დადექით თვითმფრინავის კოორდინატების წინ (ყველაზე მოკლე). ადექი წერტილიდან თვითმფრინავამდე - მონიშნული და გამოყენებული მდებარეობა ადექი კოორდინატებიდან თვითმფრინავამდე

ამ სტატიაში განვსაზღვრავთ მანძილს წერტილიდან სიბრტყემდე და გავაანალიზებთ კოორდინატთა მეთოდს, რომელიც საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ მანძილი მოცემული წერტილიდან მოცემულ სიბრტყამდე ტრივიალურ სივრცეში. თეორიის წარდგენის შემდეგ მოკლედ გავაანალიზებთ რამდენიმე დამახასიათებელი აპლიკაციისა და ამოცანის ამოხსნას.

გვერდის ნავიგაცია.

დგომა წერტილიდან თვითმფრინავამდე - მნიშვნელობა.

მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე განისაზღვრება, რომელთაგან ერთი არის მოცემული წერტილი, ხოლო მეორე არის მოცემული წერტილის პროექცია მოცემულ სიბრტყეზე.

ტრივიალურ სივრცეში მოყვანილი იყოს წერტილი M 1 და სიბრტყე. მოდით გავავლოთ a სწორი ხაზი M 1 წერტილის გავლით, სიბრტყეზე პერპენდიკულარული. საგულისხმოა, რომ სწორი ხაზის ჯვრის წერტილი a და სიბრტყე იაკ H 1. მონაკვეთი M 1 H 1 ე.წ. პერპენდიკულარული, ჩვენ ვამცირებთ M 1 წერტილს სიბრტყეზე, ხოლო წერტილი H 1 - პერპენდიკულარული ბაზა.

ვიზნაჩენნია.

- მოცემული წერტილიდან მოცემული წერტილიდან მოცემულ სიბრტყემდე დახატული პერპენდიკულურის ფუძემდე.

ყველაზე ხშირად, მოახლოებული ხედის წერტილიდან სიბრტყემდე დანიშნული მანძილი უფრო მკვეთრი ხდება.

ვიზნაჩენნია.

ადექი წერტილიდან თვითმფრინავამდე- მოცემული წერტილიდან მოცემულ სიბრტყეში ჩამოვარდნილი პერპენდიკულურის ნახევრის მნიშვნელობა.

კვალი მიუთითებს იმაზე, რომ თქვენ ამაღლდებით M 1 წერტილიდან სიბრტყემდე ისე, რომ ეს იყოს ყველაზე მცირე მანძილი მოცემული M 1 წერტილიდან სიბრტყის ნებისმიერ წერტილამდე. ცხადია, რომ წერტილი H 2 დევს H 1 წერტილის სიბრტყეში და მნიშვნელობებში. ცხადია, სამკუთხა M 2 H 1 H 2 არის მართკუთხა, რომელშიც M 1 H 1 არის ფეხი, და M 1 H 2 არის ჰიპოტენუზა. , . სიტყვის დაწყებამდე განყოფილება M 1 H 2 ეწოდება ავადმყოფურად, გატარებულია M 1 წერტილიდან თვითმფრინავამდე. შემდეგ, პერპენდიკულარული, მოცემული წერტილიდან მოცემულ სიბრტყეზე დაწევა, შემდეგ მოცემული წერტილიდან მოცემულ სიბრტყემდე გაყვანილი ნაკლები მანძილი.

წერტილიდან სიბრტყემდე გადასვლა - თეორია, გამოყენება, გადაწყვეტილებები.

გარკვეული გეომეტრიული ამოცანები ამოხსნის ნებისმიერ ეტაპზე მოითხოვს წრფის პოვნას წერტილიდან სიბრტყემდე. მეთოდი, რომლისთვისაც არჩეულია გამომავალი მონაცემების მიხედვით. დარწმუნდით, რომ მოიყვანეთ თეორიისა და პითაგორას თეორემის შედეგები, რომლებიც ტრიკუტანის ერთგულებისა და მსგავსების ნიშანია. თუ თქვენ უნდა იცოდეთ მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე, რომელიც მოცემულია ტრივიალურ სივრცეში, მაშინ სამაშველოში მოდის კოორდინატთა მეთოდი. მოდით შევხედოთ სტატიის რომელ პუნქტს.

ჯერ ფსიქიკური პრობლემა ჩამოვაყალიბოთ.

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა Oxyz ტრივიალურ სივრცეში მოცემულია წერტილი , ფართობი და აუცილებელია ვიცოდეთ მანძილი M 1 წერტილიდან ფართობამდე.

მოდით შევხედოთ ამ მიზნის მიღწევის ორ გზას. პირველი მეთოდი საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე H 1 წერტილის ნაპოვნი კოორდინატების საფუძველზე - M 1 წერტილიდან სიბრტყემდე შედგენილი პერპენდიკულარი და შემდგომ გამოთვალოთ მანძილი M 1 და H 1 წერტილებს შორის. მეთოდი მოცემულ ზონამდე მოცემულ წერტილთან ახლოს სადგურის პოვნა ექვემდებარება მოცემული ტერიტორიის ნორმალური დონის ვიკორს.

პირველი მეთოდი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მანძილი წერტილიდან ბინამდე.

მოდით H 1 იყოს M 1 წერტილიდან სიბრტყემდე დახატული პერპენდიკულარულის საფუძველი. ვინაიდან H 1 წერტილის კოორდინატები მნიშვნელოვანია, მაშინ M 1 წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილი შეიძლება გამოითვალოს, როგორც მანძილი წერტილებს შორის і ფორმულის მიღმა. ამგვარად შეუძლებელი ხდება H 1 წერტილის კოორდინატების ცოდნა.

ოტიე, ალგორითმი წერტილიდან მანძილის საპოვნელად ბინისკენშეურაცხმყოფელი:

კიდევ ერთი მეთოდი, რომელიც შესაფერისია წერტილიდან მანძილის დასადგენად ბინამდე.

ვინაიდან მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში Oxyz გვეძლევა სიბრტყე, შეგვიძლია განვსაზღვროთ ხედის ნორმალური სიბრტყე. შემდეგ დადექით წერტილის წინ ფართობი გამოითვლება ფორმულით. წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის საპოვნელად ამ ფორმულის მართებულობა დადგენილია თეორემით.

თეორემა.

შეიძლება მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა Oxyz დაფიქსირდეს ტრივიალურ სივრცეში, მოცემულია წერტილი და გარეგნულად სიბრტყის ნორმალური დონე. დადექით M 1 წერტილიდან სიბრტყემდე, რომელიც უდრის ვირაზას მნიშვნელობის აბსოლუტურ მნიშვნელობას, რომელიც დგას სიბრტყის ნორმალური სიბრტყის მარცხენა მხარეს, გამოითვლება მაშინ.

დასრულდა.

ამ თეორემის მტკიცებულება აბსოლუტურად მსგავსია მსგავსი თეორემის მტკიცებულების განყოფილებაში წერტილიდან წრფემდე.

ძნელია იმის ჩვენება, რომ M 1 წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილი უდრის M 1 რიცხვითი პროექციის სხვაობის მოდულს და კოორდინატთა ფუძიდან სიბრტყემდე მანძილის მნიშვნელობას. , დე - ფართობის ნორმალური ვექტორი, უძველესი ერთეულები, - პირდაპირ, რადგან იგი წარმოდგენილია ვექტორით.

і მნიშვნელობის მიღმა ერთი რამ დგას, მაგრამ კოორდინატულ ფორმაში. აბა, რა დაგჭირდათ სუფრასთან მიტანა?

იმგვარად დადგეს წერტილის წინ სიბრტყემდე შეიძლება გამოითვალოს M 1 წერტილის x, y და z კოორდინატების ჩანაცვლებით სიბრტყის ნორმალური სიბრტყის მარცხენა ნაწილში და ამოღებული მნიშვნელობის აბსოლუტური მნიშვნელობის აღებით.

კონდახი მდებარეობს წერტილში ბინამდე.

კონდახი.

გაარკვიეთ, სად დადგეთ წერტილიდან ბინამდე.

გადაწყვეტილება.

პირველი მეთოდი.

გონებრივ ამოცანაში გვეძლევა ზედაპირის ფარული დონე, ცხადია, რომ - ამ სიბრტყის ნორმალური ვექტორი. ეს ვექტორი შეიძლება მივიღოთ, როგორც სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი a, მოცემული სიბრტყის პერპენდიკულარული. შემდეგ შეგვიძლია დავწეროთ სწორი ხაზების კანონიკური ხაზები სივრცეში, თითქოს წერტილის გავლით და არის მიმართულების ვექტორი კოორდინატებით, როგორც ხედავთ.

ჩვენ ვაგრძელებთ სწორი ხაზის ზოლის წერტილის კოორდინატების პოვნას და ფართობი. მნიშვნელოვნად її H 1. რისთვისაც განვსაზღვრავთ გადასვლას კანონიკური სწორი ხაზებიდან ორი გადამკვეთი სიბრტყის დონეზე:

ახლა ჩვენ გვაქვს წოდებების სისტემა (საჭიროების შემთხვევაში მიმართეთ სტატისტიკას). ვიკორისტამო:

Ამ გზით...

აღარ შეუძლია გამოთვალოს საჭირო მანძილი მოცემული წერტილიდან მოცემულ სიბრტყემდე წერტილებს შორის і:
.

სხვა გზა სათნოა.

მოდით შევინარჩუნოთ მოცემული ფართობის ნორმალური დონე. ამისთვის ბრტყელი ზედაპირი ნორმალურ იერსახამდე უნდა მივიყვანოთ. ნორმალიზებული მულტიპლიკატორის შეფასებისას , თვითმფრინავს ნორმალური დონე წაართვეს . შეუძლებელი გახდა ამოღებული ხაზის მარცხენა ნაწილის ღირებულების გამოთვლა როცა და აიღეთ ამოღებული მნიშვნელობის მოდული - შემდეგ დაანებეთ ღილაკს წერტილის აწევა სიბრტყემდე:

ამიტომ წავიკითხე ეს ამ გვერდზე (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)

D=-D3DXVec3Dot(&vP1,&vNormal);

სადაც vP1 არის წერტილი სიბრტყეზე, ხოლო vNormal არის სიბრტყის ნორმალური. ნაკლებად მნიშვნელოვანია, რომ ეს მოგცემთ ეჭვის სარგებელს, რადგან შედეგი ყოველთვის იქნება 0-ის ტოლი. გარდა ამისა, გონივრული უნდა იყოს (ბრტყელი სიბრტყის D ნაწილში ჯერ კიდევ არის რამდენიმე ნისლი) და d-ზეც კი. ბრტყელი მდინარე ძიძა ადგება ხაზიდან სინათლის კობიდან სიბრტყემდე?

მათემატიკა

3 ტიპი

6

ჰალალის ფორმით, p წერტილსა და სიბრტყეს შორის მანძილი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით

დე -პუნქტიანი პროდუქტის ექსპლუატაცია

= Ax * bx + ay * by + az * bz

і სადაც p0 არის წერტილი სიბრტყეზე.

ვინაიდან n-ს აქვს ერთი გაორმაგება, მაშინ წერტილის ხაზი ვექტორსა და მას შორის არის ვექტორის პროექციის გაორმაგება ნორმალურზე.

ფორმულა, როგორც მოგეხსენებათ, უბრალოდ მრგვალდება წვეთით, რადგან წერტილი p არის კოორდინატთა ფესვი. Ამ მხრივ

მანძილი = = -

მთლიანობა ფორმალურად არასწორია, რადგან წერტილის მყარი არის ვექტორი და არა წერტილი ... მაგრამ მაინც სამკუთხედია რიცხვით. მკაფიო ფორმულის ჩაწერის შემდეგ, თქვენ ამოიღებთ მას

(0 - p0.x) * n.x + (0 - p0.y) * n.y + (0 - p0.z) * n.z

ეს იგივეა

- (p0.x * n.x + p0.y * n.y + p0.z * n.z)

2

შედეგი ყოველთვის ნულის ტოლია. შედეგი იქნება ნულის ტოლი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც თვითმფრინავი გადის კოორდინატულ ფესვზე. (აქ დავუშვათ, რომ კოორდინატების გავლა არ მოგვიწევს.)

ძირითადად, თქვენ გეძლევათ ხაზი კოორდინატების დასაწყისიდან თვითმფრინავის ნებისმიერ წერტილამდე. (ანუ თქვენ გაქვთ vP1-მდე კოორდინატების ვექტორი). ამ ვექტორის პრობლემა ის არის, რომ, ყველაზე მეტად, დაგროვება მიმართულია თვითმფრინავის რომელიმე შორეულ ადგილას და არა სიბრტყის უახლოეს წერტილამდე. ამ გზით, თუ თქვენ უბრალოდ აიღეთ vP1 dowzhin, წინასწარ წაართმევთ დიდ თანხას.

რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის vP1 პროექციის დახატვა რეალურ ვექტორზე, რომელიც, როგორც მოგეხსენებათ, სიბრტყის პერპენდიკულარულია. ეს არის, თავდაპირველად, vNormal. ახლა აიღეთ წერტილოვანი ხაზი vP1 და vNormal და გაყავით vNormal-ად და მიიღებთ პასუხს. (თუ კარგი იქნებოდა მოგცეთ vNormal, რომელიც უკვე იგივე ზომისაა, მაშინ არ არის საჭირო მისი გამოყოფა.)

1

ამ პრობლემის გადაჭრა შეგიძლიათ ლაგრანგის მულტიპლიკატორების გამოყენებით:

თქვენ იცით, რომ დაბლობზე უახლოესი წერტილი არის დამნაშავე დედის შეხედულებაში:

C = p + v

სადაც c არის უახლოესი წერტილი და v არის ფართობის ვექტორი (როგორც, მაშასადამე, ორთოგონალური ნორმალის n-ის მიმართ). გსურთ იცოდეთ უმცირესი ნორმით (ან ნორმის კვადრატში). ამ გზით, თქვენ შეძლებთ წერტილის (c, c) მინიმიზაციას, თუ ფიქრობთ, რომ v არის ორთოგონალური n-ზე (ამ გზით, წერტილი (v, n) = 0).

ამ გზით დააყენეთ ლაგრანგიანი:

L = წერტილი (c, c) + ლამბდა * (წერტილი (v, n)) L = წერტილი (p + v, p + v) + ლამბდა * (წერტილი (v, n)) L = წერტილი (p, p) + 2 * წერტილი (p, v) + წერტილი (v, v) * ლამბდა * (წერტილი (v, n))

მე ვიღებ თანაფარდობას v-ზე (დავაყენებ 0-ზე) გასაუქმებლად:

2 * p + 2 * v + ლამბდა * n = 0

თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ ლამბდა რევანში, მოხსნის ნიშნის დაყენებით, შეურაცხმყოფელი მხარეების ვიბრაციით n-ზე.

2 * წერტილი (p, n) + 2 * წერტილი (v, n) + ლამბდა * წერტილი (n, n) = 0 2 * წერტილი (p, n) + ლამბდა = 0 ლამბდა = - 2 * წერტილი (p, n) )

კიდევ ერთხელ, წერტილი (n, n) = 1 და წერტილი (v, n) = 0 (რადგან v არის სიბრტყეში და n არის ორთოგონალური). შემდეგ შემცვლელი ლამბდა ტრიალებს მოსაშორებლად:

2 * p + 2 * v - 2 * წერტილი (p, n) * n = 0

შევდივარ v-სთვის, რომ ამოიღო:

V = წერტილი (p, n) * n - გვ

შემდეგ დააკავშირეთ იგი c = p + v-ზე, რომ მიიღოთ:

C = წერტილი (p, n) * n

ამ ვექტორის დოვჟინა უფრო მნიშვნელოვანია | dot(p,n) | მე ნიშანი გეუბნებათ არის თუ არა წერტილი ნორმალური ვექტორის სწორ ხაზში კოორდინატთა ფესვის წინ თუ შებრუნებულ სწორ ხაზში კოორდინატთა ფესვის წინ.

უმოკლეს მანძილი სიბრტყიდან კოორდინატების საწყისამდე სიბრტყის დონის მიმდებარე ტერიტორიიდან

ვთქვათ, მაქვს სიბრტყის სიბრტყე ax + by + cz = d, როგორ ვიპოვო უმოკლესი მანძილი სიბრტყიდან კოორდინატებამდე? პირდაპირ მივდივარ კარიბჭისკენ ამ გამწვანების წინ. ვისი პოსტი სუნია...

სიღრმის გამოსახულება შევქმნა Kinect-ით, ავიდე კოორდინატებზე თუ ავიდე XY სიბრტყეზე?

ვთქვათ, Kinect ზის (0,0,0) და უყურებს პირდაპირ წინ + Z. ვთქვათ, რომ მთავარი ობიექტი არის წერტილში (1, 1, 1) და Kinect-ის გამოსახულების სიღრმეში ერთ-ერთი პიქსელი წარმოადგენს ამ ობიექტს. ...

კოორდინატებზე ასვლა სივრცის წერტილამდე

მე მსურს კოორდინატების გასწორება ყველა წერტილთან, სადაც წერტილები მითითებულია მონაცემთა ჩარჩოში ორი კოორდინატით. მე მაქვს ყველა ქულა, შემდეგნაირად: x y 1 0.0 0.0 2 -4.0 -2.8 3 -7.0 -6.5 4 -9.0 -11.1 ...

სფერული კოორდინატები - ვრცელდება სიბრტყეზე

დოვიდკოვას ინფორმაცია მოდით გადავხედოთ სფერულ კოორდინატთა სისტემას, რომელიც აქ ნაჩვენებია: კოორდინატთა სისტემა http://www.shokhirev.com/nikolai/projects/global/image013.gif კონკრეტული წერტილისთვის mi ...

როგორ ავირჩიოთ მეთოდურად კლიპის უახლოესი არე პერსპექტიული პროექციისთვის?

მე მაქვს 3D სცენა და კამერა მინიჭებული gluPerspective-სთვის. მე არ მაქვს დაფიქსირებული FOV და ვიცი მინიმალური ზრდაიყოს კამერის ნებისმიერი გეომეტრია (ეს არის იგივე ტიპი, როგორც პირველი ინდივიდი, ასე რომ...

როგორ ამოიღოთ მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე 3D-ში?

მაქვს სამკუთხედი A, B, C წერტილებით და წერტილი სივრცეში (P). როგორ მოვაშორო მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე? აუცილებელია გამოვთვალოთ მანძილი P-დან თვითმფრინავამდე, ჩემი...

CG წერტილის შეფუთვა ცვლის კოორდინატების პოზიციას

მე მინდა CGPoint (წითელი სწორკუთხა) გადავატრიალო სხვა CGPoint-ზე (ლურჯი სწორკუთხა) და მერე შევცვალო ხედვა კოორდინატებზე (ლურჯი სწორკუთხა)... თუ ვუგილაში 270 მივცემ, ის ქმნის...

იპოვეთ სიბრტყის ცენტრი X, Y, Z, დეკარტის კოორდინატები

თქვენ უნდა აირჩიოთ სიბრტყის ცენტრი X, Y, Z, დეკარტის კოორდინატები. მე მაქვს ნორმალური თვითმფრინავი და ვდგავარ ცენტრალური წერტილიდან კოორდინატამდე. შემიძლია წერტილი(ებ)ის განთავსება ნებისმიერ ადგილას...

დადექით წერტილიდან სიბრტყემდე სწორ ხაზზე

მოცემულია: წერტილი (x1, y1, z1) პირდაპირი ვექტორი (a1, b1, c1) ასე რომ ax + by + cz + d = 0 როგორ გავარკვიო მანძილი D წერტილიდან ვექტორის სიბრტყამდე? გმადლობთ

თვითმფრინავის ტრანსფორმაცია განსხვავებულ კოორდინატულ სისტემაში

მე მაქვს სხვა კამერის კოორდინატთა სისტემა, განსხვავებული მატრიცის შეფუთვა R და ტრანსლაცია T სინათლის კოორდინატთა სისტემის მსგავსი. ფართობი იზომება კამერის კოორდინატზე ნორმალური N-ით და მასზე P წერტილით....

ამ სტატიაში საუბარია წერტილიდან სიბრტყემდე გამოთვლილ მანძილზე. შესაძლებელია ანალიზი კოორდინატთა მეთოდით, რომელიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მოცემული წერტილის მდებარეობა ტრივიალურ სივრცეში. მის უზრუნველსაყოფად, მოდით შევხედოთ დეკალის კონდახს.

წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილი მდებარეობს შესაბამისი მანძილის უკან წერტილიდან წერტილამდე, სადაც მოცემულია ერთი მათგანი, ხოლო მეორე არის პროექცია მოცემულ სიბრტყეზე.

თუ სივრცეში არის წერტილი M 1 სიბრტყით χ, მაშინ წერტილის მეშვეობით შეგიძლიათ დახაზოთ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული სწორი ხაზი. H 1 არის კვეთის კუთხის წერტილი. ნათელია, რომ მონაკვეთი M 1 H 1 არის პერპენდიკულარული, რომელიც გამოყვანილია M 1 წერტილიდან χ ფართობამდე, ხოლო H 1 წერტილი არის პერპენდიკულარულის საფუძველი.

ღირებულება 1

დავარქვათ მანძილი მოცემული წერტილიდან პერპენდიკულარის ფუძემდე, რომელიც დახატულია მოცემული წერტილიდან მოცემულ სიბრტყემდე.

ქება შეიძლება დაიწეროს სხვადასხვა ფორმულებში.

ვიჩენცა 2

წერტილიდან თვითმფრინავში ავდგებიეწოდება მოცემული წერტილიდან მოცემულ სიბრტყემდე გამოყვანილი პერპენდიკულურის სიგრძე.

მანძილი M 1 წერტილიდან χ სიბრტყემდე გამოითვლება შემდეგნაირად: მანძილი M 1 წერტილიდან χ სიბრტყემდე ყველაზე ნაკლები იქნება მოცემული წერტილიდან სიბრტყის ნებისმიერ წერტილამდე. ვინაიდან H 2 წერტილი ფართოვდება χ სიბრტყეში და არ არის დაკავშირებული H 2 წერტილთან, მაშინ წარმოიქმნება M 2 H 1 H 2 ფორმის მართკუთხა სამკუთხედი. , რომელიც არის სწორხაზოვანი, რომელიც არის ფეხი M 2 H 1, M 2 H 2 - ჰიპოტენუზა. ეს ნიშნავს, რომ M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 მნიშვნელოვანია გადავიდეთ M 1 წერტილიდან χ ფართობამდე. შესაძლებელია, რომ მოცემული წერტილიდან სიბრტყეზე პერპენდიკულარული ნახაზი ნაკლებად რთული იყოს, ვიდრე წერტილიდან მოცემულ სიბრტყეზე დახატვა. მოდით შევხედოთ პატარას, ქვევით მიმართული.

წერტილიდან სიბრტყემდე აწევა - თეორია, გამოყენება, გადაწყვეტილებები

არსებობს მთელი რიგი გეომეტრიული ამოცანები, რომელთა გადაჭრა მოითხოვს წერტილიდან სიბრტყეზე გადასვლას. ამის გამოვლენის მეთოდები შეიძლება განსხვავდებოდეს. ამ ყველაფრის დასასრულებლად საჭიროა ავხსნათ პითაგორას თეორემა და ტრიკუტანის მსგავსება. თუ საჭიროა ტრივიალურ სივრცეში მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში მითითებულ სიბრტყემდე წერტილიდან მანძილის გაფართოება, გამოიყენეთ კოორდინატთა მეთოდი. დანიის პუნქტი განიხილავს ამ მეთოდს.

თეორიულად, მოცემული წერტილი ტრივიალურ სივრცეში M 1 (x 1, y 1, z 1) კოორდინატებით და χ ფართობით, აუცილებელია განვსაზღვროთ მანძილი M 1-დან χ ფართობამდე. წარმატების მისაღწევად, წარმატების მიღწევის მრავალი გზა არსებობს.

პირველი მეთოდი

ეს მეთოდი პრაიმირებულია წერტილიდან სიბრტყემდე გარკვეულ მანძილზე, H 1 წერტილის დამატებითი კოორდინატების გამოყენებით, რომელიც არის პერპენდიკულარული M 1 წერტილიდან χ სიბრტყემდე. შემდეგი, თქვენ უნდა გამოთვალოთ განსხვავება M 1 და H 1-ს შორის.

სხვა გზით სასურველი დონის მისაღწევად, შეინარჩუნეთ მოცემული ტერიტორიის ნორმალური დონე.

სხვა გზა

გონების მიღმა, ჩვენ ვხედავთ, რომ H 1 არის პერპენდიკულარულის საფუძველი, რომელიც ჩამოვიდა M 1 წერტილიდან χ სიბრტყემდე. შემდეგ ვიანგარიშებთ H 1 წერტილის კოორდინატებს (x 2, y 2, z 2). შუკანი M 1-დან χ სიბრტყემდე მოცემულია ფორმულით M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2). - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, de M 1 (x 1, y 1, z 1) і H 1 (x 2, y 2, z 2). ამის მისაღწევად აუცილებელია H 1 წერტილის კოორდინატების გარკვევა.

შესაძლებელია, H 1 იყოს სიბრტყის ჯვრის წერტილი a სწორი ხაზიდან, რომელიც გადის M 1 წერტილში, გადაადგილებულია χ სიბრტყის პერპენდიკულარულად. ვარსკვლავი გვიჩვენებს, რომ აუცილებელია სწორი ხაზის შექმნა, რომელიც გადის მოცემულ წერტილზე მოცემულ სიბრტყეზე პერპენდიკულარულად. ასევე შესაძლებელია H 1 წერტილის კოორდინატების გამოთვლა. აუცილებელია სწორი ხაზისა და სიბრტყის ჯვრის წერტილის კოორდინატების გამოთვლა.

ალგორითმი M 1 (x 1, y 1, z 1) კოორდინატების მქონე წერტილიდან χ სიბრტყამდე მანძილის საპოვნელად:

ვიჩენცა 3

• სწორი ხაზის ფერდობზე, რომელიც გადის M 1 წერტილში და იმავდროულად
• χ ფართობის პერპენდიკულარული;
• იცოდე და გამოთვალე H 1 წერტილის კოორდინატები (x 2, y 2, z 2), რომლებიც არის წერტილები
• სწორი ხაზის ჯვარი a სიბრტყით χ;
• გამოთვალეთ თანაფარდობა M 1-დან χ-მდე ვიკორისტის ფორმულის გამოყენებით M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

მესამე მეთოდი

მოცემული მართკუთხა კოორდინატთა სისტემას Pro x y z აქვს სიბრტყე χ, მაშინ მიღებულია cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 სიბრტყე 1 (x 1, y 1, z 1 ), შედგენილია χ ფართობზე, რომელიც გამოითვლება ფორმულით M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p. ეს ფორმულა მოქმედებს, რადგან ჩამოყალიბებულია თეორემის პრინციპები.

თეორემა

თუ წერტილი M 1 (x 1, y 1, z 1) მოცემულია ტრივიალურ სივრცეში, მაშინ ნორმალური სიბრტყე უდრის cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, მაშინ გამოთვლა დაშორება წერტილიდან თვითმფრინავამდე M 1 H 1 ხორციელდება ფორმულის გამოყენებით M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p, ვინაიდან x = x 1, y = y 1, z = z 1.

დასრულდა

თეორემის დადასტურება მოდის წერტილიდან წრფემდე წრფის პოვნამდე. ნათელია, რომ მანძილი M 1-დან χ სიბრტყემდე უდრის M 1 რადიუსის ვექტორის რიცხვითი პროექციის მოდულის განსხვავების მოდულს კოორდინატების ზედაპირიდან χ სიბრტყამდე. შემდეგ გამოთქმა M 1 H 1 = n p n → O M → - p. χ ფართობის ნორმალური ვექტორი ჰგავს n → = cos α, cos β, cos γ და მისი გაორმაგება უფრო ერთიანობაა, npn → OM → - ვექტორის რიცხვითი პროექცია OM → = (x 1, y 1, z 1 ) y პირდაპირ, რაც მითითებულია ვექტორი n →.

მოდით შევაჯამოთ სკალარული ვექტორების გამოთვლის ფორმულა. შემდეგ შესაძლებელია ვიპოვოთ ვექტორი n →, OM → = n → npn → OM → = 1 npn → OM → = npn → OM →, ვინაიდან n → = cos α, cos β, cos γ z და OM → = (x 1, y 1, z 1). ჩანაწერის კოორდინატთა ფორმა ჰგავს n →, OM → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, შემდეგ M 1 H 1 = npn → OM → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - გვ. თეორემა დადასტურდა.

ნათელია, რომ მანძილი M 1 წერტილიდან (x 1, y 1, z 1) χ ფართობამდე გამოითვლება დამატებითი ჩანაცვლებით ფართობის ნორმალური დონის მარცხენა მხარეს cos α x + cos β y + cos. γ z - p = 0 ჩანაცვლება x, y, z კოორდინატები x 1, y 1 i z 1, რა არის მიყვანილი M 1 წერტილამდე ამოღებული მნიშვნელობის აბსოლუტური მნიშვნელობის აღებით.

მოდით შევხედოთ, რომ ვიპოვოთ მანძილი წერტილიდან კოორდინატებით მოცემულ სიბრტყემდე.

კონდახი 1

გამოთვალეთ მანძილი M 1 (5, - 3, 10) კოორდინატებით წერტილიდან 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ფართობამდე.

გადაწყვეტილება

ჩვენ პრობლემას ორი გზით ვაგვარებთ.

პირველი გზა არის სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის გამოთვლა a. ვარაუდობენ, რომ ფართობის დონე დაყენებულია 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ვწუხვარ, რომ ვხედავ, და n → = (2, - 1, 5) არის მოცემული ფართობის ნორმალური ვექტორი. ეს უნდა იყოს განლაგებული მიმართულების ვექტორის მიმართულებით, სწორი ხაზით, რომელიც არის მოცემული ფართობის პერპენდიკულარული. კვალი არის სწორი ხაზის კანონიკური განლაგების ჩაწერა სივრცეში, რომელიც გადის M 1-ზე (5, - 3, 10) აქედან, რომელიც მიმართულია ვექტორით 2, - 1, 5 კოორდინატებით.

მოქლონი ჰგავს x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

სლაიდი აღნიშნავს კვეთის წერტილებს. ამ მიზნით, აუცილებელია გასწორების ინტეგრირება სისტემაში ორი გადამკვეთი სწორი ხაზის კანონიკურიდან გასწორებაზე გადასვლისთვის. მე მივცემ ქულასმიღებული N 1. უარყოფილია, ასე

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

რატომ არის საჭირო სისტემის შეცვლა?

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

მოდით შევხედოთ სისტემის გადაწყვეტის წესს გაუსის მიხედვით:

1 2 0 - 1 5 0 წინა - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ H 1 (1, - 1, 0).

შესაძლებელია მოცემული წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის გამოთვლა. აიღეთ ქულები M 1 (5, - 3, 10) და H 1 (1, - 1, 0) და აირჩიეთ

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

საუკეთესო შედეგის მიღწევის კიდევ ერთი გზაა მოცემული დონის 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ნორმალურ გარეგნობამდე მიყვანა. ნორმალიზებული მულტიპლიკატორი მიღებულია 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. აქედან შეგვიძლია დავინახოთ ფართობის 2 30 · x ფართობის დონე - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. მარცხენა მხარის ძიძის გაანგარიშება განხორციელდა x = 5, y = - 3, z = 10 ჩანაცვლებით და აუცილებელია ჩანაცვლება M 1-დან (5, - 3, 10) 2 x-მდე. - y + 5 z - 3 = 0 მოდული. მოდით შევხედოთ:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

ვერსია 2 30.

თუ ზედაპირის ფართობი χ მითითებულია ერთ-ერთი მეთოდით განყოფილებაში, თუ როგორ უნდა დავადგინოთ ზედაპირის ფართობი, მაშინ აუცილებელია, ჯერ ამოიღოთ χ ფართობის დონე და გამოვთვალოთ შედეგები ნებისმიერი მეთოდის მიხედვით.

კონდახი 2

ტრივიალურ სივრცეში ქულები მოცემულია M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) კოორდინატებით. გამოთვალეთ მანძილი M 1-დან A B C ფართობამდე.

გადაწყვეტილება

კობისთვის აუცილებელია არეალის დონის ჩაწერა, რათა მოცემულ სამ წერტილში გაიაროს M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6) კოორდინატები. , 1), C (4, 0, - 1).

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ xy - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

როგორც ჩანს, გადაწყვეტილება წინა გადაწყვეტილების მსგავსია. ეს ნიშნავს, რომ M 1 წერტილიდან A B C სიბრტყემდე მნიშვნელობა არის 2 30.

ვერსია 2 30.

სიბრტყეზე მოცემული წერტილიდან ან სიბრტყემდე მანძილის მნიშვნელობა, რომელიც პარალელურია, უფრო ზუსტად, ფორმულის ჩამოყალიბებით M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - გვ. გასაგებია, რომ გათვალისწინებულია სიბრტყის ნორმალური დონე.

კონდახი 3

იპოვეთ მანძილი მოცემული წერტილიდან M 1 (- 3, 2, - 7) კოორდინატებით საკოორდინაციო თვითმფრინავიდაახლოებით x y z და 2 y - 5 = 0 დონეებისთვის მოცემული ფართობი.

გადაწყვეტილება

კოორდინატთა არე Pro y z მსგავსია x = 0 ფორმის. Pro y z ფართობისთვის ეს ნორმალურია. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია x = - 3 მნიშვნელობის ჩანაცვლება მარცხენა მხარეს და მნიშვნელობის მოდული აიღოთ M 1 კოორდინატების მქონე წერტილიდან (- 3, 2, - 7) სიბრტყემდე. მნიშვნელობა ამოღებულია, ტოლია - 3 = 3.

სიბრტყის ნორმალური დონის 2 y - 5 = 0 გარდაქმნის შემდეგ, იხსნება ხედვა y - 5 2 = 0, შემდეგ შეგიძლიათ გაიგოთ, სად უნდა გამოიყურებოდეს წერტილიდან M 1 (- 3, 2, - 7). ) სიბრტყეს 2 y - 5 = 0. ჩანაცვლება და გამოთვლის შემდეგ ვაკლებთ 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

მტკიცებულება:შუკანს M 1-დან (- 3, 2, - 7) Pro y z-მდე აქვს მნიშვნელობა 3, ხოლო 2 y - 5 = 0-ს აქვს 5 2 - 2 მნიშვნელობა.

თუ ტექსტში მონიშნეთ უპირატესობა, გთხოვთ, ნახოთ და დააჭირეთ Ctrl + Enter