Ismerje meg a jelentéskészítési megoldások alapvető funkcióit. Összecsukható funkció. Könnyű összecsukható funkció. Miért viccelsz más oldalakon?

Fejlett tüzérségi előkészítés után kevésbé lesznek szörnyű csikkek 3-4-5 beágyazott funkcióval. Lehetséges, hogy a következő két csikk egészen összecsukható lesz, de ha megértik őket (még ha szenvednek is), akkor a differenciálszámításban talán minden más gyerekes hőségnek tűnik.

2. fenék

Ismerje meg a rejtett funkciókat

Ahogy tervezték, a menet órájában összecsukható funkció, először mindenhez szükséges Jobb VISSZA A BEFEKTETÉSEKET. Ezekben a helyzetekben, ha kétségei vannak, egy gyors trükköt javaslok: vegyük például az „x” utolsó értékét, és próbáljuk (gondolatok vagy feketével) behelyettesíteni ezt az értéket a „szörnyű vírussal”.

1) Először is ki kell számítanunk a pénzösszeget, az összeget, a legnagyobb hozzájárulást.

2) Ezután ki kell számítania a logaritmust:

4) Ezután szorozza meg a koszinuszát a kockával:

5) Az ötödik lépésnél különbség van:

6) És mondjuk, maga a külső függvény a négyzetgyök:

Képlet a hajtogatási függvény megkülönböztetésére fordított sorrendben stagnálni, a leginkább külső funkcióktól a belsőkig. Virishuemo:

Nachebto kegyelem nélkül:

1) Vegyük a négyzetgyököt.

2) Nézzük meg a különbséget, kövessük a szabályt

3) A hármas egyenlő nullával. Egy másik dodankából tesszük meg a sétalépést (kocka).

4) Vegyük a koszinusz értéket.

6) És oké, a legnagyobb befektetésből vesszük a pénzt.

Nagyon fontos lehetsz, de még mindig nem ez a legbrutálisabb fenék. Vegyük például Kuznyecov kollekcióját, és értékelni fogja a kollekció szépségét és egyszerűségét. Megjegyeztem, hogy szeretnék adni valamit a teszten, hogy igazoljam, mit ért a tanuló, mivel tud hasonló hajtogatási funkciókat, és nem érti.

A független döntés támadó feneke.

3. fenék

Ismerje meg a rejtett funkciókat

Tipp: A linearitás szabályai és a teremtés differenciálódási szabályai megtorpantak

Mindenekelőtt megoldása és lezárása van a leckének.

Eljött az ideje, hogy valami kompaktabb és aranyosabb dolog felé lépjünk.
Nem ritka a helyzet, hiszen a fenéknek nem két, hanem három funkciója van. Hogyan ismerjük meg a három szorzó létrehozásának megközelítését?

4. fenék

Ismerje meg a rejtett funkciókat

Először azon tűnődöm, miért nem lehet három függvényt két függvényvé alakítani? Például, ha két csuklónk lenne, akkor a karokat ki lehetne nyitni. De az alkalmazásban minden függvény különbözik: lépés, kitevő és logaritmus.

Ilyen esetekben szükséges következetesen megállapítani a kreativitás megkülönböztetésének szabályát kétszer

A hangsúly azon van, hogy az „y” mögött két függvény jelöl bennünket: , a „ve” mögött pedig a logaritmus: . Miért lehet ennyit keresni? És hiba - Miért nincs két többszöröse, és a szabály nem érvényes? Nincs semmi összecsukható:

Most hirtelen megtorpant a szabály az íjhoz:

Eltévedhet és karon fogva hordhatja, de ebben az esetben jobb, ha ilyen módon elveszíti a bizonyítékot - könnyebb ellenőrizni.

A kinézett csikk más módon is megjeleníthető:

A két módszer teljesen egyenlő.

5. fenék

Ismerje meg a rejtett funkciókat

Ez egy példa a független döntéshozatalra, elsőként.

Vessünk egy pillantást a hasonló csikkekre sörétes puskák segítségével.

6. fenék

Ismerje meg a rejtett funkciókat

Itt számos útvonalat követhet:

Vagy így:

Ale úgy döntött, hogy tömörebben írja le, mivel az első helyen a magánszemélyek megkülönböztetésének szabálya , A teljes számkönyv elfogadása után:

Elvileg a fenék felsőbbrendű, és ha megfosztod tőle egy ilyen pillantást, akkor nem lesz kegyelem. De nyilvánvaló okokból újra kell ellenőrizni őket feketén-fehéren, és mit nem lehet megbocsátani?

