluka. Dakle, lijeva strana ove jednadžbe ima neovisnu promjenjivu funkcijuf Ako se dodaju linearne operacije, a desni dio je kvadratna funkcija, onda je prirodno pretpostaviti da je tražena funkcija također kvadratna:

f (x) = sjekira 2 + bx + c , dea, b, c - Koeficijenti koji povećavaju značajnost su beznačajni koeficijenti.

Uvođenjem funkcije izjednačavanja dolazimo do jednakosti:

3(sjekira 2 + bx+c) – 2(a(1 – x) 2 + b(1 – x) + c) = x 2 .

sjekira 2 + (5 b + 4 a) x + (c – 2 a – 2 b) = x 2 .

Dva bogata člana bit će jednaki kao jednaki

koeficijenti u istim fazama promjene:

a = 1

5b + 4a = 0

c– 2 a – 2 b = 0.

Iz cijene sustava znamo koeficijente

a = 1 , b = - , c = , takođerzadovoljavarevnost

3 f (x ) - 2 f (1- x ) = x 2 na velikom broju svih aktivnih brojeva. Zašto zvuči ovako?x 0 Zadatak 9. Funkcijay =f(x) za svakoga je značajan, neprekinut i zadovoljava umf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x . Pronađite ove dvije funkcije.

Odluka. Iznad funkcije koja se traži povezuju se dvije akcije - rad presavijene funkcije i

vidnímannya. Doktori, budući da je desni dio linearna funkcija, prirodno pretpostavljaju da je tražena funkcija također linearna:f(x) = ah +b , deA іb - Nepoznati koeficijent. Zamijenivši ovu funkciju uf (f ( (x ) = - x - 1 ;

f 2 (x ) = 2 x+ koja su rješenja na funkcionalnoj razinif (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x .

Visnovok.

Potrebno je napomenuti da je ovaj robot izuzetno podložan daljnjem razvoju originala učinkovita metoda rješavanje raznovrsnih matematičkih zadataka, koji uključuju složene zadatke i zahtijevaju temeljito poznavanje školskog predmeta matematike i visoku logičku kulturu.

U radu se, u okviru redovnog školskog programa iu obliku dostupnom za učinkovitu primjenu, nalazi metoda beznačajnih koeficijenata, čime se smanjuje nejasnoća školskog kolegija matematike.

Naravno, sve mogućnosti metode beznačajnih koeficijenata ne mogu se pokazati u jednom radu. Zapravo, metoda će tek zahtijevati daljnji razvoj i istraživanje.

Wikilist popis literature.

Glazer G.I.. Povijest matematike u školi.-M.: Prosvitnitstvo, 1983.

Gomonov S.A. Funkcionalne razine u školskom kolegiju matematike // Matematika u školi. - 2000. -№10 .

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.H.. Priručnik za matematiku. - M.: Nauka, 1972.

Kurosh A.G. Algebarska razina više koraka.-M.: Nauka, 1983.

Likhtarnikov L.M.. Elementarni uvod u funkcionalne razine. - St. Petersburg. : Lan, 1997. (monografija).

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G.. Tlumachny Dictionary of Mathematical Terms.-M.: Prosvitnitstvo, 1971

Modenov V.P.. Vodič za matematiku. Dio 1.-M.: MDU, 1977.

Modenov V.P.. Upravljanje parametrima.-M .: Ispit, 2006.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I.. Algebra i analiza elementarnih funkcija. - M.: Nauka, 1980.

Khaliullin A.A.. Možete to učiniti jednostavnijim // Matematika u školi. – 2003 . - №8 .

Khaliulin.

4. Raširite bogati član 2x 4 – 5x 3 + 9x 2 – 5x+ 3 na množitelje sa svim koeficijentima.

5. Kad god je značajno A x 3 + 6x 2 + Oh+ 12 po x+ 4 ?

6. Za bilo koju vrijednost parametraA Rivnanjax 3 +5 x 2 + + Oh + b = 0 sa svim koeficijentima postoje dva različita korijena od kojih je jedan povezan s 1 ?

7. Srednji korijeni bogatog člana x 4 + x 3 – 18x 2 + Oh + b s cijelim izgledima postoje tri jednaka cijela broja. Pronađite smisao b .

8. Pronađite najveću vrijednost parametra A, u slučaju ljubomore x 3 – 8x 2 + ah +b = 0 sa svim koeficijentima postoje tri različita korijena, od kojih je jedan povezan s 2.

