Похідна косинуса 2х. Похідна косинуса: (cos x) '. Похідна статечної функції

Операція відшукання похідної називається диференціюванням.

В результаті вирішення завдань про відшукання похідних у найпростіших (і не дуже простих) функцій визначення похідної як межі відношення прирощення до прирощення аргументу з'явилися таблиця похідних і точно визначені правила диференціювання. Першими на ниві знаходження похідних попрацювали Ісаак Ньютон (1643-1727) та Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716).

Тому в наш час, щоб знайти похідну будь-якої функції, не треба обчислювати згадану вище межу відношення збільшення функції до збільшення аргументу, а потрібно лише скористатися таблицею похідних та правилами диференціювання. Для знаходження похідної підходить наступний алгоритм.

Щоб знайти похідну, треба вираз під знаком штриха розібрати на складові прості функціїта визначити, якими діями (твір, сума, приватна)пов'язані ці функції. Далі похідні елементарних функцій знаходимо у таблиці похідних, а формули похідних твору, суми та частки - у правилах диференціювання. Таблиця похідних та правила диференціювання дані після перших двох прикладів.

приклад 1.Знайти похідну функції

Рішення. З правил диференціювання з'ясовуємо, що похідна суми функцій є сума похідних функцій, тобто.

З таблиці похідних з'ясовуємо, що похідна "ікса" дорівнює одиниці, а похідна синуса - косінус. Підставляємо ці значення у суму похідних і знаходимо необхідну умовою завдання похідну:

приклад 2.Знайти похідну функції

Рішення. Диференціюємо як похідну суми, в якій другий доданок з постійним множником, його можна винести за знак похідної:

Якщо поки що виникають питання, звідки береться, вони, як правило, прояснюються після ознайомлення з таблицею похідних та найпростішими правилами диференціювання. До них ми і переходимо зараз.

Таблиця похідних простих функцій

1. Похідна константи (числа). Будь-якого числа (1, 2, 5, 200 ...), яке є у виразі функції. Завжди дорівнює нулю. Це дуже важливо пам'ятати, тому що потрібно дуже часто
2. Похідна незалежною змінною. Найчастіше "ікса". Завжди дорівнює одиниці. Це також важливо запам'ятати надовго
3. Похідна ступеня. У ступінь під час вирішення завдань необхідно перетворювати неквадратні коріння.
4. Похідна змінної у ступені -1
5. Похідна квадратного кореня
6. Похідна синуса
7. Похідна косинуса
8. Похідна тангенса
9. Похідна котангенсу
10. Похідна арксинуса
11. Похідна арккосинусу
12. Похідна арктангенса
13. Похідна арккотангенса
14. Похідна натурального логарифму
15. Похідна логарифмічна функція
16. Похідна експоненти
17. Похідна показової функції

Правила диференціювання

1. Похідна суми чи різниці
2. Похідна твори
2a. Похідна вирази, помноженого на постійний множник
3. Похідна приватного
4. Похідна складної функції

Правило 1.Якщо функції

диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовані і функції

причому

тобто. похідна суми алгебраїчної функцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій.

Слідство. Якщо дві функції, що диференціюються, відрізняються на постійний доданок, то їх похідні рівні, тобто.

Правило 2Якщо функції

диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовано та їх добуток

причому

тобто. похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій похідну інший.

Наслідок 1. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Наслідок 2. Похідна твори декількох функцій, що диференціюються, дорівнює сумі творів похідної кожного з співмножників на всі інші.

Наприклад, для трьох множників:

Правило 3Якщо функції

диференційовані в деякій точці і , то в цій точці диференційовано та їх приватнеu/v , причому

тобто. похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника.

Де що шукати на інших сторінках

При знаходженні похідної твори і частки у реальних завданнях завжди потрібно застосовувати відразу кілька правил диференціювання, тому більше прикладів на ці похідні - у статті"Виробничі твори та приватні функції".

Зауваження.Слід не плутати константу (тобто число) як доданок у сумі і як постійний множник! У разі доданку її похідна дорівнює нулю, а разі постійного множника вона виноситься за знак похідних. Це типова помилка, яка зустрічається на початковому етапі вивчення похідних, але в міру вирішення вже кількох одно-двоскладових прикладів середній студент цієї помилки вже не робить.

А якщо при диференціюванні твору чи приватного у вас з'явився доданок u"v, в котрому u- число, наприклад, 2 або 5, тобто константа, то похідна цього числа дорівнюватиме нулю і, отже, все доданок буде дорівнює нулю (такий випадок розібраний у прикладі 10).

Інша часта помилка- механічне рішення похідної складної функції як похідної простий функції. Тому похідної складної функціїприсвячено окрему статтю. Але спочатку вчитимемося знаходити похідні простих функцій.

По ходу не обійтися без перетворень виразів. Для цього може знадобитися відкрити у нових вікнах посібники Дії зі ступенями та коріннямі Дії з дробами .

Якщо Ви шукаєте рішення похідних дробів зі ступенями та корінням, тобто, коли функція має вигляд начебто , то слідуйте на заняття "Похідна суми дробів зі ступенями та корінням".

Якщо ж перед Вами завдання начебто , то Вам на заняття "Виробні простих тригонометричних функцій".

Покрокові приклади - як знайти похідну

приклад 3.Знайти похідну функції

Рішення. Визначаємо частини виразу функції: весь вираз представляє твір, яке співмножники - суми, у другий у тому числі одне з доданків містить постійний множник. Застосовуємо правило диференціювання твору: похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший:

Далі застосовуємо правило диференціювання суми: похідна суми алгебраїчної функцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій. У нашому випадку в кожній сумі другий доданок зі знаком мінус. У кожній сумі бачимо і незалежну змінну, похідна якої дорівнює одиниці, і константу (число), похідна якої дорівнює нулю. Отже, "ікс" у нас перетворюється на одиницю, а мінус 5 - на нуль. У другому виразі "ікс" помножено на 2, так що двійку множимо на ту ж одиницю як похідну "ікса". Отримуємо такі значення похідних:

Підставляємо знайдені похідні у суму творів і отримуємо необхідну умовою завдання похідну всієї функції:

А перевірити розв'язання задачі на похідну можна на .

приклад 4.Знайти похідну функції

Рішення. Від нас потрібно знайти похідну приватного. Застосовуємо формулу диференціювання частки: похідна частки двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника. Отримуємо:

Похідну співмножників у чисельнику ми вже знайшли в прикладі 2. Не забудемо також, що твір, що є другим співмножником у чисельнику в поточному прикладі береться зі знаком мінус:

Якщо Ви шукаєте вирішення таких завдань, в яких треба знайти похідну функції, де суцільне нагромадження коренів та ступенів, як, наприклад, , то ласкаво просимо на заняття "Виробна суми дробів зі ступенями і корінням" .

Якщо ж Вам потрібно дізнатися більше про похідні синуси, косінуси, тангенси та інші тригонометричних функцій, тобто, коли функція має вигляд начебто , то Вам на урок "Виробні простих тригонометричних функцій" .

Приклад 5.Знайти похідну функції

Рішення. У цій функції бачимо твір, один із співмножників яких - квадратний корінь із незалежної змінної, з похідною якого ми ознайомились у таблиці похідних. За правилом диференціювання твору та табличного значення похідної квадратного кореня отримуємо:

Перевірити рішення задачі на похідну можна на калькуляторі похідних онлайн .

Приклад 6.Знайти похідну функції

Рішення. У цій функції бачимо приватне, ділене якого - квадратний корінь із незалежної змінної. За правилом диференціювання приватного, яке ми повторили і застосували в прикладі 4, та табличного значення похідної квадратного кореня отримуємо:

Щоб позбутися дробу в чисельнику, множимо чисельник і знаменник на .

При виведенні першої формули таблиці виходити з визначення похідної функції у точці. Візьмемо, де x- будь-яке дійсне число, тобто, x- Будь-яке число з області визначення функції. Запишемо межу відношення збільшення функції до збільшення аргументу при:

Слід зазначити, що під знаком межі виходить вираз, який не є невизначеністю нуль ділити на нуль, тому що в чисельнику знаходиться не нескінченно мала величина, а саме нуль. Іншими словами, збільшення постійної функції завжди дорівнює нулю.

Таким чином, похідна постійної функціїдорівнює нулю по всій області визначення.

Похідна статечної функції.

Формула похідної статечної функціїмає вигляд де показник ступеня p- Будь-яке дійсне число.

Доведемо спочатку формулу для натурального показника ступеня, тобто для p = 1, 2, 3, …

Будемо користуватися визначенням похідної. Запишемо межу відношення збільшення статечної функції до збільшення аргументу:

Для спрощення виразу в чисельнику звернемося до формули бінома Ньютона:

Отже,

Цим доведено формулу похідної статечної функції для натурального показника.

Похідна показової функції.

Висновок формули похідної наведемо на основі визначення:

Прийшли до невизначеності. Для її розкриття введемо нову змінну, причому при. Тоді. В останньому переході ми використали формулу переходу до нової основи логарифму.

Виконаємо підстановку у вихідну межу:

Якщо згадати другу чудову межу, то прийдемо до формули похідної показової функції:

Похідна логарифмічна функція.

Доведемо формулу похідної логарифмічної функції всім xв галузі визначення та всіх допустимих значеннях підстави aлогарифму. За визначенням похідної маємо:

Як Ви помітили, за доказом перетворення проводилися з використанням властивостей логарифму. Рівність справедливо з другого чудової межі.

Похідні тригонометричних функцій.

Для виведення формул похідних тригонометричних функцій нам доведеться згадати деякі формули тригонометрії, а також перша чудова межа.

За визначенням похідної для функції синуса маємо .

Скористаємося формулою різниці синусів:

Залишилося звернутися до першої чудової межі:

Таким чином, похідна функції sin xє cos x.

Абсолютно аналогічно доводиться формула похідної косинуса.

Отже, похідна функції cos xє -sin x.

Виведення формул таблиці похідних для тангенсу та котангенсу проведемо з використанням доведених правил диференціювання (похідна дробу).

Похідні гіперболічні функції.

Правила диференціювання та формула похідної показової функції з таблиці похідних дозволяють вивести формули похідних гіперболічного синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.

Похідна зворотної функції.

Щоб при викладі не було плутанини, давайте позначати в нижньому індексі аргумент функції, за яким виконується диференціювання, тобто це похідна функції f(x)по x.

Тепер сформулюємо правило знаходження похідної зворотної функції.

Нехай функції y = f(x)і x = g(y)взаємно зворотні, визначені на інтервалах та відповідно. Якщо у точці існує кінцева відмінна від нуля похідна функції f(x), то в точці існує кінцева похідна зворотної функції g(y), причому . В іншому записі .

Можна це правило переформулювати для будь-кого xз проміжку, тоді отримаємо .

Перевіримо справедливість цих формул.

Знайдемо зворотну функцію для натурального логарифму (тут y- функція, а x- Аргумент). Дозволивши це рівняння щодо x, отримаємо (тут x- функція, а y- Її аргумент). Тобто, та взаємно зворотні функції.

З таблиці похідних бачимо, що і .

Переконаємося, що формули знаходження похідних зворотної функції призводять нас до цих результатів:

Як бачите, отримали такі ж результати, як і в таблиці похідних.

Тепер ми маємо знання для доказу формул похідних зворотних тригонометричних функцій.

Почнемо з похідної арксинусу.

. Тоді за формулою похідної зворотної функції отримуємо

Залишилось провести перетворення.

Оскільки областю значень арксинусу є інтервал , то (Дивіться розділ основні елементарні функції, їх властивості та графіки). Тому, а не розглядаємо.

Отже, . Областю визначення похідної арксинусу є проміжок (-1; 1) .

Для арккосинусу все робиться абсолютно аналогічно:

Знайдемо похідну арктангенсу.

Для зворотної функцією є .

Виразимо арктангенс через арккосинус, щоб спростити отриманий вираз.

Нехай arctgx = zтоді

Отже,

Так само знаходиться похідна арккотангенса:

Подано доказ та виведення формули для похідної косинуса - cos(x). Приклади обчислення похідних від cos 2x, cos 3x, cos nx, косинуса в квадраті, кубі і в ступені n. Формула похідної косинуса n-го порядку.

Зміст

Див. також: Синус та косинус - властивості, графіки, формули

Похідна змінною x від косинуса x дорівнює мінус синусу x:
(cos x)′ = - sin x.

Доведення

Щоб вивести формулу похідної косинуса, скористаємося визначенням похідної:
.

Перетворимо цей вислів, щоб звести його до відомих математичних законів та правил. Для цього нам потрібно знати чотири властивості.
1) Тригонометричні формули. Нам знадобиться така формула:
(1) ;
2) Властивість безперервності функції синус:
(2) ;
3) Значення першої чудової межі:
(3) ;
4) Властивість межі від виконання двох функцій:
Якщо і , то
(4) .

Застосовуємо ці закони до нашої межі. Спочатку перетворимо алгебраїчне вираз
.
Для цього застосуємо формулу
(1) ;
У нашому випадку
; . Тоді
;
;
;
.

Зробимо підстановку. При , . Використовуємо властивість безперервності (2):
.

Зробимо таку ж підстановку і застосуємо першу чудову межу (3):
.

Оскільки межі, обчислені вище, існують, то застосовуємо властивість (4):

.

Тим самим було отримано формулу похідної косинуса.

Приклади

Розглянемо прості прикладизнаходження похідних від функцій, що містять косинус. Знайдемо похідні від таких функцій:
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2 x; y = cos 3 xта y = cos n x.

Приклад 1

Знайти похідні від cos 2x, cos 3xі cos nx.

Вихідні функції мають схожий вигляд. Тому ми знайдемо похідну від функції y = cos nx. Потім, у похідну від cos nx, підставимо n = 2 та n = 3 . І, тим самим, отримаємо формули для похідних від cos 2xі cos 3x .

Отже, знаходимо похідну від функції
y = cos nx .
Уявімо цю функцію від змінної x як складну функцію, що складається з двох функцій:
1)
2)
Тоді вихідна функція є складною (складовою) функцією, складеною з функцій та :
.

Знайдемо похідну від функції змінної x:
.
Знайдемо похідну від функції змінної :
.
Застосовуємо.
.
Підставимо:
(П1) .

Тепер, у формулу (П1) підставимо і:
;
.

;
;
.

Приклад 2

Знайти похідні від косинуса у квадраті, косинуса у кубі та косинуса у ступеню n:
y = cos 2 x; y = cos 3 x; y = cos n x.

У цьому прикладі функції мають схожий вигляд. Тому ми знайдемо похідну від самої загальної функції- косинуса у ступені n:
y = cos n x.
Потім підставимо n = 2 та n = 3 . І, тим самим, отримаємо формули для похідних від косинуса у квадраті та косинуса у кубі.

Отже, нам потрібно знайти похідну від функції
.
Перепишемо її у більш зрозумілому вигляді:
.
Уявімо цю функцію як складну функцію, що складається з двох функцій:
1) Функції, яка залежить від змінної: ;
2) Функції, яка залежить від змінної: .
Тоді вихідна функція є складною функцією, складеною з двох функцій і :
.

Знаходимо похідну від функції змінної x:
.
Знаходимо похідну від функції змінної :
.
Застосовуємо правило диференціювання складної функції.
.
Підставимо:
(П2) .

Тепер підставимо і:
;
.

;
;
.

Похідні вищих порядків

Зауважимо, що похідну від cos xпершого порядку можна виразити через косинус наступним чином:
.

Знайдемо похідну другого порядку, використовуючи формулу похідної складної функції:

.
Тут.

Зауважимо, що диференціювання cos xпризводить до збільшення його аргументу на . Тоді похідна n-го порядку має вигляд:
(5) .

Суворіше цю формулу можна довести з допомогою методу математичної індукції. Доказ для n-ї похідної синусу викладено на сторінці “Похідна синуса”. Для n-ї похідної косинуса доказ такий. Потрібно лише у всіх формулах замінити sin на cos.

Див. також:

Обчислення похідної часто зустрічається в завданнях ЄДІ. Ця сторінка містить список формул для знаходження похідних.

Правила диференціювання

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x).
4. Похідна складної функції. Якщо y=F(u), а u=u(x), то функція y=f(x)=F(u(x)) називається складною функцією від x. Рівна y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Похідна неявна функція. Функція y=f(x) називається неявною функцією, заданою співвідношенням F(x,y)=0, якщо F(x,f(x))≡0.
6. Похідна зворотної функції. Якщо g(f(x))=x, то функція g(x) називається зворотною функцією функції y=f(x).
7. Похідна параметрично заданої функції. Нехай x і y задані як функції змінної t: x=x(t), y=y(t). Говорять, що y=y(x) параметрично задана функція на проміжку x∈(a;b), якщо на цьому проміжку рівняння x=x(t) можна виразити у вигляді t=t(x) та визначити функцію y=y( t(x))=y(x).
8. Похідна статечно-показової функції. Знаходиться шляхом логарифмування на основі натурального логарифму.

Радимо зберегти посилання, оскільки ця таблиця може знадобитися ще багато разів.

Подано доказ і виведення формули для похідної синуса - sin(x). Приклади обчислення похідних від sin 2x, синуса у квадраті та кубі. Висновок формули для похідної синусу n-го порядку.

Зміст

Див. також: Синус та косинус - властивості, графіки, формули

Похідна за змінною x від синуса x дорівнює косинусу x:
(sin x)′ = cos x.

Доведення

Для виведення формули похідної синуса ми скористаємося визначенням похідної:
.

Щоб знайти цю межу, нам потрібно перетворити вираз таким чином, щоб звести його до відомих законів, властивостей та правил. Для цього нам потрібно знати чотири властивості.
1) Значення першої чудової межі:
(1) ;
2) Безперервність функції косинус:
(2) ;
3) Тригонометричні формули. Нам знадобиться така формула:
(3) ;
4) Арифметичні властивості межі функції:
Якщо і , то
(4) .

Застосовуємо ці правила до нашої межі. Спочатку перетворимо алгебраїчне вираз
.
Для цього застосуємо формулу
(3) .
У нашому випадку
; . Тоді
;
;
;
.

Тепер зробимо підстановку. При , . Застосуємо першу чудову межу (1):
.

Зробимо таку ж підстановку та використовуємо властивість безперервності (2):
.

Оскільки межі, обчислені вище, існують, то застосовуємо властивість (4):

.

Формула похідної синусу доведена.

Приклади

Розглянемо прості приклади знаходження похідних від функцій, які містять синус. Ми знайдемо похідні від наступних функцій:
y = sin 2x; y = sin 2 xта y = sin 3 x.

Приклад 1

Знайти похідну від sin 2x.

Спочатку знайдемо похідну від найпростішої частини:
(2x) '= 2(x)' = 2 · 1 = 2.
Застосовуємо.
.
Тут.

(sin 2x) = 2 cos 2x.

Приклад 2

Знайти похідну від синуса в квадраті:
y = sin 2 x.

Перепишемо вихідну функцію у більш зрозумілому вигляді:
.
Знайдемо похідну від найпростішої частини:
.
Застосовуємо формулу похідної складної функції.

.
Тут.

Можна застосувати одну із формул тригонометрії. Тоді
.

Приклад 3

Знайти похідну від синуса в кубі:
y = sin 3 x.

Похідні вищих порядків

Зауважимо, що похідну від sin xпершого порядку можна виразити через синус наступним чином:
.

Знайдемо похідну другого порядку, використовуючи формулу похідної складної функції:

.
Тут.

Тепер ми можемо помітити, що диференціювання sin xпризводить до збільшення його аргументу на . Тоді похідна n-го порядку має вигляд:
(5) .

Доведемо це, застосовуючи метод математичної індукції.

Ми вже перевірили, що при формула (5) справедлива.

Припустимо, що формула (5) справедлива за деякого значення . Доведемо, що з цього випливає, що формула (5) виконується для .

Випишемо формулу (5) при:
.
Диференціюємо це рівняння, застосовуючи правило диференціювання складної функції:

.
Тут.
Отже, ми знайшли:
.
Якщо підставити , то ця формула набуде вигляду (5).

Формулу доведено.

Див. також: