Integral nepravog razlomka. Integracija najjednostavnijih razlomaka. Integracija ispravne shot-rational funkcije

Za integraciju racionalne funkcije \(\large\frac((P\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize,\) de \((P\left(x \ desno ) ))\) i \((Q\lijevo(x \desno))\) − polinome, određuje se redoslijed koraka:

Ako je drib netočan (korak \((P\lijevo(x \desno))\) je veći od koraka \((Q\lijevo(x \desno))\)), promijenite ga u ispravan, uviđanje svrhe izraza;

Raširite natpis \((Q\lijevo(x \desno))\) u više monoma i/ili sporih kvadratnih izraza;

Rastavite racionalni razlomak na najjednostavnije razlomke, vikoryst ;

Izračunaj integrale pomoću najjednostavnijih razlomaka.

Pogledajmo izvješće u nastavku.

Krok 1. Rekonverzija nepravog racionalnog razlomka

Budući da je član nepravilan (tada je korak broja \((P\lijevo(x \desno))\) veći od koraka znaka \((Q\lijevo(x \desno))\)), bogati član \ ((P\) lijevo je odvojivo (x \desno))\) na \((Q\lijevo(x \desno)).\) Uvredljivi viraz se može odbaciti: \[\frac((P\lijevo(x) \desno))))((Q\lijevo (x \desno))) = F\lijevo(x \desno) + \frac((R\lijevo(x \desno)))((Q\lijevo(x \ desno)))),\] de \( \veliki\frac((R\lijevo(x \desno)))((Q\lijevo(x \desno)))\normalnaveličina\) je točan racionalni razlomak.

Crocus 2. Postavljanje bannera pomoću najjednostavnijih frakcija

Zapišimo bogati član znamennika \((Q\lijevo(x \desno))\) u obliku \[ (Q\lijevo(x \desno) ) = ((\lijevo((x - a) \ desno)^\alpha ) \ cdots (\lijevo((x - b) \desno)^\beta )(\lijevo(((x^2) + px + q) \desno)^\mu ) \cdots (\ lijevo(((x^2 ) ) + rx + s) \desno)^\nu ),) \] de kvadratne funkcije nisu brze, tako da nema aktivnih korijena.

Lekcija 3. Distribucija racionalnih razlomaka iz zbroja najjednostavnijih razlomaka.

Napišimo racionalnu funkciju u modernom obliku: \[(\frac((R\lijevo(x \desno))))((Q\lijevo(x \desno))) = \frac(A)((((( \lijevo (( x - a) \desno))^\alpha ))) + \frac((((A_1))))((((\lijevo((x - a) \desno))^(\alpha - 1) )))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((A_(\alpha - 1)))))((x - a)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(B) (( (((\lijevo( (x - b) \desno))^\beta ))) + \frac(((B_1))))((((\lijevo((x - b) \desno)) ^( \beta - 1)))) ) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((B_(\beta - 1)))))((x - b)) )\kern0pt (+ \frac( (Kx + L)))((((\ lijevo(((x^2) + px + q) \desno))^\mu ))) + \frac(((K_1)x + (L_1))) )( (((\lijevo(((x^2) ) + px + q) \desno))^(\mu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((K_(\ mu - 1)))x + (L_(\mu - 1) ))))(((x^2) + px + q)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac((Mx + N)) (( ((\lijevo(((x^2) + rx +) s) \desno))^\nu ))) + \frac(((M_1)x + (N_1))))((((\ lijevo( ((x^2) + rx + s) \desno))^ (\nu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((M_(\nu - 1))x + (N_ (\nu - 1)))))(((x^2) + rx + s)).) \] Broj beznačajnih koeficijenata je nedopušten \((A_i),\) \((B_i), \) \(( K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \((N_i), \ldots\) može dodati razini natpisa \((Q\left (x \desno)).\)

Zatim množimo uvredljive dijelove povučenog jednako banneru \((Q\lijevo(x \desno))\) i izjednačavamo koeficijente za dodavanja s istim koracima \(x.\) Kao rezultat, povlačimo sustav linearnih jednakosti bez home koeficijenata \((A_i ),\) \((B_i),\) \((K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \(( N_i), \ldots\) Ovaj sustav će uvijek biti Jedna odluka. Opisi algoritama metoda beznačajnih koeficijenata .

