Trigonometri nasıl anlaşılır? Trigonometrik denklemler. Temel ayrıştırma yöntemleri. işlevler ve ilgili bilgiler hakkında bilgi edinebilirsiniz

Uygula:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Trigonometrik denklemler nasıl hesaplanır:

Trigonometrik bir denklem varsa bilgiyi aşağıdaki türlerden biriyle sınırlamak gerekir:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

de \(t\) - viraz z іksom, \(a\) - sayı. Bu tür trigonometrik denklemlere denir en basit şekilde. () veya özel formüller kullanılarak takip edilmesi kolaydır:

Basit çözümler hakkında bilgi grafikleri trigonometrik seviyeler buraya hayret ediyorum: , i .

popo . Trigonometrik oranı \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\) ayırın.
Karar:

Ders: \(\left[ \begin(toplandı)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(toplandı)\right.\) \(k, n∈Z\)

Trigonometrik eşitlerin kökleri formülündeki deri simgesi ne anlama geliyor?

Saygı! Rivnyannya \(\sin⁡x=a\) ve \(\cos⁡x=a\) bir karar vermez çünkü \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Çünkü herhangi bir x büyük veya eşit \(-1\) ve küçük veya eşit \(1\) için sinüs ve kosinüs:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

popo . \(\cos⁡x=-1.1)'i çözün.
Karar: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Vіdpovid : Çözümü yok.

popo . Trigonometrik oranı tg\(⁡x=1\) ayırın.
Karar:

Ek sayısal hisseyi çok kıskanıyoruz. Kimin için: 1) Etrafta kalalım) 2) (x) ve (y) eksenlerini ve tüm teğetleri ((0; 1) noktasından (y) eksenine paralel geçmeye) zorlayacağız. 3) Teğet ekseninde (1) noktası anlamlıdır. 4) Bu noktayı ve koordinatlarını düz bir çizgi olarak belirliyoruz. 5) Önemli ölçüde düz çizginin ağının noktaları ve sayısal kazık. 6) Bu noktaların anlamlarını yazın: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) Tüm önemli noktaları yazalım. Koku parçaları birer birer tam olarak \(π\) içinde bulunur, ardından tüm değerler tek bir formülle yazılabilir:

Ders: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

popo . Trigonometrik oranı \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\) keşfedin.
Karar:

Sayısal sayımı bir kez daha hızlandırıyoruz. 1) (x) ve (y) eksenlerine bakalım. 2) Kosinüs ekseninde (tümü \(x\)) anlamlı \(0\). 3) qi noktasından kosinüs eksenine dik bir çizgi çizin. 4) Dikey çubuğun çapraz çubuğunu kazığa önemli ölçüde yönlendirin. 5) Bu noktaların anlamını imzalayın: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) Tüm önemli noktaları yazıp kosinüse (kosinüsün ortasındaki noktaya) eşitliyoruz. \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Sıralarda her zaman olduğu gibi (x) ile ifade edilir. з (π) sayılarına kadar, (1), (2), (frac(1) (4)) vb. kadar sayıları yerleştirmeyi unutmayın. Bunlar diğerleriyle aynı rakamlar. Umutsuz sayısal ayrımcılık! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Ders: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Trigonometrik denklemleri en basitine indirgemek - görev daha yaratıcıdır, burada denklemleri ayırmak için özel yöntemler kullanmak gerekir:
- Yöntem (EDI'de en popüler olanı).
- Yöntem.
- ek argümanların yöntemi.

Kare-trigonometrik denklemin çözülmesinin özüne bir göz atalım

popo . Trigonometrik oranı \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\) ayırın
Karar:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	\(t=\cos⁡x)'i değiştirelim.
	Kıskançlığımız artık tipik bir hal aldı. Yardım çağırabilirsiniz.
\(D=25-4\cnokta 2\cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Hızlı bir değişim yapacağız.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Birincisi, kıskançlığın sayısal bir paya dayanmasıdır. Başka çare yok çünkü... \(\cos⁡x∈[-1;1]\) ve iki kişi hiçbir nedenle eşit olamaz.
	Bu noktalarda bulunan tüm sayıları yazalım.

Ders: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Trigonometrik karşılaştırmanın ODZ'nin ek araştırmalarıyla uç bağlantısı:

Popo(ЄДІ) . Trigonometrik eşitlemeyi çözün \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Farkı ve kotanjantı da yazmanız gerekir. Kotanjantın gerçekte damla olduğunu tahmin edeyim: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Bu nedenle, ctg\(x\) için ODZ: \(\sin⁡x≠0).
ODZ: ctg (x 0); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k, n∈Z\)	Sayısal sayımda önemli ölçüde "çözülmemiş".
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Kıskançlığı ctg(x) ile çarparak bannerdan çıkaralım. Bunu yapabiliriz, parçalar daha kesin olarak yazılmıştır, yani ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Sinüs formülünü özetleyelim: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Elleriniz kosinüse bölmek için uzandığında onlara gülümseyin! Kesinlikle sıfıra eşit olmadığından bir değişkene bölebilirsiniz (örneğin, şöyle: \(x^2+1.5^x\)). Natomist şaraplar \(\cos⁡x\) kollar için.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Seviyeyi ikiye “bölün”.
\(\cos⁡x=0); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Birincisi, sayısal hissenin yardımının serbest bırakılmasıyla ilgili kıskançlık. Diğer denklem \(2\)'ye bölünür ve sağ tarafa \(\sin⁡x\)'e aktarılır.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Korinnya, ODZ'ye kadar girmediği ortaya çıktı. Bu nedenle bunları yazmayacağız. Kıskançlığın başka bir türü. Bunu \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) olarak bölün, bu durumda \(\cos⁡x=1\) veya \(\cos⁡ x) olana göre karar veremeyiz = -1 \)).
	Vikoristakolo'yu aradım.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Bu ODZ'yi kapatmaz, dolayısıyla bunu en sona yazabilirsiniz.

Ders: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Trigonometrik denklemler basit bir konu değildir. Koku çok farklı olsa gerek.) Örneğin:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = bebek karyolası(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Ve bunun gibi daha fazlası...

Ancak bu (ve diğer tüm) trigonometrik canavarlarda iki gerçek ve bağlayıcı işaret vardır. Öncelikle - inanmayacaksınız - denklemlerde trigonometrik fonksiyonlar var. Diğer: tüm ifadeler X iledir bu işlevlerin ortasında. Ve orada! Burada nasıl görünmeliyim? Arama,Örneğin, sin2x + 3x = 3, Bu zaten karışık tipi kıskandıracak. Böyle bir bağlılık bireysel bir yaklaşım gerektirecektir. Onları burada göremiyoruz.

Bu dersimizde kötü kıskançlığa inanmayacağız.) İşte bakıyoruz en basit trigonometrik denklemler. Neden? Karar verilen budur Her neyse Trigonometrik denklemler iki aşamadan oluşur. Kötülüğün ilk aşamasında, çeşitli dönüşümlerin yollarıyla olan rekabet basit bir rekabete indirgenir. Diğer tarafta daha basit bir ilişki var. Aksi halde hiçbir şekilde.

Yani başka bir aşamada sorun yaşarsanız ilk aşamada bunun özel bir anlamı yoktur.)

Temel trigonometrik denklemler neye benzer?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Burada A hangi sayı olursa olsun anlamına gelir. Be-yake.

Konuşmadan önce, fonksiyonun ortasında saf x olmayabilir, ancak bir tür ifade olabilir, örneğin:

cos(3x+π /3) = 1/2

ve benzerleri. Bu hayatı zorlaştırır, ancak trigonometrik denklemi çözme yöntemi hiçbir şey ifade etmez.

Trigonometrik denklemler nasıl çözülür?

Trigonometrik denklemler iki şekilde ayrılabilir. İlk yol: mantık ve trigonometrik kazık bilgisi ile. Burada bu yola bir göz atalım. Bir sonraki derste kadim hafıza ve formüllerin yardımıyla başka bir yol incelenecek.

İlki akıllıcadır, güvenilirdir ve unutulması önemlidir.) Trigonometrik denklemleri, düzensizlikleri ve standart dışı tüm zorlu uygulamaları çözmek için iyidir. Mantık hafıza için en güçlü olanıdır!)

Trigonometrik kazık konusunda kıskançlık var gibi görünüyor.

Temel mantığı açıyoruz ve trigonometrik bir hisse kullanıyoruz. Neden dayanamıyorsun? Ancak... Trigonometride şansınız olması önemli...) Çok da önemli değil. "Trigonometrik kolo...... Bu nedir?" derslerine bir göz atın ve "Trigonometrik bir sayı üzerinde Vidlik kutiv." Orada her şey var. Asistanların yanında...)

Ah, farkında mısın? Ve sonunda "Trigonometrik kazıkla pratik çalışma" konusunda ustalaştınız!? Vetaniyi kabul et. Bu konu size yakın ve anlaşılır olacaktır.) Özellikle sessiz olmak gerekirse, trigonometrik bahis ne kadar eşit olduğunuza bağlıdır. Sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant - her şey aynı. Karar vermenin tek bir ilkesi vardır.

i eksenini temel trigonometrik denklem olarak alıyoruz. Ben istiyorum:

cosx = 0,5

x'i bilmek gerekir. İnsani açıdan söylediğiniz gibi, bu gerekli Kosinüsü 0,5 olan (ix)'i bulun.

Daha önce nasıl vikorize olduk? Yeni teçhizata boyandık. Derece ve radyan cinsinden. ben hemen bachili Bu kesimin trigonometrik fonksiyonları. Hemen şimdi yapacağız. 0,5 ve bir litreye eşit olan kosinüs değerini boyuyoruz Güzel kut. İfadenizi yazmanıza gerek kalmayacak.) Peki, peki!

