Elektrostatičko polje stvara ravnomjerno nabijena neprekinuta površina. Pokažite da je ovo polje isto. Jakost elektrostatskog polja. Kolaps nabijenih čestica u homogenom električnom polju

Demonstriramo izvedivost Ostrogradsky-Gaussovog teorema na mnogim primjenama.

Polje neprecrtane jednoliko nabijene površine

Površinska debljina naboja na većoj površini S izračunava se po formuli:

de dq - Naboj, koncentracija na površini dS; dS – fizički iznimno mala površina.

Neka je ravnina S ista u svim točkama. Naboj q - Pozitivan. Napetost u svim točkama je ravna, okomita na ravninu. S(Slika 2.11).

Očito, na simetričnim, gotovo ravnim točkama, napetost će biti iste veličine i paralelna s ravnom linijom.

Postoji cilindar s otvrdnućem, okomito na ravninu, i baze Δ S, raspoređene simetrično da budu ravne (Sl. 2.12)

	Riža. 2.11	Riža. 2.12

Zaključimo Ostrogradsky-Gaussov teorem. Protok FE kroz čeoni dio površine cilindra jednak je nuli, jer

Ukupni protok kroz zatvorenu površinu (cilindar) je pouzdaniji:

Na sredini površine nalazi se naboj. Stoga iz Ostrogradsky-Gaussovog teorema možemo odbaciti:

;

Vidi se da jakost polja područja S ostaje ista:

(2.5.1)

Dobiveni rezultat pohranjuje se na dnu cilindra. To znači da na bilo kojoj udaljenosti od trga

Polje dviju jednako nabijenih ravnina

Neka su dvije neravne površine naboja nabijene različitim nabojima s istim intenzitetom σ (sl. 2.13).

Rezultirajuće polje, kako je gore definirano, je superpozicija polja koje stvara koža s površine.

Todi usred ravnice

(2.5.2)

Ravna poza jakost polja

Isti rezultat vrijedi i za ravnine krajnjih dimenzija, jer je razmak između ravnina puno manji od linearnih dimenzija ravnina (ravni kondenzator).

Među pločama kondenzatora postoji međusobna gravitacijska sila (po jedinici površine ploča):

gdje je S površina ploča kondenzatora. Jer , To

.

(2.5.5)

Ovo je formula za razvoj snage pondermotorike.

Polje nabijenog beskrajno dugog cilindra (nit)

Neka polje stvara neiskrivljena cilindrična površina radijusa R, nabijena ravnomjernom linearnom gustoćom, gdje je dq naboj koncentriran na presjeku cilindra (slika 2.14).

Savršenstvo simetrije znači da će E u bilo kojoj točki biti ravno duž polumjera, okomito na os cilindra.

Vidljivo oko cilindra (navoj) koaksijalni zatvorena površina ( cilindar uz cilindar) radijus r i dozhina l (baze cilindara su okomite na os). Za baze cilindara na površini cijevi. leći u blizini periferije r.

Pa, tok vektora kroz površinu, koji se čini drevnim

Kada postoji naboj na površini, prema teoremu Ostrogradskog-Gausa,

.

(2.5.6)

Yakshcho, jer U sredini zatvorene površine nema naboja (sl. 2.15).

Promjenom polumjera cilindra R (pri ), moguće je ukloniti polje s vrlo velikom napetosti u blizini površine i, pri , ukloniti nit.

Polje od dva koaksijalna cilindra linearne debljine λ, ali drugačiji znak

U sredini manjeg i većeg cilindra polje će biti istog dana (slika 2.16).

Na razmaku između cilindara, polje se određuje na isti način kao u prednjem dosjedu:

To vrijedi i za beskonačno dug cilindar i za cilindre krajnje duljine, budući da je razmak između cilindara mnogo manji za cilindre krajnje duljine (cilindrični kondenzator).

Polje nabijene šuplje jezgre

Šuplja jezgra (ili kugla) radijusa R nabijena je pozitivnim nabojem površinske gustoće σ. Polje će u ovoj jeseni biti centralno simetrično - u bilo kojoj će točki prolaziti kroz središte hladnjaka. ,i električni vodovi okomito na površinu u bilo kojoj točki. Oko rashladne tekućine vidljiva je sfera polumjera r (slika 2.17).

8. Elektrostatičko polje stvara jednoliko nabijena neprekinuta površina. Pokažite da je ovo polje isto.

Neka debljina površine nabije stari s. Očito, vektor E može biti samo okomit na ravninu naboja. Osim toga, očito je da je u simetričnim točkama iste ravnine vektor E ipak iza modula i da se proteže izravno. Ova konfiguracija polja označava da je površina traga zatvorena, odabirom izravnog cilindra, gdje je s veće od nule. Protok preko cijele površine ovog cilindra jednak je nuli, pa će povratni protok kroz cijelu površinu cilindra biti jednak 2*E*DS, gdje je DS površina kraja kože. Prošireno na Gausov teorem

gdje je s*DS naboj naboja u sredini cilindra.

Točnije, napišite ovaj niz ovako:

gdje je En projekcija vektora E na normalu n na nabijeno područje, a vektor n pripada tom području.

Činjenica da ne leži od uspona do ravnine znači da je električno polje jednoliko.

9. Od bakrene strelice pripremljena je četvrtina kolca polumjera 56 cm, duž koje je ravnomjerno raspoređen naboj linearne čvrstoće 0,36 nC/m. Pronađite potencijal u središtu uloga.

Dakle, naboj se linearno raspoređuje duž strelice kako bi se pronašao potencijal u središtu, izračunat po formuli:

De s – linearna debljina naboja, dL – element strelice.

10. U električnom polju stvorenom točkastim nabojem Q, negativni naboj -q kreće se duž linije sile od točke pomaknute na stanici r 1 do naboja Q do točke pomaknute na stanici r 2. Nađite povećanje potencijalne energije na naboj -q pri tom pomaku.

Za veće potencijale, ova vrijednost je numerički jednaka potencijalnoj energiji jednog pozitivnog naboja u ovoj točki polja. Također, potencijalna energija za naboj q 2:

11. Dva nova elementa iz e.r.s. 1.2 i interni nosač 0.5 Ohm spojeni paralelno. Baterija je odspojena i kratko spojena na vanjsku referencu od 3,5 Ohma. Doznajte snagu strume u vanjskom lanciju.

To je u skladu s Ohmovim zakonom za sav Lanzug do snage trenutnog Lanzuga:

De E` - EPC baterijski elementi,

r` - podrška za unutarnju bateriju, koja je starija:

EPC baterija se sastoji od tri serijski povezana EPC elementa:

Otje:

12 V električna lanceta Dosljedno uključeni bakreni i čelični dijelovi jednake težine i promjera. Otkrijte količinu topline koja se može vidjeti u tim stablima.

Izgleda kao da ima duljinu L i promjer d, izrađen od materijala s jakim osloncem p. Osnova za R može se pronaći pomoću formule

De s = - Područje poprečnog reza strelice. Kad se povuče sila struje I t, vodič vidi količinu topline Q:

U ovom slučaju, pad napona na strelici je jedan:

Pitomy opir midi:

p1 = 0,017 µOhm * m = 1,7 * 10 -8 Ohm * m

kućni ljubimci opirželjezo:

p2 = 10 -7 Ohm * m

Budući da se mlaznice uključuju uzastopno, jakost struje u njima je ista i po satu t se vidi u količini topline Q1 i Q2:

12. U jednoličnom magnetskom polju nalazi se kružni svitak iz toka. Područje zavojnice je okomito na silnice polja. Dovedite da rezultirajuća sila koja djeluje sa strane magnetskog polja na krug bude jednaka nuli.

Fragmenti kružne zavojnice iz potoka nalaze se u jednoličnom magnetskom polju, što je Amperova sila. Na temelju formule dF=I, rezultirajuća amperska snaga koja teče po zavoju iz struje dana je kao:

Deintegracija se provodi iza ove konture i struje I. Ako je magnetsko polje jednoliko, tada se vektor može postaviti iza integrala i zbrojiti prije izračuna vektorskog integrala. Ovaj integral je zatvorena petlja elementarnih vektora dL, koji je jednak nuli. To znači da je F = 0, tada je rezultirajuća amperska sila jednaka nuli jednoličnog magnetskog polja.

13. Duž kratke zavojnice, za smještaj 90 zavoja promjera 3 cm, provucite žicu. Jakost magnetskog polja koje struja stvara na osi zavojnice na udaljenosti 3 cm iznad nje je 40 A/m. Razmotrite snagu potoka u kotushcima.

Važno je da je magnetska indukcija u točki A superpozicija magnetske indukcije koju stvara površinska zavojnica zavojnice:

Da bismo pronašli brzinu zavojnice, koristimo Biot-Savart-Laplaceov zakon.

De, dBturn je magnetska indukcija polja, stvorena strumnim elementom IDL u točki, koja je označena radijus vektorom r. Vidljivo na kraju elementa dL i odatle do točke A, crtamo radijus vektor r. Vektor dBturn se može usmjeriti u skladu s pravilom gimleta.

Slično principu superpozicije:

Integracija se provodi preko svih elemenata dLturna. Postavljamo dBturn u dva skladišta dBturn (II) - paralelno s površinom prstena i dBturn (I) - okomito na površinu prstena. Todi

Uočivši to iz oznake simetrije i da su vektori dBturn(I) ravni, umjesto vektorske integracije sa skalarnom:

De dBturn(I) =dBturn*cosb i

Krhotine dl okomite r

Skratite ga na 2p i zamijenite cosb s R/r1

Virazimo zvidsi Znam R=D/2

Ovdje je formula koja povezuje magnetsku indukciju i jakost magnetskog polja:

slijedeći Pitagorin teorem iz naslonjača:

14. U jednom magnetskom polju elektron leti u smjeru okomitom na silnice brzinom 10?10 6 m/s i kolapsira duž luka kolca polumjera 2,1 cm. Nađite indukciju magnetsko polje.

Na elektron koji kolabira u jednoličnom magnetskom polju, Lorentzova sila djeluje okomito na fluidnost elektrona i stoga je ravno u središte udjela:

Fragmenti su izrezani između v i í dorovny 90 0:

Fragmenti sile Fl usmjereni su u središte kruga, a elektron se pod utjecajem te sile sruši na kolac, zatim

Virizabilna magnetska indukcija:

15. Kvadratni okvir stranice 12 cm, izrađen od bakra, postavljen u magnetsko polje čija se magnetska indukcija mijenja po zakonu B=B 0 Sin(ωt), de B 0 =0,01 T, ω= 2 π/ T ta T=0,02 s. Područje okvira je okomito na magnetsko polje. Nađite najveću vrijednost e.r.s. Indukcija, koja je u okviru.

Površina kvadratnog okvira S = a2. Promjena magnetskog toka dj kada je površina okvira okomita dj=SdB

Indicirana je indukcija EPC

E će biti maksimalan pri cos(wt)=1

U jednoličnom električnom polju sila koja djeluje na nabijenu česticu konstantna je i po veličini i po smjeru. Stoga je kolaps takvih dijelova sličan kolapsu tijela u težini zemlje bez osiguranja potpore vjetra. Putanja čestice u ovom obliku je ravna, leži u blizini ravnine, koja postavlja vektore brzine klipa čestice i jakosti električnog polja

Potencijal elektrostatičko polje. Snažan izraz koji povezuje potencijal s napetošću.

Potencijal u bilo kojoj točki elektrostatskog polja fizikalna je veličina određena potencijalnom energijom jednog pozitivnog naboja smještenog u toj točki. Potencijal polja stvorenog točkastim nabojem Q veći je od

Potencijal je fizikalna veličina koja je određena kretanjem jednog pozitivnog električnog naboja kada se određena točka polja ukloni iz polja. Ovaj je robot brojčano moderniji po tome što vanjske sile djeluju (protiv sila elektrostatskog polja) od pomicanja jednog pozitivnog naboja od nekonzistentnosti do Qiu točka polja.

Jedinica potencijala je volt (V): 1 V je tradicionalni potencijal takve točke polja, u kojoj naboj od 1 C ima potencijalnu energiju od 1 J (1 V = 1 J/C). Naponska dimenzija volta može se pokazati da je prethodno uvedena jedinica jakosti elektrostatskog polja efektivno jednaka 1 V/m: 1 N/C=1 N m/(C m)=1 J/(C m)=1 V/m.

Iz formula (3) i (4) slijedi da ako polje stvara nekoliko naboja, tada je potencijal ovog polja sustava naboja jednak zbroju algebre potencijala polja svih ovih naboja:

Napon u bilo kojoj točki električnog polja jednak je gradijentu potencijala u toj točki, uzetom iz znaka skretanja. Predznak minus pokazuje da je napon E izravno povezan s promjenom potencijala.

E = - grad phi = - N phi.

Da bismo uspostavili vezu između karakteristike sile električnog polja - napetosti i njegove energetske karakteristike - potencijala, razmatramo elementarni rad sila električnog polja na beskonačno mali pomaknuti točkasti naboj q: dA = q E dl, ovaj rad je sličan ê gubitak potencijalne energije za naboj q: dA = - dWp = - q dfí, de dfí - Promjena potencijala električnog polja pri najvećem pomaku dl. Isključeni su jednaki desni dijelovi izraza: E dl = -d f ili Kartezijev koordinatni sustav

Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d phi

gdje su Ex, Ey, Ez projekcije vektora naprezanja na os koordinatnog sustava. Fragmenti se izražavaju potpunim diferencijalom, tada za projekciju vektora naprezanja možemo

Viraz, koji stoji na krakovima, je gradijent fi potencijala.

Načelo superpozicije temeljna je moć polja. Proračuni polja za jakost i potencijal polja stvorenog u točki s radijus vektorom sustavom točkastih naboja smještenih u točkama s koordinatama.

Ako pogledamo princip superpozicije u općem smislu, onda je očito da je zbroj priljeva vanjskih sila koje djeluju na dio formiran iz okolnog značenja kože njih. Ovaj princip ostaje isti u svim linearnim sustavima. takvi sustavi čije se ponašanje može opisati linearnim odnosima. Kundak može kundak jednostavna situacija, kada se linearna kičma širi usred pjesme, vlasti se moraju spasiti od navale oluja koje se dižu kroz same kičme. Ta se moć definira kao specifičan zbroj učinaka u koži i sklad skladišta.

Načelo superpozicije može se usvojiti u drugim formulacijama, koje su ekvivalentne sljedećem:

· Međudjelovanje između dviju čestica ne mijenja se kada se uvede treća čestica, koja također stupa u interakciju s prve dvije.

· Energija međudjelovanja između svih čestica u sustavu s bogatim dijelovima jednostavno je zbroj energija međudjelovanja između svih mogućih parova čestica. Sustav nema mnogo parcijalnih interakcija.

· Linija koja opisuje ponašanje sustava bogatih dijelova je linearna za određeni broj čestica.

6 Kruženje vektora napona naziva se radnja u kojoj se generiraju električne sile kada se jedan pozitivni naboj pomiče zatvorenim krugom L

Fragmenti rada sila elektrostatskog polja po zatvorenom krugu jednaki su nuli (rad sila potencijalnog polja), a tada je kruženje jakosti elektrostatskog polja po zatvorenom krugu jednako nula.

Potencijal sfere. Rad bilo kojeg elektrostatskog polja kada se kreće u novom nabijenom tijelu iz jedne točke u drugu također ne leži u obliku putanje, kao rad jednolikog polja. Na zatvorenoj putanji robota, elektrostatičko polje uvijek doseže nulu. Polja koja sadrže takvu snagu nazivaju se potencijalima. Potencijalni karakter, zocrema, postoji elektrostatičko polje točkastog naboja.
Rad potencijalnog polja može se izraziti kroz promjenu potencijalne energije. Formula vrijedi za bilo koje elektrostatičko polje.

7-11 Ako linije sile jednoličnog električnog polja s napetostima prodiru kroz ploču S, tada se tok vektora napetosti (prethodno smo zvali broj linija sile kroz platformu) izračunava po formuli:

de En - dodatni vektor na normalu na ovaj majdan (sl. 2.5).

Riža. 2.5

Dodatni broj linija sila koje prolaze površinom S naziva se tok vektora naprezanja FE kroz tu površinu.

