Як взяти похідну від дробу. Похідна приватного двох функцій (похідна дробу). Похідна складної функції

Вирішувати фізичні завдання чи приклади з математики зовсім неможливо без знань про похідну та методи її обчислення. Похідна – одне з найважливіших понять математичного аналізу. Цій фундаментальній темі ми вирішили присвятити сьогоднішню статтю. Що таке похідна, який її фізичний та геометричний змістЯк порахувати похідну функції? Всі ці питання можна поєднати в одне: як зрозуміти похідну?

Геометричний та фізичний зміст похідної

Нехай є функція f(x) , задана в певному інтервалі (a, b) . Точки х і х0 належать до цього інтервалу. При зміні х змінюється сама функція. Зміна аргументу – різниця його значень х-х0 . Ця різниця записується як дельта ікс і називається збільшенням аргументу. Зміною або збільшенням функції називається різниця значень функції у двох точках. Визначення похідної:

Похідна функції у точці – межа відношення збільшення функції у цій точці до збільшення аргументу, коли останнє прагне нулю.

Інакше це можна записати так:

Який сенс у знаходженні такої межі? А ось який:

похідна від функції в точці дорівнює тангенсу кута між віссю OX і щодо графіку функції в даній точці.

Фізичний зміст похідної: похідна шляхи за часом дорівнює швидкості прямолінійного руху.

Дійсно, ще зі шкільних часів всім відомо, що швидкість – це приватна дорога. x=f(t) та часу t . Середня швидкість за деякий проміжок часу:

Щоб дізнатися швидкість руху в момент часу t0 потрібно обчислити межу:

Правило перше: виносимо константу

Константу можна винести за знак похідної. Більше того – це потрібно робити. При вирішенні прикладів математики візьміть за правило - якщо можете спростити вираз, обов'язково спрощуйте .

приклад. Обчислимо похідну:

Правило друге: похідна суми функцій

Похідна суми двох функцій дорівнює сумі похідних цих функцій. Те саме справедливо і для похідної різниці функцій.

Не наводитимемо доказ цієї теореми, а краще розглянемо практичний приклад.

Знайти похідну функції:

Правило третє: похідна робота функцій

Похідна твори двох функцій, що диференціюються, обчислюється за формулою:

Приклад: знайти похідну функції:

Рішення:

Тут важливо сказати про обчислення похідних складних функцій. Похідна складної функціїдорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.

У наведеному вище прикладі ми зустрічаємо вираз:

В даному випадку проміжний аргумент - 8х у п'ятому ступені. Для того, щоб обчислити похідну такого виразу спочатку вважаємо похідну зовнішньої функції за проміжним аргументом, а потім множимо на похідну безпосередньо проміжного аргументу незалежної змінної.

Правило четверте: похідна приватного двох функцій

Формула для визначення похідної від частки двох функцій:

Ми постаралися розповісти про похідні для чайників з нуля. Ця тема не така проста, як здається, тому попереджаємо: у прикладах часто зустрічаються пастки, так що будьте уважні при обчисленні похідних.

З будь-яким питанням з цієї та інших тем ви можете звернутися до студентського сервісу. За короткий термін ми допоможемо вирішити найскладнішу контрольну та розібратися із завданнями, навіть якщо ви ніколи раніше не займалися обчисленням похідних.

Формула похідного дробу із двох функцій. Доказ двома способами. Докладно розібрані приклади приватного диференціювання.

Зміст

Формула похідного дробу

Нехай функції і визначені в околицях точки і мають у точці похідні. І нехай . Тоді їхня приватна має в точці похідну, яка визначається за формулою:
(1) .

Доведення

Введемо позначення:
;
.
Тут і є функціями від змінних та . Але для простоти запису ми опускатимемо позначення їх аргументів.

Далі зауважуємо, що
;
.
За умовою функції і мають похідні в точці , які є такими межами:
;
.
З похідних випливає, що функції і безперервні в точці . Тому
;
.

Розглянемо функцію y від змінної x, яка є дробом із функцій і:
.
Розглянемо збільшення цієї функції в точці:
.
Помножимо на:

.
Звідси
.

Тепер знаходимо похідну:

.

Отже,
.
Формулу доведено.

Замість змінної можна використовувати будь-яку іншу змінну. Позначимо її як x. Тоді якщо є похідні і , причому , то похідна дробу, складеної двох функцій, визначається за формулою:
.
Або у більш короткому записі
(1) .

Доказ другим способом

Приклади

Тут ми розглянемо прості прикладиобчислення похідного дробу, застосовуючи формулу похідної частки (1). Зауважимо, що у складніших випадках, знаходити похідну дробу простіше за допомогою логарифмічної похідної .

Приклад 1

Знайдіть похідну дробу
,
де , , , - Постійні.

Застосуємо правило диференціювання суми функцій:
.
Похідна постійною
.
З таблиці похідних знаходимо:
.
Тоді
;
.

Замінимо на і на:
.

Тепер знаходимо похідну дробу за формулою
.

.

Приклад 2

Знайти похідну функції від змінної x
.

Застосовуємо правила диференціювання, як у попередньому прикладі.
;
.

Застосовуємо правило диференціювання дробу
.


.

Доведемо правило диференціювання окремої двох функцій (дробі) . Варто зазначити, що g(x)не звертається в нуль за жодних xз проміжку X.

За визначенням похідної

приклад.

Виконати диференціювання функції.

Рішення.

Вихідна функція є відношенням двох виразів sinxі 2x+1. Застосуємо правило диференціювання дробу:

Не обійтися без правил диференціювання суми та винесення довільної постійної за знак похідної:

На закінчення, давайте зберемо всі правила в одному прикладі.

приклад.

Знайти похідну функції , де a- Позитивне дійсне число.

Рішення.

А тепер по порядку.

Перший доданок .

Другий доданок

Третій доданок

Збираємо всі разом:

4.Питання.Виробні основні елементарні функції.

Завдання.Знайти похідну функції

Рішення.Використовуємо правила диференціювання та таблицю похідних:

Відповідь.

5.Питання.Виробна складної функції приклади

Усі приклади цього розділу спираються на таблицю похідних та теорему про похідну складну функцію, формулювання якої таке:

Нехай 1) функція u=φ(x) має у певній точці x0 похідну u′x=φ′(x0); 2) функція y=f(u) має у відповідній точці u0=φ(x0) похідну y′u= f′(u). Тоді складна функція y=f(φ(x)) у згаданій точці також матиме похідну, рівну добутку похідних функцій f(u) і φ(x):

(f(φ(x)))′=f′u(φ(x0))⋅φ′(x0)

або, у більш короткому записі: y'x=y'u⋅u'x.

У прикладах цього розділу всі функції мають вигляд y = f (x) (тобто розглядаємо лише функції однієї змінної x). Відповідно, у всіх прикладах похідна y′ береться за змінною x. Щоб підкреслити те, що похідна береться за змінною x, часто замість y пишуть y x.

У прикладах №1, №2 та №3 викладено докладний процес знаходження похідної складних функцій. Приклад №4 призначений більш повного розуміння таблиці похідних і з ним має сенс ознайомитися.

Бажано після вивчення матеріалу у прикладах №1-3 перейти до самостійного рішення прикладів №5, №6 та №7. Приклади №5, №6 та №7 містять коротке рішення, щоб читач міг перевірити правильність свого результату.

Приклад №1

Знайти похідну функцію y=ecosx.

Рішення

Нам потрібно знайти похідну складної функції y′. Оскільки y=ecosx, то y′=(ecosx)′. Щоб знайти похідну (ecosx) використовуємо формулу №6 з таблиці похідних. Щоб використовувати формулу №6 необхідно враховувати, що у разі u=cosx. Подальше рішення полягає в банальній підстановці формулу №6 виразу cosx замість u:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′(1.1)

Тепер потрібно знайти значення виразу (cosx). Знову звертаємось до таблиці похідних, вибираючи з неї формулу №10. Підставляючи u=x формулу №10, маємо: (cosx)′=−sinx⋅x′. Тепер продовжимо рівність (1.1), доповнивши його знайденим результатом:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)(1.2)

Оскільки x′=1, то продовжимо рівність (1.2):

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)=ecosx⋅(−sinx⋅1)=−sinx⋅ecosx(1.3)

Отже, з рівності (1.3) маємо: y′=−sinx⋅ecosx. Природно, пояснення і проміжні рівності зазвичай пропускають, записуючи перебування похідної однією рядок, – як і рівності (1.3). Отже, похідна складної функції знайдена, залишилося лише записати відповідь.

Відповідь: y′=−sinx⋅ecosx.

Приклад №2

Знайти похідну функції y=9⋅arctg12(4⋅lnx).

Рішення

Нам необхідно обчислити похідну y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′. Спочатку відзначимо, що константу (тобто число 9) можна винести за знак похідної:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′(2.1)

Тепер звернемося до виразу (arctg12(4⋅lnx))′. Щоб вибрати потрібну формулу з таблиці похідних було легше, я представлю вираз, що розглядається в такому вигляді: ((arctg(4⋅lnx))12)′. Тепер видно, що потрібно використовувати формулу №2, тобто. (uα)′=α⋅uα−1⋅u′. У цю формулу підставимо u=arctg(4⋅lnx) та α=12:

Доповнюючи рівність (2.1) отриманим результатом, маємо:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′(2.2 )

Примітка: показати\сховати

Тепер потрібно знайти (arctg(4⋅lnx))′. Використовуємо формулу №19 таблиці похідних, підставивши до неї u=4⋅lnx:

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′

Трохи спростимо отриманий вираз, враховуючи (4⋅lnx)2=42⋅(lnx)2=16⋅ln2x.

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′=11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′

Рівність (2.2) тепер стане такою:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′= 108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′(2.3)

Залишилося знайти (4⋅lnx)′. Винесемо константу (тобто 4) за знак похідної: (4⋅lnx)′=4⋅(lnx)′. Щоб знайти (lnx)′ використовуємо формулу №8, підставивши у ній u=x: (lnx)′=1x⋅x′. Оскільки x′=1, то (lnx)′=1x⋅x′=1x⋅1=1x. Підставивши отриманий результат формулу (2.3), отримаємо:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′= 108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅4⋅ arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Нагадаю, що похідна складної функції найчастіше знаходиться в один рядок – як записано в останній рівності. Тому при оформленні типових розрахунків або контрольних робітзовсім не обов'язково розписувати рішення так само докладно.

Відповідь: y′=432⋅arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Приклад №3

Знайти y′ функції y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Рішення

Для початку трохи змінимо функцію y, виразивши радикал (корінь) у вигляді ступеня: y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−√7=(sin(5⋅9x))37. Тепер приступимо до знаходження похідної. Оскільки y=(sin(5⋅9x))37, то:

y′=((sin(5⋅9x))37)′(3.1)

Використовуємо формулу №2 з похідних таблиці, підставивши в неї u=sin(5⋅9x) і α=37:

((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))37−1(sin(5⋅9x))′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin (5⋅9x))′

Продовжимо рівність (3.1), використовуючи отриманий результат:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′(3.2)

Тепер слід знайти (sin(5⋅9x))′. Використовуємо для цього формулу №9 з похідних таблиці, підставивши в неї u=5⋅9x:

(sin(5⋅9x))′=cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′

Доповнивши рівність (3.2) отриманим результатом, маємо:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))− 47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′(3.3)

Залишилося знайти (5⋅9x)′. Спочатку винесемо константу (число 5) за знак похідної, тобто. (5⋅9x)′=5⋅(9x)′. Для знаходження похідної (9x)′ застосуємо формулу №5 таблиці похідних, підставивши до неї a=9 і u=x: (9x)′=9x⋅ln9⋅x′. Оскільки x′=1, то (9x)′=9x⋅ln9⋅x′=9x⋅ln9. Тепер можна продовжити рівність (3.3):

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))− 47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅5⋅9x⋅ln9==15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x) )−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x.

