Mga sistema ng trigonometriko iregularidad - inilapat. Ang pinakasimple at pinaka kumplikadong mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko. Pagbawas ng mga trigonometric equation sa mga algebraic

Sa mga praktikal na aralin, uulitin namin ang mga pangunahing uri ng mga gawain mula sa mga paksang "Trigonometry", at susuriin pa namin ang mga gawain. advanced na pagtitiklop At titingnan natin ang mga aplikasyon ng pag-unrave ng iba't ibang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko sa kanilang mga sistema.

Tutulungan ka ng araling ito na maghanda para sa isa sa mga uri ng pagkatuto B5, B7, C1 at C3.

Ito ay nagkakahalaga ng pag-uulit ng mga pangunahing uri ng mga gawain na aming tiningnan sa paksang "Trigonometry" at, malamang, isang bilang ng mga hindi karaniwang gawain.

Zavdannya No. 1. Vikonati isinalin Kutiv u Radiani at degrees: a) ; b).

a) Ang formula para sa pag-convert ng mga degree sa radians ay mabilis

Posibleng palitan ang kahulugan bago nito.

b) Ibuod natin ang pormula para sa pag-convert ng mga radian sa mga degree

Tinukoy namin ang pagpapalit .

Kumpirmasyon. A); b).

Zavdannya No. 2. Kalkulahin: a); b).

a) Ang mga fragment ay malayo sa talahanayan, na maaaring baguhin gamit ang karagdagang panahon ng sine. kasi kut ng mga indikasyon sa radians, pagkatapos ay ang panahon ay isinasaalang-alang bilang mga sumusunod.

b) Ang sitwasyon ay magkatulad sa parehong mga kaso. Mga fragment ng mga indikasyon sa mga degree, pagkatapos ay ang panahon ng tangent ay makikita bilang mga sumusunod.

Ang pagbabawas ay maaaring mas mababa sa isang tuldok, o higit pa, at nangangahulugan ito na hindi na posible na pumunta sa pangunahing bahagi ng talahanayan, ngunit sa pinalawig na bahagi ng talahanayan. Upang hindi ma-strain ang iyong memorya sa nakaimbak na pinalawig na talahanayan ng mga halaga ng trigofunction, tingnan natin muli ang tangent period:

Ang unparity ng tangent function ay naiugnay.

Kumpirmasyon. a) 1; b).

Zavdannya No. 3. Kalkulahin yakscho

Ibaba natin ang lahat ng expression sa mga tangent, na hinahati ang numero at ang tanda ng fraction sa . Kaya, maaari tayong matakot, dahil... ang padaplis ay walang anumang halaga.

Zavdannya No. 4. Patawarin mo si Viraz.

Ang mga itinalagang expression ay muling nilikha gamit ang mga karagdagang formula. Kaya lang, ang baho ay hindi maayos na naitala mula sa iba't ibang antas. Ang unang expression ay ang numero. Pasimplehin natin ang lahat ng mga trigofunction sa mga tuntunin ng:

kasi , pagkatapos ay ang function ay nagbabago sa isang cofunction, pagkatapos. sa cotangent, at kung saan ibinabawas nito ang isang quarter mula sa isa, na may negatibong tanda bilang output tangent.

Para sa mga kadahilanang ito, tulad ng naunang sinabi, ang function ay binago sa isang co-function, pagkatapos. sa cotangent, at pagkatapos ay lumubog ito sa unang quarter, na may positibong tanda sa output tangent.

Ilagay natin ang lahat sa pinasimpleng anyo:

Zavdannya No. 5. Patawarin mo si Viraz.

Isulat natin ang padaplis ng slope gamit ang sumusunod na formula at sabihin lang:

Ang natitirang pagkakakilanlan ay kapareho ng mga unibersal na pormula ng pagpapalit para sa cosine.

Zavdannya No. 6. Kalkulahin.

Para sa smut, huwag gumawa ng standard cut at huwag magbigay ng ebidensya na ito ay mas luma. Hindi posible na mabilis na matukoy ang pangunahing kapangyarihan ng arctangent hanggang sa mayroong isang multiplier sa anyo ng dalawa. Upang maisulat mo ang formula para sa tangent ng undergrowth, ilagay mo sa iyo, tulad ng bago ang pangunahing argumento.

Ngayon ay posible na italaga ang pangunahing kapangyarihan sa arctangent, at maaari nating hulaan na walang pagkakaiba sa pagitan ng numerical na resulta at ang arctangent.

Zavdannya No. 7. Pantay-pantay ang virishity.

Kapag ang shot equation ay mas malaki sa zero, pagkatapos ay ipinapahiwatig na ang numero ay katumbas ng zero, ngunit ang denominator ay hindi, dahil Hindi posibleng hatiin ng zero.

Ang unang equation ay bilugan sa pinakasimpleng equation, na tinutukoy gamit ang trigonometric stake. Isipin ang pamamaraang ito ng pagkakalas sa iyong sarili. Ang isa pang pagkakaiba ay lumilitaw na dahil lamang sa literal na pormula ng mga ugat ng tangent, sa halip na ang pagtatala ng tanda ng hindi pagkakapantay-pantay.

Sa katunayan, ang isang pamilya ng mga ugat ay kinabibilangan ng isa pang katulad na pamilya ng mga ugat na hindi nagbibigay-kasiyahan sa mga katutubo. Tobto. Ang ugat ay pipi.

Kumpirmasyon. Ang ugat ay pipi.

Zavdannya No. 8. Pantay-pantay ang virishity.

Pakitandaan na maaari kang magdala ng malaking multiplier at gawin ito:

Ang equation ay nabawasan sa isa sa mga karaniwang anyo kapag ang ilang multiplier ay idinagdag sa zero. Alam na natin na sa kasong ito, alinman sa mga ito ay katumbas ng zero, o ang isa, o ang pangatlo. Isulat natin ito sa mga tuntunin ng kabuuan ng mga ranggo:

Ang unang dalawang ranggo ay malapit na nauugnay sa pinakasimpleng mga, na may mga katulad na ranggo na sila ay naging napakalapit na konektado, na kung kaya't, tila, sila ay decoupled. Ang ikatlong antas ay maaaring dalhin sa isang function gamit ang karagdagang formula para sa sine ng sub-section.

Malamang na mananatiling tapat tayo:

Ang simbahan ay walang mga ugat, dahil ang mga halaga ng sine ay hindi maaaring lumampas sa mga hangganan .

Kaya, mayroon lamang dalawang unang pamilya ng mga ugat, maaari silang pagsamahin sa isa, na madaling ipakita sa isang trigonometric scale:

Ito ay isang pamilya ng lahat ng kalahati, kung gayon.

Lumipat tayo sa paglutas ng mga iregularidad ng trigonometric. Tingnan natin ang diskarte bago tanggalin ang puwit nang hindi gumagamit ng mga formula zagalnyh mga desisyon, at para sa karagdagang tulong mayroong trigonometric stake.

Zavdannya No. 9. Ilabas ang kaba.

Ito ay kinakatawan sa trigonometric scale ng isang karagdagang linya, na nagpapatunay na ang halaga ng sine ay pantay at nagpapakita ng pagitan sa pagitan ng mga sulok na nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay.

Napakahalaga na maunawaan kung paano alisin ang mga puwang ng hiwa, kung gayon. Ano sa cob, ano sa dulo. Ang puwang sa tainga ay puputulin, na ipinapahiwatig ng punto kung saan makikita natin ang puwang sa tainga mismo, habang ito ay bumagsak laban sa arrow ng taon. May point ang fallout natin na may kasamaan, kasi. pagbagsak laban sa arrow ng anibersaryo at pagpasa sa tamang punto, sa wakas ay nakalabas kami sa kinakailangang puwang. Ang tamang punto, kung gayon, ay pare-pareho sa dulo ng puwang.

Ngayon ito ay kinakailangan upang maunawaan ang kahalagahan ng mga pinagputulan ng pumalo at ang pagtatapos ng aming panahon ng unraveling ng hindi pantay. Ang isang karaniwang kahilingan ay upang ipahiwatig sa kahon na ang kanang tuldok ay nagpapahiwatig ng lokasyon, ang kaliwang tuldok ay nagpapahiwatig ng petsa ng pagkumpirma. Hindi ito totoo! Mangyaring tandaan na maingat naming ipinahiwatig ang puwang, na nagpapahiwatig ng itaas na bahagi ng stake, na gustong i-highlight ang mas mababang bahagi, kung hindi man ay tila nalilito namin ang cob at ang dulo ng agwat na kailangan naming lutasin.

Para magsimula ang agwat sa tamang punto at magtatapos sa kaliwang punto, kinakailangan na ang unang indikasyon ay mas mababa kaysa sa isa. At doon natin makikita ang mga tamang punto sa negatibong direksyon, kung gayon. sa likod ng arrow ng anibersaryo at sa mas modernong paraan. Pagkatapos, simulang lumipat mula sa puntong ito sa isang positibong direksyon sa likod ng arrow ng anibersaryo, lilipat kami sa kanang punto pagkatapos ng kaliwang punto at aalisin ang halaga ng hiwa para dito. Ngayon ang simula ng hiwa ay mas mababa kaysa sa dulo, at maaari naming isulat ang solusyon nang hindi tinukoy ang panahon:

Mga manggagamot, kung ang gayong mga agwat ay paulit-ulit nang hindi mabilang na beses pagkatapos ng anumang bilang ng mga pagliko, dapat tayong gumawa ng mas sinasadyang solusyon sa sinus period:

Inilalagay namin ang mga pabilog na braso sa mga hindi pantay at tumuturo sa istaka, na nagpapahiwatig ng isang puwang sa pagitan ng mga dulo at mga dulo.

Sumunod sa formula ng halal solution na ibinigay namin sa lecture.

Kumpirmasyon. .

Ang pamamaraang ito ay mabuti para sa pag-unawa sa katotohanan na ang mga formula para sa pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonal ay kinuha. Bilang karagdagan, ito ay kayumanggi para sa mga masyadong tamad na basahin ang lahat ng masalimuot na mga formula. Gayunpaman, ang pamamaraan mismo ay hindi rin madali, piliin kung aling diskarte sa paggawa ng desisyon ang pinaka-maginhawa para sa iyo.

Upang madagdagan ang mga iregularidad ng trigonometriko, maaari kang gumamit ng mga graph ng mga pag-andar, kung saan magkakaroon ng karagdagang linya, katulad ng pamamaraan na ipinakita sa mga vicoristan ng isang solong stake. Kung gusto mo, subukang lumaki nang nakapag-iisa sa diskarteng ito sa tuktok. Binigyan ka namin ng mga tamang formula para sa paglutas ng pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko.

Zavdannya No. 10. Ilabas ang kaba.

Isang mabilis na pormula para sa isang seremonyal na desisyon na may katiyakan na ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi isang problema:

Upang maisama sa aming kategorya:

Kumpirmasyon.

Zavdannya No. 11. Ilabas ang kaba.

Isang mabilis na formula para sa isang nakapagpapagaling na solusyon para sa viral anxiety:

Kumpirmasyon. .

Zavdannya No. 12. Mga kaguluhan: a); b).

Para sa mga hindi pagkakapantay-pantay na ito, hindi mo kailangang magmadali sa mga formula para sa paglutas o mga kalkulasyon ng trigonometriko, kailangan mo lamang hulaan ang lugar ng halaga ng sine at cosine.

a) Oskolki , tapos walang sense yung kaba. Oh mahal, walang solusyon.

b) Dahil Gayundin, ang sine ng anumang argumento ay laging nagbibigay-kasiyahan sa kawalan ng katiyakan na ipinahiwatig sa isip. Samakatuwid, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay nakakatugon sa lahat ng mabisang kahulugan ng argumento.

Kumpirmasyon. a) walang desisyon; b).

Zavdannya 13. Alisin ang kaba .

VIZNACHENNYA

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometric ay tinatawag na mga hindi pagkakapantay-pantay na nagbabago sa ilalim ng tanda ng function na trigonometriko.

Pag-alis ng mga iregularidad ng trigonometriko

Ang kaugnayan ng mga iregularidad ng trigonometric ay kadalasang bumababa sa pinakasimpleng mga iregularidad ng trigonometriko ng anyo: \(\ sin x a \), \(\ cos x > a \), \(\ operatorname(tg) x > a \), \ (\ \ operatorname (ctg) x > a \), \(\ \sin x \leq a \), \(\ \cos x \leq a \), \(\ operatorname(tg) x \leq a \) , \ (\ operatorname(ctg) x \leq a \), \(\ sin x \geq a \), \(\ cos \geq a \), \(\ operatorname(tg) x \geq a \)) , \(\ \operatorname(tg) x \geq a \)

Ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko ay tinutukoy nang grapiko o gamit ang iisang trigonometric stake.

Higit pa sa mga kahulugan, ang sine \(\\alpha\) ay ang ordinate ng puntong \(\P_(\alpha)(x, y)\) ng isang stake (Fig. 1), at ang cosine ay ang abscis ng punto. Ang katotohanang ito ay kinumpirma ng pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko sa cosine at sine gamit ang isang stake.

Ilapat ang solusyon sa mga trigonometrikong iregularidad

Zavdannya

Hindi pagkakapantay-pantay ng pagkababae \(\ \sin x \leq \frac(\sqrt(3))(2) \)

Nalutas

Mga fragment \(\ \left|\frac(\sqrt(3))(2)\right| , pagkatapos ang kawalan ng timbang na ito ay malulutas at malulutas sa dalawang paraan

Unang paraan. Kadalasan ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay graphic. Para dito gagamitin namin ang parehong coordinate system upang i-plot ang sine \(\ y=\sin x \) (Fig. 2) at ang tuwid na linya \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \ )

Maaari mong makita ang mga puwang kung saan ang sinusoid ay iginuhit sa ibaba ng tuwid na linya ng graph \(\ y = \frac (\ sqrt (3)) (2) \). Alam namin ang abscis \(\ x_(1) \) і \(\ x_(2) \) point ng crossbar ng mga graph na ito: \(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(( 3))(2 )=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_(2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+ 2 \pi=\ frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)

Inalis namin ang interval \(\ \left[-\frac(4 \pi)(3) ; \frac(\pi)(3)\right] \) bilang ang function na \(\ y=\sin x \) ay periodic i Kung ang tuldok ay \(\ 2 \pi \) , ang resulta ay isang kumbinasyon ng mga pagitan: \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac( 7 \pi)(3 )+ 2 \pi k\kanan] \), \(\ k \in Z \)

Ibang paraan. Isaalang-alang natin ang solong linya \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \), ang mga punto ng kanilang crossbar ay makabuluhan \(\ P_(x_(1)) \) \(\ P_( x_(2 ) )) \) (Larawan 3). Ang pagkalalaki ng hindi pagkakapantay-pantay ng output ay walang ordinate point, na mas mababa sa \(\\frac(\sqrt(3))(2)\). Alam namin ang mga halaga ng \(\ \boldsymbol(I)_(1) \) at \(\ \boldsymbol(I)_(2) \), sa pamamagitan nito ay nilalampasan ang arrow, \(\ x_(1)) .

\(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_ (2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)

Ang periodicity ng sine function ay nalalabi, ang mga pagitan \(\left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \pi\right] \ ), \ (\k \sa Z\)

Vіdpovіd\(\ x \in\left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \pi\right] \), \(\ k \sa Z\)

Zavdannya

Alisin ang kaba \(\ \sin x>2 \)

Desisyon

Sine – ang function ay may hangganan: \(\ |\sin x| \leq 1 \) , at ang tamang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay mas malaki sa isa, kaya walang solusyon.

Ang sagot: walang solusyon.

Zavdannya

Unfold ang kaba \(\ \cos x>\frac(1)(2) \)

Desisyon

Ang kawalan ng katiyakan na ito ay maaaring harapin sa dalawang paraan: graphically at sa tulong ng isang stake. Tingnan natin ang balat at ang mga pamamaraan nito.

Unang paraan. Posibleng kumatawan sa isang coordinate system ng function na naglalarawan sa kaliwa at kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, pagkatapos ay \(\y = \cos x\) at \(\y = \frac (1) (2)\). Nakikita na may mga gaps sa ilang mga graph ng function cosine \(\ y=\ cos x \) at ang graph ng tuwid na linya \(\ y=\frac(1)(2) \) (Fig. 4 ).

Alam natin ang abscis point \(\ \boldsymbol(x)_(1) \) i \(\ x_(2) \) – ang punto ng crossbar ng mga graph ng mga function \(\ y=\cos x \) i \(\ y=\frac (1)(2) \), na mga dulo ng isa sa mga puwang kung saan ipinapahiwatig ang hindi pagkakapantay-pantay. \(\x_(1)=-\arccos \frac(1)(2)=-\frac(\pi)(3)\); \(\ x_(1)=\arccos \frac(1)(2)=\frac(\pi)(3) \)

Isaalang-alang na ang cosine function ay panaka-nakang, na may isang tuldok \(\ 2 \pi \) , malamang na ang halaga ay magiging \(\ x \) na may mga pagitan \(\ \left(-\frac(\pi)( 3)+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\kanan) \), \(\ k \in Z \)

Ibang paraan. Ipagpalagay natin na mayroong isang bilog at isang tuwid na linya \(\x = \frac (1) (2)\) (dahil sa isang bilog, kinukumpirma ng cosine ang buong abscis). Ang makabuluhang \(\ P_(x_(1)) \) \(\ P_(x_(2)) \) (Fig. 5) ay ang mga punto ng crossbar ng isang tuwid na linya at isang solong stake. Ang kalalabasan ng output ay ang abscis point, na mas mababa sa \(\\frac(1)(2)\). Alam natin ang mga halaga ng \(\ x_(1) \) at \(\ 2 \) , sa pamamagitan ng pag-ikot sa year arrow upang \(\ x_(1) Ang variable periodicity ng cosine, ang natitirang mga pagitan \ (\ \left(-\frac) ) (\pi)(3)+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \),\(\k \in Z \)

Bersyon: \(\ x \in\left(-\frac(\pi)(3)+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \), \(\ k\in Z\)

Zavdannya

Idiskonekta ang nerbiyos \(\ \operatorname(ctg) x \leq-\frac(\sqrt(3))(3) \)

Desisyon

Gamitin natin ang parehong coordinate system para sa function graph \(\ y=\operatorname(ctg) x \), \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3) \)

Malinaw na may mga gaps sa ilang mga graph ng function \(\ y=\operatorname(ctg) x \) ang mga pag-ikot ay hindi matatagpuan sa tuwid na graph \(\ y=-\frac(\sqrt(3)) (3) \) (Larawan 6) .

Alam namin ang abscis ng puntong \(\ x_(0) \), dahil ito ang dulo ng isa sa mga pagitan, dahil sa hindi pagkakapantay-pantay \(\ x_(0)=\operatorname(arcctg)\left(-\ frac(\sqrt(3))) ( 3)\right)=\pi-\operatorname(arcctg)\left(\frac(\sqrt(3))(3)\right)=\pi-\frac(\ pi)(3)=\frac( 2\pi)(3)\)

Ang kabilang dulo ng agwat na ito ay ang puntong \(\pi\), at ang function na \(\y=\operatorname(ctg) x \) sa puntong ito ay walang halaga. Kaya, isa sa mga kahihinatnan ng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang gap \(\ \frac(2 \pi)(3) \leq x

Bersyon: \(\ x \in\left[\frac(2 \pi)(3)+\pi k ; \pi+\pi k\right) \), \(\ k \in Z \)

Mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometric na may natitiklop na argumento

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometric na may natitiklop na argumento ay maaaring bawasan sa pinakasimpleng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko na may karagdagang pagpapalit. Pagkatapos niyang magpasya na subukan ang isang reverse replacement, ito ay lumabas na hindi kilala.

Zavdannya

Alisin ang kaba \(\ 2 \cos \left(2 x+100^(\circ)\kanan) \leq-1 \)

Desisyon

Ang kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay may cosine: \(\ \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-\frac(1)(2) \)

Pinapalitan namin ang \(\ t=2 x+100^(\circ) \), pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nagiging pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay \(\ \cos t \leq-\frac(1)(2) \)

Virishimo yogo, vikoristuyuchi odinichne kolo. Manatili tayong single at straight \(\x=-\frac(1)(2)\). Ang makabuluhang \(\ P_(1) \) at \(\ P_(2) \) ay ang mga punto ng crossbar ng isang tuwid na linya at isang solong stake (Fig. 7).

Ang pinakamataas na antas ng hindi pagkakapantay-pantay ng output ay walang abscise point, na hindi hihigit sa \(\ -\frac(1)(2)\). Ang puntong \(\P_(1)\) ay nagmumungkahi ng hiwa \(\120^(\circ)\), at ang puntong \(\P_(2)\). Sa ganitong paraan, ang panahon ng cosine ay inalis \(\ 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq t \leq 240^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \) ,\(\n\sa Z\)

Zrobimu return replacement \(\ t=2 x+100^(\circ) 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x+100^(\circ) \leq 240^(\ circ)+360^(\circ) \cdot n\), \(\n \in Z\)

Virazimo \(\ \mathbf(x) \), para sa cob kung saan mula sa balat na bahagi ng nerbiyos ay makikita \(\ 100^(\circ) 120^(\circ)-100^(\circ)+360 ^(\circ) \ cdot n \leq 2 x+100^(\circ)-100^(\circ) \leq 240^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \( \n\sa Z\); \(\ 20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x \leq 140^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z\)

at pagkatapos ay hatiin sa 2 \(\ \frac(20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \leq \frac(2 x)(2) \leq \frac(140^ ( \circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \), \(\n \in Z\); \(\ 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \leq x \leq 70^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)

Vіdpovіd\(\ x \in\left(10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n ; 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n\right) \), \ (\ x \in\left(10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n ; 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n\right) \)

Mga pangalawang trigonometriko na hindi pagkakapantay-pantay

Zavdannya

Alisin ang pinagbabatayan na trigonometric unevenness \(\ \frac(1)(2)

Desisyon

Ipakilala natin ang kapalit na \(\ t=\frac(x)(2) \), pagkatapos ay lalabas ang output irregularity \(\ \frac(1)(2)

Virishimo yogo, vikoristuyuchi odinichne kolo. Kaya, dahil sa isang solong numero ang sine ay nagpapakita ng lahat ng mga ordinate, maliwanag na dito ay wala nang mga ordinate \(\ x=\frac(1)(2) \) at mas kaunti o isang \(\ \ frac(\sqrt(2) ))(2 ) \) . Sa maliit na sukat, 8 puntos ang iguguhit sa mga arko \(\ P_(t_(1)) \), \(\ P_(t_(2)) \) at \(\ P_(t_(3)) \) , \( \P_(t_(4))\). Alam namin ang mga halaga ng \(\ t_(1) \), \(\ t_(2) \), \(\ t_(3) \), \(\ t_(4) \), sa pamamagitan nito ay nilalampasan ang year arrow, at \ (\t_(1)\(\t_(3)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(2))(2)=\pi-\frac(\pi)(4)= \frac(3\ ) pi) (4) \); (6)\)

Sa ganitong paraan, maaari nating alisin ang dalawang pagitan, na siyang periodicity ng sine function, na maaaring isulat sa form na \(\frac(\pi)(6)+2\pi k\leq t\frac(\pi )(4)+2\pi k \quad \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k Isang mahusay na kapalit \(\ t=\frac(x)(2) \frac(\pi)(6 )+2 \pi k \ leq \frac(x)(2) \frac(\pi)(4)+2 \pi k \), \(\ \frac(3 \pi)(4)+2 \pi kVirazimo \(\ \mathbf( x ) \), kung saan pinaparami namin ang lahat ng panig ng trellis ng mga iregularidad sa 2, na inaalis ang \(\ \frac(\pi)(3)+4 \pi k \leq x

Vіdpovіd\(\ x \in\left(\frac(\pi)(3)+4 \pi k ; \frac(\pi)(2)+4 \pi k\right] \cup\left[\frac( 3 \pi)(2)+4 \pi k ; \frac(5 \pi)(3)+4 \pi k\kanan) \), \(\k \in Z \)

Algebra project "Pagtuklas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko" Vikonala na mag-aaral ng 10 "B" na klase Kozachkova Yulia Kerivnik: guro ng matematika na si Kochakova N.M.

Meta I-secure ang materyal sa paksang "Pag-dissolve ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometric" at gumawa ng paalala para sa mga mag-aaral na maghanda para sa paparating na pagsusulit.

Zavdannya Uzhalitit materyal sa paksang ito. I-systematize ang nakuhang impormasyon. Tingnan ang paksang ito sa EDI.

Kaugnayan Ang kaugnayan ng kung ano ang aking binalangkas ay nakasalalay sa katotohanan na ang takdang-aralin sa paksang "Ang problema ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko" ay makukumpleto bago ang takdang-aralin.

Trigonometric unevenness Ang hindi pagkakapantay-pantay ay isang relasyon na nag-uugnay sa dalawang numero o expression gamit ang pagdaragdag ng isa sa mga palatandaan: (mas malaki); ≥ (higit pa o katumbas). Trigonometric inequality - ang presyo ng hindi pagkakapantay-pantay, kung ano ang dapat paghihiganti trigonometriko function.

Mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko Ang pagbuo ng mga hindi pagkakapantay-pantay na tumutugma sa mga function ng trigonometriko ay karaniwang binabawasan sa pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng anyo: sin x>a, sin x a, dahil x a, tg x a,ctg x

Algorithm para sa paglutas ng mga iregularidad ng trigonometric Sa axis, na nagpapahiwatig ng gawain ng isang trigonometric function, na nangangahulugang mga numerong halaga mga function na ito. Gumuhit ng isang tuwid na linya sa itinalagang punto, na tumatawid sa parehong bilog. Maaari mong makita ang mga punto ng crossbar ng isang tuwid na linya at isang bilog na may matalim o hindi matalim na mga palatandaan ng nerbiyos. Maaari mong makita ang arko ng stake, kung saan ang hindi pantay ay kumalat. Ang kahalagahan ng mga cutives ay makabuluhan sa cob at mga dulo ng cola arc. Isulat ang kaugnayan sa pagitan ng hindi pagkakapantay-pantay at ang regulasyon ng periodicity ng ibinigay na trigonometric function.

Mga formula para sa paglutas ng mga trigonometrikong iregularidad sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx a; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxa; x (arctg a + πn; + πn). tgx a; x (πn; arctan + πn). ctgx

Graphical na paliwanag ng mga pangunahing trigonometriko iregularidad sinx >a

Graphical na representasyon ng pangunahing trigonometric irregularities sinx

Graphical na paliwanag ng mga pangunahing trigonometriko iregularidad cosx >a

Graphical na representasyon ng mga pangunahing trigonometric irregularities cosx

Graphical na paliwanag ng mga pangunahing trigonometric iregularities tgx >a

Graphical na representasyon ng mga pangunahing trigonometric iregularities tgx

Graphic na paliwanag ng mga pangunahing trigonometriko iregularidad ctgx >a

Graphic na bersyon ng pangunahing trigonometric irregularities ctgx

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga iregularidad ng trigonometriko Pag-unrave ng mga iregularidad ng trigonometriko sa tulong ng isang numerical stake; Ang koneksyon ng mga trigonometrikong iregularidad sa karagdagang graph ng function. :

Pag-alis ng mga trigonometrikong iregularidad sa tulong ng isang bilang ng numero Halimbawa 1: Bersyon:

Pag-alis ng mga trigonometrikong iregularidad sa tulong ng isang bilang ng numero Halimbawa 1: Bersyon:

Ang kaugnayan ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko sa mga karagdagang graph ng mga function. Halimbawa: Paksa:

Bag ng trabaho Pinagsama-sama ko ang aking kaalaman sa paksang "Paglutas ng mga kamalian sa trigonometric." Isinaayos ko ang impormasyon sa paksang ito para sa madaling pag-unawa: Gumawa ako ng algorithm para sa paglutas ng mga iregularidad ng trigonometriko; nagpahiwatig ng dalawang paraan ng pagkakalag; ipinakita ang butt ng solusyon. :

Robot Bag Tulad ng natapos na produkto, isang "Paalala para sa mga mag-aaral sa paghahanda para sa algebra" ay ibinibigay sa bawat proyekto. Dokumento ng Microsoft Office Word (2). docx:

Vikoristovuvan literature Pidruchnik na may algebra para sa grade 10 "Algebra and the beginnings of analysis" na na-edit ni A.N. Kolmogorov http://festival.1september.ru/articles/514580/ http://www.mathematics-repetition.com http:// www. .calc.ru http://www.pomochnik-vsem.ru:

Ang mga iregularidad ay nauugnay sa anyong a › b, kung saan ang a at b ay mga expression na dapat palitan ng kahit isang pagbabago. Ang mga pagkabalisa ay maaaring maging mahigpit – ‹, › o hindi mahigpit – ≥, ≤.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko ay ipinahayag sa anyo: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, kung saan kinakatawan ang F(x) ng isa o higit pang trigonometriko function .

Ang halimbawa ng pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko ay: sin x ‹ 1/2. Tinatanggap na ipakita ang mga naturang gawain nang graphical, kung saan hinati ang dalawang pamamaraan.

Paraan 1 - Virus ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang isang karagdagang regular na graph ng function

Upang malaman ang hanay na nagbibigay-kasiyahan sa mga isip sa hindi pagkakapantay-pantay na sin x ‹ 1/2, kinakailangan na ipasok ang mga sumusunod na aksyon:

1. Magkakaroon ng sinusoid sa coordinate axis y = sin x.
2. Sa parehong axis, gumuhit ng graph ng numerical argument ng hindi pagkakapantay-pantay, upang ito ay isang tuwid na linya na dumadaan sa ordinate point OY.
3. Markahan ang mga punto kung saan nagtatagpo ang dalawang graph.
4. I-shade ang hiwa at ang tapos na puwit.

Kung ang virus ay may mga palatandaan ng suvorov, ang mga cross point ay hindi malulutas. Dahil ang pinakamaliit na positibong panahon ng sine wave ay katumbas ng 2π, pagkatapos ay isinusulat namin ang sagot tulad ng sumusunod:

Kung ang mga palatandaan ay hindi pare-pareho, pagkatapos ay ang pagitan ng solusyon ay dapat ilagay sa square bow - . Ang sagot ay maaari ding isulat sa anyo ng nerbiyos:

Paraan 2 - Pag-alis ng mga trigonometrikong iregularidad gamit ang isang stake

Ang ganitong mga gawain ay madaling pamahalaan at nangangailangan ng tulong trigonometric stake. Ang algorithm para sa paghahanap ng mga pahiwatig ay napaka-simple:

1. Ilagay ang tuktok ng varto sa isang solong colo.
2. Pagkatapos ay italaga ang halaga ng arc function sa argumento ng kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa stake.
3. Kinakailangang direktang dumaan sa mga halaga ng arc function na kahanay sa abscis axis (OX).
4. Pagkatapos matalo, makikita mo lang ang arko ng stake, na walang anumang decoupling ng trigonometric unevenness.
5. Itala ang iyong sagot sa kinakailangang form.

Tingnan natin ang mga yugto ng pagkakalas sa puwit ng hindi pantay na kasalanan x › 1/2. Sa bilang ng mga puntos α at β ay minarkahan

Ang mga punto ng arko ay nahahati sa pagitan ng α at β, at ang agwat sa pagitan ng paglabas ng isang naibigay na hindi pagkakapantay-pantay.

Kung kinakailangan upang ayusin ang butt para sa cos, kung gayon ang arko ng mga suporta ay magiging simetriko sa axis ng OX, hindi OY. Maaari mong makita ang pagkakaiba sa pagitan ng mga pagitan at mga solusyon para sa kasalanan at cos sa mga diagram sa ibaba ng teksto.

Ang mga graphic na solusyon para sa mga iregularidad sa tangent at cotangent ay nag-iiba mula sa parehong sine at cosine. Ito ay dahil sa kapangyarihan ng mga pag-andar.

Ang arctangent at arccotangent ay nasa ilalim ng trigonometric stake, at ang minimum na positibong panahon para sa parehong mga function ay katulad ng π. Upang magamit nang tama ang data sa ibang paraan, kailangan mong kabisaduhin ang mga halaga ng sin, cos, tg at ctg sa kung aling axis.

Ang tangent ay parallel sa OY axis. Kung ilalagay mo ang halaga ng arctg a sa isang stake, isa pang kinakailangang punto ang ililipat sa diagonal quarter. Kuti

Gumagawa ako ng mga puntos para sa function, ngunit hindi maabot ng graph ang mga ito.

Ang mangyayari ay ang cotangent ay dapat tumakbo parallel sa OX axis, at ang function ay intersects sa mga puntong π at 2π.

Natitiklop na mga iregularidad ng trigonometriko

Kung ang argumento ng pag-andar ng hindi pagkakapantay-pantay ng mga representasyon ay hindi lamang nababago, ngunit sa isang buong paraan na naghihiganti sa hindi alam, kung gayon ang wika ay tungkol na sa natitiklop na hindi pantay. Ang kurso at pagkakasunud-sunod ng prosesong ito ay malawak na nag-iiba mula sa mga pamamaraan na inilarawan sa itaas. Kinakailangang malaman ang mga solusyon sa kasalukuyang sitwasyon:

Ang graphical na solusyon ay nagpapadala ng random na sine wave y = sin x para sa mga napiling x value. Palawakin natin ang talahanayan na may mga coordinate para sa mga control point ng graph:

Ang resulta ay maaaring isang magandang kurba.

Upang pasimplehin ang paghahanap para sa isang solusyon, pinapalitan namin ang argumento ng folded function

Ang intersection ng dalawang graph ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang lugar ng mga halaga kung saan natutukoy ang kawalang-tatag ng kaisipan.

Mga natuklasan ng mga seksyon at solusyon para sa pagbabago ng t:

Gayunpaman, ang layunin ay malaman ang lahat ng posibleng opsyon para sa hindi kilalang x:

Madaling lutasin ang pinagbabatayan na hindi pagkakapantay-pantay; kailangan mo lang ilipat ang π/3 sa mga sukdulang bahagi ng equation at lumikha ng mga kinakailangang kalkulasyon:

Tumugon sa gawain ang magiging hitsura ng pagitan para sa matinding hindi pagkakapantay-pantay:

Ang mga katulad na kinakailangan ay kinakailangan upang matiyak ang bisa ng mga mag-aaral na kasangkot sa trigonometric function. Ang mas mahirap na mga gawain ay kasangkot sa proseso ng paghahanda, mas madali para sa mag-aaral na makahanap ng tagumpay pagkain ЄДІ testa.

Ministri ng Edukasyon ng Republika ng Belarus

Nag-iilaw ang mortgage

"Gomel State University

Ipinangalan kay Francis Skorini"

Faculty of Mathematics

Kagawaran ng Algebra at Geometry

Inamin sa zakhistu

Ulo departamento Shemetkov L.A.

Mga pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometric

gawaing kurso

Mga Vikonavet:

mag-aaral ng pangkat M-51

CM. Gorsky

Scientific quarry Ph.D.-Math.Sc.,

senior cashier

V.G. Safonov

Gomel 2008

ENTRY

MGA PANGUNAHING PARAAN PARA sa paglutas ng mga trigonometric equation

Unfolding into multiples

Ang koneksyon sa pagitan ng paglikha ng trigonometriko function at ang paglikha ng trigonometriko function

Ang koneksyon sa pagitan ng mga equation at mga formula ng triple argument

Na-multiply sa isang trigonometric function

NON-STANDARD TRIGONOMETRI RIVALRY

Mga Iregularidad sa TRIGONOMETRI

VIDBIR KORNIV

MASTER PARA SA ISANG INDEPENDENT DECISION

VISNOVOK

LISTAHAN NG VIKORISTANIH JEREL

Sa loob ng mahabang panahon, ang trigonometry ay konektado sa mga pangangailangan ng astronomiya, survey at pang-araw-araw na buhay, upang ang isang purong geometriko na karakter ay maliit at kinakatawan ang pangunahing ranggo.<<исчисление хорд>>. Sa paglipas ng mga taon, nagsimula siyang magkaroon ng ilang sandali ng pagsusuri. Sa unang kalahati ng ika-18 siglo nagkaroon ng isang matalim na pagliko, pagkatapos kung saan ang trigonometrya ay kumuha ng bagong direksyon at pinalitan ng mathematical analysis. Sa mismong sandaling ito, nagsimulang makita ang mga relasyong trigonometriko bilang mga function.

Ang mga trigonometric equation ay isa sa mga pinaka kumplikadong paksa sa mga kurso sa matematika ng paaralan. Ang mga equation ng trigonometric ay lumitaw bilang tugon sa mga pinakabagong pag-unlad sa planimetry, stereometry, astronomy, physics at iba pang larangan. Ang mga trigonometric na pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay ng mga ilog sa mga ilog ay hinahasa ng mga tagubilin ng sentralisadong pagsubok.

Ang pinakamahalagang tungkulin mga antas ng trigonometriko Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga algebraic ay na sa mga algebraic equation mayroong isang terminal na bilang ng mga ugat, at sa mga trigonometric --- hindi masabi Ginagawa nitong mas madali ang pagpili ng mga ugat. Ang isa pang pagtitiyak ng trigonometric equation ay ang hindi pagkakapare-pareho ng anyo ng pagtatala ng linya.

Ang tesis na ito ay nakatuon sa mga pamamaraan ng paglutas ng mga trigonometrikong equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Ang thesis ay binubuo ng 6 na seksyon.

Sa unang seksyon, ang mga pangunahing teoretikal na pagsasaalang-alang ay ibinigay: ang kahalagahan at kapangyarihan ng trigonometric at converse trigonometric function; talahanayan ng kahulugan ng trigonometriko function ng mga tunay na argumento; pagpapahayag ng trigonometriko function sa pamamagitan ng iba pang trigonometriko function, na kung saan ay napakahalaga para sa pagbabago ng trigonometriko expression, lalo na may kaugnayan sa reverse trigonometriko function; Bilang karagdagan sa mga pangunahing trigonometric formula, na kilala mula sa kurso sa paaralan, kami ay magpapakilala ng mga formula upang pasimplehin ang mga expression na maaaring magamit upang baligtarin ang mga function ng trigonometriko.

Ang isa pang seksyon ay naglalatag ng mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko. Ang pag-decoupling ng mga elementarya na trigonometric equation, ang paraan ng factoring, at ang paraan ng pagbabawas ng trigonometric equation sa mga algebraic ay sinusuri. Mahalaga, ang mga solusyon sa trigonometric equation ay maaaring isulat sa maraming paraan, at ang uri ng mga solusyong ito ay hindi nagpapahintulot sa amin na agad na maitatag kung aling mga solusyon ang malulutas, gayunpaman, o sa iba't ibang paraan, na maaaring<<сбить с толку>> sa panahon ng mga pagsusulit, ang lihim na pamamaraan para sa pagbuo ng mga trigonometric equation ay napagmasdan at ang pagbabago ng mga grupo ng mga nakatagong solusyon ng mga trigonometric equation ay napagmasdan.

Ang ikatlong seksyon ay may hindi karaniwang mga equation ng trigonometriko, ang kaugnayan nito ay batay sa isang functional na diskarte.

Ang ikaapat na seksyon ay nagpapakita ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko. Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga elementarya na hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko, kapwa sa isang sukat at gamit ang graphical na pamamaraan, ay sinusuri nang detalyado. Ang proseso ng pag-alis ng mga di-elementarya na hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometric sa pamamagitan ng elementarya na hindi pagkakapantay-pantay at ang paraan ng mga pagitan, na kilala na ng mga mag-aaral, ay inilarawan.

Ang ikalimang seksyon ay nagtatanghal ng isang kumplikadong gawain: kung kinakailangan upang matukoy ang trigonometriko equation, at upang piliin ang ugat mula sa mga nahanap na ugat, nasiyahan nila ang anumang isip. Sa seksyong ito, isang solusyon sa karaniwang mga tagubilin para sa pagpili ng mga ugat ay ginawa. Ang mga kinakailangang teoretikal na pagsasaalang-alang para sa pagpili ng mga ugat ay ibinigay: paghahati sa impersonality ng buong mga numero sa mga subdivision na hindi nagkakagulo, unraveling ang pagkakapantay-pantay ng mga buong numero (diaphantine).

Sa ikaanim na seksyon, isang kahilingan ang isinumite para sa isang independiyenteng desisyon, na iginuhit sa anyo ng isang pagsubok. Ang 20 pagsubok na gawain ay may pinakamasalimuot na gawain na maaaring matugunan sa isang sentralisadong pasilidad ng pagsubok.

Elementarya na trigonometriko equation

Elementary trigonometric equation - batay sa view, de - isa sa mga trigonometric function: , , , .

Ang mga elementarya na trigonometric equation ay matatagpuan nang walang anumang ugat. Halimbawa, ang paninibugho ay nasisiyahan sa mga sumusunod na halaga: , , , atbp. Zagalna formula sa likod kung saan ang lahat ng mga ugat ng ilog ay kilala, de, tulad nito:

Dito maaari kang kumuha ng anumang layunin ng kahulugan, para sa balat ang mga ito ay kinakatawan ng song root burberry; Ang formula na ito (tulad ng sa iba pang mga formula, kung saan may mga elementarya na trigonometric equation) ay tinatawag parameter. Isulat, bigyang-diin sa iyong sarili, na ang parameter ay tinatanggap para sa anumang layunin.

Ang desisyon ay batay sa formula

Ang tunggalian ay nakabatay sa isang stagnant formula

at selos ang nasa likod ng formula

Ito ay lalong mahalaga upang harapin ang mga kahihinatnan ng elementarya na trigonometriko equation, kung ang solusyon ay maaaring isulat nang walang pag-compile ng mga pormal na formula:

Kapag ang mga trigonometric equation ay natanggal mahalagang papel gumaganap ng panahon ng trigonometriko function. Samakatuwid, ipinakita namin ang dalawang kawili-wiling theorems:

Teorama Dahil ito ang pangunahing panahon ng pagpapaandar, kung gayon ang numero ay ang pangunahing panahon ng pagpapaandar.

Ang mga panahon ng function na i ay tinatawag na mga kabuuan, dahil ang mga ito ay natural na mga numero at, kaya .

Teorama Dahil huli na ang mga periodic function, lahat sila ay may late period, na siya ring period ng function.

Ang theorem ay tumatalakay sa mga iyon ay ang panahon ng function , , , at hindi kinakailangan ang pangunahing panahon. Halimbawa, ang pangunahing panahon ng function ay ---, at ang pangunahing panahon ng paglikha nito ay ---.

Pagpapakilala ng karagdagang argumento

Ang karaniwang paraan ng pagbabago ng virus sa isip є nakakasakit na pamamaraan: bitawan --- kut kung ano ang tinutukoy ng selos , . Para sa mga na, ito ay kung paano ito ay. Sa ganitong paraan. Gayunpaman, sa ibang mga kaso.

Scheme para sa pagkonekta ng mga linya ng trigonometriko

Ang pangunahing pamamaraan na ginagamit namin kapag tinatanggal ang mga linya ng trigonometriko ay ang mga sumusunod:

Ang paglalahad ng isang naibigay na relasyon ay nagmumula sa paglalahad ng mga elementarya na relasyon. Ang mga tampok ng solusyon ay muling paglikha, agnas sa maramihang, pagpapalit ng mga hindi alam. Ang gabay na prinsipyo ay hindi sayangin ang ugat. Nangangahulugan ito na sa panahon ng paglipat sa simula ng (mga) rhizome, hindi kami natatakot sa hitsura ng isang dayuhang (third-party) na ugat, ngunit nag-aalala lamang kami tungkol sa mga iyon upang ang pag-atake sa balat ng aming "lantsyuzhka" ( or the totality of the rhymes is dissolved at times) nya) was a legacy from before. Ang isa sa mga posibleng paraan para sa pagpili ng mga ugat ay muling pag-verify. Mahalagang tandaan na sa kaso ng mga trigonometric equation, ang mga paghihirap na nauugnay sa pagpili ng mga ugat, na may pagbabalik, bilang isang panuntunan, ay tumaas nang husto sa mga equation ng algebra. Posible ring i-verify ang serye na binubuo ng walang katapusang bilang ng mga miyembro.

Espesyal na pagbanggit ay dapat gawin tungkol sa pagpapalit ng mga hindi alam sa panahon ng pagtaas ng trigonometric equation. Kadalasan, pagkatapos ng kinakailangang pagpapalit, ang resulta ay isang algebraic equation. Bukod dito, ang mga equation ay hindi kasing bihira gaya ng mga ito sa trigonometriko mula sa labas ay nakatingin sa loob, kung tutuusin, hindi naman sila ganoon, tapos na ang mga fragment sa una --- palitan Ang mga pagbabago --- ay binago sa mga algebraic, at ang pag-ikot sa trigonometry ay nakakamit lamang sa yugto ng pag-unrave ng mga elementarya na trigonometric equation.

Paalalahanan ka naming muli: ang pagpapalit ng hindi kilalang bakas ay dapat gawin sa pinakamaagang pagkakataon; ang resulta na lumabas pagkatapos ng pagpapalit ay dapat makumpleto hanggang sa katapusan, kabilang ang yugto ng pagpili ng ugat, at pagkatapos ay bumalik sa cob. Ako ay bahay.

Ang isa sa mga espesyal na tampok ng trigonometric equation ay ang sagot para sa maraming mga kaso ay maaaring isulat sa iba't ibang paraan. Balita para sa pinakamataas na antas Ang sagot ay maaaring isulat tulad nito:

1) mayroong dalawang serye: , , ;

2) ang karaniwang anyo ay may karaniwang kahulugan para sa pinakakaraniwang serye: , ;

3) mga fragment , pagkatapos ay maaaring isulat ang sagot sa form , . (Ang pagkakaroon ng parameter , , o sa pag-record ng video ay awtomatikong nangangahulugan na ang parameter na ito ay may lahat ng uri ng mahalagang halaga. Tatalakayin ang mga paninisi.)

Malinaw na hindi mauubos ng tatlong yugto ng labis na labis na pagnanasa ang lahat ng mga posibilidad para sa pagtatala ng uri ng paghahambing na nakikita (mayroong walang katapusan na marami sa kanila).

Halimbawa, na may patas na pagkakapantay-pantay . Well, sa unang dalawang kaso, paano natin ito mapapalitan .

Tiyaking naitala ang iyong kumpirmasyon sa ilalim ng punto 2. Mahalagang tandaan ang rekomendasyong ito: kung ang gawain ay hindi matatapos sa pinakamataas na antas, kinakailangan na magsagawa ng karagdagang pagsisiyasat, piliin ang mga ugat, kung gayon ito ay pinaka-kapaki-pakinabang sa form ng pagpaparehistro na ipinahiwatig sa talata 1. (Isang katulad na rekomendasyon para sa petsa at petsa. )

Tingnan natin ang butt na naglalarawan sa itaas.

puwit Pantay-pantay ang virishity.

Desisyon. Ang pinaka-halata ay ang nakakasakit na landas. Ang proseso ay nahahati sa dalawa: i. Alam namin ang nanginginig na balat ng mga ito at ang lumalaking bahagi ng mga ito.

Ibang paraan. Ang mga fragment ay pagkatapos ay papalitan ng mga formula ng mas mababang antas. Pagkatapos ng maliliit na pagbabago, kinansela ito, mga bituin .

Sa unang sulyap, ang formula kumpara sa una ay walang anumang mga espesyal na pakinabang. Gayunpaman, kung gagawin natin ito bilang halimbawa, lilitaw na isang bagay. Ang pagkakapantay-pantay ay isang desisyon, na siyang unang paraan upang dalhin tayo sa patunay . "Magpakasawa" at magdala ng selos hindi ganoon kadali.

Kumpirmasyon. .

Muling pagbuo at pag-iisa ng mga grupo ng mga nakatagong solusyon ng mga trigonometrikong equation

Tingnan natin ang pag-unlad ng aritmetika, na walang katapusang mag-uudyok sa maling panig. Ang mga miyembro ng progression na ito ay maaaring hatiin sa dalawang grupo ng mga miyembro, na maaaring hatiin sa right-handed at left-handed na mga miyembro, na tinatawag na central o zero na miyembro ng progression.

Fіksuychi isang miyembro ng undeveloped progress zero number, mi guards to lead the submarine number for all dicks, pushed: positive for members, roshtashovani right-handed, and negative for membership, livoruch null.

Bilang resulta, dahil may pagkakaiba sa progression, ang zero term, ang formula para sa anumang termino ng unfinished arithmetic progression ay ang mga sumusunod:

Muling pagbabalangkas ng formula para sa sinumang miyembro ng hindi kumplikadong pag-unlad ng aritmetika

1. Kung idadagdag at pipiliin mo ang pagkakaiba ng progress hanggang sa zero term, hindi magbabago ang progression, maliban kung ang zero term ay gumagalaw. Magbabago ang numbering ng mga miyembro.

2. Kung ang koepisyent na may nababagong halaga ay pinarami ng , ang resulta ay isang muling pagsasaayos ng kanan at kaliwang pangkat ng mga miyembro.

3. Tulad ng mga pinakabagong miyembro ng walang katapusang pag-unlad

halimbawa, , , ..., , nagtatrabaho bilang mga pangunahing miyembro ng pag-unlad na may pagkakaiba na mas sinaunang:

pagkatapos ang isang pag-unlad at isang serye ng mga pag-unlad ay tinutukoy ng parehong mga numero.

puwit Ang row ay maaaring palitan ng susunod na tatlong row: , , .

4. Habang ang mga walang katapusang pag-unlad na may, gayunpaman, ang pagkakaiba-iba ay iginuhit ng mga sentral na termino ng mga numero na lumilikha ng isang pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba-iba, ang isang bilang ng mga serye ay maaaring palitan ng isang pag-unlad na may pagkakaiba-iba, at sa gitnang isang miyembro na katumbas ng balat mula sa mga sentral na miyembro ng mga pag-unlad na ito, kung gayon. yakscho

pagkatapos ang mga pag-unlad na ito ay pinagsama sa isa:

puwit , , , nakakasakit na magkaisa sa isang grupo, mga fragment .

Upang muling likhain ang mga pangkat na maaaring naglalaman ng mga nakatagong desisyon, ilagay ang mga ito sa mga pangkat na naglalaman ng mga nakatagong desisyon na hindi nagpapakita ng data ng grupo, ilagay ang mga ito sa mga grupo mula sa nakatagong panahon, at pagkatapos ay pagsamahin ang mga grupo upang lumabas, i-off ang pag-uulit.

Unfolding into multiples

Ang paraan ng paghahati sa maramihang ay batay sa diskarte:

kung gayon ang bawat desisyon ay pantay

є solusyon sa kabuuan ng mga katumbas

Ang pagbabagong punto ay tila hindi tama: hindi lahat ng desisyon ng kabuuan ay katumbas ng mga desisyon. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang pag-activate ng iba pang mga antas ay maaaring hindi kasama sa lugar ng itinalagang function.

puwit Pantay-pantay ang virishity.

Desisyon. Vikoristovuchi pangunahin trigonometriko pagkakakilanlan, ang selos ay maiisip sa itsura

Kumpirmasyon. ; .

Reconversion ng kabuuan ng trigonometriko function sa ibabaw

puwit Virishity Rivalry .

Desisyon. Pinipigilan namin ang formula, tinatanggihan namin ang pantay na timbang

Kumpirmasyon. .

puwit Pantay-pantay ang virishity.

Desisyon. Sa kasong ito, una sa lahat, lumikha ng mga formula para sa kabuuan ng mga function ng trigonometriko, pagkatapos ay gamitin ang formula para sa pagbawas . Ang resulta ay pantay-pantay

Kumpirmasyon. , .

Unraveling ang belo ng paglikha ng trigonometriko function sa kabuuan

Kapag mababa ang mga antas, magiging stagnant ang formula.

puwit Virishity Rivalry

Desisyon.

Kumpirmasyon. , .

puwit Pantay-pantay ang virishity.

Desisyon. Ang pagkakaroon ng stagnated ang formula, ito ay pantay na mahalaga upang tanggihan:

Kumpirmasyon. .

Ang koneksyon sa pagitan ng mga equation at ng mga formula ng mas mababang antas

Ang mga formula ay may mahalagang papel sa pag-alis ng malawak na hanay ng mga trigonometric equation.

puwit Pantay-pantay ang virishity.

Desisyon. Kapag ang formula ay naging stagnant, ang pantay na timbang ay inaalis.

Kumpirmasyon. ; .

Ang koneksyon sa pagitan ng mga equation at mga formula ng triple argument

puwit Pantay-pantay ang virishity.

Desisyon. Ang formula ay stagnant, ang equation ay tinatanggihan

Kumpirmasyon. ; .

puwit Virishity Rivalry .

Desisyon. Batay sa formula, ang mas mababang yugto ay maaaring alisin: . Zastosovuchi otrimuyemo:

Kumpirmasyon. ; .

Pagkakapantay-pantay ng parehong trigonometriko function

puwit Pantay-pantay ang virishity.

Desisyon.

Kumpirmasyon. , .

puwit Virishity Rivalry .

Desisyon. Baliktad na selos.

Kumpirmasyon. .

puwit Tila, kuntento na sila sa tunggalian

Alamin ang dami.

Desisyon. Umaagos ang selos, kaya

Kumpirmasyon. .

Tingnan natin ang isip ng sumi

Ang mga kabuuan na ito ay maaaring i-convert sa realidad sa pamamagitan ng pagpaparami at paghahati sa kanila sa pamamagitan ng , pagkatapos ay maaari silang alisin

Ang kahulugan ng pamamaraan ay maaaring itama kung ang anumang trigonometric equation ay masyadong mataas, dahil sa katotohanan na ang mga ugat ng third-party ay maaaring lumitaw bilang isang resulta. Ayusin natin ang mga formula na ito:

puwit Pantay-pantay ang virishity.

Desisyon. Makikita na ang bilang ng mga desisyon ay katumbas ng antas ng output. Samakatuwid, ang pagpaparami ng kaliwa at kanang bahagi ng equation ay hindi hahantong sa paglitaw ng ugat.

Maemo .

Kumpirmasyon. ; .

puwit Pantay-pantay ang virishity.

Desisyon. Sa pamamagitan ng pagpaparami ng kaliwa at kanang bahagi ng equation sa stagnant formula na iyon para muling likhain ang paglikha ng trigonometriko function sa kabuuan, nakukuha natin

Ang halaga ay katumbas ng kabuuan ng dalawang antas at , bituin at .

Dahil ang root equation ay hindi pareho sa root equation, pagkatapos ay mula sa mga nilalaman ng multiplier ay nagpasya kang patayin ang trace. Nangangahulugan ito na ang mayayaman ay kailangang patayin ito.

Kumpirmasyon. na ,.

puwit Virishity Rivalry .

Desisyon. Gawin nating muli ang virus:

Si Rivnyannya ay magsa-sign up sa manonood:

Kumpirmasyon. .

Pagbawas ng mga trigonometric equation sa mga algebraic

Binawasan sa parisukat

Ang hitsura ng selos

pagkatapos ang kapalit ay dalhin ito sa parisukat, mga fragment () V.

Kung papalitan mo ang karagdagan, kakailanganin ng kapalit.

Rivnyannya

nabawasan sa parisukat na antas

ipinahayag bilang . Madaling i-verify na ang mga ugat ay pantay, at, nang gumawa ng kapalit, ang katumbas ay nabawasan sa parisukat.

puwit Pantay-pantay ang virishity.

Desisyon. Inilipat sa kaliwang bahagi, palitan ang її ng , at ipahayag sa pamamagitan ng і .

Pagkatapos, patatawarin ka namin: . Hatiin ang termino sa pamamagitan ng termino sa pamamagitan ng pagpapalit ng:

Lumiko, alam namin .

Rivnyannya, parehong uri,

Tingnan natin ang view

de , , , ..., , --- aktibong mga numero. Ang pagdaragdag ng balat ng kaliwang bahagi ay may parehong antas ng mga mononomyal na termino, ibig sabihin, ang kabuuan ng mga hakbang ng sine at cosine ay pareho at pareho. Ito ay tinatawag na selos nag-iisa shodo i, at ang numero ay tinatawag tagapagpahiwatig ng pagkakapareho .

Malinaw na kung ano ito, makikita ko ang selos sa hinaharap:

mga desisyon ng ilang uri, kung saan, i.e. mga numero,. Ang isa pang antas, na nakasulat sa mga braso, ay pareho din, ngunit ang antas ay 1 mas mababa.

Kaya, kung gayon ang mga numerong ito ay hindi tumutugma sa mga ugat.

Kapag tinatanggal ang: , at ang kaliwang bahagi ng linya (1) ay nagpapataas ng halaga.

Samakatuwid, sa kasong ito, posibleng hatiin ang mga nakakasakit na bahagi ng relasyon. Bilang resulta, ang paninibugho ay tinanggal:

kaya, sa pamamagitan ng pagpapalit ay madaling bawasan ito sa algebraic:

Pagkakapantay-pantay na may tagapagpahiwatig ng pagkakapareho 1. Kapag pantay.

Kung sa bagay, ang katotohanan ay katumbas ng pag-ibig ng, , mga bituin , .

puwit Ilabas ang selos.

Desisyon. Ang seremonya ay pareho sa unang yugto. Hatiin natin ang pagkakasala sa mga bahagi: , , , .

Kumpirmasyon. .

puwit Kapag inalis natin ang parehong antas ng paggalang sa isip

Desisyon.

Kung paanong maaari nating paghiwalayin ang mga nakakasakit na bahagi ng selos sa isa't isa, ang selos ay inaalis , bilang isang pagpapalit ay madaling idirekta sa parisukat: . Yakshcho , kung gayon ang baging ay mabisa bilang ugat, . Ang huling resulta ay batay sa dalawang grupo ng mga solusyon: , , .

Yakshcho , tapos walang solusyon ang selos.

puwit Ilabas ang selos.

Desisyon. Ito ay pareho sa kabilang antas. Ibinabahagi namin ang pagkakasala ng karangalan at paggalang sa, tinatanggihan namin: . Hayaan mo na ako, , . , , ; ...

Kumpirmasyon. .

Ang selos ay nauuwi sa selos

Para kanino sapat na upang mabilis na maitatag ang pagkakapareho?

Zokrema, vyvnyannya ay nabawasan sa parehong bagay, palitan lamang ito ng Pagkatapos ay inaalis namin ang pantay na pagkakapantay-pantay:

puwit Ilabas ang selos.

Desisyon. Nababawasan sa parehong pagkakapare-pareho:

Ibinabahagi namin ang aming mga hinaing sa isa't isa , Tinatanggihan namin ang selos:

Dumating tayo sa parisukat na antas: , , , , .

Kumpirmasyon. .

puwit Ilabas ang selos.

Desisyon. Alam namin ang mga nakakasakit na bahagi ng parisukat, ang mga doktor, na mayroon silang mga positibong kahulugan: , ,

Hayaan mo na , , .

Kumpirmasyon. .

Tunggalian, na batay sa karagdagang pagkakakilanlan

Magandang malaman ang mga formula na ito:

puwit Pantay-pantay ang virishity.

Desisyon. Vikoristovuyuchi, otrimuemo

Kumpirmasyon.

Ang ipinakita ay hindi ang mga formula mismo, ngunit ang paraan ng kanilang derivation:

oh well,

Katulad nito, .

puwit Virishity Rivalry .

Desisyon. Gawin nating muli ang virus:

Si Rivnyannya ay magsa-sign up sa manonood:

Kapag tinanggap natin, tinatanggihan natin. , . Otje

Kumpirmasyon. .

Pangkalahatang trigonometriko na pagpapalit

Trigonometric na katumbas ng view

de --- rational function para sa mga karagdagang formula - at para din sa mga karagdagang formula - ay maaaring bawasan sa isang rational equation gamit ang mga argumento, pagkatapos kung saan ang equation ay maaaring bawasan sa isang rational algebraic equation gamit ang mga karagdagang formula ng universal trigon metric substitution

Dapat pansinin na ang pagwawalang-kilos ng mga formula ay maaaring humantong sa tunog ng ODZ ng output equation, dahil hindi ito ipinahiwatig sa mga punto, kung gayon sa mga ganitong kaso kinakailangan upang suriin kung ano ang nangyayari sa mga ugat ng output. equation.

puwit Pantay-pantay ang virishity.

Desisyon. Sa likod ng washroom ay may isang lugar. Ang mga lipas na formula at ang mga napalitan ay itinatapon

mga bituin at, well, .

Paggalang sa isip

Ang paggalang sa pananaw, de --- isang mayamang miyembro, ay umaasa sa mga karagdagang kapalit para sa hindi alam

puwit Pantay-pantay ang virishity.

Desisyon. Nakatanggap ng kapalit at mga doktor, ito ay tinanggihan

mga bituin,. --- third-party na ugat, dahil . Tunggalian para sa Roots є.

Vikoristanny interconnection ng mga function

Sa pagsasagawa ng sentralisadong pagsubok, kadalasang may mga pagkakaiba sa pagkakapare-pareho, ang pinakamalaki nito ay nasa pagkakaugnay ng mga function at . Halimbawa:

puwit Pantay-pantay ang virishity.

Desisyon. Ang mga fragment, pagkatapos ay ang kaliwang bahagi ay hindi gumagalaw at mas matanda, dahil

Para sa layunin ng paghahanap na ito ay mahalaga upang masiyahan ang parehong katumbas, umaasa kami. Naniniwala kami sa isa sa mga ito, kung gayon, nang matagpuan ang kahulugan, pipiliin namin ang mga nagbibigay-kasiyahan sa iba.

Pag-usapan natin ang tungkol sa iba pa: , . Todi, .

Malinaw na magkakaroon ng isang bagay para sa mga lalaki.

Kumpirmasyon. .

Ang isa pang ideya ay ipinapatupad kapag ang nakakasakit na antas ay nasa pinakamataas:

puwit Virishity Rivalry .

Desisyon. Mabilis na diskarte sa kapangyarihan mga function ng display: , .

Ang pagkakaroon ng clasped isa-isa para sa isa't isa, ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay mathematical:

Buweno, ang kaliwang bahagi ng equation na ito ay kapareho ng dati, at pagkatapos lamang, kung ang dalawang pagkakapantay-pantay ay konektado:

Pagkatapos ay maaari mong punan ang halaga , , , o maaari mong punan ang halaga , .

Kumpirmasyon. , .

puwit Virishity Rivalry .

Desisyon., . Otje, .

Kumpirmasyon. .

puwit Virishity Rivalry

Desisyon. Mahalaga na mula sa halaga ng pagbabalik ng trigonometric function na magagawa natin і .

Ang mga fragment mula sa paninibugho ay tumagos sa hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon. . Mga labi ng i,i. Gayunpaman at iyon.

Yakshcho i, pagkatapos. Ang mga fragment ay dating naka-install, pagkatapos.

Kumpirmasyon. , .

puwit Virishity Rivalry

Desisyon. Ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng equalization ay .

Ipakita natin sa iyo kung ano ang function

Ang mga positibong kahulugan lamang ang maaaring kunin para sa mga nilalang.

Isipin natin ang function na tulad nito: .

Oskolki, mayroong isang lugar, kung gayon. .

Buweno, upang patunayan ang hindi pagkakapantay-pantay, kailangan itong ipakita . Sa pamamaraang ito, inilalagay namin sa isang cube ang mga nakakasakit na bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na ito, pagkatapos

Ang hindi pagkakapantay-pantay ng numero ay inalis upang kumpirmahin iyon. Kung naniniwala ka pa rin, kung gayon ang kaliwang bahagi ng ilog ay hindi kilala.

Tingnan natin ngayon ang tamang bahagi ng equation.

Kaya yak , Iyon

Gayunpaman, ito ay malinaw na . Ang bituin ay sumisigaw, mabuti, kung gayon. ang mga karapatan bahagi ng equation ay kinuha mula sa. Noong nakaraan, napagtanto na ang kaliwang bahagi ng paninibugho ay hindi kilala, kaya ang paninibugho ay maaari lamang sa ganoong anyo kung ito ay nakakasakit sa kabilang bahagi ng paninibugho, ngunit marahil ay mas mababa pa.

Kumpirmasyon. .

puwit Virishity Rivalry

Desisyon. Makabuluhang i . Ang stagnant nervousness ng Koshy-Bunyakovsky ay naaalis. Ang sumusunod ay ang sumusunod: . Sa kabilang banda ay may isang lugar . Well, walang ugat ang selos.

Kumpirmasyon. .

puwit Virishity:

Desisyon. Isulat muli natin ang kaugnayan sa view:

Kumpirmasyon. .

Mga functional na pamamaraan para sa pag-unrave ng trigonometriko at kumbinasyon ng mga equation

Hindi lahat ng paghahambing ng mga resulta ay maaaring bawasan sa isang paghahambing sa isa pang karaniwang anyo, na siyang batayan ng nakaraang paraan ng solusyon. Sa ganitong mga yugto, lumilitaw na mayroong isang malakas na ugali patungo sa gayong mga pag-andar ng kapangyarihan tulad ng monotony, boundlessness, parity, periodicity, atbp. Kaya, kung ang isang function ay nagbabago, at isa pang pagtaas sa pagitan, kung gayon ito ay malinaw na mayroong isang pantay na ugat sa pagitan, ang ugat na ito ay nagkakaisa, at Pagkatapos, halimbawa, maaari mong malaman sa pamamagitan ng pagpili. Dahil ang function ay bounded sa itaas, at ang function ay bounded sa ibaba, at pagkatapos ay ang antas ay katumbas ng sistema ng mga antas

puwit Virishity Rivalry

Desisyon. Mapapalitan na output sa hitsura

At naniniwala kami na ito ay kasing parisukat. Pagkatapos ay aalisin namin ito,

Pinakamahalaga, ang pagkakapantay-pantay ng pinagsama-samang. Ang pagkakaroon ng pansin sa pagkakabit ng mga pag-andar, dumating kami sa konklusyon na ang equalizer ay maaaring ilagay ang ugat ng buong bagay sa isang hiwa. Sa kaninong pagitan ang pag-andar ay lumalaki, at ang pag-andar mga pagbabago. Buweno, habang lumalaki ang baging bilang isang ugat, ito ay nagkakaisa. Alam namin ang pagpili.

Kumpirmasyon. .

puwit Virishity Rivalry

Desisyon. Bitawan mo ako Pagkatapos ang antas ng output ay maaaring isulat sa mga tuntunin ng antas ng pagganap. Ang mga fragment ng function ay hindi ipinares, pagkatapos ay . Sa kasong ito, negated ang selos.

Oskolki, at walang pagbabago ang tono sa, pagkatapos ay ang katumbas ay katumbas ng katumbas, pagkatapos. , na isang solong ugat.

Kumpirmasyon. .

puwit Virishity Rivalry .

Desisyon. Sa batayan ng teorama tungkol sa kampanya natitiklop na function malinaw kung ano ang function spadna (function spadna, zrostayucha, spadna). Ito ay malinaw na ang function tinutukoy ng , nabawasan. Tom Dana Rivnyanna walang higit sa isang ugat. Kaya yak , Iyon

Kumpirmasyon. .

puwit Pantay-pantay ang virishity.

Desisyon. Tingnan natin ang labanan sa tatlong pagitan.

a) Hayaan mo na. Kaya, sa kasong ito, katumbas ng katumbas ng katumbas. Walang desisyon sa pansamantala, atbp. , , A . Sa katapusan ng linggo, ang bansa mismo ay walang ugat, atbp. , A .

b) Hayaan mo na. Kaya, sa sukat na ito, katumbas ng katumbas ng katumbas ng katumbas ng katumbas

Ang mga ugat nito ay magkakaugnay sa mga numero , , , .

c) Hayaan mo na. Kaya, sa sukat na ito, katumbas ng katumbas ng katumbas ng katumbas ng katumbas

Walang desisyon sa pansamantala, atbp. , A . Sa pansamantala, walang solusyon, iyon ay, bago. , , A .

Kumpirmasyon. , , , .

Paraan ng Symetry

Ang pamamaraan ng simetrya ay manu-manong pinagsama, dahil ang nabalangkas na gawain ay nagbibigay-daan para sa pagkakaisa ng solusyon sa mga pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, mga sistema, atbp. O idaragdag ko ang eksaktong bilang ng mga desisyon. Sa kasong ito, ipapakita ng mga sumusunod ang simetrya ng mga gawain ng mga expression.

Kinakailangan din upang matiyak ang pagkakaiba-iba ng iba't ibang posibleng uri ng simetrya.

Hindi gaanong mahalaga na malinaw na sundin ang mga lohikal na hakbang sa proseso ng simetrya.

Ang simetrya ay nagpapahintulot sa iyo na mag-install ng higit pa kinakailangang isip, at pagkatapos ay kinakailangan upang i-verify ang kasapatan nito.

puwit Alamin ang lahat ng mga halaga ng parameter kung saan ang paghahambing ay may isang solong solusyon.

Desisyon. Mahal, ano ako --- mga lalaki function, samakatuwid ang kaliwang bahagi ay isang ipinares na function.

Ibig sabihin --- Resolusyon pantay, pagkatapos ay nagpasya na pantay. Yakshcho --- nagkakaisa nagpasya ng selos, pagkatapos, kailangan , .

Vidbemo siguro kahalagahan, matindi, upang ang ugat ay katuwiran.

Ito ay kaagad na makabuluhan na ang ibang mga kahulugan ay hindi maaaring masiyahan ang isip.

Ngunit hindi pa malinaw na ang lahat ng mga pagpipilian ay talagang nagbibigay-kasiyahan sa isip.

Sapat.

1) , nakikita ko ang selos sa hinaharap .

2), nakikita ko ang selos sa hinaharap:

Malinaw, para sa lahat . Well, ang katapatan ay nananatiling katumbas ng sistema:

Kami mismo ay nakumbinsi ang aming sarili na sa , ang selos ay mapagpasyahan lamang.

Kumpirmasyon. .

Mga solusyon na may mga advanced na function

puwit Ipaalam sa amin na ang lahat ay napagpasyahan na

Buong mga numero.

Desisyon. Ang pangunahing panahon ng katapusan ng linggo ay napapanahon. Ang buto na ito ay dapat na subaybayan para sa pagputol.

Nababawasan ang paninibugho sa punto ng view:

Sa tulong ng isang microcalculator, maaari nating:

Kaya, mula sa harap na kasigasigan maaari nating alisin:

Ang pagkakaroon ng pagkakalas sa paninibugho, kami ay nag-otrimaem: .

Ang mga kalkulasyon ng Vikonan ay nagpapahintulot sa amin na ipalagay na ang mga ugat ng mga ranggo ay dapat putulin, є, і.

Kinukumpirma ng direktang pag-verify ang hypothesis na ito. Sa ganitong paraan, napagtanto na ang pagsamba sa ugat ay higit pa sa isang buong bilang.

puwit Ilabas ang selos .

Desisyon. Alam natin ang pangunahing panahon ng Rivalry. Ang pangunahing panahon ng function ay sinaunang panahon. Ang pangunahing panahon ng pag-andar ay sinaunang. Ang pinakamaliit na multiple ng mga numerong i ay mas sinaunang. Kaya naman ang pangunahing panahon ng tunggalian ay sinaunang panahon. Bumitaw.

Malinaw, ang mga desisyon ay pantay. Sa mga pagitan. Ang pag-andar ay negatibo. Samakatuwid, ang pangunahing dahilan ay ang paghahanap lamang sa mga pagitan at .

Sa tulong ng isang microcalculator, mabilis nating mahahanap ang pinakamalapit na halaga ng mga ugat. Para sa kung saan lumikha kami ng isang talahanayan ng halaga ng function sa pagitan ng ta ; pagkatapos ay sa pagitan ng ta .

0	0	202,5	0,85355342
3	-0,00080306	207	0,6893642
6	-0,00119426	210	0,57635189
9	-0,00261932	213	0,4614465
12	-0,00448897	216	0,34549155
15	-0,00667995	219	0,22934931
18	-0,00903692	222	0,1138931
21	-0,01137519	225	0,00000002
24	-0,01312438	228	-0,11145712
27	-0,01512438	231	-0,21961736
30	-0,01604446	234	-0,32363903
33	-0,01597149	237	-0,42270819
36	-0,01462203	240	-0,5160445
39	-0,01170562	243	-0,60290965
42	-0,00692866	246	-0,65261345
45	0,00000002	249	-0,75452006
48	0,00936458	252	-0,81805397
51	0,02143757	255	-0,87270535
54	0,03647455	258	-0,91803444
57	0,0547098	261	-0,95367586
60	0,07635185	264	-0,97934187
63	0,10157893	267	-0,99482505
66	0,1305352	270	-1
67,5	0,14644661

Ang mga sumusunod na hypotheses ay madaling makuha mula sa talahanayan: ang mga root equation na mahahati sa mga numero: ; ; . Kinukumpirma ng direktang pag-verify ang hypothesis na ito.

Kumpirmasyon. ; ; .

Pag-alis ng mga trigonometrikong iregularidad gamit ang isang stake

Kapag tinutukoy ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko sa anyo ng isa sa mga pag-andar ng trigonometriko, manu-manong magsagawa ng mga kalkulasyon ng trigonometriko upang mas malinaw na matukoy ang mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay at isulat ang sagot. Ang pangunahing paraan ng paglutas ng mga iregularidad ng trigonometriko ay upang bawasan ang mga ito sa pinakasimpleng uri ng mga iregularidad. Tingnan natin kung paano haharapin ang gayong mga hindi pagkakapantay-pantay.

puwit Ilabas ang kaba.

Desisyon. Ito ay hindi gaanong trigonometric at makabuluhan sa anumang punto kung saan ang ordinate ay bumabaligtad.

To top it off, magkakaroon ng hindi pagkakapantay-pantay. Malinaw din na kung ang numero ay mag-iiba mula sa ilang numero mula sa itinalagang agwat para sa , kung gayon ito ay hindi rin bababa. Kaya, bago matapos ang nahanap na seksyon, ang solusyon ay kailangang idagdag. Ito ay nananatiling malinaw na ang nalutas na hindi pagkakapantay-pantay ng output ay magiging .

Kumpirmasyon. .

Para sa higit pang mga iregularidad sa tangent at cotangent, mahalagang maunawaan ang linya ng tangents at cotangent. Ang mga ito ay tuwid at pare-pareho (para sa mga maliliit (1) at (2)), upang mailagay ang isang trigonometric stake.

Madaling tandaan na kung ipagpapalit mo ang mga coordinate mula sa cob hanggang sa cob ng mga coordinate, kung maglalagay ka ng isang hiwa sa positibong direktang linya ng abscissa axis, pagkatapos ay ang susunod na hiwa mula sa punto hanggang sa punto ng crossbar ng ang palitan sa linya ng tangents ay eksaktong kapareho ng tangent ng hiwa.paano ilagay ang abscis na ito. Ang katulad na pag-iingat ay nalalapat sa mga cotangent.

puwit Ilabas ang kaba.

Desisyon. Kapansin-pansin, kung gayon ang kaba ay tila nasa pinakasimpleng anyo nito: . Tingnan natin ang agwat, na bago ang pinakamaliit na positibong panahon (LPP) tangent. Sa aling seksyon, sa likod ng karagdagang linya ng mga tangent, ini-install namin iyon. Malinaw na ngayon na kailangang magdagdag ng ilang bahagi ng function ng NPP. Otje, . Pag-ikot hanggang sa pagbabago, inaalis namin kung ano.

Kumpirmasyon. .

Ang mga kawalan ng katiyakan mula sa reversal trigonometriko function ay maaaring manu-manong itama mula sa mabisyo graphs ng reversal trigonometric function. Ipapakita namin sa iyo kung paano gamitin ang butt.

Pag-alis ng mga trigonometrikong iregularidad gamit ang graphical na pamamaraan

Mahal, anong ginagawa mo --- panaka-nakang function, pagkatapos ay upang malutas ang hindi pagkakapare-pareho ito ay kinakailangan upang matukoy ang mga solusyon nito sa hiwa, pagkatapos ng ilang nakaraang panahon ng function. Ang lahat ng mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng output ay ang kabuuan ng mga halaga na natagpuan, pati na rin ang mga nagmumula sa mga halaga na natagpuan sa anumang bilang ng mga panahon ng pag-andar.

Tingnan natin ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay ().

Kung mayroong mga fragment, kung gayon kung mayroong isang imbalance, walang solusyon. Sa katunayan, ang kawalan ng mga pagkakaiba ay ang kawalan ng lahat ng aktibong numero.

Bumitaw. Ang function ng sine ay may hindi bababa sa positibong panahon, kaya ang hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring sanhi ng pagputol ng wedge, halimbawa, ng pagputol. Magkakaroon ng mga graph ng function na ta(). ay tinatanong ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa anyo: i, mga bituin,

Sinuri ng robot ang mga pamamaraan para sa pag-unrave ng mga antas ng trigonometriko at hindi pagkakapantay-pantay, parehong simple at antas ng olympiad. Ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometrikong equation at hindi pagkakapantay-pantay ay isinasaalang-alang, at kung gaano katiyak --- katangian Para lamang sa mga trigonometrikong pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay, gayundin ang mga pangunahing pamamaraan ng pagganap para sa paglutas ng mga pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko.

Ang thesis ay nagpakita ng mga pangunahing teoretikal na katotohanan: ang kahalagahan at kapangyarihan ng trigonometric at converse trigonometric function; pagpapahayag ng trigonometriko function sa pamamagitan ng iba pang trigonometriko function, na kung saan ay napakahalaga para sa pagbabago ng trigonometriko expression, lalo na may kaugnayan sa reverse trigonometriko function; Bilang karagdagan sa mga pangunahing trigonometric formula, na kilala mula sa kurso sa paaralan, kami ay magpapakilala ng mga formula upang pasimplehin ang mga expression na maaaring magamit upang baligtarin ang mga function ng trigonometriko. Ang pag-decoupling ng mga elementarya na trigonometric equation, ang paraan ng factoring, at ang paraan ng pagbabawas ng trigonometric equation sa mga algebraic ay sinusuri. Isinasaalang-alang na ang solusyon sa mga trigonometric equation ay maaaring isulat sa mga decal na paraan, at ang uri ng solusyon ay hindi nagpapahintulot sa amin na agad na maitaguyod kung ang solusyon ay bago o naiiba, tinitingnan namin ang nakatagong diagram ng relasyon sa pagitan ng mga trigonometric equation at detalye. ngunit ang muling paglikha ng mga grupo ng mga nakatagong solusyon ng mga antas ng trigonometriko ay sinusuri. Ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga elementarya na hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko, kapwa sa isang sukat at gamit ang graphical na pamamaraan, ay sinusuri nang detalyado. Ang proseso ng pag-alis ng mga di-elementarya na hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometric sa pamamagitan ng elementarya na hindi pagkakapantay-pantay at ang paraan ng mga pagitan, na kilala na ng mga mag-aaral, ay inilarawan. Isang solusyon ang ginawa sa mga karaniwang gawain para sa pagpili ng mga ugat. Ang mga kinakailangang teoretikal na pagsasaalang-alang para sa pagpili ng mga ugat ay ibinigay: paghahati sa impersonality ng buong mga numero sa mga subdivision na hindi nagkakagulo, unraveling ang pagkakapantay-pantay ng mga buong numero (diaphantine).

Ang mga resulta ng thesis work na ito ay maaaring gamitin bilang panimulang materyal sa paghahanda ng coursework at gawaing diploma, sa pagdaragdag ng mga elective para sa mga mag-aaral, ang gawain mismo ay maaaring limitado sa paghahanda ng mga mag-aaral bago ang mga pagsusulit sa pasukan at sentralisadong pagsubok.

Vigodskiy Ya.Ya., Dovidnik mula sa elementarya na matematika. /Vigodskiy Ya.Ya. --- M: Nauka, 1970.

Igudisman O., Mathematics in learning / Igudisman O. --- M: Aires Press, Rolf, 2001.

Azarov A.I., rivnyannya/Azarov A.I., Gladun O.M., Fedosenko V.S. --- Mn.: Trivium, 1994.

Litvinenko V.M., Workshop sa elementarya mathematics / Litvinenko V.M. --- M.: Prosvitnitstvo, 1991.

Sharigin I.F., Opsyonal na kurso sa matematika: mas mataas na edukasyon / Sharigin I.F., Golubev V.I. --- M.: Prosvitnitstvo, 1991.

Bardushkin St., Trigonometric Rivnyannya. Vidbir Koreniv/V. Bardushkin, A. Prokofiev. // Mathematics, No. 12, 2005 p. 23-27.

Vasilevsky A.B., Paaralan para sa advanced na gawain sa matematika / Vasiliev A.B. --- Mn.: Narodna osvita. 1988. --- 176 p.

Sapunov P. I., Muling pagbuo at pag-iisa ng mga grupo ng mga nakatagong solusyon ng mga antas ng trigonometric / Sapunov P. I. // Edukasyon sa matematika, isyu Blg. 3, 1935.

Borodin P., Trigonometry. Mga materyales ng pagsusulit sa pasukan sa Moscow State University [text] / P. Borodin, V. Galkin, V. Panferov, I. Sergiev, V. Tarasov // Mathematics No. 1, 2005 p. 36-48.

Samusenko O.V., Mathematics: Mga tipikal na pabor mga aplikante: Dovidkovyy alumnus/Samusenko A.V., Kozachenok V.V. --- Mn.: Vishcha school, 1991.

Azarov A.I., Functional at graphical na pamamaraan ng mga advanced na eksaminasyon / Azarov A.I., Barvenov S.A., --- Mn.: Aversev, 2004.