Ovisi o kosinusu od 2x. Kosinusni koeficijent: (cos x) '. Slično statičkoj funkciji

Operacija identifikacije cilja naziva se diferencijacija.

Kao rezultat glavnog zadatka o pronalaženju sličnosti u najjednostavnijim (a ne i jednostavnijim) funkcijama, vrijednost sličnosti omjera prirasta i prirasta argumenta bila je tablica sličnosti i točna vrijednost pravila diferenciranja. Prvi koji su istraživali ovo područje bili su Isaac Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716).

Stoga, u naše vrijeme, da bismo znali sličnost bilo koje funkcije, nema potrebe izračunavati ono što je poznato između odnosa između funkcije i argumenta, već je potrebna tablica sličnosti i pravila razlikovanja. Za pronalaženje slične metode koristi se ofenzivni algoritam.

Da znam ići, zahtijevaju viraz pod znakom udarca proširiti jednostavne funkcije skladišta to znači koje radnje (tvir, suma, privatno) vezane za ove funkcije. Daljnje slične elementarne funkcije nalaze se u tablici sličnih funkcija, a formule za slične funkcije, uključujući dijelove, nalaze se u pravilima diferenciranja. Tablica sličnosti i pravila razlikovanja podataka nakon prve dvije prijave.

guza 1. Upoznajte skrivene funkcije

Odluka. Iz pravila diferenciranja je jasno da je zbroj sličnih funkcija zbroj sličnih funkcija.

Iz tablice derivacija jasno je da je derivacija “x” slična jedinicama, a sličnost sinusa je kosinus. Zamislimo vrijednost zbroja troškova i potrebnog mentalnog zadatka:

guza 2. Upoznajte skrivene funkcije

Odluka. Diferencira se kao zbroj iz kojeg postoji još jedan zbroj s konstantnim množiteljem, koji se može uzeti kao znak zbroja:

Ako i dalje postoje problemi s hranom, znakovi i mirisi u pravilu će se razjasniti nakon što se upoznate s tablicom sličnih i jednostavnih pravila razlikovanja. Sada idemo k njima.

Tablica uobičajenih jednostavnih funkcija

1. Pokhídna konstante (brojevi). Koji god broj (1, 2, 5, 200 ...), kakvu god funkciju ima. Od sada će biti jednak nuli. Vrlo je važno zapamtiti, jer je potrebno vrlo često
2. To je kao neovisna promjena. Najčešće "iks". Od sada će biti više drevnih jedinica. Također je važno zapamtiti ovo zauvijek
3. Hodajući korak. Na prijelazu stoljeća potrebno je transformirati nekvadratne korijene.
4. Promjena na stupnju -1
5. Jednadžba kvadratnog korijena
6. Pokhídna sinusa
7. Varijacija kosinusa
8. Promjena tangente
9. Slično kotangensu
10. Arkusinus nagiba
11. Slično arc kosinusu
12. Promjena arktangensa
13. Inkrementalna tangensa
14. Slično prirodnom logaritmu
15. Slična logaritamska funkcija
16. Pokhídna eksponencijalna
17. Slična funkcija prikaza

Pravila razlikovanja

1. Podijelite iznose i raspodjele
2. Budite kreativni
2a. Pokhídna virazi pomnožena s konstantnim množiteljem
3. Kraj privatnosti
4. Slično funkciji preklapanja

Pravilo 1.Koje su funkcije?

diferencijacija u jednoj točki, zatim u istoj točki diferencijacija i funkcija

zašto

tobto. Zbroj algebarske funkcije sličan je tradicionalnom zbroju algebre sličnih funkcija.

Istraga. Budući da su dvije funkcije koje su diferencirane podijeljene na konstantni dodatak, tada su njihove slične jednake, onda.

Pravilo 2Koje su funkcije?

diferencirani u jednoj točki, tada se u istoj točki razlikuju isti aditivi

zašto

tobto. Slično je dvjema funkcijama iste količine aktivnosti kože s tim funkcijama.