Vigyük a szám számát a végjelbe, és szüntessük meg a háromfelületű törtet:

Ezeknek a kiegészítő intézkedéseknek az a hátulütője, hogy fennáll annak a veszélye, hogy nem egy jól ismert iskola, hanem banális iskolaváltás esetén kerül sor az egyeztetésekre. Másrészt a betétesek gyakran elutasítják a megbízásokat, és arra kérik őket, hogy „hozzák el őket” a kilépéshez.

Egyszerű fenék a független teljesítményhez:

7. fenék

Ismerje meg a rejtett funkciókat

Továbbra is sajátítsuk el az azonos megtalálásának módszereit, és most megnézzük a tipikus bukást, ha a „szörnyű” logaritmust használjuk a megkülönböztetéshez

A hasonló statikus függvény képletének rekonstrukciója (x az a lépésben). Megvizsgálják az x-ből származó gyökerek eredetét. Képlet a mozgó statikus függvényhez remek rendben. Alkalmazza az áldozatok számának számítását.

Zmist

Div. is: Lépésfüggvény és gyökfüggvény, képletek és grafikon
Statikus függvény grafikonjai

Alapképletek

Hasonló az x-hez az a szakaszban, összehasonlítva az a-val, megszorozva x-szel az a szakaszban mínusz egy:
(1) .

Lépjen az n gyökérlépésről x-ről az m lépésre:
(2) .

Hasonló statikus függvény képletének rekonstrukciója

Csepp x > 0

Lássuk statikus funkció az x változás típusa a jelzőfokozattal:
(3) .
Itt a egy további aktív szám. Először is nézzük meg gyorsan.

Az aktuális függvény (3) megismeréséhez gyorsan kiszámíthatjuk a statikus függvényt, és átalakíthatjuk jelen alakra:
.

Most már tudjuk, hogy elmegyünk, stastosovuchi:
;
.
Itt.

A Forma (1) befejeződött.

Az n gyökérlépéshez hasonló képlet rekonstrukciója x-ről m lépésre

Most nézzük meg a függvényt, amely így gyökerezik:
(4) .

A különbség megállapításához átalakíthatjuk a gyökeret statikus függvénysé:
.
Összehasonlítva a (3) formulával bachimo, mi
.
Todi
.

Az (1) képletet a következő követi:
(1) ;
;
(2) .

Valójában nincs szükség a (2) képlet memorizálására. Sokkal egyszerűbb az elejétől a statikus függvényekké alakítani a gyökért, majd megkeresni a hasonló, statikus képletüket (1) (mellett rendkívüli alkalmazások).

Vidak x = 0

Így a statikus függvényt az x = változó értékén határozzuk meg 0 . Ismerjük a (3) függvényt x =-nél 0 . Amire a menet gyors értékei:
.

Behelyettesíthető x = 0 :
.
Ebben az esetben a jobb oldali határt értjük, amelyre .

Nos, tudjuk:
.
A csillagból láthatod, hogy s, .
Nál nél , .
Nál nél , .
Ez az eredmény az (1) képlet szerint történik:
(1) .
Ezért az (1) képlet érvényes x = esetén 0 .

Vipadok x< 0

Nézzük újra a (3) függvényt:
(3) .
Az a konstans bizonyos értékeinél a won egyenlő і-vel az x változó negatív értékei esetén. És legyen racionális szám. Aztán megadhatod egy látszólag lassú töredéknek:
,
ahol m és n egész számok, amelyek nem utalnak komoly adósra.

Ha n nincs párosítva, akkor a statikus függvényt az x változó negatív értékeire határozzuk meg. Például n = esetén 3 ta m = 1 Használhatjuk x köbgyökét:
.
Vіn i az x változó negatív értékeihez.

Ismerjük az állandó konstans függvényt (3) annak a konstansnak a racionális értékeire, amelyhez hozzá van rendelve. Amire x y-t ábrázolhatjuk a következő szemnek:
.
Todi,
.
Tudjuk, hogy a hajtogatási függvény megkülönböztetésének szabályai a következők:

.
Itt. Ale
.
Akkor Oskolki
.
Todi
.
Ekkor az (1) képlet akkor érvényes, ha:
(1) .