U vektorskom obliku možete napisati - skalarno tijelo od dva vektora, de vektor.

Dakle, tok vektora je skalar, koji ovisi o vrijednosti koja može biti pozitivna ili negativna.

Pogledajmo kundak, prikazan na slikama 2.6 i 2.7.

	Riža. 2.6	Riža. 2.7

Za bebu 2.6 – površina A1 će odisati pozitivnim nabojem i ovdje postoji tok ispravljanja, da tako kažem. Površina A2 emitira negativan naboj, ovdje je ispravljena u sredini. Podzemni protok kroz površinu A jednak je nuli.

Za bebu 2.7 protok nije jednak nuli, jer ukupni naboj u sredini površine nije jednak nuli. Za ovu konfiguraciju, protok kroz površinu A je negativan (podesite broj energetskih vodova).

Na taj način tok vektora napona leži uz naboj. Što je značenje Ostrogradsky-Gaussovog teorema?

Gausov teorem

Coulombov zakon i princip superpozicije eksperimentalno su utvrđeni da potpuno opisuju elektrostatsko polje danog sustava naboja u vakuumu. Međutim, snaga elektrostatskog polja može se izraziti u drugačijem, naprednijem obliku, bez unošenja točkastog naboja u kulonsko polje.

Uveli smo novu fizikalnu veličinu koja karakterizira električno polje - protok Φ vektor jakosti električnog polja. Neka otvoreni prostor, gdje je stvoreno električno polje, roztashovanie deyakiy završi mali Maidan ΔS. Dodatak modula vektora na površinu ΔS i na kosinus presjeka α između vektora i normale na maidan naziva se elementarni tok vektora naprezanja kroz maidan ΔS (slika 1.3.1):

Pogledajmo sada dovoljno zatvorenu površinu S. Podijelimo li ovu površinu na male kvadrate ΔSi, odredimo elementarne tokove ΔΦi polja kroz te male kvadrate, a zatim zbrojimo, kao rezultat možemo izdvojiti tok Φ vektora kroz zatvorenu površinu S ( sl. 1.3.2) :

Gausov teorem je potvrđen:

Tok vektora jakosti elektrostatskog polja kroz dovoljno zatvorenu površinu je zbroj algebre naboja raspoređenih u sredini te površine, podijeljen s električnom konstantom ε0.

de R - polumjer sfere. Protok Φ kroz sfernu površinu dodatnog elementa E na područje sfere 4πR2. Otje,

Izoštrimo sada točkasti naboj s dovoljno zatvorenom površinom S i pogledajmo dodatnu sferu radijusa R0 (sl. 1.3.3).

Pogledajmo stožac s malim mesnatim rezom ΔΩ na vrhu. Ovaj stožac se na sferi vidi kao mali majdan ΔS0, a na plohi S – majdan ΔS. Međutim, elementarni tokovi ΔΦ0 i ΔΦ kroz ove majdane. Pravi,

Na sličan način može se pokazati da ako zatvorena površina S ne apsorbira točkasti naboj q, tada je protok Φ = 0. Ova vrsta slike na Sl. 1.3.2. Kroz zatvorenu površinu S prodiru svi vodovi električnog polja točkastog naboja. U sredini površine S nema naboja, pa se u tom području silnice ne kidaju i ne stvaraju.

Proširenje Gausovog teorema na postojanje dovoljne raspodjele naboja slijedi iz principa superpozicije. Polje bilo koje raspodjele naboja može se smatrati vektorskim zbrojem električnih polja točkastih naboja. Tok Φ sustava naboja kroz dovoljno zatvorenu površinu S sastoji se od toka Φi električnih polja okolnih naboja. Ako se na sredini plohe S pojavi naboj qi, on pridonosi strujanju, a isti se naboj pojavljuje i na površini, tada je električno polje uneseno u tok jednako nuli.

Time je Gausov teorem završen.

Gausov teorem je potomak Coulombovog zakona i principa superpozicije. Ako tvrdnju koja je uključena u ovaj teorem uzmemo kao cob aksiom, pojavit će se Coulombov zakon. Stoga se Gausov teorem ponekad naziva alternativnom formulacijom Coulombovog zakona.

Koristeći Gausov teorem, moguće je lako izračunati jakost električnog polja oko nabijenog tijela u brojnim slučajevima, budući da raspodjela naboja ima određenu simetriju i temeljna struktura polja može se nagađati kasnije.

Dugačak se može koristiti za izračunavanje polja praznog, jednoliko nabijenog dugog cilindra tankih stijenki polumjera R. Ovo ima osnu simetriju. Nestankom simetrije električno polje je usmjereno radijusom. Stoga je za primjenu Gausovog teorema potrebno odabrati zatvorenu plohu S u obliku spojnog valjka polumjera r i polovice l, zatvorenog na oba kraja (sl. 1.3.4).

Pri r R cijeli tok vektora naprezanja proći će kroz površinu bačve cilindra, čija je površina jednaka 2πrl, budući da je protok kroz površinu jednak nuli. Sažetak Gausovog teorema daje:

Ovaj rezultat ne leži unutar radijusa R nabijenog cilindra, stoga je stagniran i do polja duge, jednoliko nabijene niti.

Za povećanje jakosti polja u sredini nabijenog cilindra potrebno je imati zatvorenu površinu za pad r< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

Na sličan način, može se koristiti Gausov teorem za izračunavanje električnog polja u nizu drugih faza, ako raspodjela naboja ima bilo kakvu simetriju, na primjer, simetriju prema središtu, površini ili osi. U slučajevima takvih poremećaja potrebno je odabrati zatvorenu Gaussovu plohu cjelovitog oblika. Na primjer, u slučajevima središnje simetrije, Gaussova površina može se ručno odabrati da izgleda kao sfera sa središtem u točki simetrije. S osnom simetrijom, zatvorena ploha mora biti odabrana kao koaksijalni cilindar zatvoren na oba kraja (kao u gore spomenutom kundaku). Budući da raspodjela naboja nema nikakvu simetriju, a podzemnu strukturu električnog polja nemoguće je pogoditi, valjanost Gausovog teorema ne može se objasniti zadanom vrijednošću jakosti polja.

Pogledajmo još jedan primjer simetrične raspodjele naboja - vrijednost polja jednoliko nabijenog područja (sl. 1.3.5).

U ovom slučaju, Gaussova ploha S mora biti odabrana u obliku dvostrukog cilindra, zatvorenog na oba kraja. Cijeli cilindar je ispravljen okomito na nabijenu površinu, a njegov kraj je pomaknut na istu udaljenost od nje. Zbog simetrije, polje jednoliko nabijenog područja je ravno preko normale. Sažetak Gausovog teorema daje:

de σ - Površinska debljina naboja, odnosno naboja koji pada na jedinicu površine.

Eliminacija izraza za električno polje jednoliko nabijene površine stagnira i istovremeno nabijene ravne nosače krajnje veličine. U čijoj je točki točka u kojoj se određuje jakost polja, do nabijenog majdana znatno manja od veličine majdana.

Í rasporedi do 7 – 11

1. Jakost elektrostatskog polja koje stvara jednoliko nabijena sferna površina.

Neka sferna površina polumjera R (slika 13.7) nosi ravnomjerno raspoređeni naboj q, tada. Površinska snaga naboja u bilo kojoj točki sfere bit će ista.

a. Konačno, naša sferna ploha je simetrična plohi S polumjera r>R. Tok vektora naprezanja kroz plohu S je moderniji

Prema Gausovom teoremu

Otje

S. Povucimo kroz točku koja se nalazi u sredini nabijene sferne plohe sferu S radijusa r

2. Elektrostatsko polje hladnjaka.

Neka se giba kugla radijusa R, ravnomjerno nabijena volumetrijskom gustoćom.

U bilo kojoj točki A, koja leži na položaju kalema na udaljenosti r ispred njegovog središta (r>R), njegovo polje je slično polju točkastog naboja koji se nalazi u središtu kalema. Todi pose kuleyu

(13.10)

ale u jogo površini (r=R)

(13.11)

U točki koja se nalazi u sredini kružnice na plohi r blizu njezina središta (r>R), polje je određeno nabojem smještenim u sredini kugle polumjera r. Tok vektora napetosti kroz ovu kuglu

s druge strane, slično Gausovom teoremu

Prema Gausovom teoremu

Preostala dva izraza označavaju jakost polja koju stvara jednoliko nabijena nit:

(13.13)

Neka površina ima beskonačan opseg i neka je naboj za jedinicu površine veći od σ. Prema zakonima simetrije, slijedi da je polje cijelom dužinom ravno, okomito na ravninu, a ako nema drugih vanjskih naboja, polja duž prijelaznih strana ravnine ostaju ista. Dio nabijene plohe okružimo prozirnom cilindričnom kutijom, na način da se kutija otvori i postavi okomito, a dvije baze koje pokrivaju površinu kože su paralelne s nabijenom plohom (sl. 1.10).

12. Polje jednoliko nabijene kugle.

Neka je električno polje stvoreno nabojem Q, ravnomjerno raspoređen po površini polumjera sfere R(Mal. 190). Za izračunavanje potencijala polja u dovoljnoj točki koja se nalazi na postolju r u blizini središta kugle, potrebno je izračunati učinak polja pri pomicanju jednog pozitivnog naboja iz dane točke u beskonačnost. Prethodno smo otkrili da je jakost polja jednoliko nabijene kugle ekvivalentna polju točkastog naboja raspoređenog u središtu kugle. Dakle, kada se nanese kugla, potencijal polja kugle će biti jednak potencijalu polja točkastog naboja

φ (r)=Q 4πε 0r . (1)

Dakle, na površini sfere potencijal je veći φ 0=Q 4πε 0R. U sredini kugle postoji elektrostatičko polje, što znači da pomicanjem naboja iz dovoljne točke koja se nalazi u sredini kugle na njenoj površini dolazi do nule. A= 0, stoga je razlika potencijala između tih točaka također jednaka nuli Δ φ = -A= 0. Dakle, sve točke u sredini kugle imaju isti potencijal koji je jednak potencijalu njezine površine φ 0=Q 4πε 0R .

Tada se vidi podjela potencijala polja jednoliko nabijene kugle (sl. 191)

φ (r)=⎧⎩⎨Q 4πε 0R, npu r<RQ 4πε 0r, npu r>R . (2)

Vratite se na to da je polje u sredini sfere dnevno, a potencijal sveden na nulu! Ovaj primjer jasno ilustrira da je potencijal dodijeljen vrijednostima polja u danoj točki do beskonačnosti.

Za razvoj polja stvorenih nabojima jednoliko raspoređenim po sfernim, cilindričnim ili ravnim površinama, koristite Ostrogradsky-Gausov teorem (odjeljak 2.2).

Metodologija razvoja polja temeljena na dodatnom teoremu

Ostrogradski - Gaus.