Можна знову від ступенів повернутися до радикалів (тобто коріння), записавши (sin(5⋅9x))−47 у вигляді 1(sin(5⋅9x))47=1sin4(5⋅9x)−−−−− −−−−√7. Тоді похідна буде записана у такій формі:

y′=15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−− −−−√7.

Відповідь: y′=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Приклад №4

Показати, що формули №3 і №4 таблиці похідних є окремий випадок формули №2 цієї таблиці.

Рішення

У формулі №2 таблиці похідних записана похідна функції uα. Підставляючи α=−1 у формулу №2, отримаємо:

(u−1)′=−1⋅u−1−1⋅u′=−u−2⋅u′(4.1)

Оскільки u−1=1u та u−2=1u2, то рівність (4.1) можна переписати так: (1u)′=−1u2⋅u′. Це і є формула №3 таблиці похідних.

Знову звернемося до формули №2 таблиці похідних. Підставимо до неї α=12:

(u12)′=12⋅u12−1⋅u′=12u−12⋅u′(4.2)

Оскільки u12=u−−√ та u−12=1u12=1u−−√, то рівність (4.2) можна переписати у такому вигляді:

(u−−√)′=12⋅1u−−√⋅u′=12u−−√⋅u′

Отримана рівність (u−−√)′=12u−−√⋅u′ і є формула №4 таблиці похідних. Як бачите, формули №3 та №4 таблиці похідних виходять із формули №2 підстановкою відповідного значення α.

Приклад №5

Знайти y′, якщо y=arcsin2x.

Рішення

Знаходження похідної складної функції у цьому прикладі запишемо без докладних пояснень, що були дані попередніх задачах.

Відповідь: y′=2xln21−22x−−−−−−√.

Приклад №6

Знайти y′, якщо y=7⋅lnsin3x.

Рішення

Як і попередньому прикладі, перебування похідної складної функції вкажемо без подробиць. Бажано записати похідну самостійно, лише звіряючись із зазначеним нижче рішенням.

Відповідь: y′=21⋅ctgx.

Приклад №7

Знайти y′, якщо y=9tg4(log5(2⋅cosx)).

Рішення

6 Питання. Похідна зворотної функції приклади.

Похідна зворотної функції

Формула

Відома властивість ступенів, що

Використовуючи похідну статечної функції:

Походження диференціального обчислення спричинене необхідністю вирішувати певні фізичні завдання. Передбачається, що людина, яка має диференціальне обчислення, може брати похідні від різних функцій. Чи вмієте ви брати похіднувід функції, вираженою дробом?

Інструкція

1. Будь-який дріб має чисельник і знаменник. У процесі знаходження похідної від дробизнадобиться знаходити окремо похіднучисельника та похіднузнаменника.

2. Щоб виявити похіднувід дроби , похіднучисельника домножте на знаменник. Відніміть з отриманого виразу похіднузнаменника, помножену на чисельник. Підсумок поділіть на знаменник у квадраті.

3. Приклад 1 = / cos? (x) = / cos? (x) = / cos? (x) = 1 / cos? (x).

4. Отриманий результат є нічим іншим, як табличним значенням похідної функції тангенса. Воно й виразно, чай ставлення синуса до косінус і є, за визначенням, тангенс. Виходить, tg (x) = ' = 1 / cos? (x).

5. Приклад 2 [(x? - 1) / 6x] '= [(2x · 6x - 6 · x?) / 6?] = / 36 = 6x? /36 = x? / 6.

6. окремим випадком дробиє такий дріб, у якого в знаменнику одиниця. Виявити похіднувід такого виду дробипростіше: досить уявити її як знаменника зі ступенем (-1).

7. Приклад (1 / x) ' = ' = -1 · x ^ (-2) = -1 / x?.

Зверніть увагу!
Дріб може містити ще кілька дробів. У такому разі зручніше знаходити спочатку окремо похідні «первинних» дробів.

Корисна порада
Коли ви шукаєте похідні знаменника і чисельника, застосовуйте правила диференціювання: суми, твори, складних функцій. Придатно утримувати в голові похідні найпростіших табличних функцій: лінійної, показової, статечної, логарифмічної, тригонометричних і т.д.

Запам'ятати дуже просто.

Ну і не будемо далеко ходити, одразу ж розглянемо зворотну функцію. Яка функція є зворотною для показової функції? Логарифм:

У нашому випадку основою є число:

Такий логарифм (тобто логарифм із основою) називається «натуральним», і для нього використовуємо особливе позначення: замість пишемо.

Чому дорівнює? Звичайно ж, .

Похідна від натурального логарифму теж дуже проста:

Приклади:

1. Знайди похідну функцію.
2. Чому дорівнює похідна функції?

Відповіді: Експонента та натуральний логарифм- Функції унікально прості з точки зору похідної. Показові та логарифмічні функції з будь-якою іншою основою будуть мати іншу похідну, яку ми з тобою розберемо пізніше, після того, як ми пройдемо правила диференціювання.

Правила диференціювання

Правила чого? Знову новий термін, знову?!

Диференціювання- Це процес знаходження похідної.

Тільки і всього. А як ще назвати цей процес одним словом? Не производнование ж... Диференціалом математики називають те саме збільшення функції при. Походить цей термін від латинського differentia - різниця. Ось.

При виведенні всіх цих правил використовуватимемо дві функції, наприклад, в. Нам знадобляться також формули їх прирощень:

Усього є 5 правил.

Константа виноситься за знак похідної.

Якщо – якесь постійне число (константа), тоді.

Очевидно, це правило працює і для різниці: .

Доведемо. Нехай, чи простіше.

приклади.

Знайдіть похідні функції:

1. у точці;
2. у точці;
3. у точці;
4. у точці.

Рішення:

1. (похідна однакова у всіх точках, оскільки це лінійна функція, пам'ятаєш?);

Похідна робота

Тут все аналогічно: введемо нову функціюі знайдемо її приріст:

Похідна:

Приклади:

1. Знайдіть похідні функцій та;
2. Знайдіть похідну функцію в точці.

Рішення:

Похідна показової функції

Тепер твоїх знань достатньо, щоб навчитися знаходити похідну будь-якої показової функції, а не лише експоненти (не забув ще, що це таке?).

Отже, де – це якесь число.

Ми вже знаємо похідну функцію, тому давай спробуємо привести нашу функцію до нової основи:

Для цього скористаємося простим правилом: . Тоді:

Ну ось, вийшло. Тепер спробуй знайти похідну, і не забудь, що ця функція – складна.

Вийшло?

Ось, перевір себе:

Формула вийшла дуже схожа на похідну експоненти: як було, так і залишилося, з'явився лише множник, який є просто числом, але не змінною.

Приклади:
Знайди похідні функції:

Відповіді:

Це просто число, яке неможливо порахувати без калькулятора, тобто не записати в більш простому вигляді. Тому у відповіді його у такому вигляді і залишаємо.

Зауважимо, що тут приватне двох функцій, тому застосуємо відповідне правило диференціювання:

У цьому прикладі добуток двох функцій:

Похідна логарифмічна функція

Тут аналогічно: ти вже знаєш похідну від натурального логарифму:

Тому, щоб знайти довільну від логарифму з іншою основою, наприклад:

Потрібно привести цей логарифм до основи. А як змінити основу логарифму? Сподіваюся, ти пам'ятаєш цю формулу:

Тільки тепер замість писатимемо:

У знаменнику вийшла просто константа (постійне число без змінної). Похідна виходить дуже просто:

Похідні показової та логарифмічні функціїмайже не зустрічаються в ЄДІ, але не зайве знати їх.

Похідна складна функція.

Що таке "складна функція"? Ні, це не логарифм і не арктангенс. Дані функції може бути складними для розуміння (хоча, якщо логарифм тобі здається складним, прочитай тему «Логарифми» і все пройде), але з точки зору математики слово «складна» не означає «важка».

Уяви собі маленький конвеєр: сидять дві людини і роблять якісь дії з якимись предметами. Наприклад, перший загортає шоколадку в обгортку, а другий обв'язує її стрічкою. Виходить такий складовий об'єкт: шоколадка, обгорнена та обв'язана стрічкою. Щоб з'їсти шоколадку, тобі потрібно зробити зворотні дії у зворотному порядку.

