Як знайти кути трапеції на всі боки. Як знайти кут у трапеції. Властивості прямокутної трапеції

Трапеція - це плоский чотири косинець, У якого дві протилежні сторони паралельні. Вони називаються основами трапеції, а дві інші сторони - бічними сторонами трапеції.

Інструкція

Завдання знаходження довільного кута в трапеціїпотребує достатньої кількості додаткових даних. Розглянемо приклад, у якому відомі два кути на підставі трапеції. Нехай відомі кути ang-BAD і ang-CDA, знайдемо кути ang-ABC і ang-BCD. Трапеція має таку властивість, що сума кутів при кожній бічній стороні дорівнює 180°-. Тоді &ang-ABC = 180°--&ang-BAD, а &ang-BCD = 180°--&ang-CDA.

трапеції" class="lightbx" data-lightbox="article-image">

В іншому завданні може бути вказано рівність сторін трапеціїі якісь додаткові кути. Наприклад, як на малюнку, може бути відомо, що сторони AB, BC і CD рівні, а діагональ становить з нижньою основою кут ang-CAD = α-.Розглянемо тре косинець ABC, він рівнобедрений, оскільки AB = BC. Тоді &ang-BAC = &ang-BCA. Позначимо його x для стислості, а ang-ABC - y. Сума кутів будь-якого тре косинецьа дорівнює 180 ° -, з цього випливає, що 2x + y = 180 ° -, тоді y = 180 ° - - 2x. У той же час із властивостей трапеції: y + x + α- = 180 ° - і отже 180 ° - - 2x + x + α- = 180 ° -. Таким чином, x = -. Ми знайшли два кути трапеції: &ang-BAC = 2x = 2α- та &ang-ABC = y = 180°- - 2α-. Так як AB = CD за умовою, то трапеція рівнобока або рівнобедрена. Значить,

Завдання з трапецією не здаються складними у низці постатей, вивчених раніше. Як окремий випадок розглядається прямокутна трапеція. А при пошуку її площі іноді буває зручніше розбити її на дві вже знайомі: прямокутник та трикутник. Варто трохи подумати, і рішення обов'язково знайдеться.

Визначення прямокутної трапеції та її властивості

У довільної трапеції основи паралельні, а бічні сторони можуть мати довільне значення кутів до них. Якщо розглядається прямокутна трапеція, то в ній одна із сторін завжди перпендикулярна до основ. Тобто два кути в ній дорівнюватимуть 90 градусам. Причому вони завжди належать суміжним вершинам або, іншими словами, одній бічній стороні.

Інші кути у прямокутній трапеції – це завжди гострий та тупий. Причому їхня сума завжди дорівнюватиме 180 градусам.

Кожна діагональ утворює з її меншою бічною стороною прямокутний трикутник. А висота, проведена з вершини з тупим кутом, ділить фігуру на дві. Одна з них — прямокутник, а інша — прямокутний трикутник. До речі, ця сторона завжди дорівнює висоті трапеції.

Які позначення прийнято у поданих формулах?

Всі величини, що використовуються в різних виразах, що описують трапецію, зручно відразу обговорити та подати в таблиці:

Формули, що описують елементи прямокутної трапеції

Найпростіша з них пов'язує висоту та меншу бічну сторону:

Ще кілька формул для цієї сторони прямокутної трапеції:

с = d * sinα;

c = (a - b) * tg α;

c = √ (d 2 - (a - b) 2).

Перша випливає із прямокутного трикутника. І говорить про те, що катет до гіпотенузи дає синус протилежного кута.

У тому самому трикутнику другий катет дорівнює різниці двох основ. Тому справедливим є твердження, яке прирівнює тангенс кута до відношення катетів.

З того ж трикутника можна вивести формулу, ґрунтуючись на знанні теореми Піфагора. Це третій записаний вираз.

Можна записати формули для іншого боку. Їх також три:

d = (a - b) / cosα;

d = c/sin α;

d = √ (c 2 + (а - b) 2).

Перші дві знову виходять із співвідношення сторін у тому прямокутному трикутнику, а друга виводиться з теореми Піфагора.

Яку формулу можна скористатися для розрахунку площі?

Тієї, що дана для довільної трапеції. Тільки треба врахувати, що висотою є сторона, перпендикулярна до основ.

S = (a + b) * h / 2.

Ці величини який завжди дано явно. Тому, щоб обчислити площу прямокутної трапеції, потрібно виконати деякі математичні викладки.

Як бути, якщо потрібно визначити діагоналі?

У цьому випадку потрібно побачити, що вони утворюють два прямокутні трикутники. Отже, завжди можна скористатися теоремою Піфагора. Тоді перша діагональ виражатиметься так:

d1 = √ (з 2 + b 2)

або по-іншому, замінивши "с" на "h":

d1 = √ (h 2 + b 2).

Аналогічним чином виходять формули для другої діагоналі:

d2 = √ (з 2 + b 2)або d 2 = √ (h 2 + а 2).

Завдання №1

Умова. Площа прямокутної трапеції відома і дорівнює 120 дм2. Її висота має довжину 8 дм. Необхідно обчислити усі сторони трапеції. Додатковою умовою є те, що одна основа менша за іншу на 6 дм.

Рішення.Оскільки дана прямокутна трапеція, у якій відома висота, то відразу ж можна сказати про те, що одна із сторін дорівнює 8 дм, тобто менша бічна сторона.

Тепер можна порахувати іншу: d = √ (з 2 + (а – b) 2). Причому тут одразу дано і сторону, і різницю підстав. Останнє дорівнює 6 дм, це відомо з умови. Тоді d дорівнюватиме квадратному кореню з (64 + 36), тобто зі 100. Так знайдена ще одна бічна сторона, що дорівнює 10 дм.

Суму підстав можна знайти із формули для площі. Вона дорівнюватиме подвоєному значенню площі, розділеному на висоту. Якщо рахувати, то виходить 240/8. Отже, сума підстав — це 30 дм. З іншого боку, їхня різниця дорівнює 6 дм. Об'єднавши ці рівняння, можна порахувати обидві підстави:

а + b = 30 та а - b = 6.

Можна висловити як (b + 6), підставити їх у першу рівність. Тоді вийде, що 2b дорівнюватиме 24. Тому просто b виявиться 12 дм.

Тоді остання сторона дорівнює 18 дм.

Відповідь.Сторони прямокутної трапеції: а = 18 дм, b = 12 дм, = 8 дм, d = 10 дм.

Завдання №2

Умови.Дано прямокутну трапецію. Її велика бічна сторона дорівнює сумі підстав. Її висота має довжину 12 см. Побудовано прямокутник, сторони якого рівні підстав трапеції. Необхідно обчислити площу цього прямокутника.

Рішення.Почати потрібно з шуканого. Потрібна площа визначиться як твір a та b. Обидві ці величини невідомі.

Потрібно використовувати додаткові рівність. Одна з них побудована на затвердженні за умови: d = а + b. Необхідно скористатися третьою формулою цієї сторони, яка дана вище. Вийде: d 2 = з 2 + (a - b) 2 або (a + b) 2 = з 2 + (a - b) 2 .

Необхідно зробити перетворення, підставивши замість його значення з умови - 12. Після розкриття дужок і приведення подібних доданків виходить, що 144 = 4 ab.

На початку рішення йшлося про те, що а*b дає потрібну площу. Тому в останньому виразі можна замінити цей твір на S. Простий розрахунок дасть значення площі. S = 36 см2.

Відповідь.Шукана площа 36 см 2 .

Завдання №3

Умови.Площа прямокутної трапеції 150√3 см². Гострий кут дорівнює 60 градусів. Таке ж значення має кут між маленькою основою та меншою діагоналлю. Потрібно вирахувати меншу діагональ.

Рішення.З якості кутів трапеції виходить, що її тупий кут дорівнює 120 º. Тоді діагональ ділить його на рівні, бо одна його частина вже 60 градусів. Тоді і кут між цією діагоналлю та другою основою теж 60 градусів. Тобто трикутник, утворений великою основою, похилою бічною стороною та меншою діагоналлю, є рівностороннім. Таким чином, шукана діагональ дорівнюватиме а, як і бічна сторона d = а.

Тепер слід розглянути прямокутний трикутник. У ньому третій кут дорівнює 30 градусів. Значить катет, що лежить проти нього, дорівнює половині гіпотенузи. Тобто менша основа трапеції дорівнює половині шуканої діагоналі: b = a/2. З нього ж потрібно знайти висоту, рівну бічній стороні, перпендикулярній до основ. Сторона тут катет. З теореми Піфагора:

з = (a/2) * √3.

Тепер залишилося лише підставити всі величини у формулу площі:

150√3 = (a + a/2)*(a/2*√3)/2.

Вирішення цього рівняння дає корінь 20

Відповідь.Найменша діагональ має довжину 20 см.

Кути рівнобедреної трапеції. Доброго дня! У цій статті мова піде про вирішення завдань із трапецією. Ця група завдань входить до складу іспиту, завдання найпростіші. Обчислюватимемо кути трапеції, основи та висоти. Рішення низки завдань зводиться до вирішення , як то кажуть: куди ми без теореми Піфагора, ?

Працюватимемо з рівнобедреною трапецією. У неї рівні бічні сторони та кути при підставах. Про трапецію є стаття на блозі.

Зазначимо невеликий та важливий нюанс, який у процесі вирішення самих завдань докладно розписувати не будемо. Подивіться, якщо у нас дано дві основи, то більша основа висотами, опущеними до неї, розбивається на три відрізки – один дорівнює меншій основі (це протилежні сторони прямокутника), дві інші рівні один одному (це катети рівних прямокутних трикутників):

Простий приклад: дано дві основи рівнобедреної трапеції 25 і 65. Більша основа розбивається на відрізки таким чином:

*І ще! У завданнях не введено літерних позначень. Це зроблено навмисне, щоб не перевантажувати рішення алгебраїчними вишукуваннями. Згоден, що це математично неписьменно, але мета донести суть. А позначення вершин та інших елементів ви завжди можете зробити самі та записати математично коректне рішення.

Розглянемо завдання:

27439. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 51 і 65. Бічні сторони дорівнюють 25. Знайдіть синус гострого кута трапеції.

Для того, щоб знайти кут необхідно побудувати висоти. На ескізі позначимо дані за умови величини. Нижня основа дорівнює 65, висотами воно розбивається на відрізки 7, 51 і 7:

У прямокутному трикутнику нам відома гіпотенуза і катет, можемо знайти другий катет (висота трапеції) і далі вже обчислити синус кута.

По теоремі Піфагора вказаний катет дорівнює:

Таким чином:

Відповідь: 0,96

27440. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 43 і 73. Косинус гострого кута трапеції дорівнює 5/7. Знайдіть бічну сторону.

Побудуємо висоти та відзначимо дані в умові величини, нижня основа розбивається на відрізки 15, 43 та 15:

27441. Більша основа рівнобедреної трапеції дорівнює 34. Бічна сторона дорівнює 14. Синус гострого кута дорівнює (2√10)/7. Знайдіть меншу основу.

Збудуємо висоти. Для того щоб знайти меншу основу нам необхідно знайти чому дорівнює відрізок, що є катетом у прямокутному трикутнику (позначений синім):

Можемо обчислити висоту трапеції, а потім знайти катет:

По теоремі Піфагора обчислюємо катет:

Таким чином, менша основа дорівнює:

27442. Підстави рівнобедреної трапеції дорівнюють 7 і 51. Тангенс гострого кута дорівнює 5/11. Знайдіть висоту трапеції.

Побудуємо висоти та відзначимо дані за умови величини. Нижня основа розбивається на відрізки:

Що робити? Виражаємо тангенс відомого нам кута при основі у прямокутному трикутнику:

27443. Менша основа рівнобедреної трапеції дорівнює 23. Висота трапеції дорівнює 39. Тангенс гострого кута дорівнює 13/8. Знайдіть більшу основу.

Будуємо висоти і обчислюємо чому дорівнює катет:

Таким чином більша основа дорівнюватиме:

27444. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 17 і 87. Висота трапеції дорівнює 14. Знайдіть тангенс гострого кута.

Будуємо висоти та відзначаємо відомі величини на ескізі. Нижня основа розбивається на відрізки 35, 17, 35:

За визначенням тангенсу:

77152. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 6 і 12. Синус гострого кута трапеції дорівнює 0,8. Знайдіть бічну сторону.

Побудуємо ескіз, побудуємо висоти та відзначимо відомі величини, більша основа розбивається на відрізки 3, 6 та 3:

Виразимо гіпотенузу позначену як х через косинус:

З основного тригонометричного тотожностізнайдемо cosα

Таким чином:

27818. Чому дорівнює більший кут рівнобедреної трапеції, якщо відомо, що різниця протилежних кутів дорівнює 50 0? Відповідь дайте у градусах.

З курсу геометрії нам відомо, що якщо маємо дві паралельні прямі та січну, то сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 0 . У нашому випадку це

З умовою сказано, що різниця протилежних кутів дорівнює 50 0 тобто

У цій статті ми намагатимемося наскільки можна повно відобразити властивості трапеції. Зокрема, йтиметься про загальні ознаки та властивості трапеції, а також про властивості вписаної трапеції та про коло, вписане в трапецію. Зачепимо ми і властивості рівнобедреної та прямокутної трапеції.

Приклад розв'язання задачі з використанням розглянутих властивостей допоможе вам розкласти по місцях у голові та краще запам'ятати матеріал.

Трапеція і все-все-все

Для початку коротко згадаємо, що таке трапеція і які поняття з нею пов'язані.

Отже, трапеція – фігура-чотирикутник, дві із сторін якої паралельні одна одній (це підстави). І дві не паралельні – це бічні сторони.

У трапеції може бути опущена висота – перпендикуляр до основ. Проведено середню лінію та діагоналі. А також з будь-якого кута трапеції можна провести бісектрису.

Про різні властивості, пов'язані з усіма цими елементами та їх комбінаціями, ми зараз і поговоримо.

Властивості діагоналей трапеції

Щоб було зрозуміліше, поки читаєте, накидайте собі на аркуші трапецію АКМЕ і проведіть у ній діагоналі.

Якщо ви знайдете середини кожної з діагоналей (позначимо ці точки Х і Т) і з'єднайте їх, вийде відрізок. Одна з властивостей діагоналей трапеції полягає в тому, що ХТ лежить на середній лінії. А його довжину можна отримавши, розділивши різницю підстав на дві: ХТ = (a – b)/2.
Перед нами та сама трапеція АКМЕ. Діагоналі перетинаються в точці О. Розгляньмо трикутники АОЕ і МОК, утворені відрізками діагоналей разом з основами трапеції. Ці трикутники – подібні. Коефіцієнт подібності k трикутників виражається через відношення основ трапеції: k = АЕ/КМ.
Відношення площ трикутників АОЕ та МОК описується коефіцієнтом k 2 .
Все та ж трапеція, ті ж діагоналі, що перетинаються в точці О. Тільки цього разу ми розглядатимемо трикутники, які відрізки діагоналей утворили спільно з бічними сторонами трапеції. Площі трикутників АКО та ЕМО є рівновеликими – їхні площі однакові.
Ще одна властивість трапеції включає побудову діагоналей. Так, якщо продовжити бічні сторони АК і МЕ в напрямку меншої основи, то рано чи пізно вони перетнуться до певної точки. Далі, через середини основ трапеції проведемо пряму. Вона перетинає основи у точках Х і Т.
Якщо ми тепер продовжимо пряму ХТ, вона з'єднає разом точку перетину діагоналей трапеції О, точку, у якій перетинаються продовження бічних сторін і середини підстав Х і Т.
Через точку перетину діагоналей проведемо відрізок, який з'єднає основи трапеції (Т лежить на меншій підставі КМ, Х – на більшому АЕ). Точка перетину діагоналей ділить цей відрізок у наступному співвідношенні: ТО/ОХ = КМ/АЕ.
А тепер через точку перетину діагоналей проведемо паралельний основам трапеції (a та b) відрізок. Точка перетину розділить його на дві рівні частини. Знайти довжину відрізка можна за формулою 2ab/(a + b).

Властивості середньої лінії трапеції

Середню лінію проведіть у трапеції паралельно до її підстав.

Довжину середньої лінії трапеції можна обчислити, якщо скласти довжини основ і розділити їх навпіл: m = (a + b)/2.
Якщо провести через обидві підстави трапецію будь-який відрізок (висота, наприклад), середня лінія розділить його на дві рівні частини.

Властивість бісектриси трапеції

Виберіть будь-який кут трапеції та проведіть бісектрису. Візьмемо, наприклад, кут КАЄ нашої трапеції АКМЕ. Виконавши побудову самостійно, ви легко переконаєтеся - бісектриса відсікається від основи (або його продовження на прямій за межами самої фігури) відрізок такої ж довжини, що й бічна сторона.

Властивості кутів трапеції

Яку б із двох пар прилеглих до бічної сторони кутів ви не вибрали, сума кутів у парі завжди становить 180 0: α + β = 180 0 і γ + δ = 180 0 .
З'єднаємо середини основ трапеції відрізком ТХ. Тепер подивимося на кути при основах трапеції. Якщо сума кутів при будь-якому з них становить 90 0 довжину відрізка ТХ легко обчислити виходячи з різниці довжин підстав, розділеної навпіл: ТХ = (АЕ - КМ) / 2.
Якщо через сторони кута трапеції провести паралельні прямі, розділять сторони кута на пропорційні відрізки.

Властивості рівнобедреної (рівнобічної) трапеції

У рівнобедреній трапеції рівні кути при будь-якій підставі.
Тепер знову збудуйте трапецію, щоб простіше було уявити, про що йдеться. Подивіться уважно на основу АЕ – вершина протилежної основи М проектується на якусь точку на прямій, яка містить АЕ. Відстань від вершини А до точки проекції вершини М та середня лінія рівнобедреної трапеції – рівні.
Кілька слів про властивість діагоналей рівнобедреної трапеції – їх довжини рівні. А також однакові кути нахилу цих діагоналей до основи трапеції.
Тільки біля рівнобедреної трапеції можна описати коло, оскільки сума протилежних кутів чотирикутника 1800 – обов'язкова умова для цього.
З попереднього пункту випливає властивість рівнобедреної трапеції – якщо біля трапеції можна описати коло, вона є рівнобедреною.
З особливостей рівнобедреної трапеції випливає властивість висоти трапеції: якщо її діагоналі перетинаються під прямим кутом, то довжина висоти дорівнює половині суми основ: h = (a + b)/2.
Знову проведіть відрізок ТХ через середини основ трапеції – у рівнобедреній трапеції він є перпендикуляром до основ. І водночас ТХ – вісь симетрії рівнобедреної трапеції.
Цього разу опустіть на більшу основу (позначимо його a) висоту з протилежної вершини трапеції. Вийде два відрізки. Довжину одного можна знайти, якщо довжини підстав скласти та розділити навпіл: (a + b)/2. Другий отримаємо, коли з більшої основи віднімемо менше і отриману різницю розділимо на два: (a – b)/2.

Властивості трапеції, вписаної в коло

Раз вже мова зайшла про вписану в коло трапецію, зупинимося на цьому питанні докладніше. Зокрема на тому, де знаходиться центр кола по відношенню до трапеції. Тут теж рекомендується не полінуватися взяти олівець до рук і накреслити те, про що йтиметься нижче. Так і зрозумієте швидше і запам'ятайте краще.

Розташування центру кола визначається кутом нахилу діагоналі трапеції до його боці. Наприклад, діагональ може виходити з вершини трапеції під прямим кутом до бокової сторони. У такому разі більша основа перетинає центр описаного кола точно посередині (R = ½АЕ).
Діагональ і бічний бік можуть зустрічатися і під гострим кутом – тоді центр кола виявляється всередині трапеції.
Центр описаного кола може виявитися поза межами трапеції, за її основою, якщо між діагоналлю трапеції і бічною стороною – тупий кут.
Кут, утворений діагоналлю і великою основою трапеції АКМЕ (вписаний кут) становить половину центрального кута, який йому відповідає: ТРАВНЕ = ½МОЄ.
Коротко про два способи визначити радіус описаного кола. Спосіб перший: уважно подивіться на своє креслення – що ви бачите? Ви легко помітите, що діагональ розбиває трапецію на два трикутники. Радіус можна знайти через відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута, помноженого на два. Наприклад, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогічно формулу можна розписати для будь-якої зі сторін обох трикутників.
Спосіб другий: знаходимо радіус описаного кола через площу трикутника, утвореного діагоналлю, бічною стороною та основою трапеції: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ.

Властивості трапеції, описаної біля кола

Вписати коло в трапецію можна, якщо дотримується одна умова. Детальніше про нього нижче. І разом ця комбінація фігур має низку цікавих властивостей.

Якщо в трапецію вписано коло, довжину її середньої лінії можна легко знайти, склавши довжини бічних сторін і розділивши отриману суму навпіл: m = (c + d)/2.
У трапеції АКМЕ, описаної біля кола, сума довжин основ дорівнює сумі довжин бічних сторін: АК + МЕ = КМ + АЕ.
З цієї властивості основ трапеції випливає зворотне твердження: коло можна вписати в ту трапецію, сума основ якої дорівнює сумі бічних сторін.
Точка торкання кола з радіусом r, вписаної в трапецію, розбиває бічну сторону на два відрізки, назвемо їх a та b. Радіус кола можна обчислити за такою формулою: r = √ab.
І ще одна властивість. Щоб не заплутатися, цей приклад також накресліть самі. У нас є стара-добра трапеція АКМЕ, описана біля кола. У ній проведені діагоналі, що перетинаються у точці О. Утворені відрізками діагоналей та бічними сторонами трикутники АОК та ЕОМ – прямокутні.
Висоти цих трикутників, опущені на гіпотенузи (тобто бічні сторони трапеції), збігаються з радіусами вписаного кола. А висота трапеції – збігається з діаметром вписаного кола.

Властивості прямокутної трапеції

Прямокутною називають трапецію, один із кутів якої є прямим. І її властивості випливають із цієї обставини.

У прямокутної трапеції одна з бічних сторін перпендикулярна до основ.
Висота та бічна сторона трапеції, що прилягає до прямого кута, рівні. Це дозволяє обчислювати площу прямокутної трапеції ( загальна формула S = (a + b) * h/2) не тільки через висоту, а й через бічну сторону, що прилягає до прямого кута.
Для прямокутної трапеції актуальні описані вище загальні властивості діагоналей трапеції.

Докази деяких властивостей трапеції

Рівність кутів на підставі рівнобедреної трапеції:

Ви вже напевно і самі здогадалися, що тут нам знову знадобиться трапеція АКМЕ – накресліть рівнобедрену трапецію. Проведіть із вершини М пряму МТ, паралельну бічній стороні АК (МТ || АК).

Отриманий чотирикутник АКМТ - паралелограм (АК | | МТ, КМ | | АТ). Оскільки МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – рівнобедрений та МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, отже МТЕ = КАЄ, МЕТ = МТЕ = КАЄ.

Звідки АКМ = 180 0 - МЕТ = 180 0 - КАЄ = КМЕ.

Що і потрібно було довести.

Тепер на підставі властивості рівнобедреної трапеції (рівності діагоналей) доведемо, що трапеція АКМЕ є рівнобедреною:

Спочатку проведемо пряму МХ – МХ || КЕ. Отримаємо паралелограм КМХЕ (підстава – МХ || КЕ та КМ || ЕХ).

∆АМХ - рівнобедрений, оскільки АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, тому МАЄ = МХЕ.

У нас вийшло, що трикутники АКЕ та ЕМА рівні між собою, тому що АМ = КЕ та АЕ – загальна сторона двох трикутників. А також ТРАВНІ = МХЕ. Можемо дійти невтішного висновку, що АК = МЕ, а звідси випливає і що трапеція АКМЕ – равнобедренная.

Завдання для повторення

Підстави трапеції АКМЕ дорівнюють 9 см і 21 см, бічна сторона КА, що дорівнює 8 см, утворює кут 150 0 з меншою основою. Потрібно знайти площу трапеції.

Рішення: З вершини До опустимо висоту до більшої основи трапеції. І почнемо розглядати кути трапеції.

Кути АЕМ та КАН є односторонніми. А це означає, що в сумі вони дають 180 0 . Тому КАН = 300 (на підставі властивості кутів трапеції).

Розглянемо тепер прямокутний ∆АНК (вважаю, цей момент очевидний читачам без додаткових доказів). З нього знайдемо висоту трапеції КН – у трикутнику вона є катетом, що лежить навпроти кута 30 0 . Тому КН = ?АВ = 4 см.

Площу трапеції знаходимо за формулою: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Післямова

Якщо ви уважно і вдумливо вивчили цю статтю, не полінувалися з олівцем у руках накреслити трапеції для всіх наведених властивостей і розібрати їх на практиці, матеріал повинен був непогано засвоїтися.

Звичайно, інформації тут багато, різноманітної і навіть навіть заплутаної: не так вже й складно переплутати властивості описаної трапеції з властивостями вписаної. Але ви самі переконалися, що різниця величезна.

Тепер у вас є докладний конспект усіх загальних властивостейтрапеції. А також специфічних властивостей та ознак трапецій рівнобедреної та прямокутної. Їм дуже зручно користуватися, щоб готуватися до контрольних та іспитів. Спробуйте самі та поділіться посиланням з друзями!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Трапеція— це чотирикутник, що має дві паралельні сторони, що є основами та дві не паралельні сторони, що є бічними сторонами.

Також зустрічаються такі назви, як рівнобокаабо рівнобочна.

- Це трапеція, у якої кути при боці прямі.

Елементи трапеції

a, b - основи трапеції(a паралельно b),

m, n - бічні сторонитрапеції,

d 1 , d 2 діагоналітрапеції,

h - висотатрапеції (відрізок, що з'єднує основи і при цьому перпендикулярний їм),

MN - середня лінія(Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін).

Площа трапеції

Через напівсуму основ a, b і висоту h : S = frac(a + b) (2) c h h
Через середню лінію MN і висоту h : S = MN \ cdot h
Через діагоналі d 1 , d 2 і кут (\ sin \ varphi) між ними: S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)

Властивості трапеції

Середня лінія трапеції

Середня лініяпаралельна основам, що дорівнює їх напівсумі і поділяє кожен відрізок з кінцями, що знаходяться на прямих, які містять основи, (наприклад, висоту фігури) навпіл:

MN || a, MN | b, MN = \frac(a + b)(2)