Kako shvatiti trigonometriju. Trigonometrijske jednadžbe. Osnovne metode razdvajanja. možete naučiti o funkcijama i srodnim

primijeniti:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Kako izračunati trigonometrijske jednadžbe:

Ako postoji trigonometrijska jednadžba, potrebno je ograničiti informacije na jednu od sljedećih vrsta:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

de \(t\) - viraz z íksom, \(a\) - broj. Takve trigonometrijske jednadžbe nazivaju se na najjednostavniji način. Lako ih je pratiti pomoću () ili posebnih formula:

Infografike o jednostavnim rješenjima trigonometrijske razine divite se ovdje: , i .

kundak . Odvojite trigonometrijski omjer \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Odluka:

Predmet: \(\lijevo[ \begin(sakupljeno)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(sakupljeno)\desno.\) \(k, n∈Z\)

Što simbol kože znači u formuli korijena trigonometrijskih jednakosti, divite se .

Poštovanje! Rivnyannya \(\sin⁡x=a\) i \(\cos⁡x=a\) ne donose odluku jer \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Jer sinus i kosinus za bilo koji x veći ili jednak \(-1\) i manji ili jednak \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

kundak . Rasplet \(\cos⁡x=-1,1).
Odluka: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Vídpovid : Nema rješenja.

kundak . Odvojite trigonometrijski omjer tg\(⁡x=1\).
Odluka:

Jako smo ljubomorni na dodatni brojčani ulog. Za koga: 1) Ostanimo u blizini) 2) Natjerat ćemo osi (x) i (y) i sve tangente (da prolaze kroz točku ((0; 1)) paralelno s osi (y)). 3) Na tangentnoj osi značajna je točka (1). 4) Identificiramo ovu točku i koordinate – ravna linija. 5) Značajno točke mreže ravne linije i numerički ulog. 6) Napiši značenje ovih točaka: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) Zapišimo sve bitne točke. Fragmenti smrada nalaze se jedan po jedan točno u \(π\), tada se sve vrijednosti mogu napisati jednom formulom:

Predmet: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

kundak . Otkrijte trigonometrijski omjer \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Odluka:

Opet ubrzavamo brojčano prebrojavanje. 1) Pogledajmo osi (x) i (y). 2) Na kosinusnoj osi (sve \(x\)) značajno \(0\). 3) Povucite okomicu na kosinusnu os kroz točku qi. 4) Značajno usmjerite prečku okomice na kolac. 5) Potpišite značenje ovih točaka: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) Zapišemo sve značajne točke i izjednačimo ih s kosinusom (točkom u sredini kosinusa). \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Kao i uvijek u redovima, izražava se (x). Ne zaboravite staviti do brojeva z (π), isto do (1), (2), (frac(1) (4)) itd. Ovo su isti brojevi kao i ostali. Očajna brojčana diskriminacija! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Predmet: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Svođenje trigonometrijskih jednadžbi na najjednostavnije - zadatak je kreativniji, ovdje je potrebno koristiti posebne metode za razdvajanje jednadžbi:
- Metoda (najpopularnija u EDI).
- Metoda.
- metoda dodatnih argumenata.

Pogledajmo kraj razotkrivanja kvadratne trigonometrijske jednadžbe

kundak . Odvojite trigonometrijski omjer \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Odluka:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Zamijenimo \(t=\cos⁡x).
	Naša se ljubomora promijenila u tipičnu. Možete pozvati pomoć.
\(D=25-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Napravit ćemo brzu zamjenu.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Prvo, ljubomora se temelji na numeričkom udjelu. Drugog rješenja nema jer... \(\cos⁡x∈[-1;1]\) i dvije osobe ne mogu biti jednake ni iz kojeg razloga.
	Zapišimo sve brojeve koji leže u tim točkama.