9. Za bilo kakva značenja Aі b pristaje bez viška poruba x 4 + 3x 3 – 2x 2 + Oh + b na x 2 – 3x + 2 ?

10. Podijelite mnoge pojmove u množitelje:

A)x 4 + 2 x 2 – x + 2 V)x 4 – 4x 3 +9x 2 –8x + 5 d)x 4 + 12x – 5

b)x 4 + 3x 2 + 2x + 3 G)x 4 – 3x –2 e)x 4 – 7x 2 + 1 .

11. Oslobodite ljubomoru:

A)
= 2 = 2 f (1 – x ) = x 2 .

Pronaći f (x) .

13. Funkcija na= f (x) pred svima x značajan, neprekinut i zadovoljava um f ( f (x)) = f (x) + X. Pronađite ove dvije funkcije.

Ljubomora (ja) jednako je istovjetnost. Ukalemljivanjem u cjelinu, jednakost dvaju bogatih članova je eliminirana. Međutim, takvoj ljubomori uvijek će doći kraj u glavama članova ovih bogatih članova.

Jednaki koeficijenti na istim razinama, koji stoje s lijeve i desne strane jednakosti, eliminiraju sustav linearnih jednakosti nepoznatih koeficijenata, kao rezultat rastavljanja.

Fragmenti rasporeda (I) uvijek će biti potrebni za bilo koji točan racionalni razlomak, tada će sustav biti potpuno pokvaren.

Ova metoda određivanja koeficijenata naziva se metoda beznačajnih koeficijenata (metoda izjednačavanja koeficijenata).

Pogledajmo primjenu racionalnih funkcija elementarnih razlomaka.

Kundak 6.6.27. Rasporedite sastojke na elementarne.

Preostala ljubomora usporediva je s drugom

Na takav način
.

x=2 ;

x=3 .

slajd; .

Metoda privatnih vrijednosti rezultira manjim troškovima i zaslužuje posebnu pozornost pri integraciji racionalnih razlomaka.

Ako korijen predznaka više nije učinkovit, tada se identifikacija nepoznatih koeficijenata mora u potpunosti odrediti na ovaj način.

U drugim slučajevima možete kombinirati dvije metode za identificiranje nepoznatih koeficijenata.

Poštovanje. p align = "justify"> Metoda privatnih vrijednosti ističe se čak i ako postoje druge razlike, ali ovdje je potrebna istovjetnost razlikovanja.

Dakle, za integraciju ispravnih racionalnih razlomaka, dovoljno je primijetiti:

1) integrirati elementarne razlomke;

2) proširiti racionalne razlomke na elementarne.

3. Integracija racionalnih razlomaka

Shema za integriranje racionalnih razlomaka:

Za integraciju racionalnih razlomaka ;

Gdje su P(x) i Q(x) bogati članovi s aktivnim koeficijentima, tako da se mogu povući tri retka u nizu.

Prvi krokodil. Ako je razlomak netočan, tada je stupanj broja P(x) veći ili niži stupanj nazivnika Q(x), vidi se cijeli dio racionalnog razlomka, dijeleći broj nazivnikom prema pravilu dijeljenja bogatog izraza bogatim izrazom. Nakon ove racionalne rasprave, možete napraviti bilješke u svom pogledu:

1) vidljivi cijeli dio - polinom M(x);

2) ispravan dodatni udarac :

Još jedan krokodil.

Ispravite overkill dribling rastaviti na takve frakcije.

Da biste to učinili, pronađite korijene jednadžbe Q(x) = 0 i rastavite znak Q(x) na množitelje prvog i drugog stupnja s aktivnim koeficijentima:

U ovom rasporedu, množitelji 1. stupnja odgovaraju aktivnim korijenima, a množitelji 2. stupnja odgovaraju paralelnom korijenu.

Koeficijent za veći korak x u predznaku Q(x) jednak je 1, što se postiže dijeljenjem P(x) i Q(x).

Nakon toga se ispravan eksces rastavlja na najjednostavniji (elementarni).

Treći put. Nađite integrale viđenih cijelih dijelova i svih elementarnih razlomaka (koristeći gore navedene metode), koji se zatim zbrajaju.

Stražnjica6.6.28.

Ispod predznaka integrala nalazi se netočan racionalni razlomak, jer je razina brojnika ista kao i razina označitelja, pa vidimo cijeli dio.