Nem megfelelő tört integrálja. A legegyszerűbb törtek integrálása. A helyes lövés-racionális funkció integrálása

A racionális függvény integrálásához \(\large\frac((P\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize,\) de \((P\left(x \) jobb ) ))\) és \((Q\left(x \right))\) − polinomok, a lépések sorrendjét meghatározzuk:

Ha a drib helytelen (a \((P\left(x \right))\) lépés nagyobb, mint a \((Q\left(x \right))\) lépés, módosítsa a megfelelőre, látva a kifejezés célját;

Terjessze szét a \((Q\left(x \right))\) szalagcímet több monomokra és/vagy lassú másodfokú kifejezésekre;

Bontsa fel a racionális törtet a legegyszerűbb törtekre, vikoriszt ;

Számítsa ki az integrálokat a legegyszerűbb törtek segítségével.

Vessünk egy pillantást az alábbi jelentésre.

Krok 1. Helytelen racionális tört újrakonverziója

Mivel a kifejezés szabálytalan (akkor a \((P\left(x \right))\) számlépés nagyobb, mint a \((Q\left(x \right))\) előjellépés, a gazdag kifejezés \ ((P\) bal elválasztható (x \jobb))\) on \((Q\left(x \right)).\) A támadó viraz elutasítható: \[\frac((P\left(x) \joo jobb)))),\] de \( \large\frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize\) a helyes racionális tört.

Krókusz 2. A transzparens kihelyezése a legegyszerűbb törtek felhasználásával

Írjuk fel a znamennik gazdag tagját \((Q\left(x \right))\) a következő alakban: \[ (Q\left(x \right) ) = ((\left((x - a) \) jobb)^\alpha ) \ cdots (\left((x - b) \right)^\beta )(\left(((x^2) + px + q) \right)^\mu ) \cdots (\ left(((x^2 ) ) + rx + s) \right)^\nu ),) \] de másodfokú függvények nem gyorsak, így nincsenek aktív gyökök.

3. lecke. Racionális törtek eloszlása ​​a legegyszerűbb törtek összegéből.

Írjuk fel a racionális függvényt modern formában: \[(\frac((R\left(x \right))))((Q\left(x \right))) = \frac(A)((((( \left (( x - a) \right))^\alpha ))) + \frac(((A_1))))(((\left((x - a) \right))^(\alpha - 1) )))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((A_(\alpha - 1)))))((x - a)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(B) ((((\left( (x - b) \right))^\beta ))) + \frac(((B_1))))(((\left((x - b) \right)) ^( \beta - 1)))) ) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((B_(\beta - 1)))))((x - b)) )\kern0pt (+ \frac( (Kx + L)))((((\ left(((x^2) + px + q) \jobb))^\mu ))) + \frac(((K_1)x + (L_1))) )( (((\left(((x^2) ) + px + q) \jobb))^(\mu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((K_(\) mu - 1)))x + (L_(\mu - 1) ))))(((x^2) + px + q)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac((Mx + N)) (((\left(((x^2) + rx +) s) \right))^\nu ))) + \frac(((M_1)x + (N_1))))((((\) left( ((x^2) + rx + s) \right))^ (\nu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((M_(\nu - 1))x + (N_ (\nu - 1)))))(((x^2) + rx + s)).) \] A jelentéktelen együtthatók száma illegális \((A_i),\) \((B_i), \) \(( K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \((N_i), \ldots\) növelheti a szalaghirdetés szintjét \((Q\left (x \jobbra)).\)

Ezután a visszavont sértő részeit megszorozzuk a \((Q\left(x \right))\) bannerrel, és az összeadások együtthatóit ugyanazokkal a lépésekkel kiegyenlítjük \(x.\) Ennek eredményeként visszavonjuk a lineáris egyenlők rendszere otthoni együtthatók nélkül \((A_i ),\) \((B_i),\) \((K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \(( N_i), \ldots\) Ez a rendszer mindig Egy döntés lesz. Az algoritmus leírása jelentéktelen együtthatók módszere .

4. lecke. A legegyszerűbbek integrálása racionális törtek.

A kellően szabályos racionális tört bővítésétől elválasztott legegyszerűbb törteket a következő hat képlettel integráljuk: \ \ A másodfokú előjelű törtek esetében először a külső négyzetet kell látni: \[\int (\frac( (Ax + B)))((((\left(((x^2) + px + q) \jobb))^k)))dx) = \int (\frac((At + B") ))((((\left((( t^2) ) + (m^2)) \jobbra))^k)))dt) ,\] de \(t = x + \large\frac(p )(2)\normalsize,\) \( (m^2 ) = \large\frac((4q - (p^2)))(4)\normalsize,\) \(B" = B - \large\ frac((Ap))(2)\normalsize .\) Ekkor a következő képletek beragadnak: \[(4.\;\;\int (\frac((tdt)))(((\left((() t^2) + (m^2)) \jobbra ))^k )))) ) = (\frac(1)((2\left((1 - k) \right)((\left((((()) t^2) + (m^2)) \jobbra ))^( k - 1)))) ) \] \ Integrál \(\large\int\normalsize (\large\frac((dt)))(( ((\left(((t^2) + ( m^2))) \right))^k)))\normalsize) \) fizethet \(k\) krokiért további segítségért redukciós képletek\[ (6.\;\;\int (\frac((dt)))((((\left(((t^2) + (m^2)) \jobbra))^k)))) ) = (\frac(t)((2(m^2)\left((k - 1) \right)((\left(((t^2) + (m^2)) \jobbra))^ ( k - 1)))) ) (+ \frac((2k - 3))((2(m^2)\left((k - 1) \right)))\int (\frac((dt) ) ((((\left(((t^2) + (m^2)) \jobbra))^(k - 1))))) ) \]

„Egy matematikus, akárcsak egy művész, énekel és művészi alkotásokat alkot. És mert a matematikus nézetei stabilabbak, különösen azért, mert ideákból állnak... A matematikus nézeteinek, akárcsak egy művésznek vagy egy költőnek, szépnek kell lenniük; Az ötletek ugyanazok, mint a színek, és a bűntudat szavakat egyenként osztják meg. A szépség az első: a világban nincs helye a csúnya matematikának».

G.H. Hardy

Az elsõ részben azt feltételeztük, hogy az elsõdleges cél olyan egyszerû, már nem kifejezhetõ funkciók elérése lesz elemi függvények. Ezzel kapcsolatban nagy gyakorlati jelentőséggel bírnak azok a függvényosztályok, amelyekről pontosan elmondhatjuk, hogy elsődleges funkcióik az elemi függvények. A függvények elérik ezt az osztályt racionális függvények, amelyek két algebrai gazdag tag kapcsolatai A racionális törtek integrálása előtt adjunk gazdag sorrendet. Ezért nagyon fontos az ilyen funkciók integrálása.

2.1.1. Tört racionális függvények

Racionális tört(vagy lövés-racionális funkció) két gazdag algebrai tag kapcsolatának nevezzük:

ahol én – gazdag tagok.

Találd ki gazdag tagja (polinom, egy egész racionális függvény) nszakaszában függvénynek nevezzük

de – aktív számok. Például,

- az első szakasz gazdag tagja;

- a negyedik szakasz gazdag tagja stb.

A racionális argumentumot (2.1.1) hívjuk helyes Ha a szint alacsonyabb, mint a szint, akkor. n<m, egy másik esetben a dribit hívják rossz.

Bármely szabálytalan tört kiszolgálható nagy rész (egész rész) és szabályos tört (tört rész) formájában. Egy szabálytalan lövés teljes és lőtt részeinek látása a „vágott” rész szabálya szerint kivitelezhető.

Fenék 2.1.1. Tekintse meg a következő szabálytalan racionális törtek teljes törtrészét:

A) , b) .

Döntés . a) A Vikorist algoritmusa „bökkenőre” van osztva, és kiküszöbölhető

Ilyen módon elutasítjuk

.

b) Itt van egy vikori algoritmus is egy „dudorban”:

Ennek eredményeként elutasíthatjuk

.