Predmet: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Sučeljena veza trigonometrijske usporedbe s dodatnim ispitivanjima ODZ:

Guza (ÊDÍ) . Razotkriti trigonometrijsko izjednačenje \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	I razliku i kotangens - također trebate zapisati. Dopustite mi da pogodim da je kotangens zapravo drib: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Prema tome, ODZ za ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0).
ODZ: ctg (x 0); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k, n∈Z\)	Značajno "neriješeno" na brojčanom broju.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Uklonimo ljubomoru s bannera množenjem sa ctg (x). Možemo to učiniti, fragmenti su napisani preciznije, pa ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Sažmimo formulu za sinus: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Čim su vam ruke ispružene da podijelite kosinusom - nasmiješite im se! Možete dijeliti s varijablom, jer ona definitivno nije jednaka nuli (na primjer, ovako: \(x^2+1,5^x\)). Natomistička vina \(\cos⁡x\) za ruke.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	"Podijelite" razinu za dvoje.
\(\cos⁡x=0); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Prvo, ljubomora s oslobađanjem uz pomoć brojčanog uloga. Druga se jednadžba dijeli s \(2\) i prenosi na \(\sin⁡x\) u desni dio.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Korinnya, pokazalo se da ne ulazi do ODZ-a. Stoga ih nećemo zapisivati. Druga vrsta ljubomore. Podijelite to na \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) ne možemo donositi odluke na temelju onoga što je u ovom slučaju \(\cos⁡x=1\) ili \(\cos⁡ x = -1 \)).
	zovem vikoristakolo.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Ovo ne isključuje ODZ, tako da ga možete zapisati na kraju.

Predmet: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Trigonometrijske jednadžbe nisu jednostavna tema. Smrad mora biti toliko različit.) Na primjer, ovo:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

I jos slicno...

Ali u ovim (i svim ostalim) trigonometrijskim čudovištima postoje dva doslovna i obvezujuća znaka. Prvo - nećete vjerovati - u jednadžbama postoje trigonometrijske funkcije. Ostalo: svi izrazi su sa X usred ovih funkcija. I tamo! Kako da se pojavim ovdje? poziv, na primjer, sin2x + 3x = 3, Ovo će već biti ljubomorno na mješoviti tip. Takva će predanost zahtijevati individualan pristup. Ne možemo ih vidjeti ovdje.

U ovoj lekciji nećemo vjerovati u zlu ljubomoru.) Ovdje gledamo najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Zašto? Tako je odlučeno što god Trigonometrijske jednadžbe sastoje se od dva stupnja. Na prvom stupnju zla, suparništvo s putovima raznih preobrazbi svodi se na jednostavan. S druge strane, postoji jednostavniji odnos. Inače, nikako.

Dakle, ako imate problema u drugoj fazi, nema posebnog smisla u prvoj fazi.)

Kako izgledaju elementarne trigonometrijske jednadžbe?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Ovdje A znači bilo koji broj. Be-yake.

Prije govora, u sredini funkcije može biti ne čisti x, već neka vrsta izraza, kao što je:

cos(3x+π /3) = 1/2

i slično. To komplicira život, ali metoda razotkrivanja trigonometrijske jednadžbe ne znači ništa.

Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?

Trigonometrijske jednadžbe mogu se podijeliti na dva načina. Prvi način: uz poznavanje logike i trigonometrijskog uloga. Pogledajmo ovu stazu ovdje. Drugi put - uz pomoć drevnog sjećanja i formula - bit će ispitan u nadolazećoj lekciji.

Prvi je mudar, pouzdan i važan za zaboraviti.) Dobar je za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi, nepravilnosti i bilo kakvih lukavih nestandardnih aplikacija. Logika je najjača za pamćenje!)

Čini se da postoji ljubomora zbog pomoći trigonometrijskog udjela.

Uključujemo elementarnu logiku i koristimo trigonometrijski ulog. Zašto to ne možete podnijeti!? Međutim... Važno je da imate priliku u trigonometriji...) Nije velika stvar. Pogledajte lekcije "Trigonometrijska boja...... Što je ovo?" i "Vidlik kutiv na trigonometrijskom broju." Sve je tu. Na strani pomoćnika...)

O, jesi li svjestan!? I konačno svladao “Praktični rad s trigonometrijskim kolcem”!? Prihvatite vetaniju. Ova tema će vam biti bliska i razumljiva.) Da budem posebno šutljiv, trigonometrijski ulog se temelji na tome koliko ste jednaki. Sinus, kosinus, tangens, kotangens - sve je isto. Postoji samo jedno načelo odluke.

Uzimamo os i kao elementarnu trigonometrijsku jednadžbu. želio bih:

cosx = 0,5

Potrebno je znati x. Kao što kažete ljudskim rječnikom, potrebno je saznajte (ix), čiji je kosinus 0,5.

