Paano matukoy ang mga coordinate ng isang vector. Vector para sa mga dummies. Mga larong may vector. Mga coordinate ng vector. Ang pinakasimpleng gawain sa mga vector. Formula para sa pagtukoy ng mga coordinate ng vector para sa mga malalawak na lugar

Nakuha ko ang aking mga kamay sa mga dakila at pinakahihintay. analytical geometry. Kaunti lang tungkol sa seksyong ito ng advanced na matematika. Chantly, naalala mo kaagad ang kurso ng geometry ng paaralan na may mga numerical theorems, ang kanilang mga patunay, pagsasanay, atbp. Ano ang dapat hulihin, kinasusuklaman at kadalasan ay isang maliit na pag-unawa sa paksa para sa isang makabuluhang bahagi ng mga mag-aaral. Ang analytical geometry, hindi nakakagulat, ay maaaring maging mas kapaki-pakinabang at naa-access. Ano ang ibig sabihin ng terminong "analytical"? Dalawang cliched na mathematical na parirala ang agad na naiisip: "graphical na paraan ng solusyon" at "analytical na paraan ng solusyon." Paraan ng graphic, Naiintindihan, konektado sa pang-araw-araw na iskedyul, armchair. Analitikal at paraan nagpapadala ng gawain sa mga banal mahalaga para sa tulong sa mga prosesong algebraic. Kaugnay nito, ang algorithm para sa pag-unraveling ng halos lahat ng mga gawain ng analytical geometry ay simple at insightful; madalas kailangan lang maingat na bumalangkas ng mga kinakailangang formula - at handa na ang sagot! Hindi, siyempre, walang paraan upang mabuhay nang walang mga upuan, kaya para sa kapakanan ng paggawa ng materyal na mas malinaw, susubukan kong gawin itong kinakailangan.

Ang kursong ito ng mga aralin sa geometry ay hindi nagpapanggap na kumpleto sa teorya, ngunit sa halip ay nakatuon sa paglutas ng mga praktikal na problema. Isasama ko lamang sa aking panayam ang mga, sa aking palagay, ay mahalaga sa praktikal na pananaw. Kung kailangan mo ng karagdagang impormasyon sa anumang paksa, inirerekumenda ko ang sumusunod na malawakang magagamit na literatura:

1) Mayaman, kung saan, nang walang apoy, alam natin ang ilang henerasyon: Handbook ng paaralan na may geometry, may-akda - L.S. Atanasyan at Kumpanya. Ang sabitan ng mga damit ng paaralan ay nakakita na ng 20 (!) pagbisita, na, siyempre, ay hindi ang limitasyon.

2) Geometry sa 2 volume. Mga may-akda L.S. Atanasyan, Bazilov V.T.. Ito ang panitikan na kailangan mo para sa iyong paaralan unang volume. Sa labas ng aking larangan ng pangitain, maaaring lumitaw ang mga kalabuan na bihirang mapatalas, at punong kasama magbigay ng napakahalagang tulong.

Ang mga na-offend na libro ay maaaring mabili nang walang bayad sa Internet. Bilang karagdagan, maaari mong i-browse ang aking mga archive na may mga handa na solusyon, na matatagpuan sa pahina Ipakilala ang mga aplikasyon ng advanced na matematika.

Mula sa mga instrumental na tampok, muli kong itinataguyod ang pagbuo ng kapangyarihan - kumplikadong software na may analytical geometry, na nangangahulugan ng pagpapasimple ng buhay at pagtitipid ng oras.

Mahalaga na ang mambabasa ay pamilyar sa mga pangunahing geometric na konsepto at figure: punto, linya, eroplano, tatsulok, parallelogram, parallelepiped, cube, atbp. Mahalagang tandaan ang mga theorem na ito, tulad ng Pythagorean theorem, pagbati sa ibang mga iskolar)

Isa-isang titingnan ito ni Nina: ang konsepto ng isang vector, mga ideya na may mga vector, mga coordinate ng vector. Inirerekumenda kong magbasa pa ang pinakamahalagang artikulo Pagdaragdag ng scaler ng mga vector, pati na rin ang Vector at mixed tvir vectors. Hindi ito magiging isang lokal na halaman - hinati ko ang seksyon sa bagay na ito. Batay sa impormasyon na iyong natutunan, maaari kang matuto tuwid na linya sa kapatagan h solusyon na may pinakasimpleng puwit kung ano ang papayagan matutunan kung paano malaman ang mga problema sa geometry. Ang parehong mga istatistika: Antas ng parisukat malapit sa kalawakan, Rivnyannya sa tabi mismo ng open space, Ang mga pangunahing gawain sa direktang at eroplano, iba pang mga seksyon ng analytical geometry. Naturally, ito ay kaaya-aya upang tumingin sa tipikal na mga gusali.