Hozzuk a tasakokat. A racionális tört nem jelentéktelen integrálja a literális kifejezésben a gazdag tag és a helyes racionális tört integráljainak összegével detektálható. Az első típusú polinomok megtalálása nem válik nehézzé. Ezért fontos figyelembe venni a megfelelő racionális törteket.

2.1.2. A legegyszerűbb racionális törtek és azok integrálása

A szabályos racionális törtek között négy típus van, amelyekre vonatkoznak a legegyszerűbb (elemi) racionális törtekhez:

3) ,

4) ,

de - egész szám, , akkor. másodfokú trinomikus nincs aktív gyökere.

Az 1. és 2. típus legegyszerűbb törtjeinek integrálása nem okoz nagy nehézségeket:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Most a 3. típus legegyszerűbb törteinek integrálását nézzük, de a 4. típus törtjeit nem.

Fejezzük be az integrálokat szem előtt tartva

.

Ezt az integrált úgy hívjuk ki, hogy a szalaghirdetésben egy teljes négyzetet látunk. Az eredmény egy táblázatos integrál a következő formában:

különben .

Fenék 2.1.2. Integrálok keresése:

A) , b) .

Döntés . a) A négyzetháromságból látható, hogy az új négyzet:

Ismerjük a csillagokat

b) Miután megnéztük az új négyzetet a négyzetháromságból, eltávolíthatjuk:

Ilyen módon

.

Hogy megtaláljuk az integrált

látható a numerikus számológépben az integrál előjele és osztása szerint két integrál összegére: az első behelyettesítésükkel felgyorsulni

,

a másik pedig - a nézett dologhoz.

Fenék 2.1.3. Integrálok keresése:

.

Döntés . Kedves skó . A banner számában látható:

Az első integrált további helyettesítéssel számítjuk ki :

A másik integrálnál láthatóan van egy extra négyzet a jelnél

Maradva eltávolíthatjuk

2.1.3. A helyes racionális tört elhelyezése
a legegyszerűbb törtek összegére

Legyen a helyes racionális érv egyetlen sorrendben látható, ha a legegyszerűbb törtek összegét nézzük. Ebből a célból a bannert szorzókra kell osztani. Sok algebra alapján világos, hogy a bőr gazdag aktív együtthatókban

Az integrációs pályázatok áttekintése racionális függvények(Drobiv) jelentési határozataival.

Zmist

Div. is: Négyzetgyök

Itt a fejlett racionális törtek integrálásának három alkalmazásáról számolunk be:
, , .

1. fenék

Számítsa ki az integrált:
.

Itt az integrál jele alatt egy racionális függvény található, és az integrál kifejezés töredékei a gazdag kifejezésekből törtekre vannak osztva. A zászló gazdag tagjának lépése ( 3 ) kisebb, mint a numerikus tag mértéke ( 4 ). Annak a kicsinek látnia kell a felvétel teljes részét.

1. A felvétel egy egész részét látjuk. Dilimo x 4 x által 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Zvidsi
.

2. A bannert többszörösére osztottuk. Miért kell feloldani a köbös igazítást:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Behelyettesíthető x = 1 :
.

1 . Dilimo, x - 1 :

Zvidsi
.
Négyzet alakúnak tűnik.
.
Gyökér Rivnyanya: , .
Todi
.

3. Bontsuk fel a dolgokat a legegyszerűbben.

.

Nos, tudjuk:
.
Integrált.

2. fenék

Számítsa ki az integrált:
.

Itt a számtörőnek van egy törtje - egy gazdag, nulla fokos kifejezés ( 1 = x 0). A transzparensnek van egy gazdag harmadfokú tagja. Oskolki 0 < 3 , akkor a drib helyes. Bontsuk fel a legegyszerűbb törtekre.

1. A bannert többszörösére osztottuk. Kinek kell meghatározni a harmadik szakasz szintjét:
.
Elfogadható, hogy lehet, aki csak a teljes gyökeret szeretné. Ez egyben a szám dátuma is 3 (Tag x nélkül). Ekkor a teljes gyök a számok egyike lehet:
1, 3, -1, -3 .
Behelyettesíthető x = 1 :
.

Nos, tudtunk egy gyökér x = 1 . Dilimo x 3 + 2 x - 3 x-en - 1 :

Otje,
.

Teljesen egyenlőnek tűnik:
x 2+x+3=0.
Ismert diszkrimináns: D = 1 2 - 4 3 = -11. Oskolki D< 0 , akkor a rebarbarának nincs aktív gyökere. Ily módon a bannert szorzókba rendeztük:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Behelyettesíthető x = 1 . Todi x - 1 = 0 ,
.

Behelyettesíthető (2.1) x = 0 :
1 = 3 A-C;
.

Egyenlő (2.1) együtthatók x-ben 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Integrált.
(2.2) .
Egy másik integrál kiszámításához a numerikus számológépben láthatóan áthelyezzük az előjelet a négyzetek összegére.

;
;
.

Kiszámítható I 2 .


.
Rivnyanya maradványai x 2+x+3=0 nincs aktív gyöke, akkor x 2 + x + 3 > 0. Ezért a modul jel elhagyható.

Beszállítva (2.2) :
.

3. fenék

Számítsa ki az integrált:
.

Itt az integrál jele alatt több különböző kifejezés található. Ezért az integrál kifejezésnek racionális funkciója van. A polinom számbeli szintje ősi 3 . A jelölő polinomjának fokozata hasonló a törtéhez 4 . Oskolki 3 < 4 , akkor a drib helyes. Ezért egyszerű törtekre bonthatók. Ebből a célból a bannert szorzókra kell osztani.

1. A bannert többszörösére osztottuk. Kinek kell meghatározni a negyedik szakasz szintjét:
.
Elfogadható, hogy lehet, aki csak a teljes gyökeret szeretné. Ez egyben a szám dátuma is 2 (Tag x nélkül). Ekkor a teljes gyök a számok egyike lehet:
1, 2, -1, -2 .
Behelyettesíthető x = -1 :
.

Nos, tudtunk egy gyökér x = -1 . Dilimo, x - (-1) = x + 1:


Otje,
.

Most meg kell határoznia a harmadik szakasz szintjét:
.
Tegyük fel, hogy az egész gyök a szám gyöke és gyökere 2 (Tag x nélkül). Ekkor a teljes gyök a számok egyike lehet:
1, 2, -1, -2 .
Behelyettesíthető x = -1 :
.

Ó, kedves, találtunk egy másik x = gyöket -1 . Lehetséges, mint az első lépésben, a kifejezést felosztani, majd csoportosítani:
.

Rivnyanya maradványai x 2 + 2 = 0 nincsenek aktív gyökerek, akkor a banner elrendezését szorzókba szedtük:
.

2. Bontsuk fel a dolgokat a legegyszerűbben. Úgy tűnik, előtted van kiterítve:
.
Egy tört hozzáadódik a szalaghirdetéshez, megszorozva ezzel (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Behelyettesíthető x = -1 . Todi x + 1 = 0 ,
.

Különbségtétel (3.1) :

;

.
Behelyettesíthető x = -1 Nagyon remélem, hogy x + 1 = 0 :
;
; .

Behelyettesíthető (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Egyenlő (3.1) együtthatók x-ben 3 :
;
1 = B + C;
.

Nos, tudtuk, hogyan kell lebontani a legegyszerűbb törteket:
.

3. Integrált.


.

Div. is:

A fenti pontok mindegyike lehetővé teszi, hogy megfogalmazzuk a racionális tört integrálásának alapvető szabályait.

1. Ha a racionális tört helytelen, akkor gazdag tag és a helyes racionális tört formájában (2. osztás) szolgáljuk fel.

Itt maga a helytelen racionális tört integrálása vezet a gazdag tag és a helyes racionális tört integrálásához.

2. Helyezze a normál tört szalaghirdetést szorzókba.

3. A helyes racionális törtet a legegyszerűbb törtek összegére osztjuk. Itt magának a helyes racionális törtnek az integrálása redukálódik a legegyszerűbb törtek integrálására.

Lássuk.

Példa 1. Tudja.

Döntés. Az integrál alatt helytelen racionális tört található. Az egész részt látva elvesszük

Otje,

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a helyes racionális érv lefektethető

a legegyszerűbb törtekhez:

(Osztóképlet (18)). Tom

Ilyen módon ez még lehetséges

Fenék 2. Tudd

Döntés. Az integrál alatt van egy helyes racionális érv.

A legegyszerűbb törtekre bővítve (csodálatos képlet (16)) kiküszöbölhetjük

A témában található anyagot a "Racionális törtek. Racionális törtek felbontása elemi (legegyszerűbb) törtek" témakörben benyújtott táblázat tartalmazza. Nagyon szeretném gyorsan áttekinteni ezt a témát, mielőtt rátérnék az anyag elolvasására. Ezenkívül szükségünk lesz egy táblázatra a nem értékes integrálokról.

Egy csomó kifejezésre tudok gondolni. Külön topikban volt róluk vita, ezért itt megosztok egy rövid nyilatkozatot.

Két tag kapcsolatát $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ racionális függvénynek vagy racionális törtnek nevezzük. A racionális érvelést nevezzük helyes yakscho $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется rossz.

Az elemi (legegyszerűbb) racionális törtek négyféle racionális törtek:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Megjegyzés (a szöveg jobb megértéséhez): mutasd meg

Amire szükség van, az agyerő $p^2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Például a $x^2+5x+10$ forgatásnál kiküszöbölhetjük: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Szilánkok $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Mielőtt beszélnék, az ellenőrzés szempontjából egyáltalán nem nehéz, hogy a $x^2$ előtti szorzók hozzáadjanak 1-et. Például $5x^2+7x-3=0$ esetén a rendszer elutasítja: $D= 7^2-4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 USD. Ha $D > 0$, akkor a $5x^2+7x-3$ kifejezés szorzókra bontható.

A racionális törtek (szabályos és irreguláris), valamint a racionális törtek használata elemi értelemben tanulható meg. Itt megfosztjuk az integrációjuk táplálékától. Befejezzük az elemi törtek integrálását. Ezenkívül nehéz integrálni az elemi törtek jelentését számos bőrtípusból, az alábbiakban bemutatott vikorisztikus képletekből. Hadd sejtsem, hogy a (2) és (4) típusú integrált törtekből $n=2,3,4,ldots$ kerül átvitelre. A (3) és (4) képletek vimagayut vikonannya umovi $p^2-4q< 0$.

\begin(egyenlet) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(egyenlet) \begin(egyenlet) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(egyenlet) \begin(egyenlet) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(egyenlet)

A $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ esetén cserélje ki a $t=x+\frac(p)(2)$ értéket, a törlés után az intervallum két részre oszlik . Az elsőt a differenciáljel alatti kiegészítő bemenetre számítjuk, a másik pedig így néz ki: $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Ezt az integrált a visszatérő kapcsolat segítségével veszi fel

\begin(egyenlet) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(egyenlet)

Egy ilyen integrál számítását a 7. számú melléklet mutatja be (harmadik rész).

A racionális függvényekből (racionális törtek) származó integrálok kiszámításának sémája:

1. Mivel az integrál elv elemi, akkor fogalmazza meg az (1)-(4) képleteket.
2. Mivel az integráltört nem elemi, akkor adja hozzá az elemi törtek összegéhez, majd integrálja a következő (1)-(4) képleteket.

Általánosságban elmondható, hogy a racionális törtek integrálására szolgáló algoritmus konzisztens érvényességű lehet – univerzális. Tobto. ezzel az algoritmussal integrálható be-yaku racionális barát. Az is lehetséges, hogy egy értéktelen integrál változásának minden behelyettesítését (Euler, Chebisev-helyettesítések, univerzális trigonometrikus behelyettesítés) ilyen szerkezettel kell végrehajtani, így a behelyettesítés után az integrál alatti racionális tört eltávolításra kerül. És előtte az algoritmus már stagnált. Ezt az algoritmust közvetlenül a fenéken elemezzük, miután először tettünk egy kis megjegyzést.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Ezt az integrált elvileg nehéz eltávolítani a képlet mechanikus megfogalmazása nélkül. Ha beszúrjuk a $7$ konstanst az integráljelbe, és azt írjuk, hogy $dx=d(x+9)$, akkor törölhetjük:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Részletes információkért javaslom a téma megtekintését. Ott világosan el van magyarázva, hogyan kell kiszámítani az ilyen integrálokat. Mielőtt beszélne, a képletet éppen azok az átalakítások fordítják le, amelyeket ezen a ponton a befejezéskor „kézzel” állítottak össze.

2) Tudom, hogy két módja van: vagy lefagyasztja a kész tápszert, vagy nélküle. Miután megfogalmazta a képletet, derítse ki, hogy a $x$ (4-es) előtti együttható mekkora lesz. Emiatt a négyet egyszerűen érdemes megemlíteni:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Eljött az ideje a képlet megfogalmazásának:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Meg lehet boldogulni a képlettel. І navіt vineshenny nélkül állandó $4$ a karokért. Ha úgy gondolja, hogy $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, akkor elutasíthatjuk:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Az ilyen integrálok megtalálásának részletes magyarázata a „Integráció helyettesítéssel (a differenciáljel alatt)” témakörben található.

3) Integrálnunk kell a $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ törtet. Ennek a törtnek a szerkezete $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, ahol $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Ahhoz azonban, hogy kitaláljuk, mi a harmadik típus leghatékonyabb elemi törzse, ellenőrizni kell a viconni elmét $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Ez ugyanaz a fenék, de kész formula használata nélkül. Próbáljuk meg látni a zászlótartót a számban. Mit is jelent ez? Tudjuk, hogy $(x^2+10x+34)"=2x+10$. A numerikus operátorban a $2x+10$ kifejezést kell megfogalmaznunk. Egyelőre a numerikus operátor csak $4x+7$-t tud bosszút állni, különben nem szükséges. Újraalkotás kérdése a számtörőig:

$ 4x+7=2cpont 2x+7=2cpont (2x+10-10)+7=2cpont(2x+10)-2cpont 10+7=2cpont(2x+10) -13. $$

Most a számtörőnek új követelménye van: $2x+10$. Az integrálunk pedig a következőképpen írható át:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2xcdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Az integrandust két részre osztjuk. Nos, nyilván ő maga „kétféleképpen” integrálta ugyanezt:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10)))(x^ 2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \jobbra)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Akkor beszéljünk az első integrál befejezéséről. körülbelül $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. A $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$ töredékek, majd az integráltört numerikus egyenletében a banner differenciálja Röviden, úgy tűnik, cserélje ki a viraza $( 2x +10)dx$ $d(x^2+10x+34)$ alakot.

Most pedig ejtsünk néhány szót egy másik integrálról. Az új négyzet látható a szalaghirdetésben: $ x 2 + 10 x + 34 = (x + 5) 2 + 9 $. Ezenkívül az érték $dx=d(x+5)$. Most a korábban eltávolított integrálok összege teljesen más formában átírható:

$2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9) . $$

Ha az első integrálban végrehajtjuk a $u=x^2+10x+34$ behelyettesítést, akkor $\int\frac(du)(u)$-t fogunk látni, és könnyen használható egy másik képlet a -val. Ami a másik integrált illeti, akkor az újnál a $u=x+5$ helyettesítést használjuk, ami után látni fogjuk a $\int\frac(du)(u^2+9)$. Ez tiszta víz, a tizenegyedik képlet a lényegtelen integrálok táblázatával. Tehát, visszakanyarodva az integrálok összegére, mondjuk:

$2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5) )^2+9) =2cdotln(x^2+10x+34)-frac(13)(3)arctgfrac(x+5)(3)+C. $$

Ugyanazt a bizonyítékot utasítottuk el, amit még a stagnáló formulával is, ami végül is nem meglepő. Tehát a képletet ugyanúgy fejlesztjük ki, mint ahogyan az integrált kerestük. Tisztelem, hogy egy tisztelt olvasó itt egy étkezést kaphat, ezért megfogalmazom:

Étkezés №1

Ha a $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ integrál egy másik képletet tesz a nem értékes integrálok táblázatába, akkor ezt így távolíthatjuk el:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Miért van a megoldásnak napi modulja?

1. számú visszajelzés

Az étrend teljesen természetes. A modulus nagyobb mint $x^2+10x+34$ minden nullánál nagyobb $x\in R$ esetén. Egyáltalán nem nehéz megmutatni, hány út létezik. Például a $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ és $(x+5)^2 ≥ 0$ töredékek, majd a $(x+5)^2+9 > 0 $ . Másképpen ítélhetsz anélkül, hogy teljes négyzetet látnál. Szilánkok $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ minden $x\in R$-ért (ahogy ez a logikus kis fickó kiáltja, Raja rá fog csodálkozni a négyzetes egyenetlenségek grafikus módszerére). Ha a bőrön $x^2+10x+34 > 0$ töredékek vannak, akkor $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, akkor. A modul helyett az elsődleges karok cserélhetők.

Az 1-es számú fenékhez tartozó összes pontot ellenőrizték, és már nem tudok megerősítést írni.

Vidpovid:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5) (3) + C$.

2. számú fenék

Keresse meg a $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ integrált.

Első pillantásra a $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ pedintegrális drib nagyon hasonlít egy harmadik típusú elemi dribre. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Kiderült, hogy ugyanaz a különbség a 3$-os együttható $x^2$ előtt, és az együttható egyenlő a hátránnyal (a fegyverekért fizet). Van azonban egy hasonlóság. A $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ törthez obov'yazkova є umova $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

A $x^2$ előtti együtthatónk nem egyenlő eggyel, ezért ellenőrizze a $p^2-4q elmét< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, akkor a Viraz $3x^2-5x-2$ szorzókra osztható. Ez pedig azt jelenti, hogy a $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ tört nem a harmadik típus elemi törtje, hanem a $\int\frac(7x+12) integrálra redukálódik. (3x^2- 5x-2)dx$ képlet nem lehetséges.

Nos, mivel a racionális törtek problémái nem elemiek, ezért ezeket elemi törtek összegeként kell bemutatni, majd integrálni. Röviden, látszólag gyors a pálya. Világosan meg van írva, hogyan lehet egy racionális érvet elemire osztani. Nézzük meg, hogy a banner szorzókra van felosztva:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(igazított) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-sqrt(49))(2cdot 3)=frac(5-7)(6)=frac(-2)(6)=-frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \\end(igazított)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3cdotbal(x+frac(1)(3)jobb)(x-2). $$

Az albelső dribble a következő formában ábrázolható:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Most bontsuk fel a $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ törtet elemi törtekre:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) ) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\\frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1) (3)\jobbra). $$

Az $A$ és $B$ együtthatók megtalálásához két standard módszer létezik: a jelentéktelen együtthatók módszere és a privát értékek helyettesítésének módszere. A következő egy egyszerű módszer a privát értékek helyettesítésére a $x=2$, majd a $x=-\frac(1)(3)$ bevezetésével:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\jobbra); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Az együttható töredékeit megtalálták, a kész elrendezést már nem lehetett leírni:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+frak(1)(3))+frak(26)(7))(x-2). $$

Elvileg törölhetsz egy ilyen rekordot, de van egy finomabb lehetőség is:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot frac(1)(x+frac(1)(3))+frac(26)(7)cdotfrac(1)(x-2). $$

Áttérve a kimeneti integrálra, bemutatjuk a bővítést egy új következtetésre. Ezután kettővel integráljuk az integrált, és amíg a bőr stagnál a képletben. Azonnal az integráljel mögé teszem a konstansokat:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3)+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Vidpovid: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| + frac (26) (7) cdot ln | x-2 | +C$.

3. készlet

Keresse meg a $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ integrált.

Integrálnunk kell a $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ törtet. A Roztashovani számmenedzserének van egy másik szintű gazdag tagja, a znamenniknek pedig egy harmadik szintű gazdag tagja. A polinom lépéseinek töredékei a számkönyvben tehát kisebbek, mint a polinom lépései az előjelkönyvben. 2 dollár< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Nem kell többé három részre osztanunk az integrál feladatait, és teljesen stagnálni a képletben. Azonnal az integráljel mögé teszem a konstansokat:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \ int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9 |+C. $$

Vidpovid: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

A pályázatok elemzésének folytatását egy másik rész vázolja.