Kako smo ranije vikorizirali? Slikali smo se na novoj opremi. U stupnjevima i radijanima. Ja odmah bachili trigonometrijske funkcije ovog reza. Učinit ćemo to odmah. Slikamo vrijednost kosinusa, koja je jednaka 0,5 i litri Lijepo kut. Nećete morati zapisivati ​​svoje svjedočenje.) Pa, dobro!

Boja je mala i označava kosinus koji je jednak 0,5. Na kosinusnoj osi, razumljivo. Os je ovakva:

Sada naslikajmo lik koji nam daje kosinus. Pomaknite pokazivač medvjeda preko bebe (ili kliknite na slike na tabletu) i zabavi se evo rez X.

Koji je kosinus veći od 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Dekhto se skeptično nasmije, pa... Movlyav, chi warto bulo kolo city, ako je sve tako jasno... Možete se, naravno, nasmijati...) Ale rich onom koji se kaje. Točnije, nedovoljno. Oni koji poznaju ulog razumiju da još uvijek postoji cijela hrpa ljudi koji mogu dati kosinus veći od 0,5.

Kako okrenuti rahiti b_k OA za dobru mjeru, točka A nalazi se u izlaznom kampu. Isti kosinus jednak je 0,5. Tobto. gdje promijeniti na 360° ili 2π radijana, i kosinus – br. Novi rez 60 ° + 360 ° = 420 ° također će biti naša odluka, jer

Takvi novi omoti mogu se smotati bez ikakve osobe... I svi ti novi zaokreti bit će rješenja naše trigonometrijske jednadžbe. Moram to zapisati sa svjedokom. To je to. Inače odluka nije bitna, pa...)

Matematika radi jednostavno i elegantno. Zapišite u jednom kratkom videu beskrajna bezličnost odluka. Ovako izgleda os za naše rođake:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ja ću to dešifrirati. Piši i dalje neshvaćeno Bolje je, glupo je slikati kao tajanstvena slova, zar ne?)

π /3 - tse toy kut, yak mi čavrljali na kolu značilo iza tablice kosinusa.

2π - Ovo je još jedna revolucija u radijanima.

n - Tse povnikh, tobto. cijeli promet shvatila sam da n Može biti 0, ±1, ±2, ±3.... i tako dalje. Što je naznačeno u kratkom unosu:

n ∈ Z

n dospijeva ( ∈ ) bezličnost cijelih brojeva ( Z ). Prije govora, umjesto pisma n Litre se mogu u potpunosti naviknuti k, m, t itd.

Ovaj unos znači da ga možete ponijeti bilo gdje n . Želim -3, želim 0, želim +55. Kao što kažeš. Kada unesete ovaj broj u video unos, odaberite određeni dio koji će nužno biti najveći od naših revnih jednakosti.

Ili, drugim riječima, x = π /3 - ovo je jedan korijen nedovršene množine. Za uklanjanje svih ostalih korijena dovoljno je dodati do π /3 što više dodatnih okretaja ( n ) u radijanima. Tobto. 2πn radijan

To je to? Ne. Posebno pijuckam slad. Za bolje pamćenje.) Povukli smo samo dio iskaza rodbini. Ovaj dio odluke ću napisati na sljedeći način:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne samo jedan korijen, već cijeli niz korijena, napisanih u kratkom obliku.

Također postoje načini za zadavanje kosinusa koji je jednak 0,5!

Vratimo se našoj slici nakon koje su zapisali svjedočenje. Os:

Pokaži medvjeda na slici bachimo još jedan kut, jako također daje kosinus od 0,5. Koliko poštujete, što vam je drago? Trodijelni, međutim... Da! Vín dovnya Kuta x , Samo negativni doprinosi. Tse kut -X. Ale ix smo već pohvalili. π /3 ili 60°. Pa, možete ljubazno zapisati:

x 2 = - π /3

Pa, očito, dodajemo sve dijelove koji izlaze kroz vanjske omote:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Os je sada sve.) Prema trigonometrijskom broju čavrljali(tko razumije, očito) Brkovi kuti, što dati kosinus jednak 0,5. Zapisao sam ih u kratkom matematičkom obliku. Video je objavio dvije kontinuirane serije korijena:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ovo je točna izjava.

nadam se zagalni princip oslobađanja trigonometrijskih razina Postoji ulog mudraca za pomoć. Pri određivanju kosinusa (sinusa, tangensa, kotangensa) iz zadane jednakosti povlačimo odgovarajuće pravce i zapisujemo odgovarajuće pravce. Važno je, morate se toga riješiti, što nije u redu čavrljali na brojanje. Ponekad to nije tako očito. Pa, rekao sam da je ovdje potrebna logika.)