Renk küçüktür ve 0,5'e eşit olan kosinüs anlamına gelir. Kosinüs ekseninde anlaşılır bir şekilde. Eksen şu şekildedir:

Şimdi bize kosinüsü veren şekli çizelim. Ayının imlecini bebeğin üzerine getirin (veya tabletteki resimlere tıklayın) ve iyi eğlenceler işte kesim X.

Hangi kosinüs 0,5'ten büyüktür?

x = π /3

çünkü 60°= çünkü( π /3) = 0,5

Dekhto şüpheci bir tavırla kıkırdar, yani... Movlyav, chi warto bulo kolo şehri, eğer her şey bu kadar açıksa... Elbette kıkırdayabilirsin...) Pişman olana göre bira zengini. Daha doğrusu yetersiz. Bahsi bilenler, hâlâ 0,5'in üzerinde bir kosinüs verebilen bir sürü insanın bulunduğunu anlıyor.

Çürük b_k OA nasıl döndürülür iyi bir önlem için A noktası çıkış kampında yer almaktadır. Aynı kosinüs 0,5'e eşittir. Tobto. nerede değiştirilmeli 360° veya 2π radyanda ve kosinüs – hayır. Yeni kesim 60° + 360° = 420° de bizim kararımız olacak çünkü

Bu tür yeni ambalajlar hiç kimse olmadan sarılabilir... Ve tüm bu yeni bükülmeler trigonometrik denklemimizin çözümleri olacaktır. Bunu bir tanıkla birlikte yazmam gerekiyor. Bu kadar. Aksi takdirde kararın hiçbir önemi yoktur, bu yüzden...)

Matematik basit ve zarif bir şekilde çalışır. Kısa bir video halinde yazın sonsuz kişiliksizlik karar. Akrabalarımız için eksen şöyle görünüyor:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Şifresini çözeceğim. Hala yaz yanlış anlaşılmış Daha iyi, gizemli harfler gibi boyamak aptalca değil mi?)

π /3 - tse oyuncak kut, yak mi sohbet etti bir kolada anlamına gelen kosinüs tablosunun arkasında.

2π - Bu radyan cinsinden bir devrim daha.

N - Tse povnikh, tobto. tüm devir farkettim ki N 0, ±1, ±2, ±3... vb. olabilir. Kısa bir girişte belirtilenler:

n ∈ Z

N vadesi dolmuş ( ∈ ) tam sayıların kişiliksizliği ( Z ). Konuşmadan önce mektup yerine N Litre buna tamamen alışabilir k, m, t vesaire.

Bu giriş onu her yere götürebileceğiniz anlamına gelir N . -3 istiyor, 0 istiyor, +55 istiyor. Senin söylediğin gibi. Bu sayıyı video girişine girdiğinizde, gayretli eşitliklerimizin mutlaka en yükseği olacak belirli bir kısmı seçin.

Veya başka bir deyişle, x = π /3 - bu, tamamlanmamış bir çokluğun tek köküdür. Diğer tüm kökleri kaldırmak için, mümkün olduğu kadar çok sayıda ek devri π /3'e kadar eklemek yeterlidir ( N ) radyan cinsinden. Tobto. 2πn radyan

Bu kadar? HAYIR. Özellikle maltı yudumluyorum. Daha iyi hatırlamak için.) İfadelerin sadece bir kısmını yakınlarımıza geri çektik. Kararın bu kısmını şöyle yazacağım:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - sadece bir kök değil, kısa biçimde yazılmış bir dizi kök.

Ayrıca 0,5'e eşit bir kosinüs vermenin yolları da vardır!

Fotoğrafımıza geri dönelim, ardından ifadeyi yazdılar. Eksen:

Ayıyı resme doğrultun bachimo başka bir kut, yak ayrıca 0,5'lik bir kosinüs verir. Senin için değerli olana ne kadar saygı duyuyorsun? Ancak üç parça... Evet! Dovnya Kuta'da X , Yalnızca olumsuz katkılar. Tse kut -X. Ale ix biz zaten övüldük. π /3 veya 60°. Peki, nazikçe yazabilirsiniz:

x 2 = - π /3

Açıkçası, dış ambalajlardan çıkan tüm parçaları ekliyoruz:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Eksen artık her şeydir.) Trigonometrik sayıya göre sohbet etti(kim anlar elbette) Bıyık kuti, 0,5'e eşit kosinüs ne verilecek? Bunları kısa matematiksel formda yazdım. Videoda iki sürekli kök dizisi yayınlandı:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Bu doğru bir ifadedir.

Umarım trigonometrik seviyeleri serbest bırakmanın zagalny prensibi Yardıma ihtiyaç duyan bilge adamlar var. Verilen eşitten kosinüsü (sinüs, teğet, kotanjant) belirlerken karşılık gelen çizgileri çizer ve karşılık gelen çizgileri yazarız.Önemli, ondan kurtulman lazım, sorun ne sohbet etti bir hesapta. Bazen bu o kadar da açık değildir. Eh, burada mantığın gerekli olduğunu söyledim.)

Örneğin bir trigonometrik denkleme daha bakalım:

Lütfen 0,5 sayısının dünyadaki tek olası sayı olmadığına inanın!) Kök ve kesirlerden daha azını yazmak daha kolaydır.

Gizli prensibin arkasında Pratsuєmo. Boyut küçüktür, yani (sinüslerin ekseninde kesinlikle!) 0,5. Bu sinüse karşılık gelen tüm alanları bir bakışta çiziyoruz. Aşağıdaki resmi kaldırıyoruz:

Şu anda herkesi tanıyoruz X ilk çeyrekte. Sinüs tablosunu tahmin edebilir ve bu kesimin değerini belirleyebiliriz. Sağdaki basit:

x = π /6

Yeni gelişmeleri hatırlayalım ve vicdan rahatlığıyla ilk tanıklık dizisini yazalım:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Yarısı ezilmişti. Ve eksenin artık önemli olması gerekiyor bir kesim daha... Bunlar kurnazdır, kosinüsleri yoktur, yani... Ne yazık ki mantık bize yalan söylüyor! Yak başka bir kesim anlamına gelir x aracılığıyla mı? Bu kolay! Ancak resimdeki trikutniki ve kırmızı ceket X antik kuta X . Yalnızca sağlık hizmetleri olumsuz yönden gelir. Bu yüzden.) Ve kanıta, sağlık bakımına doğru, olumlu yönde ihtiyacımız var OH o zaman. Dışarısı 0 derece.

İmleci bebeğe doğrulturuz ve her şey yapılır. İlk kısmı resimden ödün vermeden düzenledim. Tsikavy us kut (yeşille boyanmış) dorivnyuvatime:

π - x

Ix biliyoruz π /6 . Eh, farklı olacak:

π - π /6 = 5π /6

Bir kez daha ek sarmalayıcılar eklemeyi ve birbirimize bir dizi yorum yazmayı düşünüyoruz:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Bu kadar. Tam bir cevap iki dizi kökten oluşur:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Teğet ve kotanjantlı denklem, trigonometrik denklemlerin çözülmesine ilişkin bu çok gizli prensiple kolayca takip edilebilir. Elbette trigonometrik bir sayının teğet ve kotanjantını nasıl çizeceğinizi biliyorsunuz.

Çoğu durumda, sinüs ve kosinüs tablo değerlerini vikoristovav ediyorum: 0,5. Tobto. bu anlamlardan biri soyluluğun öğrenilmesidir guatr.Şimdi yeteneklerimizi genişletelim diğer tüm anlamlar. Virishuvati, yani Virishuvati!)

Baba, böyle trigonometrik hesaplamalar yapmamız gerekmesin:

Kısa tablolarda böyle bir kosinüs değeri yoktur. Bu korkunç gerçeği soğukkanlılıkla görmezden geliyoruz. Renk kosinüs 2/3 eksenine çizilir ve karşılık gelen çizgiler çizilir. Bu resmi kaldıralım.

İlk önce ilk çeyreği halledelim. Eğer X'in neyle ilgili olduğunu bilseydim, cevabı hemen yazardım! Bilmiyoruz... Başarısızlık!? Sakinlik! Matematik asla başarısız olmaz! Bu konuda ark kosinüsünü tahmin etti. Bilmiyor musun? Durhamno. Açıklayın, sizce bu çok daha basit. Aynı katlama büyüsünün bu yazılışında “geri dönüş trigonometrik fonksiyonları” yoktur... Bu konuyla ilgili bir not.

Bildiğiniz gibi artık kendinize şunu söylemenin zamanı geldi: "Ix aynıdır, bir şeyin kosinüsü 2/3'e eşittir." Her şeyden önce, tamamen ark kosinüs cinsinden şunu yazabiliriz:

Ek dönüşler hakkında düşünelim ve trigonometrik denklemimizin ilk kök serisini sakin bir şekilde yazalım:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Aslında başka bir konum için otomatik olarak başka bir kök dizisi kaydedilir. Bunların hepsi aynı, yalnızca ix (arccos 2/3) eksi olacaktır:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ve her şeyi halledin! Bu doğru bir ifadedir. Basitçe söylemek gerekirse tablo değerlerini kullanmadan. Konuşmadan önce, bu resmin ark kosinüs yoluyla çözümlere dayandığını belirtmek çok önemlidir. Aslında hiçbir şey resim seviyesinden cosx = 0,5 farklı değildir.

Aynen böyle! Zagalny ilkesi ve zagalny! Aynı resimlerden ikisini özel olarak boyadım. Kolo bize etrafı gezdiriyor X yogo kosinüs için. Tablo halinde ce kosinüs, qi ni – kola bilinmiyor. Nedir bu, π /3, yoksa ark kosinüs nedir?

Sinüs aynı şarkıdır. Örneğin:

Yine renk küçüktür, yani sinüs anlamına gelir, bu da 1/3'e eşittir, bu da sinüs anlamına gelir. Ortaya çıkan resim şu:

Ve yine aşk için resim aynı olabilir sinx = 0,5.İlk çeyrekte yeniden başlıyoruz. X neden sinüsten 1/3'ten daha benzer? Yemek değil!

Eksen ve ilk kök paketi hazır:

x 1 = yaysin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Başka bir köşeye bakalım. Tablo değerleri 0,5 vin dorivnyuvav olan uygulamada:

π - x

Yani burada da aynı olacaksın! Sadece ix diğer, arcsin 1/3. Ne olmuş!? Bir arkadaşınız için nazikçe bir paket kök yazabilirsiniz:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Bu kesinlikle doğru. Her ne kadar pek sağlam olmasa da. Şimdi anlıyorum, sizi temin ederim.)

Eksen böylece ek kazık için trigonometrik hizalamayla hizalanır. Bu yol bilimsel ve mantıklıdır. Sorunun kendisi, köklerin belirli bir aralıkta seçilmesiyle ortaya çıkan trigonometrik düzensizliklerde bulunur; trigonometrik eşitsizliklerde ise bunlar neredeyse her zaman ortaya çıkma eğilimindedir. Kısacası herhangi bir departmanda önemsiz şeyler standartların ötesine katlanır.

Bilgi pratikte nasıl durgunlaşır?)

Trigonometrik denklemleri çözün:

En başından itibaren, doğrudan bu dersten itibaren daha basittir.

Artık daha katlanabilir.

İpucu: Burada bir kazık üzerinde göz kırpmanız gerekecek. Özellikle.)

Ve şimdi sadece arıyorlar... Onlara hâlâ çılgın ucubeler deniyor.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

İpucu: Burada iki seri cevabı ayırmanız gerekiyor ve bir... Ve iki seri cevap yerine bir tane yazın. Böylece sonsuz miktardaki kökü mahvetmeden alabilirsiniz!)

Aslında çok basit):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

İpucu: Burada arksinüs, arkkosinüsün ne olduğunu bilmeniz gerekiyor? Arktanjant, arkkotanjant nedir? En basit anlamı. Tam tablo değerlerini oluşturmanıza gerek yok!)

Görünüşe göre akıllıca, sakince):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Herkes dışarı çıkmadı mı? Buvaje. Dersi tekrar okuyun. Tilki düşünceli bir şekilde(bu çok eski bir söz...) Ve dileklerinizin peşinden gidin. Ana mesaj ışıkla ilgilidir. Trigonometride hiçbir şey olmadan - kör gözlerle yolun nasıl geçileceği. Bazen dışarı çıkmak için.)

Bu siteyi hak ediyorsunuz...

Konuşmadan önce sizin için birkaç harika sitem daha var.)

Gelişmiş araçlarla pratik yapabilir ve becerilerinizi öğrenebilirsiniz. Mitta doğrulamasıyla test etme. Şuna bir göz atın - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve ilgili olanlar hakkında bilgi edinebilirsiniz.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "En basit trigonometrik denklemleri çözme"

Ek materyaller
Shanny koristuvach, yorumlarınızı, yorumlarınızı, övgülerinizi mahrum etmeyi unutmayın! Tüm materyaller anti-virüs yazılımı ile doğrulanmıştır.

1C'nin altındaki 10. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasındaki kaynak kitaplar ve simülatörler
Geometride sorunlar var. Günlük olarak etkileşimli odalar
Yazılım ara yazılımı "1C: Matematiksel Oluşturucu 6.1"

Bilmemiz gerekenler:
1. Trigonometrik denklemler nelerdir?

3. Trigonometrik denklemleri çözmek için iki ana yöntem.
4. Düzgün trigonometrik denklemler.
5. Uygula.

Trigonometrik denklemler nelerdir?

Arkadaşlar, arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjantı zaten hesapladık. Şimdi trigonometrik denklemlere hayret edelim.

Trigonometrik denklemler – denklem her durumda trigonometrik fonksiyonun işaretinin altında bulunur.

En basit trigonometrik denklemlerin bağlantı türünü tekrarlayalım:

1) Eğer |a|≤ 1 ise cos(x) = a denkleminin sonuçları vardır:

X = ± arccos(a) + 2πk

2) Eğer |a|≤ 1 ise sin(x) = a denklemi aşağıdaki sonuçları doğurur:

3) Yakscho |a| > 1 ise sin(x) = a і cos(x) = a denkleminin çözümü yoktur 4) tg(x)=a denklemi çözülebilir: x=arctg(a)+ πk

5) Rivne ctg(x)=a kararı: x=arcctg(a)+ πk

Tüm formüller için k-tam sayı sayısı

En basit trigonometrik denklemler şu şekilde görünür: T(kx+m)=a, T bir trigonometrik fonksiyondur.

popo.

Denklemi belirleyin: a) sin(3x)= √3/2

Karar:

A) Önemli ölçüde 3x=t ise denklemimiz şu şekilde yeniden yazılabilir:

Bu denklem arasındaki bağlantı şöyle olacaktır: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Tablodan değer hesaplanabilir: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Değişikliklerimize dönelim: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

O halde x=((-1)^n)×π/9+ πn/3

Versiyon: x=((-1)^n)×π/9+ πn/3, burada n bir tam sayıdır. (-1) ^ n – n adımında eksi bir.

Trigonometrik denklemleri de uygulayın.

Oranı belirleyin: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Karar:

A) Bu sefer doğrudan bağın köklerinin hesabına geçelim:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Todi x/5= πk => x=5πk

Örnek: x=5πk, burada k bir tam sayıdır.

B) Bunu şu şekilde yazalım: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Ne olduğunu biliyoruz: arktan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Örnek: x=2π/9 + πk/3; burada k bir tamsayıdır.

Denklemi çözün: cos(4x)= √2/2. Ve bir bakışta tüm kökleri öğrenin.

Karar:

Virishimo'da göz alıcı görünüm seviyemiz: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Şimdi kökün küçük ağacımıza ne kadar zarar verebileceğine hayret edelim. k olduğunda k=0 olduğunda x= π/16 bölümünün görevlerinde harcadık.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 ile işaret kaybolmuştur.
K = 2'de, x = π / 16 + π = 17π / 16 ve burada eksen artık kaybolmaz, bu da büyük k için açıkça giyilebilir olmadığı anlamına gelir.

Versiyon: x= π/16, x= 9π/16

Başarının iki ana yöntemi.

En basit trigonometrik denklemlere ve ayrıca katlamalı denklemlere baktık. Bunu başarmak için yeni bir değişiklik getirme yöntemini ve çarpanlara bölme yöntemini kullanmak en iyisidir. Hadi şuna bir göz atalım.

Kıskançlık hakkında konuşalım:

Karar:
Hesaplamamız açısından, yeni bir değişikliği uygulamaya koymanın hızlı yöntemi önemlidir: t=tg(x).

Değiştirme sonucunda aşağıdakiler kaldırılır: t 2 + 2t -1 = 0

Karekökü biliyoruz: t=-1 ve t=1/3

O zaman tg(x)=-1 ve tg(x)=1/3 en basit trigonometrik denklemi aldık ve onun kökünü biliyoruz.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.

Örnek: x=-π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.

En yüksek seviyedeki popo

Seviyeleri çözün: 2sin 2(x) + 3 cos(x) = 0

Karar:

Oran aynıdır: sin 2(x) + cos 2(x)=1

Rekabetimiz şu şekilde olacak: 2-2cos 2(x) + 3 cos(x) = 0

2 çünkü 2(x) - 3 çünkü(x) -2 = 0

t=cos(x) değişimini tanıtalım: 2t 2 -3t - 2 = 0

Karemizin çözümleri köke eşittir: t=2 ve t=-1/2

O halde cos(x)=2 ve cos(x)=-1/2.

Çünkü kosinüs birden büyük bir değere sahip olamaz, bu durumda cos(x)=2 bir kök değildir.

cos(x)=-1/2 için: x=± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Versiyon: x= ±2π/3 + 2πk

Düzgün trigonometrik denklemler.

Değerler: a sin(x)+b cos(x) formundaki oranlara birinci dereceden düzgün trigonometrik denklemler denir.

Aklına saygı

başka bir seviyenin aynı trigonometrik seviyeleri.

İlk aşamanın homojen trigonometrik sırasının tepe noktası için bunu cos(x)'e böleriz: Sıfıra eşit olduğu için kosinüse bölmek mümkün değil, neyin yanlış olduğuna bakalım:
cos(x)=0 olsun, sonra asin(x)+0=0 => sin(x)=0 olsun, ancak sinüs ve kosinüs aynı anda sıfıra eşit değildir, bunlar kaldırılmıştır, böylece güvenle bölebilirsiniz sıfır.

Bekaret:
Alın: cos 2(x) + sin(x) cos(x) = 0

Karar:

Vinesemo zagagal çarpanı: cos(x)(c0s(x) + sin(x)) = 0

O halde iki noktaya değinmemiz gerekiyor:

Cos(x)=0 ve cos(x)+sin(x)=0

x= π/2 + πk'de Cos(x)=0;

Cos(x)+sin(x)=0 denklemine bakalım. Denklemimizi cos(x)'e bölelim:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Versiyon: x= π/2 + πk i x=-π/4+πk

Başka bir aşamanın aynı trigonometrik seviyelerini nasıl çözeriz?
Çocuklar öncelikle bu kurallara uyun!

1. a = 0 olmasına hayret edin, o zaman akranımız cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) gibi görünecek, ön slaytta uç çözülmüş olacak

2. Eğer a≠0 ise, iki eşit parçayı karenin kosinüsüne bölmek ve şunu çıkarmak gerekir:

t=tg(x) değişkenini aşağıdaki denklemle değiştirmek gerekir:

Bekaret poposu No: 3

Bekaret:
Karar:

Rahatsız edici kısımları kosinüs karesine bölüyoruz:

t = tg (x) değişimini değiştirmeye hazırız: t 2 + 2 t - 3 = 0

Karekökü biliyoruz: t=-3 ve t=1

Todi: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Sürüm: x=-arctg(3) + πk i x= π/4+ πk

Bekaret poposu No.:4

Bekaret:

Karar:
Viraz’ımızı ters çevirelim:

Bu denklemleri birleştirin: x= - π/4 + 2πk ve x=5π/4 + 2πk

Örnek: x= - π/4 + 2πk ve x=5π/4 + 2πk

Bekaret poposu No.:5

Bekaret:

Karar:
Viraz’ımızı ters çevirelim:

tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 değişimini tanıtalım

Kare denklemimizin çözümü kök olacaktır: t=-2 ve t=1/2

O zaman şunu hesaplayabiliriz: tg(2x)=-2 ve tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= yay(1/2) + πk => x=yay(1/2)/2+ πk/2

Versiyon: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ve x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Bağımsız erdemin korunması.

1) Kıskançlığı açığa çıkarın

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Denklemi çözün: sin(3x)= √3/2. І bölüm başına tüm kökleri bulun [π/2; π].

3) Denklemin kilidini açın: ctg 2(x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Denklemi çözün: 3 sin 2(x) + √3sin(x) cos(x) = 0

5) Denklemi çözün: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Değer düzeyi: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

“Beş Al” video kursu başarılı olmak için ihtiyacınız olan her şeyi içerir binalar matematikte 60-65 puan. Matematik Profilinin 1-13 arası tüm ödevlerini ele alacağım. Temel Matematik dersleri almak için de uygundur. 90-100 puan ödemek istiyorsanız 30 puan karşılığında ve tazminatsız 1. kısmı ödemeniz gerekiyor!

10-11. sınıflardaki öğrenciler ve mezunlar için hazırlık kursu. Matematik Bölüm 1'i (ilk 12. görev) ve Problem 13'ü (trigonometri) tamamlamak için ihtiyacınız olan her şey. Ve EDI için 70 puandan fazlaya mal oluyor ve bunlar olmadan ne para ne de beşeri bilimler açısından idare edemezsiniz.

Her türlü teoriye ihtiyaç vardır. İsveç yolları kararlar, makarnalar ve sırlar ЄДІ. Bankanın FID Atamasından Bölüm 1'in mevcut tüm atamaları toplanmıştır. Kurs, EDI-2018'in faydalarını tam olarak desteklemektedir.

İntikam Kursu Her biri 2,5 yıl süren 5 harika konu. Cilt konusu sıfırdan sunulmuştur, basit ve anlaşılırdır.

Yüzlerce sipariş ЄДІ. Metin bilgisi ve figüratiflik teorisi. Sorunları çözmeye yönelik algoritmalar basit ve hatırlanması kolaydır. Geometri. Teori, ön materyal, her türlü görevin analizi. Stereometri. Bağları çözmenin zorlu yöntemleri, kahverengi beşikler, ferah gerçekliğin gelişmeleri. Sıfırdan ustalığa trigonometri 13. Yoğun öğrenme. Katlamalı olanların açıklamasını net bir şekilde anlayın. Cebir. Korint, adım ve logaritma, fonksiyon ve benzerlik. En yüksek katlama düzeni için taban 2 parça ЄДІ.

Büyük bir zenginlikle matematik bölümleriÖzellikle 10. sınıfa kadar daralanlarda, nota yol açacak son eylemlerin sırası açıkça tanımlanmıştır. Bu tür görevler, örneğin doğrusal ve kare eşitlikleri, doğrusal ve kare düzensizlikleri, atış eşitliklerini ve karelere indirgenebilecek eşitlikleri içerebilir. Cildin görevden başarılı bir şekilde iyileştirilmesi ilkesi şu anda yatmaktadır: ne tür bir görevin atandığını belirleme ihtiyacı, daha sonra istenen sonuca yol açacak gerekli eylem dizisini tahmin etme ihtiyacı. vidpovidy, vidkonati tsi dіi.

Açıkçası, her bir görevin başarıları ve başarısızlıkları, meydana gelen araştırma türünün ne ölçüde doğru bir şekilde tanımlandığı, operasyonunun tüm aşamalarının sırasının doğru bir şekilde uygulandığı ölçüde, Yeshenya'nın ön saflarında yer almaktadır. Elbette aynı dönüşümleri ve hesaplamaları becerilerinizle öğrenmeniz gerekiyor.

Başka bir durum ortaya çıkacak trigonometrik denklemler. Denklemin trigonometrik olduğu gerçeğini ortaya koymak gerçekten önemli değil. Bölmeler, doğru türle sonuçlanan eylem sırasına göre görünür.

arka dışarıdan içeriye bakarken Türünüzü belirlemek önemlidir. Ve eğer denklemin türünü bilmiyorsanız onlarca trigonometrik formül arasından seçim yapmak imkansız olabilir.

Trigonometrik denklemin kilidini açmak için şunları denemeniz gerekir:

1. Dahil edilen tüm fonksiyonları aynı seviyeye getirin;
2. ilişkiyi “aynı işlevlere” getir;
3. Denklemin sol kısmını çarpanlara bölün.

Hadi bir bakalım trigonometrik denklemleri çözmek için temel yöntemler

I. En basit trigonometrik denklemlere indirgenmiş

Bağlantı şeması

Krok 1. Virazite trigonometrik fonksiyon görünür bileşenler aracılığıyla.

Timsah 2 Formüllerin ardındaki işlevin argümanını öğrenin:

çünkü x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

günah x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arktan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arkctg a + πn, n Є Z.

Timsah 3 Bilinmeyen değişimi bilin.

popo.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Karar.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Versiyon: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Değiştirmenin değiştirilmesi

Bağlantı şeması

Krok 1. Denklemi trigonometrik fonksiyonlara benzer bir cebir formuna indirin.

Timsah 2 Geçiş fonksiyonunu t'ye ayarlayın (eğer t'ye bir değişim girilmesi gerekiyorsa).

Timsah 3 Cebiri yazın ve geliştirin.

Krok 4. Geri ödeme alın.

Krok 5. En basit yol trigonometrik denklemdir.

popo.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Karar.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Günah (x/2) = t, de | t | ≤ 1.

3) 2t2 + 5t+3 = 0;

t = 1 ve e = -3/2, |t| aklı tatmin etmez ≤ 1.

4) günah(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Örnek: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Sipariş azaltma yöntemi

Bağlantı şeması

Krok 1. Yer değiştirmek Dana Rivnyanna doğrusal, vikoristik ve bu formülle alt adım:

günah 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Timsah 2 Diğer yöntem I ve II'ye güvenmeye gerek yoktur.

popo.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Karar.

1) çünkü 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) çünkü 2x + 1/2 + 1/2 · çünkü 2x = 5/4;

3/2 çünkü 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Sürüm: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Aynı seviye

Bağlantı şeması

Krok 1. Kiliseyi görünür hale getirin

a) a sin x + b cos x = 0 (ilk aşamanın aynı seviyesi)

veya ilk bakışta

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (diğer seviyenin bir seviyesi).

Timsah 2İlişkinin rahatsız edici kısımlarını bölün

a) çünkü x ≠ 0;

b) çünkü 2 x ≠ 0;

ve tg x değerini seçin:

a) tan rengi x + b = 0;

b) a ten rengi 2 x + b arktan x + c = 0.

Timsah 3 Rekabetinizi farklı şekillerde sürdürün.

popo.

5sin 2 x + 3sin x · çünkü x - 4 = 0.

Karar.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

günah 2 x + 3 günah x · çünkü x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) tg x = t olsun, o zaman

t2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 veya t = -4 ise

tg x = 1 veya tg x = -4.

Birinci düzey x = π/4 + πn, n º Z; başka bir seviyeden x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Örnek: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Trigonometrik formüller kullanılarak yeniden oluşturma yöntemi

Bağlantı şeması

Krok 1. Vikorist ve tüm trigonometrik formüller, bu denklemi I, II, III, IV yöntemleriyle belirlenen denklem haline getirir.

Timsah 2 Virishity otrimana vymnyanya aynı yöntemleri kullanarak.

popo.

günah x + günah 2x + günah 3x = 0.

Karar.

1) (günah x + günah 3x) + günah 2x = 0;

2sin 2x çünkü x + sin 2x = 0.

2) günah 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 veya 2cos x + 1 = 0;

Birinci düzey 2x = π/2 + πn, n Є Z; Başka bir seviyeden çünkü x = -1/2.

Maemo x = π/4 + πn/2, n Є Z; Başka bir seviyeden x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Savaş yoluyla x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Örnek: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Trigonometrik denklemleri hatırlayın ve kullanmaya başlayın Önemlidir ki, geliştirilmesi hem öğrenci hem de öğretmen açısından ciddi çaba gerektirecektir.

Trigonometrik denklemlerin çözümleri stereometri, fizik ve diğer problemlerle yakından ilgilidir. Bu tür görevleri çözme süreci, trigonometri unsurları gibi birçok bilgi ve zekanın kullanılmasını gerektirir.

Trigonometrik denklemler matematik öğrenme sürecinde ve bilimdeki uzmanlıkların gelişmesinde önemli bir yer tutar.

Yiyecek bitti? Trigonometrik denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders - zarar vermez!

Pershodzherelo ob'yazkov'a gönderilen materyalin tam veya kısmi kopyası ile site.