Vektor ng konsepto. Vilniy vector

Mula ngayon maaari nating ulitin sa paaralan ang pagtatalaga ng vector. Vector tinawag pagtuwid hiwa kung saan ang simula at wakas ay ipinahiwatig:

Kung ang tainga ng hiwa ay may punto, ang dulo ng hiwa ay may punto. Ang vector ng mga halaga mismo sa pamamagitan ng . Direkta Ang mas mahalaga ay kung ililipat mo ang arrow sa kabilang dulo ng seksyon, makakakuha ka ng vector , at pareho isang ganap na naiibang vector. Ang konsepto ng isang vector ay madaling makilala sa daloy ng pisikal na katawan: maghintay ng isang minuto, pumunta sa pintuan ng institute o umalis sa pintuan ng institute - para sa iba't ibang mga kadahilanan.

Sa paligid ng mga punto ng eroplano, ang espasyo ay madaling igalang, kaya tinatawag namin ito zero vector. Sa tulad ng isang vector, ang dulo at ang tainga ay magkasama.

!!! Tandaan: Dito at higit pa, maaari mong isaalang-alang na ang mga vector ay namamalagi sa parehong eroplano o isinasaalang-alang na sila ay kumakalat sa kalawakan - ang kakanyahan ng materyal na lumilitaw ay totoo para sa parehong lugar at espasyo.

Itinalaga: Sino ang agad na nagpakita ng paggalang sa patpat na walang palaso sa itinalagang lugar at nagsabi, maglagay ng palaso doon para sa hayop! Tama, maaari mo itong isulat gamit ang isang arrow: , ngunit katanggap-tanggap ako yung record na binigay ko sa vikorist. Bakit? Marahil ang ganoong bagay ay nabuo mula sa mga praktikal na merkuvan, kaya ang aking mga arrow sa paaralan at VNZ ay naging magkaiba ang kalibre at balbon. U pangunahing panitikan Minsan napagpasyahan nilang huwag magpakatanga sa cuneiform, ngunit tingnan ang mga titik na naka-bold: , bilang paggalang sa katotohanan na ito ay isang vector.

Iyon ay stylistics, at ngayon tungkol sa mga paraan upang magsulat ng mga vectors:

1) Ang mga vector ay maaaring isulat sa dalawang malalaking letrang Latin:
At iba pa. Sa puntong ito, ang unang titik obov'yazkovo nagsasaad ng panimulang punto ng vector, at ang iba pang titik - ang dulong punto ng vector.

2) Dapat ding isulat ang mga vector sa maliliit na letrang Latin:
Zokrema, ang aming vector ay maaaring muling idisenyo ng isang maliit na letrang Latin para sa kapakanan ng pagkakapare-pareho.

Dovzhina kung hindi modyul ng isang non-zero vector ay tinatawag na dovzhinka. Ang labis ng zero vector ay katumbas ng zero. Lohikal.

Ang halaga ng vector ay ipinahiwatig ng modulus sign: ,

Paano natin malalaman ang karamihan ng vector na alam natin (o ulitin natin, para kanino) nang kaunti bawat taon.

Ito ay mga elementarya na katotohanan tungkol sa mga vector na pamilyar sa lahat ng mga mag-aaral. Sa analytical geometry, ang mga ranggo ay makikita bilang mga sumusunod: libreng vector.

Ito ay napakasimple - vector ay maaaring ilagay sa anumang punto:

Ang nasabing mga vector ay tinawag na pantay (ang kahulugan ng mga pantay na vector ay ibibigay sa ibaba), ngunit mula sa isang purong matematikal na pananaw ay mayroong ISA AT ANG PAREHONG VECTOR o libreng vector. Bakit libre? Dahil sa kurso ng isang bagong gawain maaari mong "tugunan" ang ibang "paaralan" na vector mula sa BE-YAKU, kakailanganin kita ng isang punto ng patag at espasyo. Gaano kagaling ang kapangyarihan! Upang matukoy ang pagiging direkta ng isang pagkakasunud-sunod ng medyo maraming direksyon - maaari itong "ma-clone" ng walang katapusang bilang ng beses at sa anumang punto sa espasyo, sa esensya, ito ay sa pamamagitan ng isang sangang-daan. Ito ay isang order ng mag-aaral: Fuck the skin lecturer ayon sa vector. Ito ay hindi lamang sapat na mainit-init, ang lahat ay medyo tama - ang mga tuwid na hiwa ay maaaring iakma doon. Huwag mag-alala, ang mga estudyante mismo ang madalas na naghihirap.

Otje, libreng vector– tse impersonal gayunpaman, direktang pagbawas. Ang kahulugan ng paaralan ng vector, na ibinigay sa simula ng talata: "Ang vector ay tinatawag na pagtuwid ng mga seksyon...", ay maaaring igalang tiyak pagtuwid ng mga seksyon, pagkuha mula sa multiplicity na ito, tulad ng pag-link sa nais na punto ng eroplano o espasyo.

Dapat pansinin na ayon sa pisika, ang konsepto ng isang malakas na vector ay hindi tama, at ang punto ng pagwawalang-kilos ay makabuluhan. Mabisa, ang isang direktang suntok ng parehong puwersa sa ilong o noo upang gumiling ang pagbuo ng aking walang lalamunan na puwit ay nagdudulot ng mga patayan. Kaugnay nito, nevilny ang mga vector ay pinatalas at sa kurso ng vyshmat (huwag pumunta doon :)).

Mga larong may vector. Colinearity ng mga vectors

Ang isang kurso sa geometry ng paaralan ay sumasaklaw sa ilang mga aksyon at panuntunan batay sa mga vector: karagdagan sa tuntuning trikutnik, karagdagan sa panuntunang paralelogram, panuntunan ng pagkakaiba ng mga vector, pagpaparami ng isang vector sa isang numero, pagdaragdag ng scalar ng mga vector at iba pa. Bilang panimulang punto, inuulit namin ang dalawang panuntunan na partikular na nauugnay sa advanced na analytical geometry.

Ang panuntunan para sa natitiklop na mga vector pagkatapos ng panuntunan para sa tricutaneous

Tingnan natin ang dalawa pang non-zero vectors i:

Kinakailangang malaman ang kabuuan ng mga vector na ito. Sa pamamagitan ng katotohanan na ang lahat ng mga vector ay pantay, idinagdag namin ang vector sa pagtatapos vector:

Ang kabuuan ng mga vector ay isang vector. Para sa isang maikling pag-unawa sa mga patakaran, kinakailangang ganap na isama ang mga pisikal na pagbabago: hayaan ang iyong katawan na maging isang vector, at pagkatapos ay isang vector. Pagkatapos ang kabuuan ng mga vector ay ang vector ng nagresultang landas na may cob sa punto ng pag-alis at ang dulo sa punto ng pagdating. Ang isang katulad na panuntunan ay maaaring buuin para sa anumang bilang ng mga vector. Tulad ng tila, ang katawan ay maaaring pumunta nang husto sa isang zigzag, at marahil sa autopilot - kasama ang nagresultang vector ng kabuuan.

Bago ang pagsasalita, bilang isang vector ng pagsasama cob vector, kung gayon ito ay magiging katumbas tuntunin ng paralelogram pagdaragdag ng mga vector.

Kaunti tungkol sa colinearity ng mga vectors. Ang dalawang vector ay tinatawag Kolinear kung ang baho ay namamalagi sa isang tuwid na linya o sa parallel na tuwid na mga linya. Sa halos pagsasalita, pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga parallel vectors. Si Alestosovno ang unang gumamit ng palayaw na "kolinearni".

Kilalanin ang dalawang collinear vectors. Kung ang mga arrow ng mga vector na ito ay itinuwid sa parehong direksyon, ang mga naturang vector ay tinatawag tuwid. Habang lumilitaw ang mga arrow sa iba't ibang panig, ang mga vector ay magiging tuwid.

Itinalaga: Ang colinearity ng mga vector ay naitala na may pangunahing simbolo ng parallelism: sa kasong ito, ang pagdedetalye ay posible: (ang mga vector ay co-directed) o (mga vector ay tuwid na kasama).

Tagapaglikha ng isang di-zero na vector sa isang numero ay tulad ng isang vector na kapareho ng bawat isa, at ang mga vectors na i ay codirectional at parallel sa isa't isa sa .

Ang panuntunan para sa pagpaparami ng vector sa isang numero ay madaling maunawaan gamit ang kaunting tulong:

Tingnan natin nang mas malapitan:

1) Direkta. Kung ang multiplier ay negatibo, kung gayon ang vector direktang nagbabago sa kama.

2) Dovzhina. Kung ang multiplier ay inilagay sa pagitan ng abo at pagkatapos ay ang dovzhina ng vector mga pagbabago. Kaya, ang dovzhina ng vector ay dalawang beses na mas mababa kaysa sa dovzhina ng vector. Kung ang multiplier sa likod ng modulus ay mas malaki kaysa sa isa, kung gayon ang pagdodoble ng vector tataas sa oras.

3) Ibalik ang iyong paggalang lahat ng mga vector ay collinear kung saan ang isang vector ng mga expression sa pamamagitan ng isa pa, halimbawa, . Bumalik sa kanan Kung ang isang vector ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng isa pa, kung gayon ang mga vectors ay kinakailangang colinear. Sa ganitong paraan: Kapag pinarami natin ang isang vector sa isang numero, nakakakuha tayo ng colinear(Ayon sa araw bago ang katapusan ng linggo) vector.

4) Ang mga vector ay naituwid. Nakatuwid din ang mga vector. Kung ang vector ng unang pangkat ay pareho sa pagdidirekta ng vector ng kabilang grupo.

Aling mga vector ang pantay?

Ang dalawang vector ay pantay, dahil ang baho ay itinuwid at umaagos patungo sa dulo. Pakitandaan na ang codirectionality ay nagbibigay ng colinearity ng mga vectors. Magiging hindi tumpak (overkill) na sabihin: "Ang dalawang vector ay pantay, dahil sila ay colinear, sila ay itinuwid at nahaharap sa parehong pagkakaiba."

Mula sa hitsura ng isang malinaw na vector, ang mga pantay na vector ay ang parehong vector na natagpuan na sa nakaraang talata.

Vector coordinate sa isang patag na ibabaw at malapit sa isang kalawakan

Ang unang punto ay tingnan ang mga vector sa eroplano. Ang isang maiisip na Cartesian rectilinear coordinate system ay ipinakilala sa magaspang na mga coordinate walang asawa mga vector:

Mga vector orthogonal. Orthogonal = Perpendicular. Inirerekomenda ko ang unti-unting pag-aaral ng mga termino: palitan ang parallelism at perpendicularity sa parehong paraan tulad ng salita kolinearidadі orthogonality.

Itinalaga: Ang orthogonality ng mga vector ay isinulat gamit ang simbolo ng perpendicularity, halimbawa: .

Mga vector na tinitingnan, pinangalanan coordinate vectors kung hindi orts. Ang mga vector ng data ay nilikha batayan sa parisukat. Ano ang batayan na ito, sa palagay ko, ay madaling maunawaan; ang mas detalyadong impormasyon ay matatagpuan sa mga istatistika Linear (hindi) lokasyon ng mga vector. Batayang vector Sa simpleng salita, ang batayan at ang core ng mga coordinate ay tumutukoy sa buong sistema - ito ay isang uri ng pundasyon kung saan umiikot ang panlabas at matinding geometriko na buhay.

Kung kinakailangan, ang batayan ay tinatawag orthonormalize batayan ng lugar: "ortho" - ang mga fragment ng coordinate vectors ay orthogonal, ang tanda ng "normalization" ay nangangahulugang solong, pagkatapos. Pagdodoble ng mga vector sa batayan ng mga sinaunang yunit.

Itinalaga: batayan zazvichay sumulat sa mga bilog na braso, sa gitna ng mga ito sa sumusunod na pagkakasunod-sunod oversure ang mga batayang vector, halimbawa: . Mga vector ng coordinate hindi pwede muling ayusin sa mga lugar.

Kahit ano vector ng lugar sa isang ranggo lumilitaw sa hitsura:
, de - numero kung ano ang tawag sa kanila mga coordinate ng vector sa anong batayan. At si Viraz mismo tinawag paglalahad ng vectorsa pamamagitan ng batayan .

Hinahain ang hapunan:

Magsimula tayo sa unang titik ng alpabeto: . Mula sa armchair ay malinaw na nakikita na mula sa mga vector na inilatag ayon sa batayan, ang vicoristics ay maaaring maingat na tingnan:
1) ang panuntunan para sa pagpaparami ng vector sa isang numero: i;
2) pagtitiklop ng mga vector ayon sa tricutaneous rule: .

At ngayon isipin natin ang tungkol sa pagdaragdag ng vector sa anumang iba pang punto ng eroplano. Ito ay ganap na halata na ang kanyang paglalahad ay "imposible para sa amin na sundin." Ang axis ay ang kalayaan ng vector - ang vector ng "dala ang lahat sa iyo." Ang kapangyarihang ito, naiintindihan, ay maririnig sa anumang vector. Nakakatawa na ang mga pangunahing vectors mismo ay hindi kinakailangang kasama sa mga coordinate, ang isa ay maaaring ipinta, halimbawa, kaliwang kamay sa ibaba, at ang iba pang kanang kamay sa itaas, at walang magbabago! Totoo, hindi na kailangang magtrabaho nang husto, ang mga fragment ng deposito ay maaaring magbunyag ng pagka-orihinal at matiyak na ikaw ay nakaseguro sa isang hindi kilalang lugar.

Eksaktong inilalarawan ng mga vector ang panuntunan ng pagpaparami ng vector sa isang numero, isang vector ng mga direksyon na may base vector, isang vector ng mga direksyon na nagpapahaba sa isang base vector. Para sa mga vector na ito, ang isa sa mga coordinate ay katumbas ng zero, maaari mong maingat na isulat ito tulad nito:


At ang mga batayang vectors, bago magsalita, ay ganito: (essentially, they are expressed through themselves).

І rest: , . Bago ako magsalita, ano ang isang natatanging vector, at bakit hindi ko narinig ang tungkol sa panuntunan ng ibang vector? Dito, sa linear algebra, hindi ko na matandaan kung saan, ang ibig kong sabihin ay ito ay isang malubhang kabiguan ng pagtitiklop. Kaya, ang layout ng mga vector na "de" at "e" ay madaling maisulat bilang kabuuan: , . Sundin ang mga upuan, tulad ng malinaw sa mga sitwasyong ito ang magandang lumang pagtiklop ng mga vector ay sumusunod sa panuntunan ng tricubitus.

Tingnan ang layout Minsan tinatawag na vector layout sa system ort(Ang parehong sa sistema ng mga solong vectors). Bagama't walang iisang paraan para magsulat ng vector, mayroong extension sa sumusunod na opsyon:

O ito ay tanda ng kasigasigan:

Ang mga batayang vector mismo ay nakasulat tulad ng sumusunod: i

Kaya, ang mga bilog na braso ay nagpapahiwatig ng mga coordinate ng vector. Sa pagsasagawa, mayroong tatlong opsyon sa pag-record na magagamit.

Hindi ako sigurado kung ano ang sasabihin, ngunit sasabihin ko pa rin: hindi maaaring muling ayusin ang mga coordinate ng vector. Suvoro sa unang araw isinulat namin ang coordinate na tumutugma sa isang solong vector, suvoro sa ibang lugar Isinulat namin ang coordinate na tumutugma sa isang vector. Sa katunayan, ang i ay dalawang magkaibang vectors.

Ang mga coordinate sa eroplano ay na-map out. Ngayon tingnan natin ang mga vectors sa maliit na espasyo, halos pareho ito dito! Isang coordinate na lang ang magiging available. Mahalagang tandaan ang mga three-dimensional na armchair, kaya ibabahagi ko ang isang vector, na para sa pagiging simple ay idaragdag ko sa mga coordinate:

Kahit ano vector trivial space ay posible sa isang paraan hatiin ayon sa orthonormal na batayan:
, de - Mga coordinate ng vector (numero) sa batayan na ito.

Halimbawa mula sa larawan: . Tingnan natin kung paano gumagana ang mga panuntunan ng pagkilos na may mga vectors dito. Una sa lahat, i-multiply ang vector sa numero: (pulang arrow), (berdeng arrow) at (raspberry arrow). Sa ibang paraan, nasa harap mo ang halimbawa ng pagdaragdag ng kasing dami ng tatlong vectors: . Ang kabuuan ng vector ay nagsisimula sa exit point ng direksyon (ang ulo ng vector) at dumidikit sa sub-point ng pagdating (sa dulo ng vector).

Ang lahat ng mga vector ng trivial space, siyempre, ay libre din, subukan ang ideya ng pagpasok ng isang vector sa anumang iba pang punto, at mauunawaan mo na ang iyong layout ay mawawala sa oras na ito.

Katulad ng isang flat drop, ngunit isa ring record Ang mga bersyon na may mga templo ay malawakang ginagamit: o .

Kung ang inilatag na araw ay may isa (o dalawang) coordinate vectors, pagkatapos ay papalitan sila ng mga zero. Mag-apply:
vector (mabilis ) - Isulat mo;
vector (mabilis ) - Isulat mo;
vector (mabilis ) - isulat natin ito.

Ang mga batayang vector ay nakasulat tulad nito:

Ang axis, marahil, at lahat ng minimal na teoretikal na kaalaman, ang mga kinakailangang advanced na gawain para sa analytical geometry. Maaaring maraming termino at kahulugan, kaya inirerekomenda ko na basahin at unawain muli ng mga dummies ang impormasyong ito. Gayunpaman, mahihirapan ang sinumang mambabasa na bumalik sa pangunahing aralin upang mas mahusay na makabisado ang materyal. Colinearity, orthogonality, orthonormal na batayan, pagpapalawak ng vector - ang iba pang mga konsepto na ito ay madalas na tinatalakay pa. Pansinin ko na ang mga materyales ng site ay hindi sapat para sa paglikha ng isang theoretical chamber, isang coloquium na may geometry, kaya maingat kong i-encrypt ang lahat ng theorems (kahit na walang mga patunay) - sa gastos ng pang-agham na istilo ng pagtatanghal, ngunit isang plus para sa iyong pag-unawa ng paksa. Upang makuha ang teoretikal na konklusyon mula sa ulat, mangyaring sundan ang landas patungo kay Propesor Atanasyan.

Lumipat tayo sa praktikal na bahagi:

Ang pinakasimpleng anyo ng analytical geometry.
Mga diagram na may mga vector sa mga coordinate

Ang mga katotohanang titingnan ay halos tiyak na matututong gumana nang awtomatiko, at ang mga formula Tandaan, gayunpaman, hindi nila partikular na naaalala, sila mismo ay naaalala =) Napakahalaga na ang mga fragment sa pinakasimpleng elementarya na aplikasyon ay batay sa iba pang mga uri ng analytical geometry, at gugugol sila ng karagdagang oras sa pagpapakain ng mga bagay. Hindi na kailangang magsuot ng pang-itaas ng iyong kamiseta, maraming mga talumpati na alam mo mula sa paaralan.

Ang kontribusyon sa materyal ay sumusunod sa isang parallel na kurso - parehong patag at espasyo. Para sa mga kadahilanang ito, kailangan mong matutunan ang lahat ng mga formula sa iyong sarili.

Paano malalaman ang isang vector mula sa dalawang puntos?

Kung ang dalawang punto ng eroplano i ay ibinigay, kung gayon ang vector ay may mga sumusunod na coordinate:

Kung ang dalawang puntos ay ibinigay sa espasyo i, kung gayon ang vector ay may mga sumusunod na coordinate:

Tobto, mula sa mga coordinate ng dulo ng vector ito ay kinakailangan upang pumili ng karagdagang mga coordinate cob vector.

Zavdannya: Para sa mga puntong ito mismo, isulat ang mga formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng vector. Ang mga formula ay parang isang aral.

Puwit 1

Ibinigay ang dalawang punto ng eroplano i. Alamin ang mga coordinate ng vector

Desisyon: sumusunod sa pangunahing pormula:

Bilang opsyon, maaari mong i-edit ang nakakasakit na entry:

Natural lang na sabihin ito ng ganito:

Tatawagan kita lalo na sa unang bersyon ng pag-record.

Paksa:

Hindi na kailangan ng upuan sa likod ng washbasin (na karaniwan para sa analytical geometry), ngunit bilang isang paraan ng pagpapaliwanag ng ilang mga punto sa mga dummies, hindi ako lalayo:

Kailangang maunawaan ang Obov'yazkovo Pagkakaiba-iba sa pagitan ng mga coordinate ng punto at mga coordinate ng vector:

Mga punto ng coordinate- Ito ang mga pangunahing coordinate sa rectilinear coordinate system. Maglagay ng mga batik coordinate plane Sa tingin ko ang lahat ay mawawala sa ika-5-6 na baitang. Ang punto ng balat ay may permanenteng lugar sa ibabaw, at imposibleng ilipat ang mga ito kahit saan.

Mga coordinate ng vector- Ito ay inilatag ayon sa batayan, sa lugar na ito. Kung ang anumang vector ay libre, kung gayon, sa anumang kadahilanan, madali nating mailalagay ito sa anumang iba pang punto ng eroplano. Kapansin-pansin na ang mga vector ay maaaring magkaroon ng iba't ibang mga palakol, isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate, at isang batayan ay kinakailangan, dahil para sa mga orthonormalization ang batayan ng lugar ay kinakailangan.

Ang mga talaan ng mga coordinate ng mga puntos at mga coordinate ng mga vector ay medyo magkatulad: , at coordinate sense ganap magkaiba, at dapat mong mabait na maunawaan ang pagkakaibang ito. Ang kahalagahan na ito, naiintindihan, ay totoo rin para sa espasyo.

Mga kababaihan at mga ginoo, punan natin ang ating mga kamay:

Puwit 2

a) Ibinigay ang mga puntos. Alamin ang mga vectors.
b) Mga puntos ng data ta . Alamin ang mga vectors.
c) Ibinigay ang punto. Alamin ang mga vectors.
d) Mga puntos ng data. Alamin ang mga vector .

Siguro sapat na iyon. Ang mga ito ay kapaki-pakinabang para sa mga independiyenteng desisyon, subukang huwag pansinin ang mga ito, magbabayad sila ;-). Hindi na kailangang mahiya sa armchair. Mga solusyon at halimbawa sa katapusan ng aralin.

Ano ang mahalaga sa modernong panahon ng analytical geometry? Mahalaga na maging lubhang magalang, upang hindi magpakasawa sa kompromiso ng master na "dalawa plus dalawa at zero." Magtatanong ulit ako agad, dahil naawa ako =)

Paano ko malalaman ang takdang petsa?

Ang Dovzhina, tulad ng ibig sabihin, ay itinalaga ng tanda ng modyul.

Kung ang dalawang punto ng eroplano i ay ibinigay, kung gayon ang halaga ng hiwa ay maaaring kalkulahin gamit ang formula

Kung ang dalawang puntos ay ibinigay sa puwang i, kung gayon ang haba ng puwang ay maaaring kalkulahin gamit ang formula

Tandaan: Hindi na magiging tama ang mga formula kung babaligtarin mo ang mga coordinate: i , o ang karaniwang unang opsyon

Puwit 3

Desisyon: sumusunod sa pangunahing pormula:

Paksa:

Para sa kalinawan, ipapakita ko sa iyo ang upuan

Vidrazok – hindi ito vector, at malinaw na imposibleng ilipat ito kahit saan. Bilang karagdagan, kung pipiliin mo ang upuan sa isang sukat: 1 yunit. = 1 cm (dalawang tahi), pagkatapos ay ang cut-out na linya ay maaaring suriin sa isang tuwid na linya, diretso sa dulo ng hiwa.

Kaya, ang sagot ay maikli, ngunit mayroon pa ring ilang mahahalagang punto na nais kong ipaliwanag:

Una sa lahat, itinakda namin ang laki ng mga species: "isa". Hindi sinasabi ng isip kung ano ito, milimetro, sentimetro, metro o kilometro. Samakatuwid, ang mga desisyon na may kasanayan sa matematika ay magkakaroon ng mas pormal na pormula: "mga" - pinaikli sa "isa."

Sa ibang paraan, ulitin natin ang materyal sa paaralan, na hindi lamang kayumanggi para sa ibinigay na gawain:

Ibalik ang respeto sa mahalagang teknik – vine multiplier mula sa ugat. Bilang resulta, kinakalkula namin ang pinakamataas na resulta at ang isang mahusay na istilo ng matematika ay naglilipat ng multiplier mula sa ugat (kung posible). Ang proseso ng pag-uulat ay ganito: . Siyempre, ang pag-alis sa hitsura ng iyong hitsura ay hindi isang magandang bagay - ngunit isang magandang argumento para sa pagdikit nito sa gilid ng bank account.

Mga palakol ng iba pang pinalawak na mga kasukasuan:

Ito ay hindi pangkaraniwan para sa maraming tubig na lumabas sa ilalim ng mga ugat, halimbawa. Paano ka napasok sa gulo ng ganito? Tinitingnan ng calculator kung ang numero ay nahahati sa 4: . Kaya, ito ay ganap na nahahati, sa ganitong pagkakasunud-sunod: . Baka ma-divide mo ulit ang number sa 4? . Sa ganitong paraan: . Ang huling numero ay may unpaired digit, kaya ang pangatlo ay hinati sa 4 ay malinaw na hindi posible. Subukan nating hatiin ang siyam: . Ang resulta:
handa na.

Visnovok: Kung walang isang buong numero sa ilalim ng ugat, kailangan nating ipasok ang multiplier ng ugat - sa calculator sinusuri natin kung ang numero ay: 4, 9, 16, 25, 36, 49, atbp.

Habang umuusad ang iba't ibang gawain, kadalasang nagiging mas makitid ang mga ugat, kaya laging subukang kunin ang mga multiplier mula sa ilalim ng mga ugat upang maiwasan ang mababang marka at hindi kinakailangang mga problema mula sa karagdagang pagproseso ng iyong mga desisyon para sa paggalang ng depositor.

Ulitin natin kaagad ang kumbinasyon ng mga ugat at parisukat at iba pang mga hakbang:

Mga tuntunin ng pagkilos sa mga yugto kaakit-akit na hitsura Maaari mong malaman sa algebra ng iyong guro sa paaralan, ngunit sa palagay ko, sa tulong ng mga aplikasyon, malamang na malinaw na ang lahat.

Silid para sa independiyenteng paglaki na may kaunting espasyo:

Puwit 4

Binigyan ng specks i. Alamin ang petsa ng hapunan.

Ang solusyon at pagtatapos ng aralin.

Paano malalaman ang dovzhin ng isang vector?

Kapag naibigay na ang area vector, ang kontribusyon nito ay kinakalkula gamit ang formula na ito.

Kung ang puwang ng vector ay ibinigay, kung gayon ang dovzhin na ito ay kinakalkula gamit ang formula .

Ang paghahanap ng mga coordinate ng isang vector ay madalas na nagiging isang malaking problema sa matematika. Ang pag-alam sa mga coordinate ng vector ay makakatulong sa iyo sa iba pang mas kumplikadong mga gawain sa mga katulad na paksa. Sa artikulong ito, titingnan natin ang formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng isang vector na katumbas ng tinukoy na halaga.

Paghahanap ng mga coordinate ng vector malapit sa eroplano

Ano ang flatness? Ang lugar ay tumutukoy sa isang dalawang-dimensional na espasyo, isang puwang na may dalawang mundo (dimensyon x at dimensyon y). Halimbawa, papir – patag. Ang tuktok ng mesa ay patag. Ang anumang volumetric figure (parisukat, tatsulok, trapezoid) ay flat din. Kaya, dahil kailangan mong malaman ang mga coordinate ng isang vector na nasa isang eroplano, maaari mong agad na isipin ang x at y. Maaari mong malaman ang mga coordinate ng naturang vector tulad ng sumusunod: Coordinates AB ng vector = (xB – xA; yB – xA). Ipinapakita ng pormula na mula sa mga coordinate ng end point ay kinakailangan upang piliin ang mga coordinate ng root point.

Puwit:

• Ang Vector CD ay matatagpuan sa ugat (5; 6) at dulo (7; 8) na mga coordinate.
• Alamin ang mga coordinate ng vector.
• Batay sa formula ng Vikorist, maaari nating alisin ang sumusunod na expression: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Kaya, coordinate CD vector = (2; 2).
• Tila, ang x coordinate ay ang parehong dalawa, ang y coordinate ay ang parehong dalawa.

Paghahanap ng mga coordinate ng vector sa espasyo

anong mali? Ang kalawakan ay isa nang walang kuwentang mundo, kung saan binibigyan ng 3 coordinate: x, y, z. Kung kailangan mong malaman ang vector na nasa espasyo, halos hindi nagbabago ang formula. May isa pang coordinate na magagamit. Upang mahanap ang vector, kailangan mong baguhin ang mga coordinate ng dulo sa mga coordinate ng ugat. AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

Puwit:

• Ang Vector DF ay naglalaman ng mga cobs (2; 3; 1) at mga dulo (1; 5; 2).
• Ang formula ni Zastosov ay batay sa mga sumusunod: Coordinates ng vector DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Tandaan, ang mga halaga ng coordinate ay maaaring negatibo, na walang problema.

Paano ko malalaman ang mga coordinate ng isang vector online?

Kung sa anumang kadahilanan ay hindi mo nais na mahanap ang mga coordinate sa iyong sarili, maaari mong mabilis na gumamit ng isang online na calculator. Para sa cob, piliin ang laki ng vector. Ang laki ng vector ay nagpapahiwatig ng pagkamatay nito. Ang dimensyon 3 ay nangangahulugan na ang vector ay malapit sa espasyo, ang dimensyon 2 ay nangangahulugan na ito ay malapit sa patag. Susunod, ipasok ang mga coordinate ng punto sa panlabas na patlang at ang programa ay magbibigay sa iyo ng mga coordinate ng vector mismo. Napakasimple ng lahat.

Sa pamamagitan ng pagpindot sa pindutan, awtomatikong mag-i-scroll pababa ang pahina at ipapakita sa iyo ang tamang sagot kasama ang mga hakbang ng solusyon.

Inirerekomenda na maingat na basahin ang paksang ito, dahil ang konsepto ng isang vector ay karaniwan sa matematika at sa pisika. Pinag-aaralan din ng mga mag-aaral ng Faculty of Information Technologies ang paksa ng mga vector, ngunit din sa isang katulad na antas.

Sa abscis at ordinate axis sila ay tinatawag mga coordinate vector. Ang mga coordinate ng vector ay isinasaalang-alang tulad ng sumusunod: (x, y) at ang vector mismo ay yak: =(x, y).

Formula para sa pagkalkula ng mga coordinate ng vector ng dalawang-mundo na mga utos.

Paminsan-minsan halaman sa looban vector na may vidomimi mga coordinate ng mga puntos A(x 1;y 1)і B(x 2 ; y 2 ) maaaring kalkulahin:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Formula para sa pagtukoy ng mga coordinate ng vector para sa mga bukas na espasyo.

Sa maluwag na lugar na ito, isang vector na may mga tanawin mga coordinate ng mga puntos A (x 1; y 1;z 1 ) ta B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) maaaring kalkulahin gamit ang sumusunod na formula:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Ang mga coordinate ay nagbibigay ng all-round na katangian ng isang vector, at ang mga coordinate ay maaaring gamitin upang ilarawan ang vector mismo. Alamin ang mga coordinate, madaling kalkulahin dovzhin vector. (Power 3, naka-hover sa ibaba).

Kapangyarihan ng mga coordinate ng vector.

1. Anuman pantay na mga vector V pinag-isang sistema mga coordinate loom Mga coordinate ng Rivni.

2. Coordinate Mga colinear na vector proporsyonal Para sa iyong isip, kung ano ang nabuo mula sa mga vectors ay hindi katumbas ng zero.

3. Ang parisukat ng bawat vector ay ang kabuuan ng mga parisukat nito mga coordinate.

4.Sa panahon ng operasyon pagpaparami ng vector sa aktibong numero Ang skin coordinate ay pinarami ng numero.

5. Sa oras ng operasyon, ang kabuuan ng mga nakatiklop na vector ay kinakalkula mga coordinate ng vector.

6. Scalar add-on dalawang vector ang katumbas ng kabuuan ng mga katumbas na coordinate.