Na primjer, pogledajmo još jednu trigonometrijsku jednadžbu:

Vjerujte da broj 0,5 nije jedini mogući broj na svijetu!) Jednostavno je lakše napisati manje od korijena i razlomaka.

Pratsuêmo iza skrivenog principa. Veličina je mala, znači (na osi sinusa, apsolutno!) 0,5. Na prvi pogled crtamo sva područja koja odgovaraju ovom sinusu. Oduzimamo sljedeću sliku:

Sada znamo sve x u prvoj četvrtini. Možemo predvidjeti tablicu sinusa i odrediti vrijednost ovog rezanja. Desno je jednostavno:

x = π /6

Prisjetimo se novosti i mirne savjesti zapišimo prvi niz svjedočanstava:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Polovica je bila zdrobljena. A osovina sada mora biti značajna još jedan rez... Ovi su lukavi, nemaju kosinusa, pa... Jao, laže nas logika! Yak znači još jedan rez kroz x? To je lako! Trikutniki na slici, međutim, i crveni kaput x starinska kuta x . Samo zdravstvena skrb dolazi iz negativnog smjera. Zato.) I trebaju nam dokazi, zdravstvena njega ispravno, na pozitivan način OH, dakle. Vani je 0 stupnjeva.

Usmjerimo kursor na bebu i sve je gotovo. Sredio sam prvi dio bez ugrožavanja slike. Tsikavy us kut (obojan zelenom bojom) dorivnyuvatime:

π - x

Ix znamo, tse π /6 . Pa bit će drugačije:

π - π /6 = 5π /6

Još jednom razmišljamo o dodavanju dodatnih omotača i pišemo niz komentara jedni drugima:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

To je sve. Kompletan odgovor sastoji se od dva niza korijena:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Jednadžba s tangensom i kotangensom lako se može pratiti ovim vrlo skrivenim principom razotkrivanja trigonometrijskih jednadžbi. Vi, naravno, znate naslikati tangens i kotangens na trigonometrijski broj.

U većini slučajeva, koristio sam tablične vrijednosti sinusa i kosinusa: 0,5. Tobto. jedno od tih značenja je učenje plemstva gušavosti. A sada proširimo svoje mogućnosti na sva ostala značenja. Virishuvati, pa Virishuvati!)

Oče, zabrani nam da izvodimo takve trigonometrijske proračune:

U kratkim tablicama nema takvih vrijednosti kosinusa. Hladnokrvno ignoriramo ovu strašnu činjenicu. Boja je nacrtana na osi kosinusa 2/3 i nacrtane su odgovarajuće linije. Uklonimo ovu sliku.

Idemo srediti prvo, prvo tromjesečje. Da sam samo znao s čime je X povezan, odmah bih zapisao odgovor! Ne znamo... Neuspjeh!? Smiriti! Matematika nikad ne iznevjeri! Na ovom je pogodila ark kosinus. ne znam Durhamno. Objasnite, ovo je puno jednostavnije, mislite. Ne postoje "povratne trigonometrijske funkcije" iza ovog sricanja iste sklopive čarolije... Napomena o ovoj temi.

Kao što znate, vrijeme je da kažete sebi: "Ix je isti, kosinus nečega je jednak 2/3." Prije svega, čisto u smislu ark kosinusa, možemo napisati:

Razmislimo o dodatnim zavojima i mirno zapišimo prvi niz korijena naše trigonometrijske jednadžbe:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Zapravo, drugi niz korijena se automatski bilježi za drugo mjesto. Sve to isto, samo će ix (arccos 2/3) biti minus:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

I riješiti sve! Ovo je točna izjava. Jednostavno rečeno, bez korištenja tabličnih vrijednosti. Prije nego što progovorimo, najvažnije je napomenuti da se ova slika temelji na rješenjima kroz ark kosinus Ništa se, u biti, ne razlikuje od razine slike cosx = 0,5.

Samo tako! Zagalny princip na te zagalny! Posebno sam naslikao dvije iste slike. Kolo nas vodi okolo x za yogo kosinus. Tabularni ce kosinus, qi ni – cola je nepoznat. Što je to, π /3, ili je ark kosinus što je to?

Sinus je ista pjesma. Na primjer:

Opet, boja je mala, što znači sinus, koji je jednak 1/3, što znači sinus. Ovo je slika koja se pojavljuje:

I opet slika može biti ista ona za ljubav sinx = 0,5. Počinjemo ponovno oko prve četvrtine. Zašto je x sličniji od sinusa od 1/3? Ne hrana!

Os i prvi paket korijena je spreman:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Pogledajmo još jedan kut. U aplikaciji s tabličnim vrijednostima 0,5 vin dorivnyuvav:

π - x

Tako ćete i ovdje biti isti! Samo ix ostalo, arcsin 1/3. Pa što!? Možete ljubazno napisati paket korijena za prijatelja:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ovo je apsolutno točno. Iako nije baš zvučno. Sada razumijem, uvjeravam vas.)

Os je tako poravnata s trigonometrijskim poravnanjem za dodatni ulog. Ovaj put je znanstven i razuman. Sam problem se nalazi u trigonometrijskim nepravilnostima s odabirom korijena u zadanom intervalu; u trigonometrijskim nejednakostima one se pojavljuju gotovo svaki put. Ukratko, u bilo kojem odjelu, kao što su sitnice presavijene izvan standarda.

Kako znanje stagnira u praksi?)

Razotkriti trigonometrijske jednadžbe:

Jednostavnije je od samog početka, izravno iz ove lekcije.

Sada je više sklopiv.

Savjet: ovdje ćete morati trepnuti preko kolca. Posebno.)

I sad samo zovu ... Još ih zovu ludi nakaze.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Savjet: ovdje treba izdvojiti dva niza odgovora i jedan... I umjesto dva niza odgovora zapisati jedan. Dakle, tako da možete dobiti korijen iz beskrajne količine bez uništavanja!)

Pa, potpuno je jednostavno):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Savjet: ovdje trebate znati što je arksinus, arkosinus? Što je arktangens, arkotangens? Najjednostavnije značenje. Ne morate izmišljati točne tablične vrijednosti!)

Naizgled, mudro, smireno):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Zar nisu svi izašli? Buvaje. Ponovno pročitajte lekciju. Tilki zamišljeno(ovo je tako stara riječ...) I idi za svojim željama. Glavna poruka je o svjetlu. Bez ičega u trigonometriji - kako slijepih očiju prijeći cestu. Ponekad za izlazak.)

Zaslužujete ovu stranicu...

Prije nego što progovorim, imam još nekoliko sjajnih stranica za vas.)

Možete vježbati s naprednim alatima i naučiti svoju vještinu. Testiranje uz mitta provjeru. Provjerite - sa zanimanjem!)

Možete saznati više o funkcijama i njima povezanim.

Lekcija i prezentacija na temu: "Rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi"

Dodatni materijali
Shanny koristuvach, ne zaboravite uskratiti svoje komentare, komentare, počasti! Svi materijali su provjereni antivirusnim softverom.

Udžbenici i simulatori u internetskoj trgovini "Integral" za 10. razred pod 1C
Postoje problemi s geometrijom. Interaktivne sobe na dnevnoj bazi
Softverski međuware "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Što trebamo znati:
1. Što su trigonometrijske jednadžbe?

3. Dvije glavne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
4. Uniformne trigonometrijske jednadžbe.
5. Primijenite.

Što su trigonometrijske jednadžbe?

Ljudi, već smo izračunali arksinus, arkosinus, arktangens i arkotangens. Zadivimo se sada trigonometrijskim jednadžbama.

Trigonometrijske jednadžbe – jednadžba se u svakom slučaju nalazi ispod predznaka trigonometrijske funkcije.