Naslidok 1. Konstantni množitelj može se uzeti kao znak odlaska:

Naslidok 2. Slično stvaranju nekoliko funkcija koje se razlikuju, moderni zbroj proizvoda sličan je svim ostalim funkcijama kože.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3Koje su funkcije?

diferenciran u bilo kojoj točki і , tada u ovoj točki postoji diferencijacija i njihova privatnostu/v , i

tobto. Sličnost dviju funkcija slična je običnom razlomku, čiji je broj razlika između tvorevina označitelja i broja broja broja, a znak je kvadrat broja broja.

Zašto se šaliti na drugim stranicama?

Kada pronađete slične radove i dijelove pravih zadataka, uvijek ćete morati stagnirati prema pravilima razlikovanja, tako da ima više aplikacija za ovaj rad - u statistici"Vyrobnichi stvaraju i privatne funkcije".

Poštovanje. Ne brkajte konstantu (taj broj) kao dodatak zbroju i kao konstantni množitelj! Ponekad je zbrajanje slično nuli, a ponekad se konstantni množitelj naplaćuje za predznak iste. Tse tipično pomilovanje, kao što se događa u početnoj fazi razvoja sličnih, ali u svijetu već postoji porast brojnih jednostrukih opušaka, prosječni učenik više neće smetati.

A kada razlikujete nešto privatno, imate dodatno u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, je konstanta, tada je odgovarajući broj jednak nuli i stoga će svi dodaci biti jednaki nuli (ovakav tip distribucije u primjeru 10).

Insha često pomilovanje- mehaničko rješenje pokretne sklopive funkcije kao slične jednostavne funkcije. Tom pokretna funkcija sklapanja posvećen naslovu članka. Još jednom, možete pročitati mnogo jednostavnih funkcija.

Usput se ne može bez promjena u izrazima. Za koje ćete možda morati otvoriti nove stranice Radnje u koracima i korijenimaі Dii s razlomcima .

Ako tražite rješenja za slične razlomke u koracima i korijenima, onda, ako se čini da funkcija radi , zatim slijedite lekciju "Zbroj razlomaka po koracima i korijenima."

Pa, pred vama je mjesto za čitanje , onda će vas zanimati “Virobni jednostavne trigonometrijske funkcije.”

Pokrokovljevi kundaci - kako znati izlaz

guza 3. Upoznajte skrivene funkcije

Odluka. Značajno je da dijelovi viraza funkcioniraju: cijeli viraz predstavlja tvir, kao spivnozhniki - zbrojevi, u drugima, uključujući jedan od dodanaka, stalni množitelj. Utvrđeno je pravilo razlikovanja proizvoda: slično dvjema funkcijama iste količine stvaranja kože s ovim funkcijama sličnim drugima:

Zatim se utvrđuje pravilo diferenciranja zbroja: zbroj algebarske funkcije sličan je zbroju algebre sličnih funkcija. Naš izgled u kožnom zbroju ima još jedan dodatak i predznak minus. Ukupan iznos ima veliku i nezavisnu varijablu, kao nekakvu jedinicu, i konstantu (broj), kao nekakvu nulu. Pa, "X" se pretvara u jedan, a minus 5 se pretvara u nulu. U drugoj verziji, "ix" se množi s 2, tako da se dva množi s istim jednim kao i "ix". Oduzimamo sljedeće vrijednosti:

Očigledno, pronađene su sličnosti u zbroju kreativnosti i postoji očit neophodan mentalni zadatak za sve funkcije:

I možete provjeriti ishod zadatka pri ruci na.

guza 4. Upoznajte skrivene funkcije

Odluka. Moramo znati tajnu privatnosti. Formula za razlikovanje dijelova je jednostavna: razlika između dijelova dviju funkcija je sličan razlomak, broj svakog broja je razlika između tvorbe znaka i broja broja, a znak je kvadrat broj. Zanemarljivo:

Već smo pronašli sličnog partnera za numeričkog znanstvenika u aplikaciji 2. Ne zaboravimo da je to također slučaj s drugim partnerom za numeričkog znanstvenika u trenutnoj aplikaciji, koristeći znak minus:

Mislite li da ima puno takvih zadataka u kojima je potrebno poznavati osnovne funkcije, gdje postoji značajna akumulacija korijena i koraka, kao što je npr. , tada ljubazno molimo za zaposlenje "Zbroj razlomaka u koracima i korijenima" .