Lekcija 4. Integracija najjednostavnijih racionalni razlomci.

Najjednostavniji razlomci, odvojeni od širenja dovoljno pravilnog racionalnog razlomka, integriraju se pomoću sljedećih šest formula: \ \ Za razlomke s kvadratnim predznakom potrebno je u početku vidjeti vanjski kvadrat: \[\int (\frac( (Ax + B)))(((( (\lijevo(((x^2) + px + q) \desno))^k)))dx) = \int (\frac((At + B") ))((((\lijevo((( t^2) ) + (m^2)) \desno))^k)))dt) ,\] de \(t = x + \veliki\frac(p )(2)\normalna veličina,\) \( (m^2 ) = \veliki\frac((4q - (p^2)))(4)\normalna veličina,\) \(B" = B - \veliki\ frac((Ap))(2)\normalsize .\) Zatim se sljedeće formule zaglave: \[(4.\;\;\int (\frac((tdt)))((((\left((( t^2) + (m^2)) \desno ))^k )))) ) = (\frac(1)((2\lijevo((1 - k) \desno)((\lijevo((( t^2) + (m^2)) \right ))^( k - 1)))) ) \] \ Integral \(\large\int\normalsize (\large\frac((dt)))(( ((\left(((t^2) + ( m^2))) \right))^k)))\normalsize) \) možete platiti \(k\) kroki za dodatnu pomoć redukcijske formule\[ (6.\;\;\int (\frac((dt)))((((\lijevo(((t^2) + (m^2)) \desno))^k)))) ) = (\frac(t)((2(m^2)\lijevo((k - 1) \desno)((\lijevo(((t^2) + (m^2)) \desno))^ ( k - 1)))) ) (+ \frac((2k - 3))((2(m^2)\lijevo((k - 1) \desno)))\int (\frac((dt) ) ((((\lijevo(((t^2) + (m^2)) \desno))^(k - 1))))) ) \]

“Matematičar, kao i umjetnik, pjeva i umjetnički stvara. I zato što su pogledi matematičara stabilniji, osobito zato što su sastavljeni od ideja... Pogledi matematičara, baš kao i pogledi umjetnika ili pjesnika, moraju biti lijepi; Ideje su iste kao boje i riječi krivnje dijele se jedna po jedna. Ljepota je na prvom mjestu: u svijetu nema mjesta za ružnu matematiku».

G.H.Hardy

U prvom odjeljku pretpostavljeno je da će primarni cilj biti postizanje jednostavnih funkcija koje se više ne mogu izraziti elementarne funkcije. S tim u vezi, od velike praktične važnosti su one klase funkcija za koje se točno može reći da su njihove primarne funkcije elementarne funkcije. Funkcije dosežu ovu klasu racionalne funkcije, koji su odnosi dvaju algebarskih bogatih članova Prije integriranja racionalnih razlomaka, dajte bogati poredak. Stoga je vrlo važno integrirati takve funkcije.

2.1.1. Razlomačke racionalne funkcije

Racionalni razlomak(ili šut-racionalna funkcija) naziva se odnos dvaju algebarskih bogatih članova:

gdje i – bogati članovi.

Pogodi što bogati član (polinom, cijela racionalna funkcija) nth pozornici naziva se funkcija

de – aktivni brojevi. Na primjer,

- bogati član prve etape;

- bogati član četvrte etape itd.

Poziva se racionalni argument (2.1.1). ispraviti Ako je razina niža od razine, tada. n<m, u drugom slučaju, zove se drib pogrešno.

Bilo koji nepravilni razlomak može se poslužiti u obliku velikog dijela (cijeli dio) i pravilnog razlomka (razlomak). Gledanje cjeline i snimljenih dijelova nepravilnog udarca može se izvesti prema pravilu "odsječenog" dijela.

Kundak 2.1.1. Pogledajte cijeli razlomak sljedećih nepravilnih racionalnih razlomaka:

A) , b) .

Odluka . a) Vikoristov algoritam je podijeljen na "izbočinu" i može se eliminirati

Na ovaj način odbijamo

.

b) Ovdje je također vikory algoritam u "izbočini":

Kao rezultat toga, možemo odbiti

.