Legutóbbi legmagasabb szintű események

Most már ismerjük a statikus függvény hasonló magasabb rendjeit
(3) .
Először is tudtuk:
.

Borokat öntenek a menet jeleként, mi más rendű menetet ismerünk:
.
Hasonló sorrendet használnak a harmad- és negyedrendek meneténél:
;

.

A sztárok ezt láthatják hasonló az n-edik rendhez ez így néz ki:
.

Kedves skó ha a természetes szám, akkor az n-edik menet stacioner:
.
Akkor az összes következő nap eléri a nullát:
,
nál nél .

Alkalmazza a kiadások számítását

csikk

Hasonló funkciók keresése:
.

A gyökeret lépésekre alakítjuk át:
;
.
Tehát a kimeneti függvény így néz ki:
.

A következő lépések ismertek:
;
.
Visszatér a nullára:
.

Az összecsukható eszköz funkciói mindig összhangban lesznek az összecsukható funkció jelentőségével. Mivel az y = sin x - (2 - 3) · r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 alak függvénye, ezért nem hajtható össze y = sin 2 x alakba.

Ez a cikk bemutatja a hajtogatási funkció megértését és megnyilvánulását. A feladat megoldásához a képletekkel keressük meg a fenékből a hasonlót. A hasonlóságok táblázatának és a megkülönböztetés szabályainak felállítása egyértelműen megváltoztatja a hasonlóság megtalálásának időpontját.

Fő cél

Viznachennya 1

A hajtogató függvény olyan függvény, amelynek argumentuma is függvény.

Jelölése a következő: f (g (x)). Lehetséges, hogy a g(x) függvényt az f(g(x) argumentum reprezentálja).

Vicennia 2

Mivel f a kotangens függvénye, g(x) = ln x nem a természetes logaritmus függvénye. Nyilvánvaló, hogy az f(g(x)) hajtogatható függvény arctg(lnx) alakban írható fel. Vagy az f függvény a 4. fokozatra redukált függvény, ahol a g (x) = x 2 + 2 x - 3 egészét veszi figyelembe racionális funkció, Levezethető, hogy f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Nyilvánvaló, hogy g(x) összecsukható. Az y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 példából látható, hogy g értéke a tört kockagyöke. A dán kifejezés felírható így: y = f (f 1 (f 2 (x))). Nyilvánvaló, hogy f szinuszfüggvény, f 1 pedig négyzetgyök alatti függvény, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 – 5 racionális lövésfüggvény.

Vicenzennya 3

A hozzájárulás mértékét bármely természetes szám jelzi, és a következőképpen írjuk fel: y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))))).

Vicenchennya 4

A funkciók összetételének fogalma a mentális feladatban részt vevő funkciók számából adódik. Pontosabban, az űrlapon kidolgozunk egy képletet a hasonló hajtogatási függvény megtalálásához

(f(g(x))) "=f"(g(x)) g"(x)

Alkalmazza

1. fenék

Keress egy egyszerű hajtogatási függvényt, például y = (2 x + 1) 2.

Döntés

Az elme mögött láthatjuk, hogy f egy négyzetfüggvény, és g (x) = 2 x + 1 egy lineáris függvény.

Állítsunk össze egy, a hajtogatási függvényhez hasonló képletet, és írjuk fel:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2)" = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) "= f "(g (x)) g "(x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

A függvény szerkezetét leegyszerűsítve ismerni kell. Figyelmen kívül hagyható:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Lássuk, mit

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Az eredmények javultak.

Egy adott ilyen típusú feladatnál fontos megérteni, hogy lesz f és g (x) alakú függvény.

2. fenék

A következő összehajtási függvényeket y = sin 2 x és y = sin x 2 formában találhatja meg.

Döntés

A függvény első bejegyzése azt mutatja, hogy f a négyzetfüggvény, és g (x) a szinuszfüggvény. Akkor ezt tagadjuk

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Egy másik bejegyzés azt mutatja, hogy f szinuszfüggvény, g(x) = x 2 pedig statikus függvény. A csillag azt mutatja, hogy a hajtási függvény összeadását így írhatjuk fel

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Az y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) képlet a következőképpen lesz felírva: y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (.. . . .) f n (x))))) · f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) · · f 2" (f 3 (. . . (f n () x))) )) · . . . · f n "(x)

3. fenék

Határozzuk meg az y = sin függvényt (ln 3 a r c t g (2 x)).

Döntés

Ez a példa bemutatja a rekord összetettségét és a funkció jelentős bővítését. Ekkor y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) szignifikáns, ahol f, f 1, f 2, f 3, f 4 (x) a szinuszfüggvény, a redukciós függvény 3. fokozatban, függvény logaritmussal és e-bázissal, arctangens és lineáris függvény.

A hajtási függvény értékének képletéből lehetséges, hogy

y " = f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 2 " ( f 3 (f) 4 (x)) f 3 "(f 4 (x)) f 4 " (x)

Találjuk ki, mit kell tudni

f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) mint a szinusz görbe a hasonlóságok táblázata szerint, majd f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)) )))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)).
f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) mint hasonló statikus függvény, tehát f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
f 2 "(f 3 (f 4 (x))) logaritmikus, tehát f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
f 3 "(f 4 (x)) az arctangens megfelelője, tehát f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
Ha megtalálja az f 4 (x) = 2 x hasonló függvényt, akkor a hasonló statikus függvény képletéből kapjon 2-t a hasonló függvény előjelére, amelynek mutatója nagyobb, mint 1, akkor f 4 "(x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 x 1 - 1 = 2.

A közbenső eredmények értékelése folyamatban van, és ez egyértelmű

y " = f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 2 " ( f 3 (f) 4 (x)) f 3 "(f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) · 1 a r c t g (2 x) · 1 1 + 4 x 2 · 2 = = 6 · cos (ln 3 a r c t g (2 x)) · ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) · (1 + 4 x 2 )

Az ilyen függvények elemzését az anyák sejthetik. A megkülönböztetés szabályai nem mindig világosak a másik táblázatból. Leggyakrabban egy képletet kell megfogalmazni a hasonló hajtogatási függvények megtalálásához.

Az összecsukható rendszernek számos funkciója van. Ha nyilvánvaló különbség van, akkor különösen könnyű hasonlókat találni.

4. fenék

Meg kell nézni egy ilyen fenék mutatóját. Mivel ez az y = t g 2 x + 3 t g x + 1 alak függvénye, így a g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 összehajtott alaknak tekinthető. Nyilvánvalóan meg kell fogalmazni egy összecsukható jármű képletét:

f "(g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)" = (g 2 (x)) "+ (3 g (x))" + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3; g "(x) = (t g x)" = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x)))" = f "(g (x)) g "(x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Az y = t g x 2 + 3 t g x + 1 alakú függvény nem hajtogatható, mivel az összeg t g x 2 3 t g x i 1. A t g x 2-t azonban egy hajtásfüggvény határozza meg, ekkor egy g (x) = x 2 alakú statikus függvény és f érintőfüggvény. Kinek kell megkülönböztetni az összeget? Mondjuk úgy

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2x

Térjünk át a hajtogatási függvény megkeresésére (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) "= f "(g (x)) g "(x) = 2 x cos 2 (x 2)

Ebből arra következtethetünk, hogy y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

A hajtogatási funkciók raktárába beépíthetők az összecsukható funkciók, maguk a hajtási funkciók pedig lehetnek raktári összecsukási funkciók.

5. fenék

Nézzünk például egy olyan hajtogatási függvényt, mint y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Ez a függvény az y = f (g (x)) formában ábrázolható, ahol f értéke a 3. állvány logaritmusának függvénye, g (x) pedig két h alakú függvény összegének tekinthető. (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 i k(x) = log 2 x (x 2 + 1) . Nyilvánvaló, hogy y = f(h(x) + k(x)).

Nézzük a h(x) függvényt. Érték l(x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 - m (x) = e x 2 + 3 3

Lehetséges, hogy l(x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n(x) + p(x) két függvény összege: n(x) = x 2 + 7 és p (x) = 3 cos 3 (2 x + 1), ahol p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) egy 3-as numerikus együtthatójú hajtogatási függvény, p 1 pedig egy kocka függvény, p 2 koszinuszfüggvény, p 3 (x) = 2 x + 1 – lineáris függvény.

Kivettük, hogy m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) két q (x) = e x 2 és r (x) = 3 3 de q (x) függvény összege. = q 1 (q 2 (x)) egy hajtható függvény, q 1 egy exponenciális függvény, q 2 (x) = x 2 egy statikus függvény.

Látható, hogy h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 () p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Ha áttérünk a k(x) = ln 2 x (x 2 + 1) = s (x) t (x) alakra, akkor egyértelmű, hogy a függvény s(x) = ln 2 x = hajtogatott formában jelenik meg. s 1 ( s 2 (x)) t (x) = x 2 + 1 racionális egész számmal, ahol s 1 a négyzetes függvény, és s 2 (x) = ln x - logaritmikus e bázissal.

A csillag ragyog, amint látja k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) .

Akkor ezt tagadjuk

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 () x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

A függvény struktúrái mögött világossá vált, hogyan és milyen képleteket kell konszolidálni, hogy egyszerűsítsük a megkülönböztetés kifejezését. Az ilyen feladatok megismeréséhez és jelentőségük megértéséhez vissza kell térni a funkciók megkülönböztetésének pontjához, hogy hasonlókat találjunk.

Ha szívességet jelölt meg a szövegben, nézze meg, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Ha a fentieket követjük, akkor a pontban lévő hasonló függvény Δ megnövelt függvényei között van y hogy növeljük a Δ argumentumot x:

Végre minden világosabb lett. Vagy próbálja meg felfogni ezt a képletet, mondjuk egy hasonló függvényt f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x bűn x. Ha továbbra is dolgozol a feladatokon, akkor néhány lépésnyi számítás után egyszerűen elalszol. Vannak egyszerűbb és hatékonyabb módszerek is erre.

Fontos, hogy a függvények sokfélesége miatt nevezhetjük őket elemi függvényeknek. Ezek egyértelműen egyszerű kifejezések, amelyeket régóta kiszámítottak és bevittek a táblázatba. Az ilyen funkciókat könnyű megjegyezni – ugyanakkor, ahogy vannak.

Hasonló elemi függvények

Az elemi függvények mindazok, amiket alább felsorolunk. Ezeket a funkciókat ismerni és emlékezni kell. Ráadásul elég nehéz megtanulni őket – annyira elemiek.

Nos, itt van néhány alapvető funkció:

Név	Funkció	Pokhidna
Állandó	f(x) = C, C ∈ R	0 (igen, nulla!)
Lépés a racionális megjelenítéstől	f(x) = x n	n · x n − 1
Szinusz	f(x) = bűn x	kötözősaláta x
Koszinusz	f(x) = cos x	−sin x(mínusz szinusz)
Tangens	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Természetes logaritmus	f(x) = log x	1/x
További logaritmus	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Kijelző funkció	f(x) = e x	e x(semmi sem változott)

Ha egy elemi függvényt megszorozunk egy meglehetősen állandó függvénnyel, akkor egy hasonló új függvény is könnyen megvalósítható:

(C · f)’ = C · f ’.

Az állandó zagalom a halál jeleként fogható fel. Például:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Nyilvánvalóan az elemi függvények egymás után összeadhatók, szorozhatók, oszthatók és még sok más. Így új funkciók jelennek meg, amelyek nem különösebben elemiek, hanem a régi szabályok szerint is megkülönböztethetők. Ezeket a szabályokat az alábbiakban tárgyaljuk.

Pokhіdna összeg és rіznitsi

Engedje el ezt a funkciót f(x) azt g(x), amennyit tudunk. Vegyük például a fent említett elemi függvényeket. Ezután megtudhatja a különbséget a következő funkciók között:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Ezért két függvény összege (különbségei) hasonló a hasonló függvények azonos összegeihez (különbségei). Lehet, hogy több Dodank lesz. Például, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Szigorúan véve az algebrában nincs a „megfigyelés” fogalma. Értem a „negatív elemet”. Ezért van különbség f − gátírhatod az összeget f+ (-1) gÉs akkor csak egy képletet veszít el - a pénzösszeget.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkció f(x) - ez két elemi függvény összege, tehát:

f ’(x) = (x 2 + bűn x)’ = (x 2)' + (bűn x)’ = 2x+ cos x;

Hasonlóan mérik a funkciót g(x). Már három dodanka van ott (az algebra kinézetéből):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Tantárgy:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Pokhidna robot

A matematika logikai tudomány, ezért sok embert érdekel, hogy ha az összegek hasonlóak a hasonlóak összegeihez, akkor hasonló létrehozni sztrájk"> jobban tiszteli az utódok munkáját. És a világ tengelye nem használ neked! Az egymást követő teremtést teljesen más képlet tiszteli. És önmagát:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

A képlet egyszerű, de gyakran elfelejtik. És nem csak iskolások, hanem diákok is. Az eredmény téves feltételezések.

