Tumayo sa harap ng mga coordinate sa eroplano (pinakamaikling). Bumangon mula sa punto patungo sa eroplano - minarkahan at inilapat na lokasyon Bumangon mula sa mga coordinate patungo sa eroplano

Sa artikulong ito, tinukoy namin ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano at susuriin namin ang paraan ng coordinate, na nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang distansya mula sa isang naibigay na punto sa isang naibigay na eroplano sa maliit na espasyo. Pagkatapos ipakita ang teorya, susuriin natin sa madaling sabi ang mga solusyon sa ilang mga katangiang aplikasyon at gawain.

Pag-navigate sa pahina.

Tumayo mula sa punto hanggang sa eroplano - ang kahulugan.

Ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano ay tinutukoy sa pamamagitan ng, ang isa ay isang ibinigay na punto, at ang isa pa ay ang projection ng isang ibinigay na punto papunta sa isang partikular na eroplano.

Hayaang ibigay ang isang punto M 1 at isang eroplano sa maliit na espasyo. Gumuhit tayo ng tuwid na linya a hanggang sa puntong M 1, patayo sa eroplano. Kapansin-pansin, ang punto ng crossbar ng tuwid na linya a at ang eroplanong yak H 1. Ang seksyon M 1 H 1 ay tinatawag na patayo, Ibinababa namin ang punto M 1 papunta sa eroplano, at ang punto H 1 - patayo na paninindigan.

Viznachennya.

- mula sa ibinigay na punto hanggang sa base ng patayo na iginuhit mula sa ibinigay na punto hanggang sa ibinigay na eroplano.

Kadalasan, ang itinalagang distansya mula sa punto hanggang sa eroplano sa papalapit na view ay nagiging mas matalas.

Viznachennya.

Bumangon mula sa punto patungo sa eroplano- ang halaga ng kalahati ng patayo ay bumaba mula sa isang naibigay na punto patungo sa isang partikular na eroplano.

Ang bakas ay upang ipahiwatig na ikaw ay tataas mula sa puntong M 1 hanggang sa eroplano sa paraang ito ang pinakamaliit sa mga distansya mula sa ibinigay na puntong M 1 hanggang sa anumang punto ng eroplano. Malinaw, hayaan ang point H 2 na nasa eroplano at prominence ng point H 1. Malinaw, ang tricutaneous M 2 H 1 H 2 ay rectangular, kung saan ang M 1 H 1 ay ang binti, at ang M 1 H 2 ay ang hypotenuse, samakatuwid , . Bago ang talumpati, tinatawag ang seksyon M 1 H 2 may sakit, Isinasagawa mula sa punto M 1 hanggang sa eroplano. Pagkatapos, ang patayo, na bumababa mula sa isang partikular na punto patungo sa isang partikular na eroplano, ay mas mababa kaysa sa patayo, na iginuhit mula sa isang ibinigay na punto patungo sa isang partikular na eroplano.

Tumaas mula sa punto patungo sa eroplano - teorya, aplikasyon, solusyon.

Ang ilang mga geometric na problema sa anumang yugto ng solusyon ay nangangailangan ng paghahanap ng linya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano. Ang paraan kung saan pinili depende sa output data. Siguraduhing ilabas ang mga resulta ng teorya at Pythagorean theorem, na isang tanda ng katapatan at pagkakatulad sa Tricutaneous. Kung kailangan mong malaman ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano na ibinibigay sa maliit na espasyo, ang paraan ng coordinate ay darating upang iligtas. Tingnan natin kung saang punto ng artikulo.

Bumuo muna tayo ng problema sa pag-iisip.

Ang rectilinear coordinate system na Oxyz sa maliit na espasyo ay binibigyan ng isang punto , Ang lugar at ito ay kinakailangan upang malaman ang distansya mula sa punto M 1 sa lugar.

