Fonksiyonların grafikleri, formülleri ve adları. Temel temel işlevler: güçleri ve grafikleri. Erkek pozitif göstergeli ayak fonksiyonu

Zannanya temel temel işlevler, yetkileri ve programlarıÇarpım tablosunu bilmek daha az önemli değildir. Vakıf gibi kokarlar, her şey onların üzerine kurulur, her şey onların üzerine kurulur, her şey onlara indirgenir.

Bu yazıda tüm temel temel fonksiyonları yeniden ele alıyoruz, grafiklerini çiziyoruz ve hiçbir kanıt olmadan temel temel fonksiyonların gücü diyagramın arkasında:

• fonksiyonun değer bölgesinin sınırlarındaki davranışı, dikey asimptot (gerektiğinde, fonksiyonun noktasının sınıflandırmasına bakınız);
• eşleştirme ve eşleştirmeyi kaldırma;
• dışbükeylik aralıkları (yokuş yukarı dışbükeylik) ve dışbükeylik (aşağı doğru dışbükeylik), çıkıntı noktaları (gerekirse çıkıntı, düz çıkıntı, çıkıntı noktası, servikal çıkıntı ve çıkıntının işlevini gözlemleyin);
• elimine edilmiş ve yatay asimptotlar;
• özel fonksiyon noktaları;
• Aktif fonksiyonların özel gücü (örneğin, trigonometrik fonksiyonların en az pozitif periyodu).

İsterseniz teorinin birkaç bölümüne geçebilirsiniz.

Temel temel işlevlerє: sabit fonksiyon (sabit), n'inci aşamanın kökü, statik fonksiyon, gösterim, logaritmik fonksiyon, trigonometrik ve dönüş trigonometrik fonksiyonlar.

Sayfada gezinme.

Sabit fonksiyon.

Tüm gerçek sayıların çokluğuna ilişkin sabit bir fonksiyon aşağıdaki formülle belirtilir; burada C bir gerçek sayıdır. Sabit fonksiyon, bağımsız değişken x'in dış etki değerini, kalıcı değişken y'nin aynı değeri olan C değeriyle eşleştirmektir. Sabit bir fonksiyona sabit denir.

Durağan bir fonksiyonun grafiği apsis eksenine paralel ve koordinatları (0,C) olan noktadan geçen düz bir çizgidir. Örneğin y=5, y=-2 ve altta küçük olanın siyah, kırmızı ve maviyi gösterdiği durağan fonksiyonların grafiklerini düz bir çizgide gösterelim.

Sabit fonksiyonun gücü.

• Önemli alan: Reel sayıların tüm çoklukları.
• Sabit fonksiyon eşleştirilir.
• Anlam alanı: Anlamsız, aynı S'den oluşan.
• Durağan fonksiyon büyümeyen ve durmayan bir fonksiyondur (şimdilik durağandır).
• Vücudun şişkinliğinden ve bükülmesinden bahsetmek anlamsızdır.
• Asimptot yok.
• Fonksiyon koordinat düzleminin (0,C) noktasından geçmektir.

N'inci derecenin kökü.

N'nin birden büyük bir doğal sayı olduğu formülle verilen temel temel fonksiyona bakalım.

N'inci derecenin kökü, n bir sayıdır.

Şimdi n'inci kök göstergesinin eşit değerleri için n'inci kök fonksiyonunu kullanalım.

Popo için fonksiyon grafiklerinin görsellerinden küçüklere bakalım Ve siyah, kırmızı ve mavi çizgilerle temsil edilirler.

Göstergenin diğer değerleri için eşleştirilmiş bir adımın köklerinin fonksiyonlarının grafikleri benzer bir görünüm göstermektedir.

Fonksiyonun kuvveti, adamlar n ile n'inci derecenin köküdür.

N'inci derecenin kökü, n tek bir sayıdır.

N'inci kökün eşlenmemiş indeksine sahip n'inci kök işlevi, tüm gerçek sayılara atanır. Popo için fonksiyon grafikleri oluşturalım Ve siyah, kırmızı ve mavi eğrilere benziyorlar.

Kök göstergesinin diğer eşleştirilmemiş değerleri için fonksiyonun grafiği benzer bir görünüme sahip olacaktır.

Fonksiyonun kuvveti, eşleştirilmemiş n için n'inci derecenin köküdür.

Basamak fonksiyonu.

Basamak fonksiyonu formülle verilmektedir.

Adım göstergesinin değerine bağlı olarak statik fonksiyonun grafiğine ve statik fonksiyonun gücüne bir göz atalım.

Tamamen gösterge a ile statik işlevlerle. Bu durumda, statik fonksiyonların ve güç fonksiyonlarının grafiklerinin türü, aşama göstergesinin ve işaretin eşleştirilmesinde ve eşleşmesinde yatmaktadır. Bu nedenle, önce a göstergesinin eşleştirilmemiş pozitif değerleri için, sonra aynı pozitif değerler için, sonra i aşamasının eşleştirilmemiş negatif göstergeleri için, sonra da aynı negatif a için statik fonksiyonlara bakalım.

Atış ve irrasyonel göstergelere sahip statik fonksiyonların gücü (ve bu tür statik fonksiyonların grafiklerinin türü), a göstergesinin değerinde yatmaktadır. İlk önce a sıfırdan bire gittiğinde, başka bir şekilde daha büyük olduğunda, üçüncüsünde, a eksi birden sıfıra gittiğinde, dördüncüsünde daha küçük eksi bir olduğunda görülebilirler.

Son olarak resmi tamamlamak için sıfır üssü olan statik bir fonksiyonu tanımlayalım.

Eşleştirilmemiş pozitif ekranlı adım fonksiyonu.

Eşlenmemiş pozitif adım göstergesiyle statik fonksiyona bir göz atalım, o zaman a = 1,3,5, ....

Aşağıdaki bebekte statik fonksiyonların grafikleri vardır - siyah çizgi, - mavi çizgi, - kırmızı çizgi, - yeşil çizgi. a=1 maєmo olduğunda doğrusal fonksiyon y=x.

Eşlenmemiş pozitif ekrana sahip statik bir fonksiyonun gücü.

Bir adamın pozitif görüntüsüyle adım fonksiyonu.

Küçük bir pozitif adım göstergesiyle statik fonksiyona bakalım, ardından a = 2,4,6,….

Örnek olarak statik fonksiyonların grafiklerini çizelim – siyah çizgi, – mavi çizgi, – kırmızı çizgi. a = 2 olduğunda grafiği ikinci dereceden bir fonksiyon kullanabiliriz. ikinci dereceden parabol.

Bir adamın pozitif görüntüsüyle statik fonksiyonun gücü.

Eşleştirilmemiş negatif ekranlı adım fonksiyonu.

Adım göstergesinin eşleştirilmemiş negatif değerleri için statik fonksiyonun grafiklerine hayret edin, ardından a = -1, -3, -5,….

Küçük olan statik fonksiyonların grafiklerini gösterir – siyah çizgi, – mavi çizgi, – kırmızı çizgi, – yeşil çizgi. a=-1 maєmo olduğunda kapı orantılılığı, programı abartı.

Eşlenmemiş negatif ekrana sahip statik bir fonksiyonun gücü.

Bir adamın negatif gösterimi ile adım fonksiyonu.

a = -2, -4, -6,… ile statik fonksiyona geçelim.

Küçük resimde statik fonksiyonların grafikleri gösterilmektedir – siyah çizgi, – mavi çizgi, – kırmızı çizgi.

Bir adamın negatif gösterimi ile statik fonksiyonun gücü.

Değeri sıfırdan büyük ve birden küçük olan, rasyonel veya irrasyonel göstergeli bir adım fonksiyonu.

Saygınızı artırın! a, eşlenmemiş işaretli pozitif bir arkadaş olduğundan, yazarlar statik fonksiyon aralığının anlamlılık alanına saygı duyarlar. Kimin anlayışı, a aşamasının göstergesinin kısa bir atış olduğudur. Aynı zamanda, cebir ve koçan analizi üzerine zengin ders kitaplarının yazarları, argümanın negatif değerleri için eşleştirilmemiş işaretli bir kesir biçiminde bir göstergeye sahip statik fonksiyonlara DEĞER VERMEZ. Bu görüşe kendimiz ulaşmaya çalışacağız, çünkü kişisel olmayan aşamanın av tüfeği olumlu göstergeleri ile statik işlevlerin önem taşıdığı alanlarda önemliyiz. Tutarsızlıkları ortadan kaldırmak için öğrencilerin yatırımınızın odağını bu ince noktaya incelemeleri önerilir.

Rasyonel ve irrasyonel göstergelerle statik fonksiyona bir göz atalım.

a=11/12 (siyah çizgi), a=5/7 (kırmızı çizgi), (mavi çizgi), a=2/5 (yeşil çizgi) için yığma fonksiyonlarının grafiklerini çizelim.

Rasyonel olmayan ve irrasyonel göstergesi birden büyük olan adım fonksiyonu.

Müdahaleci olmayan rasyonel ve irrasyonel göstergelerle statik fonksiyona bir göz atalım.

Formüllerle belirtilen statik fonksiyonların grafiklerini çizelim (siyah, kırmızı, mavi ve yeşil çizgiler tutarlıdır).

>

Göstergenin diğer değerleri ile fonksiyon grafiklerinin a adımı benzer bir görünüme sahip olacaktır.

Statik fonksiyonun gücü.

Eksi bir için daha büyük ve sıfır için daha küçük olan aktif göstergeli bir adım fonksiyonu.

Saygınızı artırın! a, eşleştirilmemiş işaretli negatif bir kelime olduğundan, yazarlar statik fonksiyon aralığının önem alanına saygı gösterirler. . Kimin anlayışı, a aşamasının göstergesinin kısa bir atış olduğudur. Aynı zamanda, cebir ve koçan analizi üzerine zengin ders kitaplarının yazarları, argümanın negatif değerleri için eşleştirilmemiş işaretli bir kesir biçiminde bir göstergeye sahip statik fonksiyonlara DEĞER VERMEZ. Tarafsızlık aşamasının olumsuz göstergelerinden statik fonksiyonların önem taşıdığı alanlarda bu en önemli şeyin bu olduğuna inanıyoruz. Tutarsızlıkları ortadan kaldırmak için öğrencilerin yatırımınızın odağını bu ince noktaya incelemeleri önerilir.

Statik fonksiyona, kadere geçelim.

Fonksiyon grafiklerini uygularken statik fonksiyonların grafik türlerini daha iyi hayal etmek (çarpık bir şekilde siyah, kırmızı, mavi ve yeşil).

Gösterge a, ile statik fonksiyonun gücü.

Birden az olan, tamamlanmamış aktif göstergesi olan bir ayak fonksiyonu.

Statik fonksiyonların grafiklerinin uygulanmasına şu durumlarda bakalım: siyah, kırmızı, mavi ve yeşil çizgilerle tasvir edilmiştir.

Negatif göstergesi eksi birden küçük olan statik bir fonksiyonun gücü.

a = 0 olduğunda (0;1) noktası kapatıldığı için doğrudan - fonksiyonunu kullanabiliriz (0 0 ifadesine aynı değer verilmez).

Görüntüleme işlevi.

Ana temel işlevlerden biri görüntüleme işlevidir.

Takvim ekran fonksiyonları nereye götürüyor farklı görünüm temelin anlamı yerine a. Hadi belaya girelim.

Önce bir bakalım, eğer görüntüleme fonksiyonunun temeli sıfırdan bire kadar değerleri topluyorsa o zaman .

