Pagsasama-sama ng mga rational fraction - paraan ng hindi makabuluhang coefficients. Pagsasama-sama ng mga makatwirang pag-andar at ang pamamaraan ng mga hindi makabuluhang coefficient. Pagsasama ng shot-rational function. Paraan ng mga hindi gaanong halaga

Upang magsimula, tingnan natin ang teorya, pagkatapos ay malamang na may ilang mga butts para sa pag-secure ng materyal mula sa pamamahagi ng shot-rational function para sa kabuuan ng pinakasimpleng mga fraction. Tingnan natin ang mga detalye paraan menor de edad coefficients і mga pamamaraan ng pribadong halaga, pati na rin ang kanilang mga kumbinasyon.

Ang pinakasimpleng mga praksyon ay madalas na tinatawag elementarya fractions.

Ang mga ito ay hiwalay mga uri ng pinakasimpleng fraction:

kung saan ang A, M, N, a, p, q ay mga numero, at ang discriminant ng sign sa mga fraction ay 3) at 4) na mas mababa sa zero.

Ang mga ito ay tinatawag na mga fraction ng una, pangalawa, pangatlo at ikaapat na uri.

Nais mo na bang ilatag ito sa pinakasimpleng termino?

Gumawa tayo ng mathematical analogy. Kadalasan kailangan mong gumawa ng mga simpleng bagay tulad nito upang magawa mo ang mga bagay dito. Kaya ang axis, ang manifestation ng shot-rational functions sa anyo ng kabuuan ng pinakasimpleng fraction, ay humigit-kumulang pareho. Ginagamit ito para sa pagpapalawak ng mga function sa static na serye, Laurent series at, siyempre, para sa paghahanap ng mga integral.

Halimbawa, mahalagang kunin integral ng isang fractionally rational function. Matapos palawakin ang integral function sa pinakasimpleng mga fraction, ang lahat ay nabawasan sa isang bilang ng mga simpleng integral

Isinama na rin sila sa ibang seksyon.

puwit.

Ikalat ang drib sa pinakasimpleng termino.

Desisyon.

Pagkatapos ang mga ratios ng mga rich terms ay pinaghiwa-hiwalay sa pinakasimpleng mga fraction, dahil ang level ng rich term sa numberer ay mas maliit kaysa sa level ng rich term sa sign. Kung hindi, hatiin muna ang polynomial ng numeral sa polynomial ng denominator, at pagkatapos ay isagawa ang decomposition ng tamang fractional rational function.

Vikonaemo sa ilalim ng stovpchik (kut):

Well, makikita ko ang huling biro:

Sa ganitong paraan, sa pinakasimpleng mga praksiyon ay ilalatag natin

Algorithm para sa pamamaraan ng mga hindi makabuluhang coefficient.

Ayon kay Pershe, Inilalagay namin ang banner sa maramihan.

Para sa aming puwit ang lahat ay simple - dinadala namin sila sa mga braso.


Sa ibang paraan, kapag inilatag ang fraction, mukhang isang kabuuan ng pinakasimpleng fraction na may hindi gaanong mahalaga.

Dito maaari mong tingnan ang mga uri ng mga expression na maaaring mayroon ka sa iyong lugar.

Sa kabila ng teorya, sa pagsasanay ang lahat ay mas makatwiran.

Kapag dumating na ang oras, lumingon sa puwitan. Ang fraction ay nabubulok sa kabuuan ng pinakasimpleng mga fraction ng una at pangatlong uri na may hindi mahalagang coefficient A, B at C.


Sa pangatlo, aalisin natin ang kabuuan ng pinakasimpleng mga praksyon na may hindi mahalagang mga koepisyent sa panghuling tanda at papangkatin ang mga pagdaragdag sa numerical system sa parehong antas ng x.



Pagkatapos ay nagsimula ang sigasig:


Kapag nagbago ang x mula sa zero, ang pagkakapantay-pantay na ito ay mababawasan sa pagkakapantay-pantay ng dalawang mayamang miyembro


At ang dalawang polynomial ay pantay o magkaiba kung ang mga coefficient sa parehong mga hakbang ay pantay.

Sa isang quarter, Ang koepisyent ay katumbas sa parehong antas ng x.

Sa kasong ito, inalis namin ang sistema ng mga linear na equation ng algebra na may hindi gaanong halaga na mga coefficient na parang hindi sila kilala:


lima, Malamang na ang sistema ng mga katumbas ay aalisin sa anumang paraan (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo) na nababagay sa iyo, siyempre, ang koepisyent ay hindi alam.


Po-Shosta, nire-record namin ang ulat.

Maging mabait, huwag maging tamad, suriin ang ebidensya, dalhin ang pag-unpack sa kama.

Paraan ng mga hindi gaanong halaga Sa isang unibersal na paraan, sa oras ng paglalagay ng shot sa pinakasimpleng paraan.

Madaling gamitin ang paraan ng mga pribadong halaga, dahil ang banner ay isang solidong linear multiplier, kaya kamukha ito ng

Tingnan natin ang puwit upang ipakita ang mga pakinabang nito.

puwit.

Ikalat ang drib sa pinakasimpleng termino.

Desisyon.

Kaya, dahil ang antas ng isang mayamang miyembro sa isang numerong manggagawa ay mas mababa kaysa sa antas ng isang mayamang miyembro sa isang znamennik, kung gayon hindi tayo magkakaroon ng pagkakataong magtrabaho sa larangan. Nagpapatuloy kami sa paglalagay ng banner sa mga multiplier.

Para sa cob dinadala namin sila sa mga braso.

Alam natin ang ugat ng square trinomial (halimbawa, ayon sa theorem ng Viet):

Well, ang isang quadratic trinomial ay maaaring isulat bilang

Nakikita ko ang banner sa hinaharap

Sa pamantayang ito, ang panghuling bahagi ay nabubulok sa kabuuan ng tatlong simpleng mga praksyon ng unang uri na may hindi mahalagang mga koepisyent:

Ang kabuuan ay nabawasan sa pangwakas na pag-sign, ngunit sa bilang kung saan ang mga armas ay hindi nabuksan at katulad para sa A, B at C (sa kung aling yugto ay may pagkakaiba mula sa paraan ng hindi gaanong mga coefficient):

Sa ganitong paraan, nagpatuloy ang sigasig:

At ngayon, upang makahanap ng mga hindi mahalagang coefficient, sinimulan naming ipakilala ang "mga pribadong halaga" sa equation, kapag ang halaga ay napupunta sa zero, pagkatapos ay x = 0, x = 2 at x = 3 para sa aming halimbawa.

Sa x=0 maєmo:

Sa x=2 maєmo:

Sa x=3 maєmo:

Paksa:

Tulad ng nakikita mo, ang kahalagahan ng paraan ng hindi kilalang mga koepisyent at ang pamamaraan ng mga pribadong coefficient ay hindi gaanong mahalaga kaysa sa paraan ng paghahanap ng mga hindi kilalang. Ang mga pamamaraang ito ay maaaring gamitin upang gawing simple ang mga kalkulasyon.

Tingnan natin ang puwitan.

puwit.

Ilahad ang makatuwirang pananaw sa pinakasimpleng fraction.

Desisyon.

Kaya, dahil ang antas ng rich term ng numeral ay mas mababa kaysa sa antas ng rich term ng denominator at ang denominator ng mga factorization, kung gayon ang output ay maaaring katawanin ng kabuuan ng pinakasimpleng mga fraction ng form na ito:

Itinuro namin ang huling banner:

Pantay tayo ng number crunchers.

Makikita mo na ang mga zero ng sign ay ang mga halaga x=1, x=-1 at x=3. Ang pamamaraan ng Vikorist ng mga pribadong halaga.

Sa x=1 maєmo:

Sa x=-1 maєmo:

Sa x=3 maєmo:

Nawala sa alam ang hindi alam

Kung saan pinapalitan namin ang mga nahanap na halaga sa pagkakapantay-pantay ng mga numero:

Pagkatapos buksan ang mga armas at magdala ng katulad na mga karagdagan sa parehong mga hakbang x, dumating tayo sa pagkakapantay-pantay ng dalawang mayamang miyembro:

Mayroong pantay na coefficient sa parehong mga antas, sa gayon ay lumilikha ng isang sistema ng mga paghahambing para sa paghahanap ng mga hindi alam. Alisin natin ang system mula sa limang antas mula sa dalawang hindi alam:

Mula sa unang antas ay pamilyar agad ito, mula sa ibang antas

Ang resulta ay maaaring hatiin sa pinakasimpleng mga praksyon:

Tandaan.

Kung agad naming napagpasyahan na gamitin ang paraan ng mga hindi gaanong mahalagang coefficient, kailangan naming lumikha ng isang sistema ng limang linear na antas ng algebra na may limang hindi alam. Ang paggamit ng paraan ng mga pribadong halaga ay naging posible upang madaling malaman ang mga halaga ng tatlong hindi kilalang mga halaga, na makabuluhang inalis ang desisyon.

Mahal ko kayong lahat, mahal kong mga kaibigan!

Well, lumilipad ako! Matagumpay naming nakuha ang pangunahing materyal sa pinagsama-samang rational fraction. paraan ng hindi makabuluhang coefficients. Dakila at makapangyarihan.) Ano ang pinagmumulan ng kanyang kadakilaan at kapangyarihan? At doon nakasalalay ang kanyang versatility. Napakasayang malaman, tama ba? Sa maaga, magkakaroon ng ilang mga aral mula dito. Ang paksa ay napakahaba, at ang materyal ay napakahalaga.)

Sasabihin ko kaagad na sa aralin ngayon (at sa hinaharap) hindi tayo masyadong mag-aalala sa integrasyon gaya ng... paglalahad ng mga sistema ng mga linear na ranggo! Kaya-kaya! Kaya para sa mga may problema sa mga sistema, ulitin ang mga matrice, variable at pamamaraan ng Cramer. At para sa mga kasamang nahihirapan sa mga matrice, hinihimok ko kayo, kahit papaano, na i-refresh ang inyong memorya sa mga pamamaraan ng "paaralan" ng mas mataas na mga sistema - ang paraan ng pagpapalit at ang paraan ng pagdaragdag sa bawat termino/ pagtanggal.

Upang simulan ang ating pagkakakilala, bumalik tayo ng kaunti. Mabilis tayong bumalik sa ating mga nakaraang aralin at suriin ang lahat ng mga fraction na dati nating isinama. Nang walang anumang gitnang lupa, nang walang anumang paraan ng hindi gaanong halaga! Ang axis ng baho ay fractions. Hinati ko sila sa tatlong grupo.

Pangkat 1

Sa banner - linear function alinman sa sarili o sa hakbang. Sa madaling salita, ang may hawak ng bandila ay matatag na nakatayo gayunpaman, wala sa kanila yumuko isip (Ha).

Halimbawa:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10) (x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5)(2x+5)(2x+5)

At iba pa. Bago magsalita, mangyaring itigil ang pagpalo ng iyong mga braso (4x+5) kung hindi (2x+5) 3 na may isang koepisyent k nasa gitna. Ito ay pareho, para sa kakanyahan nito, ang mga bisig ng isip (Ha). Pareho lang k Mula sa gayong mga arko maaari kang gumawa ng isang pangalan sa hinaharap.

Ang axis ay ganito:

Ang axis ay ang lahat.) At hindi mahalaga kung ano ang katayuan ng numero ng tao - ito lang dx o isang mayamang miyembro. Inilatag muna namin ang number book sa likod ng mga hakbang ng arko (x-a), na-convert ng isang mahusay na deal sa isang kabuuan ng mga maliliit, dinala (kung kinakailangan) ang hawakan sa ilalim ng kaugalian at pinagsama.

Pangkat 2

Ano ang maganda sa mga shotgun na ito?

At ang pinakamataas ay ang mga nakatayo sa lahat ng mga banner quadratic trinomialpalakol 2 + bx+ c. Ang Ale ay hindi lamang, ngunit mismo sa isang kopya. Hindi mahalaga dito kung positibo o negatibo ang discriminant ng isang tao.

Ang mga nasabing fraction ay palaging isinama sa isa sa dalawang paraan - alinman sa pamamagitan ng paglalagay ng numero sa likod ng mga hakbang ng banner, o sa pamamagitan ng pagtingin sa isang bagong parisukat sa banner na may kasunod na pagpapalit ng variable. Ang lahat ay nasa ilalim ng isang tiyak na integral function.

Pangkat 3

Ito ang pinaka-angkop para sa pagsasama ng shot. Ang bannerman ay may non-folding quadratic trinomial, din sa hakbang n. Hello, tatawagan ulit kita, sa isang kopya. Bo, bukod sa trinomial, walang ibang multiplier ang sign. Ang mga nasabing fraction ay isinama para sa . Alinman sa walang gitna, o dinala sila dito pagkatapos makakita ng bagong parisukat sa banner at ang paparating na kapalit ng nababago.

Gayunpaman, sa kasamaang-palad, ang lahat ng mayamang pagkakaiba-iba ng mga rational fraction ay hindi limitado sa tatlong grupong ito lamang.

Bakit ako tatayo sa banner? patayan mga templo? Halimbawa, tulad ng:

(x-1)(x+1)(x+2)

O sa parehong oras ang busog (Ha)і quadratic trinomial, kaya i-type (x-10) (x 2 -2x +17)? At sa iba pang katulad na sitwasyon? Si Axis mismo sa mga ganitong sitwasyon at sumagip paraan ng hindi gaanong halaga!

Sasabihin ko kaagad sa iyo: magpapatuloy lang tayo hanggang sa maging tayo tama mga fraction. Timi, sa ilang mga yugto ng numberer ay may mahigpit na mas maliit na antas kaysa sa yugto ng banner. Yak buti na may mga improper fraction, iniulat sa mga fraction. Ito ay kinakailangan upang makita ang buong bahagi (ang buong bahagi). Maglagay ng maliit na tumpok ng number-keeper sa banner o ilatag ang mga plano ng number-keeper - ayon sa gusto mo. At ang puwit ay tinanggal. At mukhang isinasama mo na ang mayamang termino sa ganitong paraan. Huwag kang maliit, pumunta ka na.) Alena mga hindi wastong fraction Tingnan mo lang ang puwitan mo!

At ngayon nagsimula na kaming makilala ang isa't isa. Bilang karagdagan sa karamihan sa aming mga kaibigan mula sa mahusay na matematika, ang aming kaalaman ay hindi pa rin tuyo ngunit mahalagang teorya tungkol sa pangunahing teorama ng algebra, ang teorama ni Bezout, tungkol sa pagkabulok ng isang rational na fraction sa kabuuan ng mga pinakasimpleng (tungkol sa mga fraction na ito sa itaas. ) at iba pang nakakapagod, at tapusin na natin ang awkward butt .

Halimbawa, kailangan nating malaman ang axis ng mga hindi halaga ng integral:

Unang tingnan ang mahalagang bahagi. Ang may hawak ng bandila ay may tatlong braso:

(x-1)(x+3)(x+5)

Bukod dito, ang lahat ng mga armas patayan. Iyon ang dahilan kung bakit hindi kailanman gagana ang ating lumang teknolohiya ng paglalagay ng numberer sa likod ng mga hakbang ng banner: paano makikita ng numberer ang busog? (X-1)? (X +3)? Hindi nakakagulat... Ang makakita ng isang buong parisukat sa banner ay wala rin sa cash register: may isang mayamang miyembro pangatlo hakbang (sa pamamagitan ng pagpaparami ng lahat ng mga armas). Ano ito mahiyain?

Kapag tiningnan mo ang aming pagkain, makikita mo na ito ay isang ganap na natural na diyeta ... Ito ay talagang sobra! Mula sa aming mahusay na pagbaril, na hindi mano-mano pagsamahin upang lumikha ng tatlong maliliit. Gusto kong maging ganito:

Bakit kailangan mo ng ganitong uri ng shukati? At lahat sa katotohanan na sa hitsura na ito ang aming lumalabas na kaibigan ay na madaling gamitin para sa pagsasama! Ibuod natin ang tanda ng maliit na bahagi ng balat Ipapasa ko.)

Paano mo maaalis ang ganitong gulo? Maganda ang bago! Ang isang simpleng teorama ng matematika ay tila - pwede yan! Ang layout na ito ay magkakasama bilang isa.

Mayroon lamang isang problema: coefficients A, Uі Z mi Buwai Hindi namin alam. At ngayon ang aming mga pangunahing gawain ay їх ibig sabihin. Alamin kung bakit pantay ang ating mga manunulat A, Uі Z. Mga palatandaan at pangalan - pamamaraan hindi mahalaga coefficients. Gawin nating mas mahal ang ating Kazkova!

Buweno, mayroon kaming paninibugho, kaya nagsimula kaming sumayaw:

Dalhin natin ang lahat ng tatlong praksyon sa kanang kamay sa huling tanda at pagsama-samahin ito:

Ngayon ay maaari mong mabait na ihagis ang mga banner (dahil mabaho ang mga ito) at ipantay ang mga numero. As usual ang lahat

Tadyakan natin ang croc binubuksan namin ang lahat ng mga braso(mga coefficient A, Uі Z Buwai Mas mabuting kanselahin ang tawag):

At ngayon (mahalaga!) ang aming buong konstruksiyon ay kanang kamay ayon sa katandaan ng mga hakbang: mula sa simula ay kinokolekta namin ang lahat ng miyembro mula sa x 2 noon - mula lamang sa x at, ikaw ang magpapasya, pinipili namin ang lahat ng miyembro. Sa katunayan, ipinakilala lang namin ang magkakatulad at mga pagdaragdag ng pangkat sa likod ng mga hakbang ng X.

Ang axis ay ganito:

At ngayon suriin natin ang resulta. Si Zliva ang pinakamayamang miyembro namin. Ibang daigdig. Ang bilang ng ating integral fraction. Kanan – tezh aktibong miyembro ng ibang antas. Ale z hindi kilalang coefficient. Ang selos na ito ay maaaring patas kapag lahat ng wastong halaga ng x. Ang left-handed at right-handed fractions ay pareho (sa likod ng ating isip)! Ang ibig sabihin ng Tse ay їх numero at (tapos yung mga mayayaman nating miyembro) ay ganun din. Well, coefficients sa parehong antas ix Ang mga mayayamang miyembrong ito ay may pananagutan sa obligado magselos ka!

Magsisimula tayo sa pinakamataas na antas. 3 parisukat. Nakapagtataka kung anong uri ng mga coefficient ang kailangan nating panindigan X 2 kaliwa at kanang kamay. Ang ating right-hander ay katumbas ng kabuuan ng mga coefficient A+B+C, at ang kaliwang kamay ay deuce. Isa pa, sa atin mas gusto ng mga tao ang selos.

Naitala:

A+B+C = 2

E. Ang unang bagay ay handa na.)

Pagkatapos ay sinusundan namin ang isang tilapon na bumababa - kumpara sa mga termino na may X sa unang yugto. Nakatayo kami gamit ang kanang kamay ni X 8A+4B+2C. Mabuti. Bakit tayo may kaliwang kamay sa X? Hm... Zlіva vzagalі nіyakogo dodanku z іksom no! Meron lang 2x2 – 3. Kumusta na sila? Talagang simple! Nangangahulugan ito na mayroon tayong coefficient para sa X-evil Parang zero! Maaari naming isulat ang aming kaliwang bahagi tulad nito:

Ano? Tama kami.) Dito, ang isa pang relasyon ay ganito:

8 A+4 B+2 C = 0

Well, practically speaking, iyon lang. Nawalang pantay na miyembro:

15A-5B-3C = -3

Sa isang salita, ang pagraranggo ng mga coefficient sa parehong antas ng ix ay sumusunod sa sumusunod na pamamaraan:

Baka matapos na lahat ng selosan nating tatlo magdamag. Samakatuwid, pumili kami mula sa aming nakasulat na sistema:

Ang sistema ay hindi ang pinakamahalagang bagay para sa isang masigasig na mag-aaral - tatlong antas at tatlong hindi alam. Maniwala ka sa gusto mo. Maaari mong gamitin ang paraan ng Cramer sa pamamagitan ng mga matrice na may mga covariates, maaari mong gamitin ang pamamaraang Gauss, maaari mong gamitin ang orihinal na setting ng paaralan.

Una, pinaniniwalaan ko ang sistemang ito sa parehong paraan tulad ng inaasahan ng mga mag-aaral sa kultura na umiral ang mga ganitong sistema. At sa pamamaraang Kramer.

Ang solusyon ay nagsisimula sa nakatiklop na matrix ng system. Hayaan akong hulaan na ang matrix na ito ay isang tablet lamang, nakatiklop coefficients para sa hindi alam.

Aksis:

Kakalkulahin namin ito nang maaga pangunahing matrix ng system. Abo, sa madaling sabi, pinuno ng sistema Ang pangalan ay ipinahiwatig ng letrang Griyego na ∆ (“delta”):

Siyempre, ang pinagmulan ng system ay hindi katumbas ng zero (-48≠0) . Sa teorya ng mga linear system, ang katotohanang ito ay nangangahulugan na ang ating sistema ay magkakaugnay at Isa lang ang solusyon.

Umasa tayo sa susunod na hakbang pinagmulan ng hindi alam ∆A, ∆B, ∆C. Sa palagay ko mula sa tatlong miyembrong ito ay lalabas tayo sa pangunahing pinagmumulan ng sistema sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga miyembro ng mga coefficient para sa ilang hindi kilalang mga miyembro na may isang daang miyembro.

Ang axis ay binubuo ng mga simbolo at mahalaga:

Hindi ko ipapaliwanag dito ang pamamaraan ng pagkalkula ng mga third-order na denominasyon. hindi ako nagtatanong. This is all the same with respect to those.) Kung sino man ang nasa subject, iyon ang pagkakaintindi sa mga nangyayari. At, marahil, nahulaan ko na kung paano ko kalkulahin ang tatlong pangunahing figure na ito.

Ang axis ay handa na.)

Kaya hayaan ang mga may kulturang mag-aaral na maghari sa sistema. Ale... Hindi lahat ng estudyante ay kaibigan ang kanilang mga graduate. sayang naman. Para sa sinuman, ang simpleng pag-unawa sa mataas na matematika ay muling aalisin ng Chinese literacy at ang nakatagong halimaw sa hamog.

Buweno, lalo na para sa mga walang kulturang mag-aaral, ituturo ko ang pangunahing pamamaraan ng kabutihan - paraan ng sunud-sunod na pagpapasara ng mga invisible. Sa katunayan, ito ang "paaralan" na paraan ng pagpapalit. Magkakaroon pa ng mga mumo.) Ngunit ang kakanyahan ay pareho. Papatayin ko muna ang radyo bago ko gawin Z. Para kanino ako mabibitin? Z Mula sa una, papalitan ko ang pangatlo:

Ilagay natin ito nang simple, ipapakilala natin ang mga pagkakatulad at aalisin ang bagong sistema, na mayroon na dalawa hindi nakikita:

Ngayon, ikaw bagong sistema, maaari mo ring tukuyin ang isa sa mga pagbabago sa pamamagitan ng isa pa. Maaaring naisin ng lahat ng pinakamahalagang estudyante na igalang ang mga posibilidad bago ang pagbabago B – bedsores. Ang dalawa ay minus dalawa. Ama, napakadali para sa iyo na ibaluktot ang iyong selos sa pagitan mo para mahirapan kang magbago U at tanggalin lamang ang titik A.

Pinagsama-sama namin ang kaliwa at kanang bahagi, mabilis na nag-iisip 2Bі -2B at malamang ang selos ay higit pa sa mapagbigay A:

E. Nahanap ang unang koepisyent: A = -1/24.

Tila isa pang koepisyent U. Halimbawa, mula sa itaas na rehiyon:

Malinaw ang mga bituin:

Himala. Ang isa pang koepisyent ay natagpuan din: B = -15/8 . Isa pang sulat ang nawawala Z. Para sa layuning ito, ang pinakamahalagang bagay ay paninibugho, na ipinahayag sa pamamagitan ng Aі U:

Otje:

Well, yun lang. Isang hindi kilalang coefficient ang natagpuan! Hindi mahalaga, sa pamamagitan ng Cramer o sa pamamagitan ng pagpapalit. Golovne, Tama natagpuan.)

Kaya, ang aming pamamahagi ng malaking bahagi sa bag ng maliliit ay ganito ang hitsura:

At mangyaring huwag maging baluktot sa pag-alis ng mga shot coefficient: ang pamamaraang ito (mga pamamaraan ng hindi gaanong halaga) ay may pangunahing epekto. :)

At ngayon, napakahalagang suriin kung tama ang aming mga coefficient. A, Bі Z. Kaya agad naming kinuha ang itim at hulaan ang ikawalong baitang - idinaragdag namin muli ang lahat ng tatlo sa aming maliliit na fraction.

Sa sandaling tanggihan natin ang malaking pagpapala na lumalabas, lahat ay mabuti. Hindi - ibig sabihin, bugbugin mo ako at humingi ng awa.

Ang zagalny na banner ay malinaw na magiging 24(x-1)(x+3)(x+5).

Tara na:

Oo! Inalis ang output. Ano ang kailangang suriin. Lahat ay mabuti. Kaya huwag mo akong patulan.)

At ngayon ay bumaling tayo sa ating output integral. Hindi ako naging pinakamagaan sa oras na ito, kaya. Ale ngayon, kung ang pera natin ay ipinamahagi sa mga maliliit, ang pagsasama-samang ito ay naging isang malaking kasiyahan!

Mamangha sa iyong sarili! Ipinasok namin ang aming pagpapalawak sa output integral.

Ignorante:

Nasira ng mga awtoridad ng linearity, ang aming mahusay na integral ay pinaghiwa-hiwalay sa isang kabuuan ng mga maliliit, ang lahat ng mga constant ay inililipat sa mga palatandaan ng integral.

Ignorante:

At sa pag-alis ng tatlong maliliit na integral, madali na silang kunin. .

Patuloy na pagsasama:

Ang axis ay lahat.) At hindi na kailangang pakainin ako sa araling ito, ang mga resulta ng mga species ay kinuha sa logarithms! Ang nakakaalala ay nakakaintindi ng lahat. At kung sino man ang hindi nakakaalala, lumalakad nang walang kabuluhan. Hindi ko sila madaling ilagay.

Natirang ebidensya:

Napakaganda ng axis sa tatlo: tatlong logarithms - bogus, booby at dunce. :) Subukan ito at alamin ang nakakalito na trick na ito sa mabilisang! Ang paraan lamang ng mga hindi mahalagang coefficient ang ginagamit, kaya.) Samakatuwid, sa pamamaraang ito naiintindihan natin. Paano ang mga bituin?

Sa yakosti sa kanan, hinihikayat kita na isagawa ang pamamaraan at isama ang sumusunod:

Magsanay sa paghahanap ng integral, huwag mag-alala tungkol dito! Ang sumusunod na pahayag ay dapat kunin:

Ang paraan ng mga hindi gaanong halaga ay isang makapangyarihang bagay. Ito ay malamang na humantong sa isang walang pag-asa na sitwasyon, kung babaguhin mo ang mga bagay na tulad nito, at iba pa. At ang pangunahing punto dito ay ang ilang iginagalang na mga mambabasa ay may napakababang diyeta:

- Bakit tayo dapat matakot, dahil ang bannerman ay maraming mga titi at ayaw na dumami?

- Paano mo kailangang malaman kung paano ipamahagi ang isang mahusay na nakapangangatwiran na bagay sa maliliit na kabuuan? Anong itsura mo? Bakit ito at hindi iyon?

- Bakit mag-abala, dahil ang inilatag na banner ay may multiple? O ang mga braso ba ay nasa mga hakbang tulad ng (x-1) 2? Ano ang pagkakasunud-sunod ng pag-aayos?

- Ano ang dapat nating gawin kung, bilang karagdagan sa mga simpleng arko ng isip (x-a), ang banner ay maaaring sabay na palitan at ang non-folding quadratic trinomial? Sabihin nating x 2+4x+5? Ano ang pagkakasunud-sunod ng pag-aayos?

Buweno, dumating na ang oras upang malaman ang lupa, hayaang lumaki ang iyong mga binti. Mga aral na darating.)

MINISTRY OF SCIENCE AND IMBESTIGATION OF THE REPUBLIC OF BASHKORTO STAN

State Autonomous Educational Institution Bashkir Architectural and Civil Engineering College

Khaliulin Askhat Adelzyanovich,

Library ng matematika ni Bashkirsky

Kolehiyo ng Arkitektura at Arkitektura

m.UFA

2014

Panimula ________________________________________________________3

Kabanata ako. Mga aspetong teoretikal Vykoristana sa paraan ng hindi gaanong halagang mga koepisyent________________________________________________4

Kabanata II. Naghahanap para sa paglutas ng mga problema mula sa mayayamang miyembro gamit ang paraan ng hindi gaanong halaga ______________________________7

2.1 Pagbulok ng polynomial sa mga multiplier_____________________ 7

2.2. Mga setting na may mga parameter_________________________________ 10

2.3. Paglalahad ng hanay________________________________________________14

2.4. Functional level________________________________________________19

Konklusyon________________________________________________23

Listahan ng panitikang Wikorista________________________________________________24

pandagdag ________________________________________________25

Pagpasok

Ang gawaing ito ay nakatuon sa teoretikal at praktikal na mga aspeto ng pagpapakilala ng paraan ng mga hindi gaanong halaga sa isang kurso sa matematika ng paaralan. Ang kaugnayan nito ay ipinahihiwatig ng gayong mga pangyayari.

Walang sinuman ang hindi sasang-ayon sa katotohanan na ang matematika bilang isang agham ay hindi nakatayo sa isang lugar, ito ay patuloy na umuunlad, ang mga bagong gawain ay lumilitaw. advanced na pagtitiklop Ang madalas na tinatawag ay ang awit ng kahirapan, na ang mga fragment nito ay kadalasang nauugnay sa mga pagsisiyasat. Ang ganitong mga gawain ay palaging ipinapakita sa paaralan, distrito at republika na olympiad sa matematika, at gayundin sa Mga pagpipilian sa EDI. Samakatuwid, kailangan mo ng isang espesyal na paraan na nagbibigay-daan sa iyo upang alisin ang ilan sa mga ito nang mabilis, mahusay at madali hangga't maaari. Ang gawaing ito ay maaaring gamitin sa halip na ang paraan ng hindi mahalagang mga koepisyent, na malawakang ginagamit sa pinakamahalagang sangay ng matematika, simula sa pagkain na kasama sa kurso ng isang dayuhang paaralan, at hanggang sa pinaka її bahagi. Zocrem, batay sa paraan ng hindi gaanong mga coefficient sa pinakamataas na pagkakasunud-sunod na may mga parameter, ang mga antas ng shot-rational at functional ay lalong epektibo at mahusay; Madali nilang abalahin ang sinumang nagmamalasakit sa matematika. Ang pangunahing layunin ng gawaing iminungkahing meta at pagkumpleto ng gawain ay upang magbigay ng malawak na hanay ng mga posibilidad para sa paglilinaw at pagbuo ng kaalaman sa maikli at hindi karaniwang mga solusyon.

Ito ay isang gawain at dalawang kabanata. Sinusuri ng una ang teoretikal na aspeto ng vikoristan

ang paraan ng mga hindi gaanong halaga, habang ang isa ay may praktikal at metodolohikal na aspeto ng naturang pag-aaral.

Bilang karagdagan, ang gawain ay nagdala sa isip ng mga tiyak na gawain ng isang malayang desisyon.

Kabanata ako . Teoretikal na aspeto ng pananaliksik paraan ng hindi makabuluhang coefficients

“Si Lyudina... ay ipinanganak na buti pan,

pinuno, hari ng kalikasan, aka karunungan,

Sa anong dahilan obligado akong mamuno, hindi ito ibinigay sa iyo

"Mga video ng mga tao: kikita sila ng mga cherry"

M.I.Lobachevsky

Mayroong iba't ibang mga paraan at pamamaraan ng pinakamataas na pagkakasunud-sunod, ngunit ang isa sa pinakasimple, pinaka-epektibo, orihinal, sopistikado at sa parehong oras simple at makatwiran sa lahat ay ang paraan ng hindi gaanong mga coefficient. Ang paraan ng mga hindi gaanong halaga ay isang paraan ng paggamit ng matematika upang mahanap ang mga coefficient ng mga expression, ang uri ng kung saan ay kilala nang maaga.

Una sa lahat, tingnan natin ang aplikasyon ng pamamaraan ng mga hindi mahalagang koepisyent hanggang sa mailabas ang iba't ibang mga gawain, at magpapakita tayo ng ilang mga katotohanan na may likas na teoretikal.

Magbigay pugay,

A n (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ··· + a n-1 x + a n

B m (x ) = b 0 x m + b 1 x m -1 + b 2 x m -2 + ··· + b m-1 x + b m ,

mayaman sa mga artikulasyon X na may anumang mga coefficient.

Teorama. Dalawang mayamang miyembro na nasa ilalim ng isa at ang parehong argumento, sila ay pantay-pantay din dito at sa ganoong paraan lamang, bilangn = m at ang kanilang mga katulad na coefficienta 0 = b 0 , a 1 = b 1 , a 2 = b 2 ,··· , a n -1 = b m -1 , a n = b m і T. d.

Malinaw, ang pantay na mga miyembro ay kinuha para sa lahat ng kahulugan X gayunpaman, iba ang kahulugan. At sa katunayan, ang mga kahulugan ng dalawang mayamang termino ay nananatiling pareho para sa lahat ng mga halaga X, tapos maraming member katumbas, pagkatapos ay ang kanilang mga coefficient sa parehong mga antasX takbo.

Gayunpaman, ang ideya ng paggamit ng paraan ng mga hindi gaanong mahalagang coefficient ay ganap na ngayon.

Ipaalam sa amin na bilang isang resulta ng mga pagbabagong ito ay isang bagong hitsura ang lumitaw at mayroong isang hindi kilalang kakulangan ng koepisyent sa expression na ito. Ang mga coefficient na ito ay itinuturing na mga manunulat at tinitingnan bilang hindi kilala. Pagkatapos, batay sa mga hindi alam na ito, nabuo ang isang sistema ng pagraranggo.

Halimbawa, sa kaso ng mga mayayamang miyembro, ang pagkakapantay-pantay ay nabuo mula sa mga isip ng pagkakapantay-pantay ng mga koepisyent sa parehong mga antas. X dalawang magkapantay na miyembro ang may mayayamang dugtungan.

Ipakita natin kung ano ang sinabi sa opensiba tiyak na puwit, at magsimula tayo sa pinakasimpleng bagay.

Kaya, halimbawa, sa batayan ng mga pagkakaiba sa teoretikal

maaaring ihain sa vyglyadі sumi

, de a , b і c - mga coefficient na nagpapataas ng kahalagahan. Upang malaman ang mga ito, itumbas natin ang isa pang ekspresyon sa una:

=

at pagbangon mula sa bandila at pagtitipon ng masasamang miyembro mula sa parehong mga hakbang X, inaalis ang:

(a + b + c )X 2 + ( b - c )x - a = 2X 2 – 5 X– 1

Ang mga labi ng paninibugho ay maaaring mawala ang lahat ng kahulugan X, pagkatapos ay ang mga coefficient sa parehong mga hakbangX ang right-handed at left-handed ay pareho. Sa ganitong paraan, mayroong tatlong ranggo para sa nominasyon ng tatlong hindi kilalang coefficient:

a+b+c = 2

b - c = - 5

A= 1 , mga bituin a = 1 , b = - 2 , c = 3

Otje,

=
,

ang katarungan ng pagkakapantay-pantay na ito ay madaling ma-overinterpret.

Huwag kalimutang alamin muli ang tungkol sa iyong mga kaibigan

kabatiran a + b
+ c
+ d
, de a , b , c і d- Hindi kilalang makatwirang mga kadahilanan. Itumbas natin ang isa pang ekspresyon sa una:

a + b
+ c
+ d
=
kung hindi tumataas mula sa sign, vining, ito ay posible, rational multipliers sa ilalim ng mga palatandaan ng ugat at nagpapahiwatig ng mga katulad na termino sa kaliwang bahagi, malinaw naman:

(a- 2 b + 3 c ) + (- a+b +3 d )
+ (a+c - 2 d )
+

+ (b - c + d )
= 1 +
-
.

Gayunpaman, ang gayong paninibugho ay posible lamang sa mga oras kung ang mga katumbas sa pagitan ng kanilang mga sarili ay makatwiran at nagbibigay ng parehong mga bahagi na may parehong mga koepisyent sa pagkakaroon ng mga bagong radical. Sa ganitong paraan, lumilitaw na ang paghahanap para sa mga hindi kilalang coefficient a , b , c і d :

a- 2b+ 3c = 1

- a+b +3 d = 1

a+c - 2 d = - 1

b - c + d= 0, mga bituin a = 0 ; b = - ; c = 0 ; d= , pagkatapos
= -
+
.

Kabanata II. Maghanap ng mga solusyon sa mga problema sa mga rich terms paraan ng hindi makabuluhang coefficients.

"Walang itinatago ang pagkuha ng mga bagay na ganyan.

kung paano haharapin ito sa iba't ibang sitwasyon"

Academician B.V. Gnedenko

2. 1. Nabubulok ang polynomial sa multiplier.

Mga pamamaraan para sa paghahati ng maraming termino sa maramihang:

1) vinesenya ng zagal multiplier para sa mga armas; 2) paraan ng pagpapangkat; 3) pagwawalang-kilos ng mga pangunahing formula ng pagpaparami; 4) pagpapakilala ng mga karagdagang miyembro; 5) pasulong na pagbabago ng mayamang miyembrong ito sa tulong ng mga ito at iba pang mga formula; 6) pag-aayos sa tulong ng paghahanap ng mga ugat ng polynomial na ito; 7) paraan ng pagkuha ng parameter; 8) paraan ng hindi gaanong mga coefficient.

Problema 1. Hatiin ang polynomial sa action factor X 4 + X 2 + 1 .

Desisyon. Walang ugat sa mga miyembro ng malayang miyembro kung saan mayamang miyembro. Imposibleng malaman ang ugat ng mayamang miyembro gamit ang iba pang elementarya na pamamaraan. Samakatuwid, kinakailangang suriin ang mga ugat ng polynomial na ito sa tulong ng isang paunang paghahanap para sa mga ugat ng polynomial na ito. Imposibleng malutas ang problema alinman sa pamamagitan ng paraan ng paglilipat ng mga karagdagang miyembro o sa pamamagitan ng paraan ng mga hindi mahalagang coefficient. Obvious naman X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Walang mga ugat sa mga quadratic trinomial, kaya hindi sila maaaring ihiwalay sa functional linear multiplier.

Ang pamamaraan ng aplikasyon ay teknikal na simple, ngunit mahalaga dahil sa pagiging natatangi nito. Sa katunayan, napakahalaga na makabuo ng mga kinakailangang karagdagang miyembro. Ang tanging bagay na makakatulong sa amin na malaman ay ang layout. Ale

Upang matuklasan ang mga pinaka-maaasahang paraan upang makamit ang mga naturang gawain.

Maaari kang kumilos nang ganito: ipagpalagay na ang mayamang miyembrong ito ay nagbubukas sa iyong katawan

(X 2 + A X + b )(X 2 + c X + d )

dalawang square trinomals na may buong coefficient.

Sa ganoong paraan, matimemo, scho

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + A X + b )(X 2 + c X + d )

Pagkawala ng koepisyent ng kahalagahana , b , c і d .

Sa pagpaparami ng maraming termino na nakatayo sa kanang bahagi ng natitirang pagkakapantay-pantay, maaari nating alisin ang:X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (a + c ) X 3 + (b + A c + d ) X 2 + (Ad + bc ) x + bd .

Gayunpaman, kailangan natin ang tamang bahagi ng kasigasigan na ito para maging isang mayamang miyembro tulad ng nakatayo sa kaliwang bahagi, na malamang na ang pananakop. sumusulong ang mga isipan:

a + c = 0

b + A c + d = 1

Ad + bc = 0

bd = 1 .

Isang sistema ng apat na antas ang lumitaw mula sa maraming hindi alama , b , c і d . Madaling malaman ang presyo ng coefficient systema = 1 , b = 1 , c = -1 і d = 1.

Ngayon ang misteryo ay puspusan na. Kami ay kinuha:

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Suliranin 2. I-decompose ang polynomial sa action factors X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

Desisyon. Isipin natin sa mata ang mayamang terminong ito

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + A )(X 2 + bx + c), de a , b і h - ang mga coefficient ay hindi pa natutukoy. Kaya, bilang dalawang mayamang termino ay pantay din at pantay lamang kung mayroon silang mga coefficient sa parehong antasX pantay, kung gayon, ang mga pantay na coefficient ay pare-pareho saX 2 , X at mga libreng miyembro, tinatanggihan namin ang sistema ng tatlong katumbas mula sa tatlong hindi kilalang:

a+b= - 6

ab + c = 14

ac = - 15 .

Sa paglutas ng sistemang ito, mahalagang sabihin na ang numero 3 (divisor ng tamang miyembro) ay ang ugat. ang tunggalian na ito, at, mabuti,a = - 3 ,

b = - 3 і h = 5 .

Todi X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 x + 5).

Ang pagwawalang-kilos ng pamamaraan ng mga di-makabuluhang coefficient ay katumbas ng pagdaragdag ng paraan ng pagpapakilala ng mga karagdagang miyembro, hindi upang maglagay ng anumang bagay na artipisyal, ngunit ito ay dahil sa pagwawalang-kilos ng maraming mga teoretikal na posisyon at sinamahan ng malalaking tabulasyon. Para sa mayayamang miyembro ng mas mataas na antas, ang pamamaraang ito ng mga hindi mahalagang coefficient ay humahantong sa masalimuot na mga sistema ng pagraranggo.

2.2.Mga Gawain may mga parameter.

Ang natitirang mga kapalaran ng mga yugto ng EDI ay upang ipakita ang kaalaman sa mga parameter. Ang kanilang mga solusyon ay madalas na sumisigaw sa awit ng kahirapan. Kung ang mga parameter ay tinukoy sa parehong pagkakasunud-sunod tulad ng iba pang mga pamamaraan, ang paraan ng hindi gaanong mga coefficient ay maaaring epektibong magamit. Ang pamamaraang ito mismo ay nagpapahintulot sa iyo na lubos na gawing simple ang kanilang mga ideya at mabilis na alisin ang ebidensya.

Setting 3. Tukuyin ang halaga ng parameter A level 2 X 3 – 3 X 2 – 36 X + A - 3 = 0 mayroong eksaktong dalawang ugat.

Desisyon. 1 paraan Humingi ng tulong.

Isipin natin ang isang seremonya sa mga tuntunin ng dalawang pag-andar

2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – A .

f (x) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X– 3 ta φ( X ) = – A .

Sundin ang functionf (x) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 Para sa karagdagang tulong, tingnan natin ang diagram sa eskematiko (Larawan 1).

f( – x )f (x ) , f (– x ) – f (x ). Ang function ay hindi ipinares o hindi ipinares.

3. Alam natin ang mga kritikal na punto ng function, ang mga pagitan ng paglaki at pagbaba, at extrema. f / (x ) = 6 x 2 – 6 X – 36. D (f / ) = R Samakatuwid, ang lahat ng mga kritikal na punto ng function ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahambing f / (x ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = - 2 para sa teorama, gate theorem Vieta.

f / (x ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ max - min +

2 3 x

f / (x) > 0 para sa lahat X< – 2 ta X > 3 at ang function ay tuloy-tuloy sa mga puntox =– 2 ta X = 3, pagkatapos, lumalaki ang balat sa pagitan ng mga puwang (- ; - 2] at [3; ).

f / (x ) < 0 sa - 2 < X< 3, pagkatapos, ito ay magbabago sa pagitan [- 2; 3 ].

X = - 2 specks maximum, dahil Sa puntong ito ang tanda ng pagmamartsa ay nagbabago mula sa"+" hanggang "-".

f (-2) = 2 · (- 8) - 3 · 4 - 36 · (- 2) - 3 = - 16 - 12 + 72 - 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = Ang ika-3 punto ay ang pinakamababa, kaya sa puntong ito ay nagbabago ang tanda ng pagmamartsa"-" hanggang "+".

f (3) = 2 27 - 3 9 - 36 3 - 3 = 54 - 27 - 108 - 3 = - 138 + +54 = - 84.

Graph ng function na φ(X ) = – A є tuwid na linya, parallel sa abscis axis і sa pamamagitan ng punto na may mga coordinate (0; – A ). Ang mga graph ay nagpapakita ng dalawang sulok na punto sa -A= 41, pagkatapos. a =– 41 ta – A= - 84, pagkatapos. A = 84 .

sa

41φ( X)

2 3 X

3 f ( x ) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3

2 paraan. sa pamamagitan ng paraan ng mga di-makabuluhang coefficient.

Ang mga fragment sa likod ng isip ng halaman at paninibugho ay nagkasala ng ina ng wala pang dalawang ugat, pagkatapos ay malinaw na ang katapusan ng paninibugho:

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = (x + b ) 2 (2 x + c ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 2 x 3 + (4 b + c ) x 2 + (2 b 2 + +2 bc ) x + b 2 c ,

Ngayon pantay na mga coefficient para sa mga bagong hakbang X, kinansela namin ang sistema ng antas

4 b + c = - 3

2b 2 + 2bc = - 36

b 2 c = a – 3 .

Mula sa unang dalawang antas ng sistema alam natinb 2 + b – 6 = 0, mga bituin b 1 = - 3 o b 2 = 2. Mga pangalawang halagah 1 ta h 2 madaling malaman mula sa unang antas ng system:h 1 = 9 o h 2 = -11. Ang natitirang kinakailangang mga halaga ng parameter ay maaaring kalkulahin mula sa natitirang balanse ng system:

A = b 2 c + 3 , a 1 = - 41 o a 2 = 84.

Patunay: ang laban na ito ay eksaktong dalawang magkaibang

ugat sa A= - 41 ta A= 84 .

Gawain 4. Hanapin ang pinakamalaking halaga ng parameterA , kung sakaling magseselosX 3 + 5 X 2 + Oh + b = 0

Sa lahat ng mga coefficient mayroong tatlong magkakaibang mga ugat, ang isa ay nauugnay sa 2.

Desisyon. 1 paraan Napalitan X= - 2 sa kaliwang bahagi ay katumbas, maaaring alisin

8 + 20 – 2 A + b= 0, pagkatapos, b = 2 a – 12 .

Ang mga fragment ng numero ay 2 at ang ugat, maaari kang magdagdag ng multiplier X + 2:

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + Oh + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) – 6 x + Oh + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) + (a – 6)(x +2) - 2(a – 6)+ (2 a – 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 x + (a – 6) ) .

Sa likod ng banyo ay may dalawa pang ugat ng baging. Well, positive ang discriminant ng ibang multiplier.

D =3 2 - 4 (a – 6) = 33 – 4 a > 0, pagkatapos A < 8,25 .

Akala ko magcoconfirm ako a = 8 . Gayundin, kapag pinapalitan ang numero 8, ang equation ay tinanggal:

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 x + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

Pagkatapos ang baging ay may dalawang magkaibang ugat lamang. At ang axis sa a = 7 Madaling ilabas ang tatlong magkakaibang ugat.

2 paraan. Paraan ng mga hindi gaanong halaga.

selos ba? X 3 + 5 X 2 + Oh + b = 0 May ugat X = - 2, pagkatapos ay maaari mong baguhin muli ang mga numeroc і d kaya, para sa lahatX nagkaroon ng totoong selos

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = (X + 2)(X 2 + h x + d ).

Upang makahanap ng mga numeroc і d Binubuksan namin ang mga braso sa kanang bahagi, ilipat ang mga katulad na miyembro at alisin ang mga ito

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + (2 + h ) X 2 +(2 z + d ) X + 2 d

Mga katumbas na coefficient sa iba't ibang yugto X gamitin natin ang sistema

2 + h = 5

2 h + d = a

2 d = b , mga bituin z = 3 .

Otje, X 2 + 3 x + d = 0 , D = 9 – 4 d > 0 o

d < 2.25 , Otje d (- ; 2 ].

Ang isip ay nasisiyahan sa kahulugan d = 1 . Natitirang halaga ng parameterA = 7.

Paksa: kailan a = Sa ika-7 araw mayroong tatlong dibisyon ng mga ugat.

2.3. Ang pagpapakawala ng mga hanay.

"Tandaan na ang pinakamaliit na kayamanan sa mundo, ikaw

ihanda ang iyong sarili para sa pinakadakilang dakila at praktikal

Mas marami sila."

Academician S.L. Sobolev

Sa pinakamataas na antas ng aktibidad, posible at kinakailangan na ipakita ang pagkakapare-pareho at pagiging sensitibo ng alak, at magtatag ng mga espesyal na diskarte. Gamit ang iba't ibang mga diskarte upang baguhin at isagawa ang mga lohikal na kalkulasyon, ang matematika ay napakahalaga. Ang isa sa mga trick na ito ay ang magdagdag at mag-alis ng mga aksyon batay sa bilang ng mga pagpipilian. Ang katotohanan ng bagay ay, siyempre, kilala sa lahat - ang pangunahing kahirapan ay nakasalalay sa katotohanan na sa isang tiyak na pagsasaayos ang mga pagbabagong iyon ay madali at ganap na matigas.

Gamit ang simpleng algebra, inilalarawan namin ang isang hindi karaniwang paraan para sa paglutas ng mga equation.

Gawain 5. Ilabas ang selos

=
.

Desisyon. I-multiply ang mga nakakasakit na bahagi ng equation na ito ng 5 at muling isulat ito nang ganito

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 o
= 0

Pag-alis ng presyo, higit sa lahat sa pamamagitan ng paraan ng hindi gaanong halaga ng mga coefficient

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + ah + b )(x 2 + cx + d ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (a + c ) X 3 + (b + A c + d ) X 2 + (Ad + bc ) x+ + bd

Pantay na coefficient para sa X 3 , X 2 , X at mga libreng miyembro, tinatanggihan namin ang sistema

a + c = -1

b + A c + d = 0

Ad + bc = -7

bd = -3 , ang mga bituin ay kilala:A = -2 ; b = - 1 ;

h = 1 ; d = 3 .

Otje X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X- 1 = 0 o X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
Walang ugat.

Katulad ng aking

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

mga bituin X 2 + 2 X + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

Paksa: X 1,2 =

Gawain 6. Ilabas ang selos

= 10.

Desisyon. Para sa perpektong pagkakahanay, kinakailangan na pumili ng mga numeroAі b sa paraang magkapareho ang mga bilang ng parehong fraction. Well, gamitin natin ang system:

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

Kaya, ang gawain ay upang piliin ang mga numeroAі b , kung kanino nakataya ang sigasig

(isang + 6) X 2 + ah – 5 = X 2 + (5 + 2 b ) x + b

Ngayon, batay sa teorama tungkol sa pagkakapantay-pantay ng mayayamang miyembro, kinakailangan para sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito na mag-transform sa parehong mayamang miyembro bilang kaliwang bahagi.

Kung hindi, ang relasyon ay maaaring mukhang nagtatapos

isang + 6 = 1

A = 5 + 2 b

– 5 = b Ang mga palatandaan ay may alam na kahuluganA = - 5 ;

b = - 5 .

Sa mga halagang itoAі b selos A + b = - 10 lang maririnig.

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X- 5 = 0 o X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

Paksa: X 1,2 =
, X 3,4 =

Gawain 7. Ilabas ang selos

= 4

Desisyon. Ang hilera na ito ay mas nakatiklop kaysa sa mga nasa harap at samakatuwid ay nakagrupo sa paraang iyon X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

Mula sa isipan ng pagkakapantay-pantay ng dalawang mayamang miyembro

Oh 2 + (isang + 6) X + 12 = X 2 + (b + 11) x – 3 b ,

Ang sistema ng peer review ay inaalis at halos hindi kilalang mga koepisyentAі b :

A = 1

isang + 6 = b + 11

12 = – 3 b , mga bituin a = 1 , b = - 4 .

Mga mayamang artikulasyon - 3 - 6X + cx 2 + 8 cxі X 2 + 21 + 12 d – dx Ang isa ay katumbas ng isa at pareho, kung

h = 1

8 kasama si - 6 = - d

3 = 21 + 12 d , h = 1 , d = - 2 .

Sa mga halagaa = 1 , b = - 4 , h = 1 , d = - 2

selos
= - 4 ang tama.

Bilang resulta, ang paninibugho na ito ay nagkakaroon ng nakakasakit na anyo:

= 0 o
= 0 o
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

Mula sa mga halimbawa sa itaas ay malinaw na sa halip na gamitin ang paraan ng hindi gaanong halaga,

tumutulong upang gawing simple ang pagkakalas ng nakatiklop, hindi mapagpanggap na lubid.

2.4. Antas ng pag-andar.

“Ang higit na kahalagahan ng matematika... ay umuunlad

upang malaman at maiayos ang mga pamamaraan

ang kaguluhan na nagtutulak sa atin palayo"

N.Viner

Ang mga functional na ranggo ay isang mas mababang klase ng mga ranggo na may partikular na function. Sa ilalim ng functional equalities, ang makitid na kahulugan na salita ay nauunawaan ang mga pagkakapantay-pantay, kung saan ang mga function ay nauugnay sa mga kilalang function ng isa o ilang mga pagbabago para sa isang karagdagang operasyon upang makabisado. natitiklop na function. Ang functional na selos ay makikita rin bilang isang anyo ng kapangyarihan na nagpapakilala sa ibang klase ng mga tungkulin

[halimbawa, antas ng pagganap f ( x ) = f (- x ) ay nagpapakilala sa klase ng mga ipinares na function, functional levelf (x + 1) = f (x ) - klase ng mga function na tumatakbo sa panahon 1, atbp.].

Ang isa sa mga pinakasimpleng antas ng pagganap ay antasf (x + y ) = f (x ) + f (y ). Ang tuluy-tuloy na solusyon sa functional level na ito ay loom

f (x ) = Cx . Gayunpaman, ang klase ng iba't ibang mga pag-andar ay may iba't ibang mga solusyon. Tingnan natin ang mga antas ng pagganap na nauugnay sa

f (x + y ) = f (x ) · f (y ), f (x y ) = f (x ) + f (y ), f (x y ) = f (x )· f (y ),

tuloy-tuloy na mga pagpapasya na malinaw na umuusad

e cx , Wlnx , x α (x > 0).

Kaya, ang mga functional equation na ito ay maaaring magsilbi upang kalkulahin ang display, logarithmic at static na function.

Ang pinakamalaking pagpapalawak ay lumitaw sa mga natitiklop na function na kinakailangan panlabas na pag-andar. Sa teorya praktikal na zastosuvannya

Ang parehong mga tao na ito ang nagtulak sa mga kilalang mathematician sa bingit ng kamatayan.

Kaya halimbawa, sa Rivnyanya

f 2 (x) = f (x - y)· f (x + y)

M.I.Lobachevskyvikorystvovaya kung magkano ang parallelism doon sa kanyang geometry.

Sa huli, ang kapalaran ng gawain, na nauugnay sa pagpapakawala ng mga antas ng pagganap, ay madalas na ipinapakita sa mga mathematical Olympiad. Ang kanilang desisyon ay hindi nangangailangan ng kaalaman upang lumampas sa saklaw ng mga programa sa matematika. madilim-iluminado paaralan. Gayunpaman, madalas na nagiging sanhi ng mga paghihirap ang pag-alis ng mga functional na antas.

Ang isa sa mga paraan upang makahanap ng solusyon sa mga antas ng pagganap ay ang paraan ng mga hindi makabuluhang coefficient. Yogo ay maaaring zastosovat pagkatapos, kung para sa mula sa labas ay nakatingin sa loob ang paninibugho ay maaaring maging makabuluhan Zagalny Viglyad ang nais na function. Napakaraming kaguluhan, una sa lahat, hanggang sa mga ganitong pagsabog, kung ang selos ay pinakawalan pagkatapos ng mga biro sa gitna ng lahat ng uri ng mga makatwirang gawain.

Tingnan natin ang esensya ng pagtanggap na ito, na tila isang kasawian.

Gawain 8. Tungkulinf (x ) ay iginawad para sa lahat ng aktibong miyembro at nasisiyahan para sa lahatX R isip

3 f(x) - 2 f(1- x) = x 2 .

Hanapinf (x ).

Desisyon. Kaya, dahil ang kaliwang bahagi ng equation na ito ay may independiyenteng nababagong functionf Kung ang mga linear na operasyon ay idinagdag, at ang kanang bahagi ay isang quadratic function, natural na ipagpalagay na ang kinakailangang function ay parisukat din:

f (X) = palakol 2 + bx + c , dea, b, c - Ang mga coefficient na nagpapataas ng kahalagahan ay hindi gaanong kabuluhan.

Ipinapakilala ang pag-andar ng equalization, nakarating tayo sa pagkakapantay-pantay:

3(palakol 2 + bx+c) – 2(a(1 – x) 2 + b(1 – x) + c) = x 2 .

palakol 2 + (5 b + 4 a) x + (c – 2 a – 2 b) = x 2 .

Dalawang mayamang miyembro ang magiging pantay-pantay

mga coefficient sa parehong yugto ng pagbabago:

a = 1

5b + 4a = 0

c– 2 a – 2 b = 0.

Mula sa presyo ng sistema alam natin ang mga coefficient

a = 1 , b = - , c = , dinnakakabusogkasigasigan

3 f (x ) - 2 f (1- x ) = x 2 sa isang malaking bilang ng lahat ng aktibong numero. Bakit ganito ang tunog?x 0 Gawain 9. Tungkuliny =f(x) para sa lahat, ito ay makabuluhan, walang patid at nagbibigay-kasiyahan sa isipf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x . Hanapin ang dalawang function na ito.

Desisyon. Sa itaas ng function na hinahanap, dalawang aksyon ang konektado - ang pagpapatakbo ng isang nakatiklop na nakatiklop na function at

vidnіmannya. Ang mga doktor, dahil ang kanang bahagi ay isang linear function, natural na ipinapalagay na ang kinakailangang function ay linear din:f(x) = ah +b , deA іb - Hindi kilalang koepisyent. Ang pagpapalit ng function na ito saf (f ( (x ) = - X - 1 ;

f 2 (x ) = 2 X+ ano ang mga solusyon sa functional levelf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x .

Visnovok.

Kinakailangang tandaan na ang robot na ito ay lubhang madaling kapitan sa karagdagang pag-unlad ng orihinal mabisang paraan pagharap sa iba't ibang gawaing pangmatematika, na kinabibilangan ng mga kumplikadong gawain at nangangailangan ng masusing kaalaman sa kursong matematika ng paaralan at isang mataas na lohikal na kultura.

Sa trabaho, sa loob ng balangkas ng regular na programa ng paaralan at sa isang form na magagamit para sa epektibong pagpapatupad, mayroong isang paraan ng hindi gaanong mga coefficient, na binabawasan ang kalabuan ng kurso sa matematika ng paaralan.

Siyempre, ang lahat ng mga posibilidad ng paraan ng hindi gaanong mga coefficient ay hindi maipapakita sa isang gawain. Sa katunayan, ang pamamaraan ay mangangailangan pa rin ng karagdagang pag-unlad at pananaliksik.

Listahan ng panitikan ng Wikilist.

Glazer G.I.. Kasaysayan ng matematika sa paaralan.-M.: Prosvitnitstvo, 1983.

Gomonov S.A. Mga functional na antas sa kurso sa matematika ng paaralan // Matematika sa paaralan. - 2000. -№10 .

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.H.. Handbook ng matematika. - M.: Nauka, 1972.

Kurosh A.G. antas ng algebraic higit pang mga hakbang.-M.: Nauka, 1983.

Likhtarnikov L.M.. Elementarya na panimula sa mga antas ng pagganap. - St. Petersburg. : Lan, 1997.

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G.. Tlumachny Dictionary of Mathematical Terms.-M.: Prosvitnitstvo, 1971

Modenov V.P.. Isang gabay sa matematika. Bahagi 1.-M.: MDU, 1977.

Modenov V.P.. Pamamahala na may mga parameter.-M.: Ispit, 2006.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I.. Algebra at pagsusuri ng mga elementary function. - M.: Nauka, 1980.

Khaliullin A.A.. Maaari mong gawing mas simple // Matematika sa paaralan. – 2003 . - №8 .

Khaliulin.

4. Ikalat ang mayamang miyembro 2X 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X+ 3 sa mga multiplier na may lahat ng posibilidad.

5. Sa tuwing makabuluhan A X 3 + 6X 2 + Oh+ 12 bawat X+ 4 ?

6. Para sa anumang halaga ng parameterA RivnyanyaX 3 +5 X 2 + + Oh + b = 0 sa lahat ng mga coefficient mayroong dalawang magkaibang ugat, ang isa ay nauugnay sa 1 ?

7. Gitnang ugat ng mayamang miyembro X 4 + X 3 – 18X 2 + Oh + b na may buong logro ay mayroong tatlong pantay na buong numero. Hanapin ang kahulugan b .

8. Hanapin ang pinakamalaking halaga ng parameter A, sa kaso ng selos X 3 – 8X 2 + ah +b = 0 sa lahat ng mga coefficient mayroong tatlong magkakaibang mga ugat, ang isa ay nauugnay sa 2.

9. Para sa anumang kahulugan Aі b magkasya nang walang labis na laylayan X 4 + 3X 3 – 2X 2 + Oh + b sa X 2 – 3X + 2 ?

10. Hatiin ang maraming termino sa mga multiplier:

A)X 4 + 2 X 2 – X + 2 V)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 d)X 4 + 12X – 5

b)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 G)X 4 – 3X –2 e)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. Ilabas ang selos:

A)
= 2 = 2 f (1 – X ) = X 2 .

Hanapin f (X) .

13. Pag-andar sa= f (X) sa harap ng lahat X makabuluhan, walang patid at nagbibigay-kasiyahan sa isip f ( f (X)) = f (X) + X. Hanapin ang dalawang function na ito.

Ang selos (I) ay katumbas ng pagkakapareho. Ang pagkakaroon ng pagkakahugpong nito sa isang buong anyo, ang pagkakapantay-pantay ng dalawang mayamang miyembro ay inalis. Gayunpaman, ang gayong paninibugho ay palaging magwawakas sa isipan ng mga miyembro ng mayayamang miyembrong ito.

Ang mga pantay na coefficient sa parehong mga antas, na nakatayo sa kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay, ay nag-aalis ng sistema ng mga linear na katumbas ng hindi kilalang mga koepisyent, bilang isang resulta ng pagkakabukod.

Ang mga fragment ng layout (I) ay palaging kinakailangan para sa anumang tamang rational fraction, pagkatapos ay ganap na masisira ang system.

Ang pamamaraang ito ng paghahanap ng mga coefficient ay tinatawag na paraan ng hindi gaanong kahalagahan (paraan ng equalizing coefficients).

Tingnan natin ang aplikasyon ng mga rational function ng elementary fractions.

Puwit 6.6.27. Ikalat ang mga sangkap sa mga elementarya.

Ang natitirang selos ay maihahambing sa iba

Sa ganoong paraan
.

x=2 ;

x=3 .

Slide; .

Ang pamamaraan ng mga pribadong halaga ay nagreresulta sa mas mababang mga gastos at karapat-dapat ng espesyal na pansin kapag nagsasama ng mga rational fraction.

Kung ang ugat ng pag-sign ay hindi na epektibo, kung gayon ang pagkakakilanlan ng mga hindi kilalang coefficient ay dapat na ganap na matukoy sa ganitong paraan.

Sa ibang mga kaso, maaari mong pagsamahin ang dalawang paraan upang makilala ang mga hindi kilalang coefficient.

Paggalang. p align = "justify"> Ang pamamaraan ng mga pribadong halaga ay namumukod-tangi kahit na may iba pang mga pagkakaiba, ngunit narito ang pagkakapareho ng pagkita ng kaibahan ay kinakailangan.

Kaya, upang pagsamahin ang tamang rational fraction, sapat na tandaan:

1) isama ang elementarya fractions;

2) palawakin ang mga rational fraction sa elementarya.

3. Pagsasama-sama ng mga rational fraction

Scheme para sa pagsasama ng mga rational fraction:

Para sa pagsasama-sama ng mga rational fraction ;

Kung saan ang P(x) at Q(x) ay mayamang termino na may aktibong coefficient, upang ang tatlong linya ay mabubuo sa pagkakasunod-sunod.

Unang croc. Kung mali ang fraction, mas malaki ang stage ng numeral P(x) o mas mababang stage ng denominator Q(x), makikita ang buong bahagi ng rational fraction, na hinahati ang numeral sa denominator ayon sa panuntunan. ng paghahati ng mayamang termino sa mayamang termino. Pagkatapos ng makatuwirang talakayang ito, maaari kang gumawa ng mga tala sa iyong pananaw:

1) ang nakikitang buong bahagi - ang polynomial M(x);

2) tamang dagdag na shot :

Isa pang croc.

Tamang overkill drib hatiin sa naturang mga fraction.

Upang gawin ito, hanapin ang mga ugat ng equation na Q(x) = 0 at i-decompose ang sign Q(x) sa mga multiplier ng una at ikalawang yugto na may aktibong coefficient:

Sa layout na ito, ang mga multiplier ng 1st stage ay tumutugma sa mga aktibong ugat, at ang mga multiplier ng 2nd stage ay tumutugma sa parallel root.

Ang koepisyent para sa isang mas malaking hakbang na x sa sign Q(x) ay katumbas ng 1, na maaaring makamit sa pamamagitan ng paghahati ng P(x) at Q(x).

Pagkatapos nito, ang tamang labis ay hinati-hati sa pinakasimpleng (elementarya).

Pangatlong beses. Hanapin ang mga integral ng nakikitang buong bahagi at lahat ng elementarya na praksyon (gamit ang mga pamamaraan na tinalakay sa itaas), na pagkatapos ay idinagdag.

Butt6.6.28.

Sa ilalim ng tanda ng integral mayroong isang hindi tamang rational fraction, dahil ang antas ng numerator ay pareho sa antas ng signifier, kaya nakikita natin ang buong bahagi.