Tingnan natin ang dalawang paraan upang maisakatuparan ang layuning ito. Ang unang paraan, na nagbibigay-daan sa iyo upang kalkulahin ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano, ay batay sa nahanap na mga coordinate ng punto H 1 - ang patayo, ibinaba mula sa punto M 1 hanggang sa eroplano, at higit pang kinakalkula ang distansya sa pagitan ng mga punto M 1 at H 1. Isa pang paraan Upang mahanap ang istasyon malapit sa isang naibigay na punto hanggang sa ibinigay na lugar, ito ay nakasalalay sa vicor ng normal na antas ng ibinigay na lugar.

Ang unang paraan, na nagbibigay-daan sa iyo upang kalkulahin ang distansya mula sa punto sa flat.

Hayaan ang H 1 na maging base ng patayo na iginuhit mula sa punto M 1 hanggang sa eroplano. Dahil ang mga coordinate ng punto H 1 ay makabuluhan, kung gayon ang distansya mula sa punto M 1 hanggang sa eroplano ay maaaring kalkulahin bilang distansya sa pagitan ng mga punto і sa likod ng formula. Sa ganitong paraan, nagiging imposibleng malaman ang mga coordinate ng point H 1.

Otje, algorithm para sa paghahanap ng distansya mula sa isang punto sa flat nakakasakit:

Isa pang paraan na angkop para sa paghahanap ng distansya mula sa punto sa flat.

Dahil sa rectilinear coordinate system Oxyz binibigyan tayo ng isang eroplano, matutukoy natin ang normal na eroplano ng view. Pagkatapos ay tumayo sa harap ng punto sa lugar ay kinakalkula gamit ang formula. Ang bisa ng pormula na ito para sa paghahanap ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano ay itinatag ng theorem.

Teorama.

Nawa'y maayos ang hugis-parihaba na coordinate system na Oxyz sa maliit na espasyo, isang punto ang ibinigay at isang normal na antas ng flatness sa hitsura. Tumayo mula sa punto M 1 hanggang sa eroplano na katumbas ng ganap na halaga ng halaga ng viraza, na nakatayo sa kaliwang bahagi ng normal na eroplano ng eroplano, na kinakalkula sa, pagkatapos.

Tapos na.

Ang patunay ng theorem na ito ay ganap na katulad ng patunay ng isang katulad na theorem sa seksyon mula sa punto hanggang sa linya.

Mahirap ipakita na ang distansya mula sa puntong M 1 hanggang sa eroplano ay katumbas ng pagkakaiba ng module ng numerical projection M 1 at ang halaga ng distansya mula sa coordinate base hanggang sa eroplano, kaya , de - normal na vector ng lugar, mga sinaunang yunit, - direkta, dahil ito ay kinakatawan ng isang vector.

і may isang bagay sa likod ng kahulugan, ngunit sa coordinate form. Well, ano ang kailangan mong dalhin sa mesa?

Sa ganoong paraan tumayo sa harap ng punto sa eroplano ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng pagpapalit ng x, y at z coordinate ng punto M 1 sa kaliwang bahagi ng normal na eroplano ng eroplano at pagkuha ng ganap na halaga ng nakuhang halaga.

Ang puwit ay matatagpuan sa punto sa flat.

Puwit.

Alamin kung saan tatayo mula sa punto sa flat.

Desisyon.

Unang paraan.

Sa mental na gawain ay binibigyan tayo ng isang nakatagong antas ng ibabaw na lugar, ito ay malinaw na - normal na vector ng eroplanong ito. Ang vector na ito ay maaaring kunin bilang vector ng direksyon ng tuwid na linya a, patayo sa isang naibigay na eroplano. Pagkatapos ay maaari nating isulat ang mga canonical na linya ng mga tuwid na linya sa espasyo, na parang dumadaan sa isang punto At mayroong isang vector ng direksyon na may mga coordinate, tulad ng nakikita mo.

Nagpapatuloy kami upang mahanap ang mga coordinate ng punto ng crossbar ng tuwid na linya at lugar. Makabuluhang її H 1. Kung saan tinukoy namin ang paglipat mula sa mga canonical na tuwid na linya patungo sa mga antas ng dalawang intersecting na eroplano:

Ngayon ay mayroon na tayong sistema ng mga ranggo (Kung kinakailangan, pumunta sa mga istatistika). vikoristamo:

Sa ganitong paraan...

Hindi na makalkula ang kinakailangang distansya mula sa isang naibigay na punto hanggang sa isang naibigay na eroplano sa pagitan ng mga punto і:
.

Ang isa pang paraan ay banal.

Panatilihin natin ang normal na antas ng ibinigay na lugar. Para sa mga ito kailangan naming dalhin ang patag na ibabaw sa isang normal na hitsura. Ang pagkakaroon ng halaga sa normalizing multiplier , Ang normal na antas ng eroplano ay inalis . Naging imposibleng kalkulahin ang halaga ng kaliwang bahagi ng inalis na linya kung kailan і kunin ang module ng napiling halaga - pagkatapos ay hayaang tumayo ang shukana sa harap ng punto sa pagiging patag:

Kaya naman nabasa ko ito sa page na ito (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)

D=-D3DXVec3Dot(&vP1,&vNormal);

kung saan ang vP1 ay ang punto sa eroplano, at ang vNormal ay ang normal sa eroplano. Ito ay hindi gaanong mahalaga, dahil nagbibigay ito sa iyo ng isang maagang pagsisimula, kaya ang resulta ay palaging magiging katumbas ng 0. Bilang karagdagan, upang maging makatwiran (mayroon pa ring ilang mga ulap sa bahagi D ng patag na antas), at kahit na d sa patag antas Ako ay lalabas mula sa linya sa pamamagitan ng cob ng liwanag sa cob ng flatness?

matematika

3 Uri

6

Sa halal na anyo, ang distansya sa pagitan ng punto p at ng eroplano ay maaaring kalkulahin gamit ang formula

de -operasyon ng isang puntong produkto

= Ax * bx + ay * ni + az * bz

і kung saan ang p0 ay isang punto sa eroplano.

Dahil ang n ay may isang solong pagdodoble, kung gayon ang linya ng punto sa pagitan ng vector at ito ang (nalagdaan) na pagdodoble ng projection ng vector sa Normal

Ang pormula, tulad ng alam mo, ay ni-round off lamang ng isang drop, dahil ang point p ay isang coordinating root. Sa bagay na ito

Distansya = = -

Ang integridad ay pormal na hindi tama, dahil ang isang point solid ay isang vector, at hindi isang punto ... ngunit triangulate pa rin ayon sa numero. Ang pagkakaroon ng nakasulat na isang tahasang formula, aalisin mo ito

(0 - p0.x) * n.x + (0 - p0.y) * n.y + (0 - p0.z) * n.z

Pareho lang

- (p0.x * n.x + p0.y * n.y + p0.z * n.z)

2

Ang resulta ay palaging katumbas ng zero. Ang resulta ay magiging katumbas ng zero lamang sa kaso kung saan ang eroplano ay dumaan sa coordinate root. (Narito, ipagpalagay natin na hindi natin kailangang dumaan sa mga coordinate.)

Karaniwan, binibigyan ka ng isang linya mula sa simula ng mga coordinate hanggang sa anumang punto sa eroplano. (Ibig sabihin, mayroon kang vector ng mga coordinate hanggang vP1). Ang problema sa vector na ito ay, higit sa lahat, ang mga akumulasyon ay nakadirekta sa ilang malayong lugar sa eroplano, at hindi sa pinakamalapit na punto sa eroplano. Sa ganitong paraan, kung kinuha mo lang ang vP1 dowzhin, kukuha ka ng malaking halaga nang maaga.

Ang kailangan mong gawin ay iguhit ang projection ng vP1 sa isang tunay na vector, na, tulad ng alam mo, ay patayo sa eroplano. Ito ay, una, vNormal. Ngayon, kunin ang point test vP1 at vNormal at hatiin ito sa vNormal, at makukuha mo ang sagot. (Kung maganda na bigyan ka ng vNormal, na pareho na ang laki, hindi na kailangang paghiwalayin ito.)

1

Maaari mong lutasin ang problemang ito gamit ang mga multiplier ng Lagrange:

Alam mo na ang pinakamalapit na punto sa kapatagan ay dapat sisihin sa pananaw ng ina:

C = p + v

Kung saan ang c ay ang pinakamalapit na punto, at ang v ay ang vector ng lugar (bilang, samakatuwid, orthogonal sa normal sa n). Gusto mong malaman gamit ang pinakamaliit na pamantayan (o ang pamantayan ay naka-squad). Sa ganitong paraan, nagagawa mong bawasan ang tuldok (c, c) sa pamamagitan ng pag-iisip na ang v ay orthogonal sa n (sa ganitong paraan, tuldok (v, n) = 0).

Sa ganitong paraan, i-set up ang Lagrangian:

L = tuldok (c, c) + lambda * (tuldok (v, n)) L = tuldok (p + v, p + v) + lambda * (tuldok (v, n)) L = tuldok (p, p) + 2 * tuldok (p, v) + tuldok (v, v) * lambda * (tuldok (v, n))

Kinukuha ko ang ratio sa v (itinakda ko ito sa 0) upang kanselahin:

2 * p + 2 * v + lambda * n = 0

Maaari kang pumili para sa lambda sa rhubarb sa pamamagitan ng paglalagay ng checkmark, pag-vibrate ng mga nakakasakit na panig sa n, upang alisin

2 * tuldok (p, n) + 2 * tuldok (v, n) + lambda * tuldok (n, n) = 0 2 * tuldok (p, n) + lambda = 0 lambda = - 2 * tuldok (p, n )

Muli, tuldok (n, n) = 1 at tuldok (v, n) = 0 (dahil ang v ay nasa eroplano, at ang n ay orthogonal dito). Pagkatapos ay i-rotate ang Substitute lambda upang alisin:

2 * p + 2 * v - 2 * tuldok (p, n) * n = 0

pumasok ako para maalis ni v:

V = tuldok (p, n) * n - p

Pagkatapos ay ikonekta ito pabalik sa c = p + v upang makakuha ng:

C = tuldok (p, n) * n

Si Dovzhina ng vector na ito ay mas matanda | tuldok(p,n) | , I sign ay nagsasabi sa iyo kung mayroong isang punto sa tuwid na linya ng normal na vector sa harap ng coordinate root o sa reversal straight line sa harap ng coordinate root.

Ang pinakamaikling distansya mula sa eroplano hanggang sa pinanggalingan ng mga coordinate mula sa paligid ng antas ng eroplano

Sabihin nating mayroon akong plane plane ax + by + cz = d, paano ko mahahanap ang pinakamaikling distansya mula sa eroplano hanggang sa mga coordinate? Dumiretso ako sa gateway sa harap nitong planting. Kaninong post ang mabaho...

Dapat ba akong gumawa ng depth na imahe gamit ang Kinect, umakyat sa mga coordinate o umakyat sa XY plane?

Sabihin nating ang Kinect ay nakaupo sa (0,0,0) at diretsong tumingin + Z. Sabihin nating ang pangunahing bagay ay nasa punto (1, 1, 1) at ang isa sa mga pixel sa lalim ng imahe mula sa Kinect ay kumakatawan sa bagay na iyon. ...

Umakyat sa mga coordinate sa isang punto sa espasyo

Gusto kong ihanay ang mga coordinate sa lahat ng mga punto, kung saan ang mga punto ay tinukoy ng isang data frame na may dalawang coordinate. Nasa akin ang lahat ng puntos, tulad ng sumusunod: x y 1 0.0 0.0 2 -4.0 -2.8 3 -7.0 -6.5 4 -9.0 -11.1 ...

spherical coordinates - pahabain sa eroplano

Dovidkova Impormasyon Tingnan natin ang spherical coordinate system, katulad ng ipinapakita dito: Coordinate System http://www.shokhirev.com/nikolai/projects/global/image013.gif Para sa isang partikular na punto mi ...

Paano paraan upang piliin ang pinakamalapit na clip area para sa perspective projection?

Mayroon akong 3D na eksena at isang camera na nakatalaga sa gluPerspective. Wala akong naayos na FOV, at alam ko minimum na pagtaas maging anumang geometry sa camera (ito ay ang parehong uri ng unang indibidwal, kaya...

Paano alisin ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano sa 3d?

Mayroon akong isang tatsulok na may mga puntos na A, B, C at isang punto sa espasyo (P). Paano ko maaalis ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano? Kinakailangang kalkulahin ang distansya mula P sa eroplano, alinmang paraan ...

Ang pagbalot ng CG point ay nagbabago sa posisyon ng coordinate na pinagmulan

Nais kong i-rotate ang isang CGPoint (pulang rectcut) sa isa pang CGPoint (asul na rectcut), at pagkatapos ay baguhin ang view sa mga coordinate (asul na rectcut)... kung magbibigay ako ng 270 sa vugilla, lumilikha ito...

Hanapin ang gitna ng eroplanong X, Y, Z, mga coordinate ng Cartesian

Kailangan mong piliin ang gitna ng eroplanong X, Y, Z, mga coordinate ng Cartesian. Mayroon akong isang normal na eroplano at isang distansya mula sa gitnang punto hanggang sa base ng coordinate. Maaari kong ilagay ang (mga) punto sa anumang lugar...

tumayo mula sa punto hanggang sa eroplano sa isang tuwid na linya

Given: point (x1, y1, z1) direct vector (a1, b1, c1) so ax + by + cz + d = 0 Paano ko malalaman ang distansya D mula sa punto hanggang sa eroplano ng vector? Salamat

Pagbabago ng eroplano sa ibang coordinate system

Mayroon akong ibang camera coordinate system, ibang matrix wrapping R at isang translation T na katulad ng light coordinate system. Ang lugar ay sinusukat sa camera coordinate na may normal na N at point P dito....

Ang artikulong ito ay nagsasalita tungkol sa kinakalkula na distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano. Posibleng pag-aralan gamit ang paraan ng coordinate, na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang lokasyon ng isang naibigay na punto sa maliit na espasyo. Para ma-secure ito, tingnan natin ang butt ng decal.

Ang distansya mula sa punto hanggang sa eroplano ay matatagpuan sa likod ng kaukulang distansya mula sa punto hanggang sa punto, kung saan ang isa sa mga ito ay ibinigay, at ang isa ay isang projection papunta sa ibinigay na eroplano.

Kung sa espasyo ang isang punto M 1 na may isang eroplano χ ay tinukoy, pagkatapos ay sa pamamagitan ng punto maaari kang gumuhit ng isang tuwid na linya na patayo sa eroplano. Ang H 1 ay ang sulok na punto ng crossbar. Malinaw na ang seksyon M 1 H 1 ay isang patayo, na iginuhit mula sa punto M 1 hanggang sa lugar χ, at ang punto H 1 ay ang base ng patayo.

halaga 1

Tawagan ang distansya mula sa isang naibigay na punto hanggang sa base ng patayo, na iginuhit mula sa isang naibigay na punto patungo sa isang partikular na eroplano.

Ang papuri ay maaaring isulat sa iba't ibang mga formula.

Vicenza 2

Babangon ako mula sa isang punto patungo sa isang eroplano ay tinatawag na haba ng patayo na iginuhit mula sa isang partikular na punto patungo sa isang partikular na eroplano.

Ang distansya mula sa puntong M 1 hanggang sa eroplano χ ay kinakalkula tulad ng sumusunod: ang distansya mula sa puntong M 1 hanggang sa eroplano χ ay ang pinakamaliit mula sa ibinigay na punto hanggang sa anumang punto ng eroplano. Dahil ang punto H 2 ay lumalawak sa eroplano χ at hindi nauugnay sa punto H 2, kung gayon ang isang hugis-parihaba na tricubitule ng anyong M 2 H 1 H 2 ay nabuo , Alin ang straight-cut, na ang binti M 2 H 1, M 2 H 2 - hypotenuse. Nangangahulugan ito na ang M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 Mahalagang magpatuloy mula sa punto M 1 hanggang sa lugar χ. Posible na ang patayong pagguhit mula sa isang partikular na punto patungo sa isang eroplano ay mas mahirap kaysa sa pagguhit mula sa isang punto patungo sa isang partikular na eroplano. Tingnan natin ang maliit, na naglalayong mas mababa.

Tumaas mula sa isang punto patungo sa isang eroplano - teorya, aplikasyon, mga solusyon

Mayroong isang bilang ng mga geometric na problema, ang solusyon nito ay nangangailangan ng paglipat mula sa isang punto patungo sa isang eroplano. Ang mga paraan ng paglalahad nito ay maaaring magkakaiba. Upang itaas ang lahat ng ito, kailangan nating ipaliwanag ang Pythagorean theorem at ang pagkakatulad ng tricutaneous. Kung kinakailangan upang palawakin ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano na tinukoy sa isang hugis-parihaba na coordinate system sa isang maliit na espasyo, gamitin ang paraan ng coordinate. Tinatalakay ng talata ng Denmark ang paraang ito.

Sa teorya, binigyan ng isang punto sa maliit na espasyo na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1, z 1) at lugar χ, kinakailangan upang matukoy ang distansya mula M 1 hanggang sa lugar χ. Upang makamit ang tagumpay, mayroong maraming mga paraan upang makamit ang tagumpay.

unang paraan

Ang pamamaraang ito ay primed sa isang tiyak na distansya mula sa punto hanggang sa eroplano gamit ang mga karagdagang coordinate ng punto H 1, na siyang patayo mula sa punto M 1 hanggang sa eroplano χ. Susunod na kailangan mong kalkulahin ang pagkakaiba sa pagitan ng M 1 at H 1.

Upang makamit ang nais na antas sa ibang paraan, panatilihin ang normal na antas ng ibinigay na lugar.

ibang paraan

Sa likod ng isip, makikita natin na ang H 1 ay ang base ng patayo, na ibinaba mula sa puntong M 1 hanggang sa eroplano χ. Pagkatapos ay kinakalkula namin ang mga coordinate (x 2, y 2, z 2) ng punto H 1. Ang Shukan mula M 1 hanggang sa eroplano χ ay ibinibigay ng formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, de M 1 (x 1, y 1, z 1) at H 1 (x 2, y 2, z 2). Upang makamit ito, kinakailangan upang malaman ang mga coordinate ng punto H 1.

Posible na ang H 1 ay ang punto ng crossbar ng eroplano χ mula sa tuwid na linya a, na dumadaan sa punto M 1, inilipat patayo sa eroplano χ. Ang bituin ay nagpapakita na ito ay kinakailangan upang lumikha ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto patayo sa isang naibigay na eroplano. Posible ring kalkulahin ang mga coordinate ng punto H 1. Kinakailangang kalkulahin ang mga coordinate ng punto ng crossbar ng tuwid na linya at ng eroplano.

Algorithm para sa paghahanap ng distansya mula sa isang punto na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1, z 1) sa eroplano χ:

bisyo 3

• slope ng tuwid na linya, na dumadaan sa punto M 1 at sa parehong oras
• patayo sa lugar χ;
• alamin at kalkulahin ang mga coordinate (x 2, y 2, z 2) ng punto H 1, na mga puntos
• crossbar ng tuwid na linya a na may eroplano χ;
• kalkulahin ang ratio mula M 1 hanggang χ, gamit ang Vikorist formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

ikatlong paraan

Dahil sa isang rectangular coordinate system Pro x y z ay may isang eroplanong χ, kung gayon ang normal na eroplano ay katumbas ng anyo na cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0. Mula sa puntong M 1 (x 1, y 1, z 1), iginuhit sa lugar na χ, na kinakalkula gamit ang formula M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p. Ang pormula na ito ay wasto, dahil ang mga prinsipyo ng teorama ay naitatag.

teorama

Kung ang isang puntong M 1 (x 1, y 1, z 1) ay ibinigay sa isang maliit na espasyo, kung gayon ang normal na eroplano ay katumbas ng anyo na cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, pagkatapos ay ang pagkalkula ang distansya mula sa punto hanggang sa eroplano M 1 H 1 ay isinasagawa gamit ang formula M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p, dahil x = x 1, y = y 1, z = z 1.

Tapos na

Ang patunay ng theorem ay bumaba sa paghahanap ng linya mula sa isang punto hanggang sa isang linya. Malinaw na ang distansya mula sa M 1 hanggang sa eroplano χ ay katumbas ng pagkakaiba ng module ng numerical projection ng radius vector M 1 mula sa ibabaw ng mga coordinate hanggang sa eroplano χ. Pagkatapos ay ang expression M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Ang normal na vector ng lugar χ ay mukhang n → = cos α, cos β, cos γ, at ang pagdoble nito ay higit na pagkakaisa, npn → OM → - numerical projection ng vector OM → = (x 1, y 1, z 1 ) y direkta, na kung saan ay ipinahiwatig vector n →.

Ibuod natin ang formula para sa pagkalkula ng mga scalar vector. Pagkatapos ay posibleng makahanap ng vector ng anyong n →, OM → = n → npn → OM → = 1 npn → OM → = npn → OM →, dahil n → = cos α, cos β, cos γ z at OM → = (x 1, y 1, z 1). Ang coordinate form ng recording ay mukhang n →, OM → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, pagkatapos ay M 1 H 1 = npn → OM → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Ang teorama ay napatunayan.

Malinaw na ang distansya mula sa puntong M 1 (x 1, y 1, z 1) hanggang sa lugar χ ay kinakalkula sa pamamagitan ng karagdagang pagpapalit sa kaliwang bahagi ng normal na antas ng lugar cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 Pagpapalit ng x, y, z coordinate x 1, y 1 i z 1, Ano ang dinala hanggang sa puntong M 1, na kinukuha ang ganap na halaga ng inalis na halaga.

Tingnan natin ang paghahanap ng distansya mula sa isang punto na may mga coordinate sa isang naibigay na eroplano.

puwit 1

Kalkulahin ang distansya mula sa punto na may mga coordinate M 1 (5, - 3, 10) sa lugar na 2 x - y + 5 z - 3 = 0.

Desisyon

Malutas namin ang problema sa dalawang paraan.

Ang unang paraan ay ang kalkulahin ang vector ng direksyon ng tuwid na linya a. Ipinapalagay na ang antas ng lugar ay nakatakda sa 2 x - y + 5 z - 3 = 0 Inaasahan ko ito, At n → = (2, - 1, 5) ay ang normal na vector ng ibinigay na lugar. Ito ay dapat na nakaposisyon sa direksyon ng vector ng direksyon, tuwid na linya a, na patayo sa ibinigay na lugar. Ang bakas ay upang itala ang canonical alignment ng isang tuwid na linya sa espasyo na dumadaan sa M 1 (5, - 3, 10) mula sa mga ito, na idinirekta ng isang vector na may mga coordinate 2, - 1, 5.

Ang rivet ay mukhang x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

Ang slide ay nagmamarka sa mga punto ng crossbar. Para sa layuning ito, kinakailangan upang pagsamahin ang pagkakahanay sa isang sistema para sa paglipat mula sa canonical hanggang sa pagkakahanay ng dalawang intersecting na tuwid na linya. Magbibigay ako ng punto kinuha bilang N 1. Tinanggihan, kaya

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Bakit kailangang baguhin ang sistema?

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Tingnan natin ang panuntunan sa solusyon ng system ayon kay Gaus:

1 2 0 - 1 5 0 Harapan - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

Ipinapalagay namin na H 1 (1, - 1, 0).

Posible upang kalkulahin ang distansya mula sa isang naibigay na punto sa isang eroplano. Kumuha ng mga puntos na M 1 (5, - 3, 10) at H 1 (1, - 1, 0) at piliin

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Ang isa pang paraan upang makamit ang pinakamahusay na resulta ay upang dalhin ang ibinigay na antas 2 x - y + 5 z - 3 = 0 sa isang normal na hitsura. Ang normalizing multiplier ay makabuluhan at maaari nating mahihinuha ang 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. Mula dito makikita natin ang antas ng lugar 2 30 · x ng lugar - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Ang pagkalkula ng kaliwang bahagi ng lugar nnya ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagpapalit ng x = 5, y = - 3, z = 10, at kinakailangang kunin ang pagpapalit mula sa M 1 (5, - 3 , 10) hanggang 2 x - y + 5 z - 3 = 0 modulo. Tignan natin:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Bersyon 2 30.

Kung ang lugar sa ibabaw χ ay tinukoy ng isa sa mga pamamaraan sa seksyon kung paano itatag ang lugar sa ibabaw, pagkatapos ay kinakailangan na alisin muna ang antas ng lugar χ at kalkulahin ang mga resulta ayon sa anumang pamamaraan.

puwit 2

Sa maliit na espasyo, ibinibigay ang mga puntos na may mga coordinate M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Kalkulahin ang distansya mula M 1 hanggang sa lugar A B C.

Desisyon

Para sa cob, kinakailangang itala ang antas ng lugar upang makapasa sa ibinigay na tatlong puntos na may mga coordinate M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6). , 1), C (4, 0, - 1).

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ xy - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Lumilitaw na ang desisyon ay katulad ng naunang desisyon. Nangangahulugan ito na mula sa punto M 1 hanggang sa eroplano A B C ang halaga ay 2 30.

Bersyon 2 30.

Ang halaga ng distansya mula sa isang naibigay na punto sa eroplano o sa eroplano, na parallel, mas tiyak, sa pamamagitan ng pagbabalangkas ng formula M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Ito ay malinaw na ang normal na antas ng flatness ay isinasaalang-alang.

puwit 3

Hanapin ang distansya mula sa isang ibinigay na punto na may mga coordinate M 1 (- 3, 2, - 7) hanggang coordinate plane Tungkol sa x y z at ang lugar na ibinigay sa mga antas 2 y - 5 = 0.

Desisyon

Ang coordinate area Pro y z ay katulad ng form x = 0. Para sa area Pro y z ito ay normal. Samakatuwid, kinakailangang palitan ang halaga x = - 3 sa kaliwang bahagi at kunin ang module ng halaga mula sa punto na may mga coordinate M 1 (- 3, 2, - 7) sa eroplano. Ang halaga ay inalis, katumbas ng - 3 = 3.

Matapos baguhin ang normal na antas ng eroplano 2 y - 5 = 0, ang view y - 5 2 = 0 ay tinanggal. Pagkatapos ay maaari mong malaman kung saan ka maaaring pumunta mula sa punto na may mga coordinate M 1 (- 3, 2, - 7 ) sa eroplano 2 y - 5 = 0. Pagpapalit At sa pagkalkula, ibawas natin ang 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

patunay: Ang Shukan mula M 1 (- 3, 2, - 7) hanggang Pro y z ay may value na 3, at hanggang 2 y - 5 = 0 ay may value na 5 2 - 2.

Kung minarkahan mo ang isang pabor sa teksto, mangyaring tingnan ito at pindutin ang Ctrl + Enter