Ponovimo vrstu veze najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi:

1) Ako je |a|≤ 1, tada jednadžba cos(x) = a ima implikacije:

X = ± arccos(a) + 2πk

2) Ako je |a|≤ 1, tada jednadžba sin(x) = a ima sljedeće posljedice:

3) Yakscho |a| > 1, tada jednadžba sin(x) = a í cos(x) = a nema rješenja 4) Jednadžba tg(x)=a može se riješiti: x=arctg(a)+ πk

5) Rivne ctg(x)=a odluka: x=arcctg(a)+ πk

Za sve formule k-cijeli broj

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe izgledaju ovako: T(kx+m)=a, T je trigonometrijska funkcija.

kundak.

Odredite jednadžbu: a) sin(3x)= √3/2

Odluka:

A) Značajno 3x=t, tada se naša jednadžba može prepisati kao:

Veza između ove jednadžbe bit će: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Iz tablice se može izračunati vrijednost: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vratimo se našoj promjeni: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada je x=((-1)^n)×π/9+ πn/3

Verzija: x=((-1)^n)×π/9+ πn/3, gdje je n cijeli broj. (-1) ^ n – minus jedan u koraku n.

Primijenite i trigonometrijske jednadžbe.

Odredite omjer: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Odluka:

A) Ovaj put prijeđimo izravno na izračun korijena vinograda:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Todi x/5= πk => x=5πk

Primjer: x=5πk, gdje je k cijeli broj.

B) Zapišimo to kao: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Znamo što: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Primjer: x=2π/9 + πk/3, gdje je k cijeli broj.

Raščistite jednadžbu: cos(4x)= √2/2. I saznajte sve korijene na prvi pogled.

Odluka:

Virishimo u glamurozan izgled naša razina: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sada se začudimo koliko korijen može potrošiti na našem malom stablu. Kada je k Kada je k=0, x= π/16 potrošili smo u zadacima odjeljka.
Uz k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, predznak je izgubljen.
Pri k = 2, x = π / 16 + π = 17π / 16, i tu se os više ne gubi, što znači da za veliki k očito nije nosiv.

Verzija: x= π/16, x= 9π/16

Dvije glavne metode uspjeha.

Pogledali smo najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe, a također i one sklopive. Da bi se to postiglo, najbolje je koristiti metodu uvođenja nove promjene i metodu dijeljenja na množitelje. Pogledajmo ga.

Razgovarajmo o ljubomori:

Odluka:
Za naš izračun značajna je brza metoda uvođenja nove promjene: t=tg(x).

Kao rezultat zamjene uklanja se: t 2 + 2t -1 = 0

Znamo kvadratni korijen: t=-1 i t=1/3

Tada je tg(x)=-1 i tg(x)=1/3, uzeli smo najjednostavniju trigonometrijsku jednadžbu i znamo njen korijen.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Primjer: x=-π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Kundak najviše razine

Razotkrijte razine: 2sin 2(x) + 3 cos(x) = 0

Odluka:

Stopa je identična: sin 2(x) + cos 2(x)=1

Naše rivalstvo će izgledati ovako: 2-2cos 2(x) + 3 cos(x) = 0

2 cos 2(x) - 3 cos(x) -2 = 0

Uvedimo zamjenu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Rješenja našeg kvadrata jednakog korijenu: t=2 i t=-1/2

Tada je cos(x)=2 i cos(x)=-1/2.

Jer kosinus ne može imati vrijednost veću od jedan, tada cos(x)=2 nije korijen.

Za cos(x)=-1/2: x=± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Verzija: x= ±2π/3 + 2πk

Uniformne trigonometrijske jednadžbe.

Vrijednosti: Omjeri oblika a sin(x)+b cos(x) nazivaju se uniformne trigonometrijske jednadžbe prvog stupnja.

Štovanje uma

iste trigonometrijske razine druge razine.

Za vrh homogenog trigonometrijskog ranga prvog stupnja dijelimo ga s cos(x): Dijeljenje kosinusom nije moguće jer je jednak nuli, pogledajmo što nije u redu:
Neka cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ali sinus i kosinus nisu jednaki nuli u isto vrijeme, oni su uklonjeni, tako da možete sigurno dijeliti s nula.

Muževnost:
Stražnji dio: cos 2(x) + sin(x) cos(x) = 0

Odluka:

Vinesemo zagagal množitelj: cos(x)(c0s(x) + sin(x)) = 0

Zatim moramo istaknuti dvije stvari:

Cos(x)=0 i cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 pri x= π/2 + πk;

Pogledajmo jednadžbu cos(x)+sin(x)=0 Podijelimo našu jednadžbu cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Verzija: x= π/2 + πk i x=-π/4+πk

Kako razotkriti iste trigonometrijske razine drugog stupnja?
Djeco, prvo slijedite ova pravila!

1. Čudite se činjenici da je a = 0, a onda će naš vršnjak izgledati kao cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), s odvezanom stražnjicom na prednjem klizaču

2. Ako je a≠0, potrebno je dva jednaka dijela podijeliti s kosinusom kvadrata, oduzimajući:

Varijablu t=tg(x) potrebno je zamijeniti sljedećom jednadžbom:

Virishity guzica br.: 3

Muževnost:
Odluka:

Povrijeđene dijelove dijelimo kvadratom kosinusa:

Spremni smo zamijeniti promjenu t = tg (x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Znamo kvadratni korijen: t=-3 i t=1

Todi: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Verzija: x=-arctg(3) + πk i x= π/4+ πk

Virishity kundak br.:4

Muževnost:

Odluka:
Preokrenimo naš Viraz:

Kombinirajte ove jednadžbe zajedno: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Primjer: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Virishity kundak br.:5

Muževnost:

Odluka:
Preokrenimo naš Viraz:

Uvedimo zamjenu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe bit će korijen: t=-2 i t=1/2

Tada možemo izračunati: tg(2x)=-2 i tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Verzija: x=-arctg(2)/2 + πk/2 i x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Očuvanje za nezavisnu krepost.

1) Oslobodite ljubomoru

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Razotkrijte jednadžbu: sin(3x)= √3/2. Í pronađite sve korijene po odjeljku [π/2; π].

3) Otključajte jednadžbu: ctg 2(x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Razotkrijte jednadžbu: 3 sin 2(x) + √3sin(x) cos(x) = 0

5) Razotkrijte jednadžbu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Razina vrijednosti: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Video tečaj “Take a Five” uključuje sve što je potrebno za uspjeh građevine ÊDÍ iz matematike za 60-65 bodova. Obradit ću sve zadatke 1-13 matematičkog profila. Prikladan i za polaganje Osnova matematike. Ako želite platiti 90-100 bodova, trebate platiti dio 1 za 30 bodova i to bez naknade!

Pripremni tečaj za učenike 10-11 razreda, kao i za maturante. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela matematike (prvi 12. zadatak) i 13. zadatka (trigonometrija). I košta više od 70 bodova za EDI, a bez njih ne možete proći ni za novac ni za humanističke znanosti.

Potrebna je sva teorija. švedski načini odluke, tjestenine i tajne ÊDÍ. Prikupljene su sve tekuće dodjele Dijela 1 iz FID dodjele Banke. Tečaj u potpunosti podržava prednosti EDI-2018.

Tečaj osvete 5 sjajnih tema, svaka po 2,5 godine. Tema kože predstavljena je od nule, jednostavna je i razumljiva.

Stotine narudžbi ÊDÍ. Tekstualna spoznaja i teorija figurativnosti. Algoritmi za rješavanje problema su jednostavni i lako se pamte. Geometrija. Teorija, predgrađe, analiza svih vrsta zadataka. Stereometrija. Varljive metode odvezivanja, smeđe jaslice, razvoj prostrane stvarnosti. Trigonometrija od nule do znanja 13. Intenzivno učenje. Jasno razumjeti objašnjenje sklopivih. Algebra. Korint, korak i logaritmi, funkcija i sličnost. Baza za najveći sklopivi red 2 dijela ÊDÍ.

S velikim bogatstvom matematički odsjeci, posebno onih koji sužavaju do 10. razreda, jasno je definiran redoslijed završnih radnji koje će dovesti do ocjene. Takvi zadaci mogu uključivati, primjerice, linearne i kvadratne jednakosti, linearne i kvadratne nepravilnosti, jednakosti šuta i jednakosti koje se mogu svesti na kvadratne. Načelo uspješnog poboljšanja kože iz zadatka leži u sadašnjosti: potrebno je utvrditi koja je vrsta zadatka dodijeljena, pogoditi potreban slijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, zatim. vidpovidy, vidkonati tsi díi.

Očito, uspjesi i neuspjesi svakog zadatka leže u prvom planu u mjeri u kojoj je vrsta istraživanja koja se odvija ispravno identificirana, u mjeri u kojoj je redoslijed svih faza njegovog rada ispravno implementiran Yeshenya. Naravno, morate naučiti iste transformacije i izračune sa svojim vještinama.

Izaći će druga situacija trigonometrijske jednadžbe. Zapravo nije važno utvrditi činjenicu da je jednadžba trigonometrijska. Preklopi se pojavljuju prema slijedu radnji koje su rezultirale ispravnim tipom.

iza izvana gledajući unutra Važno je odrediti svoj tip. A ako ne znate vrstu jednadžbe, možda će biti nemoguće odabrati između desetaka trigonometrijskih formula.

Da biste otključali trigonometrijsku jednadžbu, trebate pokušati:

1. dovesti sve funkcije koje su uključene na istu razinu;
2. dovesti odnos na “iste funkcije”;
3. Lijevi dio jednadžbe podijelite na množitelje.

Pogledajmo osnovne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi

I. Sveden na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe

Shema povezivanja

Krok 1. Viraznost trigonometrijska funkcija kroz vidljive komponente.

Crocs 2 Pronađite argument funkcije iza formula:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ÊZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Ê Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Ê Z.

Croc 3 Spoznajte nepoznatu promjenu.

kundak.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Odluka.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Ê Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

Verzija: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

II. Zamjena zamjene

Shema povezivanja

Krok 1. Reducirajte jednadžbu na oblik algebre slične trigonometrijskim funkcijama.

Crocs 2 Postavite funkciju prebacivanja na t (ako je potrebno unijeti zamjenu na t).

Croc 3 Zapiši i razvijaj algebru.

Krok 4. Dobiti povrat.

Krok 5. Najjednostavniji način je trigonometrijska jednadžba.

kundak.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Odluka.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Neka je sin (x/2) = t, de | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 i e = -3/2, ne zadovoljava um |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;

x = π + 4πn, n Ê Z.

Primjer: x = π + 4πn, n Ê Z.

III. Metoda smanjenja reda

Shema povezivanja

Krok 1. Zamijeniti Dana Rivnyanna linearno, vikoristic i ovom formulom niži korak:

sin 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Crocs 2 Nema potrebe oslanjati se na druge metode I i II.

kundak.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Odluka.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;

x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

Verzija: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

IV. Ista razina

Shema povezivanja

Krok 1. Donesite crkvu na vidik

a) a sin x + b cos x = 0 (ista razina prvog stupnja)

ili na prvi pogled

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (jedna razina druge razine).

Crocs 2 Podijelite uvredljive dijelove odnosa na

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

i odaberite vrijednost tg x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Croc 3 Održavajte svoje rivalstvo na različite načine.

kundak.

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 = 0.

Odluka.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Neka je tada tg x = t

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 ili t = -4, dakle

tg x = 1 ili tg x = -4.

Prva razina x = π/4 + πn, n º Z; s druge razine x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

Primjer: x = π/4 + πn, n Ê Z; x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

V. Metoda rekreacije pomoću trigonometrijskih formula

Shema povezivanja

Krok 1. Vikorist i sve trigonometrijske formule, dovedite ovu jednadžbu u jednadžbu, kako je utvrđeno metodama I, II, III, IV.

Crocs 2 Virishity otrimana vymnyanya koristeći iste metode.

kundak.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Odluka.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;

Prva razina 2x = π/2 + πn, n Ê Z; S druge razine cos x = -1/2.

Maemo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; S druge razine x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.

Kroz rat x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Primjer: x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Zapamtite i započnite s trigonometrijskim jednadžbama Važno je napomenuti da će njegov razvoj zahtijevati značajan napor, kako od strane učenika tako i od strane učitelja.

Rješenja trigonometrijskih jednadžbi usko su povezana s problemima stereometrije, fizike i drugima. Proces rješavanja takvih zadataka zahtijeva korištenje puno znanja i pameti, poput elemenata trigonometrije.

Trigonometrijske jednadžbe zauzimaju važno mjesto u procesu učenja matematike i razvoja prirodoslovnih specijalnosti.

Ostali bez hrane? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prva lekcija - nema štete!

mjesto, s punim ili djelomičnim kopiranjem materijala poslanog Pershodzherelo ob'yazkov.