1) Odaberite dovoljno zatvorenu površinu koja zagrijava nabijeno tijelo.

2) Izračunavamo tok vektora napona preko površine.

3) Izračunavamo ukupni naboj na površini.

4) Zamijenite u Gaussov teorem da izračunate vrijednost i izrazite jakost elektrostatskog polja.

Nanesite sloj vode na polja

Polje jednoliko nabijenog nezakrivljenog cilindra (navoj).

Neka beskrajni radijus cilindra R ravnomjerno punjenje s linearnim intenzitetom naboja + τ (slika 16).

Sjena simetrije znači da će linije jakosti polja u bilo kojoj točki biti ravne duž ravnih radijalnih linija, okomitih na os cilindra.

Kako je površina zatvorena, izborno koaksijalna s podacima (iz cijele simetrije) polumjer cilindra r te kovrče ℓ .

Razrahuemo vektor protoka kroz zadanu površinu:

,

de S Osnovni, temeljni , S b_k– ravniji od baze i površine.

Tok vektora naprezanja kroz ravninu temelja jednak je nuli, dakle

Ukupni naboj koji je zgnječen pokrivenom površinom:

.

Stavivši sve u Gausov teorem, gledajući ih ε = 1, može se odbaciti:

.

Snaga elektrostatskog polja koju stvara beskrajno jednoliko nabijen cilindar ili beskonačno jednoliko nabijena nit u točkama koje se njime šire:

, (2.5)

de r - Vidstan vrsta osi cilindar do zadane točke ( r ≥ R );

τ - snaga linearnog naboja .

Yakshcho r < R , tada se analizira zatvorena površina naboja u sredini; dakle, u ovom slučaju E = 0, tada. u sredini cilindra, nema polja .

Polje jednoliko nabijene neprecrtane površine

P Neravna površina nabijena je konstantnom debljinom površine + σ .

Kako je ploha odabranog cilindra zatvorena, baza je paralelna s plohom naboja, a cijeli je okomit na nju (slika 17). Fragmenti pravca koji tvore vanjsku površinu cilindra paralelni su s linijama naprezanja, tada je tok vektora naprezanja preko vanjske površine jednak nuli. Tok vektora naprezanja kroz dvije ravninske baze

.

Ukupni naboj koji je zgnječen pokrivenom površinom:

.

Zamjenom svega u Gausov teorem, možemo eliminirati:

Jakost elektrostatskog polja neukriženog jednoliko nabijenog područja

. (2.6)

Iz ove formule jasno je da E ne leže blizu dna cilindra, tako da napon polja bude isti u svim točkama. Drugim riječima, polje jednoliko nabijene površine uniforma.

Polje dvaju paralelnih paralelnih

različito nabijene ravnine

P Neka su površine ravnomjerno nabijene s istom debljinom površine + σ і – σ (Slika 18).

Slično principu superpozicije,

.

Iz malog se vidi da su u području između ravnina linije sile ravne, što rezultira napetostima

. (2.7)

Poza tijela okružena ravnima, poljima koja se savijaju, savijaju duž ravnih linija, tako da je rezultirajuća napetost blizu nule.

Stoga se polje čini spokojnim između ravnica. Dobiveni rezultat približno vrijedi za površine krajnjih dimenzija, budući da je razmak između ravnina puno manji od njihove površine (plošni kondenzator).

Ako su na plohama raspodjele naboja istog predznaka s istom debljinom površine, tada između ploča postoji polje, a položaj ploča izračunava se pomoću formule (2.7).

Snaga polja

jednoliko nabijena kugla

Polje koje stvara radijus sferne površine R , nabijen jakošću površinskog naboja σ , budući da su središnje simetrične, tada su linije napetosti ispravljene duž polumjera sfere (slika 19 a).

Kako je površina zatvorena i odabran radijus kugle r , koji je nebeski centar nabijene sfere.

Yakshcho r > R , tada sredina površine troši sav naboj Q .

Tok vektora naprezanja preko površine kugle

Zamjenom ovoga s Gausovim teoremom, možemo eliminirati:

.

Jakost elektrostatskog polja za jednoliko nabijenu kuglu:

, (2.8)

de r - Vidstan od centra sferi.

Vidi se da je polje isto kao i polje točkastog naboja iste veličine smještenog u središtu kugle.

Yakshcho r < R , tada zatvorena ploha ne smeta sredini naboja, pa u sredini nabijene sfere polje je dnevno (Slika 19, b).

Jakost polja volumena

napunjena rashladna tekućina

P imati kuglu radijusa R punjenje s konstantnom volumetrijskom snagom naboja ρ .

Polje u ovom obliku ima centralnu simetriju. Za jakost polja, položaj rashladne tekućine daje isti rezultat kao za površinski nabijenu kuglu (2.8).

Za središnju točku culi, napetost će biti drugačija (slika 20). Sferna površina grli naboj

Stoga je ovo u skladu s Gausovim teoremom

Vrahovoyuchi scho
, izostaviti:

Jakost elektrostatskog polja u sredini volumetrijski nabijene jezgre

(r ≤ R ). (2.9)

.

Zavdannya 2.3 . Polje ima beskonačno dugo područje s jakošću površinskog naboja σ objesivši malu vrećicu maslaca na konac m , koji ima naboj istog predznaka kao i njegova površina. Saznajte naboj vrećice, jer se nit povezuje s okomitom linijom α

Odluka. Vratimo se rješavanju zadatka 1.4. Razlika je u tome što u zadatku 1.4 sila
izračunava se prema Coulombovom zakonu (1.2), a zadatak 2.3 - prema vrijednosti jakosti elektrostatskog polja (2.1)
. Jakost elektrostatskog polja neiskrivljenog jednoliko nabijenog područja izvedena je pomoću dodatnog Ostrogradsky-Gaussovog teorema (2.4).