Ako trebate znati više o linearnim sinusima, kosinusima, tangentama i drugima trigonometrijske funkcije, onda, ako se funkcija čini korisnom , onda lekcija za vas "Popis jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

stražnjica 5. Upoznajte skrivene funkcije

Odluka. Ova funkcija ima jedno od sljedećeg: kvadratni korijen nezavisne varijable koju smo naučili iz tablice sličnih. Slijedeći pravilo diferencijacije, tablična vrijednost kvadratnog korijena može se ukloniti:

Riješeni problem možete provjeriti u hodu na online kalkulatori putovanja .

stražnjica 6. Upoznajte skrivene funkcije

Odluka. Ova funkcija ima mnogo privatniju funkciju, čije je dijeljenje kvadratni korijen nezavisne varijable. Slijedeći pravilo razlikovanja privatnog, koje smo ponovili i saželi u Dodatku 4, tablična vrijednost sličnog kvadratnog korijena može se ukloniti:

Za korištenje razlomka u knjizi brojeva, pomnožite knjigu brojeva i knjigu znakova s ​​.

Kada je prva formula prikazana u tablici, dolazi iz vrijednosti pomične funkcije u točki. Uzmimo ga x- bez obzira na efektivni broj, x- Biti broj u području značaja funkcije. Zapišimo između porasta funkcije i porasta argumenta:

Važno je napomenuti da se ispod znaka granice nalazi izraz koji ne znači nužno da je nula podijeljena s nulom, budući da broj u kalkulatoru ne sadrži beskonačno malu vrijednost, već samu nulu. Drugim riječima, porast stacionarne funkcije uvijek je jednak nuli.

Na takav način Slično stacionarnoj funkcijijednaka nuli u cijelom rasponu vrijednosti.

Slično statičkoj funkciji.

Formula marširanja statička funkcija vidim de show pozornica str- Je li to važeći broj.

Prijeđimo odmah na formulu za prirodni stadij, tako da za p = 1, 2, 3, …

Iskoristimo zapovijedi za marš. Zapišimo između porasta statičke funkcije i porasta argumenta:

Da pojednostavimo stvari u brojevima, prijeđimo na Newtonovu binomnu formulu:

Otje,

Ovdje smo izveli formulu za sličnu statičku funkciju za prirodni indikator.

Slično funkciji prikaza.

Sljedeća formula temelji se na sljedećem:

Došli su do točke beznačajnosti. U tu svrhu uvest ćemo novu promjenu, a ujedno... Todi. U nastavku prijelaza revidirali smo formulu za prijelaz na novu bazu logaritma.

Definiramo zamjenu na izlaznoj granici:

Ako prijatelju kažete granicu čuda, tada dolazimo do formule marširajuće funkcije prikaza:

Slična logaritamska funkcija.

Predstavimo svima formulu za sličnu logaritamsku funkciju x u Galusi postoji vrijednost i sve dopuštene vrijednosti zamjene a logaritam. Za daljnje informacije:

Kao što ste primijetili, dokaz ponovnog stvaranja proveden je pomoću logaritma autoriteta. Ljubomora pravo od drugog čuda međe.

Slične trigonometrijske funkcije.

Da bismo izveli formule za slične trigonometrijske funkcije, morat ćemo riješiti nekoliko trigonometrijskih formula, kao i prvu čudesnu granicu.

Za vrijednosti slične funkciji sinusa možemo .

Izračunava se pomoću formule za razliku sinusa:

Postalo je nemoguće podivljati do prve granice čuda:

Na ovaj način, slično funkcijama grijeh xє cos x.

