Доведіть, що функція є спадною. Зростання та зменшення функції. Достатні умови зростання та зменшення функції

В даний час існує протиріччя між потребою старшокласників до прояву творчості, активності, самостійності, самореалізації та обмеженістю часу для цього на уроках математики. Починаючи з 2006 року я використовую підручники «Алгебра 7, 8, 9» з поглибленим вивченням математики Ю.М. учням можливості роботи на рівні підвищених математичних вимог, розвитку їхньої навчальної мотивації.
Як включити учнів у самостійну дослідницьку діяльність, щоб вони самі «відкривали» нові властивості та стосунки, а не отримували їх від вчителя у готовому вигляді? Багаторічний досвід роботи та бажання змінити у собі традиційні уявлення про навчання підштовхнули мене до застосування дослідницької діяльності на своїх уроках математики. Звичайно, зміна методу роботи, структури уроку та прийняття на себе функції організатора процесу пізнання, функції, що забезпечує системне включення кожного учня, незалежно від інтелектуального рівня, в основні види діяльності, зажадало від мене певних знань та готовності до саморозвитку.
Я думаю, що включення учня в діяльність впливає і на глибину і міцність засвоєння ними знань, і формування у нього системи цінностей, тобто самовиховання. Наявність в учнів здібностей до саморозвитку і самовиховання дозволить їм успішно адаптуватися до зовнішніх умов, що постійно змінюються, не вступаючи при цьому в конфлікт із суспільством.

Тема розділу:"Властивості функцій".

Тема урока:«Зростання та зменшення функцій».

Тип уроку:урок вивчення та первинного застосування нового матеріалу.

Основні цілі:

• Сприяти формуванню у учнів нового поняття монотонної функції;
• Виховувати позитивне ставлення до знань, уміння працювати у парах;
• Сприяти розвитку аналітичного мислення, умінь частково-пошукової пізнавальної діяльності.

ХІД УРОКУ

I. Актуалізація опорних знань

– Дайте визначення функції.
– Якою формулою задаються функції, графіки яких зображені на кресленні? (Додаток 2)

ІІ. Формування нових знань

• Функція f(х)називається зростаючою на множині Х, якщо для будь-яких двох значень аргументу х 1 і х 2 множини Х, таких, що х 2 > х f(х 2 ) > f(х 1 ) .
• Функція (х)називається спадною на безлічі Х, якщо для будь-яких двох значень аргументу х 1 і х 2 множини Х, таких, що х 2 > х 1 , виконується нерівність f(х 2 ) <f(х 1 ) .
• Функцію, що зростає на множині Х або спадає на множині Х, називають монотонною на множині Х.

З'ясуємо характер монотонності деяких видів функцій: (Додаток 4)
Функція f(х)= - Зростаюча. Доведемо це.
Вираз має сенс лише за х > 0. Тому D (f)=. При непарному n функція f(х) = х nзростає по всій області визначення, тобто проміжку (– ; +). (Додаток 7)
Зворотна пропорційність, тобто функція f(х)= у кожному з проміжків (– ; 0) та (0; + ) при k> 0 зменшується, а при k < 0 возрастает. (Приложение 8)

Розглянемо деякі властивості монотонних функцій (Додаток 9):

IV. Формування практичних умінь

Наведемо приклади використання властивостей монотонних функцій:

З'ясуємо, у скільки точках пряма у= 9 перетинає графік функції f(х) = + + .

Рішення:

Функції у= , у = і у = - Зростають функції (властивість 4). Сума зростаючих функцій – функція, що зростає (властивість 3). А зростаюча функція кожне своє значення набуває лише за одного значення аргументу (властивість 1). Отже, якщо пряма у = 9 має спільні точки з графіком функції f(х)= + + , То тільки одну точку.
Підбором можна знайти, що f(х)= 9 при х= 3. Значить, пряма у= 9 перетинає графік функції f(х)= + + У точці М(3; 9).

Розв'яжемо рівняння х 3 – + = 0.

Рішення:

Легко бачити, що х= 1 – корінь рівняння. Покажемо, що іншого коріння це рівняння не має. Справді, область визначення функції у = х 3 – + – безліч позитивних чисел. На цьому множині функція зростає, тому що кожна з функцій у = х 3 , у= - і у= на проміжку (0; +) зростає. Отже, це рівняння інших коренів, крім х= 1, немає.

Дуже важливу інформаціюпро поведінку функції надають проміжки зростання та спадання. Їх знаходження є частиною процесу дослідження функції та побудови графіка. До того ж точкам екстремуму, в яких відбувається зміна зі зростання на спадання або з зменшення на зростання, приділяється особлива увага при знаходженні найбільшого і найменшого значення функції на деякому інтервалі.

У цій статті дамо необхідні визначення, сформулюємо достатню ознаку зростання та зменшення функції на інтервалі та достатні умови існування екстремуму, застосуємо всю цю теорію до вирішення прикладів та завдань.

Навігація на сторінці.

Зростання та зменшення функції на інтервалі.

Визначення зростаючої функції.

Функція y=f(x) зростає на інтервалі X якщо для будь-яких і виконується нерівність. Інакше кажучи – більшого значення аргументу відповідає більше значення функції.

Визначення спадної функції.

Функція y=f(x) зменшується на інтервалі X якщо для будь-яких і виконується нерівність . Інакше кажучи – більшого значення аргументу відповідає менше значення функції.

ПРИМІТКА: якщо функція визначена і безперервна в кінцях інтервалу зростання або спадання (a;b) , тобто при x = a і x = b, то ці точки включаються в проміжок зростання або спадання. Це не суперечить визначенням зростаючої та спадної функції на проміжку X .

Наприклад, із властивостей основних елементарних функційми знаємо, що y=sinx визначена і безперервна всім дійсних значень аргументу. Тому з зростання функції синуса на інтервалі ми можемо стверджувати про зростання на відрізку .

Крапки екстремуму, екстремуми функції.

Точку називають точкою максимумуфункції y=f(x) , якщо всім x з її околиці справедливо нерівність . Значення функції у точці максимуму називають максимумом функціїі позначають.

Точку називають точкою мінімумуфункції y=f(x) , якщо всім x з її околиці справедливо нерівність . Значення функції у точці мінімуму називають мінімумом функціїі позначають.

Під околицею точки розуміють інтервал , де - Досить мале позитивне число.

Точки мінімуму та максимуму називають точками екстремуму, а значення функції, що відповідають точкам екстремуму, називають екстремумами функції.

Не плутайте екстремуми функції з найбільшим та найменшим значенням функції.

На першому малюнку найбільше значення функції на відрізку досягається в точці максимуму і дорівнює максимуму функції, а на другому малюнку - найбільше значення функції досягається в точці x = b, яка не є точкою максимуму.

Достатні умови зростання та зменшення функції.

На підставі достатніх умов (ознак) зростання та зменшення функції знаходяться проміжки зростання та зменшення функції.

Ось формулювання ознак зростання та зменшення функції на інтервалі:

• якщо похідна функції y=f(x) позитивна для будь-якого x з інтервалу X, то функція зростає на X;
• якщо похідна функції y=f(x) негативна будь-якого x з інтервалу X , то функція зменшується на X .

Таким чином, щоб визначити проміжки зростання та зменшення функції необхідно:

Розглянемо приклад знаходження проміжків зростання та зменшення функції для роз'яснення алгоритму.

приклад.

Знайти проміжки зростання та зменшення функції .

Рішення.

На першому кроці потрібно знайти область визначення функції. У прикладі вираз у знаменнику має звертатися в нуль, отже, .

Переходимо до знаходження похідної функції:

Для визначення проміжків зростання та зменшення функції за достатньою ознакою вирішуємо нерівності і на області визначення. Скористайтеся узагальненням методу інтервалів. Єдиним дійсним коренем чисельника є x = 2 а знаменник звертається в нуль при x = 0 . Ці точки розбивають область визначення інтервали, у яких похідна функції зберігає знак. Зазначимо ці точки на числовій прямій. Плюсами та мінусами умовно позначимо інтервали, на яких похідна позитивна чи негативна. Стрілки знизу схематично показують зростання або зменшення функції на відповідному інтервалі.

Таким чином, і .

У точці x=2 функція визначена і безперервна, тому її слід додати до проміжку зростання і до проміжку спадання. У точці x=0 функція не визначена, тому цю точку не включаємо в інтервали, що шукаються.

Наводимо графік функції зіставлення з нею отриманих результатів.

Відповідь:

Функція зростає при , зменшується на інтервалі (0; 2] .

Достатні умови екстремуму функції.

Для знаходження максимумів і мінімумів функції можна користуватися будь-якою із трьох ознак екстремуму, звичайно, якщо функція задовольняє їхні умови. Найпоширенішим і найзручнішим є перший з них.

Перша достатня умова екстремуму.

Нехай функція y=f(x) диференційована в околиці точки, а в самій точці безперервна.

Іншими словами:

Алгоритм знаходження точок екстремуму за першою ознакою екстремуму функції.

• Знаходимо область визначення функції.
• Знаходимо похідну функції області визначення.
• Визначаємо нулі чисельника, нулі знаменника похідної та точки області визначення, в яких похідна не існує (усі перераховані точки називають точками можливого екстремуму, проходячи через ці точки, похідна може змінювати свій знак).
• Ці точки розбивають область визначення функції проміжки, у яких похідна зберігає знак. Визначаємо знаки похідної кожному з інтервалів (наприклад, обчислюючи значення похідної функції у будь-якій точці окремо взятого інтервалу).
• Вибираємо точки, в яких функція безперервна і, проходячи через які, похідна змінює знак – вони є точками екстремуму.

Занадто багато слів, розглянемо краще кілька прикладів знаходження точок екстремуму та екстремумів функції за допомогою першої достатньої умови екстремуму функції.

приклад.

Знайти екстремуми функції.

Рішення.

Областю визначення функції є безліч дійсних чисел, крім x=2 .

Знаходимо похідну:

Нулями чисельника є точки x = -1 і x = 5 знаменник звертається в нуль при x = 2 . Відзначаємо ці точки на числовій осі

Визначаємо знаки похідної кожному інтервалі, при цьому обчислимо значення похідної у кожній з точок кожного інтервалу, наприклад, у точках x=-2, x=0, x=3 і x=6 .

Отже, на інтервалі похідна є позитивною (на малюнку ставимо знак плюс над цим інтервалом). Аналогічно

Тому над другим інтервалом ставимо мінус, над третім – мінус, над четвертим – плюс.

Залишилося вибрати точки, у яких функція безперервна та її похідна змінює знак. Це і є точки екстремуму.

У точці x=-1 функція безперервна і похідна змінює знак із плюса на мінус, отже, за першою ознакою екстремуму, x=-1 – точка максимуму, їй відповідає максимум функції .

У точці x=5 функція безперервна і похідна змінює знак з мінуса на плюс, отже, x=-1 – точка мінімуму, їй відповідає мінімум функції .

Графічні ілюстрації.

Відповідь:

ЗВЕРНІТЬ УВАГУ: перша достатня ознака екстремуму не вимагає диференційності функції у самій точці .

приклад.

Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції .

Рішення.

Областю визначення функції є вся безліч дійсних чисел. Саму функцію можна записати у вигляді:

Знайдемо похідну функції:

У точці x=0 похідна немає, оскільки значення односторонніх меж при прагненні аргументу до нуля не збігаються:

У цей час, вихідна функція є безперервною у точці x=0 (дивіться розділ дослідження функції на безперервність):

Знайдемо значення аргументу, при якому похідна звертається до нуля:

Зазначимо всі отримані точки на числовій прямій і визначимо похідний знак на кожному з інтервалів. Для цього обчислимо значення похідної у довільних точках кожного інтервалу, наприклад, при x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Тобто,

Таким чином, за першою ознакою екстремуму, точками мінімуму є , точками максимуму є .

Обчислюємо відповідні мінімуми функції

Обчислюємо відповідні максимуми функції

Графічні ілюстрації.

Відповідь:

.

Друга ознака екстремуму функції.

Як бачите, ця ознака екстремуму функції потребує похідної як мінімум до другого порядку в точці .

Визначення зростаючої функції.

Функція y=f(x)зростає на інтервалі X, якщо для будь-яких і виконується нерівність. Інакше кажучи – більшого значення аргументу відповідає більше значення функції.

Визначення спадної функції.

Функція y=f(x)зменшується на інтервалі X, якщо для будь-яких і виконується нерівність . Інакше кажучи – більшого значення аргументу відповідає менше значення функції.

ПРИМІТКА: якщо функція визначена і безперервна в кінцях інтервалу зростання або спадання (a; b), тобто при x=aі x=b, то ці точки включаються в проміжок зростання або спадання. Це не суперечить визначенням зростаючої та спадної функції на проміжку X.

Наприклад, з властивостей основних елементарних функцій ми знаємо, що y=sinxвизначена та безперервна для всіх дійсних значень аргументу. Тому з зростання функції синуса на інтервалі ми можемо стверджувати про зростання на відрізку .

Крапки екстремуму, екстремуми функції.

Точку називають точкою максимумуфункції y=f(x)якщо для всіх xз її околиці справедлива нерівність. Значення функції у точці максимуму називають максимумом функціїі позначають.

Точку називають точкою мінімумуфункції y=f(x)якщо для всіх xз її околиці справедлива нерівність. Значення функції у точці мінімуму називають мінімумом функціїі позначають.

Під околицею точки розуміють інтервал , де - Досить мале позитивне число.

Точки мінімуму та максимуму називають точками екстремуму, а значення функції, що відповідають точкам екстремуму, називають екстремумами функції.

Не плутайте екстремуми функції з найбільшим та найменшим значенням функції.

На першому малюнку найбільше значення функції на відрізку досягається в точці максимуму і дорівнює максимуму функції, а на другому малюнку - найбільше значення функції досягається в точці x=bяка не є точкою максимуму.

Достатні умови зростання та зменшення функції.

На підставі достатніх умов (ознак) зростання та зменшення функції знаходяться проміжки зростання та зменшення функції.

Ось формулювання ознак зростання та зменшення функції на інтервалі:

якщо похідна функції y=f(x)позитивна для будь-кого xз інтервалу X, то функція зростає на X;

якщо похідна функції y=f(x)негативна для будь-кого xз інтервалу X, то функція зменшується на X.

Таким чином, щоб визначити проміжки зростання та зменшення функції необхідно:

Розглянемо приклад знаходження проміжків зростання та зменшення функції для роз'яснення алгоритму.

приклад.

Знайти проміжки зростання та зменшення функції .

Рішення.

Першим кроком є ​​знаходження обросту визначення функції. У прикладі вираз у знаменнику має звертатися в нуль, отже, .

Переходимо до знаходження похідної функції:

Для визначення проміжків зростання та зменшення функції за достатньою ознакою вирішуємо нерівності і на області визначення. Скористайтеся узагальненням методу інтервалів. Єдиним дійсним коренем чисельника є x = 2, а знаменник звертається в нуль при x=0. Ці точки розбивають область визначення інтервали, у яких похідна функції зберігає знак. Зазначимо ці точки на числовій прямій. Плюсами та мінусами умовно позначимо інтервали, на яких похідна позитивна чи негативна. Стрілки знизу схематично показують зростання або зменшення функції на відповідному інтервалі.

Таким чином, і .

У точці x=2функція визначена та безперервна, тому її слід додати і до проміжку зростання та до проміжку спадання. У точці x=0функція не визначена, тому цю точку не включаємо в інтервали, що шукаються.

Наводимо графік функції зіставлення з нею отриманих результатів.

Відповідь:

функція зростає при , зменшується на інтервалі (0;2] .

Зростання та зменшення функції

функція y = f(x) називається зростаючою на відрізку [ a, b], якщо для будь-якої пари точок хі х", а ≤ х виконується нерівність f(x) ≤ f (x"), і строго зростаючою - якщо виконується нерівність f (x) f(x"). Аналогічно визначається спадання та суворе зменшення функції. Наприклад, функція у = х 2 (Рис. , а) строго зростає на відрізку , а

(Рис. б) суворо зменшується на цьому відрізку. Зростаючі функції позначаються f (x), а спадні f (x)↓. Для того щоб диференційована функція f (x) була зростаючою на відрізку [ а, b], необхідно і достатньо, щоб її похідна f"(x) була невід'ємною на [ а, b].

Поряд із зростанням і зменшенням функції на відрізку розглядають зростання і зменшення функції в точці. Функція у = f (x) називається зростаючою в точці x 0 якщо знайдеться такий інтервал (α, β), що містить точку x 0 , що для будь-якої точки хз (α, β), х> x 0 , виконується нерівність f (x 0) ≤ f (x), і для будь-якої точки хз (α, β), х 0 виконується нерівність f (x) ≤ f (x 0). Аналогічно визначається строге зростання функції у точці x 0 . Якщо f"(x 0) > 0, то функція f(x) строго зростає в точці x 0 . Якщо f (x) зростає в кожній точці інтервалу ( a, b), вона зростає у цьому інтервалі.

С. Б. Стєчкін.

Велика Радянська Енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. 1969-1978 .

Дивитися що таке "Зростання та зменшення функції" в інших словниках:

Поняття математичного аналізу. Функція f(x) називається зростаючою на відрізку ВІКОВА СТРУКТУРА НАСЕЛЕННЯ співвідношення чисельності різних вікових груп населення. Залежить від рівнів народжуваності та смертності, тривалості життя людей. Великий Енциклопедичний словник

Поняття математичного аналізу. Функція f(х) називається зростаючою на відрізку якщо для будь-якої пари точок x1 і x2, a≤x1 … Енциклопедичний словник

Концепція матем. аналізу. Фція f(x) зв. зростаючою на відрізку [а, b], якщо для будь-якої пари точок х1 та x2, а<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Природознавство. Енциклопедичний словник

Розділ математики, в якому вивчаються похідні та диференціали функцій та їх застосування до дослідження функцій. Оформлення Д. в. у самостійну математичну дисципліну пов'язано з іменами І. Ньютона та Г. Лейбніца (друга половина 17 … Велика Радянська Енциклопедія

Розділ математики, в якому вивчаються поняття похідної та диференціала і способи їх застосування до дослідження функцій. Розвиток Д. в. тісно пов'язані з розвитком інтегрального обчислення. Нерозривно та його зміст. Разом вони становлять основу. Математична енциклопедія

Цей термін має й інші значення, див. функція. Запит «Відображення» перенаправляється сюди; див. також інші значення … Вікіпедія

Аристотель та перипатетики- Арістотелівське питання Життя Арістотеля Арістотель народився в 384/383 гг. до зв. е. у Стагірі, на кордоні з Македонією. Його батько на ім'я Нікомах був лікарем на службі у македонського царя Амінта, отця Пилипа. Разом із сім'єю молодий Арістотель… Західна філософія від витоків до наших днів

- (КХД), квантовопольова теорія сильної дії кварків і глюонів, побудована за образом квант. електродинаміки (КЕД) на основі «колірної» калібрувальної симетрії На відміну від КЕД, ферміони у КХД мають доповнити. ступінь свободи квант. число,… … Фізична енциклопедія

I Серце Серце (лат. соr, грец. cardia) порожнистий фіброзно-м'язовий орган, який, функціонуючи як насос, забезпечує рух крові а системі кровообігу. Анатомія Серце знаходиться у передньому середостінні (Середостіння) у Перікарді між… Медична енциклопедія

Життя рослини, як і будь-якого іншого живого організму, є складною сукупністю взаємопов'язаних процесів; найбільш істотний їх, як відомо, обмін речовин із довкіллям. Середовище є джерелом, звідки… … Біологічна енциклопедія