P Sve su ravnine jednolike i leže od uspona do ravnine. 3 sl. 21:

.

 Vratiti poštovanje Da bismo pronašli silu koja djeluje na naboj smješten blizu polja raspodijeljenog na naboj, potrebno je koristiti formulu

,

a intenzitet polja stvorenog dekalom podijeljenih valova stoji iza principa superpozicije. To je zbog činjenice da je jakost elektrostatskog polja distribucije crpki povezana s vikonizmom Ostrogradsky-Gaussovog teorema.

Zavdannya 2.4. Ispred jakosti polja u sredini i držanja ravnomjerno nabijene ploče stroja d volumen jakosti naboja u sredini ploče ρ . Napravite raspored rada E (x ).

Odluka. Ishodište koordinata može se smjestiti u srednju ravninu ploče, a i cijelu OH smjerno okomito na njega (slika 22, a). Iznosimo Ostrogradsky-Gausov teorem za raspodjelu jakosti elektrostatskog polja nabijenog neprecrtanog područja, zatim

.

Vrijednost volumetrijske snage naboja

,

onda se za napetost oduzima

.

Zvijezda pokazuje da se ispod nalazi polje u sredini šala x . Polje držanja pokriveno je na isti način:

Sa slike se vidi da je polje poze s haljinom isto. Grafikon intenziteta napona E pogled x na sl. 22, b.

Zavdannya 2.5. Polje stvaraju dvije beskrajno duge niti nabijene linearnim snagama naboja – τ 1 ta + τ 2 . Niti su tkane okomito jedna na drugu (slika 23). Odredi jakost polja u točki koja se nalazi na stalku r 1 і r 2 vrsta niti.

R odluka. Pokažimo mališanu intenzitet polja koje stvara kožna nit. Vektor ravnanje prije Prve niti, krhotine, negativno je nabijeno. Vektor ravnanje pogled druga nit, tamošnji fragmenti, pozitivno su nabijeni. Vektori і međusobno okomiti, rezultirajući vektor bit će hipotenuza trikutanog rektuma. Vektorski moduli і označeni su formulom (2.5).

Iza principa superpozicije

.

Iza Pitagorine teoreme

Zavdannya 2.6 . Polje stvaraju dva nabijena, beskrajno prazna radijusa koaksijalnog cilindra. R 1 і R 2 > R 1 . Površinska debljina naboja jednaka – σ 1 і + σ 2 . Nađite jakost elektrostatičkog polja u točkama koje se približavaju:

poanta A zakačen na cesti d 1 < R 1 ;

b) točka U zakačen na cesti R 1 < d 2 < R 2 ;

c) točka Z zakačen na cesti d 3 > R 1 > R 2 .

Postolje je poravnato s osi cilindra.

Odluka. Koaksijalni cilindri su cilindri koji se kreću potpuno u svim simetrijama. Mališane ćemo prikazati na novoj točki (slika 24).

E A = 0.

mrlja U se pomiče u sredini većeg cilindra, u kojoj točki polje stvara samo manji cilindar:

.

Virazim linearna debljina naboja kroz površinsku debljinu naboja. Za koju je brzina određena formulama (1.4) i (1.5), za koju je naboj odrediv:

Desni dio se izjednačava i oduzima:

,

de S 1 - Površina prvog cilindra.

Obećanja čega
, ostatak se može ukloniti:

mrlja Z Cilindri oba cilindra su obnovljeni, tako da polje stvaraju oba cilindra. Iza principa superpozicije:

.

Kako bismo izravnali i uklonili otekline uklanjamo:

.

Zavdannya 2.7 . Polje stvaraju dvije nabijene, beskrajno paralelne ravnine. Površinska debljina naboja jednaka σ 1 і σ 2 > σ 1 . Odredite jakost elektrostatskog polja u točkama koje se nalaze između ploča i položaj ploča. Riješite problem za dvije vrste:

a) ploče su istovremeno nabijene;

b) ploče su različito nabijene.

Odluka. Međutim, u vektorskom prikazu snaga rezultirajućeg polja se bilježi. Slično principu superpozicije:

.

Vektorski moduli і izračunato pomoću formule (2.6).

a) Budući da su ravnine naboja u isto vrijeme, tada između ravnina zatezanja postoje ravne strane (slika 26, a). Modul rezultirajućeg naprezanja

Poza s napetošću і ispraviti u jedan b_k. Dakle, budući da je polje neiskrivljenih nabijenih ravnina uniformno, tako da ne leži između površina i ravnina, tada će u bilo kojoj točki lijevo ili desno od ravnina polje biti isto:

.

b) Budući da su površine naboja različito nabijene, tada su, na primjer, između ravnina napetosti ispravljene u jednu stranu (slika 26, b), a položaj ravnina je drugačiji.

stražnjica 1. Tanka, beskonačno dugačka nit jednoliko je nabijena linearnim nabojem λ . Odredi jakost elektrostatičkog polja E(r) na suprotnoj strani r vrsta niti.