Donesimo vrećice. Nebeznačajni integral racionalnog razlomka u literalnom izrazu može se otkriti zbrojem integrala bogatog člana i ispravnog racionalnog razlomka. Pronalaženje prvih tipova polinoma ne postaje teško. Stoga je važno razmotriti pravilne racionalne razlomke.

2.1.2. Najjednostavniji racionalni razlomci i njihova integracija

Među pravilnim racionalnim razlomcima postoje četiri vrste koje se odnose na na najjednostavnije (elementarne) racionalne razlomke:

3) ,

4) ,

de - cijeli broj, , onda. kvadratni trinom nema aktivnih korijena.

Integracija najjednostavnijih razlomaka 1. i 2. tipa ne predstavlja velike poteškoće:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Sada ćemo pogledati integraciju najjednostavnijih razlomaka 3. vrste, ali se nećemo osvrtati na razlomke 4. vrste.

Završimo s integralima na umu

.

Ovaj se integral poziva da se izračuna na način da se vidi cijeli kvadrat u natpisu. Rezultat je tablični integral sljedećeg oblika:

ili drugo .

Kundak 2.1.2. Pronađite integrale:

A) , b) .

Odluka . a) Vidljivo iz kvadratnog trinoma, novi kvadrat je:

Znamo zvijezde

b) Nakon što smo vidjeli novi kvadrat iz kvadratnog trinoma, možemo ukloniti:

Na takav način

.

Za pronalaženje integrala

može se vidjeti u numeričkom kalkulatoru prema predznaku i dijeljenju integrala za zbroj dvaju integrala: prvi njihovom zamjenom dobiti na brzinu

,

a drugi - gledanoj stvari.

Kundak 2.1.3. Pronađite integrale:

.

Odluka . Dragi scho . Vidljivo u broju natpisa:

Prvi integral izračunava se dodatnom zamjenom :

Drugi integral očito ima dodatni kvadrat na predznaku

Ostalo, možemo ga ukloniti

2.1.3. Postavljanje pravilnog racionalnog razlomka
za zbroj najjednostavnijih razlomaka

Budite pravi racionalni argument može se vidjeti u jednom redoslijedu gledajući zbroj najjednostavnijih razlomaka. U tu svrhu banner treba podijeliti na množitelje. Iz mnogo algebre jasno je da je koža bogata aktivnim koeficijentima

Pregledane aplikacije za integraciju racionalne funkcije(Drobiv) s odlukama o izvješćivanju.

Zmist

div. također: Korijen

Ovdje izvješćujemo o tri primjene integriranja naprednih racionalnih razlomaka:
, , .

stražnjica 1

Izračunajte integral:
.

Ovdje je pod znakom integrala racionalna funkcija, a fragmenti integralnog izraza podijeljeni su na frakcije iz bogatih članova. Korak bogatog člana bannera ( 3 ) manji od stupnja numeričkog člana ( 4 ). Taj mali treba vidjeti cijeli dio kadra.

1. Vidimo cijeli dio kadra. Dilimo x 4 od strane x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Zvidsi
.

2. Banner smo podijelili na višestruke dijelove. Zašto trebate odvezati kubično poravnanje:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Zamjenjivi x = 1 :
.

1 . Dilimo od x - 1 :

Zvidsi
.
Čini se da je četvrtasto.
.
Korijen Rivnyanya: , .
Todi
.

3. Razložimo stvari na najjednostavniji način.

.

Pa znamo:
.
Integriran.

stražnjica 2

Izračunajte integral:
.

Ovdje drobilica brojeva ima razlomak - bogat izraz nula stupnjeva ( 1 = x 0). Barjaktar ima bogati član trećeg stupnja. Oskolki 0 < 3 , onda je drip ispravan. Rastavimo ga na najjednostavnije frakcije.

1. Banner smo podijelili na višestruke dijelove. Za koga je potrebno odrediti razinu treće faze:
.
Prihvatljivo je da postoji netko tko želi samo cijeli korijen. Ovo je ujedno i datum broja 3 (Član bez x-a). Tada cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 3, -1, -3 .
Zamjenjivi x = 1 :
.

Pa, znali smo jedan korijen x = 1 . Dilimo x 3 + 2 x - 3 na x - 1 :

Otje,
.

Čini se da je kvadratno jednako:
x 2+x+3=0.
Poznata diskriminanta: D = 1 2 - 4 3 = -11. Oskolki D< 0 , onda rabarbara nema aktivno korijenje. Na ovaj smo način rasporedili banner u množitelje:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Zamjenjivi x = 1 . Todi x - 1 = 0 ,
.

Zamjenjiv u (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Jednak (2.1) koeficijenti na x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Integriran.
(2.2) .
Da bismo izračunali drugi integral, očito u numeričkom kalkulatoru pomičemo predznak na zbroj kvadrata.

;
;
.

Izračunljiv I 2 .


.
Ostaci Rivnyanya x 2+x+3=0 nema aktivne korijene, tada x 2 + x + 3 > 0. Stoga se znak modula može izostaviti.

Isporučeno u (2.2) :
.

stražnjica 3

Izračunajte integral:
.

Ovdje se pod znakom integrala nalazi nekoliko različitih pojmova. Dakle, integralni izraz ima racionalnu funkciju. Razina polinoma u brojevima je drevna 3 . Stadij polinoma označitelja sličan je razlomku 4 . Oskolki 3 < 4 , onda je drip ispravan. Stoga se mogu rastaviti na jednostavne frakcije. U tu svrhu potrebno je banner podijeliti na množitelje.

1. Banner smo podijelili na višestruke dijelove. Za koga je potrebno odrediti razinu četvrte faze:
.
Prihvatljivo je da postoji netko tko želi samo cijeli korijen. Ovo je ujedno i datum broja 2 (Član bez x-a). Tada cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 2, -1, -2 .
Zamjenjivi x = -1 :
.

Pa, znali smo jedan korijen x = -1 . Dilimo od x - (-1) = x + 1:


Otje,
.

Sada morate odrediti razinu treće faze:
.
Pretpostavimo da je cijeli korijen korijen i korijen broja 2 (Član bez x-a). Tada cijeli korijen može biti jedan od brojeva:
1, 2, -1, -2 .
Zamjenjivi x = -1 :
.

Bože, pronašli smo još jedan korijen x = -1 . Bilo bi moguće, kao u prvom koraku, podijeliti pojam na , a zatim grupirati pojmove:
.

Ostaci Rivnyanya x 2 + 2 = 0 nema aktivnih korijena, tada smo raspored bannera odvojili u množitelje:
.

2. Razložimo stvari na najjednostavniji način. Čini se da je postavljeno ispred vas:
.
Banneru se dodaje razlomak pomnožen s (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Zamjenjivi x = -1 . Todi x + 1 = 0 ,
.

Diferencijacija (3.1) :

;

.
Zamjenjivi x = -1 Stvarno se nadam da x + 1 = 0 :
;
; .

Zamjenjiv u (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Jednak (3.1) koeficijenti na x 3 :
;
1 = B + C;
.

Pa, znali smo kako rastaviti najjednostavnije razlomke:
.

3. Integriran.


.

div. također:

Sve gore navedene točke omogućuju nam formuliranje osnovnih pravila za integraciju racionalnog razlomka.

1. Ako je racionalni razlomak netočan, tada se poslužuje u obliku bogatog člana i pravilnog racionalnog razlomka (dijeljenje 2).

Ovdje sama integracija netočnog racionalnog razlomka dovodi do integracije bogatog člana i ispravnog racionalnog razlomka.

2. Postavite banner pravilnog razlomka u množitelje.

3. Ispravan racionalni razlomak podijeljen je na zbroj najjednostavnijih razlomaka. Ovdje se sama integracija ispravnog racionalnog razlomka svodi na integraciju najjednostavnijih razlomaka.

Pogledajmo.

Primjer 1. Znati.

Odluka. Ispod integrala nalazi se netočan racionalni razlomak. Vidjevši cijeli dio, oduzimamo ga

Otje,

Imajte na umu da se može iznijeti ispravan racionalni argument

za najjednostavnije razlomke:

(Div. formula (18)). Tom

Na ovaj način, to je još uvijek moguće

Stražnjica 2. Znaj

Odluka. Ispod integrala nalazi se ispravan racionalni argument.

Proširujući ih u najjednostavnije frakcije (prekrasna formula (16)), možemo eliminirati

Materijal sadržan u ovoj temi sadržan je u proračunskoj tablici, predanoj u temi "Racionalni razlomci. Rastavljanje racionalnih razlomaka na elementarne (najjednostavnije) razlomke". Zaista bih želio na brzinu pregledati ovu temu prije nego što prijeđem na čitanje ovog materijala. Osim toga, trebat će nam tablica bezvrijednih integrala.

Mogu se sjetiti hrpe pojmova. O njima je bilo riječi u posebnoj temi, pa ću ovdje podijeliti kratku izjavu.

Odnos dva člana $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ naziva se racionalna funkcija ili racionalni razlomak. Racionalni argument se zove ispraviti yakscho $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется pogrešno.

Elementarni (najjednostavniji) racionalni razlomci su racionalni razlomci četiri vrste:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Napomena (radi boljeg razumijevanja teksta): pokazati

Ono što je potrebno je moć mozga $p^2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Na primjer, za rotaciju $x^2+5x+10$ možemo eliminirati: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Krhotine $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Prije nego što progovorimo, u svrhu provjere nije nimalo teško, tako da izgledi prije $x^2$ dodaju 1. Na primjer, za $5x^2+7x-3=0$ odbija se: $D= 7^2-4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 USD. Ako je $D > 0$, onda se izraz $5x^2+7x-3$ može rastaviti na množitelje.

Korištenje racionalnih razlomaka (pravilnih i nepravilnih), kao i korištenje racionalnih razlomaka može se naučiti u elementarnim terminima. Ovdje smo lišeni prehrane njihove integracije. Završimo s integracijom elementarnih razlomaka. Također, teško je integrirati značenja elementarnih razlomaka iz nekoliko vrsta skinova, vikorističkih formula prikazanih u nastavku. Da pogodim da se iz integriranih razlomaka tipa (2) i (4) prenosi $n=2,3,4,ldots$. Formule (3) i (4) vimagayut vikonannya umovi $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(jednadžba) \begin(jednadžba) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(jednadžba)

Za $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$, zamijenite $t=x+\frac(p)(2)$, nakon brisanja interval se dijeli na dva . Prvi se izračunava za dodatni unos pod predznakom diferencijala, a drugi izgleda kao $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Ovaj integral se preuzima uz pomoć rekurentnog odnosa

\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\u N\kraj(jednadžba)

Izračun takvog integrala prikazan je u prilogu br. 7 (podjela treća).

Shema za izračunavanje integrala iz racionalnih funkcija (racionalnih razlomaka):

1. Budući da je princip integrala elementaran, formulirajte formule (1)-(4).
2. Budući da integralni razlomak nije elementaran, onda ga dodajte zbroju elementarnih razlomaka, a zatim integrirajte sljedeće formule (1)-(4).

Općenito, algoritam za integriranje racionalnih razlomaka može biti konzistentne valjanosti – on je univerzalan. Tobto. korištenjem ovog algoritma moguće je integrirati be-yaku racionalni prijatelj. Također je moguće da se sve zamjene promjena u nevrednovanom integralu (Eulerove, Čebiševljeve zamjene, univerzalna trigonometrijska zamjena) provedu s takvom strukturom, da se nakon zamjene ispod integrala ukloni racionalni razlomak. A prije toga algoritam je već stagnirao. Analizirat ćemo ovaj algoritam izravno na stražnjicama, nakon što smo prvo napravili malu bilješku.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Taj je integral u principu teško ukloniti bez mehaničkog formuliranja formule. Umetnemo li konstantu $7$ u znak integrala i zapišemo da je $dx=d(x+9)$, tada možemo poništiti:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Za detaljnije informacije preporučujem da pogledate temu. Tamo je jasno objašnjeno kako se izračunavaju takvi integrali. Prije govora, formula je prevedena samim transformacijama koje su sastavljene u ovoj točki u vrijeme završetka "ručno".