Zavdannya. Ismerje meg a következő funkciókat: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkció f(x) Két elemi függvény van, tehát minden egyszerű:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (- sin x) = x 2 (3 cos x − x bűn x)

A funkción g(x) az első szorzó egy kicsit jobban össze van hajtva, de a rejtett séma nem változik. Nyilvánvalóan a függvény első szorzója g(x) gazdag kifejezés, és hasonlósága is hasonló. Maemo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)" · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Tantárgy:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x bűn x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a fennmaradó szakaszban valószínűleg szorzókra bontják. Formálisan nincs szükség munkára, hiszen a legtöbb tevékenységet nem a hatalom számolja, hanem a függvény nyomon követése érdekében. Ez azt jelenti, hogy ideje egyenlővé tenni a nullával, világossá válnak a jelek stb. Erre a célra jobb szorzót használni.

Két funkció van f(x) azt g(x), és g(x) ≠ 0 személytelenség alapján számunkra, ki tudjuk számítani új funkció h(x) = f(x)/g(x). Egy ilyen funkcióhoz a következőket is tudhatja:

Nem gyenge, igaz? A csillagok mínuszban vannak? Chomu g 2? És ez az! Ez az egyik legösszetettebb képlet – tánc nélkül nem fogod kitalálni. Tehát jobb felcsavarni konkrét fenekek.

Zavdannya. Ismerje meg a következő funkciókat:

A bőrtört számának és előjelének elemi funkciói vannak, így csak a menetrész képletére van szükségünk:

A hagyományokat követve bontsuk fel a számot szorzókra, ami azt jelenti, hogy könnyen érthető:

Összecsukható funkció - ez nem bonyolult képlet a futásteljesítmény növelésére. Például elég a függvényt venni f(x) = bűn xés cserélje ki a változást x, mondjuk be x 2 + ln x. Viide f(x) = bűn ( x 2 + ln x) - ez egy összetett függvény. Még mindig úton van, de nem fog tudni tudni a fent tárgyalt szabályokról.

Jak buti? Ilyen helyzetekben hasznos lecserélni a változót és a képletet egy hasonló hajtogatási függvényhez:

f ’(x) = f ’(t) · t', Yakscho x helyettesíti t(x).

Általános szabály, hogy a jobb oldali képlet megértése alapján még zavarosabb, kevésbé privát. Ez konkrét példákon is jobban megmagyarázható, a bőrmintázat részletes leírásával.

Zavdannya. Ismerje meg a következő funkciókat: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = bűn ( x 2 + ln x)

Kedves, mi a funkciója f(x) cserélje ki a 2. vírust x+3 egyszerű lesz x, akkor a függvény elemivé válik f(x) = e x. Emiatt habozunk kicserélni: engedd el 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Hasonló összehajtási függvényt keresünk a képlet mögött:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

És most - wow! Visszatérő cserét végzünk: t = 2x+ 3. Törölve:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Most nézzük a függvényt g(x). Nyilván cserélni kell x 2 + ln x = t. Maemo:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (bűn t)’ · t' = cos t · t ’

Visszaküldés csere: t = x 2 + ln x. Todi:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Ez minden! Mivel nyilvánvaló volt, hogy mindent elterveztek, a pénzösszeg beszedéséig minden munka folyt.

Tantárgy:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Az óráim során a „rejtett” kifejezést gyakran az „ütés” szóra cserélem. Például egy ütés egy összegben egyenlő az ütések összegével. Tiszta őrület? Hát az jó.

Ily módon a menet kiszámítása éppen ezeknek az ütéseknek a kivonására redukálódik a fentebb tárgyalt szabályok szerint. A maradék fenékként térjünk át a menetes szakaszra racionális megjelenítéssel:

(x n)’ = n · x n − 1

Kevesen tudják, mi a szerep nÁltalában törtszám is használható. Például gyökér - tse x 0.5. Mi van, ha a gyökerek alatt állunk, és minden fantasztikus? Ismét van egy összecsukható funkció – az ilyen minták szeretnek engedni irányító robotokató igen, meg fogom tapasztalni.

Zavdannya. Ismerje meg a következő funkciókat:

Kezdésként írjuk át a vizuális lépés gyökerét egy racionális kifejezéssel:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Most bátortalanok vagyunk a cserével kapcsolatban: engedd el x 2 + 8x − 7 = t. Ismerjük a képletet:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)" · t' = 0,5 · t–0,5 · t ’.

Csináljunk egy gyors cserét: t = x 2 + 8x− 7. Maemo:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Ha megoldódott, forduljunk a gyökérhez:

Tételem egy hasonló hajtásfüggvényről, melynek megfogalmazása a következő:

Legyen 1) a $u=\varphi (x)$ függvény a $x_0$ és $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ pontban; 2) a $y=f(u)$ függvény a $u_0=\varphi (x_0)$ végső pontban található a $y_(u)"=f"(u)$ mentén. A pont kitalálására szolgáló $y=f\left(\varphi (x) \right)$ összetett függvény is hasonló, egyenlő a hasonló $f(u)$ és $\varphi (x)$ függvények hozzáadásával. :

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

Vagy rövidebb jelölésként: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Ennek a szakasznak a gombjaiban minden függvény $y=f(x)$ alakú (így csak egy függvényt láthatunk $x$-ként). Úgy tűnik, minden seggfej szereti a $y"$-t, hogy felvegye a nagy $x$-t. Hogy ösztönözze azokat, akik hajlamosak a nagy $x$-ra, gyakran írjon $y"_x$-t $y"$ helyett.

Az 1-es, 2-es és 3-as számú fenékrésznél található egy jelentés a hajtogatási funkciók megtalálásának folyamatáról. A hasonlók táblázatának jelentésének 4. számú példája átfogóbb és megismerhető.

Az 1-3. számú csikk anyagának megváltoztatása után az 5., 6. és 7. számú csikk önálló döntésére kell eljárni. Csatolja az 5., 6. és 7. számot, hogy a megoldás rövid legyen, hogy az olvasó azonnal ellenőrizhesse eredményének helyességét.

1. fenék

Keresse meg a $y=e^(\cos x)$ függvényt.

Ismernünk kell a $y"$ rejtett hajtogatási függvényt. Ha $y=e^(\cos x)$, akkor $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. ismerje meg a rejtett $ \ left(e^(\cos x)\right)"$ vikorista 6. számú formulát a hasonlóságok táblázatából. A 6. képlet kijavításához hozzá kell adni a $u=\cos x$ egyenletünkhöz. Továbbá a megoldás a 6-os képlet banális behelyettesítésében rejlik a $\cos x$ alakban a $u$ helyett:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Most meg kell ismernünk a $(\cos x)"$ kifejezés értékét. Visszamegyünk a hasonlóságok táblázatához, kiválasztva a 10-es képletet. A 10-es képletben az $u=x$ behelyettesítésével kapjuk : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Most folytathatjuk az (1.1) egyenletet, kiegészítve az eredménnyel:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

A töredékek $x"=1$, majd a féltékenység folytatódik (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Ezért az (1.3) egyenlőségből: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$ Természetes, hogy a magyarázatokat és a közbenső egyenlőségeket ki kell hagyni, a hasonlóak előfordulását egyben rögzítve sor, mint az ( 1.3) egyenlőségben. Most, hogy hasonló hajtásfüggvényt találtunk, már nem lehet leírni a választ.

Vidpovid: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

2. számú fenék

Keresse meg a $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ kezdőfüggvényt.

Ki kell számítanunk a $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ veszteséget. Lényeges, hogy a konstans (a 9-es szám) a menet jeleként fogható fel:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \jobbra)" \tag (2.1) $$

Most vadul megyek a $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ kifejezésre. Hogy könnyebb legyen kiválasztani a képletet a hasonlók táblázatából, jelenítse meg a következő formában látható kifejezést: $\ left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Most már világos, hogy szükség van a 2. képlet felülvizsgálatára. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Behelyettesíthetjük a $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ és a $\alpha=12$ képletet:

A további féltékenység (2.1) kiküszöbölhető az eredménnyel:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Ebben a helyzetben gyakran megengedett a kompromisszum, ha az első lépés a $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ képlet kiválasztása a $ képlet helyett \left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. A jobb oldalon az áll, hogy az első felelősség hasonló a külső funkciókhoz. Annak megértéséhez, hogy maga a függvény hogyan lesz külső a $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ kifejezésen, vegye figyelembe, hogy érdekel a $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ bármilyen $x$ értékre. Először ki kell számítania az $5^x$ értékét, majd megszorozza az eredményt 4-gyel, és kivonja a $4\cdot 5^x$-t. Most ebből az eredményből kivonjuk az arctangenst a $ arcctg (4 cdot 5 ^ x) $ kivonásával. Ezután a számot a tizenkettedik lépésre csökkentjük a $ arctg (12) (4 cdot 5 x) $ kivonásával. Az akció többi része, - tobto. emelt a 12. lépésben, - és akarat külső funkció. Ebből pedig a háború kezdetének nyoma van, amit a féltékenység hozott létre (2.2).