Formula za linearni kosinus izvedena je na potpuno sličan način.

Pa, slične funkcije cos xє -grijeh x.

Uvođenje formula u tablicu sličnih tangensu i kotangensu provest će se uvođenjem pravila diferenciranja (slično kao kod razlomaka).

Povezane hiperboličke funkcije.

Pravila diferenciranja i formula slične funkcije prikaza iz tablice sličnih funkcija omogućuju vam izvođenje formula sličnog hiperboličkog sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa.

Slično povratnoj funkciji.

Da ne bude zabune u prikazu, naznačimo u donjem indeksu argument funkcije, a zatim diferenciranje, tako da ista funkcija f(x) Po x.

Sada formulirajmo pravilo za pronalaženje slične funkcije preokreta.

Pustite funkcije y = f(x)і x = g(y) međusobno obrnuti, određeni u intervalima i potvrđeni. Kako je u točki glavna krajnja točka jednaka nuli, sličnost funkcije f(x), tada je zapravo krajnja točka slična funkciji vrata g (y), i . U drugim postovima .

Ovo se pravilo može preformulirati za svakoga x iz razmaka, tada se može ukloniti .

Provjerimo valjanost ovih formula.

Znamo povratnu funkciju za prirodni logaritam (ovdje g- funkcija, i x- Argument). Dopustivši da ceremonija bude velikodušna x, izostavljeno (ovdje x- funkcija, i g- njen argument). Tobto, i međusobno preokretanje funkcija.

Od stola marširajućih bachimosa, što і .

Ispada da nas formule za pronalaženje sličnih funkcija vrata dovode do sljedećih rezultata:

Kao što znate, uzeli smo iste rezultate kao u tablici rezultata.

Sada imamo znanje da dokažemo formule za slične trigonometrijske funkcije vrata.

Počnimo s arksinusom.

. Zatim, iza formule slične funkcije preokreta, možemo

Bilo je nemoguće izvršiti rekreaciju.

Fragmenti područja i intervala vrijednosti arcsinusa , To (Vidi odjeljak o osnovnim elementarnim funkcijama, njihovoj snazi ​​i grafikama). Zato nije očito.

Otje, . Područje koje odgovara arksinusu je interval (-1; 1) .

Za ark kosinus sve radi na potpuno isti način:

Znamo arktangens.

Za povratnu funkciju .

Virazimo arktangens kroz arkosinus, da jednostavno uklonimo viraz.

Idemo arctgx = z zatim

Otje,

Ovako se izračunava arktangens:

Predan je dokaz o izvođenju formule za varijablu kosinus - cos(x). Primijenite izračun sljedećih vrsta: cos 2x, cos 3x, cos nx, kosinus na kvadrat, kub i u koraku n. Formula za koeficijent kosinusa n-tog reda.

Zmist

div. također: Sinus i kosinus - potencije, grafikoni, formule

Slično promjeni x tipa kosinusa x u minus sinusa x:
(cos x)′ = - sin x.

Gotovo

Za izvođenje formule za koeficijent kosinusa, koji se ubrzava vrijednostima koeficijenta:
.

Pomirimo ovu teoriju kako bismo je sveli na poznate matematičke zakone i pravila. Za ovo moramo znati koje su moći.
1) Trigonometrijske formule. Trebamo ovu formulu:
(1) ;
2) Potencija kontinuiteta funkcije sinusa:
(2) ;
3) Značenje granice prvog čuda:
(3) ;
4) Snaga se nalazi između dvije funkcije:
Ako je tako, onda
(4) .

Mi zastosovuem ove zakone do naše granice. Algebarski izraz je sada rješiv
.
Za koga formula stagnira
(1) ;
Na našu vipadku
; . Todi
;
;
;
.

Razmislimo o postavljanju. U , . Snaga Vikorista je neprekinuta (2):
.

Pokušavam istu postavku i stagniram na granici čuda (3):
.