2) Znam da postoje dva načina: ili zamrznite gotovu formulu ili bez nje. Nakon što formulirate formulu, saznajte koji će se koeficijent ispred $x$ (broj 4) uzeti. Iz tog razloga njih četvoricu jednostavno vrijedi spomenuti po rukama:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\lijevo(4\lijevo(x+\frac(19)(4)\desno)\desno)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\lijevo(x+\frac(19)(4)\desno)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\lijevo(x+\frac(19)(4)\desno)^8). $$

Sada je došlo vrijeme za formuliranje formule:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\lijevo(x+\frac(19)(4)\desno)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\lijevo(x+\frac(19)(4) \desno)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\lijevo(x+\frac(19)(4) \desno)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \lijevo(x+\frac(19)(4) \desno )^7)+C. $$

Možete proći s formulom. Í navít bez vineshenny konstanta $4$ za ruke. Ako vjerujete da je $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, možemo odbiti:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Detaljna objašnjenja kako pronaći takve integrale data su u temi “Integracija supstitucijom (uvodi se pod predznakom diferencijala)”.

3) Trebamo integrirati razlomak $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Ovaj razlomak ima strukturu $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, gdje je $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Međutim, da biste shvatili koji je najučinkovitiji elementarni trib treće vrste, trebate provjeriti Viconnijev um $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Ovo je ista stražnjica, ali bez upotrebe gotove formule. Pokušajmo vidjeti barjaktara u broju. Što to znači? Znamo da je $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Moramo artikulirati izraz $2x+10$ u numeričkom operatoru. Za sada, numerički operator može samo osvetiti $4x+7$, u suprotnom nije potrebno. Stvar je ponovnog stvaranja sve dok drobilica brojeva:

$$ 4x+7=2cdot 2x+7=2cdot (2x+10-10)+7=2cdot(2x+10)-2cdot 10+7=2cdot(2x+10) -13. $$

Sada drobilica brojeva ima novi zahtjev: $2x+10$. A naš integral se može prepisati na sljedeći način:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2xcdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Integrand dijelimo na dva dijela. Pa, očito je i sam integrirao isto “na dva načina”:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \lijevo(\frac(2\cdot(2x+10)))(x^ 2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \desno)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Razgovarajmo onda o dovršavanju prvog integrala. oko $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Fragmenti $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, tada je u numeričkoj jednadžbi integralnog razlomka diferencijal transparenta prošireno. Ukratko, očito, zamijeniti virazu $( 2x +10)dx$ može se napisati kao $d(x^2+10x+34)$.

Recimo sada nekoliko riječi o još jednom integralu. Novi kvadrat možete vidjeti na natpisu: $ x 2 + 10 x + 34 = (x + 5) 2 + 9 $. Osim toga, vrijednost je $dx=d(x+5)$. Sada se zbroj integrala koje smo ranije uklonili može prepisati u potpuno drugačijem obliku:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9) . $$

Ako u prvom integralu napravimo zamjenu $u=x^2+10x+34$, tada ćemo vidjeti $\int\frac(du)(u)$ i bit će lako koristiti drugu formulu s . Što se tiče drugog integrala, onda za novi koristimo zamjenu $u=x+5$, nakon čega ćemo vidjeti $\int\frac(du)(u^2+9)$. Ovo je čista voda, jedanaesta formula s tablicom nevažnih integrala. Dakle, vraćajući se na zbroj integrala, recimo:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2cdotln(x^2+10x+34)-frac(13)(3)arctgfrac(x+5)(3)+C. $$

Isti smo dokaz odbacili čak i kod stagnantne formule, što uostalom i ne čudi. Dakle, formula je razvijena na isti način na koji smo koristili za pronalaženje integrala. Poštujem što poštovani čitatelj ovdje može dobiti jedan obrok, pa ću ovako formulirati:

Obrok №1

Ako integral $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ stavi drugu formulu u tablicu bezvrijednih integrala, možemo je ukloniti ovako:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Zašto rješenje ima dnevni modul?

Povratna informacija br. 1

Dijeta je potpuno prirodna. Modul je veći od $x^2+10x+34$ za bilo koji $x\in R$ veći od nule. Uopće nije teško pokazati koliko ima puteva. Na primjer, fragmenti $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ i $(x+5)^2 ≥ 0$, zatim $(x+5)^2+9 > 0 $ . Možete suditi drugačije, a da ne vidite cijeli kvadrat. Krhotine $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ za bilo koji $x\in R$ (kao što ovaj logični mališan pozove, Raja će se zadiviti grafičkom metodom razotkrivanja kvadratnih nepravilnosti). Ako koža ima fragmente $x^2+10x+34 > 0$, tada je $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$. Umjesto modula mogu se zamijeniti primarni krakovi.

Sve točke do kundaka br. 1 su verificirane i više ne mogu zapisati potvrdu.

Vídpovid:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5) (3) + C$.

Kundak br. 2

Pronađite integral $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Na prvi pogled, pedintegralni drib $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ vrlo je sličan elementarnom dribu trećeg tipa. pomoću $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Ispada da je ista razlika koeficijent $3$ prije $x^2$, a koeficijent je jednak nedostatku (za oružje, plaća). Međutim, postoji sličnost. Za razlomak $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ obov'yazkova ê umova $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Naš koeficijent ispred $x^2$ nije jednak jedan, pa provjerite $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, tada se Viraz $3x^2-5x-2$ može podijeliti na množitelje. A to znači da razlomak $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ nije elementarni razlomak treće vrste, već se svodi na integral $\int\frac(7x+12) (3x^2- 5x-2)dx$ formula nije moguća.

Pa pošto problemi racionalnih razlomaka nisu elementarni, onda ih je potrebno prikazati kao zbrojeve elementarnih razlomaka, a zatim integrirati. Ukratko, naizgled, staza je brza. Jasno je napisano kako racionalni argument podijeliti na elementarne. Pogledajmo činjenicu da je banner podijeljen na množitelje:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-sqrt(49))(2cdot 3)=frac(5-7)(6)=frac(-2)(6)=-frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \\kraj(poravnano)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\lijevo(x-\lijevo(-\frac(1)(3)\desno)\desno)\cdot (x-2)= 3cdolijevo(x+frac(1)(3)desno)(x-2). $$

Subinterni dribling se može prikazati u ovom obliku:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\lijevo(x+\frac(1)(3)\desno)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\lijevo(x+\frac(1)(3)\desno)(x-2)). $$

Rastavimo sada razlomak $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ na elementarne:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\lijevo(x+\frac(1)(3)\desno)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\lijevo(x+\frac(1)(3)\desno))(\lijevo(x+ ) \frac(1)(3)\desno)(x-2));\\\frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\lijevo(x+\frac(1) ( 3)\desno). $$

Za pronalaženje koeficijenata $A$ i $B$ postoje dvije standardne metode: metoda beznačajnih koeficijenata i metoda zamjene privatnih vrijednosti. Slijedi jednostavna metoda zamjene privatnih vrijednosti uvođenjem $x=2$, a zatim $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\lijevo(x+\frac(1)(3)\desno).\x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\lijevo(2+\frac(1)(3)\desno); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \lijevo(-\frac(1)(3) \desno)+4=A\lijevo(-\frac(1)(3)-2\desno)+B\lijevo (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\desno); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Pronađeni su fragmenti koeficijenta, više nije bilo moguće zapisati gotov izgled:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\lijevo(x+\frac(1)(3)\desno)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+frac(1)(3))+frac(frac(26)(7))(x-2). $$

U principu, možete izbrisati takav zapis, ali postoji urednija opcija za vaše srce:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\lijevo(x+\frac(1)(3)\desno)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot frac(1)(x+frac(1)(3))+frac(26)(7)cdotfrac(1)(x-2). $$

Okrećući se izlaznom integralu, predstavljamo proširenje do novog zaključka. Zatim integriramo integral za dva, i dok koža ne stagnira formulu. Konstante ću odmah staviti iza znaka integrala:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\desno)dx=\\ =\int\lijevo(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\desno)dx+\int\lijevo(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\desno)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\lijevo|x+\frac(1)(3)\desno|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Vídpovid: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\lijevo|x+\frac(1)(3)\desno| + frac (26) (7) cdot ln | x-2 | +C$.

Zaliha br. 3

Pronađite integral $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Trebamo integrirati razlomak $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Upravitelj brojeva Roztashovani ima bogati član druge razine, a znamennik ima bogati član treće razine. Fragmenti koraka polinoma u bilježnici manji su od koraka polinoma u bilježnici, dakle. 2 USD< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Više nećemo morati zadatke integrala dijeliti na tri, a formulu potpuno stagnirati. Konstante ću odmah staviti iza znaka integrala:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\lijevo(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \ int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9 |+C. $$

Vídpovid: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Nastavak analize prijava naveden je u drugom dijelu.