ბუნებრივი ლოგარითმისა და ლოგარითმის მსგავსი ფორმულების წარმოშობის დადასტურება სადგამზე a. გამოიყენეთ შემოსავლის გაანგარიშება ln 2x, ln 3x და ln nx. n-ე რიგის ლოგარითმის მსგავსი ფორმულის დადასტურება მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის გამოყენებით.

ზმისტ

დივ. ასევე: ლოგარითმი - სიმძლავრე, ფორმულები, გრაფიკი
ბუნებრივი ლოგარითმი - სიმძლავრეები, ფორმულები, გრაფიკი

ბუნებრივი ლოგარითმისა და ლოგარითმის მსგავსი ფორმულების წარმოშობა a ბაზაზე

ის ჰგავს x-ის ბუნებრივ ლოგარითმს, როგორც x-ზე გაყოფილი ერთეულები:
(1) (ln x)′ =.

შედეგად მიღებული ლოგარითმი a-ზე დაფუძნებული არის თავდაპირველი ერთეული, გაყოფილი x ცვლადზე, გამრავლებული a-ის ბუნებრივ ლოგარითმზე:
(2) (log a x)′ =.

დასრულდა

იყოს დადებითი რიცხვი, რომელიც არ არის ერთის ტოლი. მოდით შევხედოთ ფუნქციას, რომელიც მდებარეობს x ცვლადის ქვეშ, რომელიც არის ლოგარითმი სადგამზე:
.
ეს ფუნქცია ენიჭება . მოდით გავიგოთ, რომ მე ვაპირებ x ცვლილების შემდეგ. მნიშვნელობების მიღმა, ჩვენ მივყვებით შემდეგ ზღვარს:
(3) .

მოდით ხელახლა დავაკონფიგურიროთ ეს ვისტულა, რათა მივიყვანოთ იგი ცნობილ მათემატიკური ავტორიტეტებთან და წესებთან. რისთვისაც უნდა ვიცოდეთ შემდეგი ფაქტები:
ა)ლოგარითმის ძალა. ჩვენ გვჭირდება შემდეგი ფორმულები:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
ბ)უწყვეტი ფუნქციისთვის ლოგარითმისა და სიმძლავრის არ შეწყვეტა:
(7) .
აქ არის ფუნქცია, რომელშიც ზღვარი დადებითია და ზღვარი დადებითია.
V)სხვა სასწაული საზღვრების მნიშვნელობა:
(8) .

მოდით დავაფიქსიროთ ეს ფაქტები ჩვენს საზღვრამდე. ალგებრული გამოხატულება ახლა ხსნადია
.
ვისთვისაც ძალაუფლება სტაგნაციაშია (4) და (5).

.

ძალაუფლების სიჩქარე (7) და კიდევ ერთი სასწაულებრივი საზღვარი (8):
.

მე, ნარეშტი, სტაგნაცია ძალა (6):
.
ლოგარითმი სადგამზე ედაურეკა ბუნებრივი ლოგარითმი. ვინი დანიშნულია შემდეგნაირად:
.
თოდი;
.

ჩვენ თვითონ გამოვიტანეთ ფორმულა (2) ეკვივალენტური ლოგარითმისთვის.

ბუნებრივი ლოგარითმის მსგავსი

მოდით ისევ დავწეროთ ლოგარითმის ფორმულა a ბაზაზე:
.
ამ ფორმულას აქვს ბუნებრივი ლოგარითმის უმარტივესი ფორმა, რომლისთვისაც . თოდი
(1) .

ასეთი სიმარტივის გამო, ბუნებრივი ლოგარითმი ფართოდ გამოიყენება მათემატიკურ ანალიზში და მათემატიკის სხვა დარგებში, რომლებიც დაკავშირებულია დიფერენციალურ გამოთვლებთან. ლოგარითმული ფუნქციები სხვადასხვა საფუძვლებით შეიძლება გამოიხატოს ბუნებრივი ლოგარითმის, ვიკორისტიკისა და სიმძლავრის საშუალებით (6):
.

შესაბამისი ლოგარითმი შეიძლება მოიძებნოს ფორმულიდან (1), დიფერენციაციის ნიშნისთვის მუდმივის დამატებით:
.

ლოგარითმის მსგავსების დადასტურების სხვა გზები

აქ ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ვიცით ექსპონენციალური სიჩქარის ფორმულა:
(9) .
შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია გამოვიტანოთ ბუნებრივი ლოგარითმის მსგავსი ფორმულა, თუ შევხედავთ მათ, ვისი ლოგარითმი არის ექსპონენციალურში დაბრუნების ფუნქცია.

წარმოგიდგენთ ბუნებრივი ლოგარითმის ფორმულას, შებრუნების ფუნქციის სტაგნაციური ფორმულა:
.
ჩვენს ვიპადკას. ბუნებრივ ლოგარითმში დაბრუნების ფუნქცია არის ექსპონენტი:
.
ეს ამ ფორმულის მსგავსია (9). ცვლილებებს შეიძლება ეწოდოს ნებისმიერი სახის ასო. ფორმულაში (9) შეცვალეთ x y-ით:
.
ოსკოლკი, მაშინ
.
თოდი
.
ფორმულა დასრულებულია.

ახლა შევავსოთ ბუნებრივი ლოგარითმის ფორმულა დამატებითი ინფორმაციის გამოყენებით: დასაკეცი ფუნქციების დიფერენცირების წესები. ფუნქციისა და კარიბჭის ფრაგმენტები ერთმანეთის მიყოლებით, მაშინ
.
დიფერენციაცია ხდება x ცვლადით:
(10) .
ორიგინალური ერთეულების მსგავსი:
.
დადგენილია დასაკეცი ფუნქციის დიფერენცირების შემდეგი წესი:
.
Აქ. ჩანაცვლებადი (10):
.
ზვიდის
.

კონდახი

გაარკვიე, როგორ წახვიდე 2x, ln 3xі lnnx.

გამომავალი ფუნქციებს აქვთ მსგავსი გარეგნობა. ასე რომ, ჩვენ ვიცით ფუნქცია y = log nx. შემდეგ ჩვენ ვცვლით n = 2 და n = 3. მე უარვყოფ ფორმულებს შემდეგი ტიპებისთვის ln 2xі ln 3x .

კარგად, მოდით შევხედოთ ფუნქციას
y = log nx .
ჩვენ შეგვიძლია დავინახოთ ეს ფუნქცია, როგორც კომპოზიციური ფუნქცია, რომელიც შედგება ორი ფუნქციისგან:
1) ფუნქციები, რომლებიც უნდა გვახსოვდეს: ;
2) ცვლილების შენარჩუნების ფუნქციები: .
შემდეგ გამომავალი ფუნქცია შერწყმულია ფუნქციასთან:
.

ჩვენ ვიცით ცვლადის x ფუნქციის ფორმულა:
.
მოდით შევხედოთ ცვლილების ფუნქციას:
.
მოდით ჩამოვაყალიბოთ ფორმულა მსგავსი დასაკეცი ფუნქციისთვის.
.
აქ დაგვაყენეს.

კარგად, ჩვენ ვიცით:
(11) .
მი, კარგია დაწოლა ნ. ეს შედეგი სრულიად ბუნებრივია, თუ გამომავალი ფუნქცია გარდაიქმნება ლოგარითმის ფორმულაში:
.
- ეს არ არის სტატიკური. ნულის მსგავსია. დიფერენცირების წესიდან გამომდინარეობს შემდეგი:
.

; ; .

x მოდულის ლოგარითმის ცვლილება

ვიცით, რომ ისევ გამოვალთ მნიშვნელოვანი ფუნქციები- x მოდულის ბუნებრივი ლოგარითმი:
(12) .

მოდით შევხედოთ სიტუაციას. ეს ფუნქციები და ფუნქციები ასე გამოიყურება:
.
ეს მითითებულია ფორმულით (1):
.

ახლა მოდით შევხედოთ განსხვავებებს. ეს ფუნქციები და ფუნქციები ასე გამოიყურება:
,
დე.
ჩვენ ასევე ვიპოვნეთ მსგავსი ფუნქციები იმავე აპლიკაციაში. არ დაწოლა ერთსა და იმავე ადგილას
.
თოდი
.

ჩვენ ვაკავშირებთ ამ ორ გამონათქვამს ერთ ფორმულაში:
.

როგორც ჩანს, ამამოს სადგამზე ლოგარითმისთვის:
.

ბუნებრივი ლოგარითმის უმაღლესი რიგის მსგავსება

მოდით შევხედოთ ფუნქციას
.
ჩვენ გავარკვიეთ პირველი:
(13) .

ჩვენ ვიცით რაღაც განსხვავებული თანმიმდევრობით:
.
ჩვენ ვიცით მესამე რიგი:
.
ჩვენ ვიცით მეოთხე რიგი:
.

შეიძლება აღინიშნოს, რომ N-ე რიგის მსგავსი გამოიყურება:
(14) .
ამას დავამტკიცებთ მათემატიკური ინდუქციის მეთოდით.

დასრულდა

მოდით ჩავანაცვლოთ მნიშვნელობა n = 1 ფორმულაში (14):
.
ოსკოლკი, შემდეგ n =-სთვის 1 ფორმულა (14) სწორია.

დავუშვათ, რომ ფორმულა (14) უდრის n = k. მოდით დავამტკიცოთ, რომ ეს ფორმულა მოქმედებს n = k-სთვის + 1 .

სინამდვილეში, n = k-სთვის შეგვიძლია:
.
დიფერენცირება x ცვლადის მიხედვით:

.
ოჟე, ჩვენ უარყვეს:
.
ეს ფორმულა შეიძლება გაერთიანდეს ფორმულასთან (14) n = k +-ისთვის 1 . ამრიგად, დაშვებულია, რომ ფორმულა (14) მოქმედებს n = k-სთვის და ფორმულა (14) მოქმედებს n = k +-ზე 1 .

ამიტომ, ფორმულა (14) მსგავსი n-ე რიგისთვის მოქმედებს ნებისმიერი n-ისთვის.

მსგავსი უმაღლესი რიგის ლოგარითმები ა-ზე დაფუძნებული

ბაზაზე ლოგარითმის n-ე რიგის მნიშვნელობის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოვხატოთ იგი ბუნებრივი ლოგარითმის მეშვეობით:
.
Zastos-ის ფორმულის (14) გამოყენებით ცნობილია n-ე ნაბიჯი:
.

დივ. ასევე:

დასაკეცი მსვლელობა. ლოგარითმული მაჩვენებელი.
პოხიდნა სტატიკურად ჩვენების ფუნქციები

ჩვენ ვაგრძელებთ ჩვენი დიფერენციაციის ტექნოლოგიის განვითარებას. ამ გაკვეთილზე მიმოვიხილავთ ჩვენს მიერ განხილულ მასალას, გადავხედავთ მიდგომის სირთულეებს და ასევე გავეცნობით მიდგომის ახალ ტექნიკას და ხრიკებს, ლოგარითმული მიდგომის საფუძველზე.

ტიმის მკითხველები, რომლებსაც შესაძლოა დაბალი დონის მომზადება ჰქონდეთ, სტატისტიკას მიმართავენ როგორ გავიგო სად წავიდე? გამოიყენეთ თქვენი გადაწყვეტილებაროგორ შეგიძლიათ გააუმჯობესოთ თქვენი უნარები პრაქტიკულად ნულიდან? შემდეგ თქვენ უნდა ყურადღებით წაიკითხოთ გვერდი დასაკეცი ფუნქციის მსგავსი, გაგება და ვირიშუვატი Ულვაშიმიუთითეთ კონდახი. ეს გაკვეთილი ლოგიკურად მესამეა მიმდევრობის შემდეგ, რომლის დაუფლების შემდეგ თქვენ შეძლებთ განასხვავოთ და დაამატოთ დასაკეცი ფუნქციები. არ არის მიზანშეწონილი პოზიციის დაკავება "სხვაგან სად?" ასე დავფქვათ!”, ყველა კონდახის ფრაგმენტები და გადაწყვეტილებები აღებულია რეალურიდან კონტროლი რობოტებიპრაქტიკაში ხშირად ეგუებიან.

დავასრულოთ გამეორებით. Კლასში დასაკეცი ფუნქციის მსგავსიჩვენ შევხედეთ დაბალ კონდახებს მოხსენების კომენტარებიდან. დიფერენციალური გამოთვლისა და მათემატიკური ანალიზის სხვა დარგების შემუშავების პროცესში, უფრო ხშირად ხდება დიფერენცირება და აღარ იქნება საჭირო (და ყოველთვის საჭირო იქნება) კონდახების გარკვევით ჩაწერა. ამიტომ, ჩვენ ვისწავლით როგორ მოვძებნოთ ადამიანები. ამისათვის საუკეთესო "კანდიდატები" უმარტივესი და რთული ფუნქციებია, მაგალითად:

დასაკეცი ფუნქციის დიფერენცირების წესის დაცვა :

სამომავლოდ სხვა თემების შესწავლისას ასეთი მოხსენება ხშირად არ არის საჭირო, ის გადადის, რათა სტუდენტმა იცოდეს მსგავსი აქტივობები ავტოპილოტზე. მისაღებია, რომ ღამის მე-3 ღამეს ტელეფონმა დარეკა და ხმის მიმღებიკითხვა: "რა არის ორი x-ის ტანგენსის ეკვივალენტი?" ამ ეტაპზე შეიძლება იყოს მიტევა და ხანგრძლივი ჩვენება: .

პირველი კონდახი დაუყოვნებლივ იქნება გამოყენებული დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების მისაღებად.

კონდახი 1

კარგად იცოდეთ ეს ხრიკები, ერთი დღით, მაგალითად: . ვიკონანიასთვის აუცილებელია ვიკორისტი იყოს. მსგავსი ელემენტარული ფუნქციების ცხრილი(ჯერ არ დამვიწყებია). თუ გაგიჭირდებათ, გირჩევთ გაკვეთილის ხელახლა წაკითხვას დასაკეცი ფუნქციის მსგავსი.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

რჩევები გაკვეთილისთვის

დასაკეცი მსვლელობა

მოწინავე საარტილერიო მომზადების შემდეგ იქნება ნაკლებად საშინელი კონდახები 3-4-5 ჩადგმული ფუნქციებით. შესაძლებელია, რომ შემდეგი ორი კონდახი საკმაოდ დასაკეცი გახდეს, მაგრამ თუ მათ ესმით (თუნდაც დაზარალდნენ), მაშინ შესაძლოა ყველაფერი სხვა დიფერენციალურ გამოთვლაში ბავშვურ სიცხეს მოეჩვენოს.

კონდახი 2

იცოდე ფარული ფუნქციები

როგორც ითქვა, მობილური დასაკეცი ფუნქციის აღმოჩენისას აუცილებელია გადატანა უფლებადააბრუნეთ თქვენი ინვესტიციები. ამ სიტუაციებში, თუ ეჭვი გეპარებათ, მე შემოგთავაზებთ სწრაფ ხრიკს: ავიღოთ "x"-ის ბოლო მნიშვნელობა, მაგალითად, და ვცდილობთ (აზრები ან შავი) ჩავანაცვლოთ ეს მნიშვნელობა "საშინელი ვირუსით".

1) უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ ფულის ოდენობა, ჯამი, ყველაზე დიდი შენატანი.

2) შემდეგ თქვენ უნდა გამოთვალოთ ლოგარითმი:

4) შემდეგ გაამრავლეთ კოსინუსი კუბზე:

5) მეხუთე საფეხურზე არის განსხვავება:

6) მე გავარკვიე, რომ გარეგანი ფუნქცია არის კვადრატული ფესვი:

დასაკეცი ფუნქციის დიფერენცირების ფორმულა სტაგნაცია საპირისპირო თანმიმდევრობით, ყველაზე გარეგანი ფუნქციებიდან შინაგანამდე. ვირიშუემო:

შეწყალება არ არის.

(1) ვიღებთ კვადრატულ ფესვს.

(2) მოდით შევხედოთ განსხვავებას წესის დაცვით

(3) სამეული ნულის ტოლია. სხვა დოდანკიდან ვდგამთ ფეხით საფეხურს (კუბს).

(4) ვიღებთ კოსინუსის მნიშვნელობას.

(5) აიღეთ ლოგარითმი.

(6) და, კარგი, ჩვენ ავიღებთ ფულს ყველაზე დიდი ინვესტიციიდან.

შეიძლება იყო ძალიან მნიშვნელოვანი, მაგრამ ეს მაინც არ არის ყველაზე სასტიკი უკანალი. აიღეთ, მაგალითად, კუზნეცოვის კოლექცია და თქვენ დააფასებთ კოლექციის მთელ სილამაზეს და სიმარტივეს. მე აღვნიშნე, რომ მომეწონება ტესტზე რაღაცის მიცემა, რათა შევამოწმო, რა ესმის სტუდენტს, რადგან მან იცის მსგავსი დასაკეცი ფუნქციები და არ ესმის.

დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების შემტევი კონდახი.

კონდახი 3

იცოდე ფარული ფუნქციები

მინიშნება: წრფივობის წესები და შემოქმედების დიფერენციაციის წესი გაჩერებულია

უპირველეს ყოვლისა, არის გაკვეთილის გამოსავალი და დასკვნა.

დადგა დრო, რომ გადავიდეთ უფრო კომპაქტურ და მიმზიდველზე.
ეს არ არის იშვიათი სიტუაცია, რადგან კონდახს აქვს არა ორი, არამედ სამი ფუნქცია. როგორ გავიგოთ სამი მულტიპლიკატორის შექმნის მიდგომა?

კონდახი 4

იცოდე ფარული ფუნქციები

თავიდან მაინტერესებს, რატომ არ არის შესაძლებელი სამი ფუნქციის ორ ფუნქციად გადაქცევა? მაგალითად, თუ ჩვენ გვქონდა ორი არტიკულაცია, მაშინ შეიძლებოდა მკლავების გახსნა. მაგრამ აპლიკაციაში ყველა ფუნქცია განსხვავებულია: ნაბიჯი, ექსპონენტი და ლოგარითმი.

ასეთ შემთხვევებში აუცილებელია თანმიმდევრულადშემოქმედებითობისგან დიფერენცირების წესის დადგენა ორჯერ

ყურადღება გამახვილებულია იმ ფაქტზე, რომ „y“-ს მიღმა ორი ფუნქცია გვაქვს აღნიშული: , ხოლო „ve“-ს უკან – ლოგარითმი: . რატომ შეიძლება ამდენი შოვნა? და ჰიბა - რატომ არ გაქვს ორი ჯერადი და წესი არ მოქმედებს? დასაკეცი არაფერია:

ახლა წესი უცებ სტაგნაციაში მოექცა მშვილდისკენ:

თქვენ ასევე შეგიძლიათ დაიკარგოთ და ხელით ატაროთ იგი, მაგრამ ამ შემთხვევაში სჯობს მტკიცებულებები დაკარგოთ ამ გზით - გადამოწმება უფრო ადვილია.

გამოჩენილი კონდახი შეიძლება სხვაგვარად იყოს ნაჩვენები:

ეს ორი მეთოდი აბსოლუტურად თანაბარია.

კონდახი 5

იცოდე ფარული ფუნქციები

ეს, პირველ რიგში, დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების მიღების მაგალითია.

მოდით შევხედოთ მსგავს კონდახებს თოფის გამოყენებით.

კონდახი 6

იცოდე ფარული ფუნქციები

აქ შეგიძლიათ რამდენიმე მარშრუტის გავლა:

ან ასე:

ალმა გადაწყვიტა უფრო კომპაქტურად დაეწერა, რადგან პირველ რიგში პირადის დიფერენცირების წესი მიიღეს მთელი რიცხვების წიგნი:

პრინციპში კონდახი აჯობებს და თუ მას ასეთ მზერას მოაკლებთ, მაშინ მოწყალება არ იქნება. მაგრამ გასაგები მიზეზების გამო, აუცილებელია მათი ხელახლა გადამოწმება შავ-თეთრში და რისი პატიება არ შეიძლება? მივუთითოთ რიცხვის რიცხვი საბოლოო ნიშანზე მოვიშოროთ სამზეპირიანი გასროლა:

ამ დამატებითი ზომების უარყოფითი მხარე ის არის, რომ არსებობს რისკი, რომ შერიგებები მოხდეს არა ცნობილი სკოლის, არამედ ბანალური სკოლის ცვლილებების შემთხვევაში. მეორეს მხრივ, მეანაბრეები ხშირად უარს ამბობენ დავალებებს და სთხოვენ მათ „მიიყვანონ გზაზე“ გასასვლელისკენ.

მარტივი კონდახი დამოუკიდებელი შესრულებისთვის:

კონდახი 7

იცოდე ფარული ფუნქციები

მოდით გავაგრძელოთ იგივე პოვნის მეთოდების დაუფლება და ახლა გადავხედავთ ტიპურ ვარდნას, თუ დიფერენციაციისთვის გამოიყენება "საშინელი" ლოგარითმი.

კონდახი 8

იცოდე ფარული ფუნქციები

აქ თქვენ შეგიძლიათ მიჰყვეთ გრძელი გზა, დასაკეცი ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენებით:

თუ პირველ ნამსხვრევს მაშინვე გადააგდებთ მტერს, უნდა მიიღოთ მიუღებელი მიდგომა გასროლის სტადიიდან, შემდეგ კი გასროლიდან.

ტომ მანამდეროგორ მივუდგე, ძმებო, „დაგრეხილ“ ლოგარითმს, რომელსაც ჯერ ვაპატიებ, ვიკორისტი სკოლის ხელმძღვანელობის წინაშე:

! როგორც კი პრაქტიკა გექნებათ, გადაწერეთ ეს ფორმულები იქვე. თუ ნარჩენები არ არის, დახატეთ ისინი ფურცელზე, წაისვით ფრაგმენტები წაგებულ გაკვეთილზე, მე ამ ფორმულებში შემოვიხვევ.

თავად გადაწყვეტილება შეიძლება ჩამოყალიბდეს დაახლოებით ასე:

გადავიყვანოთ ფუნქცია:

ვიცით, წავიდეთ:

თავად ფუნქციის წინა რედიზაინამ მნიშვნელოვნად გაამარტივა გადაწყვეტილება. ამგვარად, თუ მსგავსი ლოგარითმი გამოიყენეს დიფერენციაციისთვის, ის მაშინვე მთლიანად „დაინგრევა“.

ახლა კი რამდენიმე მოუხერხებელი კონდახი დამოუკიდებელი შესრულებისთვის:

კონდახი 9

იცოდე ფარული ფუნქციები

კონდახი 10

იცოდე ფარული ფუნქციები

ყველა ცვლილება და ვარიაცია სრულდება გაკვეთილის ბოლოს.

ლოგარითმული დაბრუნება

რა ჰგავს ლოგარითმებს - რა არის ძირტკბილას მუსიკა, კვების ბრალია და რატომ არ არის შესაძლებელი ზოგიერთ შემთხვევაში ლოგარითმის ინდივიდუალურად ორგანიზება? შესაძლებელია, შესაძლებელია! უნდა გითხრა.

კონდახი 11

იცოდე ფარული ფუნქციები

ჩვენ ცოტა ხნის წინ გადავხედეთ მსგავს დუნდულებს. რა არის მორცხვი? შეგიძლიათ თანმიმდევრულად დაადგინოთ კერძოს დიფერენციაციის წესი და შემდეგ შექმნათ დიფერენციაციის წესი. ერთადერთი, რაც, როგორც ჩანს, ასეა, არის ის, რომ ეს იქნება შესანიშნავი სამზედაპირიანი დრიბლინგი, რომელსაც თქვენ საერთოდ არ გსურთ, რომ დედაშენს გაუმკლავდეს.

მაგრამ თეორიულად და პრაქტიკაში ეს ისეთი სასწაულია, როგორც ლოგარითმული მეთოდი. ლოგარითმები შეიძლება დალაგდეს ინდივიდუალურად, "დაკიდოს" ისინი სხვადასხვა ნაწილზე:

შენიშვნა : იმიტომ ფუნქციას შეუძლია უარყოფითი მნიშვნელობების მიღება, მაშინ, როგორც ჩანს, აუცილებელია მოდულების გამოყენება: , რომელიც წარმოიქმნება დიფერენციაციის შედეგად, თუმცა, დასაშვებია და უფრო ზუსტია დიზაინში, სადაც ჩვენ უნდა ვიკისროთ პატივისცემა ყოვლისმომცველიმნიშვნელობა. თუ ბევრი ველურობაა, მაშინ ორივე შემთხვევაში აუცილებელია სიფრთხილის ზომების შექმნა ისე, რომ.

ახლა ჩვენ უნდა გავაფართოვოთ მარჯვენა მხარის ლოგარითმი მაქსიმალურად (ფორმულები ოჩიმამდე?). მე დეტალურად აღვწერ ამ პროცესს:

ახლა ჩვენ მზად ვართ დიფერენციაციის დასაწყებად.
მოათავსეთ შეურაცხმყოფელი ნაწილები ინსულტის ქვეშ:

მარჯვენა მხარეს პასუხი მარტივია და მე არ ვაკეთებ კომენტარს, სანამ ამ ტექსტს კითხულობთ, თქვენი ბრალია ამაში არევა.

როგორ ვიყოთ მარცხენა მხარეს?

მარცხენა მხარეს გვაქვს დასაკეცი ფუნქცია . მე გადავცემ საჭმელს: "რატომ, არის ერთი ასო "მოთამაშე" ლოგარითმის ქვეშ?"

მარჯვნივ არის "ერთი ნაჭერი ნამცხვარი" - თავისთვის და ფუნქციისთვის(როგორც გაუგებარია, ის იქცევა იმ ფუნქციის მსგავსი სტატისტიკა, რომელიც მითითებულია იმპლიციტურად). მაშასადამე, ლოგარითმი არის გარეგანი ფუნქცია, ხოლო „გრავიტაცია“ არის შიდა ფუნქცია. ეს არის ჩემი ვიკორისტის წესი დასაკეცი ფუნქციის დიფერენციაციის შესახებ :

მარცხენა მხარეს, თითქოს მომხიბვლელი კვერთხის ტალღის მიღმა, მარში „ვხატავდით“. შემდეგ, პროპორციის წესის დაცვით, ჩვენ გადავიყვანთ "მოთამაშეს" მარცხენა მხარეს მდებარე ნიშნიდან მარჯვენა მხარის ზევით:

ახლა კი შეგვიძლია გამოვიცნოთ რა სახის „გრავიტაციის“ ფუნქციაზე ვსაუბრობდით დიფერენციაციის საათში? მიკვირს გონება:

ნარჩენი მტკიცებულება:

კონდახი 12

იცოდე ფარული ფუნქციები

ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების მაგალითი. გაკვეთილისთვის გამოყენებული ტიპის მაგალითის დიზაინის ილუსტრაცია.

დამატებითი ლოგარითმული პროცედურისთვის შეგიძლიათ ნახოთ №4-7 აპლიკაციებიდან, ან მარჯვნივ, რომ იქ ფუნქციები მარტივია და, შესაძლოა, მოკლე ლოგარითმული პროცედურა არ არის საჭირო.

სტატიკური ჩვენების ფუნქციის მსგავსი

ჩვენ უკვე ვნახეთ ეს ფუნქცია. ნაბიჯის ჩვენების ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელიც და სცენა და ბაზა დევს "IX"-ზე. კლასიკური მაგალითი, რომელიც შეგიძლიათ მისცეთ ნებისმიერ ასისტენტს ან ნებისმიერ ლექციაზე:

როგორ გავარკვიოთ static-show ფუნქციის ქცევა?

აუცილებელია გამოიყენოს ყურადღებით გააზრებული ტექნიკა - ლოგარითმული მიდგომა. ლოგარითმებს ვხატავთ დამრღვევ ნაწილებზე:

როგორც წესი, მარჯვენა მხარეს აქვს ნაბიჯი ლოგარითმის ქვემოთ:

შედეგად, მარჯვენა მხარეს გვაქვს ორი ფუნქციის უმაღლესი დამატება, რომელიც დიფერენცირებულია სტანდარტული ფორმულით .

ჩვენ ვიცით მიდგომა, რისთვისაც შეურაცხმყოფელ ნაწილებს ვათავსებთ შტრიხების ქვეშ:

შემდეგი ნაბიჯები უხერხულია:

დარჩენილი:

თუ ეს ტრანსფორმაცია ბოლომდე გასაგები არ არის, გთხოვთ, ყურადღებით წაიკითხოთ მე-11 ექსპონატის განმარტება.

პრაქტიკულ შენობებში, სტატიკური ჩვენების ფუნქცია მალე დაიკეცება, უფრო დაბალი გარეგნობის სალექციო კონდახი.

კონდახი 13

იცოდე ფარული ფუნქციები

ვიკორისტა ლოგარითმული ცვლილება.

მარჯვენა მხარეს გვაქვს მუდმივი და ორი მამრავლი – „ix“ და „ლოგარითმი x ლოგარითმი“ (ლოგარითმის ქვეშ სხვა ლოგარითმია ჩასმული). მუდმივის დიფერენცირებისას, როგორც ჩვენ გვახსოვს, სჯობს მაშინვე მიანიშნოთ ის მარშის ნიშნად, რათა ფეხქვეშ პატივი არ სცეს; და, რა თქმა უნდა, ცნობილი წესი :

გრძნობთ, რომ ჯერ კიდევ დიდი დრო გაქვთ დასაძინებლად? რომელ თვეში? ორი? რიკი? პრაქტიკა გვიჩვენებს, რომ სტუდენტი ყველაზე კარგად ართმევს თავს ძილს, როდესაც ის იწყებს მომავლისთვის მომზადებას. EDY-ს ბევრი რთული დავალება ჰქონდა, მაგალითად, სკოლის მოსწავლისა და მომავალი მოსწავლის გზაზე დღის ბოლომდე დგომა. თქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ გადაიხადოთ ამ მემბრანებისთვის, მანამდე რთულია მუშაობა. თქვენ უნდა გესმოდეთ ბილეთებიდან სხვადასხვა ამოცანებთან მუშაობის პრინციპი. ახლები არ არის პრობლემების მიზეზი.

ერთი შეხედვით, ლოგარითმები წარმოუდგენლად რთული ჩანს, მაგრამ დეტალური ანალიზით სიტუაცია აშკარად უფრო ნათელი გახდება. თუ გსურთ თქვენი EDI წარადგინოთ დიდ ბურთზე, გესმით, რა შეგიძლიათ ნახოთ, რა შეგვიძლია გავაკეთოთ ამ სიტუაციაში.

ამიერიდან შეგვიძლია მათი ერთმანეთისგან გამიჯვნა. რა არის ლოგარითმი (ლოგი)? ეს არის ნაბიჯი, რომელშიც თქვენ უნდა ჩამოაყალიბოთ საფუძველი, რათა ამოიღოთ მითითებული ნომერი. თუ ჩვენ არ გვესმის, მაშინ მოდით შევხედოთ ელემენტარულ კონდახს.

ამ შემთხვევაში, ბაზა, რომელიც დგას ბოლოში, უნდა გადავიდეს სხვა დონეზე, რათა გამოვაკლოთ რიცხვი 4.

ახლა მოდით გავიგოთ სხვა ცნებები. ხედვაში მსგავს ფუნქციას უწოდებენ კონცეფციას, რომელიც ახასიათებს მითითების ფუნქციის ცვლილებას. თუმცა, ეს არის სასკოლო პროგრამა და თუ ამ ცნებებთან დაკავშირებით პრობლემები გაქვთ, გთხოვთ გაიმეოროთ თემა.

პოხიდნა ლოგარითმი

უ EDI დეპარტამენტიამის გათვალისწინებით, შეგიძლიათ ნატეხი კონდახის მსგავსად მიუთითოთ. დასაწყისისთვის, უმარტივესი რამ არის ლოგარითმული. აუცილებელია შეტევის ფუნქციების ცოდნა.

ჩვენ უნდა ვიცოდეთ როდის მივდივართ

არსებობს სპეციალური ფორმულა.

და აქ x=u, log3x=v. მოდით ჩავანაცვლოთ ჩვენი ფუნქციის მნიშვნელობები ფორმულაში.

Pokhіdna x dovnyuvatim ერთეული. ლოგარითმი ცოტა უფრო რთულია. თქვენ გაიგებთ პრინციპს, თუ უბრალოდ ჩაანაცვლებთ მნიშვნელობებს. უნდა გვახსოვდეს, რომ lg x-ის მსგავსებას მეათე ლოგარითმის მსგავსება ეწოდება, ხოლო ln x-ის მსგავსება ბუნებრივი ლოგარითმის მსგავსია (სტენდზე e).

ახლა უბრალოდ შეცვალეთ ორიგინალური ფორმულა. სცადეთ თავად, ნახავთ ნათელ დადასტურებას.

რატომ შეიძლება იყოს პრობლემა აქტიურებს? ჩვენ დავკარგეთ ბუნებრივი ლოგარითმის კონცეფცია. მოდით ვისაუბროთ მასზე და შემდეგ გავარკვევთ, როგორ დავმალოთ საიდუმლო მის უკან. თქვენ ვერაფერს ისწავლით რთულს, მით უმეტეს, თუ გესმით მისი მუშაობის პრინციპი. მანამდე ჩვენ დაგირეკავთ, რადგან ის ხშირად გამარჯვებულია მათემატიკაში (სხვათა შორის საწყისი იპოთეკამეტი მათთვის).

ბუნებრივი ლოგარითმის მსგავსი

ძირითადად, ეს არის მსგავსი ლოგარითმი, რომელიც დაფუძნებულია e-ზე (ეს არის ირაციონალური რიცხვი, რომელიც არის დაახლოებით 2.7). სინამდვილეში, ln კიდევ უფრო მარტივია, რის გამოც მას ხშირად იყენებენ მათემატიკაში. ვლასნა, მასთან მანკიერი ურთიერთობა ასევე არ გახდება პრობლემა. გახსოვდეთ, რომ ბუნებრივი ლოგარითმი ეფუძნება x-ზე გაყოფილ ერთეულს. შემტევი კონდახის გამოსავალი ყველაზე შთამბეჭდავი იქნება.

აშკარაა, რომ ეს არის რთული ფუნქცია, რომელიც შედგება ორი მარტივისაგან.

საკმარისია ხელახლა შექმნა

მოდით გადავიდეთ u-დან x-ზე

გაიყიდა სხვაგან

ვიკორისტის მეთოდი მსგავსი დასაკეცი ფუნქციის შექმნის შესახებ, რომელიც წარმოადგენს u=nx.

რა მოხდა შედეგად?

ახლა გამოიცანით რას ნიშნავდა n ამ შემთხვევაში? როგორიც არ უნდა იყოს რიცხვი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ბუნებრივი ლოგარითმი x-ის წინ. მნიშვნელოვანია გესმოდეთ, რომ მასში არანაირი მტკიცებულება არ მოიძებნება. შეცვალეთ ყველაფერი და ყველაფერი იქნება 1/x.

როგორც ხედავთ, აქ არაფერია რთული, საკმარისია გაიგოთ პრინციპი, რათა სწრაფად და ეფექტურად გაუმკლავდეთ ამ საკითხებს. ახლა თქვენ იცით თეორია, მაგრამ ეს არ არის დადასტურებული პრაქტიკაში. ივარჯიშეთ უზენაესი მცნებით, რათა სამუდამოდ დაიმახსოვროთ მათი უზენაესი მცნების პრინციპი. ეს ცოდნა შეიძლება არ დაგჭირდეთ სკოლის დამთავრების შემდეგ, მაგრამ ის მაინც იქნება გარკვეულწილად აქტუალური. Წარმატებას გისურვებ!

მართლაც ადვილი დასამახსოვრებელია.

მოდი, შორს არ წავიდეთ, დაუყოვნებლივ გადავხედოთ დაბრუნების ფუნქციას. რა ფუნქცია აქვს კარიბჭის ფუნქციას ჩვენების ფუნქციისთვის? ლოგარითმი:

ჩვენი ტიპი ეფუძნება რიცხვს:

ასეთ ლოგარითმს (ასევე ლოგარითმს ფუძიდან) უწოდებენ "ბუნებრივი" და ამ მიზნით მას განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს: ჩვენ ვწერთ მის ნაცვლად.

რისთვის არის ძვირფასი? Რა თქმა უნდა, .

ბუნებრივი ლოგარითმის ფორმულა ასევე ძალიან მარტივია:

მიმართვა:

1. შეიტყვეთ ფარული ფუნქცია.
2. რა არის ძველი ფუნქციები?

ტიპები: ექსპონენტი და ბუნებრივი ლოგარითმი არის ფუნქციები, რომლებიც ცალსახად მარტივია გარეგნულად. ჩვენება და ლოგარითმული ფუნქციები სხვა საფუძვლებით იგივე იქნება, რასაც მოგვიანებით გავიგებთ, მას შემდეგ რაც გავივლით დიფერენციაციის წესებს.

დიფერენცირების წესები

რისი წესები? ახალ ტერმინს ვნერგავ, კიდევ ვამბობ?!

დიფერენციაცია- ეს არის ძიების პროცესი.

მხოლოდ ეს და ყველაფერი. როგორ ვუწოდოთ ამ პროცესს ერთი სიტყვით? არა დერივაცია... მათემატიკის დიფერენციალს იგივე გაზრდილი ფუნქცია ჰქვია. ეს ტერმინი მსგავსია ლათინური დიფერენცია - განსხვავება. ღერძი.

ყველა ამ წესების გათვალისწინებით, არსებობს ორი ფუნქცია, მაგალითად, გ. ჩვენ ასევე გვჭირდება ფორმულები მათი ზრდისთვის:

Usyogo-ს აქვს 5 წესი.

მუდმივი გამოიყენება სიკვდილის ნიშნად.

Yakscho - არის მუდმივი რიცხვი (მუდმივი), მაშინ.

ცხადია, ეს წესი ეხება განსხვავებებს: .

ჩვენ იქ მივალთ. არაუშავს, შეინახე მარტივი.

გამოიყენეთ იგი.

იპოვნეთ დაკავშირებული ფუნქციები:

1. წერტილში;
2. წერტილში;
3. წერტილში;
4. წერტილში.

გადაწყვეტილება:

1. (ეს ყველა წერტილში ერთნაირია, ასე რომ, წრფივი ფუნქციაა, გახსოვთ?);

ფოხიდნა რობოტი

აქ ყველაფერი მსგავსია: შედი ახალი ფუნქციადა ჩვენ ვიცით ზრდა:

ფოხიდა:

მიმართვა:

1. იპოვნეთ მსგავსი ფუნქციები;
2. იპოვნეთ ზუსტად ფუნქცია.

გადაწყვეტილება:

ჩვენების მსგავსი ფუნქცია

ახლა თქვენ საკმარისად იცით, რომ ისწავლოთ როგორ აჩვენოთ ნებისმიერი სახის ჩვენების ფუნქცია და არა მხოლოდ მისი ჩვენება (დავიწყების გარეშე, რა არის ეს?).

ისე, ეს არ არის ნომერი.

ჩვენ უკვე ვიცით ძირითადი ფუნქცია, ამიტომ ვცადოთ ჩვენი ფუნქცია ახალ საფუძვლებზე მივიყვანოთ:

ვისთვისაც აჩქარებს აპატიე როგორც წესი: . თოდი:

ისე, ეს არის ის. ახლა შეეცადეთ გაარკვიოთ როგორ გააკეთოთ ეს და არ დაგავიწყდეთ, რომ ეს ფუნქცია რთულია.

რატომ?

ოჰ, შეამოწმე შენი თავი:

ფორმულა ძალიან ჰგავდა ექსპონენციალურს: როგორც იყო, ის დაიკარგა, გამოჩნდა როგორც მულტიპლიკატორი, რომელიც უბრალოდ რიცხვია და არა ცვალებადი.

მიმართვა:
გაეცანით შემდეგ ფუნქციებს:

ტიპები:

ეს უბრალოდ რიცხვია, მისი გარკვევა კალკულატორის გარეშე შეუძლებელია, ამიტომ უფრო მარტივი გზით მისი ჩაწერა შეუძლებელია. ამიტომაც აქვს ასეთი მზერა და მოკლებულია.

პატივისცემით, რაც აქ უფრო მნიშვნელოვანია, ვიდრე ორი ფუნქცია, დადგენილია დიფერენცირების შემდეგი წესი:

ამ აპლიკაციას აქვს ორი ფუნქცია:

მსგავსი ლოგარითმული ფუნქცია

აქაც მსგავსია: თქვენ უკვე იცით ბუნებრივი ლოგარითმის ფორმულა:

იმისათვის, რომ იცოდეთ საკმარისი ლოგარითმი განსხვავებული ფუძით, მაგალითად:

აუცილებელია ამ ლოგარითმის ძირამდე შემცირება. როგორ შევცვალო ლოგარითმის საფუძველი? იმედია გახსოვთ ეს ფორმულა:

ახლავე დაწერის ნაცვლად:

ზნამენნიკმა უბრალოდ მიიღო მუდმივი (მუდმივი რიცხვი ცვალებადი რიცხვის გარეშე). გამოსვლა კიდევ უფრო ადვილია:

ყოველკვირეული შოუები ლოგარითმული ფუნქციებიისინი შეიძლება არ იყვნენ კონტაქტში EDI-სთან, მაგრამ თქვენ არ გსურთ მათი გაცნობა.

მარტივი დასაკეცი ფუნქცია.

რა არის "დაკეცვის ფუნქცია"? არა, ეს არ არის ლოგარითმი და არ არის არქტანგენტი. ეს ფუნქციები შეიძლება რთულად გასაგები იყოს (თუმცა თუ ლოგარითმი გაგიჭირდებათ, წაიკითხეთ თემა „ლოგარითმები“ და ყველაფერს ჩააბარებთ), მაგრამ მათემატიკური თვალსაზრისით სიტყვა „დასაკეცი“ არ ნიშნავს „მნიშვნელოვანს“.

შექმენით პატარა კონვეიერის ქამარი: ორი ადამიანი ზის და ურთიერთქმედებს გარკვეულ ობიექტებთან. მაგალითად, პირველი წვავს შოკოლადის ფილას ნაჭერად, მეორე კი მას ძაფით აკრავს. აქ არის საწყობის ნივთი: შოკოლადის ფილა, დამწვარი და შეკრული ნაკერით. შოკოლადის ფილას გასაკეთებლად, საპირისპირო ნაბიჯები საპირისპირო თანმიმდევრობით უნდა შეიმუშაოთ.

მოდით შევქმნათ მსგავსი მათემატიკური ასამბლეის ხაზი: ჯერ ვპოულობთ რიცხვის კოსინუსს, შემდეგ კი ამ რიცხვს კვადრატში. ასე რომ, მოგვეცით რიცხვი (შოკოლადი), მე ვიპოვი მის კოსინუსს (მუწუკს) და შემდეგ ვამატებ ჩემგან გამოსულს კვადრატში (ნაკერით შეკრული). Რა მოხდა? ფუნქცია. ეს არის დასაკეცი ფუნქციის კონდახი: თუ ვიპოვით მის მნიშვნელობას, ჯერ ყურადღებით ვაკეთებთ იგივეს, შემდეგ კი მეორეს, რაც პირველის შედეგად გამოვიდა.

Სხვა სიტყვებით, დასაკეცი ფუნქცია - ფუნქცია, რომლის არგუმენტი სხვა ფუნქციაა: .

კონდახისთვის,.

ჩვენ შეგვიძლია იგივე გავაკეთოთ საპირისპირო თანმიმდევრობით: ჯერ კვადრატში და შემდეგ იპოვეთ თქვენს მიერ ამოღებული რიცხვის კოსინუსი: . ძნელი მისახვედრია, რომ შედეგი შეიძლება მალე განსხვავებული იყოს. დასაკეცი ფუნქციების მნიშვნელოვანი მახასიათებელია ის, რომ თუ შეცვლით მუშაობის თანმიმდევრობას, ფუნქცია შეიცვლება.

კიდევ ერთი კონდახი: (იგივე). .

Dіyu, როგორც ჩვენ მორცხვად ვრჩებით, დავარქვათ "გარე" ფუნქციადა ის ქმედება, რომელიც პირველ რიგში უნდა გაკეთდეს, აშკარაა "შინაგანი" ფუნქცია(ეს არაფორმალური სახელებია, მე მხოლოდ იმიტომ ვცხოვრობ, რომ მასალა მარტივი სიტყვებით ავხსნა).

შეეცადეთ თავად განსაზღვროთ რომელი ფუნქციაა გარე და რომელი შიდა:

ტიპები:შიდა და გარე ფუნქციების დაყოფა ძალიან ჰგავს ცვალებადი ფუნქციების შეცვლას: მაგალითად, ფუნქციაში.

1. პირველი vikonuvatimemo yaku diyu? ჯერ ავიღებ სინუსს და შემდეგ კუბს. ისე, ფუნქცია არის შიდა, მაგრამ გარე.
   და გამომავალი ფუნქცია არის მათი შემადგენლობა: .
2. შიდა: ; გარე:.
   გადამოწმება: .
3. შიდა: ; გარე:.
   გადამოწმება: .
4. შიდა: ; გარე:.
   გადამოწმება: .
5. შიდა: ; გარე:.
   გადამოწმება: .

შესაძლებელია ცვალებადი ნაწილების შეცვლა და ფუნქციის მოხსნა.

აბა, ახლა ჩვენ შოკოლადს ავიღებთ და წავალთ. პროცედურა საპირისპიროა: ჯერ ვპოულობთ მსგავს გარე ფუნქციას, შემდეგ გავამრავლებთ შედეგს ანალოგიურ შიდა ფუნქციაზე. გამომავალი ასი პროცენტი ასეთია:

მეორე უკანალი:

მაშ ასე, ჩამოვაყალიბოთ და დავადგინოთ ოფიციალური წესი:

დასაკეცი ფუნქციის პოვნის ალგორითმი:

ეს ყველაფერი მარტივია, არა?

მოდით შევამოწმოთ კონდახები:

გადაწყვეტილება:

1) შიდა: ;

ექსტერიერი: ;

2) შიდა: ;

(ახლა აჩქარებაზე არც იფიქრო! კოსინუსში ცუდი არაფერია, გახსოვს?)

3) შიდა: ;

ექსტერიერი: ;

მაშინვე აშკარაა, რომ აქ არის სამნაწილიანი კომპლექსური ფუნქცია: ის ასევე თავისთავად რთული ფუნქციაა და მისგან შეგვიძლია ამოვიღოთ ფესვი, რათა დავასკვნათ მესამე მოქმედება (შოკოლადი დავდგათ დამწვარში და პორტფელში ნაკერით). მაგრამ ამის მიზეზი არ არსებობს: ერთი და იგივე, ჩვენ ამ ფუნქციას "გავანაწილებთ" იმავე თანმიმდევრობით, როგორც მას ვუწოდებთ: ბოლოდან.

შემდეგ ჯერ ძირს გამოვყოფ, შემდეგ კოსინუსს და შემდეგ მშვილდებს. შემდეგ კი ყველაფერს გავამრავლებთ.

დარწმუნდით, რომ დანომრეთ აქტივობები ხელით. გასაგებია, რომ ვიცით. რა თანმიმდევრობით უნდა ვიმუშაოთ ამ ვირუსის სიდიდის გამოსათვლელად? მოდით შევხედოთ კონდახს:

რაც უფრო გვიან შესრულდება მოქმედება, მით უფრო "გარე" იქნება ფუნქცია. მოქმედებების თანმიმდევრობა იგივეა, რაც ადრე:

აქ ინვესტიცია არის 4-რივნევა. მოდით შევხედოთ მოქმედებების თანმიმდევრობას.

1. პოდკორენე ვირაზ. .

2. კორინი. .

3. სინუსი. .

4. მოედანი. .

5. ჩვენ ვაგროვებთ ყველაფერს სანამ იყიდით:

ვირობნიჩი. მოკლედ გოლოვენის შესახებ

მსგავსი ფუნქციები- ფუნქციის გაფართოება არგუმენტის ზრდამდე, როდესაც არგუმენტის ზრდა უსასრულოდ მცირეა:

ძირითადი ექსპედიციები:

დიფერენცირების წესები:

მუდმივი გამოიყენება როგორც მარშის ნიშანი:

ფოხიდის ჯამი:

პოხიდნა ნამუშევარი:

ფოხიდნა პირადი:

მსგავსი დასაკეცი ფუნქციები:

მსგავსი და დასაკეცი ფუნქციის პოვნის ალგორითმი:

1. ეს ნიშნავს "შიდა" ფუნქციას და ჩვენ ეს სწრაფად ვიცით.
2. ეს ნიშნავს "გარე" ფუნქციას და ჩვენ ეს სწრაფად ვიცით.
3. ვამრავლებთ პირველი და მეორე ქულების შედეგებს.