Zrobimo mali:

Analiza:

Jer Nit ne nosi točkasti naboj, pa DI metoda stagnira. Naizgled beskrajno mali element dirigentova života dl, kakav osvetnički naboj dq=dlλ. Napetost polja stvorena elementom kože vodiča u značajnoj točki A, koja se nalazi ispod navoja na postolju, raspršuje se A. Vektor će biti usmjeren u ravnoj liniji koja povezuje točkasti naboj od zaštitne točke. Rezultirajuće polje se uzima od normale na navoj duž x osi. Potrebno je znati vrijednost dE x: dE x =dE cosα. .

Za termine:

.

Veličina dl, r, može se mijenjati pri promjeni položaja elementa dl. Virazimo ih kroz vrijednost α:

de dα– infinitezimalno povećanje vrijednosti α kao rezultat rotacije radijus vektora u točku A kada se pomiče duž niti do dl. Todi dl=r 2 dα/ a. Pri pomicanju dl Pogled na točku Oko kuta mijenja se od 00 do π/2.

Otje .

Provjera dimenzija: [E] = V / m = kgm / mfm = KlV / Klm = V / m;

Predmet:.

Metoda 2.

Gledajući na aksijalnu simetriju raspodjele naboja, sve točke su jednako poravnate s niti, ekvivalentne, a jakost polja svake je ista. E(r)=konst, de r- Ustanite uz nit sa stražarske točke. Direktno E U tim točkama normala se uvijek drži ravno na navoj. Prema Gausovom teoremu; de Q- naboj, zagrijavanje na površini - S' kroz koji se računa protok, izaberemo cilindar polumjera a i radimo s navojem. Kako bi se osiguralo da je površina cilindra normalna, uklanja se za protok:

Jer E= Konst.

S strana = Na 2π .

Na drugoj strani E 2πaN=Q/ε 0 ,

de λN=q.

Predmet:E=λ /4πε 0 A.

stražnjica 2. Površinskom snagom naboja otkrijte napetost jednoliko nabijenog neprekinutog područja σ .

Linije napetosti su okomite na ravninu iu suprotnom smjeru od nje. Kao zatvorenu plohu odaberemo plohu valjka čija je baza paralelna s ravninom, a cijeli valjak okomit na ravninu. Jer stvoriti cilindre paralelne s linijama naprezanja (α=0, cos α=1 ), tada je tok vektora naprezanja kroz cilindričnu plohu jednak nuli, a dodatni tok kroz zatvorenu cilindričnu plohu jednak je zbroju tokova kroz njezinu bazu. Naboj, postavljen u sredinu zatvorene površine, antički σ S Osnovni, temeljni todi:

FE = 2 ES glavni abo F E = = todi E = =

Predmet: E = nemojte ležati blizu dna cilindra i na bilo kojoj udaljenosti od područja iza modula. Polje jednoliko nabijene površine je jednoliko.

stražnjica 3. Proširite polje dviju beskonačno nabijenih ravnina sa sličnom debljinom površine +σ i –σ.

E = E = 0; E = E + + E - =.

Predmet: Rezultirajuća jakost polja u području između ravnina jednaka je E =, a položaj između ravnina jednak je nuli.

stražnjica 4. Proširite jakost polja jednoliko nabijenog od površinske jakosti naboja +σ polumjer sferne površine R.

Oni, ja,

yakscho r< R , то внутри замкнутой поверхности нет зарядов и электростатическое поле отсутствует (Е=0).

Predmet:.

stražnjica 5. Volumnom snagom otpustite napetost volumetrijskog naboja ρ , hladni radijus R.

Uzmimo sferu kao zatvorenu plohu.

Yakshcho r ≥R, = 4πr 2 E ; E=

yakscho r< R , то сфера радиусом r, gori naboj q" jednak q"= (fragmenti naboja se prenose kao volumeni, a volumeni kao kubovi polumjera)

Todi T. Gaussa

Predmet:; u sredini jednoliko nabijene jezgre, napon raste linearno s porastom r ispred središta, a poza se proporcionalno smanjuje prema natrag r 2 .

Zaliha br. 6. Proširite jakost polja neiskrivljenog, okruglog cilindra nabijenog linearnim nabojem λ , radijus R.

Tok vektora naprezanja preko kraja cilindra jednak je 0, a preko bočne površine:

Jer , ili ,

zatim (kao r > R)

ako je λ > 0, E > 0, vektor ispravljanja iz cilindra,

gdje je λ< 0, Е < 0 , вектор Ē направлен к цилиндру.

Yakscho r< R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0

Predmet:(R>R); E = 0 (R>r). Ne postoji polje u sredini jednoliko nabijenog polja na površini neprekinutog, okruglog valjka.

stražnjica 7. Električno polje stvaraju dvije beskonačno duge paralelne ravnine s površinama naboja od 2 nC/m2 i 4 nC/m2. Izračunajte jakost polja u područjima I, II, III. Napravite raspored rada Ē (r) .

Područja dijele prostor na 3 područja

Izravno Ē rezultirajuće polje na većem.

Na projekciji na r:

; «–»; ;

; «–»; ;

; «+»; .

Raspored Ē (r)

Odaberite mjerilo: E 2 =2 E 1

E 1 = 1; E 2 = 2

Predmet:E I = -345 V/m; EÍ I = -172 V/m; E I II = 345 V/m.

Zaliha br. 8. Ebonitova sucilna kulya polumjer R= 5 cm nosivog naboja, ravnomjerno raspoređenog volumenskom debljinom ρ =10 nC/m3. Izračunajte jakost električnog polja u točkama: 1) na usponu r 1 = 3 div prema središtu sfere; 2) na površini kugle; 3) na cesti r 2=10 cm od središta kugle.