Most tudnunk kell: $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Hozzuk létre a 19. számú képletet a hasonlóságok táblázatában, behelyettesítve a $u=4\cdot \ln x$ értékkel:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Trochi egyszerűen otrimaniy viraz, vrahovuychi $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

A féltékenység (2.2) most ilyen lesz:

Elveszett $(4\cdot \ln x)"$. A (4-esnek) állandót a halál jelének vesszük: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. A $(\ln x)"$ megismeréséhez a 8-as képlet segítségével, behelyettesítve az $u=x$ értékkel: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"$ . Töredékek $x"=1$, majd $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $. Ha behelyettesítjük az eredményt a (2.3) képletben, eltávolíthatjuk:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$

Feltételezem, hogy a hasonló hajtogatási függvények leggyakrabban egy sorban találhatók – ahogy az egyenlet többi részében is szerepel. Ezért a szabványeljárások vagy az ellenőrzési munkák kidolgozásakor egyáltalán nem kötelező a megoldásokat ilyen részletesen ismertetni.

Vidpovid: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

3. készlet

Keresse meg a $y"$ függvényt: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

A cob esetében megváltoztatjuk a $y$ függvényt, miután a látható lépésben meghatároztuk a gyököt (gyököt): $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5) \cdot 9^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Most pedig térjünk át a temetésre. Töredékek $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, majd:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Nézzük meg Vikory 2. számú képletét a hasonlóságok táblázatából, behelyettesítve előtte $u=\sin(5\cdot 9^x)$ és $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Folytassuk a féltékenységet (3.1), vikorista és utasítsuk el az eredményt:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Most meg kell tudnia: $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Ehhez a hasonló táblázatokból a 9. számú képletet úgy kaphatjuk meg, hogy behelyettesítjük a $u=5\cdot 9^x$ értékkel:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

A féltékenység (3.2) hozzáadásával a következő eredményt kaphatjuk:

Lost to know $(5\cdot 9^x)"$. A cob esetében egy állandó ($5$ szám) van hozzárendelve a halál jeleként, majd $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. A $(9^x)"$ index megkereséséhez hozzáadjuk az 5. képletet az indextáblázathoz, előtte behelyettesítve az $a=9$ és $u=x$ következőkkel: $ (9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"$. A $x"=1$, majd a $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$ töredékek. Most folytathatja a féltékenységet (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

A lépéseket ismét gyökökké alakíthatja (akkor ezek gyökök) a $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ beírásával a $ formában \frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5) \) cdot 9 ^x)))$. Ez a következő formában lesz megírva:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Vidpovid: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) ) cdot 9^x)))$.

4. készlet

Mutassuk meg, hogy a táblázat 3. és 4. képlete hasonló, és e táblázat 2. képletének következő felosztása.

Az esélytáblázat 2. képletében a $u^\alpha$ mozgásfüggvény van írva. A $\alpha=-1$ behelyettesítésével a 2. képletbe kiküszöbölhetjük:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Ha $u^(-1)=\frac(1)(u)$ і $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, akkor az equity (4.1) a következőképpen írható át: $ \ left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ez a hasonlóságok táblázatának 3. számú képlete.

Megint megőrülök az áldozatok táblázatának 2. számú formulájáért. Helyettesítsük előtte a $\alpha=\frac(1)(2)$ karakterláncot:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Töredékek $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ і $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, akkor a equity (4.2) átírható ebben a formában:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

A féltékenységet eltávolították $(sqrt(u))"=\frac(1)(2sqrt(u))cdot u"$, és ez a hasonlóságok táblázatának 4. számú képlete. Amint látható, a táblázat 3. és 4. képlete a 2. képletből származik, az alárendelt érték behelyettesítésével $ alfa $.