Fragmenti granice, broj stvari, nastaju, tada snaga stagnira (4):

.

Tim je sam došao do formule za linearni kosinus.

Nanesite ga

Pogledajmo samo ga iskoristi Pronalaženje sličnih funkcija za podešavanje kosinusa. Poznajemo slične vrste funkcija:
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2 x; y = jer 3 x ta y = cos n x.

stražnjica 1

Saznajte kako ići cos 2x, jer 3xі cosnx.

Izlazne funkcije imaju sličan izgled. Dakle, znamo funkciju y = cosnx. Zatim, na odlasku cosnx, zamjenjivi n = 2 i n = 3. Ovime odbijam formule za sljedeće vrste jer 2xі jer 3x .

Pa, znamo funkciju
y = cosnx .
Ova se funkcija može promatrati kao varijabla x kao sklopiva funkcija koja se sastoji od dvije funkcije:
1)
2)
Tada je izlazna funkcija sklopiva (skladišna) funkcija presavijena s funkcijom:
.

Znamo formulu za funkciju varijable x:
.
Pogledajmo funkciju promjene:
.
Zastosovamo.
.
Zamjenjivo:
(P1) .

Sada se formula (A1) može zamijeniti s i:
;
.

;
;
.

stražnjica 2

Odredite razliku između kosinusa kvadrata, kosinusa kuba i kosinusa koraka n:
y = cos 2 x; y = jer 3 x; y = cos n x.

Njegove funkcije imaju sličan izgled. Zato znamo kako treba ići halal funkcije- kosinus u fazi n:
y = cos n x.
Zatim zamijenimo n = 2 i n = 3. I tako uklanjamo formule za slične vrste kosinusa kvadrata i kosinusa kuba.

Pa, moramo znati odgovarajuću funkciju
.
Prepišimo to za inteligentniji izgled:
.
Ovu funkciju možemo vidjeti kao složenu funkciju koja se sastoji od dvije funkcije:
1) Funkcije koje treba imati na umu: ;
2) Funkcije za čuvanje kusur: .
Tada je izlazna funkcija funkcija preklapanja, sastavljena od dvije funkcije:
.

Znamo formulu za funkciju varijable x:
.
Poznata nam je sljedeća funkcija:
.
Utvrđeno je pravilo diferenciranja sklopne funkcije.
.
Zamjenjivo:
(P2) .

Sada zamijenimo i:
;
.

;
;
.

Nedavni događaji najvišeg reda

Dragi, ja odlazim cos x Prije svega, možete ga izraziti kroz kosinus sljedećim redoslijedom:
.

Znamo nešto o drugačijem poretku, Vikoristovu formulu za sličnu funkciju preklapanja:

.
Ovdje.

Poštovani, koja je razlika cos x ojačati argument na . Ovo je slično n-tom redu kako izgleda:
(5) .

Konačno, ova se formula može razviti dodatnom metodom matematičke indukcije. Dokaz za n-tu sinusnu progresiju objavljen je na stranici “Sinusna progresija”. Za n-to povećanje kosinusa, dokaz je sljedeći. Također je u svim formulama potrebno zamijeniti sin sa cos.

div. također:

Plaćanje poreza često se spaja zavdannyah ÊDÍ. Ova strana sadrži popis formula za pronalaženje sličnih.

Pravila razlikovanja

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x).
3. (f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x).
4. Pokhidna funkcija preklapanja. Ako je y=F(u) i u=u(x), tada se funkcija y=f(x)=F(u(x)) naziva presavijnom funkcijom u x. Rivna y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Funkcija je implicitna. Funkcija y=f(x) naziva se implicitnom funkcijom zadanom relacijom F(x,y)=0, budući da je F(x,f(x))≡0.
6. Slično povratnoj funkciji. Kako je g(f(x))=x, onda se funkcija g(x) naziva reverzna funkcija funkcije y=f(x).
7. Slično kao parametarski određena funkcija. Neka su x i y specificirani kao funkcija varijable t: x=x(t), y=y(t). Reći da je y=y(x) parametarski definirana funkcija na intervalu x∈(a;b), budući da se na čijem intervalu izjednačenje x=x(t) može izraziti u obliku t=t(x) i funkcija y=y( t(x))=y(x).
8. Slično funkciji statičkog prikaza. Postoji način izračunavanja logaritma na temelju prirodnog logaritma.