Давай створимо подібний математичний конвеєр: спочатку знаходитимемо косинус числа, а потім отримане число зводитимемо в квадрат. Отже, нам дають число (шоколадка), я знаходжу його косинус (обгортка), а ти потім зводиш те, що в мене вийшло, у квадрат (обв'язуєш стрічкою). Що вийшло? функція. Це і є приклад складної функції: коли для знаходження її значення ми робимо першу дію безпосередньо зі змінною, а потім ще другу дію з тим, що вийшло в результаті першого.

Іншими словами, складна функція – це функція, аргументом якої є інша функція: .

Для прикладу, .

Ми цілком можемо робити ті ж дії і в зворотному порядку: спочатку ти зводиш у квадрат, а потім шукаю косинус отриманого числа: . Нескладно здогадатися, що результат майже завжди буде різним. Важлива особливість складних функцій: зміна порядку дій функція змінюється.

Другий приклад: (те саме). .

Дію, яку робимо останнім, називатимемо "зовнішньої" функцією, а дія, що чиниться першим - відповідно «внутрішньою» функцією(це неформальні назви, я їх вживаю лише для того, щоб пояснити матеріал простою мовою).

Спробуй визначити сам, яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньою:

Відповіді:Поділ внутрішньої та зовнішньої функцій дуже схожий заміну змінних: наприклад, у функції

1. Першим виконуватимемо яку дію? Спершу порахуємо синус, а потім зведемо в куб. Отже, внутрішня функція, а зовнішня.
   А вихідна функція є їх композицією: .
2. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
3. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
4. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .
5. Внутрішня: ; зовнішня: .
   Перевірка: .

виконуємо заміну змінних та отримуємо функцію.

Ну що ж, тепер витягуватимемо нашу шоколадку - шукати похідну. Порядок дій завжди зворотний: спочатку шукаємо похідну зовнішньої функції, потім множимо результат на похідну внутрішньої функції. Стосовно вихідного прикладу це так:

Інший приклад:

Отже, сформулюємо, нарешті, офіційне правило:

Алгоритм знаходження похідної складної функції:

Начебто все просто, так?

Перевіримо на прикладах:

Рішення:

1) Внутрішня: ;

Зовнішня: ;

2) Внутрішня: ;

(Тільки не здумай тепер скоротити на! З-під косинуса нічого не виноситься, пам'ятаєш?)

3) Внутрішня: ;

Зовнішня: ;

Відразу видно, що тут трирівнева складна функція: адже - це вже сама по собі складна функція, а з неї витягуємо корінь, тобто виконуємо третю дію (шоколадку в обгортці і з стрічкою кладемо в портфель). Але лякатися немає причин: все одно «розпаковувати» цю функцію будемо в тому ж порядку, що і зазвичай: з кінця.

Тобто спершу продиференціюємо корінь, потім косинус, і лише потім вираз у дужках. А потім все це перемножимо.

У разі зручно пронумерувати дії. Тобто уявімо, що нам відомий. У якому порядку робитимемо дії, щоб обчислити значення цього виразу? Розберемо з прикладу:

Чим пізніше відбувається дія, тим більше «зовнішньої» буде відповідна функція. Послідовність дій - як і раніше:

Тут вкладеність взагалі 4-рівнева. Давайте визначимо порядок дій.

1. Підкорене вираз. .

2. Корінь. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Збираємо все до купи:

ВИРОБНИЧА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Похідна функції- Відношення збільшення функції до збільшення аргументу при нескінченно малому збільшення аргументу:

Базові похідні:

Правила диференціювання:

Константа виноситься за знак похідної:

Похідна сума:

Похідна робота:

Похідна приватна:

Похідна складної функції:

Алгоритм знаходження похідної від складної функції:

1. Визначаємо "внутрішню" функцію, знаходимо її похідну.
2. Визначаємо "зовнішню" функцію, знаходимо її похідну.
3. Помножуємо результати першого та другого пунктів.