Як знайти роботу поля для переміщення заряду. Робота із переміщення електричного заряду в електростатичному полі. потенціал. різницю потенціалів. Фізичне пояснення потенціалу

ЕЛЕКТРИЧНИЙ ЗАРЯД. ЕЛЕМЕНТАРНІ ЧАСТИНИ.

Електричний заряд q - фізична величина, що визначає інтенсивність електромагнітної взаємодії.

[q] = l Кл (Кулон).

Атоми складаються з ядер та електронів. До складу ядра входять позитивно заряджені протони і нейтрони, що не мають заряду. Електрони мають негативний заряд. Кількість електронів в атомі дорівнює числу протонів в ядрі, тому атом нейтральний.

Заряд будь-якого тіла: q = ±Ne, де е = 1,6 * 10-19 Кл - елементарний або мінімально можливий заряд (заряд електрона), N- Число надлишкових або відсутніх електронів. У замкнутій системі алгебраїчна сума зарядів залишається постійною:

q 1 + q 2 + … + q n = const.

Точковий електричний заряд - заряджене тіло, розміри якого в багато разів менші за відстань до іншого наелектризованого тіла, що взаємодіє з ним.

Закон Кулону

Два нерухомі точкові електричні заряди у вакуумі взаємодіють із силами, спрямованими по прямій, що з'єднує ці заряди; модулі цих сил прямо пропорційні добутку зарядів і обернено пропорційні квадрату відстані між ними:

Коефіцієнт пропорційності

де – електрична постійна.

де 12 – сила, що діє з боку другого заряду на перший, а 21 – з боку першого на другий.

ЕЛЕКТРИЧНЕ ПОЛЕ. НАПРУЖНІСТЬ

Факт взаємодії електричних зарядів з відривом можна пояснити наявністю навколо них електричного поля- матеріального об'єкта, безперервного у просторі та здатного діяти інші заряди.

Поле нерухомих електричних зарядів називають електростатичним.

Характеристикою поля є його напруженість.

Напруженість електричного поля в даній точці- це вектор, модуль якого дорівнює відношенню сили, що діє на позитивний точковий заряд, до величини цього заряду, а напрям збігається з напрямом сили.

Напруженість поля точкового заряду Qна відстані rвід нього дорівнює

Принцип суперпозиції полів

Напруженість поля системи зарядів дорівнює векторній сумі напруженостей полів кожного із зарядів системи:

Діелектрична проникністьсередовища дорівнює відношенню напруженостей поля у вакуумі та в речовині:

Вона показує скільки разів речовина послаблює поле. Закон Кулона для двох точкових зарядів qі Q, розташованих на відстані rв середовищі з діелектричною проникністю:

Напруженість поля з відривом rвід заряду Qдорівнює

ПОТЕНЦІЙНА ЕНЕРГІЯ ЗАРЯЖЕНОГО ТІЛА В ОДНОРІДНОМУ ЕЛЕКТРО-СТАТИЧНОМУ ПОЛІ

Між двома великими пластинами, зарядженими протилежними знаками та розташованими паралельно, помістимо точковий заряд q.

Так як електричне поле між пластинами з напруженістю однорідне, то на заряд у всіх точках діє сила F = qE, яка при переміщенні заряду на відстань вздовж виконує роботу

Ця робота не залежить від форми траєкторії, тобто при переміщенні заряду qвздовж довільної лінії Lробота буде такою ж.

Робота електростатичного поляпо переміщенню заряду залежить від форми траєкторії, а визначається виключно початковим і кінцевим станами системи. Вона, як і у випадку з полем сил тяжіння, дорівнює зміні потенційної енергії, взятій із протилежним знаком:

З порівняння з попередньою формулою видно, що потенційна енергія заряду в однорідному електростатичному полі дорівнює:

Потенційна енергія залежить від вибору нульового рівня і тому сама не має глибокого сенсу.

ПОТЕНЦІАЛ ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОГО ПОЛЯ І НАПРУГ

потенційнимназивається поле, робота якого під час переходу з однієї точки поля в іншу не залежить від форми траєкторії. Потенційними є поле сили тяжіння та електростатичне поле.

Робота, що здійснюється потенційним полем, дорівнює зміні потенційної енергії системи, взятої з протилежним знаком:

Потенціал- Відношення потенційної енергії заряду в полі до величини цього заряду:

Потенціал однорідного поля дорівнює

де d- Відстань, що відраховується від деякого нульового рівня.

Потенційна енергія взаємодії заряду qз полем дорівнює.

Тому робота поля з переміщення заряду з точки з потенціалом 1 у точку з потенціалом 2 становить:

Розмір називається різницею потенціалів чи напругою.

Напруга або різниця потенціалів між двома точками - це відношення роботи електричного поля по переміщенню заряду з початкової точки до кінцевої величини цього заряду:

[U] = 1Дж / Кл = 1В

НАПРУЖНІСТЬ ПОЛЯ І РОЗІЛЬНІСТЬ ПОТЕНЦІАЛІВ

При переміщенні заряду qвздовж силової лінії електричного поля напруженістю на відстань Δ d поле виконує роботу

Оскільки за визначенням, то отримуємо:

Звідси і напруженість електричного поля дорівнює

Отже, напруженість електричного поля дорівнює зміні потенціалу при переміщенні вздовж силової лінії на одиницю довжини.

Якщо позитивний заряд переміщається у напрямку силової лінії, то напрям дії сили збігається з напрямком переміщення, і робота поля позитивна:

Тоді , тобто напруженість спрямована у бік зменшення потенціалу.

Напруженість вимірюють у вольтах на метр:

[E]=1 B/м

Напруга поля дорівнює 1 В/м, якщо напруга між двома точками силової лінії, розташованими на відстані 1 м, дорівнює 1 В.

ЕЛЕКТРИЧНА ЄМНІСТЬ

Якщо незалежним чином виміряти заряд Q, що повідомляється тілу, і його потенціал φ, то можна виявити, що вони прямо пропорційні один одному:

Величина З характеризує здатність провідника накопичувати електричний заряд і називається електричною ємністю. Електроємність провідника залежить від його розмірів, форми, а також електричних властивостей середовища.

Електроємність двох провідників - відношення заряду одного з них до різниці потенціалів між ними:

Місткість тіла дорівнює 1 Ф, якщо при повідомленні йому заряду 1 Кл воно набуває потенціалу 1 В.

КОНДЕНСАТОРИ

Конденсатор- два провідники, розділені діелектриком, що служать для накопичення електричного заряду. Під зарядом конденсатора розуміють модуль заряду однієї з пластин або обкладок.

Здатність конденсатора накопичувати заряд характеризується електроємністю, яка дорівнює відношенню заряду конденсатора до напруги:

Ємність конденсатора дорівнює 1 Ф, якщо при напрузі 1 його заряд дорівнює 1 Кл.

Місткість плоского конденсатора прямо пропорційна площі пластин S, діелектричної проникності середовища, і обернено пропорційна відстані між пластинами d:

ЕНЕРГІЯ ЗАРЯЖЕНОГО КОНДЕНСАТОРА.

Точні експерименти показують, що W = CU 2 /2

Так як q = CU, то

Щільність енергії електричного поля

де V = Sd- Об'єм, займаний полем усередині конденсатора. Враховуючи, що ємність плоского конденсатора

а напруга на його обкладках U=Ed

отримуємо:

приклад.Електрон, рухаючись в електричному полі з 1 точки через точку 2, збільшив свою швидкість від 1000 до 3000 км/с. Визначте різницю потенціалів між точками 1 і 2.

Елементарна робота сил в електростатичному полі

Перемістимо позитивний точковий заряд у поле заряду на малу відстань з точки Nв точку У, рисунок 10.

Малюнок 10

При малому переміщенні, де . З малюнка видно, що . За визначенням з механіки, елементарна робота

З урахуванням (6):

(10)

Оскільки - нескінченно-мала величина, зміною сили всередині інтервалу можна знехтувати.

Робота в електростатичному полі при переміщенні точкового заряду на кінцеву відстань

Нехай заряд перемістився з точки 1 в точку 2, рисунок 11, на відстань , порівнянну з і довільної траєкторії. Знайдемо величину роботи А, користуючись результатом формулою (10) І тому досить проінтегрувати ліву частину висловлювання від 0до А, а праву – від до . В результаті отримаємо:

(11)

Змінивши знак правої частини (11) та порядок віднімання у дужках, отримаємо остаточну формулу

(12)

З (12) випливають важливі слідства:

1. Робота в електростатичному полі не залежить від формитраєкторії руху заряду.

2. Знак роботи визначається:

а) знаками зарядів,

б) знаком круглої дужки, який, у свою чергу, залежить від співвідношення між і.

3. У будь-якому випадку, якщо роботу виконують сили електростатичного поля; якщо , робота відбувається зовнішніми силами неелектричної природидіють проти сил електричного поля.

Малюнок 11 Малюнок 12

Робота в електростатичному полі при переміщенні точкового заряду замкнутою траєкторією

Перемістимо заряд у поле заряду по траєкторії. Робота при такому переміщенні складається з роботи з переміщення траєкторією (рисунок 12).

(13)

та роботи з переміщення по траєкторії:

(14)

На малюнку 12 точка, що відповідає відстані – будь-яка точка траєкторії. Складаючи (14) та (13) , отримаємо:

4. Характеристики електричного поля: потенціал, різницю потенціалів. Еквіпотенційні поверхні, зв'язок потенціалу із напруженістю. Доказ: еквіпотенційні поверхні перпендикулярні вектору ( силовим лініям).

Потенціал – енергетичний параметр електростатичного поля

Малюнок 11 Малюнок 12

Згідно з малюнком 11, у точці 1 та у точці 2 на заряд діють сили , . Отже, у кожному з цих точок заряд має енергією , – відповідно, оскільки сили , здатні зробити роботи , . Вважаючи заряд незамкненою системою, що знаходиться в полі заряду, за визначенням енергії маємо:

(16)

Згідно (14),

(17)

Оскільки, за умовою завдання, крім заряду жодні інші заряди не впливають на , згідно (17):

(18)

Отже, якщо два будь-які точкові заряди знаходяться на відстані , енергія їх взаємодії, рисунок 13:

Малюнок13

(19)

Розділимо (19) на величину:

Величина, як і напруженість поля (9), не залежить від величини і є параметром електричного поля заряду, в якому знаходиться заряд .

Відношення енергії до величини заряду називається потенціалом точки поля, в якій знаходиться заряд .

(21)

У системі СІ потенціал вимірюється у вольтах (В).

З (21) випливає, що символ потенціалу визначається знаком заряду, що створює цей потенціал.

Для потенціалів також справедливий принцип суперпозиції. Якщо потенціал створюється не одним, а N точковими зарядами в точці «А», його величина дорівнює сумі алгебри потенціалів, створених кожним із зарядів.

Взаємозв'язок напруженості електричного поля з потенціалом

Помістимо пробний заряд на відстані від заряду , рисунок 14. У точці «А» заряд створює поле з напруженістю і потенціалом .

Малюнок 14 Малюнок 15

Як випливає з малюнка 15, поле заряду , як будь-якого іншого точкового заряду, є центральним. У будь-якому центральному полі сила дорівнює зміні (градієнту) енергії, взятій із зворотним знаком

У нашому випадку, згідно (8) та (24),

(27)

отже,

(28)

Скорочуючи на , отримуємо значення напруженості електричного поля в точці А (рисунок 14). Вона дорівнює градієнту потенціалу у тій точці, взятому з негативним знаком:

У тривимірному просторі формула (29) набуває вигляду

(30)

Напрямок вектора показує напрямок якнайшвидшого зростання потенціалу. Таким чином, вектор напруженості електричного поля завжди спрямований у бік найшвидшого зменшення потенціалу.

Відповідно до (29) розмірність напруженості можна у вольтах, поділених на метр: .

Еквіпотенційні поверхні - це поверхні, у всіх точках яких потенціал має одне й те саме значення. Ці поверхні доцільно проводити так, щоб різниця потенціалів між сусідніми поверхнями була однаковою. Тоді за густотою еквіпотенційних поверхонь можна судити про значення напруженості поля в різних точках. Величина напруженості більше там, де частіше еквіпотенційні поверхні. Як приклад на малюнку 2 наведено двовимірне зображення електростатичного поля.

Перпендикулярний еквіпотенційній поверхні. Далі, перемістимося нормалі до еквіпотенційної поверхні у бік зменшення потенціалу. І тут і з формули (21) випливає, що . Отже, вектор спрямований нормалі у бік зменшення потенціалу.

Елементарна робота, що здійснюється силою F при переміщенні точкового електричного заряду з однієї точки електростатичного поля в іншу на відрізку шляху, за визначенням дорівнює

де - кут між вектором сили F і напрямом руху. Якщо робота відбувається зовнішніми силами, то dA0. Інтегруючи останній вираз, отримаємо, що робота проти сил поля при переміщенні пробного заряду з точки "а" в точку "b" дорівнюватиме

де - Кулонівська сила, що діє на пробний заряд у кожній точці поля з напруженістю Е. Тоді робота

Нехай заряд переміщається в поле заряду q з точки "а", віддаленої від q на відстані в точку "b", віддалену від q на відстані (рис. 1.12).

Як видно з малюнка тоді отримаємо

Як було сказано вище, робота сил електростатичного поля, що здійснюється проти зовнішніх сил, дорівнює за величиною і протилежна за знаком роботи зовнішніх сил, отже

Потенційна енергія заряду у електричному полі.Роботу, що здійснюється силами електричного поля при переміщенні позитивного точкового заряду qіз положення 1 у положення 2, представимо як зміну потенційної енергії цього заряду: ,

де Wп1 та Wп2 – потенційні енергії заряду qу положеннях 1 та 2. При малому переміщенні заряду qу полі, створюваному позитивним точковим зарядом Qзміна потенційної енергії дорівнює

.

При кінцевому переміщенні заряду qіз положення 1 до положення 2, що знаходяться на відстанях r 1 та r 2 від заряду Q,

Якщо поле створено системою точкових зарядів Q 1 ,Q 2 ,¼, Q n, то зміна потенційної енергії заряду qу цьому полі:

.

Наведені формули дозволяють знайти тільки змінапотенційної енергії точкового заряду q, а чи не саму потенційну енергію. Для визначення потенційної енергії необхідно домовитись, у якій точці поля вважати її рівною нулю. Для потенційної енергії точкового заряду q, що знаходиться в електричному полі, створеному іншим точковим зарядом Q, отримаємо

,

де C- Довільна постійна. Нехай потенційна енергія дорівнює нулю на нескінченно великій відстані від заряду Q(при r® ¥), тоді постійна C= 0 і попередній вираз набуває вигляду

При цьому потенційна енергія визначається як робота переміщення заряду силами поля з цієї точки до нескінченно віддаленої.У разі електричного поля, створюваного системою точкових зарядів, потенційна енергія заряду q:

.

Потенційна енергія системи точкових набоїв.У разі електростатичного поля потенційна енергія є мірою взаємодії зарядів. Нехай у просторі існує система точкових зарядів Q i(i = 1, 2, ... ,n). Енергія взаємодії всіх nзарядів визначиться співвідношенням

,

де r ij -відстань між відповідними зарядами, а підсумовування здійснюється таким чином, щоб взаємодія між кожною парою зарядів враховувалася один раз.

Потенціал електростатичного поля.Поле консервативної сили може бути описано не тільки векторною функцією, але еквівалентний опис цього поля можна отримати, визначивши в кожній його точці відповідну скалярну величину. Для електростатичного поля такою величиною є потенціал електростатичного поля, що визначається як відношення потенційної енергії пробного заряду qдо величини цього заряду, j = Wп / q, Звідки випливає, що потенціал чисельно дорівнює потенційній енергії, якою володіє в цій точці поля одиничний позитивний заряд. Одиницею виміру потенціалу служить Вольт (1 У).

Потенціал поля точкового заряду Qв однорідному ізотропному середовищі з діелектричною проникністю e:

Принцип суперпозиції.Потенціал є скалярною функцією, для неї справедливий принцип суперпозиції. Так для потенціалу поля системи точкових зарядів Q 1, Q 2 ¼, Q nмаємо

,

де r i- відстань від точки поля, що має потенціал j, до заряду Q i. Якщо заряд довільним чином розподілено у просторі, то

,

де r- Відстань від елементарного об'єму d x, d y, d zдо точки ( x, y, z), де визначається потенціал; V- Обсяг простору, в якому розподілений заряд.

Потенціал та робота сил електричного поля.Грунтуючись на визначенні потенціалу, можна показати, що робота сил електричного поля під час переміщення точкового заряду qз однієї точки поля в іншу дорівнює добутку величини цього заряду на різницю потенціалів у початковій та кінцевій точках шляху, A = q(J 1 - j 2).
Якщо за аналогією з потенційною енергією вважати, що в точках, нескінченно віддалених від електричних зарядів - джерел поля потенціал дорівнює нулю, то роботу сил електричного поля при переміщенні заряду qз точки 1 в нескінченність можна уявити як A ¥ = q j 1 .
Таким чином, потенціал в даній точці електростатичного поля - це фізична величина, чисельно рівна роботі, що здійснюється силами електричного поля при переміщенні одиничного позитивного точкового заряду з даної точки поля в нескінченно віддалену: j = A ¥ / q.
У деяких випадках потенціал електричного поля наочніше визначається як фізична величина, чисельно рівна роботі зовнішніх сил проти сил електричного поля при переміщенні одиничного позитивного точкового заряду з нескінченності в дану точку . Останнє визначення зручно записати так:

У сучасній науціта техніці, особливо при описі явищ, що відбуваються в мікросвіті, часто використовується одиниця роботи та енергії, яка називається електрон-вольтом(ЕВ). Це робота, що здійснюється при переміщенні заряду, рівного заряду електрона, між двома точками з різницею потенціалів 1 В: 1 еВ = 1,60 10 -19 Кл 1 В = 1,60 10 -19 Дж.

Метод точкових набоїв.

Приклади застосування методу розрахунку напруженості і потенціалу електростатичного поля.

Шукатимемо, яким чином пов'язані напруженість електростатичного поля, яка є його силовою характеристикою, та потенціал, який є його енергетична характеристика поля.

Робота з переміщення одиничного точкового позитивного електричного заряду з однієї точки поля в іншу вздовж осі х за умови, що точки розташовані досить близько одна до одної і x 2 -x 1 =dx дорівнює E x dx. Така сама робота дорівнює φ 1 -φ 2 =dφ. Прирівнявши обидві формули, запишемо
(1)

де символ приватної похідної підкреслює, що диференціювання здійснюється лише з х. Повторивши ці міркування для осей у і z, знайдемо вектор Е:

де i, j, k- Поодинокі вектори координатних осей х, у, z.
З визначення градієнта випливає, що
або (2)

тобто напруженість Еполя дорівнює градієнту потенціалу зі знаком мінус. Знак мінус говорить про те, що вектор напруженості Еполя направлено в бік зменшення потенціалу.
Для графічного представлення розподілу потенціалу електростатичного поля, як і у разі поля тяжіння, користуються еквіпотенційними поверхнями- Поверхнями, у всіх точках яких потенціал φ має однакове значення.
Якщо поле створюється точковим зарядом, його потенціал, згідно з формулою потенціалу поля точкового заряду, φ=(1/4πε 0)Q/r . Таким чином, еквіпотенційні поверхні в даному випадку - концентричні сфери з цетром в точковому заряді. Зауважимо також, лінії напруженості у разі точкового заряду – радіальні прямі. Значить лінії напруженості у разі точкового заряду перпендикулярніеквіпотенційним поверхням.
Лінії напруженості завжди перпендикулярні до еквіпотенційних поверхонь. Справді, всі точки еквіпотенційної поверхні мають однаковий потенціал, тому робота по переміщенню заряду вздовж цієї поверхні дорівнює нулю, тобто електростатичні сили, які діють на заряд, завжди спрямовані по перпендикурярам до еквіпотенційних поверхонь. Значить, вектор Е завжди перпендикулярний до еквіпотенційних поверхонь, а тому лінії вектора Еперпендикулярні до цих поверхонь.
Еквіпотенційних поверхонь навколо кожного заряду та кожної системи зарядів можна провести безліч. Але зазвичай їх проводять так, щоб різниці потенціалів між будь-якими двома сусідніми еквіпотенційними поверхнями дорівнювали один одному. Тоді густота еквіпотенційних поверхонь наочно характеризує напруженість поля у різних точках. Там, де густіше розташовані ці поверхні, напруженість поля більша.
Отже, знаючи розташування ліній напруженості електростатичного поля, можна намалювати еквіпотенційні поверхні і, навпаки, за відомим нам розташуванням еквіпотенційних поверхонь можна знайти в кожній точці поля напрямок і модуль напруженості поля. На рис. 1 як приклад показаний вид ліній напруженості (штрихові лінії) та еквіпотенційних поверхонь (суцільні лінії) полів позитивного точкового електричного заряду (а) і зарядженого металевого циліндра, який має на одному кінці виступ, а на іншому - западину (б).

Теорема Гауса.

Потік вектор напруженості. Теорема Гауса. Застосування теореми Гаусса до розрахунку електростатичних полів.

Потік вектор напруженості.
Число ліній вектора E, що пронизують деяку поверхню S, називається потоком вектора напруженості N E .

Для обчислення потоку вектора E необхідно розбити площу S на елементарні майданчики dS, у яких поле буде однорідним (рис.13.4).

Потік напруженості через такий елементарний майданчик дорівнюватиме за визначенням (рис.13.5).

де - кут між силовою лінією та нормаллю до майданчика dS; - проекція майданчика dS на площину перпендикулярну силовим лініям. Тоді потік напруженості поля через всю поверхню майданчика S дорівнюватиме

Роз'єм весь об'єм, укладений усередині поверхні Sна елементарні кубики типу, зображених на рис. 2.7. Грані всіх кубиків можна розділити на зовнішні, що збігаються з поверхнею Sі внутрішні, що межують тільки із суміжними кубиками. Зробимо кубики настільки маленькими, щоб зовнішні грані точно відтворювали форму поверхні. Потік вектора a через поверхню кожного елементарного кубика дорівнює

,

а сумарний потік через усі кубики, що заповнюють обсяг V,є

(2.16)

Розглянемо суму потоків, що входить в останній вираз. dФ через кожен із елементарних кубиків. Очевидно, що в цю суму потік вектора a через кожну із внутрішніх граней увійде двічі.

Тоді повний потік через поверхню S=S 1 +S 2 дорівнюватиме сумі потоків через тільки зовнішні грані, оскільки сума потоків через внутрішню грань дасть нуль. За аналогією можна зробити висновок, що всі члени суми, що відносяться до внутрішніх меж, у лівій частині виразу (2.16), скоротяться. Тоді, переходячи з елементарності розмірів кубиків від підсумовування до інтегрування, отримаємо вираз (2.15), де інтегрування проводиться по поверхні, що обмежує обсяг.

Замінимо відповідно до теорії Остроградського-Гаусса поверхневий інтеграл в (2.12) об'ємним

і представимо сумарний заряд як інтеграл від об'ємної густини за обсягом

Тоді отримаємо такий вираз

Отримане співвідношення має виконуватися для будь-якого довільно вибраного обсягу V. Це можливо лише в тому випадку, якщо значення підінтегральних функцій у кожній точці об'єму однакові. Тоді можна записати

(2.17)

Останній вираз є теоремою Гауса в диференціальній формі.

1. Поле рівномірно зарядженої нескінченної площини. Нескінченна площина заряджена із постійною поверхневою щільністю+σ (σ = dQ/dS – заряд, який припадає на одиницю поверхні). Лінії напруженості перпендикулярні даній площині та направлені від неї до кожної із сторін. Візьмемо як замкнуту поверхню циліндр, основи якого паралельні зарядженій площині, а вісь перпендикулярна їй. Так як утворюють циліндра паралельні лініям напруженості поля (соs = 0), то потік вектора напруженості крізь бічну поверхню циліндра дорівнює нулю, а повний потік крізь циліндр дорівнює сумі потоків крізь його основи (площі основ рівні і для основи Е n збігається з Е), тобто дорівнює 2ES. Заряд, який укладений усередині побудованої циліндричної поверхні, дорівнює S. Згідно з теоремою Гауса, 2ES=σS/ε 0 , звідки

З формули (1) випливає, що Е не залежить від довжини циліндра, тобто напруженість поля на будь-яких відстанях дорівнює модулю, іншими словами, поле рівномірно зарядженої площини однорідно.

2. Поле двох нескінченних паралельних різноіменно заряджених площин(Рис. 2). Нехай площини заряджені рівномірно різними за знаком зарядами з поверхневими щільностями +σ і –σ. Поле таких площин будемо шукати як суперпозицію полів, які створюються кожній із площин окремо. На малюнку верхні стрілки відповідають полю від позитивно зарядженої площини, нижні від негативно зарядженої площини. Ліворуч і праворуч від площин поля віднімаються (оскільки лінії напруженості спрямовані назустріч одна одній), отже тут напруженість поля E=0. В області між площинами E = E + + E - (E + та E - знаходяться за формулою (1)), тому результуюча напруженість

Отже, результуюча напруженість поля в області між площинами описується залежністю (2), а поза обсягом, обмеженим площинами, дорівнює нулю.

3. Поле рівномірно зарядженої сферичної поверхні. Сферична поверхня радіуса R із загальним зарядом Q заряджена рівномірно з поверхневою щільністю+? Т.к. заряд розподілений рівномірно по поверхні те поле, яке створюється ним, має сферичну симетрію. Отже лінії напруженості спрямовані радіально (рис. 3). Проведемо подумки сферу радіусу r, яка має спільний центр із зарядженою сферою. Якщо r>R,ro всередину поверхні потрапляє весь заряд Q, який створює поле, і, за теоремою Гауса, 4πr 2 E = Q/ε 0 , звідки

(3)

При r>R поле зменшується з відстанню r за таким самим законом, як у точкового заряду. Графік залежності Е від r наведено на рис. 4. Якщо r" 4. Поле об'ємно зарядженої кулі. Куля радіуса R із загальним зарядом Q заряджений рівномірно з об'ємною щільністюρ (ρ = dQ/dV – заряд, який посідає одиницю обсягу). З огляду на міркування симетрії, аналогічні п.3, можна довести, що з напруженості поля поза кулі вийде той самий результат, як у випадку (3). Усередині ж кулі напруженість поля буде іншою. Сфера радіусу r"

Отже, напруженість поля поза рівномірно зарядженої кулі описується формулою (3), а всередині його змінюється лінійно з відстанню r" згідно з залежністю (4). Графік залежності Е від r для розглянутого випадку показаний на рис.
5. Поле рівномірно зарядженого нескінченного циліндра (нитки). Нескінченний циліндр радіуса R (рис. 6) рівномірно заряджений з лінійною щільністюτ (τ = –dQ/dt заряд, який посідає одиницю довжини). З міркувань симетрії бачимо, що лінії напруженості будуть направлені по радіусах кругових перерізів циліндра з однаковою густотою на всі боки щодо осі циліндра. Подумки побудуємо як замкнуту поверхню коаксіальний циліндр радіуса r і висотою l. Потік вектора Екрізь торці коаксіального циліндра дорівнює нулю (торці та лінії напруженості паралельні), а крізь бічну поверхню дорівнює 2πr lЕ. Використовуючи теорему Гауса, при r>R 2πr lЕ = τ l/ε 0 , звідки

Якщо r

Електричний диполь.

Характеристики електричного диполю. Поле диполя. Диполь в електричному полі.

Сукупність двох рівних за величиною різноіменних точкових зарядів q, розташованих на деякій відстані один від одного, малому в порівнянні з відстанню до точки поля, що розглядається, називається електричним диполем.(рис.13.1)

Твір називається моментом диполя. Пряма лінія, що з'єднує заряди, називається віссю диполя. Зазвичай момент диполя вважається спрямованим по осі диполя у бік позитивного заряду.

Про всяк заряд в електричному полі діє сила, яка може переміщати цей заряд. Визначити роботу А переміщення точкового позитивного заряду q з точки О в точку n, що здійснюється силами електричного поля негативного заряду Q. За законом Кулона сила, що переміщує заряд, є змінною та рівною

Де r-змінна відстань між зарядами.

; Цей вираз можна отримати так

Величина є потенційною енергією W п заряду в даній точці електричного поля:

Знак (-) показує, що з переміщенні заряду полем його потенційна енергія зменшується, переходячи у роботу переміщення.

Розмір рівна потенційної енергії одиничного позитивного заряду (q=+1), називається потенціалом електричного поля.

Тоді

Таким чином, різниця потенціалів двох точок поля дорівнює роботі сил поля з переміщення, одиничного позитивного заряду з однієї точки до іншої.

Потенціал точки електричного поля дорівнює роботі з переміщення одиничного позитивного заряду з цієї точки на нескінченність.

Одиниця виміру - Вольт =Дж/Кл

Робота переміщення заряду в електричному полі залежить від форми шляху, залежить тільки від різниці потенціалів початкової і кінцевої точок шляху.

Поверхня, у всіх точках якої потенціал однаковий, називається еквіпотенційною.

Напруженість поля є його силовою характеристикою, а потенціал – енергетичною.

Зв'язок між напруженістю поля та його потенціалом виражається формулою

,

Знак (-) обумовлений тим, що напруженість поля спрямована у бік спадання потенціалу, а бік зростання потенціалу.

5. Використання електричного поля у медицині.

Франклінізація,або «електростатичний душ», є лікувальним методом, при якому організм хворого або окремі ділянки його піддаються впливу постійного електричного поля високої напруги.

Постійне електричне поле при процедурі загальної дії може сягати 50 кВ, при місцевому впливі 15-20кВ.

Механізм лікувальної дії.Процедуру франклінізації проводять таким чином, що голова хворого або інший ділянку тіла стають хіба що однією з пластин конденсатора, тоді як другий є електрод, підвішений над головою, або встановлюється над місцем на відстані 6-10см. Під впливом високої напруги під вістрями голок, закріплених на електроді, виникає іонізація повітря з утворенням аероіонів, озону та оксидів азоту.

Вдихання озону та аероіонів викликає реакцію судинної мережі. Після короткочасного спазму судин відбувається розширення капілярів як поверхневих тканин, а й глибоких. В результаті покращуються обмінно-трофічні процеси, а за наявності пошкодження тканин стимулюються процеси регенерації та відновлення функцій.

Внаслідок поліпшення кровообігу, нормалізації обмінних процесів та функції нервів відбувається зменшення головного болю, підвищеного артеріального тиску, підвищеного судинного тонусу, урідження пульсу.

Застосування франклінізації показано при функціональних розладах нервової системи

Приклади розв'язання задач

1. При роботі апарату для франклінізації щомиті в 1 см 3 повітря утворюється 500 000 легких аероіонів. Визначити роботу іонізації, необхідну для створення 225 см 3 повітря такої ж кількості аероіонів за час лікувального сеансу (15 хв). Потенціал іонізації молекул повітря вважатиме рівним 13,54 В, умовно вважати повітря однорідним газом.

-потенціал іонізації, А - робота іонізації, N-кількість електронів.

2. При лікуванні електростатичним душем на електродах електричної машини прикладено різницю потенціалів 100кВ. Визначити, який заряд проходить між електродами протягом однієї процедури лікування, якщо відомо, що сили електричного поля при цьому здійснюють роботу 1800Дж.

Звідси

Електричний диполь у медицині

Відповідно до теорії Ейтховена, що лежить в основі електрокардіографії, серце являє собою електричний диполь, розташований в центрі рівностороннього трикутника (трикутник Ейтховена), вершини якого умовно можна вважати,

що знаходяться в правій руці, лівій руці та лівій нозі.

За час серцевого циклу змінюється як положення диполя у просторі, і дипольний момент. Вимірювання різниці потенціалів між вершинами трикутника Ейтховена дозволяє визначити співвідношення між проекціями дипольного моменту серця на сторони трикутника таким чином:

Знаючи напруги U AB , U BC , U AC можна визначити, як диполь орієнтований щодо сторін трикутника.

У електрокардіографії різниця потенціалів між двома точками тіла (у разі між вершинами трикутника Эйтховена) називається відведенням.

Реєстрація різниці потенціалів у відведеннях залежно від часу називається електрокардіограмою.

Геометричне місце точок кінця вектора дипольного моменту під час серцевого циклу називається вектор-кардіограмою.

Лекція №4

Контактні явища

1. Контактна різниця потенціалів. Закони Вольта.

2. Термоелектрика.

3. Термопара, її використання у медицині.

4. Потенціал спокою. Потенціал дії та її поширення.

1. При тісному зіткненні різнорідних металів між ними виникає різниця потенціалів, що залежить тільки від їхнього хімічного складу та температури (перший закон Вольти).

Ця різниця потенціалів називається контактною.

Для того, щоб залишити метал і піти в довкілля, електрон повинен здійснити роботу проти сил тяжіння до металу. Ця робота називається роботою виходу електрона із металу.

Приведемо в контакт два різні метали 1 і 2, що мають роботу виходу відповідно A 1 і A 2, причому A 1< A 2 . Очевидно, что свободный электрон, попавший в процессе теплового движения на поверхность раздела металлов, будет втянут во второй металл, так как со стороны этого металла на электрон действует большая сила притяжения (A 2 >A 1). Отже, через контакт металів відбувається «перекачування» вільних електронів з першого металу до другого, у результаті перший метал зарядиться позитивно, другий негативно. Різниця потенціалів, що виникає при цьому, створює електричне поле напруженістю Е, яке ускладнює подальшу «перекачування» електронів і зовсім припинить її, коли робота переміщення електрона за рахунок контактної різниці потенціалів стане дорівнює різниці робіт виходу:

(1)

Приведемо тепер у контакт два метали з A 1 = A 2 мають різні концентрації вільних електронів n 01 >n 02 . Тоді почнеться переважне перенесення вільних електронів з першого металу до другого. Через війну перший метал зарядиться позитивно, другий – негативно. Між металами виникне різниця потенціалів, яка припинить подальше перенесення електронів. Різниця потенціалів, що виникає при цьому, визначається виразом:

, (2)

де k-постійна Больцмана

У випадку контакту металів, які різняться і роботою виходу і концентрацією вільних електронів к.р.п. з (1) і (2) дорівнюватиме

(3)

Легко показати, що сума контактних різниць потенціалів послідовно з'єднаних провідників дорівнює контактній різниці потенціалів, створюваної кінцевими провідниками, і залежить від проміжних провідників.

Це становище називається другим законом Вольти.

Якщо тепер безпосередньо з'єднати кінцеві провідники, то різниця потенціалів, що існує між ними, компенсується рівною за величиною різницею потенціалів, що виникає в контакті 1 і 4. Тому к.р.п. не створює струму в замкнутому ланцюзі металевих провідників, що мають однакову температуру.

2. Термоелектрика- Це залежність контактної різниці потенціалів від температури.

Складемо замкнутий ланцюг із двох різнорідних металевих провідників 1 і 2. Температури контактів a і b підтримуватимемо різними Т a > T b . Тоді, згідно з формулою (3), к.р.п. у гарячому спаї більше, ніж у холодному:

В результаті між спаями a і b виникає різниця потенціалів

Називається термоелектрорушійною силою, а в замкнутому ланцюгу піде струм I. Користуючись формулою (3), отримаємо

Де для кожної пари металів

3. Замкнений ланцюг провідників, що створює струм за рахунок відмінності температури контактів між провідниками, називається термопарою.

З формули (4) слід, що термоелектрорушійна сила термопари пропорційна різниці температур спаїв (контактів).

Формула (4) справедлива і для температур за шкалою Цельсія:

Термопарою можна виміряти лише різниці температур. Зазвичай один спай підтримується за 0ºС. Він називається холодним спаєм. Інший спай називається гарячим чи вимірювальним.

Термопара має істотні переваги перед ртутними термометрами: вона чутлива, безінерційна, дозволяє вимірювати температуру малих об'єктів, допускає дистанційні вимірювання.

Вимірювання межі температурного поля тіла людини.

Вважається, що температура тіла людини постійна, проте це сталість щодо, оскільки у різних ділянках тіла температура неоднакова і змінюється залежно від функціонального стану організму.

Температура шкіри має цілком певну топографію. Найнижчу температуру (23-30º) мають дистальні відділи кінцівок, кінчик носа, вушні раковини. Найвища температура – ​​у пахвовій області, у промежині, області шиї, губ, щік. Інші ділянки мають температуру 31-33,5 ºС.

У здорової людини розподіл температур симетричний щодо середньої лінії тіла. Порушення цієї симетрії і є основним критерієм діагностики захворювань методом побудови профілю температурного поля за допомогою контактних пристроїв: термопари та термометра опору.

4 . Поверхнева мембрана клітини не однаково проникна різних іонів. Крім того, концентрація будь-яких певних іонів різна з різних боків мембрани, всередині клітини підтримується найбільш сприятливий склад іонів. Ці фактори призводять до появи в клітині, що нормально функціонує, різниці потенціалів між цитоплазмою і навколишнім середовищем (потенціал спокою)

При збудженні різниця потенціалів між клітиною та навколишнім середовищем змінюється, виникає потенціал дії, який поширюється у нервових волокнах.

Механізм поширення потенціалу дії нервового волокна розглядається за аналогією з поширенням електромагнітної хвилі по двопровідній лінії. Однак, поряд із цією аналогією існують і принципові відмінності.

Електромагнітна хвиля, поширюючись у середовищі, слабшає, оскільки її енергія розсіюється, перетворюючись на енергію молекулярно-теплового руху. Джерелом енергії електромагнітної хвилі є її джерело: генератор, іскра тощо.

Хвиля збудження не згасає, тому що отримує енергію із самого середовища, в якому вона поширюється (енергія зарядженої мембрани).

Таким чином, поширення потенціалу дії нервового волокна відбувається у формі автохвилі. Активним середовищем є збудливі клітини.

Приклади розв'язання задач

1. При побудові профілю температурного поля поверхні тіла людини використовується термопара із опором r 1 =4Ом та гальванометр із опором r 2 =80Ом; I=26мкА за різниці температур спаїв ºС. Чому дорівнює постійна термопари?

Термоедс, що виникає в термопарі, дорівнює

(1) де термопари, - різниця температур спаїв.

За законом Ома для ділянки ланцюга де U приймаємо як . Тоді

Лекція №5

Електромагнетизм

1. Природа магнетизму.

2. Магнітна взаємодія струмів у вакуумі. Закон Ампера.

4. Діа-, пара- та феромагнітні речовини. Магнітна проникність та магнітна індукція.

5. Магнітні властивості тканин організму.

1 . Навколо рухомих електричних зарядів (струмів) виникає магнітне поле, за допомогою якого ці заряди взаємодіють з магнітними або іншими електричними зарядами, що рухаються.

Магнітне поле є силовим полем, його зображують у вигляді магнітних силових ліній. На відміну від силових ліній електричного поля, магнітні силові лінії завжди замкнуті.

Магнітні властивості речовини обумовлені елементарними круговими струмами в атомах та молекулах цієї речовини.

2 . Магнітна взаємодія струмів у вакуумі. Закон Ампера.

Магнітна взаємодія струмів вивчалася за допомогою рухомих дротяних контурів. Ампер встановив, що величина сили взаємодії двох малих ділянок провідників 1 і 2 зі струмами пропорційна довжинам і цих ділянок, сил струму I 1 і I 2 в них і назад пропорційна квадрату відстані r між ділянками:

З'ясувалося, що сила впливу першої ділянки на другу залежить від їхнього взаєморозташування і пропорційна синусам кутів і .

При переміщенні заряду в електростатичному полі, що діють на

заряд кулонівські сили, що здійснюють роботу. Нехай заряд q 0 >0 переміщається у полі заряду q>0 з точки З точку У вздовж довільної траєкторії (рис.2.1). На q 0 діє кулонівська сила

При елементарному переміщенні заряду d lця сила здійснює роботу , де a - кут між векторами і . Величина d l cosa=dr є проекцією вектора напрям сили . Таким чином, dA = Fdr, . Повна робота з переміщення заряду з точки З визначається інтегралом , де r 1 і r 2 - відстані заряду q до точок С і В. З отриманої формули випливає, що робота, що здійснюється при переміщенні електричного заряду q 0 в полі точкового заряду q, не залежить від форми траєкторії переміщення, а залежить тільки від початкової та кінцевої точки переміщення.

Поле, що задовольняє цю умову, є потенційним. Отже, електростатичне поле точкового заряду - потенційне, а чинні в ньому сили - консервативні.

Якщо заряди q і q 0 одного знака, то робота сил відштовхування буде позитивною при їх видаленні та негативною при їх зближенні. Якщо заряди q і q 0 різномінні, то робота сил тяжіння буде позитивною при їх зближенні та негативною при віддаленні один від одного.

Нехай електростатичне поле, в якому переміщується заряд q 0 створено системою зарядів q 1 , q 2 , ..., q n . Отже, на q 0 діють незалежні сили , рівнодіюча яких дорівнює їхній векторній сумі. Робота А рівнодіючої сили дорівнює алгебраїчній сумі робіт складових сил, , де r i 1 і r i 2 - Початкова і кінцева відстані між зарядами q i і q 0 .