Logaritmik eşitsizlikler hakkında bilmeniz gereken her şey. Bileşik logaritmik eşitsizlikler. Logaritmik eşitsizliği çözme

Logaritmik eşitsizlik

Önceki derslerde logaritmik denklemleri öğrendik ve artık bunları nasıl hesaplayacağımızı biliyoruz. Ve bugünün dersi logaritmik eşitsizliklerin geliştirilmesine ayrılacak. Bu eşitsizliklerin nedeni nedir ve logaritmik denklemin çözümleri ile eşitsizlikler arasındaki fark nedir?

Logaritmik eşitsizlikler - bunlar, logaritmanın işareti altında veya tabanında duran, değiştirilebilen eşitsizliklerdir.

Veya logaritmik eşitsizlik, logaritmik eşitsizlikte olduğu gibi logaritmanın işareti altında bilinmeyen bir miktarın bulunduğu bir eşitsizliktir de diyebiliriz.

En basit logaritmik eşitsizlikler şöyle görünür:

burada f(x) ve g(x), x'in altında yer alan farklı ifadelerdir.

Bu örneğe daha yakından bakalım: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Logaritmik eşitsizliği çözme

Logaritmik eşitsizlikleri çözmeden önce, en üst düzeydeki kokunun eşitsizlikleri göstermeye ve kendisine benzeyebileceğini belirtmek önemlidir:

Öncelikle logaritmalardan logaritmanın işareti altında yer alan ifadelere geçerken logaritmanın tabanını da bire eşitlememiz gerekiyor;

Başka bir deyişle, çoğu logaritmik eşitsizlikte, vikoristik ve değiştirilebilir olanların ikamesi, en basit eşitsizliği reddedebilecek duruma gelene kadar ikame öncesinde eşitsizlikleri çözmemiz gerekir.

Logaritmik eşitsizliklerin çözülmesinin benzer anlarına da baktık. Ve aynı zamanda gerçek saygınlığa ulaşmaya da büyük bir saygı duyuyorum. Logaritmik fonksiyonun değer aralığıyla sınırlı olabileceğini hepimiz biliyoruz, bu nedenle logaritmalardan logaritmanın işareti altında yer alan ifadelere geçerken kabul edilebilir değer aralığını (ADV) dikkate almak gerekir.

En logaritmik denklemlerin yanınızda olmasını sağlamak için önce denklemin kökünü bulabilir, ardından çözümü kontrol edebiliriz. Ve logaritmik eşitsizliğin ekseni görünmüyor, logaritmalardan logaritmanın işareti altında duran ifadelere geçen parçalar, eşitsizliğin ODZ'sini yazmak gerekiyor.

Eşitsizlik teorisinin 0 sayısının yanı sıra pozitif ve negatif sayılar gibi reel sayılardan oluştuğunu da unutmamak gerekir.

Örneğin “a” sayısı pozitif ise şu girdiyi kullanmak gerekir: a >0. Ve burada, toplam gibi, bu sayıların geliri de pozitif olacaktır.

Sorunu çözmenin temel prensibi, onu daha basit bir şeyle, yani müstehcen bir şeyle değiştirmek, böylece verilen soruna eşdeğer olmaktır. Ayrıca düzensizlik ve yenilik de yarattık ve bunları daha basit bir görünüme sahip olanla değiştirdik, vb.

Eşitsizliklerin en büyüğü ile tüm kararlarınızı araştırmak gerekir. Eğer iki eşitsizlik aynı farka sahipse, bu tür eşitsizlikler, aralarındaki farklardan kaçınılan zihinlerde eşdeğerdir.

Logaritmik yanlışlıkları çözmek için şunu unutmamak gerekir: a > 1 ise logaritmik fonksiyon artar, 0 ise logaritmik fonksiyon artar.< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Logaritmik eşitsizliği çözme yöntemleri

Şimdi logaritmik eşitsizliklerle uğraşırken kullanılabilecek farklı yöntemlere bakalım. Daha iyi anlamak ve ustalaşmak için belirli hisse senetleri hakkında onlardan bilgi almaya çalışalım.

Sen ve ben en basit logaritmik eşitsizliğin şöyle göründüğünü biliyoruz:

Bu eşitsizlik aşağıdaki eşitsizlik işaretlerinden birine sahiptir:<,>, ≤ veya ≥.

Belirli bir logaritmanın temeli birden büyükse (a>1), logaritmalardan logaritmanın işareti altında olan ifadelere geçiş, o zaman hangi seçenekte eşitsizliğin işareti korunur ve malzemenin eşitsizliği benzer :

Sistemin bu eksenine eşdeğer olan şey:

Bazen logaritmanın tabanı sıfırdan büyük ve birden küçükse (0

Sistem verilerine göre:

Şaşırtıcı bir şekilde bebeğe yönelik en basit logaritmik eşitsizliklerin uygulanması aşağıdaki gibidir:

Popo çözümleri

Zavdannya. Bu eşitsizlik eksenini anlamaya çalışalım:

Kabul edilebilir değerlerin en yüksek aralığı.

Şimdi bu sağ kısmı şu şekilde çarpmaya çalışalım:

Gördüklerimiz karşısında hayrete düşüyoruz:

Şimdi sublogaritmik ifadelerin dönüşümüne geçelim. Bağlantı logaritmanın tabanının 0 olmasıdır< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x – 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

Ve bundan, çıkardığımız aralığın tamamen ODZ'den ve bu tür eşitsizliğin en yüksek seviyelerinden kaynaklandığı açıktır.

Bulduğumuz eksen şu:

Logaritmik eşitsizliğin büyümesi için ne gereklidir?

Şimdi logaritmik eşitsizliklerin başarıyla üstesinden gelmek için neye ihtiyacımız olduğunu analiz etmeye çalışalım.

Öncelikle saygınızı gösterin ve bu eşitsizliğin verili olduğu son dönüşümde taviz vermemeye çalışın. Bu tür yanlışlıklar yaygın olduğunda, üçüncü taraf çözümlerin israfına veya eklenmesine yol açabilecek ODZ eşitsizliklerinin genişlemesinin ve seslerinin duyulmasını önlemek gerektiğini de hatırlamakta fayda var.

Başka bir deyişle, logaritmik eşitsizliklerle uğraşırken mantıksal düşünmeyi öğrenmek ve eşitsizlik sistemi ile eşitsizlikler dizisi gibi kavramlar arasındaki farkı anlamak gerekir, böylece viskoz eşitsizliklerdeki gülleri kolayca seçebilirsiniz. ODZ'den muzdarip.

Üçüncüsü, bu tür cilt bozukluklarının başarılı bir şekilde tedavisi için, temel işlevlerin tüm güçlerinin çok iyi farkında olmanız ve bunların anlamını açıkça anlamanız gerekir. Bu tür işlevler yalnızca logaritmik olanları değil aynı zamanda rasyonel, istatistiksel, trigonometrik vb. kısacası okul cebiri yoluyla öğrendiğiniz tüm işlevleri içerir.

Bildiğiniz gibi logaritmik eşitsizlikler konusunu öğrendikten sonra, bu eşitsizliklerin çoğunun aklınızda saygı duyacağınız ve hedeflerinize ulaşmak için çabalayacağınız hiçbir şey yok. Üst düzey yanlışlıkların günlük sorunlara yol açmaması için mümkün olduğunca pratik yapmak, çeşitli şeyler öğrenmek ve sistemlerinde bu tür eşitsizliklerin ortaya çıkmasının ana yollarını hatırlamak gerekir. Logaritmik eşitsizliklere yönelik yeni çözümler söz konusu olduğunda, geleceğin bir daha onlara dönmemesi için hesaplamalarınızı dikkatli bir şekilde analiz etmeniz önemlidir.

Ev geliştirme

Kapsanan materyale hızlı bir şekilde hakim olmak ve pekiştirmek için bazı tutarsızlıklar vardır:

EDI'DE LOGARATRİK EŞİTSİZLİKLER

Seçin Mihaylo Oleksandrovich

Kazakistan Cumhuriyeti Gençlik Bilimleri Küçük Akademisi "Şukach"

MBOU "Radyanska Zosh No. 1", 11. sınıf, smt. Radyansky Radyansky bölgesi

Gunko Lyudmila Dmitrivna, Belediye Bütçe Eğitim Kurumu “Radyanska Zosh No. 1” öğretmeni

Radyansky bölgesi

Meta robotlar: standart dışı yöntemler kullanılarak logaritmik eşitsizlikler C3'ün ilişki mekanizmasının araştırılması; Logaritmayla ilgili bazı gerçekleri ortaya çıkarmak.

Soruşturma konusu:

3) Standart dışı yöntemler kullanarak belirli C3 logaritmik eşitsizliklerini belirlemeyi öğrenin.

Sonuçlar:

Zmist

Giriş………………………………………………………………………………….4

Bölüm 1. Beslenmenin tarihçesi……………………………………………………...5

Bölüm 2. Logaritmik eşitsizliklerin toplanması ………………………… 7

2.1. Eşit geçişler ve düzenli aralıklar yöntemi…………… 7

2.2. Rasyonelleştirme yöntemi ………………………………………………… 15

2.3. Standart dışı ayar……………….................................................. ...... ..... 22

2.4. Çobanlarla birlikte Zavdannya…………………………………………………… 27

Sonuç……………………………………………………………………………… 30

Edebiyat……………………………………………………………………………………….

31

11. sınıftan başlayacağım ve asıl konumuz matematik olan yüksek öğretime girmeyi planlayacağım. Ve bu, orijinal C kısmından çok şey geliyor. Orijinal C3, standart olmayan bir eşitsizlik gerektirir ve kural olarak bir eşitsizlik sistemi, logaritmalarla ilişkilendirilir. Teste hazırlanırken, C3'ün gösterdiği logaritmik eşitsizliklerin incelenmesine yönelik yöntem ve teknik eksikliği sorunuyla karşılaştım. Okul programında kullanılan yöntemler en yüksek C3 görevine temel oluşturmaz. Matematik öğretmeni beni C3 ödevleri üzerinde onun gözetiminde bağımsız olarak çalışmaya teşvik etti. Neden yemek beni o kadar ilgilendirmiyor: Hayatlarımızda logaritmalar var mı?

Buna bakınca bir tema ortaya çıktı:

"EDI'de logaritmik eşitsizlikler"

Meta robotlar: standart dışı yöntemler kullanarak C3 görevlerini çözme mekanizmasının araştırılması; Logaritmayla ilgili bazı gerçekleri ortaya çıkarmak.

Soruşturma konusu:

1) Logaritmik eşitsizliklerin çözümü için standart olmayan yöntemler hakkında gerekli bilgileri öğrenin.

2) Logaritmalar hakkında ek bilgi edinin.

3) Standart dışı yöntemler kullanarak C3'ün belirli görevlerini uygulamayı öğrenin.

Sonuçlar:

Gelişmiş görevler için genişletilmiş cihaz C3 pratik öneme sahiptir. Bu materyal gerçek derslerde, grup derslerinde ve matematik seçmeli derslerinde çalışılabilir.

Proje ürünü “Logaritmik eşitsizlikler C3 ve çözümleri”nin bir koleksiyonu olacaktır.

Bölüm 1. Beslenmenin tarihçesi

16. yüzyıl boyunca astronomide sayılabilecek en yakın yaklaşımların sayısı hızla arttı. Aletlerin iyileştirilmesi, gezegen kalıntılarının ve diğer robotların araştırılması devasa, bazen zengin arızalara yol açtı. Astronomi, eskimeyen yeni harabelerde boğulma tehlikesiyle karşı karşıyaydı. Diğer alanlarda da zorluklar ortaya çıktı, örneğin sigorta sektörü, panelin farklı değerleri için katlanır panel masalarına ihtiyaç duydu. Ana karmaşıklık, büyük değerli sayıların, özellikle de trigonometrik büyüklüklerin çarpılması ve bölünmesiyle temsil ediliyordu.

Logaritma sarmalı, ilerlemenin gücü 16. yüzyılın sonuna kadar devam etti. Arşimet'in "Mezmur"unda konuşan q, q2, q3, ... geometrik ilerlemesinin üyeleri ile 1, 2, 3, ... göstergelerinin aritmetik ilerlemesi arasındaki bağlantılar hakkında. Diğer bir neden ise negatif ve pompalı tüfek görüntülerinin seviyesinin anlaşılmasının genişlemesiydi. Geometrik ilerlemede kökteki çarpma, alt bölme, adıma indirgeme ve çıkarma işlemlerinin aritmetikte toplama, yerine koyma, çarpma ve alt bölmede -aynı sırayla- ortaya çıktığına pek çok yazar dikkat çekmiştir.

Burada bir adımın göstergesi olarak logaritma fikri ortaya çıktı.

Logaritmalarla ilgili bilginin gelişimi birçok aşamadan geçmiştir.

1. Aşama

Logaritmalar bağımsız olarak 1594 yıl sonra İskoç baron Napier (1550-1617) tarafından ve on yıl sonra da İsviçreli tamirci Burgi (1552-1632) tarafından keşfedildi. Bu göreve farklı yollarla ulaşmış olsalar da, aritmetik hesaplamaların yeni bir manuel hesaplamasını tarihlendirmek istiyorlardı. Neper logaritmik fonksiyonu kinematik olarak belirledi ve böylece fonksiyon teorisinin yeni bir alanına girdi. Kasabalılar belirgin ilerlemeyi gözden kaçırdılar. Üstelik her ikisinde de logaritmanın değeri günlük değere benzemiyor. "Logaritma" (logaritma) terimi Napier'den gelir. Bunun nedeni Yunanca kelimelerin birleşiminden kaynaklanmaktadır: logos - "set" ve ariqmo - "sayı", yani "şarap sayısı". Başlangıçta Neper farklı bir terim kullandı: numeri naturalts - "doğal sayılar" yerine numeri Artificiales - "parça sayıları".

1615 yılında, Londra'daki Gresham Koleji matematik profesörü Henry Briggs (1561-1631) doğduğunda Neper, birin logaritması için sıfırı ve aynı değere indirgenen on'un logaritması için 100'ü almaya karar verdi. 1. Yani onlarca logaritması şöyleydi. İlk logaritmik tablolar hazırlandı. Briggs'in daha sonraki tablosu Hollandalı kitapçı ve matematik meraklısı Andrian Flaccus (1600-1667) tarafından desteklendi. Neper ve Briggs, logaritmaya herkesten önce ulaşmalarına rağmen tablolarını diğerlerinden daha sonra - 1620'de - yayınladılar. Kütük ve kütük işaretleri 1624'te tanıtıldı. Kepler. "Doğal logaritma" terimi 1659'da Mengoli tarafından icat edildi. ondan sonra da 1668'de M. Mercator ve 1'den 1000'e kadar sayıların doğal logaritma tablolarını "Yeni Logaritmalar" başlığı altında gören Londralı okuyucu John Speidel.

İlk Rus logaritmik tabloları 1703'te ortaya çıktı. Ancak tüm logaritmik tablolarda hesaplama sırasında hatalar yapıldı. İlk askeri olmayan tablolar 1857'de Berlin'de Alman matematikçi K. Bremiker'in (1804-1877) bir kopyasında yayınlandı.

2. aşama

Daha geniş analitik geometri kavramları ve sonsuz küçük olanların hesaplanmasıyla ilişkilerin logaritması teorisinin daha da geliştirilmesi. O zaman eşkenar hiperboliğin karesi ile doğal logaritma arasında bir bağlantı kurun. Bu dönemin logaritma teorisi bazı matematikçilerin isimleriyle ilişkilendirilmiştir.

Alman matematikçi, gökbilimci ve mühendis Nikolaus Mercator iş başında

"Logaritmetik teknik" (1668), ln(x+1) açılımını veren bir seri çizer

adımlar x:

Bu açıkça onun düşüncelerinin gidişatına tekabül ediyor, ancak elbette d, ... işaretleriyle değil, daha ziyade hantal sembolizmle işaretlenmiş. Logaritmik düşüklüğün bir sonucu olarak, logaritmaları hesaplama tekniği değişti: sürekli seriler kullanılarak hesaplanmaya başlandı. F. Klein, 1907-1908'de verdiği “En Yüksek Bakış Açısından Temel Matematik” derslerinde logaritma teorisinin ana noktası olarak vikory formülünü tanıttı.

Sahne 3

Dönüş fonksiyonu olarak logaritmik fonksiyonun değerleri

gösterişli, belirli bir temelin gösterişli adımı olarak logaritma

hemen formüle edilmedi. Twir Leonard Euler (1707-1783)

"Sonsuz küçüklerin analizine giriş" (1748) daha da hizmet etti

logaritmik fonksiyon teorisinin gelişimi Böylece,

Logaritmanın ilk ortaya çıkışından bu yana, o saatten bu yana 134 yıl geçti

(1614'ten beri saygıyla), her şeyden önce matematikçiler önem kazandı

Artık okul dersinin temeli olan logaritmayı anlamak.

Bölüm 2. Logaritmik eşitsizliklerin toplanması

2.1. Eşit geçişler ve aralık yöntemini kullanan geçişler.

Eşit geçişler

eğer a > 1 ise

posta kutusu 0 < а < 1

Gelişmiş aralık yöntemi

Bu yöntem, neredeyse her türden artan eşitsizlikler karşısında en evrensel yöntemdir. Çözüm şeması şuna benzer:

1. Eşitsizliği öyle bir forma getirin ki, sol taraf bir fonksiyona sahip olsun
ve sağdaki 0'dır.

2. Fonksiyonun kapsamını bilin
.

3. Sıfır fonksiyonlarını bulun
, o zaman – kıskanmak
(ve kıskançlığı çözmek, gerginliği çözmekten daha kolaydır).

4. Fonksiyonun değer aralığını ve sıfırlarını sayı doğrusunda eşleyin.

5. Fonksiyonun işaretlerinin önemi
takıntılı aralıklarla.

6. Aralıkları seçin, işlev gerekli değerleri doldurur ve yanıtı kaydeder.

popo 1.

Karar:

Aralıkların yöntemi ayarlanır.

yıldızlar

Bu değerlerle logaritmanın işareti altında kalan tüm ifadeler pozitiftir.

Ders:

popo 2.

Karar:

1 inci yöntem . ADL eşitsizlikle gösterilir X> 3. Bunun logaritması X stand 10'da, çıkarılabilir

O halde geriye kalan huzursuzluk, yerleşim kurallarının durgunluğuyla belirlenebilir. sıfır spivmniki'ye eşittir. Ancak bu durumda fonksiyonun önem aralıklarını belirlemek kolaydır.

Bu aralık yöntemi kullanılarak yapılabilir.

İşlev F(X) = 2X(X- 3.5)lg| X- 3ǀ kesintisiz X> 3 ve bazı noktalarda sıfıra gidiyor X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Bu şekilde fonksiyonun anlam aralıkları belirlenir. F(X):

Ders:

2. yöntem . Aralık fikriyle kesinlikle bir çelişki yoktur.

Kimin için ne virazi olduğunu tahmin edebiliriz A B- A ben ( A - 1)(B– 1) bir işaret çizin. Gerginliğimiz de öyle X> 3 eşit eşitsizlik

ya da başka

Kalan kararsızlık aralık yöntemiyle belirlenir

Ders:

Popo 3.

Karar:

Aralıkların yöntemi ayarlanır.

Ders:

Popo 4.

Karar:

Oskolki 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 tüm aktif olanlar için X, O

Diğer düzensizlikleri iyileştirmek için hız, aralık yöntemi kullanılarak belirlenir.

İlk dengesizlik için değiştirme gereklidir

sonra 2y 2 eşitsizliği noktasına ulaşırız - sen - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те sen, eşitsizliği karşılayan -0,5< sen < 1.

Yıldızlar, bu yüzden

huzursuzluk giderilebilir

bunlar için nasıl kazanılır X, bu 2 kişi için X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Artık sistemdeki diğer dengesizliklerin çoğu çözüldüğüne göre tamamen ortadan kaldırılabilir.

Ders:

Popo 5.

Karar:

Eşitsizlik sistemlerin bütünlüğüne eşittir

ya da başka

Aralık yöntemi veya

Vіdpovid:

Popo 6.

Karar:

Huzursuzluk sisteme eşittir

Hadi gidelim

Daha sonra sen > 0,

ve ilk tedirginlik

sistem görünür

veya, ortaya çıkıyor

çarpanlara göre ikinci dereceden trinomial,

Kalan düzgünsüzlük kadar stabilizasyon, aralıklar yöntemi,

En önemlisi zihninizi tatmin eden kararlarınız neler? sen> 0 olacak sen > 4.

Bu şekilde eşitsizlik sisteme eşdeğerdir:

Çözülmüş eşitsizliklerin hepsi

2.2. Rasyonalizasyon yöntemi.

Eskiden rasyonelleşme biçiminde eşitsizlik yaygın değildi, bilinmiyordu. Bu “gösteri ve logaritmik eşitsizlikleri belirlemek için yeni ve günlük etkili bir yöntemdir” (S.I. Kolesnikov'un kitabından alıntı)
Ben de onu tanıyan öğretmenin korktuğunu söylüyorum - ama uzman ne biliyor ve neden ona okulda öğretmiyorlar? Okuyucunun öğretmene “Nereye götürdün Sidai – 2” dediği durumlar oldu.
Nina'nın yöntemi her yere sızıyor. Uzmanlar için ise bu yöntemle ilgili metodik ifadeler mevcut ve “Tipik seçeneklerin en yeni türleri…” bölümünde C3 çözümü bu yöntemin galibi.
CANAVAR YÖNTEMİ!

"Büyüleyici masa"

Başka yerlerde

yakscho a >1 і b >1, log a b >0 і (a -1)(b -1)>0;

yakscho a >1 ve 0

posta kutusu 0<A<1 и b >1, sonra a b'yi logla<0 и (a -1)(b -1)<0;

posta kutusu 0<A<1 и 00 ve (a -1)(b -1)>0.

Birleştirme basit bir şekilde gerçekleştirilir ancak logaritmik eşitsizliklerin ortaya çıkmasını basitleştirmek de mümkündür.

Popo 4.

log x (x 2 -3)<0

Karar:

Popo 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x)

Karar:

Vіdpovid. (0; 0,5) U.

Popo 6.

Bu eşitsizliği çözmek için, gösterenin (x-1-1)(x-1) değiştirilmesini ve sayılayıcının (tvir (x-1)(x-3-9+x) değiştirilmesini yazıyoruz.

Vіdpovid : (3;6)

Popo 7.

Popo 8.

2.3. Standart olmayan ayar.

popo 1.

popo 2.

Popo 3.

Popo 4.

Popo 5.

Popo 6.

Popo 7.

log 4 (3 x -1)log 0,25

y = 3 x -1'i yerine koyalım; Bu gelecekte göreceğim türden bir eşitsizlik

Günlük 4 günlük 0,25
.

yani yak günlük 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y ise kalan eşitsizliği 2log 4 y -log 4 2 y ≤ şeklinde yeniden yazacağız.

Boşluğa bağlı olarak t = log 4 y'yi değiştirmek ve t 2 -2t +≥0 eşitsizliğini ortadan kaldırmak gerekir - .

Böylece anlamı bulmak için en basit iki eşitsizliği birleştirmek mümkündür.
Bütünlüğün ve aralıkların en yüksek değeri 0<у≤2 и 8≤у<+.

Görünen eşitsizlik iki görünür eşitsizliğin birleşimine eşdeğerdir,
o zaman bütünlük

Toplamın ve 0 aralığının ilk eşitsizliklerini çözmek için<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Böylece çıktı eşitsizliği 0 aralıklı tüm değerler için eşitlenir<х≤1 и 2≤х<+.

Popo 8.

Karar:

Huzursuzluk sisteme eşittir

ADD'nin anlamı olan diğer eşitsizliklere tedavi olmaksızın çözümler X,

bunlar için X > 0.

İlk düzensizliği ortadan kaldırmak için hemen değiştirin

O zaman bariz bir sinirlilik var

ya da başka

Kalan eşitsizliklere anonim bir çözüm, yöntem kullanılarak gerçekleştirilir.

aralıklar: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, ihmal edilebilir

ya da başka

Bezlich sessiz X kalan eşitsizliği karşılayan

ODZ'yi ata ( X> 0), o halde є sistem kararları,

Peki, çıktı eşitsizliği.

Ders:

2.4. Çobanlar için Zavdannya.

popo 1.

.

Karar. Eşitsizliğin ODZ'si ve zihni tatmin eden her şey 0 . Peki, 0 aralığındaki her şey

popo 2.

günlük 2 (2 x +1-x 2) > günlük 2 (2 x-1 +1-x) +1.. ? Sağdaki diğer sayı açıkça alttakinden daha büyük

Visnovok

Çok sayıda farklı başlangıç ​​öğesi arasından C3 görevini arttırmaya yönelik özel yöntemleri belirlemek kolay değildi. Son çalışmam sırasında karmaşık logaritmik eşitsizlikleri çözmek için standart olmayan yöntemler geliştirmeyi başardım. Tse: eşit geçişler ve geçişler, aralıklar yöntemi, rasyonelleştirme yöntemi , standart dışı ikame , ODZ'de çobanlar için alışveriş yapın. Okul programının günlük yöntemleri vardır.

Farklı yöntemler kullanarak, Z ve C3 kısmında EDI'ye atanan 27 düzensizliği düzelttik. Çözülmüş yöntemlerle bu eşitsizlikler, faaliyetimin proje ürünü haline gelen “C3'ün çözümlü logaritmik eşitsizlikleri” koleksiyonunun temelini oluşturdu. Projenin başında ortaya koyduğum hipotez doğrulandı: Eğer yöntemleri biliyorsanız C3'ün görevi etkili bir şekilde yerine getirilebilir.

Ayrıca logaritmalarla ilgili bazı gerçekleri de ortaya çıkardım. Benim için çok iş oldu. Proje ürünlerim hem öğrencilere hem de okuyuculara faydalı olacaktır.

Visnovki:

Bu hedefle proje hedefine ulaşılmış ve sorun çözülmüştür. Ve işin her aşamasında proje faaliyetlerine dair en kapsamlı ve kapsamlı kanıtları elde ettim. Proje üzerindeki çalışma sırasında, Rosum yetkinliği, mantıksal Rosum operasyonlarıyla ilgili faaliyet, yaratıcı yeterliliğin gelişimi, özel inisiyatif, sorumluluk, uyuşukluk, faaliyet konularında gelişen ana akış oldu.

Son projenin oluşturulmasında başarı garantisi Daha az çelik: önemli okul kanıtları, farklı kaynaklardan akıllıca bilgi elde etme, güvenilirliğini kontrol etme, önemine göre sıralama.

Matematikte kapsamlı konu bilgisi kazanmak, bilgisayar bilimleri alanındaki pratik becerilerimi geliştirmek, psikoloji alanından yeni bilgi ve kanıtlar kazanmak, sınıf arkadaşlarıyla iletişim kurmak, yaşlı insanlarla pratik yapmayı öğrenmek. Proje faaliyetleri sırasında organizasyonel, entelektüel ve iletişim becerileri gelişti.

Edebiyat

1. Koryanov A.G., Prokofiev A.A. Tek değişiklikle eşitsizlik sistemleri (tip ataması C3).

2. Malkova A. G. Matematikte EDI'ye hazırlık.

3. Samarova S.S. Logaritmik eşitsizlik virüsü.

4. Matematik. A.L. tarafından düzenlenen eğitim çalışmaları koleksiyonu. Semenova ve I.V. Yaşçenko. -M: MTsNMO, 2009. - 72 s.-

En önemli logaritmik eşitsizlikler, logaritmik fonksiyonun monotonluğunun gücünden kaynaklanmaktadır. Aynı durum logaritma ve temel logaritmik formüller için de geçerlidir.

Logaritmanın ne olduğunu tekrarlayalım:

Logaritma tabandaki pozitif bir sayı, bilginin kaldırılmasını gerektiren bir adımın göstergesidir.

Bununla

Temel logaritmik kimlik:

Logaritmalar için temel formüller:

( Logaritma, logaritmaların toplamına eşittir)

(Logaritmanın özel farkının logaritması)

(Logaritma adımı formülü)

Yeni bir temele geçiş formülü:

Logaritmik eşitsizliği çözmek için algoritma

Şarkı algoritmasının arkasında logaritmik eşitsizliklerin olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz. Eşitsizliğin kabul edilebilir değerlerinin alanını (ADV) yazmamız gerekiyor. Eşitsizliği yüzeye çıkarmak Buradaki işaret şöyle olabilir: Logaritmalarda sol ve sağ el eşitsizliğinin tam da bu temelden bulunması önemlidir.

Ve bundan sonra logaritmaları “atıyoruz”! Bu durumda adım kaldırıldığı anda sinirlilik belirtisi kendiliğinden kaybolur. Temel, eşitsizlik işaretinin yerini uzun süreli bir işaret alacak şekildedir.

Elbette sadece logaritmaları "atmıyoruz". Logaritmik fonksiyonun monotonluğunun gücünden etkileniyoruz. Logaritmanın tabanı birden büyük olduğundan logaritmik fonksiyon monoton olarak artar ve dolayısıyla x'in değeri ne kadar büyük olursa ifadenin değeri de o kadar büyük olur.

Taban sıfırdan büyük ve birden küçük olduğundan logaritmik fonksiyon monoton olarak değişir. X argümanının değeri ne kadar büyük olursa, değeri o kadar az olur.

Önemli: Kararları eşit geçişli bir kordon karşısında yazmak en iyisidir.

Hadi uygulamaya geçelim. Daha önce olduğu gibi, en basit rahatsızlıkları aşalım.

1. Log 3 x > log 3 5 eşitsizliğine bakalım.
Bazı logaritmalar yalnızca pozitif sayılar için gösterilir; x'in pozitif olması gerekir. Umov x > 0'a bu eşitsizliğin izin verilen değerlerinin alanı (ADV) denir. Sadece böyle bir x eşitsizliği hissedilebilir.

Bu formül kulağa akıllıca geliyor ve hatırlanması kolay. Neden hala çalışabiliyoruz?

Biz insanız, zekamız var. Zihnimiz öyle bir kontrol eder ki her şey daha mantıklı, mantıklı olur, iç yapı eskisinden çok daha çabuk hatırlanır ve durağanlaşır, gerçekler birbiriyle bağlantılı olmaz. Tıpkı bir matematikçi köpeğinin eğitimli ve etkinlikler konusunda bilgili olması gibi, kuralları mekanik olarak ezberlememek neden önemlidir?

Peki neden “logaritmaları arttırıyoruz”?

Cevap basit: taban birden büyük olduğundan (bizim durumumuzda olduğu gibi), logaritmik fonksiyon monoton olarak artar, bu da daha büyük bir x değerinin daha büyük bir y değerine karşılık geldiği anlamına gelir ve log 3 x 1 eşitsizliği nedeniyle > log 3 x 2, x 1 > x 2 anlamına gelir.


Özetlemek gerekirse, cebirsel belirsizliğe geçtik ve belirsizlik işareti bozulmadan kalıyor.

Otzhe, x > 5.

Logaritmik eşitsizlik de basittir.

2. log 5 (15 + 3x) > log 5 2x

Kabul edilebilir değer aralığına bakalım. Logaritmalar yalnızca pozitif sayılar için geçerlidir, dolayısıyla

Bu sisteme dayanarak şunu reddediyoruz: x>0.

Şimdi logaritmik eşitsizlikten cebirsel olana, kelimenin tam anlamıyla logaritmalara geçelim. Logaritmanın tabanı birden büyükse eşitsizliğin işareti korunur.

15+3x > 2x.

Yok edin: x > −15.

Versiyon: x > 0.

Mensch'in logaritmasını bir yerine koyarsak ne olur? Bu durumda cebir eşitsizliğine geçildiğinde eşitsizliğin işaretinin değişeceğini tahmin etmek kolaydır.

Kıçını doğrultalım.

ODZ'yi yazalım. Logaritma olarak alınan virüsler pozitif olabilir, dolayısıyla

Bu sisteme dayanarak şunu reddediyoruz: x > 4,5.

Sonuç olarak logaritmik fonksiyon tabanıyla birlikte monoton olarak değişir. Bu da fonksiyonun değeri ne kadar büyükse argümanın da o kadar küçük olduğu anlamına gelir:


Yakscho'yum o zaman
2x − 9 ≤ x.

x ≤ 9 olduğunu varsayıyoruz.

Doktorlar için x > 4,5 ise aşağıdakileri yazalım:

Gelecekte gösterinin eşitsizliği kareye indirgenecek. Ayrıca “kare düzensizlikleri” temasının tekrarlanması tavsiye edilir.

Şimdi karmaşık eşitsizlikler var:

4. Kaygıyı artırın

5. Artan kaygı

Bunun gibi bir şey.

Kurtulduk! ODZ'den önce yer alan tüm değerler için logaritmanın tabanının birden büyük olduğunu biliyoruz.

Değiştirilmesini bekliyoruz

Kuralı unutmayın: Denklemlerin ve eşitsizliklerin kökleri, kesirleri ve logaritmaları olduğundan, kabul edilebilir değerler aralığından başlamak gerekir. Logaritmanın tabanı pozitif olduğundan ve birimlere eşit olmadığından akıl sistemi kaldırılır:

Qiu sistemini affedelim:

Bu, eşitsizliğin kabul edilebilir değerlerinin aralığıdır.

Logaritmanın temel olarak kullanılmasının önemli olduğuna inanıyoruz. Temel konulara inelim. Ne oldu

Bu bölümde manuel olarak 4. üsse gidebilirsiniz.

Kurtulduk! ODZ'den önce yer alan tüm değerler için logaritmanın tabanının birden büyük olduğunu biliyoruz.

Gerginliği aralık yöntemini kullanarak kolayca çözebiliriz:

Sona dönelim X:

Aklımıza ekledik X> 0 (ODZ ile).

7. Vade tarihi aralık yöntemi kullanılarak da belirlenebilir.

Daha önce olduğu gibi, maksimum logaritmik eşitsizlik kabul edilebilir değerler aralığından başlar. Bu videoda

Bu zihin mutlaka kıvrılacaktır ve biz de ona döneceğiz. Gelin sinirliliğin kendisine bir göz atalım. Sol tarafı 3 tabanında logaritma olarak yazalım:

Sağ taraf da 3 tabanında logaritma olarak yazılabilir ve ardından cebirsel eşitsizliğe ilerlenebilir:

Bachimo, scho umova (tobto ODZ) artık otomatik olarak duyuruluyor. Bu, eşitsizliğin yüksekliğini affedecektir.

Rotalar ve aralıklar arasında bir dengesizlik var gibi görünüyor:

Ders:

Neden?

Bir karmaşıklık dalgası yaklaşıyor:

8. Kaygıyı serbest bırakın:

Huzursuzluk sisteme eşittir:

9. Kaygıyı serbest bırakın: X Viraz 5 -

2 takıntılı bir şekilde kendini akıldan çıkararak tekrarlıyor. Bu da değiştirebileceğiniz anlamına gelir: T Gösterim fonksiyonunun kalıntıları daha olumlu anlamlar kazanıyor,

> 0.Todi

Gerginliği görebiliyorum: T Daha da iyi. Kabul edilebilir eşitsizlik değerlerinin aralığını biliyoruz. Bunu zaten söylemiştik T> 0. Ayrıca, ( T − 1) > 0

− 3) (5 9 ·

Zihinsel olarak vikonana iseniz, o zaman mahremiyetiniz olumlu olacaktır. T − 2) 2 .

Ayrıca eşitsizliğin sağ tarafındaki logaritmanın altındaki ifade pozitif olabilir, o halde (625) T Tse 625 anlamına gelir

− 2 ≠ 0 ise

ODZ'yi dikkatlice yazalım

Ve biz ortaya çıkan sistemin ve aralık yönteminin durağanlaştığına inanıyoruz.

Otje,

Evet, düzeltildi; ODZ'den ayrıldık. Büyük olasılıkla belirsizliğin kendisidir. Sol taraftaki logaritmaların toplamı yaratılışın logaritması olarak temsil edilebilir.

Dersin Hedefleri:

• Didaktik:
• Seviye 1 – en basit logaritmik eşitsizlikleri, logaritmanın durgunluğunu, logaritmanın gücünü tanımayı öğrenin;
• Seviye 2 – kendi ayrıştırma yönteminizi seçerek logaritmik eşitsizlikleri belirleyin;

3. seviye – standart dışı durumlarda bilgi ve farkındalık oluşturmanın önemine dikkat edin. Gelişen:

hafızayı, saygıyı, mantıksal düşünmeyi, öğrenme becerilerini, ustalık ve öğrenme becerilerini geliştirin Vikhovny:

Doğruluğu, görevlere uyumu ve karşılıklı yardımı teşvik edin. Öğrenme yöntemleri: , sözlü , pratik , Chastkovo-Poshukovy , kendi kendini üreten banyo , kontrol.

Öğrencilerin eğitim faaliyetlerinin organizasyon biçimleri: önden , bireysel , çiftler için çalışmak

Obladnannya: bir dizi test ödevi, arka plan notları, çözülecek temiz sayfalar.

Ders türü: Yeni malzemenin geliştirilmesi.

Ders ilerlemesi

1. Organizasyon anı. Dersin konusunu ve amacını, dersin planını göz önünde bulundurun: her öğrenci, ders sırasında dolduracağı bir değerlendirme sayfası görür; öğrencilerin cilt çiftleri için - diğer malzemeler spesifikasyonlardan yapılmıştır, spesifikasyonların çiftlerden çıkarılması gerekir; çözmek için temiz çarşaflar; destek sayfaları: logaritmaya dayalı; logaritmik bir güç fonksiyonunun grafiği; logaritmanın gücü; Logaritmik eşitsizliği çözmek için algoritma.

Öz değerlendirme sonrasında tüm kararlar öğretmene verilir.

Öğrenci değerlendirme sayfası

2. Bilginin güncellenmesi.

Okuyucudan notlar. Logaritmanın değerini, logaritmik fonksiyonun grafiğini ve gücünü tahmin edin. Bunun için Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin ve tarafından düzenlenen “Cebir ve analizin başlangıcı 10–11” el kitabının 88–90, 98–101. sayfalarındaki metni okuyun.

Üzerinde yazılı olan yapraklara ay şeklinde bakmayı öğrenin: logaritmayı kullanarak; gücün logaritmik fonksiyonunun bir grafiğini gösterir; logaritmanın gücü; logaritmik eşitsizliği çözmek için algoritma, kareye indirgenmiş logaritmik eşitsizliği çözmek için bir örnek.

3. Yeni materyalin tanıtılması.

Logaritmik düzensizliklerin geçerliliği logaritmik fonksiyonun monotonluğuna dayanır.

Logaritmik eşitsizliği çözmek için algoritma:

A) Eşitsizliğin anlamlı olduğu (sublogaritmik değer sıfırdan büyük) alanı bulun.
B) Eşitsizliğin sol ve sağ kısımlarını (mümkünse) aynı tabana göre logaritma şeklinde belirleyin.
C) Bu, artan veya azalan logaritmik bir fonksiyon olduğu anlamına gelir: t>1 ise artıyor demektir; posta kutusu 0 1, sonra düşer.
D) Daha basit dengesizliklere (sublogaritmik ifadeler) geçin, böylece fonksiyon büyüdükçe dengesizliğin işareti korunur ve fonksiyon değiştikçe değişir.

Temel eleman No. 1.

Meta: en basit logaritmik eşitsizlikleri düzeltin

Öğrencilerin eğitim faaliyetlerinin organizasyon şekli: bireysel çalışma.

10 hvilin için bağımsız çalışma tesisi. Cilt eşitsizlikleri için çeşitli seçenekler vardır; doğru olanı seçip anahtarı kontrol etmeniz gerekir.

ANAHTAR: 13321, maksimum puan sayısı – 6 puan.

Temel eleman No. 2.

Meta: Logaritmik eşitsizliklerin, durgunluğun ve logaritmanın gücünün serbest bırakılmasını pekiştirin.

Okuyucudan notlar. Logaritmanın temel kuvvetlerini tahmin edin. Bunun için el kitabının 92, 103-104. sayfalarındaki metnini okuyun.

10 hvilin için bağımsız çalışma tesisi.

ANAHTAR: 2113, maksimum puan sayısı – 8 puan.

Temel eleman No. 3.

Meta: Logaritmik eşitsizlikleri kareye indirgeyerek ayırın.

Okuyucunun notları: Eşitsizliği kare alana indirgeme yöntemi, eşitsizliğin logaritmik fonksiyonun yeni bir değişken olarak belirleneceği ve daha sonra kareden kaldırılacağı bir forma dönüştürülmesi gerektiği anlamına gelir. Evet, değiştirilebilir.

Aralık yöntemi belirlenir.

Malzemeye hakim olmanın ilk seviyesini geçtiniz. Artık tüm bilgi ve yeteneklerinizi kullanarak logaritmik denklemleri çözmek için bağımsız olarak bir yöntem seçmeniz gerekecek.

Temel eleman No. 4.

Meta: kendi kendine rasyonel bir ayırma yöntemi oluşturarak logaritmik eşitsizliklerin ayrıştırılmasını pekiştirin.

10 hvilin için bağımsız çalışma tesisi

Temel eleman No. 5.

Okuyucudan notlar. Tebrikler!

Başka bir karmaşıklık düzeyinin çözülmesinde ustalaştınız. Çalışmanızdaki bir sonraki adım, bilgi ve becerilerinizi daha zor ve standart dışı durumlarda pekiştirmektir.

Bağımsız erdemlilik için talimatlar:

Okuyucudan notlar. Bütün talihsizliklerle karşılaşman bir mucize. Tebrikler!

• Tüm dersin puanı, tüm başlangıç ​​unsurları için biriken puanların sayısına bağlıdır:
• N ≥ 20 ise “5” notunu düşeceksiniz,
• 16 ≤ N ≤ 19 için – “4” puan,
• 8 ≤ N ≤ 15 için – puan “3”,< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

N'de

Tahmini tilkileri öğretmene verin.

5. Ödev: 15 bayttan fazla yazmadıysanız - problemler üzerindeki çalışmayı tamamlayın (çözüm öğretmenden alınabilir), 15 bayttan fazla yazdıysanız - “Logaritmik eşitsizlikler” konulu yaratıcı bir ödevi tamamlayın ”.

Logaritmanın ortasındalar.

Uygula:
\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)

\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Logaritmik eşitsizlikler nasıl belirlenir:

Herhangi bir logaritmik eşitsizliğin \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) biçimine getirilmesi gerekir (\(˅\) sembolü ne anlama geliyorsa). Bu tür, logaritmalar ve bunların alt istasyonlarını kullanmanıza, logaritmalar altındaki ifadelerin eşitsizliğine ve ardından (f(x) ˅ g(x)) formuna geçiş yapmanıza olanak tanır.
Bu geçişin yanı sıra çok önemli bir incelik daha var:
\(-\) bir sayıysa ve 1'den büyükse - geçiş sırasındaki sinirlilik belirtisi kaybolur, böylece

Logaritmanın ortasındalar.

\(-\) Eğer temel 0'dan büyük veya 1'den küçük (sıfır ile bir arasında yer alan) bir sayıysa, eşitsizliğin işaretinin tersiyle değiştirilmesi gerekir.<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(X<8\) Karar: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Sürüm: ((6; 8))

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\(((x+ 1 ))\) ODZ: \(\begin(case)2x-4>0\\x+1 > 0\end(case)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\) Karar: \(2x-4\)\(≤\) \(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Karar: \((2;5]\)

Çok önemli! Logaritma altındaki ifadelerin düzeyine kadar \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) formundaki herhangi bir geçiş eşitsizliği için şu şekilde çalışabilirsiniz:

popo . Huzursuzluğun bağlantısını kesin: \(\log\)\(≤-1\)

Karar:

\(\kayıt\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Vipishemo ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Kolları açalım, nişan alalım.
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Eşitsizliği \(-1\) ile çarpın, eşittir işaretini ters çevirmeyi unutmayın.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2))))\)\(≤\) \(0\)	Her şey \(\frac(7)(3)\) ve \(\frac(3)(2)\) noktalarında sayısal ve anlamlı olacaktır. Saygınızı yeniden kazanın, pankarttaki nokta vykolota, eşitsizliğin kötü bir şey olmadığı olanlar için önemsiz. Sağda bu nokta çözülmeyecek, dolayısıyla eşitsizliği yerine koyarken bizi sıfır noktasına götürecek.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Şimdi ODZ aynı sayısal değere uygulanır ve ODZ'de kaybolan aralıklar yazılır.
	Kalan kanıtları kaydediyoruz.

Ders: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

popo . Kaygı düzeyi: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Karar:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Vipishemo ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Hadi zirveye çıkalım.
Çözüm: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Önümüzde tipik bir kare-logaritmik eşitsizlik var. Robimo.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Eşitsizliğin sol kısmını üzerine yayalım.
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Şimdi çıkış noktasına dönmeniz gerekiyor - ix. Bu nedenle çözümün kendisi nedir konusuna geçelim ve bunun tersini yapalım.
\(\sol[ \begin(toplandı) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	\(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\) öğesini yeniden oluşturalım.
\(\left[ \begin(toplandı) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Argümanlar eşitlenene kadar ilerleyelim. \(1\)'den büyük logaritmalar yerine koyulduğunda eşitsizliklerin işareti değişmez.
\(\sol[ \begin(toplandı) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Eşitsizliğin ve ODZ'nin bir bebekte ortaya çıkmasını anlıyoruz.
	İddiaları yazalım.

Ders: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)