Molimo vas da sačuvate ovu poruku, jer bi neki dijelovi ove tablice mogli biti potrebni još mnogo puta.

Predan je dokaz i razvijena je formula za linearni sinus - sin(x). Primijenite izračun sljedećih vrijednosti: sin 2x, sinus kvadrata i kuba. Skica formule za sinus n-tog reda.

Zmist

div. također: Sinus i kosinus - potencije, grafikoni, formule

Slično varijabli x za sinus x jednak kosinusu x:
(sin x)′ = cos x.

Gotovo

Da bismo izveli formulu za linearni sinus, ubrzavamo vrijednosti linearnog sinusa:
.

Da bismo poznavali tu granicu, trebamo je preurediti na način da je dovedemo do poznatih zakona, autoriteta i pravila. Za ovo moramo znati koje su moći.
1) Značenje granice prvog čuda:
(1) ;
2) Kontinuitet kosinusne funkcije:
(2) ;
3) Trigonometrijske formule. Trebamo ovu formulu:
(3) ;
4) Aritmetička snaga između funkcija:
Ako je tako, onda
(4) .

Mi zastosovuem ova pravila do naših granica. Algebarski izraz je sada rješiv
.
Za koga formula stagnira
(3) .
Na našu vipadku
; . Todi
;
;
;
.

Sada napravimo zamjenu. U , . Stalno dodirujem granicu čuda (1):
.

Pogledajmo istu postavku i vikoryist snagu bez prekida (2):
.

Fragmenti granice, broj stvari, nastaju, tada snaga stagnira (4):

.

Formula za sinusnu krivulju je dovršena.

Nanesite ga

Pogledajmo jednostavne primjene pronalaženja sličnih funkcija kao što je sinusni pomak. Poznajemo slične vrste napadačkih funkcija:
y = sin 2x; y = grijeh 2 x ta y = grijeh 3 x.

stražnjica 1

Saznajte rutu grijeh 2x.

Najjednostavniji dio znamo odmah:
(2x) '= 2(x)' = 2 1 = 2.
Zastosovamo.
.
Ovdje.

(sin 2x) = 2 cos 2x.

stražnjica 2

Nađi vrijednost sinusa na kvadrat:
y = grijeh 2 x.

Prepišimo izlaznu funkciju na inteligentniji način:
.
Recite nam najjednostavniji dio:
.
Formulirajmo formulu za sličnu funkciju preklapanja.

.
Ovdje.

Možete koristiti jednu od trigonometrijskih formula. Todi
.

stražnjica 3

Pronađite formulu za kubni sinus:
y = grijeh 3 x.

Nedavni događaji najvišeg reda

Dragi, ja odlazim grijeh x Prije svega, možete ga izraziti kroz sinus sljedećim redoslijedom:
.

Znamo nešto o drugačijem poretku, Vikoristovu formulu za sličnu funkciju preklapanja:

.
Ovdje.

Sada možemo primijetiti da diferencijacija grijeh x ojačati argument na . Ovo je slično n-tom redu kako izgleda:
(5) .

Uvedimo jednostavnu metodu matematičke indukcije.

Već smo provjerili da kada formula (5) vrijedi.

Prihvatljivo je da formula (5) vrijedi za bilo koju vrijednost. Pogledajmo što znači da se formula (5) može izračunati za .

Formulu (5) zapisujemo na:
.
Proces diferencijacije, staza i pravila za diferencijaciju funkcija sklopa:

.
Ovdje.
Pa znamo:
.
Ako zamijenimo , tada će se pojaviti ova formula (5).

Formula je dovršena.

div. također: