Як дізнатися гострокутний трикутник. Гострокутний трикутник. Типи трикутників в залежності від параметрів кутів

Трикутником називають фігуру, що складається із трьох з'єднаних між собою точок. Залежно від кутів трикутник може бути:

• Прямокутнимякщо один з кутів дорівнює 90 градусів;
• Тупокутний, якщо з кутів тупої, тобто. більше ніж 90 градусів;
• Острокутнимякщо всі кути трикутника гострі.

Для розв'язання задач із гострокутними трикутниками часто доводиться використовувати теорему синусів або косінусів.

Ще в Стародавню Греціюматематики вивчали трикутники. Саме греки розробили основи сучасної геометрії, куди входить і безліч теорем про трикутники. Наприклад, автор теореми Піфагора родом із Стародавньої Греції.

Характеристики

У гострокутному трикутнику кожен кут менший за 90 градусів. Але сума кутів у трикутнику завжди дорівнює 180. У будь-якій фігурі вершини позначають великими латинськими літерами.

Одним із елементів трикутника, разом із сторонами та кутами, є зовнішній кут. Зовнішній кут це кут, суміжний із внутрішнім кутом трикутника.

У будь-якого трикутника 6 зовнішніх кутів, по 2 на кожний внутрішній. Будь-який зовнішній кут гострокутного трикутника завжди буде тупим.

Лінії гострокутного трикутника

Гострокутний трикутник має ряд властивостей.

Медіана дорівнюватиме половині довжини тієї сторони геометричної фігури, яку вона опущена. Причому можна провести цей відрізок із будь-якої вершини.

Мал. 1. Медіани в гострокутному трикутнику

Відомо, що якщо провести три висоти в гострокутному трикутнику, вони перетинатимуться в одній точці, яку називають ортоцентром. Ці відрізки опускають під прямим кутом до протилежних сторін. Висоти в гострокутному трикутнику поділяють цю фігуру на трикутники.

Мал. 2. Висоти у гострокутному трикутнику

Бісектриси в гострокутному трикутнику не тільки ділять кути навпіл. Ці відрізки перетинаються у точці, яка є центром вписаного кола.

Також бісектриса поділяє сторону гострокутного трикутника на дві частини, які пропорційні відповідним сторонам. Дане твердження слід запам'ятати, щоб вирішувати деякі завдання.

Мал. 3. Бісектриси в гострокутному трикутнику

Властивості

Якщо підсумувати числові значеннябудь-яких двох сторін гострокутного трикутника, то обов'язково отримаємо цифру, яка буде більшою за третій відрізок даної геометричної фігури.

Середня лінія в гострокутному трикутнику паралельна одній зі сторін цієї фігури і дорівнює половині її половини.

Що ми дізналися?

У гострокутному трикутнику кожен кут менший за 90 градусів. Загальна сума кутів тут також дорівнює 180 градусів. Не можна забувати про характерні лінії трикутника. Оскільки за допомогою їх легко обчислити сторони даної трикутної фігури або центр певного кола. А якщо в умовах задач з геометрії вказані кути, то можна скористатися тригонометричними функціями.

Тест на тему

Оцінка статті

Середня оцінка: 4.5. Усього отримано оцінок: 114.

При вивченні математики учні починаються знайомитися з різними видамигеометричних фігур. Сьогодні мова йтиме про різні види трикутників.

Визначення

Геометричні фігури, які складаються з трьох точок, що не знаходяться на одній прямій, називаються трикутниками.

Відрізки, що з'єднують точки, називаються сторонами, а точки – вершинами. Вершини позначаються великими латинськими літерами, наприклад A, B, C.

Сторони позначаються назвами двох точок, у тому числі вони складаються – AB, BC, AC. Перетинаючи, сторони утворюють кути. Нижня сторона вважається основою постаті.

Мал. 1. Трикутник ABC.

Види трикутників

Трикутники класифікують по кутах та сторонам. Кожен із видів трикутника має свої властивості.

Існує три види трикутників по кутах:

• гострокутні;
• прямокутні;
• тупокутні.

Усі кути гострокутноготрикутника гострі, тобто градусний захід кожного становить трохи більше 90 0 .

Прямокутнийтрикутник містить прямий кут. Два інші кути завжди будуть гострими, тому що інакше сума кутів трикутника перевищить 180 градусів, а це неможливо. Сторона, яка знаходиться навпроти прямого кута, називається гіпотенузою, а дві інші катетами. Гіпотенуза завжди більша за катет.

Тупокутнийтрикутник містить тупий кут. Тобто кут, завбільшки більше 90 градусів. Два інші кути в такому трикутнику будуть гострими.

Мал. 2. Види трикутників за кутами.

Піфагоровим трикутником називається прямокутник, сторони якого дорівнюють 3, 4, 5.

Причому велика сторона є гіпотенузою.

Такі трикутники часто використовуються для складання простих завданьу геометрії. Тому, запам'ятайте: якщо дві сторони трикутника дорівнюють 3, то третя обов'язково буде 5. Це спростить розрахунки.

Види трикутників на всі боки:

• рівносторонні;
• рівнобедрені;
• різнобічні.

РівностороннійТрикутник - це трикутник, у якого всі сторони рівні. Всі кути такого трикутника дорівнюють 600, тобто він завжди є гострокутним.

Рівностегновийтрикутник – трикутник, що має лише дві сторони рівні. Ці сторони називаються бічними, а третя – основою. Крім того, кути при основі рівнобедреного трикутникарівні та завжди є гострими.

Різностороннімабо довільним трикутником називається трикутник, у якого всі довжини та всі кути не рівні між собою.

Якщо задачі немає жодних уточнень з приводу фігури, прийнято вважати, що йдеться про довільному трикутнику.

Мал. 3. Види трикутників на всі боки.

Сума всіх кутів трикутника незалежно від його виду дорівнює 1800.

Навпроти більшого кута є велика сторона. А також довжина будь-якої сторони завжди менша від суми двох інших його сторін. Ці властивості підтверджуються теоремою про нерівність трикутника.

Існує поняття золотого трикутника. Це рівнобедрений трикутник, у якого дві бічні сторони пропорційні основі і дорівнюють певному числу. У такій фігурі кути пропорційні співвідношенню 2:2:1.

Завдання:

Чи існує трикутник, сторони якого дорівнюють 6 см., 3 см., 4 см.?

Рішення:

Для вирішення цього завдання потрібно використовувати нерівність a

Що ми дізналися?

З даного матеріалу з курсу математики 5 класу, ми довідалися, що трикутники класифікуються за сторонами та величиною кутів. Трикутники мають певні властивості, які можна використовувати під час вирішення завдань.

Сьогодні ми вирушаємо до країни Геометрія, де познайомимося із різними видами трикутників.

Розгляньте геометричні фігуриі знайдіть у тому числі «зайву» (рис. 1).

Мал. 1. Ілюстрація наприклад

Ми бачимо, що фігури № 1, 2, 3, 5 – чотирикутники. Кожна їх має свою назву (рис. 2).

Мал. 2. Чотирикутники

Значить, зайвою фігурою є трикутник (рис. 3).

Мал. 3. Ілюстрація наприклад

Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з'єднують ці точки.

Крапки називаються вершинами трикутника, відрізки - його сторонами. Сторони трикутника утворюють у вершинах трикутника три кути.

Основними ознаками трикутника є три сторони та три кути.За величиною кута трикутники бувають гострокутні, прямокутні та тупокутні.

Трикутник називається гострокутним, якщо всі три кути його гострі, тобто менше 90° (рис. 4).

Мал. 4. Гострокутний трикутник

Трикутник називається прямокутним, якщо один із його кутів дорівнює 90° (рис. 5).

Мал. 5. Прямокутний трикутник

Трикутник називається тупокутним, якщо один із його кутів тупий, тобто більше 90° (рис. 6).

Мал. 6. Тупокутний трикутник

За кількістю рівних сторін трикутники бувають рівносторонні, рівностегнові, різнобічні.

Рівностегновим називається трикутник, у якого дві сторони рівні (рис. 7).

Мал. 7. Рівностегновий трикутник

Ці сторони називаються бічними, третя сторона - основою. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Рівностегнові трикутники бувають гострокутними та тупокутними(Рис. 8) .

Мал. 8. Гострокутний та тупокутний рівнобедрені трикутники

Рівностороннім називається трикутник, у якого всі три сторони рівні (рис. 9).

Мал. 9. Рівносторонній трикутник

У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. Рівносторонні трикутникизавжди гострокутні.

Різностороннім називається трикутник, у якого всі три сторони мають різну довжину (рис. 10).

Мал. 10. Різносторонній трикутник

Виконайте завдання. Розподіліть дані трикутники на три групи (рис. 11).

Мал. 11. Ілюстрація до завдання

Спочатку розподілимо за величиною кутів.

Гострокутні трикутники: №1, №3.

Прямокутні трикутники: №2, №6.

Тупокутні трикутники: №4, №5.

Ці трикутники розподілимо на групи за кількістю рівних сторін.

Різносторонні трикутники: №4, №6.

Рівностегнові трикутники: №2, №3, №5.

Рівносторонній трикутник: №1.

Розгляньте малюнки.

Подумайте, з якого шматка дроту зробили кожен трикутник (рис. 12).

Мал. 12. Ілюстрація до завдання

Можна міркувати так.

Перший шматок дроту розділений три рівні частини, тому з нього можна зробити рівносторонній трикутник. На малюнку він зображений третім.

Другий шматок дроту розділений три різні частини, тому з нього можна зробити різнобічний трикутник. На малюнку він зображений першим.

Третій шматок дроту розділений три частини, де дві частини мають однакову довжину, отже, з нього можна зробити рівнобедрений трикутник. На малюнку він зображений другим.

Сьогодні на уроці ми познайомилися із різними видами трикутників.

Список літератури

1. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 1. – М.: «Освіта», 2012.
2. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 2. – М.: «Освіта», 2012.
3. М.І. Море. Уроки математики: Методичні рекомендаціїдля вчителя. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
4. Нормативно-правовий документ. Контроль та оцінка результатів навчання. – К.: «Освіта», 2011.
5. «Школа Росії»: Програми для початкової школи. – К.: «Освіта», 2011.
6. С.І. Волкова. Математика: Перевірочні роботи. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
7. В.М. Рудницька. Тести. – К.: «Іспит», 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Домашнє завдання

1. Закінчіть фрази.

а) Трикутником називається фігура, яка складається з …, що не лежать на одній прямій, та …, які попарно з'єднують ці точки.

б) Точки називаються … , відрізки - його … . Сторони трикутника утворюють у вершинах трикутника ….

в) За величиною кута трикутники бувають …, …, ….

г) За кількістю рівних сторін трикутники бувають …, …, ….

2. Накресліть

а) прямокутний трикутник;

б) гострокутний трикутник;

в) тупокутний трикутник;

г) рівносторонній трикутник;

д) різносторонній трикутник;

е) рівнобедрений трикутник.

3. Складіть завдання на тему уроку для своїх товаришів.

Трикутник . Гострокутний, тупокутний та прямокутний трикутник.

Катети та гіпотенуза. Рівностегновий та рівносторонній трикутник.

Сума кутів трикутника.

Зовнішній кут трикутника. Ознаки рівності трикутників.

Чудові лінії та точки у трикутнику: висоти, медіани,

бісектриси,серединні e перпендикуляри, ортоцентр,

центр тяжкості, центр кола, центр вписаного кола.

Теорема Піфагора. Співвідношення сторін у довільному трикутнику.

Трикутник – це багатокутник із трьома сторонами (або трьома кутами). Сторони трикутника часто позначаються малими літерами, які відповідають великим літерам, що позначають протилежні вершини.

Якщо всі три кути гострі (рис.20), то це гострокутний трикутник . Якщо один із кутів прямий(C, рис.21), то це прямокутний трикутник; сторониa, b, що утворюють прямий кут, називаються катетами; сторонаc, протилежна прямому куту, називається гіпотенузою. Якщо один ізкутів тупий (B, рис.22), то це тупокутний трикутник.


Трикутник ABC (рис.23) - рівнобедрений, якщо двійого сторони рівні (a= c); ці рівні сторони називаються бічними, третя сторона називається основоютрикутник. Трикутник ABC (рис.24) - рівносторонній, якщо Усейого сторони рівні (a = b = c). У загальному випадку ( a ≠ b ≠ c) маємо нерівностороннійтрикутник .

Основні властивості трикутників. У будь-якому трикутнику:

1. Проти більшої сторони лежить більший кут, і навпаки.

2. Проти рівних сторін лежать рівні кути, і навпаки.

Зокрема, всі кути в рівносторонньомутрикутнику рівні.

3. Сума кутів трикутника дорівнює 180 º .

З двох останніх властивостей випливає, що кожен кут у рівносторонньому

трикутнику дорівнює 60 º.

4. Продовжуючи одну із сторін трикутника (AC, рис.25), отримуємо зовнішній

кут BCD . Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх кутів,

не суміжних з ним : BCD = A + B.

5. Будь-яка сторона трикутника менша від суми двох інших сторін і більше

їх різниці (a < b + c, a > b – c;b < a + c, b > a – c;c < a + b,c > a – b).

Ознаки рівності трикутників.

Трикутники рівні, якщо вони відповідно рівні:

a ) дві сторони та кут між ними;

b ) два кути і прилегла до них сторона;

c) три сторони.

Ознаки рівності прямокутних трикутників.

Два прямокутнихтрикутника рівні, якщо виконується одна з наступних умов:

1) рівні їх катети;

2) катет та гіпотенуза одного трикутника рівні катету та гіпотенузі іншого;

3) гіпотенуза та гострий кут одного трикутника рівні гіпотенузі та гострому куту іншого;

4) катет і прилеглий гострий кут одного трикутника дорівнюють катету та прилеглому гострому куту іншого;

5) катет і протилежний гострий кут одного трикутника дорівнюють катету і протилежному гострому кутку іншого.

Чудові лінії та точки у трикутнику.

Висота трикутника - цеперпендикуляр,опущений з будь-якої вершини на протилежний бік ( або її продовження). Ця сторона називаєтьсяосновою трикутника . Три висоти трикутника завжди перетинаютьсяв одній точцізваної ортоцентромтрикутник. Ортоцентр гострокутного трикутника (точка O , рис.26) розташований усередині трикутника, аортоцентр тупокутного трикутника (точка O , Мал.27) – зовні; Ортоцентр прямокутного трикутника збігається з вершиною прямого кута.

Медіана – це відрізок , що з'єднує будь-яку вершину трикутника із серединою протилежної сторони. Три медіани трикутника (AD, BE, CF, рис.28) перетинаються в одній точці O завжди лежить всередині трикутникаі є його центром важкості. Ця точка ділить кожну медіану щодо 2:1, рахуючи від вершини.

Бісектриса – це відрізок бісектрисикута від вершини до точки перетину з протилежною стороною. Три бісектриси трикутника (AD, BE, CF, рис.29) перетинаються в одній точці О, що завжди лежить усередині трикутникаі що є центром вписаного кола(Див. розділ «Вписаніта описані багатокутники»).

Бісектриса ділить протилежний бік на частини, пропорційні прилеглим сторонам ; наприклад, на рис.29 AE: CE = AB: BC.

Середній перпендикуляр – це перпендикуляр, проведений із середньоїточки відрізка (сторони). Три серединні перпендикуляри трикутника АВС(KO, MO, NO, рис.30 ) перетинаються в одній точці О, що є центром описаного кола (точки K, M, N – середини сторін трикутника ABC).

У гострокутному трикутнику ця точка лежить усередині трикутника; у тупокутному – зовні; у прямокутному - у середині гіпотенузи. Ортоцентр, центр тяжкості, центр описаного та центр вписаного кола збігаються лише у рівносторонньому трикутнику.

Теорема Піфагора. У прямокутному трикутнику квадрат довжинигіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.

Доказ теореми Піфагора очевидно випливає з рис.31. Розглянемо прямокутний трикутник ABC з катетами a, bта гіпотенузою c.

Збудуємо квадрат AKMB , використовуючи гіпотенузу AB як бік. Потімпродовжимо сторони прямокутного трикутника ABC так, щоб отримати квадрат CDEF сторона якого дорівнюєa + b.Тепер ясно, що площа квадрата CDEF дорівнює ( a + b) 2 . З іншого боку, ця площа дорівнює суміплощ чотирьох прямокутних трикутниківі квадрата AKMB, тобто

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

звідси,

c 2 + 2 ab= (a + b) 2 ,

і остаточно маємо:

c 2 =a 2 + b 2 .

Співвідношення сторін у довільному трикутнику.

У загальному випадку (для довільного трикутника) маємо:

c 2 =a 2 + b 2 – 2ab· cos C,

де C – кут між сторонамиaі b .

Деякий трикутник, у якому всі сторони не однаковою довжини, прийнято називати різнобічними.

Трикутник з двома однаковими сторонами позначають як рівнобедрений. Однакові сторони прийнято називати бічними, третій бік - основою.У однаковій мірі буде вірним і таке визначення основи трикутника- це сторона рівнобедреного трикутника, яка не дорівнює двом іншим сторонам.

У рівнобедреному трикутникукути при підставі рівновеликі. Висота, медіана, бісектрисарівнобедреного трикутника, прокреслені для його основи, поєднуються.

Трикутник, з усіма однаковими сторонами, позначають як рівносторонніабо правильні. У рівносторонньому трикутнику всі кути по 60°, а центри вписаного та описаного кола поєднані.

Типи трикутників, залежно від параметрів кутів.

Трикутник , у якому лише кути менше 90 0 (гострі), називають гострокутним.

Трикутник, в якому представлений кут 90 0, іменують прямокутним. Сторони трикутника, що формують прямий кут, прийнято позначати катетами, а сторона розташована навпроти прямого кута - гіпотенузою.