Örnek olarak a = 1/2 – mavi çizgi, a = 5/6 – kırmızı çizgi için görüntüleme fonksiyonunun grafiğini çizelim. Aralık bazında diğer değerler için görüntüleme fonksiyonunun grafikleri benzer bir görünüme sahiptir.

Görüntüleme fonksiyonunun gücü en küçük birime dayanmaktadır.

Görüntüleme fonksiyonunun temeli birden büyükse sonuca varıyoruz.

Örnek olarak, ekran fonksiyonlarının grafiklerini çiziyoruz - mavi çizgi ve kırmızı çizgi. Tabanın diğer değerleri, yüksek birimler ile görüntüleme fonksiyonunun grafikleri benzer bir görünüme sahiptir.

Görüntüleme fonksiyonunun gücü büyük üniteye dayanmaktadır.

Logaritmik fonksiyon.

Bir sonraki temel temel fonksiyon logaritmik de, fonksiyonudur. Logaritmik fonksiyon, argümanın pozitif değerlerine atanır, o zaman .

Takvim logaritmik fonksiyon bazın değerine göre farklı bir görünüm alır.

Yapmasan da sorun değil.

Örneğin a = 1/2 – mavi çizgi, a = 5/6 – kırmızı çizgi ile logaritmik fonksiyonun grafiklerini çizelim. Alt simgenin diğer değerleri ile birimleri aşmadan logaritmik fonksiyonun grafikleri benzer bir görünüme sahip olacaktır.

En küçük birlik tabanından logaritmik fonksiyonun kuvveti.

Logaritmik fonksiyonun tabanı birden büyükse () düşmeye geçelim.

Logaritmik fonksiyonların - mavi çizgi - kırmızı çizgi - grafiklerini gösterelim. Tabanın diğer değerleri, yüksek birimler için logaritmik fonksiyonun grafikleri benzer bir görünüme sahiptir.

Büyük birliğe dayanan logaritmik bir fonksiyonun gücü.

Trigonometrik fonksiyonlar, kuvvetleri ve grafikleri.

Tüm trigonometrik fonksiyonlar (sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant) temel temel fonksiyonlara indirgenir. Şimdi grafiklerine bakalım ve özelliklerini inceleyelim.

Trigonometrik fonksiyonlar anlaşılabilir sıklık(fonksiyonun değerinin bağımsız değişkenin farklı değerleriyle tekrarlanması, dönemin değeri için bir türün değiştirilmesi de T - periyodu), trigonometrik fonksiyonların kuvvetleri listesine öğe ekle "en az olumlu dönem". Ayrıca her trigonometrik fonksiyon için, ilgili fonksiyonun sıfıra gittiği argümanın değerini belirtiriz.

Şimdi sırayla tüm trigonometrik fonksiyonlara bakalım.

Sinüs fonksiyonu y = sin (x).

Sinüs fonksiyonunun grafiği, sinüzoid olarak adlandırılan hayal edilebilir.

Sinüs fonksiyonunun kuvveti y = sinx'tir.

Kosinüs fonksiyonu y = cos(x).

Kosinüs fonksiyonunun (“kosinüs” olarak adlandırılır) grafiği şuna benzer:

Güç fonksiyonu kosinüs y = cosx.

Teğet fonksiyonu y = tan (x).

Teğet fonksiyonunun ("teğet" olarak adlandırılır) grafiği şuna benzer:

Fonksiyonun kuvveti teğet y = tgx'tir.

Kotanjant fonksiyonu y = ctg(x).

Kotanjant fonksiyonunun ("kotanjantoid" olarak adlandırılan) grafiği hayal edilebilir:

Güç fonksiyonu kotanjantı y = ctgx.

Trigonometrik fonksiyonları, güçlerini ve grafiklerini döndürün.

Ters trigonometrik fonksiyonlar (arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant) temel temel fonksiyonlardır. Çoğu zaman, "yay" öneki aracılığıyla, ters trigonometrik fonksiyonlara yay fonksiyonları denir. Şimdi grafiklerine bakalım ve özelliklerini inceleyelim.

Arksinüs fonksiyonu y = arksin(x).

Arcsinüs fonksiyonunun grafiği hayal edilebilir:

Güç fonksiyonu arkkotanjant y = arkctg(x).

Edebiyat listesi.

• Kolmogorov A.M., Abramov A.M., Dudnitsin Yu.P. ve Cebir ve analizin başlangıcı: Beg. 10-11 sınıflar için. arka plan aydınlatma kurulumları.
• Vigodsky M.Ya. İlköğretim matematik danışmanı.
• Novosyolov S.I. Cebir ve temel fonksiyonlar.
• Tumanov S.I. Temel cebir. Kendini aydınlatmak için bir el kitabı.

İşlevi kullanın

Online olarak üçlü grafik fonksiyonları ile hizmetinizi saygılarınıza sunuyoruz, tüm hakları firmamıza aittir. Desmos. Bir işlev girmek için sol sütunu kullanın. Manuel olarak girebilir veya pencerenin altındaki sanal klavyeyi kullanabilirsiniz. Grafik görünümünü geliştirmek için hem sol sütunu hem de sanal klavyeyi ekleyebilirsiniz.

Çevrimiçi günlük programların avantajları

• Tanıtılacak fonksiyonların görsel temsili
• Pobudova bile katlama grafikleri
• Pobudova görevleri örtülü olarak programlar (örneğin, el_ps x^2/9+y^2/16=1)
• Grafikleri kaydetme ve üzerlerine mesaj gönderme yeteneği, bunların İnternet'teki herkesin kullanımına sunulmasını sağlar.
• Ölçek ve çizgi rengini kontrol etme
• Puanların ve vicor sabitlerinin arkasında haftalık grafik imkanı
• Aynı anda birden fazla grafik işlevini çağırın
• Kutupsal koordinat sistemindeki Pobudova grafikleri (Vikorist r ve θ(\theta))

Size çevrimiçi olarak değişen karmaşıklıktaki grafikleri kolayca sağlayabiliriz. Pobudova Mittevo'da kayboldu. Fonksiyon grafiklerinin davranışsal özelliklerini analiz etmek için, mevcut görevin bir örneği olarak bir Word belgesinde fonksiyonların aktarım noktasını, grafik görüntülerini daha ileri hareketleri için bulmak için hizmet isteyin. Bu sayfadaki grafiklerle çalışmak için en uygun tarayıcı Google Chrome. Diğer tarayıcılarda robotun doğruluğu garanti edilmez.

Temel temel fonksiyonlar, bunlarla ilişkili bileşenler ve ilgili grafikler, çarpım tablosuna benzer önemde matematik bilgisinin temellerinden biridir. Temel işlevler, tüm teorik beslenmenin gelişiminin temeli ve desteğidir.

Aşağıdaki makale temel temel işlevler konusunda önemli materyaller sunmaktadır. Terimleri biz ortaya koyduk, onlara anlam verdik; Cildin temel fonksiyonlarını net bir şekilde görebiliyoruz, hadi onların gücüne bakalım.

Aşağıdaki temel temel fonksiyon türleri görülür:

Viznachennya 1

• sabit fonksiyon (sabit);
• n'inci derecenin kökü;
• statik fonksiyon;
• görüntüleme işlevi;
• logaritmik fonksiyon;
• trigonometrik fonksiyonlar;
• kardeş trigonometrik fonksiyonlar.

Sabit bir fonksiyon şu formülle ifade edilir: y = C (C gerçek bir sayıdır) ve sabit olarak da adlandırılabilir. Bu fonksiyon, bağımsız bir x değişkeninin herhangi bir etkin değerinin aynı değişken değeri y değerine (C) benzerliği anlamına gelir.

Bir sabitin grafiği absis eksenine paralel olan ve koordinatları (0, C) olan bir noktadan geçen düz bir çizgidir. Hassasiyet için y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 durağan fonksiyonlarının grafiklerini çizelim (sandalyede genel olarak siyah, kırmızı ve mavi renklerle gösterilirler).

Vicennia 2

Bu temel fonksiyon y = x n (n, birden büyük bir doğal sayıdır) formülüyle ifade edilir.

Fonksiyonun iki varyasyonuna bakalım.

1. N'inci derecenin kökü, n – sayı

Anlaşılır olması açısından aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini gösteren sandalyeyi söyleyelim: y = x, y = x 4 ben y = x8. Bu işlevler renklerle gösterilir: siyah, kırmızı ve mavi.

Göstergenin diğer değerleri için eşleştirilmiş bir adımın fonksiyonunun grafikleri benzer bir görünüme sahiptir.

Vicenzennya 3

Kuvvet fonksiyonu n'inci derecenin köküdür, n sayıdır

• önem alanı, bilinmeyen tüm operasyonel sayıların yokluğudur [0, + ∞);
• eğer x = 0 ise fonksiyon y = x n'nin değeri sıfıra eşittir;
• verilen fonksiyon- işlev bunu dört gözle bekliyorum(ne eşleştirilmiş ne de eşlenmemiş);
• değer aralığı: [0, + ∞);
• eşleştirilmiş işaretlerle y = x n fonksiyonu verildiğinde, kök tüm anlamlı alan boyunca büyür;
• fonksiyon tüm ayrım alanı boyunca dışbükey ve düz olabilir;
• pereginanın günlük puanları;
• günlük asimptotlar;
• Fonksiyonun n çiftleri için grafiği (0; 0) ve (1; 1) noktalarından geçer.

1. N'inci derecenin kökü, n – eşleştirilmemiş sayı

Bu fonksiyon gerçek sayılar kümesinin tamamına uygulanır. Anlaşılır olması için fonksiyonların grafiklerine bakalım y = x 3 , y = x 5 ben x 9. Koltuğun üzerinde işaretlenmiş renkler var: siyah, kırmızı ve mavi, kıvrımların renkleri tutarlı.

Y = xn fonksiyonunun kök göstergesinin diğer eşleştirilmemiş değerleri, benzer görünüme sahip bir grafik verecektir.

Vicenchennya 4

Kuvvet fonksiyonu n'inci derecenin köküdür, n eşlenmemiş bir sayıdır

• önem alanı tüm aktif sayıların anlamıdır;
• verilen işlev - eşleştirilmemiş;
• değer alanı – herhangi bir aktif numara olmadan;
• kökün eşleştirilmemiş göstergelerine sahip y = x n işlevi tüm anlamlı alan boyunca büyür;
• Fonksiyon uzaya eğilebilir (- ∞ ; 0 ) veya uzaya dışbükey [ 0 , + ∞);
• bükülme noktası koordinatlardadır (0; 0);
• günlük asimptotlar;
• Eşlenmemiş n için fonksiyonun grafiği (-1; - 1), (0; 0) ve (1; 1) noktalarından geçer.

Basamak fonksiyonu

Viznachennya 5

Adım fonksiyonu y = xa formülüyle ifade edilir.

Grafiklerin görünümü ve fonksiyonun gücü, aşama göstergesinin değerinde yatmaktadır.

• Statik bir fonksiyonun tam bir a göstergesi varsa, statik fonksiyonun grafiğinin türü ve gücü, statik fonksiyonun tek veya eşlenmemiş bir göstergeye sahip olup olmadığına ve ayrıca göstergenin hangi işarete sahip olduğuna bağlıdır. Aşağıdaki her şeye bir göz atalım;
• Aşamanın göstergesi, grafiklerin türüne ve fonksiyonun gücüne bağlı olarak kesirli veya irrasyonel olabilir. Bir grup insanın aklını karıştıran serpintileri sıralayacağız: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• Statik bir fonksiyon sıfır göstergesi olarak kullanılabilir, bu da aşağıda tartışılacaktır.

Statik fonksiyona bir göz atalım y = x a, eğer a garip bir şekilde pozitif bir sayı ise, örneğin a = 1, 3, 5...

Doğruluk sağlamak için aşağıdaki statik fonksiyonların grafiklerini gösteriyoruz: y = x (siyah renkli grafikler), y = x 3 (mavi renkli grafikler), y = x 5 (kırmızı renkli grafikler), y = x7 (yeşil renkli grafikler). a = 1 ise y = x doğrusal fonksiyonunu hesaplayabiliriz.

Viznachennya 6

Aşamanın göstergesi eşleşmemiş pozitif ise statik fonksiyonun gücü

• fonksiyon x ∈ (- ∞ ; + ∞) için büyür;
• fonksiyon x ∈ (- ∞ ; 0 ) için dışbükeyliğe ve x ∈ [ 0 ; + ∞) (doğrusal fonksiyon dahil);
• bükülme noktasının koordinatları (0; 0) vardır (doğrusal fonksiyon dahil);
• günlük asimptotlar;
• fonksiyonun geçiş noktaları: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1).

Statik fonksiyona bir göz atalım y = x a, eğer a pozitif bir sayıysa, örneğin a = 2, 4, 6...

Hassasiyet sağlamak için aşağıdaki statik fonksiyonların grafiklerini gösteriyoruz: y = x 2 (siyah renkli grafikler), y = x 4 (mavi renkli grafikler), y = x 8 (kırmızı renkli grafikler). Eğer a = 2 ikinci dereceden bir fonksiyonsa, grafiği ikinci dereceden bir paraboldür.

Viznachennya 7

Statik fonksiyonun gücü, eğer sahne göstergesi pozitif bir adamsa:

• değer alanı: x ∈ (- ∞ ; + ∞);
• x ∈ (- ∞; 0] için bozunum;
• fonksiyon x ∈ (- ∞ ; + ∞) noktasında bükülebilir;
• göz mercekleri peregina vіdsutnі;
• günlük asimptotlar;
• fonksiyonun geçiş noktaları: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1).

Statik fonksiyonun grafiklerinin uygulanması aşağıdaki bebeğe işaret etmektedir. y = x a , eğer a eşleştirilmemiş bir sayı ise: y = x – 9 (siyah renkli grafikler); y = x – 5 (mavi renkli grafikler); y = x – 3 (kırmızı renkli grafikler); y = x – 1 (yeşil renkli grafikler). a = - 1 ise ters orantılılık belirlenir, grafik bir hiperboldür.

Viznachennya 8

Aşamanın göstergesi eşleştirilmemiş negatifse statik fonksiyonun gücü:

Eğer x = 0 başka bir türden alınırsa, a = - 1, - 3, - 5, … için lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ parçaları. Yani x = 0 düz çizgisi dikey bir asimptottur;

• değer aralığı: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• işlev eşleştirilmemiş, parçalar y(-x) = -y(x);
• fonksiyon x ∈ - ∞ için azalmaktadır; 0 ∪ (0; + ∞);
• fonksiyon x ∈ (- ∞ ; 0) için dışbükeyliğe ve x ∈ (0 ; + ∞) için dışbükeyliğe sahiptir;
• Peregina her gün puan alıyor;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, eğer a = - 1, - 3, - 5,. . . .

• fonksiyonun geçiş noktaları: (- 1; - 1), (1; 1).

Eğer a aynı sayı ise, y = x a statik fonksiyonunun grafiğinin uygulaması aşağıdaki küçükte gösterilmektedir: y = x – 8 (siyah renkli grafikler); y = x – 4 (mavi renkli grafikler); y = x – 2 (kırmızı renkli grafikler).

Viznachennya 9

Statik fonksiyonun gücü, eğer aşamanın göstergesi adam negatif ise:

• değer alanı: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Eğer x = 0 başka bir türden alınırsa, a = - 2, - 4, - 6, … için lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ parçaları. Yani x = 0 düz çizgisi dikey bir asimptottur;

• işlev eşleştirilmiştir, parçalar y(-x) = y(x);
• fonksiyon x ∈ (- ∞ ; 0) için artıyor ve x ∈ 0 için azalıyor; +∞;
• fonksiyon x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) için bükülebilir;
• Peregina her gün puan alıyor;
• yatay asimptot - düz çizgi y = 0, parçalar:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, eğer a = - 2, - 4, - 6, . . . .

• Fonksiyonun geçiş noktaları: (- 1; 1), (1; 1).

En başından itibaren, rahatsız edici yöne dikkat edin: aynı zamanda, eğer a, eşleştirilmemiş işaretli pozitif bir argümansa, yazarlar - ∞ aralığını statik fonksiyonun önem alanı olarak alırlar; + ∞ , a göstergesinin yavaş bir hareket olduğunu unutmayın. Şu anda, cebir ve cob analizi üzerine birçok ilk görüşün yazarları, göstergenin argümanın negatif değerleri için eşleştirilmemiş bir işarete sahip bir arkadaş olduğu statik fonksiyonlara DEĞER VERMEZ. Ayrıca bu konumu ele alacağız: hadi kişiliksizlik aşamasını ele alalım [0; + ∞). Öğrencilere öneri: tutarsızlıkları önlemek için hesabınızı güncel tutun.

Peki, statik fonksiyona bir göz atalım y = x a , eğer gösterge adımı akılda kalan rasyonel veya irrasyonel bir sayı ise (0)< a < 1 .

Statik fonksiyonların grafikleriyle gösterilmiştir y = x a eğer a = 11 12 (siyah renkli grafikler); a = 5 7 (kırmızı renkli grafikler); a = 13 (mavi renkli grafikler); a = 2 5 (yeşil renkli grafikler).

Diğer ekran değerleri a aşaması (akıl 0 için)< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Viznachennya 10

Statik bir fonksiyonun 0'daki gücü< a < 1:

• değer aralığı: y ∈ [0; + ∞);
• fonksiyon x ∈ [0 için büyüyor; + ∞);
• fonksiyon x ∈ (0; + ∞) için dışbükeydir;
• Peregina her gün puan alıyor;
• günlük asimptotlar;

Statik fonksiyona bir göz atalım y = x a, eğer gösterge adımı akılda kalan rasyonel olmayan veya irrasyonel bir sayı ise, a > 1.

Statik fonksiyonu grafiklerle gösteriyoruz y = x gibi fonksiyonların uygulanmasında verilen akıllar: y = x 5 4, y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (grafiklerin siyah, kırmızı, mavi, yeşil renkleri tutarlıdır).

Görüntüleme aşamasının diğer değerleri ve akıl için a > 1, benzer türde bir grafik verir.

Viznachennya 11

a > 1 için statik fonksiyonun kuvveti:

• değer bölgesi: x ∈ [0; + ∞);
• değer aralığı: y ∈ [0; + ∞);
• bir işlev verilmiştir - zagal formun işlevi (ne eşlenmemiş ne de eşleştirilmiş);
• fonksiyon x ∈ [0 için büyüyor; + ∞);
• fonksiyon x ∈ (0 ; + ∞) için bükülebilir (eğer 1 ise)< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• Peregina her gün puan alıyor;
• günlük asimptotlar;
• fonksiyonun geçiş noktaları: (0; 0), (1; 1).

Saygınızı takdir ediyoruz! Eğer a, eşleştirilmemiş işaretli negatif bir kelime ise, bazı yazarlar bu tür - aralık - ∞'da hangi alanın belirtildiğine daha yakından bakarlar; 0 ∪ (0 ; + ∞) çünkü gösterge aşaması a yavaş hareket ediyor. Şu anda, cebir ve koçanı analizi ile ilgili ilk materyallerin yazarları, argümanın negatif değerleri için eşleştirilmemiş işaretli bir kesir biçimindeki göstergeyle statik fonksiyonlara değer VERMEZ. Ayrıca, bu görüşe katılıyoruz: statik işlevlerin önem alanını diğer olumsuz kişiliksizlik göstergelerinden (0; + ∞) alıyoruz. Öğrenciler için öneri: Herhangi bir tutarsızlığı önlemek için yatırdığınız bakiyeyi şu anda kontrol edin.

Konuya devam ediyoruz ve statik fonksiyonu analiz ediyoruz y = x a akıl için: - 1< a < 0 .

Hücum fonksiyonlarının grafiklerini bir araya getirelim: y = x - 5 6 y = x - 2 3 y = x - 1 2 2 y = x - 1 7 (siyah, kırmızı, mavi, yeşil renk çizgileri tutarlıdır).

Viznachennya 12

Statik fonksiyonun -1'deki gücü< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , eğer - 1 ise< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• değer aralığı: y ∈ 0; +∞;
• bir işlev verilmiştir - zagal formun işlevi (ne eşlenmemiş ne de eşleştirilmiş);
• Peregina her gün puan alıyor;

Aşağıdaki sandalyede y = x - 54, y = x - 53, y = x - 6, y = x - 247 statik fonksiyonlarının grafikleri bulunmaktadır (siyah, kırmızı, mavi, yeşil renk eğrileri aynıdır).

Viznachennya 13

Statik bir fonksiyonun gücü< - 1:

• değer bölgesi: x ∈ 0; +∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , eğer a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• değer aralığı: y ∈ (0; + ∞);
• bir işlev verilmiştir - zagal formun işlevi (ne eşlenmemiş ne de eşleştirilmiş);
• fonksiyon x ∈ 0 için azalmaktadır; +∞;
• fonksiyon x ∈ 0'da bükülebilir; +∞;
• Peregina her gün puan alıyor;
• yatay asimptot düzdür y = 0;
• Fonksiyonun geçiş noktası: (1; 1) .

a = 0 ve x ≠ 0 ise y = x 0 = 1 fonksiyonu kaldırılır yani (0; 1) noktasının kapalı olduğu direkt doğru anlamına gelir (0 0 ifadesine herhangi bir değer verilmediğini anlıyoruz) .

Ekran fonksiyonu görüntülenebilir y = a x , burada a > 0 ve a ≠ 1'dir ve bu fonksiyonun grafiği, a yerine geçen değere bağlı olarak farklı görünür. Serpinti çevresine bir göz atalım.

Görüntüleme fonksiyonunun temeli sıfırdan bire (0) kadar değişiyorsa öncelikle duruma bakalım.< a < 1) . Başlangıç ​​noktası olarak a = 1 2 (eğrinin mavi rengi) ve a = 5 6 (eğrinin kırmızı rengi) olan fonksiyonların grafiklerini kullanın.

Benzer bir görünüm, 0 bazında başka nedenlerden dolayı görüntüleme fonksiyonunun grafiklerinden kaynaklanmaktadır.< a < 1 .

Viznachennya 14

Taban birden azsa görüntüleme fonksiyonunun gücü:

• değer aralığı: y ∈ (0; + ∞);
• bir işlev verilmiştir - zagal formun işlevi (ne eşlenmemiş ne de eşleştirilmiş);
• tabanı birden küçük olan ve tüm değer alanı boyunca azalan bir görüntüleme fonksiyonu;
• Peregina her gün puan alıyor;
• yatay asimptot - x değiştiğinde düz çizgi y = 0, yani pragne + ∞;

Şimdi görüntüleme fonksiyonunun tabanı alttakinden (a > 1) büyükse aradaki farka bakalım.

Bu gelişmeler dizisi, y = 3 2 x (eğrinin mavi rengi) ve y = e x (grafiğin kırmızı rengi) görüntüleme fonksiyonlarının bir grafiğiyle gösterilmektedir.

Temelin diğer değerleri, büyük olanlar, görüntüleme fonksiyonunun grafiğine benzer bir görünüm verecektir.

Viznachennya 15

Taban birden büyükse görüntüleme fonksiyonunun gücü:

• anlam alanı tüm anlamsız sayılardır;
• değer aralığı: y ∈ (0; + ∞);
• bir işlev verilmiştir - zagal formun işlevi (ne eşlenmemiş ne de eşleştirilmiş);
• tabanı birden büyük olan ve x ∈ - ∞ olarak büyüyen bir fonksiyonu gösterir; +∞;
• fonksiyon x ∈ - ∞'da bükülebilir; +∞;
• Peregina her gün puan alıyor;
• yatay asimptot - x değiştiğinde düz çizgi y = 0, ki bu - ∞'a eşittir;
• Fonksiyonun geçiş noktası: (0; 1) .

Logaritmik fonksiyon y = log a (x) gibi görünür; burada a > 0, a ≠ 1'dir.

Bu fonksiyon özellikle argümanın pozitif değeri için tasarlanmıştır: x ∈ 0 için; + ∞.

Logaritmik bir fonksiyonun grafiği, tabanın değerine bağlı olarak farklı bir görünüme sahiptir.

Önce duruma bir bakalım, eğer 0 ise< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Diğer değerler, küçük birimler, benzer türde bir grafik verecektir.

Viznachennya 16

Taban birden küçükse logaritmik fonksiyonun kuvveti:

• değer bölgesi: x ∈ 0; + ∞. Eğer x sağdan sıfıra doğru ise fonksiyonun değeri artırılır + ∞;
• değer aralığı: y ∈ - ∞; +∞;
• bir işlev verilmiştir - zagal formun işlevi (ne eşlenmemiş ne de eşleştirilmiş);
• logaritmik
• fonksiyon x ∈ 0'da bükülebilir; +∞;
• Peregina her gün puan alıyor;
• günlük asimptotlar;

Şimdi logaritmik fonksiyonun tabanı birden büyükse aradaki farka bakalım: a > 1 . Aşağıdaki sandalyede y = log 3 2 x ve y = ln x logaritmik fonksiyonlarının grafikleri bulunmaktadır (grafiklerin mavi ve kırmızı renkleri tutarlıdır).

Bazın birden büyük diğer değerleri benzer türde bir grafik verecektir.

Viznachennya 17

Taban birden büyükse logaritmik fonksiyonun kuvveti:

• değer bölgesi: x ∈ 0; + ∞. Eğer x sıfır değilse, sağ el, fonksiyonun değeri - ∞'a yükseltilir;
• değer aralığı: y ∈ - ∞; + ∞ (tüm anonim numaralar);
• bir işlev verilmiştir - zagal formun işlevi (ne eşlenmemiş ne de eşleştirilmiş);
• logaritmik fonksiyon x ∈ 0'da büyüyor; +∞;
• fonksiyon x ∈ 0 için dışbükeydir; +∞;
• Peregina her gün puan alıyor;
• günlük asimptotlar;
• Fonksiyonun geçiş noktası: (1; 0) .

Trigonometrik fonksiyonlar sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanttır. Şimdi dış görünümün gücüne ve ilgili grafiklere bakalım.

O halde tüm trigonometrik fonksiyonların özü periyodikliğin gücüyle karakterize edilir. fonksiyonun değerleri argümanın farklı değerleriyle tekrarlanırsa, o zaman bir tür, f(x + T) = f(x) (T – dönem) periyodunun değerine bölünür. Böylece trigonometrik fonksiyonların kuvvetleri listesine en az pozitif periyot eklenir. Ek olarak, bu tür değerleri, alt fonksiyonun sıfıra dönüştürüldüğü argümana da göstereceğiz.

1. Sinüs fonksiyonu: y = sin (x)

Bu fonksiyonun grafiğine sinüs dalgası denir.

Viznachennya 18

Sinüs fonksiyonunun gücü:

• önem alanı: x ∈ - ∞ gerçek sayıların tüm çoklukları; +∞;
• eğer x = π · k ise, k ∈ Z (Z bir tamsayıdır) ise fonksiyon sıfıra dönüştürülür;
• fonksiyon x ∈ - π 2 + 2 π · k için büyüyor; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ve x ∈ π 2 + 2 π · k için bozunan; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• sinüs fonksiyonu π 2 + 2 π · k noktalarında yerel maksimumlar üretir; 1 ve yerel minimumlar - π 2 + 2 π · k noktalarında; - 1, k ∈ Z;
• eğer x ∈ - π + 2 π · k ise sinüs fonksiyonu kavislidir; 2 π · k , k ∈ Z ben bir dışbükeydir, eğer x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k, k ∈ Z;
• günlük asimptotlar.

1. Kosinüs fonksiyonu: y = cos(x)

Bu fonksiyonun grafiğine kosinüs denir.

Viznachennya 19

Kosinüs fonksiyonunun gücü:

• değer alanı: x ∈ - ∞; +∞;
• en küçük pozitif periyot: T = 2 π;
• değer aralığı: y ∈ - 1; 1;
• verilen fonksiyon - çift, parçalar y(-x) = y(x);
• fonksiyon x ∈ - π + 2 π · k için büyüyor; 2 π · k , k ∈ Z ve x ∈ 2 π · k için bozunan; π + 2 π k, k ∈ Z;
• kosinüs fonksiyonu 2 π · k noktalarında yerel maksimumlar üretir; 1, k ∈ Z ve π + 2 π · k noktalarındaki yerel minimumlar; - 1, k ∈ z;
• eğer x ∈ π 2 + 2 π · k ise kosinüs fonksiyonu kavislidir; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ben bir kabarcıktır, eğer x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• peregina noktaları π 2 + π · k koordinatlarında bulunur; 0 , k ∈ Z
• günlük asimptotlar.

1. Teğet fonksiyonu: y = tan(x)

Bu fonksiyonun grafiği denir teğet.

Viznachennya 20

Teğet fonksiyonunun gücü:

• değer alanı: x ∈ - π 2 + π · k; π 2 + π · k, burada k ∈ Z (Z, sayı olmayan bir sayıdır);
• Tanjant fonksiyonunun ara bölge üzerindeki davranışı şöyledir: lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Dolayısıyla x = π 2 + π · k k ∈ Z çizgileri dikey asimptotlardır;
• k ∈ Z için x = π · k ise fonksiyon sıfıra dönüştürülür (Z bir tam sayıdır);
• değer aralığı: y ∈ - ∞; +∞;
• verilen fonksiyon - eşleştirilmemiş, parçalar y(-x) = -y(x);
• fonksiyon - π 2 + π · k'de büyür; π 2 + π k, k ∈ Z;
• teğet fonksiyonu x ∈ [π · k için eğridir; π 2 + π · k), k ∈ Z ve x ∈ için dışbükey (- π 2 + π · k; π · k], k ∈ Z;
• Peregina'nın noktaları π · k koordinatlarında belirir; 0, k ∈ Z;

1. Kotanjant fonksiyonu: y = bebek karyolası(x)

Bu fonksiyonun grafiğine kotanjantoid denir. .

Viznachennya 21

Kotanjantın güç fonksiyonu:

• önem alanı: x ∈ (π · k; π + π · k), burada k ∈ Z (Z, numarasız bir sayıdır);

Kotanjant fonksiyonunun ara bölge üzerindeki davranışı şöyledir: lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Dolayısıyla, x = π · k k ∈ Z düz çizgileri dikey asimptotlardır;

• en küçük pozitif periyot: T = π;
• k ∈ Z için x = π 2 + π · k ise fonksiyon sıfıra döner (Z bir tam sayıdır);
• değer aralığı: y ∈ - ∞; +∞;
• verilen fonksiyon - eşleştirilmemiş, parçalar y(-x) = -y(x);
• fonksiyon x ∈ π · k için azalmaktadır; π + π k, k ∈ Z;
• kotanjant fonksiyonu x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z için içbükeydir ve x ∈ [ - π 2 + π · k ;
• peregina noktaları π 2 + π · k koordinatlarında bulunur; 0, k ∈ Z;
• günlük çalıntı ve yatay asimptotlar.

Ters trigonometrik fonksiyonlar ark sinüs, ark kosinüs, ark tanjant ve ark ko tanjanttır. Çoğu zaman, adında "yay" önekinin bulunması nedeniyle, ters trigonometrik fonksiyonlara yay fonksiyonları denir. .

1. Ark sinüs fonksiyonu: y = a r c sin (x)

Viznachennya 22

Ark sinüs fonksiyonunun gücü:

• verilen fonksiyon - eşleştirilmemiş, parçalar y(-x) = -y(x);
• arksinüs fonksiyonunun x ∈ 0'da bir eğimi vardır; 1 x ∈ - 1'de dışbükeylik; 0;
• çevre boyunca noktalar koordinatlardır (0; 0) ve fonksiyonun sıfırı vardır;
• günlük asimptotlar.

1. Ark kosinüs fonksiyonu: y = r c cos (x)

Viznachennya 23

Arkosinüs fonksiyonunun gücü:

• değer alanı: x ∈ - 1; 1;
• değer aralığı: y ∈ 0; π;
• fonksiyon verilmiştir - zagal form (ne eşleştirilmiş ne de eşlenmemiş);
• fonksiyon tüm önem alanı boyunca azalmaktadır;
• ark kosinüs fonksiyonunun eğimi x ∈ - 1'dir; 0 = x ∈ 0'da dışbükeylik; 1;
• peregina noktaları 0 koordinatlarında belirir; π2;
• günlük asimptotlar.

1. Arktanjant fonksiyonu: y = r c t g (x)

Viznachennya 24

Arktanjantın güç fonksiyonları:

• değer alanı: x ∈ - ∞; +∞;
• değer aralığı: y ∈ - π 2; π2;
• verilen fonksiyon - eşleştirilmemiş, parçalar y(-x) = -y(x);
• işlev tüm önem alanı boyunca büyüyor;
• Arktanjant fonksiyonu x ∈ (- ∞ ; 0 ) için eğimlidir ve x ∈ [ 0 ; için dışbükeydir; + ∞) ;
• bükülme noktasının koordinatları (0; 0) vardır ve fonksiyonun sıfırı vardır;
• yatay asimptotlar – x → - ∞ için düz çizgiler y = - π 2 ve x → + ∞ için y = π 2 (en küçük asimptot için – yeşil renkli çizginin tamamı).

1. Ark tanjant fonksiyonu: y = r c c t g (x)

Viznachennya 25

Ark tanjantın güç fonksiyonları:

• değer alanı: x ∈ - ∞; +∞;
• değer aralığı: y ∈ (0; π);
• fonksiyon verilmiştir - zagal biçimde;
• fonksiyon tüm önem alanı boyunca azalmaktadır;
• arkkotanjant fonksiyonu x ∈ [0'da bir eğriliğe sahiptir; + ∞) x ∈'da dışbükeylik (- ∞; 0];
• bükülme noktası 0 koordinatındadır; π2;
• yatay asimptotlar – x → - ∞'da (sandalyede – yeşil renkli çizgi) düz çizgiler y = π ve x → + ∞'da y = 0.

Metinde bir iyilik işaretlediyseniz lütfen onu görün ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.